B05柯政甫B09鄧艾迪
數學教材教法
本質概念介紹
【比與正反比】
學生姓名：柯政甫
指導教授：林宜臻老師
比與正反比
一、數學結構……………………………………………………………3
比的定義………………………………………………………………………….4
比的表示法……………………………………………………………………….5
整數比與最簡整數比…………………………………………………………….5
比值的定義……………………………………………………………………….6
比例的定義……………………………………………………………………….6
二、認知結構……………………………………………………………7
三、教學策略……………………………………………………………9
1. 利用變數的探索………………………………………………………………….10
2. 理解比例的情境問題……………………………………………………………11
3. 指導兒童提升思考策略…………………………………………………………11
四、綱要結構……………………………………………………………13
五、參考資料……………………………………………………………14
數學結構
比的定義
對等關係就是一種比的概念。對等關係是指兩數量A、B之間，由於某種原因，而產生一種配對關係，就稱此兩數量是A與B有對等關係。在數學上有人用序數對（A，B）來記錄，也有人用「比」的符號「A：B」來記錄此兩數量A與B的對等關係。例如：張三的鐵線是10公尺長重10公斤，李四的鐵線是20公尺長重18公斤，而王五的鐵線是15公尺長重16公斤，…。上述皆產生一各對等的關係，採用「比」的符號「：」，來紀錄這些對等關係，如記成「10：10」、「20：18」及「15：16」。
比的表示法
記錄A與B之間數量對等關係的方法
用序數表示：（A，B）
用「比」的符號表示：「A：B」
用「比值」表示：
比的分類
（1）組合關係：例如：一種親子遊戲中3個小孩，需要2個大人來協助。
若兩數量A及B為同類量（被測量的性質相同），且A與B都是同一全體量中的部分時，可稱為一種組合的對等關係。
（2）母子關係：例如：一打襯衫有12件，其中有4件是藍色的。
若此兩數量為同類量，且一數量是全體量，另一數量是全體量的部分量時，可稱為一種母子的對等關係。
（3）交換關係：例如：小華拿了135本雜誌到圖書館換了9本小說。
若A、B分別描述兩個（堆）物件，於某種因素（性質），使這兩個（堆）物件具有相同的價值，可以交換，而形成A與B的對等關係，則可稱為一種交換的對等關係。
（4）密度關係：例如：30立方公分的水重30公克。
若A、B不為同類量，且此兩數量是描述同一物件的不同性質，A、B的比值是做為密度的描述時，A與B的關係，可稱為一種密度的對等關係。
最簡單整數比
用比的方式（A：B）來描述對等關係時，如果比的前項與後項都是整數，則稱之為一個「整數比」。當存在無限多個等價的比時，其中一個前、後項數值為最小的整數比（比的前、後兩個數，除了1以外沒有其他的公因數），稱之為此等價類的「最簡單整數比」，所以最簡單整數比的前項與後項具有互質的特性。
例如：以「5：3＝10：6＝15：9＝30：18…」為例，（10：6）（15：9）（30：18）…都是整數比；（5：3）則是這等價類的「最簡單整數比」。
比的化簡和把分數約成最簡分數的方法相同，教學時應引導兒童活用舊經驗來學習；利用「相等的比」之性質，讓兒童從實際操作討論及演算中，了解比的化簡的各種方法。
例如：
整數比的化簡：
【Ex】 20：30＝（20÷10）：（30÷10）＝2：3
小數比的化簡：
小數比的化簡方法有許多種，最好讓兒童從演算過程中自行嘗試發現。
【Ex】3.2：8＝（3.2×10）：（8×10）＝32：80＝2：5
也可以3.2：8＝（3.2×5）：（8×5）＝16：40＝2：5
分數比的化簡：
可以先通分，後化簡，【Ex】
：
＝
：
＝5：8
也可以用前面的數、後面的數各乘以各分母的最小公倍數，
【Ex】
：
＝（
×20）：（
×20）＝5：8
（4和5的最小公倍數是20）
用最簡捷的方式是
：
＝（1×5）：（2×4）＝5：8
比例的意義
(1)比和比例
「比」是表示兩數量的對應關係；而「比例」是表示兩數量對應關係的變化情形。「比」和「比例」的關係密切，我們可以這麼說：「比」是「比例」的基礎，而「比例」是「比」的延伸和發展。
(2)正比例和反比例
「正比例」與「反比例」是數學上許多數量關係中的較簡單且與日常生活較有關的兩個。若由函數關係引入「正比例」與「反比例」，對國小學童而言，由於函數概念尚未成熟，因而無法介紹。本課程採先求取對應項的比之比值，當所有對應項的比之比值都相同時，稱這兩組數量成「正比例」。從這樣的規定來看，可以說甲組數量和乙組數量成「正比例」，也可以說乙組數量和甲組數量成「正比例」。例如，分速20公尺，時間和路程的關係如下表：
甲：時間（分）
1
2
3
4
5
6
乙：路程（公尺）
20
40
60
80
100
120
（乙÷甲）20
20
20
20
20
20
甲、乙兩個數量，當甲變成2倍、3倍、……時，乙也隨著變成2倍、3倍、……；當甲變成
倍、
倍、……時，乙也隨之變成
倍、
倍、……。像這樣的對應情形，我們說甲和乙成正比。
另外，把一組數量先取倒數，再求這組倒數和這一組數量的對應項的比之比值，如果這些比值都相同時，稱這兩組數量成「反比例」；而「反比例」亦可說是甲組數量的倒數與乙組數量成「正比例」時，甲組數量和乙組數量成「反比例」。例如，用100元所能買到的郵票面值和枚數：
甲：面值（元）
2
4
5
10
20
50
乙：枚數（枚）
50
25
20
10
5
2
甲×乙
100
100
100
100
100
100
甲、乙兩個數量，當甲變成2倍、4倍、……時，乙反而變成
倍、
倍、……；當甲變成
倍、
倍、……時，乙反而變成2倍、4倍、……。像這樣的對應情形，我們說乙和甲成反比。
由比值的觀點引入「正比例」與「反比例」時，由於「正比例」只是單純地判斷對應項的比之比值，故「正比例」的引入先於「反比例」。
課程中認為的倒數是，在有理數系範圍內對乘法運算而言，一個數的乘法反元素（它和原來的數的乘積是乘法單位元素1），事實上，一個數與其倒數可以有這樣的關聯：在例如「5條藍線和1條紅線一樣長時，問1條藍線和幾條紅線一樣長？」的問題中，答案即為5的倒數（
）。在第十冊第八單元活動示例3中即進行透過作線段圖來求出整數的倒數，但學童在那時並不知所求的答案即為那個整數的倒數而已。透過解決一些「被乘數是整數或真分數，乘數未知，積數是1」的算式填充題，例如「5×( )＝1」，並填入答案後，將各個計算完的算式並置於教室黑板上，而和學童規約：對於一數而言，有另一數和原數的相乘的結果為1時，稱這另一數是倒數，也就是先認識倒數的意義。
在認識了倒數的意義之後，對於兩組數量的共變對應紀錄表，先問學童是否成「正比例」，在得到否定的答案之後，再要求學童把兩組數量中的一組數量（在紀錄表中看成數）的倒數全部求出並填入或重做紀錄表，然後更進一步地要求學童算出這一組倒數和另一組數的比的比值，並填入紀錄表中，確定所有對應項比的比值都相同的情況下，知道這一組倒數和另一組數量是成「正比例」，最後與學童規約原來這一組數量（未被取倒數的）與另一組數量是成「反比例」的。
認知結構
根據Alan R. Hoffer 和Shirley Ann K. Hoffer(1993)及皮亞傑(Piaget)等學者們的看法，認為比例推理概念是形式思考中一個重要的成分，也是應用相當廣的概念。
在各國中、小學的數學、地理、幾何、生物、物理、化學等學科中，都有不少教材與比例概念有關。譬如在我國小學課程中，有關比與比例概念的相關教材，即分佈出現在自然科學、數學、社會學科中，且佔了不少的單元，同時也出現在各年齡階段中。例如在自然科學中，二年級上學期滴漏的單元中，時間數與滴漏量的關係；三年級上學期硼酸的溶解單元中，硼酸溶解量與溫度的關係；三年級下學期測量力的大小單元中，彈簧伸長長度與螺帽數的關係；四年級上學期悶熄蠟燭的單元中，瓶子容量與燃燒時間的關係；五年級上學期槓桿單元中，力臂與力矩的關係、我在哪裡單元中，地圖的比例尺；五年級下學期電磁鐵單元中，漆包線圈數與電磁鐵吸力的關係、電池數與吸力的關係，透鏡單元中像距與物距的關係等等。在數學教材中，如：三年級下學期分數的單元，五年級下學期速率、圓周率單元；六年級上學期怎樣解題、比與比值單元；六年級下學期四則運算一、正比例、反比例、縮圖、比例尺與簡單機率單元等。在社會科教材中，如：四年級上學期地圖的比例尺的單元等。這些單元中雖有些以正比、有些以反比、有些以比例的形式出現，但基本上皆與比的概念有關，且也必須以比與比值的概念為基礎。
從上述這些單元的安排的情形來看，不僅顯示出比例概念的普遍性，也顯示出比與比值概念的重要性是不可忽視的。除此之外，在日常生活中亦有許多方面，需要用到比例的概念，如汽機車之時速、單位之換算、面積之換算、錢幣之兌換等等皆是。
【1】根據Bar(1987)在比的概念發展比較研究中，也顯示兒童在比例推理的作業上，有下列幾個現象：
不同比值的難度中: 解決整數比值的問題，較易於解決非整數比值的問題。
在分離量與連續量的問題上: 處理分離量的能力，大於處理連續量的能力。
3)在正比、反比、比例的問題上，作業能力各有不同：解決正比的問題能力，大於反比的問題能力，大於比例問題的能力。
4)在不同情境中的問題無法轉移應用：解電流的問題能力，未能移轉至解濃度的問題上。
【2】根據魏金財（民76）在兒童比例推理能力探討研究中，了解兒童處理「比例」六種有意義的解題方法：
例題：媽媽在做年糕的時候，用2小包的糖配6公斤的米，如果要做出一樣甜的
年糕，用5小包的糖要配多少公斤的米？
1.比例公式型：
兒童思考程序如下：(1)列出2：6=5：□的式子，再求未知數。
2.單價型：
兒童思考程序如下：(1)列出6/2=3的式子，求1包糖配3公斤的米。
(2)再列出5×3=15的式子。
3.倍數型：
兒童思考程序如下：(1)列出5÷2=2.5，求5包糖是2包糖的倍數。
(2)再列出2.5×6=15。
例題：媽媽做年糕時，用2小包的糖配5公斤的米，如果要做成一樣甜的年糕，
用3小包的糖須配幾公斤的米？
4.折半相加型：
兒童思考程序如下：(1)列出3-2=1，求3小包比2小包多多少？
(2)再列出1/2=0.5，求1包是2包的一半。
(3)再列出5+2.5=7.5。
5.累加型：
兒童思考程序如下：(1)列出1小包配2.5公斤米。
(2)再列出2小包配5公斤米。
(3)最後列出3小包配7.5公斤米。
6.交叉相乘型：
兒童思考程序如下：(1)列出5*3/2=7.5
【3】皮亞傑(Piaget)的認知發展理論認為人類認知發展由出生到成年分為下面四個階段：
認知發展期 | 年齡 | 特徵 |
感覺動作期 (Sensorimotor stage) | 0~2歲 |
|
前運思期 | 2~7歲 |
|
具體運思期 (concrete operational stage) | 7~11歲 |
|
形式運思期 (formal operational stage) | 12歲以上 |
|
兒童的迷思
根據魏金財（民76）在兒童比例推理能力探討研究中，了解兒童處理「比例」六種無意義的解題方法：
例題：媽媽在做年糕的時候，用2小包的糖配6公斤的米，如果要做出一樣甜的
年糕，用5小包的糖要配多少公斤的米？
1.比值錯置型
兒童思考程序：（1）5÷2＝2.5（求出倍數）（2）6÷2.5＝2.4
2.同差加減型（1）
兒童思考程序：（1）5－2＝3（求出5包比3包多多少？）
（2）6＋3＝9（認為6公斤也要與上項之差額多相同的數）
同差加減型（2）
兒童思考程序：（1）6－2＝4（求第一個情境兩數的差額）
（2）5＋4＝9（另一個情境第二個數也要比第一個數多相同的數）
3.等倍同差型
兒童思考程序：(1)5÷2=2…1(求5包為2包的幾倍餘多少？)。
(2)6×2+1=13(第二組也是利用同一規則乘上倍數再加上餘數)
4.自定關係型
兒童思考程序：(1)2×3=6
6－1＝5(求出2包與5包的關係)
(2)6×3=18
18－1＝17（也利用同樣的規則求需要幾公斤的米）
5.無意義乘除型
兒童思考程序：將所有數相互乘除（2×5×6或2÷5÷6或2×5÷6…等）
6.無意義加減型
兒童思考程序：將所有數相互加減（2＋5＋6或2＋5－6…等）
教學策略
因為有反比例與正比例，兩個數量間的商不變是「正比例」，積不變是「反比例」，以下就兩部分來說明。
正比教學
(一)利用變數的探索
甲對於一個問題情境我們可以先做值的理解，例如：甲變大乙也變大，或甲變小乙也變小；甲增加幾倍乙就增加幾倍，所以利用情境的關係有質量的理解，對於問題解決是很重要，以下可以讓兒童討論的問題:
有兩個數○和□，○和□間有關係○和□也會隨著改變，以下有四種關係，並想一想在生活上有沒有哪一種情況和這些關係相同。
請找出下面四提中應該填入＋－÷，中哪一個符號，在日常生活中，哪一種情況符合這等式
假如○=4、□=6，則○=8、□=12，46=812
假如○=4、□=6，則○=8、□=10，64=108
假如○=4、□=6，則○=8、□=3，46=83
假如○=4、□=6，則○=8、□=2，46=82
就上面
是商的關係，4/6=8/12
是差的關係，6-4=10-8
例如:哥哥和弟弟年齡的變化，哥哥長兩歲弟弟也長兩歲
是積的關係，4×6=8×3
例如:長方形的長與寬，長增為兩倍寬縮了一半
是和的關係，4+6＝8+2
例如:甲乙兩人分12元，甲多拿乙就少了
(二) 理解比例的情境問題
比例問題是兩個量數間的商不變分三類來說
有些商的關係之不變性似乎存在物理情境裡:
例如:
速率=距離÷時間
密度=質量÷體積
顏色的混合，兩份藍色顏料+三份黃色顏料=某種綠色成分
單日工作量=總工作量÷天數
圓週率=周長÷半徑
有些則是存在於生活約定俗成的規定:
例如:日薪=薪資÷工作天
有些則是問題中任意規定
例
如：
班上男生和女生的比這兩種是Lamon所謂
學校近視的人數和沒有近視的人數的部分-部分-整體問題
作蛋糕的比例
(三)指導兒童提升思考策略
從簡單的3:1開始，從整數->分數->小數
用值得比例推理
例如:3個太空人要吃5顆藥丸，那19顆夠9個人吃嗎?讓小朋友用(3:5)來作為一個單位，推到3個人變為9個人，增加三倍，所以食物也要增加三倍，應該是15顆，所以19顆夠9個人吃。
或者用
或者
用比例推理
◎◎◎ ○○○○○ 3:5
◎◎◎ ○○○○○ 6:10
◎◎◎ ○○○○○ 9:15
用建構方式
若小朋友還不了解比例，就用畫圖讓他們練習慢慢推出來
二、反比教學
發現力矩的原理
問小朋友有沒有發現玩蹺蹺板的時候，重的人要靠近中心點而輕的人要外在遠離中心點，才能平衡
天平左邊
天平右邊
距離
重量
距離
重量
6
4
2
(1)
3
12
24
(2)
5
9
15
(3)
4
8
(4)
16
8
14
(5)
28
24=6×4、2×12 (1)12
36=3×12、24×1.5 (2)1.5
45=5×9、15×3 (3)3
32=4×8、2×16 (4)2
112=8×14、4×28 (5)4
四、綱要結構
年級 | 數與量 N | 幾何 S | 統計與機率 D | 代數 A |
六年級 | 6-n-01 能認識質數、合數，並作質因數的分解（質數＜20，質因數＜10，被分解數＜100）。 | 6-s-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。 | 6-d-01 能整理生活中的資料，並製成圓形圖 | 6-a-01 能理解等量公理。（同6-n-06） |
6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將分數約成最簡分數。 | 6-s-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。 | 6-a-02* 能使用未知數符號，將具體情境中的問題列成兩步驟的算式題，並嘗試解題及驗算其解。 | ||
6-n-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 | 6-s-03* 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。（同6-n-11*） | 6-a-03 能利用常用的數量關係，列出恰當的算式，進行解題，並檢驗解的合理性。（同6-n-10） | ||
6-n-04 能用直式處理除數為小數的計算，並解決生活中的問題。 | 6-s-04 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。（同6-n-12） | 6-a-04* 能在比例的情境或幾何公式中，透過列表的方式認識變數。 | ||
6-n-05 能作分數的兩步驟四則混合計算。 | 6-s-05 能認識直圓錐、直圓柱與直角柱。 | 6-a-05 能用中文簡記式表示圓面積、圓周長與柱體的體積公式。 | ||
6-n-06 能理解等量公理。（同6-a-01） | 6-s-06（同6-n-13） 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。 | |||
6-n-07 能認識比和比值，並解決生活中的問題。 | ||||
6-n-08 能理解速度的概念與應用，認識速度的普遍單位及換算，並處理相關的計算問題。 | ||||
6-n-09 能理解正比的現象，並發展正比的概念，解決生活中的問題。 | ||||
6-n-10 能利用常用的數量關係，列出恰當的算式，進行解題，並檢驗解的合理性。（同6-a-03） | ||||
6-n-11* 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。（同6-s-03*） | ||||
6-n-12 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。（同6-s-04） | ||||
6-n-13 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。（同6-s-06） |
五、參考資料