目 錄

0. 前言

1. 長度的思考

2. 長度的重要性

1. 數學結構

1. 長度的定義

2. 長度概念

3. 長度的種類

4. 度量單位

2. 認知結構

兒童對於長度概念的認知發展須經歷下列階段：

1. 第一階段之認知結構

2. 第二階段之認知結構

3. 第三階段之認知結構

3. 綱要結構

4. 教學策略

5. 應注意事項

6. 參考資料

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零、前言　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（一）長度的思考

　　在教導長度這個概念前，我們常說你幾公分、這個桌子多長…諸如此類的問題，不知各位未來的教學者有沒有先思考過，這個長度的概念是怎麼來的？它的定義？它的由來？最早以前的人沒有尺，那他們又如何測量長度呢？我們常要求學生能做正確的長度換算，但我們本身有去思考相關的概念嗎？希望學生學到什麼？在教導學生之前，如何說服自己這個概念很重要呢？我想這也是教學者可以思考的幾個重點。

（二）長度的重要性

　　長度在五個主題「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」和「連結」的說明中，歸類在「數與量」的部分，補充說明中揭示了：「除了日常生活的重要應用外，量的學習也是學生學習連續量的入口，可以與有理數的學習相互加強。其中又以長度的教學最為關鍵：長度是學生保留概念最早成熟的量，也是最容易操作的量，長度的測量是分數與小數教學的自然入口，同時也是學習數線的典型模型。經由長度之經驗，學生學習如何在數線上作比較與加減運算，由此將整數與有理數徹底整合，作為日後學習負數、實數、幾何的基礎。」

1. 數學結構

1. 長度的定義

　　 ◎一般認知

長：兩端點之間的距離。
度：表示物質的相關性質所達到的狀況。如：長度、硬度、溼度、密

度、酸度。

　 ◎物理的觀點

　　　長度的標準單位自從遠古時代所使用的肘尺(指尖到手肘的距離)就一直是個重點。當然這種單位的可重複性和精準度是相當低的。對準確性的要求使我們目前將由氦氖雷射所產生出來的光在 299772458分之一秒所走過的距離定義為一公尺。但是在原子尺度中，這種尺寸還是過於粗糙。現在長度基本單位最精準的定義是由特別純淨的矽晶體在特定的溫度壓力環境下的晶格常數所定義的。這個定義的好處是可以在不同的實驗室中具有極高的可重複性。

◎感官的觀點

長度係直線段所具有的唯一屬性。直線段的經驗來自視覺與觸覺。由於人工物多具筆直的邊緣，因此兒童對於直線段應不陌生。直線段和另一直線段可以任意相疊。相疊後可以將直線的兩端任意延長，並在上面來回移動。此一事實構成直線段直接比較的基礎，將兩直線段的一端疊合，檢查另一端點的位置，就可以比較長短。長度是一維空間的度量。

2. 長度的概念

在空間中，質點從一位置移動到另一位置，花費最少的時間，或最少的能量，它所經過的路徑，可以加以量化，以與時間、能量、質量建立關係。另一方面，物質或能量在空間移動，常需要傳導的載體，例如電力輸送需要導線，螞蟻在空間中移動需要繩子，質量愈少的載體愈有利。這兩者是物質世界中，長度概念的由來。

• 直線與線段

• 直線：在幾何學中，直線若是相對於曲線的定義，則為兩點間最短的連線；若是相對於射線、線段的定義，則為從一點沿相反方向無限延伸的兩條射線所組成的圖形。直線的兩邊方向都可以任意延長，最重要的幾何形狀特徵就是兩段直線一定能處處疊合，事實上，只要用這個事實，就能區分直線與非直線。例如兩段同半徑的圓弧可以處處疊合，但不同半徑的圓弧則否。

• 直線段：簡稱線段，直線中任意兩點之間的部分。直線段可以相接成更長的直線段，這也是延長它的意思。直線段的相接是直線長的個別單位描述的基礎，將直線段接長更長的直線段就是直線段的合成，反之則稱為分解。

A B

直線段：A、B兩點間部份長度

• 直線段長的長短比較：

兩直線段之所以能直接比較，完全是因空間中的物件可以移動，而且，在移動時，直線段可以完全維持住，不會變形所致。

• 將A、B兩直線段疊合，則必然出現三種狀況：

1.A線段完全在B線段上。【完全包含關係】

A

如果兩者皆發生，則A、B一樣長。

2.B線段完全在A線段上。【完全包含關係】

　A

　B

　　　　3.A線段部分在B線段上，B線段部分在A線段上。

　　　　 【疊合兩線段其中一端點即可修正如1、2】

　B

• 直線段長的描述：

可以以一線段為基準量加以測量,而得其數值。

• 將乙、丙兩線段合成直線段，再與甲線段疊合比較，如果恰巧相等，則稱甲線段與乙、丙兩線段合起來一樣長。顯然多個線段的合成也是可行的。如果這多個線段皆等長，則此種描述稱為一線段去度量甲線段。

• 用乙線段去度量甲線段，幾乎都會剩下一段比乙線段短的部份。這時可以用乙線段的十分之ㄧ，再去度量剩下的部份。若又有剩下，可以用乙線段的百分之ㄧ再去度量剩下的部份，理論上，這個過程可以無限進行，最後得到甲線段是乙線段的實數倍的結果。在此關係中，乙線段稱為基準。

• 曲線段長的描述：

屬於非長線段的曲線，例如圓周、或橢圓周，其長度的描述必須用到極限過程。一般的方法是在曲線上取一些點，包括曲線的端點，然後把這些點用直線段依次相連。如果取的點愈來愈多，則所連成的直線段的總長度雖然也會愈來愈長，但不會超過一個很容易決定的限度。數學上說，它會達到一個最短上限。這個最短的上限就被定為曲線長。

3. 長度的種類

• 有時長度是指平面上兩平行線之間的距離，或空間中兩平行面之間的距離。此時的長度描述立體實物在某一方向延展的範圍。

例 ：身高（高矮）、厚度（厚薄）、寬度（寬窄）、口徑（粗細）均屬此類。在測量此類長度時，我們所加入輔助的直線段一定要垂直於平行線或平行面。

測量注意事項：由於學生對於垂直平行僅據視覺和身體的運動覺經驗，而此類經驗又侷限於和某一日常可見的標準平行或垂直的情境，例如地面、水平面、桌子、長方形紙張或相對於自己身體的方向，如在地面上畫一直線讓學生畫出另一條直線平行於該線，此時學生通常會將身體正面調整至與你畫的直線平行，才會畫出另一條平行線。因此我們在量取此類長度時，要盡量與日常生活情境相容。

• 曲線的長度一定要拉直以後才能加以測量。但曲線物本身是不能拉直的。可用繩子複製長度的方式來說明拉直後再量的概念。

例：用繩子複製非直線物品像杯子外緣，然後再將繩子拉直。

4. 度量單位

1.普遍單位

（1）十進位度量衡制的命名系統：約定俗成，以北極經巴黎到赤道的子

午線長的一千萬分之一為一公尺（meter）。

（2）依度量衡國際標準制度長度以公尺(meter) 為基本單位 ：

1. 一公尺的十倍、百倍、千倍，．．．．．．等，稱為十公尺、百公

尺、千公尺。

2. 一公尺的0.1倍 0.01倍 0.001倍….等稱為分公尺、厘公尺、毫

公尺，．．．．．．等。

1000倍	100倍	10倍	1	0.1倍	0.01倍	0.001倍
千 公 尺	百公尺	十公尺	尺	分公尺	厘 公 尺	毫 公 尺

（3）在九年一貫課程綱要中，所使用各量的常用單位，係依據經濟部標準檢驗局於中華民國九十二年六月十三日，經標字第09204608060號公告修正之「法定度量衡單位及其所用之倍數、分數之名稱、定義及代號」。

　　　　　公厘會與公里在讀音上相混，而且日常不太用。所以我們按照中

　　　　　央標準局給國立編譯館的建議，試驗將毫尺放入課程中代替公厘。

　　2.公分尺的結構（一階單位）

　　　公分刻度尺是一階單位尺的結構，它們的特點是：

1. 刻度均在一條直線上，自0向右。

2. 相鄰兩刻劃之間的長度均相等，即為這把尺的使用單位。

3. 刻劃上所標示的數字，顯示從零刻度至該刻度之間所含的單位數。

【補充】毫尺的引入亦可以模仿公分刻度尺的方式，特別印製毫尺刻度尺，如此150毫尺長不過是15公分長。毫尺刻度尺雖非兒童日常所見，確有令兒童注意到單位不同所造成的效果。本課程最後沒有採用此舉，而將毫尺的引入做為測量1公分以下的長的單位。

　　3.普通的公分尺的結構（二階單位）

在一把普通的公分尺上，數字僅與公分單位有關，毫尺單位僅有刻劃而無數字。通常刻劃會稍加設計,使計數容易些，如將5毫尺畫長一些(普遍市面上賣的)。對三年級兒童來說，將普通公分尺視為以毫尺為基本單位，分公尺為其10倍單位，兩單位並存的尺是較容易的，而非以公分為基本單位，1毫尺為其十分之一長的單位，到三下時，我們將以普通公分尺的結構檢視，導入公分毫尺間的換算。

2. 認知結構　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

皮亞傑(Piaget)的認知發展理論認為人類認知發展由出生到成年分為下面四個階段：

1. 兒童對於長度的概念的認知發展須經歷下列階段：

◎第一階段之認知結構

1. 長度啟蒙教學前的學童經驗

學童在長度教學的第一課之前，以有許多和長短有關的經驗，它們是視覺的，以及行動的。較短的物件，眼睛掃描較快，較長的物件，需要較長的掃描才能完全看完，有時除了眼球轉動外，還需要頭的轉動，例如在月台上看火車，在剪或貼東西時，較短的容易做，較長的不易做好，這些判斷可作為教學開始溝通的基礎，我們稱之為直觀比較。

伴隨著這些經驗的，是相關語詞的知識，如長短、遠近、高矮、厚薄、粗細等，教師可以透過具體實物或具體比出，強調或介紹這些語詞的使用，加強兒童對長度量的認識。在這過程中，教師介紹後面長度教學頻繁使用的物質媒介，如鉛筆、繩子、黑板的邊緣、長方體盒子的邊緣等，老師介紹時，應以手指尖沿著物品的一端徐徐移動至另一端，以增強兒童對直線段表徵之認識。

2. 直線段的表徵實物的認識

教師用「鉛筆的長在哪裡？是從哪裡到哪裡，用手指比比看。」討論到繩子時，一定要將繩子拉直。這些都是在認識可以表徵線段的實物，透過這些以及下述的直接比較，兒童逐漸將直線段抽象化，這裡抽象化的意思是指直線段可以互相疊合，它只有長短，它沒有寬度、厚度，它似乎是可以延長的。這些逐漸形成的概念，開始是無法令兒童描述的，但是只要例子夠多，描述得夠多，兒童自動會理出他們的共通之處，教師不必預設要逼出兒童一定得怎麼說。

3. 直線段表徵實物的直接比較結果的報告

此時兒童的手眼協調，要將兩實物的某部位疊合沒有問題，例如將拉緊的繩子和長方體盒子的邊疊合，疊合時，若出現前述的甲線段部分在乙或乙線段部分在甲的情況時，教師可要求學童共同解決此一困難。此時，對其端點的解法常常是自發性的。當兒童做完直接比較，兒童須說出，如繩子比盒子的這一邊長的結果報告。

4. 以遠近、高矮、厚薄、粗細作為報告結果的描述的直接比較活動

在比較兩本書或兩塊木板的厚薄時，真正在此的是兩平行面之間的距離，因為書本或木板基本上為長方體，所以此距離大致有一個直線段存在書本或木板的角上，且與書面垂直。若要求兒童以直尺的邊緣記錄其厚薄時，由於直尺的兩端的邊與尺緣是垂直的，因此這也符合幾何上的要求。總之，雖然在此時，兒童無法真正認識兩平行面之間的距離，但是活動是有意義的，且不會和以後的發展矛盾。

在比較兩小朋友的高矮時，真正要做的是，過頭頂做一平面或直線平行於足底平面，測量或比較兩者之間的距離。但是活動進行是以小朋友背靠背站著，其他同學在旁觀察或以一木板(表徵平面)頂住頭頂，以便在牆上做出記號，故與上段所述活動相同，都是有意義的活動，不致造成客觀的矛盾。

總之，以上活動之目標在連結長度與更多樣的情境和語詞，故在教學時間充裕時，是很有意義的活動。

5. 長度的複製

複製意指「在所談論的焦點上，原物和複製物是等同的。」例如，「在紙上畫出鉛筆的長」，此處複製物是一條用筆劃出的線，因為不是用尺協助畫出，所以不是很直。用筆畫出的線和鉛筆是相當不同的，但是就長度而言就是複製。複製是長度概念中重要的概念，但是兒童不必知曉此語詞的使用。高年級的學童從事各種複製活動之餘，必能覺察此類活動的模式。

最基本的長度複製為完整複製，上述活動屬之，尚有以繩子剪出和長方體盒子上指定邊的長或繩子做出記號，使繩子之ㄧ端至記號處和原物等長，亦可在木條的直線邊緣上做記號，以木條一端至此記號的長紀錄原物的長。

更進一步的複製為累積複製。就是用不同的物件頭尾相接成直線，並依次報告使用的物件。如果使用的是全等的物件，如迴紋針、鉛筆，或同等長的繩子，則為同長累積複製。同長累積複製是個別單位比較的基礎。

6. 彎曲物的長

彎曲物，如水桶的把手，或圓形繩之周界，或人身之腰圍或樹圍，都是以柔軟的繩子去複製其形後，再拿開拉直，作為彎曲物之長。此長與數學上曲線長須嚴格區分。後者是折線段長的和，不斷增加後的極限。

7. 長度測量工具的使用

小學生會使用到的長度測量工具是公分直尺及皮捲尺。公分尺也有做成捲起的形式，例如布尺。公分直尺上印有標識起點”0”每隔1公分寫下1，2，3，……的數字，各個數字標在垂直於尺緣的短直線段的直下方或緊臨於其側方，這條短直線段及其對應數字x，稱為刻度x公分。除了這些刻度外，在相鄰兩刻度間，另有9條較短的垂直於尺沿的直線段，一般不再另標數字，它們是毫公尺刻度。由於這些刻度都是印在尺面上，較厚一點的尺容易造成視線方式判讀尺面上的刻度與欲測量的紙上線跡的端點在疊合上的誤差，因此宜建議學生使用較薄的尺，或使用透明尺，並將刻度數字反印已透過透明尺的方式判讀。這種公分尺也常印在三角板的邊上，它們兼具畫直線段的功能。

皮捲尺上有公尺及公分兩種刻度，公分刻度上可能每隔10公分才會標上10、20、…90的數字，再以不同的長度區分5、15、25…95的刻度及其他公分刻度。公尺刻度的數字常另加上表示公尺的縮寫”m”。使用這些數字的方法如下：從刻度”0”到刻度x的長是x公分或x公尺或x公尺x公分。

長度測量工具的使用可以是為完整複製的活動，但紀錄方式為把端點的數字記下來。

◎第二階段之認知結構

1. 長度保留概念

(1)長度保留概念是什麼？

對能夠運用直接比較活動以了解兩實際物件的長短比較的學童，是否相信如果此兩物件沒有任何明顯的增損，比較的結果就一直可以維持？亦即不論何時、何人、何處再做幾次，結果都相同？其次是比較結果的遞移律的建立。如果A、C兩物等長，即A=C，又C=B，學童是否願意接受A=B的結論呢？還是堅持要做直接比較？同理，若A>C且C>B，是否願意接受A>B的結論？其次是先知道A=C，然後把A分割成幾份，再問學童是否願意接受，把這幾份合起來的長，仍然和C一樣長？

(2)長度保留概念的促成

讓學童就固定一物進行複製，但改變時間、地點、方式、媒介面得到多個複製物，然後令學童就複製物是否等長進行意見的發表和辯論後，進行直接比較，如此學童的保留信念受到衝擊，應有促成之效。對遞移律及分割後再合成之保留性，亦可仿照進行。另一方面挑戰長度保留概念的是人類天生的某些視覺上的錯覺，以及向「十元硬幣比五元硬幣面積大很多」所以長度也會「大很多」的錯誤直覺推理。例如明明垂直線和水平線一樣長，可是看起來，垂直比較長，教師可以利用此種錯覺，透過討論以檢驗學生是否具備保留概念。以上運作除了透過複製，亦可使用測量工具來進行。

【補充】量的保留概念：

建立量保留概念的積極因素是物保留概念。即量沒有添加或拿走，此量不會改變。妨害的因素則有來自感官的錯覺，以及兒童缺乏互補概念所致----

a. 初步概念：透過感官感覺一個量；能對兩個同類量作直接比較；能以整體、合成複製的方式複製一個量；利用刻度尺描述一個量。

b. 間接比較：對無法直接比較的兩個同類量，透過複製一個媒介量，利用此媒介量與另一量進行直接比較，並把比較的結果推論成原兩量比較的結果(含量的保留概念、量的相等、大小的遞移律)。

c. 個別單位：從等量的合成、複製的結果來描述一個量，並進行比較。能利用普遍單位之描述，對兩個同類量進行加、減、乘、除運作。認識各類量的基本普遍單位(如長度的米、厘米、千米；容量的公升、分公升、毫公升、千公升；重量的克、公斤、千公斤；面積的平方厘米、平方米、百平方米、千平方米；體積的立方厘米、立方米；角度的度)。

基本單位量的十分之一，百分之一的量的制定，是等分割的結果，但是量的等分割是一種精密工業的專門技術，因此這個階段的教學，完全以將低階單位量加以累積至與大10倍或百倍、千倍的高階單位量等量的方式，來建立甲普遍單位量與乙普遍單位量的關係

4.單位化聚：將用小單位描述的量，改用大單位來描述，這種運算叫做『聚』。如：12345公尺可聚成12公里345公尺或12.345公里。反之則叫做『化』。如：1.65公斤可化成1650公克。

2. 公分刻度尺和公尺刻度尺的結構

學童認識公分刻度尺的活動分在第一和第二階段。在第一階段時，把它當怪尺，注重的是使用及報讀，只要有複製能力即可執行。第二階段則注重相鄰刻度間的等長性，以及刻度旁的數字係指個別單位的累積。詢問學童「可否運用斷尺，少了”0”至”1”的刻度之間的部份的尺來測量？」可以檢驗兒童是否仍能以個別單位的累積的概念來使用公分尺。

3. 從個別單位到普通單位

1公分、1公尺是很抽象的名詞，相反的，一個白色積木的長，或一條木棍的長就很具體。這也是個別單位和普通單位最明顯的區別，否則，一般成人必知，普通單位不過是個別單位的一種。因此要使學童接受普通單位，須經兩階段，第一階段是透過具體的長度為1公分或1公尺的實物，這個實物宜有獨特性，且學童能具體接觸可產生恆久印象者為佳，故1公分以使用白色積木最佳，1公尺則可用步尺，綿繩或木尺，確定後，不要再改。

使用時的溝通以x個1公分或x個1公尺為之，雖然手上操作的仍然是白色積木或木條。第二階段是能掌握1公分或1公尺大概有多長，通常是以手勢表出食指與拇指間的空隙寬度為1公分，而以兩手臂向兩側張開，以兩平行手掌之間的距離表示1公尺。

4. 實測

最基本的實測是以直尺或拉直的皮捲尺去疊合直線物品。但是實際地測量有許多技術性問題，實測長度的技術性問題的地方不多。惟一提到的是要求學童以15公分尺去量報紙的寬，學童必須分三次量，再加起來，但是把技術性問題交給老師權宜處裡。

又如有些尺，刻度”0”的位置不一樣。有鐵環的皮捲尺，其刻度”0”未標識，因為它是在體環的外緣。老師可能會疏於注意學童在測量前不一定做檢查及調整。

5. 估測

其實，小學生無法具備用長度估測解題的能力，只能夠說經驗估測，以及培養估測或動中所必須具備的基本事實的掌握。許多估測活動的產生與生活或職業需求有關，例如警探從房間或皮箱外部及內部察看，以判斷牆壁或皮箱內外層之間是否有夾層可藏東西。

普通人可用步測以決定從捷運站出口到辦公室應選擇哪一路徑。步兵必須直接以目視判斷目標與自身之距離以調整步槍之瞄準標尺。

本課程採用先猜後量的教學策略，但沒有進一步讓學童討論到猜的原則或依據，而且「猜」只是來自教師的布題，本身並未有合適的需求感。

生活上常見需要以繩子綁紙箱的活動，判斷繩子是否夠長可作為估測的布題。學者常以「截割」的出現與否來判斷一個人是否具備運用估測解題的能力。截割即以一熟悉之長度，去逐段減去預估測之長度，且以目視，心象或身體活動為之。

6. 公里

對現代的高年級學童而言，公里的確是生活中容易經驗到的名詞，其原因來自人類旅行經驗的頻繁。例如：飛機飛在數公里的天空、通車的學生每天到數公里至幾十公里外的學校上課、親戚住在幾百公里車程的城市、越洋飛機飛越數千公里的距離。其實公里的量感也來自這些經驗，因此此種經驗決定孩子在公里量感的差異。

在校園內以折線方式經驗一公里，仍然不如以一條筆直的道路上從一點到1公里外的另一點的距離來得印象深刻。設計在校園內經驗1公里的步程，純是為了教學方便與安全考量。

7. 化聚

公分和公尺這兩個單位獨立地提出，可以說沒有什麼選擇的餘地。一來一公尺和一公分的長相差100倍，太多了。如果只差10倍，那還可以用分割的方式。其次，在國際標準制度提出來之前，大單位和小單位的制定，完全與十進位無關，有時是為了求二等分的方便，如一斤等於16兩，有時會和12有關，這些對孩子而言，不見得有什麼意義。

提出用公分的累積與1公尺比較，是個適切的挑戰，值得讓孩子試試。白色積木也夠多，累積的效果也不錯。如此即得100個1公分和1公尺一樣長。再用布尺或皮捲尺看一下，做為檢驗。此時用100公分=1公尺的等號是有對稱性的，亦即1公尺也和100公分一樣長。但是到了化聚時，等號變得有方向性，100公分=1公尺，解釋為100個1公分合起來和1公尺一樣長。1公尺=100公分，解釋為，1公尺可以分解為100個1公分。趁著等號對稱意義確定後，可以溝通不等號的使用為比較長和比較短的關係。

對1公尺及1公公有正確量感的學童，對化聚應該很容易，雖然我們不堅持學童要熟記換算的當量，但學童如果知道，只有10，100，1000三種選擇時，就不容易錯了。

化聚可以大致區分成簡單化聚、整數化聚及小數化聚。簡單化聚就是和整公尺、整百公分，或和整公里、整千公尺，或和整公分、整毫公尺，之間的化聚。整數化聚就是複名數化聚。小數化聚即複名數或低階單位量改用高階單位的小數倍的轉換。

1公里即1000公尺，是由1公尺的累積來的。毫公尺可以透過1公分的十等分定義。但是在82年版實踐教材也是獨立呈現的，再透過累積，聯絡它與公分的關係。

8. 數線結構的認識

和數線結構相關的活動包括部分學童自發地用線段圖表達正整數加減問題中的部份—全體關係，統計圖表中表示數量的軸，刻度尺，鐘面及秤面上的刻度盤，表達昨日、今日、明日關係的時間之軸，以及表現兩量的倍數及倒數關係的線段圖，因此數線結構對學童應該容易溝通，故教材的設計重點應該放在需求感上，要求學生把1/5、2/5…5/5…6/5…5/15標在數線上，一方面比整數數線往實數數線目標更進一步，一方面有助於掌握假分數和帶分數的關係。

此外，公路、鐵路里程碑的設置的介紹也是連結數線的好方法，同時也聯結了生活。

9. 在長度與線段圖表徵上，線段圖表徵應分成三個階段：

1. 實際表徵：畫出真實的長，因此兒童在簿子上無法表示：3公尺＋5公尺＝8公尺。

2. 呈現比例的表徵：任取一線段l表徵1公尺，而以l長的X倍，表徵X公尺，開始時，可以由老師來約定，例如說，「讓我們用5毫尺來表示1公尺」，但是對不同問題，老師要注意偶然換個比例，最好是針對不同問題的需要。最後，讓兒童自己去決定。

3. 可以忽略比例的示意表徵：此時兒童知道可以不按比例來呈現關係，只要不妨礙尋找解題所需要的運算或轉換。此時已超過小學程度了。

◎第三階段之認知結構

1. 小數化聚

公分和毫公尺之間是一位小數化聚，公尺和公分是二位小數化聚，公里和公尺之間是三位小數化聚。小數之認知源自分母為10的乘慕的數的另一種記法，因此小數化聚也藉著分數概念而來。1公分=10毫公尺，故1毫公尺=1/10公分=0.1公分，藉著此一關係，把整毫公尺視為0.1公分的整數倍，若為複名數，則把整公分部分另外處理。例如：18毫公尺=0.1*18公分=1.8公分。3公分5毫公尺=(3+.0.5)公分=3.5公分。其他的二位、三位小數化聚亦同。

2. 比例尺

比例尺的用法就是以地圖上的多少公分表示實際地面的多少公里，再把這種方式的記號表示出來，前者常以線段圖實際表出。

3. 綱要結構　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

4. 教學策略　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（一）直觀比較

在國小低年級階段，兒童主要是以知覺（眼球掃瞄物件運動的感覺）來比較兩個差異明顯的物體，比較兩物的長短，並透過日常具體實物的操作經驗，來認識並描述該具體實物的長度，也藉以引入長短、厚薄、寬窄等語詞的意義。例如：兩枝鉛筆雖然顏色、重量、粗細不同，但長度卻可以相同，老師可以拿兩根不同顏色而長度相同的鉛筆，讓學生分析這兩枝鉛筆的異同，或兩枝長度不同但顏色形狀相同的鉛筆，讓學生分析其異同。

（二）直接比較

在直接比較上，當兒童已能用知覺判斷兩物體的量之後，準備兩個不易用知覺判斷的物體，學童知道利用動手遷移（manual transfer）的方式將兩物體疊合以比較長度，先對齊一端，再觀察另一端，以較突出的部分比較長短。老師可以準備幾種比較的圖，例如：兩枝鉛筆有一端對齊、或兩端不對齊的圖，讓兒童討論哪一種方法是對的，以及高度的比較問題，學生可能會認為只要頭對齊就一樣高，如果老師呈現弟弟站在椅子上和姊姊一樣頭對齊，我們能不能說弟弟和姊姊一樣高？

（三）間接比較

間接比較是以大於或等於兩物體之第三物為媒介物（共同度量）以比較兩物體的量，也就是兒童利用媒介物量不可移動的兩個物體長度。兒童如能直接比較兩物體的量之後，可以準備兩個不能搬動的物體讓兒童設法比較，例如畫在黑板上的兩條直線，黑板左右兩邊的長度，或者前門與後門的寬度，如果兒童想不出比較的策略，可以提示他們：是否可以用一根棍子或繩子來做比較，或者說明有人用竹竿比較，讓兒童討論判斷何種方法較可行，理由何在。

兒童對於形狀固定的物體，如鉛筆、直尺、桌邊等等，能用第三物比較其長度後，可以讓他們比較曲線，如比較兩棵樹幹的大小，兩個人的頭、腰、手臂哪一個人的比較大。

（四）個別單位比較

個別單位的比較指的是選擇一個比兩物體小的媒介物作為單位以比較兩物體的量。例如：給予兒童新的刺激，假如我們沒有這麼長的棍子只有一枝鉛筆，能不能比較出桌子的長與寬？我們採取合作學習的方式讓兒童分組研究如何用一枝鉛筆、一塊橡皮擦來比較。在這樣的過程中，老師要注意學生是否因此形成一些重要概念。

1. 能形成單位概念，亦即兒童要知道用以比較的媒介物有固定的量

2. 為了方便比較兩物體的量，可以就手邊所見的材料做一適當的媒介物，例如：我們可以用我們的手臂、手肘、手指寬、鉛筆等等作為單位。

3. 用單位測量一物體的量時，一定要量盡，單位和單位間不能有空隙，不能沒有量到的地方。

4. 所用的單位越小，所測量的單位數就越多。

5. 個別單位比較的活動涉及保留性和加法性的問題，要讓兒童發現物體分割之後它的量是不會變的。

（五）測量概念

迷思概念：忽略線段起點對應0點左側，直接將末端對應尺上刻度當作答案。

教學策略：

1. 實物流程操作讓學生產生認知衝突－學童利用斷尺與直尺個別測出不同的長度，而產生認知衝突。

2. 利用同儕正反不同意見產生衝突。

3. 全班討論與歸納。

4. 給予大量試題範例，將學生的測量概念得以重新建立。

迷思概念：計算刻度數字個數而非區間個數。

下圖中的藍線長是( )公分

教學策略：

1. 實物流程操作讓學生產生認知衝突－學童利用斷尺與直尺個別測出不同的長度，而產生認知衝突。

2. 利用同儕正反不同意見產生衝突。

3. 全班討論與歸納。

估測概念：

迷思概念：對1公分的量感不足，錯誤估測的答案傾向低估。

請依自己的感覺在紙上，分別畫下5公分和8公分的線段長。

(不可以使用直尺！)

5

右邊為正確答案

8公分

教學策略：

1. 同儕之間使用不同的方式去估測。(例如：食指寬、橡皮擦、錢幣…等)

2. 利用方塊積木輔助操作讓學生產生認知衝突。

3. 讓學生實際利用直尺進行驗證(驗證剛剛自己畫的長度到底是幾公分)。

在此提供培養兒童長度估測與推理思考能力，讓兒童學會下列三種策略：

1. 使用參考物作為測量單位。

2. 透過疊合物體、切割長度單位、累積單位量，來估測長度量。

3. 使用長度單位進行測量並估算累積的單位量（Lindquist,1987）。

評量範例

2. 如圖，原子筆長為多少公分？　4公分4.1公分4.2公分

3. 玉山是臺灣最高的山，它的高度大約是4000□，□中應該填入何種高度單位較為合適？ ①公里②公尺③公分④毫米

4. 綁一個蝴蝶結需要6公分3毫米的緞帶，小花想做3個蝴蝶結，請問需要用多長的緞帶？ 6公分9毫米 6公分6毫米 18公分6毫米 18公分9毫米

伍、應注意事項　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（一）在教材的安排上

1. 簡單視覺的量感，大都會放在低年級開始進行，因為它的有些概念會成為其他量的基礎，例如長度的線性刻度是「稱重量」刻度的基礎。

2. 非視覺的量感的教材安排，大都會在中年級來處理。

3. 至於兩階單位或是內包量都會放在高年級這是量與實測領域的第一種---長度的第一次教學。教師一注意到我們的架構理念只是把工具的使用和對物理現象掌握其齊頭並進。長度真正的數量化是在刻有公分的直尺的標準使用後才開始。至於個別單位的使用，再上個階段的課程裡只是一閃及逝。其實因為它和倍數比例的概念及有關係，我們以後希望多利用它們。所以先把標準單位看成個別單位的一種來介紹，不強調需要標準單位的原因。我們注重正確量感的培養，所以在解題活動中，用繩子繞桌子和繞腰部的次數來經驗量感的掌握。

新課程中長度的低年級課程設計，注重兒童認知發展的次序。從假定兒童已知道什麼是長做教學起點，經歷複製、直接比較、間接比較、物長的累積物描述、公分尺的使用與累積結構、及公尺大尺的使用與累積結構等教學活動，最後預期兒童獲得長度的保留概念，以及使用公分尺和公尺大尺做實測的能力，和初步的估測能力。

然而直線和直線段畢竟是個抽象的幾何概念，我們必須確認兒童具備部分的直線段概念，因此設計將直線段從具體物上加以抽取的活動。例如：在紙上以線段表示鉛筆的長，用繩子複製課本和盒子的邊長等。

許多較細膩的測量活動，必須考慮兒童手眼協調發展的水平配合問題，可以達成目標的示範，常需要他們模仿著做。但是如果只是想做給他們看，則由於兒童的注意力被分散，而和我們教師要求的焦點發生誤差，這時便會失效。一個很有意思的例子是飛機艙內有關救生衣的使用示範。雖然空服員向各位旅客示範救生衣的使用方法，但遇真正需要使用時刻時，仍有眾多旅客不知如何使用，一來是因為空服員講解時旅客沒有注意聽，二來無實際操作經驗，難免知行無法合一。

直接比較直線長時，一端先對齊，再比較另一端的規定，在此時的教學特別重要。兒童可以接受這兩種兩段式的測量程序。觀察兩個端點的差距出入，再加以綜合比較；即使差距極為明顯，並非此時期兒童的能力所及。這是思考的周延發展的現象。

由於學生對於垂直平行僅據視覺和身體的運動覺經驗，而在量平面上兩平行線之間的距離，或空間中兩平行面之間的距離的長度時，此時的長度是描述立體實物在某一方向延展的範圍；此類經驗又侷限於和某一日常可見的標準平行或垂直的情境，例如：地面、水平面、桌子、長方形紙張或相對於自己身體的方向。如在地面上畫一直線讓學生畫出另一條直線平行於該線，此時學生通常會將身體正面調整至與你畫的直線平行，才會畫出另一條平行線。因此我們在量取此類長度時，要盡量與日常生活情境相容。

幾乎所有正常兒童都能分辨長的例子和非例子。因此不需要在「那裡有長」的討論上花太多時間。倒是有些兒童的例子相當有深度，例如：操場跑道的長。遇到這類例子時，教師可以記錄下來，做為日後的發展之用。

2. 學生的迷思

1. 直線段實物概念的形成,剛開始是無法具體兒童描述的。

2. 小學生無法具備用長度估測解題的能力,只能用經驗估測。

3. 學生可能會隨手比出身體寬度不到的長度。

4. 學生在比長短的概念上會因視覺上的錯覺而混淆比較，忽略比較是必須要齊頭式才能做比較。

陸、參考資料　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1. 九年一貫數學能力指標的詮釋--長度與面積，陳光勳，93年8月

2. 學童長度、面積與體積概念調查及診斷教學(II)，陳光勳

3. 國小數學教材分析-長度，楊志章

4. 林宜臻數學園地-學長姐作品範例：http://jen.naer.edu.tw/

5. 學習加油站：http://content1.edu.tw/

6. 長度的定義http://scc.bookzone.com.tw/sccd/news.asp?ser=106

7. 長度的由來http://nspm.ilongman.com/student/artical/artical_03.asp

http://nspm.ilongman.com/student/artical/article_09.asp