數 學 科 教 材 教 法 ：比、正反比
壹、數 學 結 構
一、「比」的定義
對等關係就是一種比的概念。對等關係是指兩數量A、B之間，由於某種原因，而產生一種配對關係，就稱此兩數量是A與B有對等關係。在數學上有人用序數對（A，B）來記錄，也有人用「比」的符號「A：B」來記錄此兩數量A與B的對等關係。例如小明的黏土是2塊重2公斤，小花的黏土是5塊重8公斤，而小華的黏土是7公尺重10公斤，…。上述各個例子的描述，皆產生一個對等關係，2塊對2公斤，5塊對8公斤，7塊對10公斤，…。若採用「比」的符號「：」，來記錄這些對等關係，便可記成「2：2」、「5：8」及「7：10」等等。
二、「比」的表示方法
紀錄A與B之間數量對等關係的方法
用序數表示：（A，B）
用「比」的符號表示：「A：B」
用「比值」表示：
三、「比」的分類：
依據情境（語意）的不同，對等關係可以分為下列四類：
（1）組合關係：若兩數量A及B為同類量（被測量的性質相同），且A與B都是同一全體量中的部分時，可稱為一種組合的對等關係。例：一種親子遊戲中3個小孩，需要2個大人來協助，有 18個小孩將參加遊戲，需要多少大人來協助？
（2）母子關係：若此兩數量為同類量，且一數量是全體量，另一數量是全體量的部分量時，可稱為一種母子的對等關係。 例：一打襯衫有12件，其中有3件是藍色的，如果現在有4打襯衫，裡面有幾件是藍色的呢？
（3）交換關係：若A、B分別描述兩個（堆）物件，於某種因素（性質），使這兩個（堆）物件具有相同的價值，可以交換，而形成A與B的對等關係，則可稱為一種交換的對等關係。 例：小華拿了15本雜誌到圖書館換了9本小說，要多少本雜誌才能換36本小說呢？
（4）密度關係：若A、B不為同類量，且此兩數量是描述同一物件的不同性質，A、B的比值是做為密度的描述時，A與B的關係，可稱為一種密度的對等關係。 例：3公升的水重3公斤，幾公升的水重15公斤？
四、比的等價（相等）：
比的等價是指：一個對等關係（A：B）的前項（A）與後項（B）同成（除）以一數時，則產生另一個等價的對等關係（比），例如（（4除以2）2：3（6除以2）＝4：6＝（4乘以2）8：12（6乘以2））；或者，當使用比值來描述一個對等關係時，兩個比值相等的對等關係是等價的對等關係（比）；採用在量情境中討論，它們是相同的交換方式，相同的組合方式，相同的含量或相同的密度，來引入比的等價（相等）。例如張三的鐵線是10公尺重10公斤，某甲的鐵線長15公尺重15公斤，兩人的鐵線每1公尺的重都是1公斤，而把兩個對等關係的等價關係記成「10：10＝15：15」。
五、簡單整數比與最簡單整數比
用比的方式（A：B）來描述對等關係時，如果比的前項與後項都是整數，則稱之為一個「整數比」。當存在無限多個等價的比時，其中一個前、後項數值為最小的整數比（比的前、後兩個數，除了1以外沒有其他的公因數），稱之為此等價類的「最簡單整數比」，所以最簡單整數比的前項與後項具有互質的特性。例如：以「5：3＝10：6＝15：9＝30：18…」為例，（10：6）（15：9）（30：18）…都是整數比；（5：3）則是這等價類的「最簡單整數比」。
六、對等關係（比）的量化：比值
對等關係（比）的量化是數學上必須的，因為量化後可以比較、運算等等，而比的量化結果即為比值，我們規定比值的定義為前項A除以後項B或是
，也就是「A：B的比值為
」。其意義為每一單位的B對應
個單位的A，例如王五的鐵線是15公尺重16公斤，其比為15：16，而其比值
應是鐵線每一公斤的長度為
公尺。
七、交換問題
生活在沒有錢幣以物易物時代的人們，應該比較容易了解什麼是「交換問題」，因為這是當時人們最常使用的生活方式，例如：張三用2隻牛與李四的100隻雞交換。由此進一步延伸可以詢問：「使用同樣的方式，必須有幾隻牛才能換到400隻雞？」這樣因交換問題所衍生得問題就稱為「交換問題」。
時至今日，錢幣已經是目前必須的交換物，幾乎所有交易物品都是黈過錢幣來訂定交換量。例如：市場裡老王的2個橘子和買菜的阿英的10元交換。如果以阿英10元買2顆橘子為例，在這個對等關係之中，最簡單的「比」是1對5即是1：5，另一個則是2對10，由於一般都是使用最簡單的「比」來描述，所以又稱此類的交換問題為「一對多的交換問題」。若依照問題中的未知數又可區分下列4種一對多的交換問題：﹝以下a、b、c、d表示已知﹞
﹝1﹞1：b=c：□ ﹝2﹞1：b==□：d ﹝3﹞1：□=c：d ﹝4﹞ □：b=c：d
除了「一對多」的交換問題之外，交換問題還可分為「二對多」及「多對多」交換問題。例如：2袋米可以換5公斤豬肉，阿布有6袋米，可以換幾公斤豬肉？此問題的較簡單比是2：5，因此可稱這個問題為「二對多交換問題」。同樣地，二對多交換問題均可依照未知數位置區分為以下4類：
﹝1﹞2：b=c：□ ﹝2﹞2：b==□：d ﹝3﹞2：□=c：d ﹝4﹞ □：b=c：d
多對多的交換問題例子，我們可以舉「超市五個橘子賣8元，媽媽買了30個，請問媽媽需花多少錢？」多對多交換問題也一樣可依照未知數位置區分為以下4類：
﹝1﹞a：b=c：□ ﹝2﹞a：b==□：d ﹝3﹞a：□=c：d ﹝4﹞ □：b=c：d
八、比例的意義
比和比例
「比」是表示兩數量的對應關係；而「比例」是表示兩數量對應關係的變化情形。「比」和「比例」的關係密切，我們可以這麼說：「比」是「比例」的基礎，而「比例」是「比」的延伸和發展。
正比例和反比例
「正比例」與「反比例」是數學上許多數量關係中的較簡單且與日常生活較有關的兩個。若由函數關係引入「正比例」與「反比例」，對國小學童而言，由於函數概念尚未成熟，因而無法介紹。所以在教導學生時，可採先求取對應項的比之比值，當所有對應項的比之比值都相同時，稱這兩組數量成「正比例」。從這樣的規定來看，可以說甲組數量和乙組數量成「正比例」，也可以說乙組數量和甲組數量成「正比例」。例如，分速20公尺，時間和路程的關係如下表：
甲：時間（分）
1
2
3
4
5
6
乙：路程（公尺）
20
40
60
80
100
120
（乙÷甲）20
20
20
20
20
20
甲、乙兩個數量，當甲變成2倍、3倍、……時，乙也隨著變成2倍、3倍、……；當甲變成
倍、
倍、……時，乙也隨之變成
倍、
倍、……。像這樣的對應情形，我們說甲和乙成正比。
另外，把一組數量先取倒數，再求這組倒數和這一組數量的對應項的比之比值，如果這些比值都相同時，稱這兩組數量成「反比例」；而「反比例」亦可說是甲組數量的倒數與乙組數量成「正比例」時，甲組數量和乙組數量成「反比例」。例如，用100元所能買到的郵票面值和枚數：
甲：面值（元）
2
4
5
10
20
50
乙：枚數（枚）
50
25
20
10
5
2
甲×乙
100
100
100
100
100
100
甲、乙兩個數量，當甲變成2倍、4倍、……時，乙反而變成
倍、
倍、……；當甲變成
倍、
倍、……時，乙反而變成2倍、4倍、……。像這樣的對應情形，我們說乙和甲成反比。
由比值的觀點引入「正比例」與「反比例」時，由於「正比例」只是單純地判斷對應項的比之比值，故「正比例」的引入先於「反比例」。
課程中認為的倒數是，在有理數系範圍內對乘法運算而言，一個數的乘法反元素（它和原來的數的乘積是乘法單位元素1），事實上，一個數與其倒數可以有這樣的關聯：在例如「5條藍線和1條紅線一樣長時，問1條藍線和幾條紅線一樣長？」的問題中，答案即為5的倒數（
）。在第十冊第八單元活動示例3中即進行透過作線段圖來求出整數的倒數，但學童在那時並不知所求的答案即為那個整數的倒數而已。透過解決一些「被乘數是整數或真分數，乘數未知，積數是1」的算式填充題，例如「5×( )＝1」，並填入答案後，將各個計算完的算式並置於教室黑板上，而和學童規約：對於一數而言，有另一數和原數的相乘的結果為1時，稱這另一數是倒數，也就是先認識倒數的意義。
在認識了倒數的意義之後，對於兩組數量的共變對應紀錄表，先問學童是否成「正比例」，在得到否定的答案之後，再要求學童把兩組數量中的一組數量（在紀錄表中看成數）的倒數全部求出並填入或重做紀錄表，然後更進一步地要求學童算出這一組倒數和另一組數的比的比值，並填入紀錄表中，確定所有對應項比的比值都相同的情況下，知道這一組倒數和另一組數量是成「正比例」，最後與學童規約原來這一組數量（未被取倒數的）與另一組數量是成「反比例」的。
九、成比例線段圖
使用不同的表徵形式來表現一個數學物件，是數學能力的一項指標，反映能由不同的觀點來掌握此數學概念。線段圖是圖像表徵的一種，使用線段圖來表現文字描述的問題，常能使問題中數量間的關係具體化。當學童能用成比例的線段圖來表現對等關係或分數問題中的數量後，可以進一步地依對等問題或分數運算問題的題意加以操作成比例線段圖，因而獲得結果。以「哥哥有28顆電池，弟弟有的電池是哥哥的4/7倍」為例，作出的線段圖可能如下之兩種：
於教學「比例」時，教師可引導兒童將兩數量對應關係的變化情形列表紀錄，從紀錄中發現兩數量對應的變化，了解「比例」的意義；並透過「比例關係圖」的直線或曲線，了解兩數量對應關係的變化情形，進而做出推測的活動。
在此首先要協助學童如何成比例地作線段圖，來表現離散量的合成、分解或整數倍的關係，培養做成比例線段圖的能力，建立工具，以方便以後在成比例的線段圖上，觀察等價的對等關係間的轉換。
在連續量的情境下，勢必需要對分數所有指示分量（例如：15條繩子）進行等分割活動，雖在概念上，一個未定值的固定量可以被分割，但等分割的技術有很高的難度，更何況還要掌握再次等分割後的結果與原始基準量（一條繩子）的關係，因此在第十冊第八單元引入用成比例段圖表現兩個呈分數倍關係數量的活動；進一步地，在第十冊第十二單元引入用成比例線段圖表現兩個異分母的分數的活動，並且在畫這些線段圖之前，皆建議教師要求學童，先考慮基準量（「1」）要表示多少公分長，才能使各個分數都能用整公分的方式來表現，在這樣的限制之下，即使是分數進行等分割活動，其結果仍為1公分的整數倍，透過此種線段圖的協助，使得分數的等分割活動具體可行，而線段圖成為可被等分割操作的具體物。
十、比例關係圖
在教學「比例」時，教師可引導兒童將兩數量對應關係的變化情形列表記錄，從紀錄中發現兩數量對應的變化，其比值相同，了解「比例」的意義；並透過比例關係圖，了解兩數量對應關係的變化情形，進而做出推測的活動。
甲、成正比的關係圖：
a.關係圖的橫軸與縱軸之交點，即原點（0，0）通常指標是一個1。
b.點與點的連線是通過原點0的直線。
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100
80
60
40
20
0 1 2 3 4 5(包)
乙、成反比的關係圖：
點與點的連線是不通過原點0。
例如：一百元可以買到的不同票值的郵票張數
十一、兩數關係的判別
（1）甲、乙兩個變動的數量中，乙÷甲的商不變時，乙和甲成正比。
（2）甲、乙兩個變動的數量中，甲×乙的積不變時，甲和乙成反比。
（3）甲、乙兩個變動的數量中，甲和乙的和不變時，甲和乙不成正比，也不成反比。
Ex：周長20㎝的長方形，其長與寬的對應情形。
（4）甲、乙兩個變動的數量中，甲和乙的差不變時，甲和乙不成正比，也不成反比。
Ex：爸爸的年齡和媽媽的年齡。
教學策略
（1）強調學童相互討論→師生討論→教師指導。因此在課程進行中，儘量讓兒童以討論的形式寫出。
（2）在「比」的活動示例中，由各種類型對等關係的例子，先開放給學童自由選取符號來紀錄兩數量A與B的配對關係，之後再規定成為用「比」的符號「：」來紀錄。
（
3）進行兩個對等關係「等價」或「不等價」的判斷時，只紀錄「＝或＝」。並不介紹「大於」與「小於」的關係。
（4）在「最簡單整數比」的活動中，因為「4：6」中的4與6不是互質，所以不是最簡單整數比，「2：3」才是。教師可以不斷的追問「還有沒有其他的最簡單整數比」，而在「這些整數比中有沒有前後互質的？」的問話中，希望學童注意到最簡單整數比具有前後項互質的特性。
（5）在「比例」活動中，可由兒童的舊經驗中有關「比例」的事實引入，或透過實際的測量活動，去經驗、察覺兩數量對應關係的變化情形，進而了解「比例」的意義。如：實測不等長「竹竿」和相對應「竿影」長度的紀錄，從其兩數量的變化情形，加以歸納成「當竹竿長度變成2倍、3倍、4倍……時，竿影長度也隨之變成2倍、3倍、4倍……。像這樣的情形，我們說竹竿長度和竿影長度成比例」。
（6）在「比例」的解題過程中，有學童會採用成人公式「A：B＝C：D」，即A×D＝B×C，此時要請學童說明此方法的解題原因，而不能只是套公式而已。
認知結構
根據 Alan R. Hoffer 和 Shirley Ann K. Hoffer(1993)及皮亞傑(Piaget)等學者們的看法，認為比例推理概念是形式思考中一個重要的成分，也是應用相當廣的概念。
在各國中、小學的數學、地理、幾何、生物、物理、化學等學科中，都有不少教材與比例概念有關。譬如在我國小學課程中，有關比與比例概念的相關教材，即分佈出現在自然科學、數學、社會學科中，且佔了不少的單元，同時也出現在各年齡階段中。例如在自然科學中，二年級上學期滴漏的單元中，時間數與滴漏量的關係；三年級上學期硼酸的溶解單元中，硼酸溶解量與溫度的關係；三年級下學期測量力的大小單元中，彈簧伸長長度與螺帽數的關係；四年級上學期悶熄蠟燭的單元中，瓶子容量與燃燒時間的關係；五年級上學期槓桿單元中，力臂與力矩的關係、我在哪裡單元中，地圖的比例尺；五年級下學期電磁鐵單元中，漆包線圈數與電磁鐵吸力的關係、電池數與吸力的關係，透鏡單元中像距與物距的關係等等。在數學教材中，如：三年級下學期分數的單元，五年級下學期速率、圓周率單元；六年級上學期怎樣解題、比與比值單元；六年級下學期四則運算一、正比例、反比例、縮圖、比例尺與簡單機率單元等。在社會科教材中，如：四年級上學期地圖的比例尺的單元等。這些單元中雖有些以正比、有些以反比、有些以比例的形式出現，但基本上皆與比的概念有關，且也必須以比與比值的概念為基礎。
從上述這些單元的安排的情形來看，不僅顯示出比例概念的普遍性，也顯示出比與比值概念的重要性是不可忽視的。除此之外，在日常生活中亦有許多方面，需要用到比例的概念，如汽機車之時速、單位之換算、面積之換算、錢幣之兌換等等皆是。
【1】根據Bar(1987)在比的概念發展比較研究中，也顯示兒童在比例推理的作業上，有下列幾個現象：
不同比值的難度中， 解決整數比值的問題，較易於解決非整數比值的問題。
在分離量與連續量的問題上， 處理分離量的能力，大於處理連續量的能力。
3)在正比、反比、比例的問題上，作業能力各有不同：解決正比的問題能力，大於反比的問題能力，大於比例問題的能力。
4)在不同情境中的問題無法轉移應用，解電流的問題能力，未能移轉至解濃度的問題上。
【2】根據魏金財（民76）在兒童比例推理能力探討研究中，了解兒童處理「比例」六種有意義的解題方法：
例題：媽媽在做年糕的時候，用2小包的糖配6公斤的米，如果要做出一樣甜的
年糕，用5小包的糖要配多少公斤的米？
1.比例公式型：
兒童思考程序如下：(1)列出2：6=5：□的式子，再求未知數。
2.單價型：
兒童思考程序如下：(1)列出6/2=3的式子，求1包糖配3公斤的米。
(2)再列出5×3=15的式子。
3.倍數型：
兒童思考程序如下：(1)列出5÷2=2.5，求5包糖是2包糖的倍數。
(2)再列出2.5×6=15。
例題：媽媽做年糕時，用2小包的糖配5公斤的米，如果要做成一樣甜的年糕，
用3小包的糖須配幾公斤的米？
4.折半相加型：
兒童思考程序如下：(1)列出3-2=1，求3小包比2小包多多少？
(2)再列出1/2=0.5，求1包是2包的一半。
(3)再列出5+2.5=7.5。
5.累加型：
兒童思考程序如下：(1)列出1小包配2.5公斤米。
(2)再列出2小包配5公斤米。
(3)最後列出3小包配7.5公斤米。
6.交叉相乘型：
兒童思考程序如下：(1)列出5*3/2=7.5
根據魏金財（民76）在兒童比例推理能力探討研究中，了解兒童處理「比例」六種無意義的解題方法：
例題：媽媽在做年糕的時候，用2小包的糖配6公斤的米，如果要做出一樣甜的
年糕，用5小包的糖要配多少公斤的米？
1.比值錯置型
兒童思考程序：（1）5÷2＝2.5（求出倍數）（2）6÷2.5＝2.4
2.同差加減型（1）
兒童思考程序：（1）5－2＝3（求出5包比3包多多少？）
（2）6＋3＝9（認為6公斤也要與上項之差額多相同的數）
同差加減型（2）
兒童思考程序：（1）6－2＝4（求第一個情境兩數的差額）
（2）5＋4＝9（另一個情境第二個數也要比第一個數多相同的數）
3.等倍同差型
兒童思考程序：(1)5÷2=2…1(求5包為2包的幾倍餘多少？)。
(2)6×2+1=13(第二組也是利用同一規則乘上倍數再加上餘數)
4.自定關係型
兒童思考程序：(1)2×3=6
6－1＝5(求出2包與5包的關係)
(2)6×3=18
18－1＝17（也利用同樣的規則求需要幾公斤的米）
5.無意義乘除型
兒童思考程序：將所有數相互乘除（2×5×6或2÷5÷6或2×5÷6…等）
6.無意義加減型
兒童思考程序：將所有數相互加減（2＋5＋6或2＋5－6…等）
處理特色
從上述的討論中來看此課程對於有關「比與正反比」的處理有下列特點：
讓「比」的定義回到原來數學上的定義，不僅是同類量才可以「比」。
「比」是一個對等關係的記錄而已。
重視「對等問題」的解題活動，一方面可以解決許多日常生活、其他學科（如理化）、職業場所所面臨的數學問題，另一方面使得日後學童在面對「比例問題」及「比例等式問題（例如45：6＝27：X）時，更能掌握其意義。
開發「比例線段圖」使得學童在面對數學上的「對等問題」、「乘除問題」及「分數運算問題」時，多一種解題與溝通的工具。
參考資料
淡江大學學程第三屆「比、正反比」的數學本質概念