教育部臺灣省國民學校教師研習會八十七學年度研究成果報告
主體性學習之探討—
以擴大圖．縮圖教學設計為例
報告人﹕林宜臻
e-mail：[email protected]
[http://www.naer.edu.tw/study/math/jen/][http://residence.educities.edu.tw/iestmath1/]
國立教育研究院籌備處(教育部台灣省國民學校教師研習會)研究組
中華民國八十八年十二月
謝 辭
首先必須感謝提供良好研究環境，讓筆者徜翔遨遊的歷任研習會主任，以及提供三年的出國進修獎助，讓筆者專業技能得以精進的國科會。又羅主任清水對研究人員不遺餘力的支持與指導下，方能使拙著得以順利問世，而能與教育先進分享研究心得。
當然還要感謝的是令人景仰的林福來教授﹑甯自強教授及崔前主任劍奇，在他們的智慧薰染，讓筆者視野更宏觀、思路更清晰，觀察更敏銳。還有，研究室的一群好夥伴們的無所不談、分享及小烈﹑君毅﹑駱遜﹑浩博﹑茂在﹑錫祿…等諸位的協助、鞭勵，促使筆者在研究進行時，得以更順利﹑周延，又林研究員錦英常在筆者沮喪時，予以關照、鼓勵與指導。研習會的同仁們，對於筆者的厚愛有加，也真有說不完的感謝。
在日本進行的研究部分，要感謝指導教授宮原 修教授的犀利指正。此外，讓我及時掌握日本數學教育脈動及現場的是日本文部省(教育部)初等教育課的前任數學科調查官清水靜海教授的周一例會、現任數學科調查官吉川成夫教授及多摩教育研究所小島宏所長的落合例會。又，日本數學教育界名師羽中田彩記子、星野征男及桑原健、藤井瑞枝、關根 綠等位老師，讓筆者長期觀察，獲得教學上的啟示。
在台灣進行的研究部分，感謝好友孫主任崇英、胡主任愛桂的鼎力相助及曾阿滿、吳佩琳、吳奎書、王興家、楊枝青、石美雪、謝玉星﹑陳瑞香﹑姜梅珊、蔡季宴﹑陳秀娟﹑李淑珍﹑陳素卿﹑蕭素惠﹑江慧英﹑鄭芳枝﹑陳秀鈺等位老師，慨然協助實驗的進行。
最後要感謝我的家人，身為人女、人妻、人媳、人母的我，若非有個一直很疼我的寡母，與無時無刻關懷筆者的外子，還有另一個也很疼我的媽媽─婆婆，以及非常懂事的子容與煥棋，他們毫無怨言地支持，勢必無法在研究工作盡情衝刺。還有非常非常多的感謝，這一切的一切，都將銘記在筆者的心中。
主體性學習之探討—以擴大圖．縮圖教學設計為例
e-mail：[email protected]
http://203.71.238.183/http://residence.educities.edu.tw/iestmath1/
國立教育研究院籌備處(教育部台灣省國民學校教師研習會)研究組
摘 要
本研究旨在探討主體性學習模式，其中主體性學習係指學習者學習時，是否主動進行數學本質概念的操弄。Vygotsky的近側發展區(Zone of Proximal Development)意指兒童的成就與真正能力間存在的可發展空間，主張「成長步隨著教育的痕跡展開」。植基於此，本研究主張「經由數學本質概念的追問、形成性評量式小組討論及形成性評量，將促成主體性學習並形成概念。」。
本研究分成教材內容(含活動)設計及實徵研究兩大部份。教材內容設計的部份，首先分析不同教材組的擴大圖、縮圖教材內容的編寫方式，編擬擴大圖、縮圖的教材內容與活動設計。第二部份則採實徵研究方法，以瞭解筆者提出之主體性學習模式下，對增進擴大圖、縮圖概念的理解度及主體性學習的可行性。其型式為不相等實驗組對照組設計。研究對象的實驗組係台北市一所公立小5年級全體學童，使用筆者設計之教材;對照甲組為同一所公立小6年級全體學童，使用國立編譯館設計之教材;對照乙組為一所附小6年級全體學童，使用某實驗課程之教材。筆者設計之教材內容與活動設計的部份，以數學本質概念的追問、形成性評量式的小組討論及利用核答透明片、提示單自行修正的形成性評量等活動構成。教學設計中，強調由自行關係發見形成初步概念，爾後經由小組討論﹑自行修正等形成性評量過程，形成概念及技能。本研究假設筆者設計之教材內容，將促成實驗組的學童在擴大圖、縮圖的概念掌握、周延性、繪製方面的表現，優於對照組的學童。
本研究發現﹕(1)實驗組的公立小5年級學童在擴大圖、縮圖概念掌握上，不但不遜於對照組的附小6年級學童，平均得分都高於對照組同校公立小6(p<.05)，且中位數高於對照組，分散度亦較為集中。(2)就擴大圖、縮圖概念周延性而言，實驗組的學童在判別擴大圖、縮圖時，較對照組能同時指出「對應邊長成比例」及「保角」之條件。其中，實驗組指出「保角」的學童，多於對照組。(3)擴大圖、縮圖「對應邊」「對應角」繪製的準確性，實驗組優於對照組。(4)學習過程中，實驗組對於「因為和小組同學討論，所以更了解」「因為有自己核對答案的透明片，所以更了解」「因為有提示單，所以更了解」「因小組的討論，所以學會」「容易懂而且有趣」等項目，較對照組持肯定態度(p<.05)。研究假設獲得支持。
Applying Formative Evaluation to Bridge the Gap of Math Instruction and Active Process
─ the Learning of Extended/Reduced Drawing ─
Yi-Jen Lin
e-mail：[email protected]
[http://www.naer.edu.tw/study/math/jen/][http://residence.educities.edu.tw/iestmath1/][http://mail.tku.edu.tw/jen/]Department of Research
Taiwan Provincial Institute for Elementary School Teachers' Inservice Education
Ministry of Education
Abstract
There is an apprent gap between instruction and active learning process. That the teachingmaterials combine with social interaction based instructional skills canfacilitate students in fully understandingthe essence of extended/reduced drawing. The mainpurposesofthis study were：(1) to examinethe writtentextsoforiginalmaterials on extended/reduced drawing,(2) to redesign the materials and evaluatethepossibilityaboutincreasingthepupils'comprehensionof the essence, (3) to generate a model tofacilitate students in fully understandingthe essence.
TheMANOVAwas employedintestingthedifferences among groups. The experimental group that included 140 fifth graders used the researcher’s redesigned materials. 205sixth graders of the same school usedthe origin materials became the contrast group. One experimental material was taught to 226 sixth graders of the other schoolas the second contrast group. It is assumed that the teachingmaterials combine with teaching methods: “reason why”﹑”formative evaluation”﹑”group discussion based formative evaluation” can support the implementation for effective instruction. The findings revealed that these innovative materials can assist teachers who employsocial interaction based instructional skills to promptstudents’ fully understanding of the essence on math. In other words, the key to effective instruction is the material with formative evaluation thatbuildsthe essence into the process. Furthermore, instead of individual and passive learning, students’ social interaction activities are increased through the group discussion based formative evaluation.
Keyword:extended/reduced drawing、active learning process、fully understanding、reason why、group-discussion based formative evaluation、formative evaluation、learning materials
主體性學習之探討—以擴大圖．縮圖教學設計為例
目錄
表目錄
圖目錄
圖表目錄
主體性學習之探討—以擴大圖．縮圖教學設計為例
第一章 緒論
本研究採理論與實用之觀點，從事有關主體性學習模式之探討，並進行實徵研究瞭解其可能性。本章分別就問題的背景與重要性、研究的目的、研究的範圍與內容，臚陳於後：
壹. 研究問題的背景與重要性
碩士論文1時以「精熟學習理論的意義與問題點」為題，日後的研究偏重於如何使小朋友獲知。實踐中，深感小朋友的學習態度與思考，受制於學習活動進行方式的不同，小朋友「會未必懂」，然而知識的量已無法因應社會的瞬息巨變﹐適應未來社會變化的資質能力培養的前提下，以學習者為主體的活動進行方式，蔚為主流。日本於平成元（1989）年的新課程中，將新學力（主動學習及思考力﹑判斷力﹑表現力）的養成列入課程發展的目標。我國82年的課程標準的總綱中亦將主動學習、思考、創造及解決問題能力等列入目標。國小教科書審定2時，在「教育哲學之理論取向」的評鑑標準中，也以教材內容是否引發學童思考、發表、批判等習慣; 是否由學生的自然想法出發，逐步由活動中形成概念; 抑或是直接示範明確做法而較少讓學生思考等觀點加以評鑑。如何落實於課堂，實有必要作進一步的探討，倘若從缺，將徒有口號。
「智商是鐘狀分配，所以班級學習狀態呈鐘狀分配」的信念，被視為當然時，意味著教育並不能提昇人的能力。Bloom3強調教育的可能性，主張除了特定種類學習特別無能的5%外，小朋友的表現分配，應該是通過預期目標居多的負偏態。Vygotsky4的近側發展區(Zone of Proximal Development)意指兒童的成就與真正能力間存在的可發展空間，主張「成長步隨著教育的痕跡展開」。教學的功能固然在支持學習者內在運作歷程，但也可能因教學處理方式的不當，抑遏小朋友的智能發展。小朋友無法從事主體性學習時，甚至教師無法從現有教材中體會如何運作時，是不是也該問課程的設計是否適切。
教學方案一般而言有三5：（一）教師自行發展(teacher development approach)；（二）課程─教法途徑(curriculum－method approach)；（三）教師發展與課程發展兼容並蓄。教材是老師最倚重的教學工具，加以很多老師常照本宣科，教材內容安排及呈現，直接影響學童的學習，教科書的內容撰寫相形重要6。課程與教材教法緊密契合，將俾於大規模的推廣，以確保學童的學力水準。課程設計之際，若能進一步將教法等與課程結合，教師負擔甚重的今日，不但俾於課程之落實，亦益於推廣。
貳、研究目的
根據前述研究背景與重要性，本研究有如下目的：
一、以主體性學習的觀點，檢討教材內容的編寫方式。
二、從事實徵研究以瞭解筆者提出之主體性學習模式下，對增進擴大圖、縮圖概念的理解度及主體性學習的可行性。
三、提出主體性學習之模式。
參、研究內容
基於上述的研究目的，本研究包括五大部分：
（一）緒論：說明研究問題的背景與重要性、研究目的、研究立場與內容。
（二）理論背景與研究立場：綜合整理教學法的有關研究文獻，比對擴大圖、縮圖現有教學活動設計，作為擴大圖、縮圖教學活動設計的理論基礎。
（三）研究設計與實施：說明本研究的研究問題與假設、研究方法（實驗設計、研究架構、變項、研究樣本的選取、研究工具的選取與編制、實施程序、資料的處理)。
（四）統計結果分析與討論：就本研究之結果說明，並加以分析與討論。
（五）研究結論與建議：摘述本研究的發現及結論並提出建議。
第二章 理論背景與研究立場
本章旨在綜合探討有關研究文獻及檢討擴大圖﹑縮圖現有教材內容呈現方式，作為擴大圖﹑縮圖教學活動設計的理論基礎；此外，教材內容安排及呈現方式，直接影響學童的學習，因之，筆者同時探討增進課文理解的技巧，作為教學活動設計及教材內容版面呈現之基礎。茲分述如下：
壹﹑教材與教學活動設計的理論基礎
一﹑主體性學習模式之探討
廣
岡亮藏的模式如Error: Reference source not found所示。廣岡氏7認為學習者引發分析力，認知環境中諸要素時，要素知識方才成立，而動用綜合力時，認知諸要素間的關係時，關係理解方才能成立。強調知識、技術隨著自己本身是環境的被役或使役的角色而有所不同，重視有衍生力的學力。以態度為核心的廣岡氏模式，認為態度與環境互動時，知識方
才成立，但不宜強調主動的學習態度，而偏廢知識的抽象性(概念)、客觀性(文化的遺傳)，體系性 (邏輯構造)，亦不應因知識的體系性，而否認知識主動地把持。
左
圖2中，基礎的下半圓與非基礎的上半圓的區別是相對的雖其境界線不明確﹐但其基礎學力中，非僅是要素能力，同時也包括概括能力及態度。其中態度指「知的方面﹐以數理的角度處理事物的態度﹑綜合各種條件多面考察的態度以及知性地批判現實的態度。技能性地
批判現實的態度。技能的方面﹐係指有條理地計劃的態度﹑仔細執行的態度。感性的方面﹐係指想充分感受的態度﹑創新表現的態度」8。
(1)相對於其他三項能力，認識的能
力位於特殊地位置。
(2)將社會的能力視為技術∙技能，比
喻成分居多，因此以括號呈現。
(3)箭頭表示相互的影響。
(4)用點圍住表示整體化。
相對於廣岡亮藏知識主動地把持，勝田守一的模式如圖3所示，以社交力、勞動力、感受﹑表現力、認識力捕捉能力。主張能力經由學問(科學﹑藝術)與教育的結合，將內含概念的語言，組織成可傳達的知識，依次加以學習。在「可計量」的限制下，雖促成教育目標的構造化、系統化，但由於態度難以計量，而被忽視9。而中內敏夫氏10以熟練度描述投入的程度，卻忽視了何種機制可以形成。
習熟習得 概念形成 主體性習慣意欲 (第三階段)
(第二階段)
(第一階段) 個性化的實現 價值的組織化 價值化 意念 興趣 關心 接受れ 能採取有慣性的行動 能控制行動 有自信地學習(學習 態度) 自我不斷地學習する 喜悅∙感動於成功∙發現 遵從指示學習 持有學習的意志をもっている 做任何事一定成功 てやってみよ 想嘗試在自我思考下運作 自己也能 嘗試做自己了解的事 我會了∙我懂了 根據指示運作りや 踏實地學習 應用 分析•綜合 法則∙原理的適用操作 事実∙用語∙法則∙原理的理解 場面操作 場面理解 (成功經驗) (予以動機) (情意形成過程)
(行動樣式的形成)
(學習的階段)
(認識形成過程) 【摘自中原克己(1983)。「到達評價的實踐」『現代教育科學』7月號】
中原克己的模式中，主張成功為成功之母，然而其成功來自忠於教師指示下運作的結果，剝奪學生自我解題成功的喜悅。學生的注意力集中於如何執行，而非形式化記號表現中的內含概念、關係的掌握。此種模式的運作下，與日本國立教育研究所的有關學生信念的報告11結果一致。該份報告指出，相對於參與國際數學教育調查的外國學生，日本的學生並不認為數學是自我發現、創造的學問。他們對數學持有的信念是，數學的學習幾乎全是暗記。
二﹑認識論的建構主義與方法論的問題解決型學習
(一)認識論的建構主義
傳統教法中，視個人的練習及教師與對象間的回饋為知識內蘊化的方法。皮亞傑的建構主義理論中，認為知識的獲得，並非直接經由外在環境吸收知識，而是個人內部的構成。即使兒童直接受教於他人，實際上是個人內部構成或經由記憶學習而來。急進建構主義12(radical constructivism)也是人類知識獲得的理論，其三個基本原理中的其中一項﹐認為知識的獲得是個人內部的構成﹐與前述皮亞傑的建構論相同，其他兩項的特徵是知識可存性(viability)原理與非客觀性原理，認為客觀知識不存在，知識並非個人擅自建構而成的產物，而是個人經由與實際世界、他人、自身既有知識的相互作用下，取捨選擇、修正後尚能留存的產物。
Cobb等13站在數學、科學提供客觀真理的立場，不同意急進建構主義的非客觀性原理，主張現存的數學∙科學知識為同意下的公共化真理。中原氏14主張數學公理、定義、推論規則是以整合性、適合性、機能性、效率性的觀點加以論爭∙協議，並經由言語∙記號明文化後的結果。以協定(agreement)捕捉，認為該客觀性雖不具有普遍∙妥當性，具有協定的客觀性。
Ernest15的社會建構主義(social constructivism)強調數學知識的社會性構成甚於個人構成。主張先由個人構成後，經由公開發表，反例∙修正∙洗練的社會過程，將主觀的數學知識變成客觀的數學知識。
總之，就知識主動構成的角度而言，急進建構主義、社會建構主義、Cobb及中原氏的論點，等同於皮亞傑，不同處在於前者們著眼於知識的社會過程化。Cobb主張數學教學是建構的、相互作用的，而其指導方法型態近於日本問題解決式教學16。換言之，建構主義的方法論是，是經由自力解決、多樣性思考、發表後琢磨等過程的問題解決式教學。
(二) 方法論的問題解決型教學
1960年代「數學教育現代化」失敗下，1970年代「回歸基礎（Back to Basics）」登場，徹底指導數學基礎∙基本的知識技能的同時，卻也流於知識技能的習熟。於是問題解決蔚為時尚。1977年，NCTM17(全美數學教師協議會)提出兒童畢業後生活實用的10項18基礎技能19，其中，問題解決是基礎技能的第一項。此外，對1980年代數學忠告的「An Agenda for Action」20的8個項目中，「問題解決是1980年代學校數學的焦點。」被列於首項。1989年發表的新課程標準21中，也將問題解決能力列成培育的重要目標。
Schroeder & Lester22將數學教育中的問題解決型教學，分成(1)有關問題解決的教學(teaching about problem solving)，(2)問題解決能力培養的教學(teaching for problem solving)，(3)經由問題解決的教學(teaching via problem solving)。「有關問題解決的教學」，教問題解決的策略，其指導目的在於問題解決策略的習得23。「問題解決能力培養的教學」，以培養問題解決能力為第一目的。「經由問題解決的教學」指數學的知識(概念∙技能）經由問題解決進行教學。其中「有關問題解決的教學」難以形成內容本質的想法與看法。「問題解決能力培養的教學」與「經由問題解決的教學」的區分在於前者的學習內容是適合問題解決的教材，後者的學習內容是數學知識∙技能。
今後的教育要求的是，自主性的思考、判斷、表現、行動的資質與能力問題解決能力的養成。週五日制實行在即，在有限的時間內，教問題解決的策略或單是培養問題解決能力，似乎窒礙難行。是以問題解決能力培養的同時，也應重視數學內容的習得，所以不應是「知識結果或知識過程」從中擇一關係，而是「知識結果且知識過程」，亦即本質的知識，並非以知識結果的型態給予，而是同時重視知識∙技能產生的過程。
學習過程 | 兒童的思考活動 | 學習素材 | 指導法的設計 | 兒童的自我發問 | 發問 |
問題把握 | 必須解決的內容明確化。 直觀力 | 多樣性解決的問題。 有解決必要性的課題 條件不足∙過多的問題 | 「什麼是已知」 「先求什麼比較好」 「有什麼奇怪之處」 | 用自己的話說說看。 | |
解決的計画 | 從既習內容（知識∙技能∙數學思考）選擇可用者，並對解決結果∙方法持有前瞻性。 情報處理力 | 在冒泡處寫出喃喃語•想法，以促使自身對話。 發現與既習問題可能的相關處。 | 「什麼能用呢?」 「什麼方法行得通呢?」 「可能會變成什麼樣的結果呢?」 「利用已知想想看」―演繹 「可能存有什麼規則，多收集些資料」―歸納 | 「為何那樣比較好」―合理性思考 「其他的比較法也嘗試看看」―追求更好法的態度 「什麼樣的方法可行呢?」―前瞻的態度。 「從前有否類似於此的經驗」—類比思考 「使用圖表示看看」―圖形化。 「換成簡單的數，試試看」―單純化 | |
實施與自我檢討 | 「是否更趨近所求的?」 「這種做法對嗎?」 「為何不能解決呢?」 「這種方法可以解決，還有其他的方法嗎?」 「如何表達才好呢?」 | 「為何如此就是好?」—合理性思考 「那個方法無論何時都能使用嗎?」―一般化 | |||
集體檢討 | 以合理的說明，澄清論點，引至更好的思考方式 經由集體檢討，接受他人想法∙做法的優點。 釐出自己的想法∙做法，追求更好。 表現力﹑判斷力 | 發問使注意類似點﹑相異點。 | 「自己做法中容易懂的地方是….」 「剛剛的說明，清楚了沒?」 「剛剛的說明，正確嗎?」 「能不能說得更簡單呢?」 「有否更好的方法?」 「相同（相似）的相法是哪些?」 「不同的想法是哪些呢?」 | 「你是怎麼知道呢?」 「為什麼這樣是正確?」—合理性思考 「根據什麼想?」―演繹 「能不能更正確地說?」―正確 「能不能更簡單易懂地說?」―明確 「所有人的意見都相同嗎?」 「有沒有人持不同的意見?」 「比較這些想法，有相近的想法嗎?」―綜合思考 | |
統整與活用 | 將學過之內容，整理成新的既習內容。 構成力 | 綜合掌握力﹑類似問題的解決﹑條件變更問題的解決。 設定回顧的場面，養成綜合掌握的習慣。 形成問題的學習。 | 「哪個是簡單的方法?」 「哪個是容易瞭解的方法?」 「今日所學之課題，學會了些什麼?」 「以往所學與今日所學，有否相同處?」 「至今所學，能用於何處。」 |
問題的理解
解決實施
相互琢磨
回顧
一般問題解決教學過程如表1及圖5，問題解決型教學中，包括了思考力(數學地思考)﹑表現力(操作﹑圖示﹑式子化﹑發表等能力)﹑判斷力(比較檢討﹑發現共通點﹑相異點﹑新點的能力)以及活用力(適切地使用既習的內容﹑思考方式，以解決課題或將既習事項能進一步思考的能力)等高次的能力。表1﹕船越氏等的模式中以多樣性解決的問題為學習素材，多樣性解決的問題雖利於集體檢討的方便性，但未必能同時獲得數學知識技能。
總之，建構學習具體化的必要而且不可或缺的契機，不是「教」而是「自我構成」。建構的認識論雖富時代意義，然其強調個人構成﹑發表﹑反例•修正•洗練等社會過程的目的，係將主觀的數學知識客觀化，並非從概念獲得的角度出發。至於方法論的問題解決學習階段的「集體琢磨」有待商榷。國外研究24指出，過去二回的國際調查，日本之所以有好成績的原因在於大家一起思考，思考•發表•集體琢磨的過程，此種過程被視為益於相互之啟發與提昇，其中，討論•議論的價值在於激盪出新的想法，甚於使自己的想法明確•深刻，然而，金本等的調查25中，小朋友認為充分思考很重要，自己也想思考，但是他們不認為思考後，有疑問或不明白處能豁然開解。況且，集體琢磨的過程中，往往發表者同一人，況且小朋友不易體會更高層次的策略，即使當下能體會，但在事隔幾日的後測中，又返回自己原有的策略26。小朋友無法使用高層次策略，受限於作業記憶體(working memory)27。亦即，小朋友使用之策略依附於所屬階段作業記憶體的容量。新策略獲得的前提在於或是增加作業記憶體的容量，或是策略自動化28。換言之，集體琢磨或許能得知他人之方法，然而相互學習未必能成立。集體檢討的階段時，即使能引出多樣性的思考，未能活用時，僅止於小朋友想法的介紹，或某一想法的灌輸。
三、如何教
（一）有效的教學
Sowel29分析60篇研究後，指出較之於抽象方式，具體教學(concrete instruction)益於學習，並有正向學習態度。Walberg et al.30指出雖然沒有單一的教學方法能適用於所有的教學，但是有效的教學有些共同的特徵，他們分析134篇概覽，包括將近八千篇有關中小學學生為對象的研究及教學研究的文獻概覽，發現提示(cues)﹑參與(engagement)﹑改正回饋與增強(correctives and reinforcement)等四項教學心理要素效果最高。其中「提示」係指將要學的以及怎麼學的向學習者解說，其品質之優劣見諸於教師所作的解說以及所編訂的教材是否清楚易見，是否把握重點。「參與」除了學習者主動而持續參與教學活動外，經常性的考試增加努力用功的機會及回饋改正的可能，相對地增多了學習的數量，且以小考比大考有效。「回饋」是指改正學習者的錯誤，若能即時發現並予以改正，助於教學目標達成，Thorndike指出只有練習並不會促進學習，但是有回饋的練習會促進學習31。Trobridge & Cason更進一步指出，得到詳細回饋的學生，比只給「對－錯」回饋的學生習得快速而且穩靠。換言之，雖然回饋可以被用來促進學習，然而回饋時，不應僅告訴他們「對」或「錯」，而應告訴他們做得正確或不正確的是什麼等回饋中所含的訊息。至於「增強」的價值在於提供學生進步的訊息，其中以立即與直接的力量大。
綜上所述，具體教學方式較抽象方式益於學習，並有正向學習態度。提示、參與、改正回饋與增強等四項教學心理要素，在有效的教學中，扮演了重要的角色。
（二）有意義的教學
教學目標應在於讓兒童能創造性的應用學過的東西於新環境中，Wertheimer指出相對於兒童經由使用公式找出答案的機械式記誦學習方式，經由理解而學習的兒童能夠解決遷移的問題。而結構取向教學法(structure oriented method)、發現式教學法(discovery method)以及歸納式教學法(inductive method)提供有意義的教學32。
1.結構取向教學法
結構取向教學法在於將概念轉換成具體模式，讓其它的事物與結構產生有意義的關連，不再只強調訓練與練習。
2.發現式教學法
相對於學生只負責傾聽，發現式教學法讓學生發現新原則和理念。研究指出純發現的效果經常需要額外的學習時間，學習水準低且在遷移和長期保持的表現也較差。說明式教法雖能學習到法則，但不能鼓勵學習者主動思考法則。至於引導式發現教學法，雖比說明式多花時間，但有較佳的長期保持和學習遷移。
3.歸納式教學法
演繹式教學法先把原則呈現給學生，歸納式教學法在學生歸納出規則的基本架構之後才呈現。Worthen指出歸納法在學習上比演譯法慢；但在長期保留及遷移上，歸納法優於演繹法。
總而言之，具體的教材、引導式發現活動、歸納式的呈現順序，可以鼓勵學習者在學習中變得較能認知涉入(cognition involved)，較容易產生問題解決的學習遷移。
四、增進課文理解的技巧
Armbruster認為一篇能增進讀者閱讀的文章應該是：(1)能幫助讀者選擇重要訊息；(2)能幫助讀者組織重要訊息；(3)能幫助讀者統整重要訊息；(4)提供正確而不相矛盾訊息33。Wang,Haertel & Walberg發現影響學生學習228個項目中，後設認知(meta cognition)是最主要因素，其次才是班級管理、教學品質、師生互動、教室氣氛以及同儕團體的影響。Brown的研究34指出，有效率的學習者閱讀時會：(1)澄清閱讀目的；(2)辨認文章重點；(3)將注意力放在重點上；(4)監控閱讀理解；(5)複習及自我省思等。因此，如何引導老師及學生即時掌握學習內容的目標與重點，應也是教材內容與教學活動設計上的重點。Mayer指出增進課文理解的技巧35如下：
(一) 具體的前導組體
Mayer36發現前導組體(advance organizer)將導致強而有力的學習遷移效果，而前導組體的設計上，事先呈現具體類比，對下一篇文章的學習與記憶有顯著的促進效果，West & Fensham37指出前導組體對背景知識分數較低者而言，能顯著提高學習效果；但對於那些分數較高者則不能。
(二) 文章組織的標示
標示(signaling)技巧是指在文章內安置一些非內容的文字，用以強調文章的概念結構和組織。Meyer38的研究指出，標示並不能幫助優秀的學生閱讀，但對一般、較差或低成就的學生卻有正面的效果。Loman & Mayer指出「標示」能加強與概念有關的訊息之記憶保持，亦即「標示」能引導閱讀者注意到概念性的訊息。鄭昭明39指出在一組學生給標題，另一組唸完短文後再給標題，最後一組則是先給標題再唸短文，結果顯示：事先提供標題的那一組記住較多的內容，另外兩組則沒有區別。亦即學習者雖已具備先備知識，如果事先未示之標題，仍然無助於理解學習，而閱讀前也獲知標題的受試者，其理解和記憶程度優於事後方知標題者。
(三) 附加問題
附加問題(adjunctquestion)可以提醒讀者注意重要問題，具有高效果（Walberget，1991），其功能包括「順向」和「逆向」效果兩種。前者提醒讀者閱讀其下面文章時會特別注意同類的消息；後者可以使讀者有機會再回頭看文章中的特定部份，使看到學習材料的次數增加。換言之，順向效果可以使我們對問題中所提到的訊息形式做選擇性的注意，而逆向效果則使我們對問題中所提到的特定訊息的注意總量增加40。Boker41的研究指出，如果教學的目的是要學生記得特定的訊息，則附加問題不論放在文章前或文章後都有效。Rickards & Divesta認為有意義的問題，使讀者將閱讀材料組織成一個綱要的結構，而不是記憶一連串的事實42。
總之，增進讀者閱讀的文章是：能幫助讀者選擇、組織、統整重要訊息及提供正確而不相矛盾訊息。此外，具體的前導組體、文章組織的標示以及附加問題有助於增進課文理解。
綜上所述，課程設計之際，除了內容本質的掌握外，教學活動設計中，融合有效的教學法下，應更有助於「教」與「學」。提示、參與、改正回饋、增強等四項教學心理要素，目前雖不流行，但仍為非常有效的方法；教學安排上，具體的教材、引導式發現活動、歸納式的呈現順序，可以使學習者在學習中變得較能認知涉入；教材編排上，能幫助讀者選擇、組織、統整與提供正確而不相矛盾訊息，以及具體的前導組體、文章組織的標示、附加問題等有助於增進課文理解。
以此觀之，我國的教科書中，概念學習上，未見教材與教學活動設計中，針對新學習的概念，施以形成性評量，若能於教材設計之時，能融合形成性評量與提供對策，不但提供練習的機會，是否也更能幫助老師及時掌握學生的錯誤概念，並讓小朋友獲得即時之回饋與增強?概念導入之際，是否應充份提供機會讓小朋友由發現及歸納中洞察圖形及其性質，讓小朋友更能認知涉入?教材呈現上，若能以對照方式並穿插標題與附加問題，是否讓小朋友更容易掌握及反芻所要學的內容?
五﹑現有教材的主動性
教師的示範及其之後的反覆練習，從學習效率的觀點而言，是一種快速的做法。然而，以被動方式要求時，學習者的主動姿態無法期待。
(一) T版的處理方式
T版的「擴大圖、縮圖」單元中，在兒童尚未掌握擴大圖、縮圖與原圖間構成要素的性質「對應邊長比一定」﹑「對應角度不變」時，就以下列方式處理﹕
「將右邊帆船圖在不改變形狀下，將各個邊長延長3倍畫出。
１將邊ＡＢ延長3倍，畫成邊ㄅㄆ。點C，D，E，F，G對應點，分別以點ㄇ，ㄈ，ㄉ，ㄊ，ㄋ表示，畫在下一頁的方眼紙。比較原圖與３倍的右圖的對應邊長及對應角。
２確認對應邊是否3倍長。
３比較對應角的大小。」
如上的指示下，按步驟進行活動，兒童將很快學會技巧，然而從培養數學思考是數學目標而言，T版的處理過程中，缺乏的是讓學習者主動掌握數學本質的過程。
(二) Ｋ版的處理方式
Ｋ版處理時，雖作圖前，先談及構成要素，然其以演繹法處理，先行定義，而後就擴大圖、縮圖與原圖間構成要素探討。其定義方式如下:
「ㄇ圖各邊的長都是ㄅ圖的２倍，我們說，ㄇ是ㄅ的2倍擴大圖。反過來說，ㄅ是ㄇ的
倍縮圖。」
以上的定義中，雖談及擴大圖、縮圖與原圖的對應邊成比例，這固然是必要條件，但並非是充分條件，亦即處理時忽略了保角的概念。Ｋ版對於概念形成階段的處理，係經由指示調查構成要素，在製圖的階段時，亦是經由方格紙，以指示方式，告知繪製方法，皆非由學習者主動掌握。
貳﹑研究的立場
父母的教導方式、社經背景、教師的風格、專業學識的背景；學生學習的風格、性別、先前的知識...，皆足以影響學生學習的狀況43。本研究，試想讓一些影響學生表現的變異量，卻非教育能改變(如前所述之家長的社經背景等)的變異量相對地減低。本研究先產生理論命題，並在實際情境的應用中，予以考驗或修正，其次藉由實徵研究，探討筆者所發展的教學活動設計於實際教學應用中能否獲得預期的效果，以探知發展的可能性。
教育心理學通常採取行為學派取向(behaviorist approach)與認知論取向(cognitive approach)，行為學派取向的研究專注於「教學操弄」(instructional manipulations)和「結果表現」(outcome performance)兩個變項間的關係，而認知論取向重視決定外在因素（如教學操弄和結果表現）和內在因素（如學習歷程、學習結果以及學習者的先前知識和技能）之間的關係44，雖然行為主義對任何複雜的行為，企圖簡化只採用制約作用來解釋，將人視為外在環境塑造的產物，走向機械論與外因決定論，而認知學派無論是調和理性主義與經驗主義的皮亞傑認知理論或是美國的訊息處理論，在基本上都是要解答「人何以能知？」「人如何獲知？」45。皮亞傑的研究，主張生物學構造的成熟是概念發達的要因，雖已指出各個發展階段的行為，然而什麼樣的外在條件促成，或什麼是決定性的要因，則不得而知。本研究基本上認為學生在什麼階段能理解、其理解方式如何等的探討，固有其參考價值，但人類知識表徵的複雜性難以捕獲，況且在大班教學的現況下，稟賦各異的學生集聚一室，亦是不爭的事實。
澀谷式的柬埔塞兒童智能研究46指出，智能測驗的得分與年齡不太相關，而與受教年數有密接關係，這意味著兒童的智能，並非是處於任何環境下，就自然地能充分發展，而是成熟與經驗相互作用，兒童的概念發展過程中，受著成人（社會）直接或間接的影響。
相對於皮亞傑的成熟說，Vygotsky批判兒童認知發展研究中的「發展先於教授」立場與「教授即發展」立場，主張「成長步隨著教育的痕跡展開」，強調發展中教育的主導功能，提倡「發展的近側區（zone of proximal development）」47，「發展的近側區」係指著兒童現有的發展與可能的發展間的差距，也就是自力問題解決下的兒童現有的成長與經由成人指導或較己優秀之同儕共同解決下的成長間的差距，認為外在活動是兒童內面再構成(interiorization)的機制，提倡教學引發兒童成長之說48。
本研究援引Vygotsky的鷹架（scaffolding）理論，視內醞化的過程，藉由外顯的設計，兒童的智能將獲得更進一步的發展。
此外，重視「經由問題解決的教學」，強調教學過程中，不是「知識結果或知識過程」從中擇一關係，而是「知識結果且知識過程」，亦即本質的知識，並非以知識結果的型態給予，而是同時重視知識∙技能產生的過程。
基於提示、參與、改正回饋與增強等四項教學心理要素，在有效的教學中，扮演了重要的角色，以及具體的教材、引導式發現活動、歸納式的呈現順序，較能認知涉入(cognition involved)，因此，教學活動設計時﹐上述之項目多加著墨。
總之，學生主動建構知識不能坐待其自然之發展，筆者援引Vygotsky「成長步隨著教育的痕跡展開」的主張，試圖經由課程內容呈現的安排，引導學生進行主體性學習。
第三章 研究之設計與實施
茲將本研究的研究假設、研究方法（實驗設計、研究架構、變項、研究樣本的選取、研究工具的選取與編制、實施程序、資料的處理）分述如下：
壹、研究問題與假設
一﹑研究問題與假設
本實徵研究之進行，旨在探討筆者提出之主體性學習模式下，對增進概念的理解度及主體性學習的可行性。針對該研究目的，本研究主張「經由數學本質概念的追問、形成性評量式小組討論及形成性評量，將促成主體性學習並形成概念。」，其研究假設如下：
假設１：主體性學習的實驗組學童在擴大圖、縮圖的概念掌握、周延性、繪製方面的表現，優於對照組的學童。
假設２：學習過程中，實驗組對於評量式小組討論及形成性評量，較對照組持肯定態度。
二、名詞的操作型定義
1.主體性學習：
指兒童本身在學習過程中，主動進行數學本質概念的操弄。
2.概念掌握：
指兒童在「擴大圖、縮圖概念學習效果評量卷」的整體表現。
3.周延性﹕
指兒童對於擴大圖、縮圖概念「對應邊成比例」﹑「保角」的掌握情形。
4.繪製﹕
指兒童繪製擴大圖、縮圖的對應邊﹑對應角的表現。
5.態度﹕
指兒童在「擴大圖﹑縮圖概念學習感想調查」中，對於「形成性評量式小組討論」及「形成性評量」所持的態度。
貳、研究方法
茲將實徵研究之研究設計、研究對象、研究工具等分別說明如下：
一、研究設計
本研究採實地實驗法(field experiment)，係因該研究法在真實教育情境進行，所得的教育結果較能用來解決教育情境中實際發生的問題，並基於不妨礙日常教學活動的前提下，採準實驗法，雖無隨機分派受試者，從合乎條件的學校著手。
二、研究對象
(一) 日本地區
日本地區研究對象如下:
班級代號 | EH6 | EM5 | EK4 | CD6＊ | CK6* | CH6 |
班級人數 | 19鋮 | 33 | 35 | 26 | 29 | 35 |
銪 Ｅ實驗組 Ｃ對照組 ４四年級 ５五年級 ６六年級 鋮考試當天，1名缺席。 ＊該兩名任課老師，都是T社教科書執筆者。 | ||||||
1. 實驗組
為瞭解最佳狀況時，學生的表現如何，實驗組的其中一班，不但是六年級，而且班級人數只有20人。此外，為檢驗Vygotsky的「成長步伐隨著教育的痕跡展開」，將此六年級教材的擴大圖、縮圖，提前於四、五年級進行，亦可避免課外補習影響學習效果判斷的準確性，所以實驗組的另兩班分別是班級人數35人的四年級，以及班級人數33人的五年級。
2. 對照組
對照組的學生，全是六年級學生，不但班級人數僅有26人及29人，而且授課教師，都是Ｔ社教科書的執筆者。此外，為瞭解一般狀況下，學生的表現如何，另一班班級人數達35人，與實驗組四﹑五年級人數相近。
(二) 台灣地區
台灣地區研究對象如下:
組別 | 實驗組 | 對照甲組 | 對照乙組 |
人數 | 140 | 205 | 226 |
特色 | 1.市立某小五年級全體學生 2.師資﹕ 陳師(輔導系) 蕭師(社教系) 江師(輔導系) 鄭師(大眾傳播系) 陳師* (護理系) *代課教師 3.使用筆者設計的教材、教學活動設計 | 1.市立某小(與實驗組同校)六年級全體學生 2.師資﹕ 謝 師(社教系) 蔡 師(特教系) 陳1師(物理系) 李 師(歷史系) 陳2師(社教系) 姜 師(數理系) 3.使用K版教科書 | 1.附小(某課程實驗學校)六年級全體學生 2.師資﹕ 曾 師(國文系) 吳1師(輔導系) 吳2師(輔導系) 王 師(數學系) 楊 師(普通科) 石 師(音樂系) 3.使用S版教科書 |
如上所示，實驗組的對象是市立某小五年級全體學生，與對照甲組學童選自同一學校，如此安排理由在於:(1)將六年級教材實施於五年級，可避免學習效果來自於補習班之教學，(2)對照甲組學童選自同一學校六年級學生，可避免學區之差異。選對照乙組的理由是附小的學生素質較市立小整齊，而且該年級學生自一年級起，一直使用強調建構的數學實驗課本。
三、研究工具
本研究重點在於教材內容與活動的設計以及實徵研究兩大部份，教材內容與活動的設計部份，根據文獻之探討編擬擴大圖、縮圖的教材內容與教學活動設計。實徵研究部份的工具，以「擴大圖、縮圖概念學習效果評量卷(p.97的附錄8參照)」及「擴大圖、縮圖概念學習感想調查(p.87的附錄4;p.88的附錄5參照)」蒐集所需資料。
（一）教學活動與教材內容之設計
教學活動與教材內容，筆者作如下之設計：
1. 活動設計原則
設計教材內容與活動設計時，以數學本質概念的追問、形成性評量式的小組討論及利用核答透明片、提示單自行修正的形成性評量等活動構成。教學設計中，強調由自行關係發見形成初步概念，爾後經由小組討論﹑自行修正等形成性評量過程，形成概念及技能。茲將主體性學習模式構成原則，陳述於後﹕
(1) 以自主性學習展開活動
在主體性學習的理念下，「過程參與」取代「灌輸」，以「問題解決」貫穿整個學習過程。在問題設定的階段，安排可發現之情境，讓學生經驗、察覺、釐清概念，進而瞭解。首先，讓兒童意識知識的有用性(p.75參照)之後，經由既習知識的活用，試著發現原圖與擴大圖間的法則關係。再經由反覆推論與嘗試錯誤，篩選出擴大圖、縮圖的決定要素(p.75參照)，最後確認先前發現的準確性。
(2) 自力解決後小組討論 → 小組討論中自我修正
課堂開始之際，若採集體指導形態，已經會的小朋友很快就提出結論，而留下理解力較差的小朋友。因此，給予充分的自力解決時間，讓小朋友有機會持有自己的想法以及回顧自己的想法與做法後，才安排小組或集體的形態，讓彼此的想法在相互激盪後，做自我修正。
(3) 根據理由的追問
智力之可變性繫於個體是否有機會學習運思性的知識，教學的流程中，小朋友的思考方式，隨著發問而改變，因此課文內容中，適時提出關鍵性問語，讓教師的教學法不再是「我說你聽」而是「我問你想、你說、你做」。根據理由的追問下(p.77等參照)，小朋友不得不擁有自己的想法，形成易於討論的局面，而且養成表達意見時，說理的態度。
(4) 評量指導一體化
Leinhardt49指出專家教師具有診斷和補救的能力，能夠了解學生成敗的原因；生手教師則往往依學生的表現結果來解釋其成就，而較少於教學進行中評估學習，職是之故，教學活動過程中，若施以俾於主動參與•積極參與•持續參與的形成性評量﹑形成性評量的小組討論，能協助生手教師於教學進行中診斷和補救。因而，本活動設計中形成性評量用的提示單(p.99參照)，使得鞭長莫及的兒童，能自己藉由提示單與舊知識連結，解決課題；附解答的OHP(p.77參照)則提供即時自我修正的機會；形成性評量的小組討論，由於人數較少，較容易有更多機會就數學本質概念探討，獲得即時的確認，釐清個人想法的妥當性。
職是之故，筆者設計教學活動與教材內容時，將形成性評量﹑形成性評量的小組討論，穿插於整個教學活動設計中，首先提出擴大圖、縮圖的線索或提示（提供發現的機會）；在小朋友仔細觀察後，提出關鍵性問語，引導學生釐清擴大圖、縮圖概念的屬性並發表擴大圖、縮圖的特徵（誘發表現）(p.75參照)；之後，予以擴大圖、縮圖的定義（形成概念）(p.75參照)；並施以形成性診斷評量，以能區分概念的正例與非例(non-examples)方式佈題(p.76參照)，讓兒童對主要問題做反應（回饋治療），幫助學生將所學的概念達到理解的認知層次；並要求小朋友表現相關技能（確認概念）(p.77參照)。
２. 版面設計之考量
(1) 標題
標題能引導閱讀者注意到概念性的訊息，單元的名稱或是活動前的標題，能讓讀者連想到活動的內容與重點，因此，筆者於每一主要活動前，冠以標題，讓讀者於活動前，即能獲知活動的內容與重點。
(2) 標籤
為了讓教師及小朋友可以一眼望知活動進行的方式，活動單中穿插主要問話標籤及代表進行方式標籤)等，讓小朋友及老師很快能有所依循。
３. 教材設計之特色
本教學設計係基於上述之原則，編寫而成。其內容與對照組教材相較結果如表2：
Ｋ版教科書 | Ｓ版教科書 | Ｔ版教科書 | 本教學設計 | ||
設計內容 | 設計內容 | 設計內容 | 設計內容 | 設計意圖 | |
方式 導入 | 由相似圖形定義導入 | 由不同遠近的景象觀察導入 | 以三角形，四角形等組合之圖形導入 | 以接近現實世界圖形導入 | 體會擴大圖、縮圖本質上的好處 |
概 念 處 理 方 式 | (構成要素作圖)的方式展開 | (構成要素作圖)的方式展開 | (作圖構成要素)的方式展開 | (構成要素作圖)的方式展開 | 自行澄清關係活動，形成初步概念 |
先行定義，忽略保角概念 | 先僅著眼於對應邊長關係定義 | 先行定義 | 經由引導式發見後，自行定義 | 主體地性質掌握。 | |
經由指示調查性質 | 經由指示調查性質 | 經由指示調查性質 | 由2倍﹑ | 自行深究理論面 | |
性質未再作確認 | 性質再確認 | 性質再確認 | 性質再確認 | 澄清概念 | |
無性質利用的發問 | 無性質利用的發問 | 性質利用的發問 | 性質利用的發問 | 性質理解深刻化 | |
處理方式 繪製方法的 | 經由方格紙指示繪製方法 | 忽略保角性質下繪製 | 經由方格紙指示繪製方法 | 自行澄清性質後繪製 | 自行建構﹑修正 |
未探究繪製方式 | 繪製方式對錯原因同時探究 | 未探究繪製方式 | 繪製方式對錯原因同時探究 | 本質再確認 | |
型態 教學 | 無教學型態提示 | 無教學型態提示 | 無教學型態提示 | 提示教學型態 | 掌握教學過程。 |
評量 形成性 | 無備用提示單 | 無備用提示單 | 備有提示單 | 作即時之回饋。 | |
無解答用OHP片 | 無解答用OHP片 | 無解答用OHP片 | 備解答用OHP片 | 俾於自我修正 | |
４. 教學設計的檢核
筆者的教學設計強調由自行關係發見，形成初步想法，而後，小組討論﹑自行修正﹑想法口語化﹑評量•指導一體化等過程。為釐清如此的設計下，兒童知識如何形成，如何修正等，進行事前調查，以捕捉小朋友如何改觀，檢核教學設計。事前調查結果如表3。
教學設計與
反應
【擴大圖、縮圖與原圖間的關係】
（甲） （乙）
上 ・形狀65％・形狀＆角度35％
・大小(面積)
50％大小(面積) ＆ 邊長50％
不同處は 。
自己的發現，與小組其他人一樣嗎?
相對應邊的長度與對應角的角度，有沒有關係呢?
將自己的發現，說說看!
相同100％
・2（）倍90％不一樣長う10％。
。
乙圖是甲圖的2倍擴大圖。
甲圖是乙圖
倍縮圖。
想
想看為什麼這樣命名呢?
•邊長兩倍85%
•形狀2倍5%空白10%
「2倍」命名的理由是 。
・•邊長
•空白
10%
倍85%形狀
倍5%
「
倍」命名的理由是 。
說 明
｣
畫擴大圖、縮圖前，首先讓小朋友作原圖與擴大圖、縮圖間的比較觀察，嘗試發見原圖與擴大圖、縮圖間的法則關係。
如左所示，最初，全體小朋友雖已察覺出兩者形狀相同，而在「相對應邊的長度與對應角的角度，有沒有關係呢?」的發問下，方才發現對應角度也相同(35%→100%)。而90%的小朋友發見不僅是邊的長度不同，而且各個對應邊，存在著相同比例的關係。
在幾倍命名理由的追問下，85%的小朋友篩選出決定幾倍的擴大圖、縮圖的要素。
【概念•性質的再確認】
(乙)圖的擴大圖是哪一個呢?
3cm 26° 3cm （乙） 6cm
64° 3.5cm 1.5cm 64°
(甲)
7cm 6cm 26° 64°
14cm (丁)
4.8cm 26°
55°
35° 12cm
（丙）
•是90%
•不是10%。
上面的圖中，(丁)圖是(乙)圖的擴大圖嗎?
理由：・•角度相同，，邊長4倍75% ・•邊長4倍5%
・•角度相同，邊長長5% ・•角度相同5%
・•角度相同，邊長不是2倍10%
(丙)圖是(乙)圖的擴大圖嗎?不是 100%。
わ ・•角度不同,邊長不成倍數關係が75%
・•角度不同20%空白5%
理由： 。
(乙)圖是(甲)圖的縮圖嗎? 是100%。
・•角度相同,邊長Combin倍90%
・•邊長Combin倍から5%
・角度相同，邊長短じ5% ・
理由： 。
・•角度不變,邊長倍數地擴大の50% ・•一個圖形，不改變形狀地擴大の10%・ ・•角度不變，邊長擴大するもの15% ・•角度不變，邊長擴大２倍もの10%
・•角度相同,原圖所有的邊長與擴大圖所有的邊長的比相同5%
•空白10%
・ ・
所謂的擴大圖是
•.角度不變，邊長改短するもの35%
• 一個圖形，不改變形狀地縮小の10%・
•角度不變，邊長
•角度相同，原圖的所有邊與縮圖的所有邊的比例相同
5%
•角度相同，邊長
•空白
5%
倍縮小も15%
倍縮小
20%たもの
倍縮圖是
進行形成性評量確認小朋友是否確切掌握先前之發現。
如左所示，多數的小朋友在此時，已能辨別擴大圖、縮圖。
多數的小朋友在此時，已能就自身經驗對擴大圖、縮圖加以定義。
【擴大圖的製作】
大家一起來畫２倍的擴大圖。
想想看，相對的邊該怎麼畫。
想想看，相對的角該怎麼畫。
完成擴大圖100%
（甲）（乙）
查查看自己畫的情形，再小組討論，並找出原因。
畫大，但形狀改變。
.角度錯5% .邊長錯10%
形狀不變，而且變成２倍大。
• ASA
65%
• SSS
25%
•以3邊和3角確認10%
【
縮圖的製作】
讓我們來畫
倍的縮圖。
完成縮圖100%
畫
倍縮圖時，什麼是必要的條件呢?
對應邊長應該是 •
倍90% •空白10% 。
對應角應該是 •相同90% •空白10% 。
自己和小組其他人的圖，是不是都成
倍的縮圖呢?
必須要確認什麼呢?
如果錯了，找找看它的原因是什麼?
誤差5%
擴大圖、縮圖的製作，以個人思考→小組討論→指名發表的順序展開。首先讓每位小朋友，持有自己的想法，之後在少人数的小組討論安排下，易於有提出自己想法及自我修正的機會。
如左所示，全體的小朋友，都能製作擴大圖的同時，知道對應邊長及對應角度是必要的條件。
如左所示，全體的小朋友，都能製作縮圖的同時，知道對應邊長及對應角度是必要的條件。
【擴大圖、縮圖的挑戰】
讓我們向(甲)圖的
倍縮圖及2倍圖挑戰。
正確繪出 100％ 正確繪出 100％
縮圖 （甲） 擴大圖
確認一下自己和小組其他人的圖，是不是都成
倍及2倍的擴大圖呢?
確認時，要檢查什麼呢?
如果錯了，找找看它的原因是什麼?
原因﹕
B
四角形ABCD是四角形AEFG的2倍擴大圖。
Combin 120° ９０°
Ｃ (ㄅ) 13cm
18cm
Combin F
Ｇ D
理由： 因為對應角相等 100% 。
邊ＢＣ幾公分長？ 26cm 100% 。
理由：•因為是2倍擴大圖，所以邊也2倍95%
•空白5% 。
邊ＦＧ幾公分長？ •9cm 95% •空白5% 。
理由： 因為將邊
倍100%
暺
在擴大圖、縮圖的單元中學到什麼?
進行形成性評量，以瞭解小朋友是否能利用擴大圖、縮圖性質加以應用。
備有OHP片讓小朋友自我檢核。在此階段，全體小朋友已都能繪製擴大圖與縮圖。
進行形成性評量確認能否活用擴大圖、縮圖的性質。
如左所示，幾乎所有的小朋友都能活用。
（二）評量工具的編製
筆者自編「擴大圖縮圖概念學習效果評量卷」及「擴大圖、縮圖學習感想調查表」，探討筆者設計之教材與教學活動設計，是否落實本研究主張「經由數學本質概念的追問、形成性評量式小組討論及形成性評量，將促成主體性學習並形成概念。」，茲說明如下：
１、擴大圖、縮圖概念學習效果評量卷
（１）測驗內容
本評量卷編製前，首先分析課程目標及教材內容，以之為編製試題的依據。測驗內容如下﹕
( 26° 1cm 108° 4cm (丙) 4cm 8cm 46° 46° 1.5cm (甲) (丁)
3.5cm 6cm 2cm 36°
26° 4cm 46°(あ）
(乙) 2cm 3cm 108° 84°
26° 60°
2.5cm
1.上圖中，(乙)圖是(甲)圖的2倍擴大圖嗎? Q1是的不是
理由： Q２ 。
2.上圖中，(丙)圖是(甲)圖的2倍擴大圖嗎? Q3是的不是
理由： Q4 。
3.上圖中，(丁)圖是(甲)圖的
倍縮圖嗎?
Q5是的不是
理由： Q6 。
(
Combin
Combin
Combin
Combin
Combin cm
二)
下圖中，四角形ABCD是四角形EFGH的2倍擴大圖。
Combin 107° (乙)
11cm 120° 107°
60° G 73°
73° cm 42cm (甲) C
1.邊BD的長度是 Q7cm。3.角(甲)是幾度? Q9
2.邊GH的長度是 Q8cm。4.角(乙)是幾度? Q10
(三) 畫(甲)圖的
倍縮圖與2倍擴大圖。
Q11－Q19
Q21－Q29
縮小圖 （甲） 擴大圖
( Ｑ30
（Ｑ是整理號碼）
（２）工具效度
本擴大圖、縮圖概念學習效果評卷的目的，在於掌握小朋友對於概念的瞭解情形，因此採效標參照，故不論及難度與鑑別度，而著重於內容效度。此外，本研究亦就上述之測驗內容進行主成分分析(PRINCIPAL COMPONENT ANALYSIS)，其結果如下﹕
FACTOR 1 FACTOR 2 FACTOR 3 FACTOR 4
Q21 .80012
Q23 .78983
Q25 .78846
Q27 .77776
Q29 .76938
Q26 .70437
Q24 .65636
Q28 .60267
Q22 .58708
Q30 .38695
Q11 .84733
Q13 .78012
Q19 .77132
Q15 .76088
Q14 .76068
Q17 .75516
Q12 .64897
Q16 .61820
Q18 .56777
Q2 .87227
Q4 .86760
Q6 .80813
Q1 .50851
Q3 .35856
Q5
Q10 .90897
Q9 .89776
Q8 .48551
Q7 .46367
以上的四個主成分，包括第一主成分「擴大圖的作圖」﹑第二主成分「縮圖的作圖」﹑第三主成分「擴大圖、縮圖的辨別」﹑第四主成分「對應邊•對應角的利用」與筆者意圖的類別相同。
２、擴大圖、縮圖概念學習•教學感想調查表
日本地區用的調查表(p.85的附錄3及p.86的附錄4參照)，以開放式的填答方式呈現，目的在於就教師及學生觀點，瞭解筆者設計的教材與教學活動設計，能否為學生接受與因何而接受，及促成瞭解之關鍵為何等。由日本地區的調查結果，得知實驗組學童小朋友因「小組討論的安排」及「提示單」﹑「OHP解答」的提供，獲得瞭解及感到愉快。因此，台灣地區用的調查表(p.88的附錄5參照)目的在於量化上述「小組討論的安排」及「提示單」﹑「OHP解答」的提供等在學生學習過程中，所發揮之功能。
四﹑實施日期
日本地區於1996年10月7日起，配合各實驗班級的教學進度實施，教學後實施評量。台灣地區於1999年5月17日起，實驗組係配合各實驗班級的教學進度實施，全組教學後統一實施評量。對照組於擴大圖、縮圖單元的段考後隔天實施評量，因此，對照甲組於5月13日，對照乙組於6月9日實施。
五、資料統計方法
實徵研究部分，本研究採準實驗研究法，其型式為不相等實驗組對照組設計，以瞭解筆者設計的教學模式和現行教材在學習效果之異同。統計處理則以獨立樣本單因子多變項變異數分析(MANOVA)的顯著性考驗，分析不同教材組在擴大圖、縮圖的不同子目標下表現的差異情形，當差異達到顯著水準，則以單因子變異數進一步分析，並就顯著差異項目，進行多重比較檢定，以確知差異何在。並以2考驗瞭解不同教材組學童在擴大圖、縮圖學習意見之差異性。
第四章統計結果分析與討論
本章就實徵研究結果說明並加以分析與討論。所得的結果如下：
壹、日本地區的測試結果分析與討論
一﹑擴大圖、縮圖概念學習效果
為瞭解實驗組與對照組在擴大圖、縮圖概念學習上的效果，首先將各組受試者後測所得分數，統計其平均數、標準差，其結果如表5：
項目 | 縮圖作圖 | 擴大圖作圖 | 圖辨別 | 性質利用 | 總項目 | 態 度 | ||||||
統計值 班級 | Mean | S.D. | Mean | S.D. | Mean | S.D. | Mean | S.D. | Mean | S.D. | Mean | S.D. |
EH6(N=19) | 8.68 | 0.75 | 9.79 | 0.71 | 6.00 | 0.00 | 3.90 | 0.32 | 28.37 | 1.17 | 5.53 | 1.84 |
EM5(N=33) | 8.12 | 1.05 | 8.67 | 1.65 | 5.79 | 0.70 | 3.73 | 0.57 | 26.30 | 2.49 | 5.39 | 1.54 |
EK4(N=35) | 8.14 | 1.22 | 7.97 | 2.51 | 5.57 | 1.09 | 2.94 | 1.35 | 24.63 | 4.57 | 4.74 | 1.46 |
CD6(N=26) | 8.08 | 1.74 | 8.42 | 2.53 | 5.69 | 0.88 | 3.92 | 0.27 | 26.12 | 4.53 | 4.54 | 1.30 |
CK6(N=29) | 6.00 | 3.76 | 7.52 | 3.30 | 5.72 | 0.84 | 3.62 | 0.86 | 22.86 | 6.80 | 3.93 | 2.05 |
CH6(N=35) | 6.71 | 3.25 | 7.40 | 3.14 | 5.26 | 1.27 | 3.89 | 0.53 | 23.25 | 5.40 | 3.31 | 1.51 |
29.00 + +-*-+ --+-- --+-- --+-- +- +-+ --+--
|
+-+-+
+-++
+- +-+
+-+-+
| *
| --+-- * +-+-+
| (O) * +-+-+ *
|
| (E) +-+-+ *
24.00 + --+--
|
| +-+-+
|
| --+--
|
| +-+-+
| (O)
|
|
| +-+-+
16.00 +
| --+--
|
|
| (O)
|
|
|
| (E) --+--
|
| -- +--
8.00 +
~
EH6
EM5EK4 CD6
CK6
CH6
【* 中心値＋最高値第1.3 四分位數最低値(O) 偏離値(E) 極端值】
從表5﹑圖6﹑圖7以及圖8得知，實驗組的六年級班級得到將近滿分。而且實驗組的另兩組，即使是四﹑五年級，在縮圖﹑擴大圖的作圖以及圖形辨別，也得到不錯的成績而且分數集中。
Variable | Hypoth. SS | Error SS | Hypoth. MS | Error MS | F | Sig. of F |
縮 圖 | 148.84497 | 878.89514 | 29.76899 | 5.13974 | 5.79193 | .000 |
擴大圖 | 94.12043 | 1111.45019 | 18.82409 | 6.49971 | 2.89614 | .015 |
圖形辨別 | 8.75490 | 150.10386 | 1.75098 | 87780 | 1.99474 | .082 |
性質利用 | 22.69270 | 106.43724 | 4.53854 | 62244 | 7.29153 | .000 |
總項目 | 547.64999 | 3730.35001 | 109.53000 | 21.81491 | 5.02088 | .000 |
（D.F.＝5，171）
由表6MANOVA的結果可以得知，除了圖形辨別的項目外，實驗組與對照組間有顯著差異。因此，利用Tukey-B法，進行多重比較檢定，以確知差異何在。多重檢定的結果，如圖9～ 圖12所示。
整體而言，實驗組的表現有優於對照組的傾向，唯實驗組EK4在「性質利用」項目的成績，不理想。調閱原卷發現，其中只有一位視2倍擴大圖為對應邊長多2cm，
倍縮圖為對應邊長少2cm，而擴大圖與縮圖繪製的前提是對應邊長及對應角關係的掌握，因此，該生無法繪製擴大圖與縮圖。其他位答錯者，皆能繪製擴大圖與縮圖。換句話說，他們能掌握對應邊長及對應角的關係。由他們「80°，100°」的作答(P.31參照)，可以得知，學童在「性質利用」項目答錯原因，可能在於對「對應邊」及「對應角」的對應較陌生，畢竟「對應邊」及「對應角」對於四年級學童而言，係首次出現的概念，因此掌握較弱。
二﹑擴大圖、縮圖概念學習過程中之態度
日本地區用的調查表(p.85的附錄3及p.86的附錄4參照)，以開放式的填答方式呈現，目的在於就教師及學生觀點，瞭解筆者設計的教材與教學活動設計，能否為學生接受﹑因何而接受，以及促成瞭解之關鍵為何等。各組學童在擴大圖、縮圖概念學習過程中之態度，如表7﹕
EH6 | EM5 | EK4 | CD6 | CK6 | CH6 | ||
| 愉快 普通だった 無趣 非常明瞭 稍微瞭解 不瞭解 瞭解涵義真好。 會製圖感到高興。 雖然難，會製圖感到高興。 由於關係的發見，能製圖感到高興。 能發現解決之道，感到高興。 與同學間的討論而明白，感到高興。 其他。 | 89.5 10.5 94.7 5.3 78.9 68.4 57.9 47.4 52.6 63.2 | 90.9 3.0 6.1 90.9 6.1 3.0 93.9 54.5 57.6 36.4 60.6 48.5 6.1 | 79.4 20.6 79.4 20.6 74.3 42.9 77.1 22.9 37.1 62.9 2.9 | 84.05 16.0 84.0 12.0 4.0 88.5 30.8 38.5 50.0 19.2 61.5 3.8 | 57.7 34.6 7.7 76.9 15.4 7.7 67.9 46.4 42.9 32.9 46.4 32.1 3.6 | 36.4 42.4 21.2 67.6 23.5 8.8 55.9 17.6 50.0 20.6 35.3 47.1 11.8 |
| |||||||
鞃 肯定評量的前三位，以粗體字的數値表示。
由表7與圖12﹕總項目平均成績的比較 (p.39)對照，可以發現，「擴大圖、縮圖概念學習效果評量卷」總平均得分的前三個班(CD6﹑EM5﹑EH6)與「擴大圖、，縮圖學習時感到愉快」與「擴大圖、縮圖學習時非常明瞭」與「同學間的討論而明白，感到高興」等項目的前三個班一樣，意味著學習時的愉悅程度﹑自覺明瞭度與學習成績高低一致。各個班級最多人圈選的項目是「瞭解(擴大圖、縮圖)涵義真好」，多數學童因獲知感到喜悅。實驗組四年級學童(EK4)的79.4%在擴大圖、縮圖的學習過程中，感到愉快，而同樣是35人班級的對照組六年級學童組(CH6)學童，僅36.4 %感到愉快。而且EK4的平均得分有高於CH6的傾向(p.39的圖12﹕總項目平均成績的比較參照)。此外，雖是五年級的學童，90.9%非常瞭解擴大圖、縮圖，高於對照組的六年級學童。除此，在擴大圖、縮圖的學習過程中，實驗組學童有如下之體驗﹕
EK4的學童
【小組討論】
「和往常數學課不一樣的是以小組進行教學，由於這樣有趣的學習是第一次，所以感到特別愉快。」
「又可畫擴大圖、縮圖﹑又可以聽別人擴大圖、縮圖的畫法，所以非常快樂。」
「在明白易懂的討論中學習，所以非常明瞭。」
「因為有機會和同學討論，所以非常明瞭。」
「大家彼此教，彼此討論，所以非常明瞭。」
「和小組人作各種討論，所以非常明瞭。」
「因為以小組方式進行，所以非常明瞭。」
「大家一起設法，所以愉快。」
「擴大圖的學習時，是大家一起思考，平常學習時，只是一個人思考。」
「小組討論學習，所以覺得愉快。」
「和同學討論學習，所以非常明瞭。」
「因為討論，所以完全瞭解。」
「一起討論學習，所以非常明瞭。」
【挑戰】
「感到難，又感到愉快，經過好幾次失敗，一旦會了，鬆了一口氣。」
「擴大圖、縮圖的學習，最初很難，但是在做的當中，變得快樂。」
「畫擴大圖、縮圖很難，慢慢地能畫出，感到高興。」
「有趣但費勁，因簡單明白易懂，所以非常明瞭。」
「因為第一次接觸，所以還擔心著能否學會，但因為完全學會，所以感到非常高興。」
「雖然難的地方也有，但是非常愉快。」
「困難的地方還是有，但是漸漸地就明白了。」
「雖然難，但是做了各種努力。」
「剛開始量邊和角度時，覺得麻煩討厭，但隨著學習的進行，變的有趣。」
「雖然相當難，但是非常愉快。」
「因為難，但是會了，感到高興。」
「有一點難，但是大部分很簡單。」
「能將擴大圖、縮圖弄清楚，所以感到高興。」
「由於難，重畫了好幾次。」
【OHP解答】
「畫擴大圖﹑縮小圖最難，但是與解答圖吻合時，非常愉快」
「寫理由時，想了一下，試著畫時快樂但有些難。」
【其他】
「平常說到數學幾乎是計算，像這樣的問題就很有趣。」
「比以往的上課愉快。」
「上課時有趣，所以感到愉快。」
「因為完全瞭解，所以感到高興。」
「因為有趣，所以愉快。」
「因為愉快，所以非常明瞭。」
「我認為這次的學習，非常愉快。」
「因為簡單，所以愉快。」
「因為簡單，所以非常明瞭。」
「雖然有不懂得地方，但是快樂。」
EK5的學童
【小組討論】
「因為大家一起做，所以完全瞭解。」
「能和同學討論，感到真好。」
「容易做，而且能和大家一起學習，出乎意料地愉快。」
「不用聽老師講解，以小組討論方式進行，與以往的課不同。」
「因為大家一起做，所以完全瞭解。」
「因為小組能討論，所以感到高興。」
【挑戰】
「開始覺得麻煩，後來越來越愉快。」
「由於這個學習，自己能用各種方法思考，所以有趣。」
「最初不懂的部分，懂了真好。」
「剛開始畫擴大圖時，覺得非常難而不會，但是畫縮圖時，相當輕鬆地完成。」
「剛開始上擴大圖、縮圖的時候，什麼都不懂，上課後完全懂，感覺真好。」
「能畫圖及能解困難的問題，感到高興。」
「畫擴大圖、縮圖時，覺得難，能瞭解意義及畫法，真好。」
「從前上課時，老師寫在黑板，我們抄在筆記本，這次的擴大圖教學，使用講義，非常有趣。在最後能正確畫出，感到非常高興。」
「作圖時，感到有點焦慮，能畫時，感到非常高興，所以是非常快樂的學習。」
「雖然難，但是完全瞭解。」
「不懂的地方能懂，所以高興。」
【OHP解答】
「畫圖後核對答案，所以完全瞭解。」
「因為有核對答案用的OHP，所以能充分瞭解。」
「能充分瞭解擴大圖、縮圖的涵義，非常快樂。能自己核對答案也很好。」
「因為自己核對答案，所以非常明瞭。」
【其他】
「因為覺得比平常還瞭解，所以感到高興。」
「容易懂，所以有趣。」
「容易做，而且完全懂，感到愉快。」
「是非常愉快的學習。」
「愉快。真想再做。」
「非常快樂。」
「以不同於從前的方式學習，非常快樂。」
「有趣。」
「愉快且懂。」
「因為簡單，所以高興。」
「自己能將擴大圖、縮圖畫得好，感到高興。」
「畫圖不拿手，有太多的圖，感到困難。」
「不是老師寫在黑板上的學習，而是用講義，能學會真好。」
「講義的學習，易懂快樂。」
EH6的學童
【小組討論】
「因為討論機會多，所以快樂。」
「因為能和同學一面商量一面做，所以快樂。」
「因為同學教，所以非常明瞭明瞭。」
【挑戰】
「能畫擴大圖、縮圖，感到高興。」
「雖然有一點難，但很快樂。」
【其他】
「比起從前的上課，非常容易懂，希望以後都一直以這種的方式上課。」
「比起補習班，學校的上課方式，非常明瞭。」
「比起平常的上課簡單。」
「因為出乎意料地簡單，所以快樂。」
「擴大圖、縮圖的學習，比平常的學習，還要簡單。」
「有趣。」
「簡單有趣真好。」
「因為非常明瞭，所以快樂。」
由以上的感想調查結果，得知實驗組學童因分組討論的安排﹑挑戰機會及OHP解答的提供，獲得瞭解及感到愉快，進而提出「比從前的上課，非常容易懂，希望以後一直都以這種的方式上課。」的渴望。整個設計上，對於從未學過的的四﹑五年級學童而言，是一種挑戰，而對於六年級實驗組的學童而言，「因為出乎意料地簡單，所以快樂。」「比起補習班，學校的上課方式，非常明瞭。」，以致實驗組的EO6任課教師，甚至有「對於想自行處理的小朋友而言，很不錯。尤其提供主體性運作的機會，適合理解力差的小朋友，還可以準備一些更具挑戰性的素材，供反應快的小朋友使用」的看法。
貳、台灣地區的測試結果分析與討論
由以上日本地區學童測試結果的表現，可以發現即使是六年教材，因設計教材的不同，即使施於四﹑五年級也可以有不亞於六年級的表現。至於台灣地區，不同版本的教材，學童的表現如下﹕
一
﹑擴大圖、縮圖概念學習效果
為瞭解實驗組與對照組在概念學習的效果，首先將各組受試者後測所得之總分，統計其平均數﹑標準差，其結果如左圖13，結果顯示，實驗組市立小5年級的平均得分高於對照組同校6年級平均得分，同時也高於對照組附小6年級平均得分。而各組在各個子目標的平均數﹑標準差表現如表8﹕
(公立小5 N=140 , 公立小6 N=205 , 附小6 N=226)
由表8可以得知，在「縮圖繪製」﹑「擴大圖繪製」的子目標及「整體效果」方面，實驗組公立小5的平均得分高於對照組。為瞭解不同教材組在子目標表現上，是否有顯著差異存在，進一步進行多變項變異數差異分析(MANOVA)。
Effect | Value | F | Hypothesis df | Error df | Sig. |
Pillai's Trace Wilks' Lambda Hotelling's Trace Roy's Largest Root | .054 .947 .056 .052 | 3.897 3.929 3.961 7.345 | 8.000 8.000 8.000 4.000 | 1132.000 1130.000 1128.000 566.000 | .000 .000 .000 .000 |
由表9的多變項變異數差異考驗摘要表，可以得知不同教材組間達到.000的顯著差異水準，因此再進行單因子變異數分析，以瞭解不同教材組在哪一項子目標，有顯著差異。
依變項 | Sum of Squares | df | Mean Square | F | Sig. |
圖形辨別 性質利用 縮圖繪製 擴大圖繪製 整體效果 | 7.575 5.179 41.435 107.222 295.722 | 2 2 2 2 2 | 3.788 2.590 20.717 53.611 147.861 | .630 2.661 4.245 8.225 4.488 | .533 .071 .015 .000 .012 |
由表10的單因子變異數分析結果，可以得知三組在擴大圖、縮圖後測子目標的表現上，除「圖形判別」及「性質利用」外，都達到.000的顯著差異水準。亦即「圖形判別」、「性質利用」項目，對照組得分雖高於實驗組，卻未達顯著差異。在「縮圖繪製」﹑「擴大圖繪製」的子目標及「整體效果」方面，實驗組公立小5的平均得分高於對照組，而且達顯著差異(p<.05)。進一步以塊狀圖將兩組離散情形呈現於圖14～圖18。
由～可以得知可以得知﹕三組在「性質利用」的子目標不分軒輊。「圖形辨別」方面，實驗組公立小5的中位數高於對照組，此外，無論是「縮圖繪製」、「擴大圖繪製」或就「整體效果」而言，實驗組公立小5的中位數，不但高於對照組而且分散度較為集中。再利用Scheffe法，進行多重比較檢定，以確知差異何在。多重檢定的結果，如所示:
表11﹕不同教材組「縮圖繪製」「擴大圖繪製」「整體效果」項目事後多重比較
由表11可以得知:無論是「縮圖繪製」、「擴大圖繪製」或就「整體效果」而言，實驗組公立小5平均得分都高於同校的對照組公立小6，且達到顯著差異(p<.05)。「擴大圖繪製」方面，實驗組公立小5的平均得分也高於對照組附小6，且達到顯著差異(p<.05)。
二﹑擴大圖、縮圖判別理由之說明
為瞭解不同教材組下，學童擴大圖、縮圖概念之周延性是否有顯著差異，比較其根據理由之說明，列於表12～表15。
擴大圖、縮圖與原圖間的關係不僅是「對應邊長成比例」，「保角」亦是必要條件。由表12～表15的根據理由之說明，可以得知實驗組公立小5的學童在辨別擴大圖、縮圖時，較對照組公立小6及對照組附小6，能同時指出「對應邊長成比例」及「保角」之條件。由表15可以得知，指出「保角」的學童，實驗組公立小5佔77.1%，對照組公立小6佔52.7%，而對照組附小佔50%。
三﹑縮圖﹑擴大圖對應角、對應邊繪製之比較
不 A
(
上述編號為整理號，原卷無)
對應角1 | 對應角2 | 對應角3 | 對應角4 | 對應角5 | 對應邊6 | 對應邊7 | 對應邊8 | 對應邊9 | 對應邊10 | |
實驗組 | 85.0% | 87.9% | 92.9% | 85.0% | 97.1% | 90.0% | 85.7% | 79.3% | 96.4% | 84.3% |
對照甲組 | 78.0% | 84.9% | 84.4% | 72.7% | 92.7% | 77.1% | 76.6% | 82.4% | 93.2% | 71.7% |
對照甲組 | 80.5% | 81.4% | 86.3% | 65.5% | 96.9% | 86.7% | 84.5% | 88.5% | 98.7% | 80.5% |
χ2值 | 5.872 | 8.060 | 10.465 | 21.767 | 7.152 | 13.797 | 7.640 | 7.335 | 9.630 | 11.398 |
P值 | .209 | .089 | .033 | .000 | .128 | .008 | .106 | .119 | .047 | .022 |
*
*** ** * * (* P<.05 ** P<.005
*** P<.001)
由圖表1可以得知除對應邊8外，實驗組在縮圖對應角﹑對應邊繪製有優於對照組的傾向。實驗組在對應邊8表現驟然下降至79.3%，究其因在於對應邊8長2.3cm，商需求至小數第2位。由此亦可得知，求商至小數第2位對於實驗組5年級學童而言，其程度未若對照組的6年級學童。
對應角1 | 對應角2 | 對應角3 | 對應角4 | 對應角5 | 對應邊6 | 對應邊7 | 對應邊8 | 對應邊9 | 對應邊10 | |
實驗組 | 82.1% | 78.6% | 77.1% | 74.3% | 97.9% | 91.4% | 90.0% | 92.9% | 98.6% | 80.7% |
對照甲組 | 66.8% | 67.3% | 74.1% | 58.0% | 94.6% | 78.5% | 82.9% | 89.3% | 92.7% | 70.7% |
對照乙組 | 72.6% | 63.7% | 69.5% | 54.4% | 98.7% | 78.8% | 87.2% | 94.7% | 98.7% | 71.2% |
χ2值 | 13.879 | 14.474 | 8.400 | 20.377 | 7.551 | 16.639 | 7.458 | 6.128 | 14.468 | 8.552 |
P值 | .008 | .006 | .078 | .000 | .109 | .002 | .114 | .190 | .006 | .073 |
* * ***
** * (* P<.05 ** P<.005
*** P<.001)
由圖表2可以得知，除較易辨識90∘的
5，三組的通過率高達95%以上外，其他角的表現不若
5。對應
4相對於六年級對照組的54.4%及58.0%的通過率，五年級實驗組的通過率達75%，並達顯著差異(P<.001)。對照圖表1，也有相同的現象，究其因在於
4必須輔以延長線後方能測得角度，而無法像其他角
1﹑
2﹑
3，尚可利用
﹑
﹑
繪製△ABC取得。
整體而言，實驗組在擴大圖對應角﹑對應邊的繪製有優於對照組的傾向。
四﹑學習過程之反映意見
由日本地區用的調查結果，得知實驗組學童小朋友因「小組討論的安排」及「提示單」﹑「OHP解答」的提供，獲得瞭解及感到愉快。台灣地區用的調查表(p.88的附錄5參照)，目的在於量化上述「小組討論的安排」及「提示單」﹑「OHP解答」的提供等在學生學習過程中，所發揮之功能。其結果如下﹕
(一) 各項目之反映意見
學習過程中，不同教材組對於各項目反映意見如圖表3～圖表11﹕
(2=14.788，df=8，p=.063)
由圖表3可以得知，相對於素質較整齊的對照組附小6，實驗組公立小5與對照組公立小6，較能感受「上課後會畫，真好」的感覺。
(2=18.645，df=8，p=.017)
由圖表4可以得知，相對於對照組公立小6的47.8%與對照組附小6的50.6%，實驗組公立小5的65.4%學童「因為和小組同學討論，所以更了解」(p<.05)。
圖表5﹕「因為有自己核對答案的透明片，所以更了解」之反映意見
(2=98.940，df=8，p=.000)
由圖表5可以得知，相對於對照組公立小6的26%與對照組附小6的36.3%，實驗組公立小5的69.8%學童「因為有自己核對答案的透明片，所以更了解」(p<.001)。
圖表6﹕「發現擴大圖、縮圖與原圖間的關係，所以會畫」之反映意見
(2=17.863，df=8，p=.022)
由圖表6可以得知，相對於對照組公立小6的81.4%與對照組附小6的68.4%，實驗組公立小5的學童僅69.8%因「發現擴大圖、縮圖與原圖間的關係，所以會畫」(p<.05)。
(2=8.785，df=8，p=.361)
由圖表7可以得知，相對於對照組公立小6的70.8%與對照組附小6的66.3%，實驗組公立小5的學童僅67.1%因「有自己思考機會，所以更了解」。
(2=27.655，df=10，p=.002)
由圖表8可以得知，相對於對照組公立小6的35.6%與對照組附小6的31.4%，實驗組公立小5的55%學童因「因為有提示單，所以更了解」(p<.05)。
(2=22.037，df=8，p=.005)
由圖表9可以得知，相對於對照組公立小6的39.7%與對照組附小6的40.9%，實驗組公立小5的53.6%學童因「因小組的討論，所以學會」(p<.005)。
(2=34.962，df=10，p=.000)
由圖表10可以得知，相對於對照組公立小6的83.5%與對照組附小6的65.1%，實驗組公立小5的學童僅61.4%提及「因老師的講解，所以學會」(p<.001)。使用K版教科書的對照組公立小6的學童對教師倚賴度高。
(2=28.59，df=8，p=.000)
由圖表11可以得知，相對於對照組公立小6的55%與對照組附小6的48.4%，實驗組公立小5的學童56.4%因「容易懂而且有趣」(p<.001)。
(二) 學習過程各項目意見顯著性之比較
項目 | 同意通過率 | 2 | df | p | |||
實驗組公小5 | 對照組公小6 | 對照組附小6 | |||||
擴大圖、縮圖的上課 | 剛開始的時候，什麼都不懂上課後會畫，真好。 | 63.3% | 62.8% | 57.4% | 14.788 | 8 | .063 |
因為和小組同學討論，所以更了解。 | 65.4% | 47.8% | 50.6% | 18.645 | 8 | .017 | |
因為有自己核對答案的透明片，所以更了解。 | 69.8% | 26.0% | 36.3% | 98.940 | 8 | 000 | |
擴大圖﹑縮圖與原圖間的關係，所以會畫。 | 67.9% | 81.4% | 68.4% | 17.863 | 8 | .022 | |
有自己思考機會，所以更了解。 | 67.1% | 70.8% | 66.3% | 8.785 | 8 | .361 | |
因為有提示單，所以更了解。 | 55.0% | 35.6% | 31.4% | 27.655 | 10 | .002 | |
因小組的討論，所以學會。 | 53.6% | 39.7% | 40.9% | 22.037 | 8 | .005 | |
因老師的講解，所以學會。 | 61.4% | 83.5% | 65.1% | 34.962 | 10 | .000 | |
容易懂而且有趣。 | 56.4% | 55.0% | 48.4% | 28.59 | 8 | .000 | |
※
各項目之最﹕粗體字※各組之前三項﹕1
2 3
由表16可以得知，實驗組在學習過程中，對於「因為有自己核對答案的透明片，所以更了解」「因為和小組同學討論，所以更了解」「因為有提示單，所以更了解」「因小組的討論，所以學會」「容易懂而且有趣」等項目，相較於對照組持肯定態度(p<.05)。
實驗組公小5的學習過程中，促成了解的前三項為: 「核對答案的透明片」﹑「擴大圖﹑縮圖與原圖間關係的發現」﹑「有自己思考機會」等三項。對照組公小6的學習過程中，促成了解的前三項為: 「老師的講解」「擴大圖﹑縮圖與原圖間關係的發現」「有自己思考機會」。對照組附小6的學習過程中，促成了解的前三項為: 「擴大圖﹑縮圖與原圖間關係的發現」「有自己思考機會」「老師的講解」。由此可知，三組66.3%以上的教師提供「自己思考」及「發現擴大圖﹑縮圖與原圖間關係」的機會。
此外，對照組公立小6提及「因老師的講解，所以學會」高達83.5%，相對於此，實驗組公立小5僅61.4%﹑對照組附小6也只有65.1% (p<.001)，可見使用K版教科書的對照組公立小6的學童對教師倚賴度最高。而對於實驗組公立小5而言，「核對答案的透明片」扮演重要角色。對照組附小6，則是「擴大圖﹑縮圖與原圖間關係的發現」。
第五章研究結論與建議
本章分為兩節，第一節針對研究結果提出討論。第二節提供一些原則性的建議。
壹﹑研究結果
本研究旨在探討筆者提出之主體性學習模式下，對增進概念的理解度及主體性學習的可行性。本研究主張「經由數學本質概念的追問、形成性評量式小組討論及形成性評量，將促成主體性學習並形成概念。」，因而提出「主體性學習的實驗組學童在擴大圖、縮圖的概念掌握、周延性、繪製方面的表現，優於對照組的學童。」「學習過程中，實驗組對於評量式小組討論及形成性評量，較對照組持肯定態度。」之假設。教學設計上，以數學本質概念的追問及形成性評量式的小組討論構成，其構成原則為﹕以主動性學習展開活動，以自力解決→小組討論→小組討論中自我修正的方式展開，根據理由的追問，評量指導一體化，因此，教學設計中，強調由自行關係發見，形成初步想法，而後，小組討論﹑自行修正﹑想法口語化等評量•指導一體化過程。茲根據前述本研究之發現，提出如下之結論：
一﹑擴大圖、縮圖概念學習的效果
日本地區測試時，將六年級擴大圖、縮圖的教材提前於四、五年級進行，可檢驗Vygotsky的「成長步伐隨著教育的痕跡展開」的主張外，亦可避免課外補習影響實驗判斷的準確性。因此，對照組全是六年級學生，其中一班班級人數達35外，其他兩班，班級人數分別是26人及29人，而且這兩班的任課教師全是教科書執筆者。實驗結果顯示，實驗組班級中，設定在最佳狀況（班級人數20人﹑六年級）下，如預期得到最高分（29分滿分中，其平均得分為28.37分)。即使是班級人數35人的四年級以及班級人數33人的五年級的實驗組，在縮圖﹑擴大圖的作圖以及圖形辨別，成績高而且分數集中。台灣地區的測試，也有相同之結果，無論是「縮圖繪製」、「擴大圖繪製」或就「整體效果」而言，實驗組公立小5平均得分都高於同校的對照組公立小6(p<.05)。「擴大圖繪製」方面，實驗組公立小5的平均得分也高於對照組附小6(p<.05)，而且，實驗組公立小5的中位數，不但高於對照組而且分散度較為集中。
二﹑擴大圖、縮圖概念的周延性
擴大圖、縮圖與原圖間的關係不僅是「對應邊長成比例」，「保角」亦是必要條件。實驗組公立小5的學童在辨別擴大圖、縮圖時，較對照組公立小6及對照組附小6，能同時指出「對應邊長成比例」及「保角」之條件。其中，指出「保角」的學童，實驗組公立小5佔77.1%，對照組公立小6佔52.7%，而對照組附小佔50%。
三﹑擴大圖﹑縮圖對應角、對應邊的繪製能力
整體而言，實驗組在擴大圖對應角﹑對應邊的繪製有優於對照組的傾向。但實驗組公立小5在畫邊長2.3cm的
倍縮圖時，僅79.3%會畫，究其因在於該對應邊長，商需求至小數第2位。因此，實驗組公立小5表現不理想，可歸因於計算能力，由此亦可得知，求商至小數第2位對於實驗組5年級學童而言，其程度未若對照組的6年級學童。對應角方面，除較易辨識的90∘角，三組的通過率高達95%以上外，必須輔以延長線後方能測得的角度，實驗組公立小5的通過率達75%，但相對於六年級對照組公立小6為58.0%，對照組附小6為54.4%，並達顯著差異(P<.001)。
四﹑學習過程之意見
學習過程中，三組的教師都提供「自己思考」及「發現擴大圖﹑縮圖與原圖間關係」的機會，除此，實驗組在對於「因為有自己核對答案的透明片，所以更了解」「因為和小組同學討論，所以更了解」「因為有提示單，所以更了解」「因小組的討論，所以學會」「容易懂而且有趣」等項目，相較於對照組持肯定態度(p<.05)。此外，學習過程中，扮演促成了解的最重要項目，對於實驗組公立小5而言是「核對答案的透明片」，對照組附小6則是「擴大圖﹑縮圖與原圖間關係的發現」，對照組公立小6則是「因老師的講解，所以學會」，高達83.5%提及，相對於此，附小6僅65.1%，實驗組公立小5也只有61.4%，對照組(p<.001)，可見使用K版教科書的對照組公立小6的學童對教師倚賴度最高。
貳﹑建議
皮亞傑的認知發展理論，主要說明個體以其先天心理結構與後天環境交互作用而引發智力成長的歷程，準此以觀，良好的教育環境對兒童智力的發展具有促進作用50。執鞭者認為人有上智下愚，學習成就上自有高低之分，鐘狀的學習成就分佈，被視為當然，教育的有效性被忽視，若是如此，教學效益何在51。但是事實上，兒童在學習過程中，能否主動進行數學本質概念的操弄，取決於學習者﹑教學者的優劣與教材的良窳等。筆者52以自行設計之教材與教學活動設計，對班後段學童施以補救教學後，發現即使是班後段的學童，線對稱圖形的通過率由38.9%提升至88.9%，點對稱圖形方面也由2.8%提升至72.2%。換言之，父母的教導方式、社經背景、教師的風格、專業學識的背景；學生學習的風格、性別、先前的知識...，固足以影響學生學習的狀況53，但是，教材與教學活動設計卻可以使非教育能改變(如前所述之家長的社經背景﹑教師的風格等)的變異量降低。
本研究援引Vygotsky的近側發展區域（zone of proximal development）及鷹架（scaffolding）理論，視內醞化的過程，藉由外顯的設計，兒童的智能將獲得更進一步的發展。教學心理學家重視教學進行的程序，Suchman指出如果不照這個次序，兒童或者產生錯誤的假定，或者使探討的效果事倍功半54。本研究試圖革新教材活動設計方式，結果如本章前節研究發現所指，無論是六年級學童或是四﹑五年級學童，皆能獲得更充份之發揮，本教材與教學活動設計教學模式確有助於擴大圖、縮圖的理解程度，換言之，各版本擴大圖、縮圖教材與教學活動設計仍有發揮之空間。教材是教師最倚重的教學工具，教材內容安排及呈現，直接影響學童的學習。教師負擔甚重的今日，課程教材若能與可行之教法緊密契合，不但俾於課程之落實，亦益於推廣，學童之學力方得以確保。由上述研究之結果，筆者發現教材與教學活動的設計，可由下列途徑加以發揮﹕
一﹑數學本質概念的追問
概念教學使學生減少資訊超載的負荷，構造性的瞭解，在回憶時具有再生的特質，學生未能掌握概念的關鍵特徵，較容易傾向分開學習一些事物。卜思55指出在倫敦大學主持的中學數學與科學概念大型研究計畫中，發現不管高低年級，不管那一個概念，概念瞭解層次並沒有隨年齡層的提高而增進。智力之可變性繫於個體是否有機會學習運思性的知識56。有些研究5758指出學業成敗會影響學業成就動機及自我概念的形成，學童在學習上的經常受挫，久之不但影響他們的學習意願，對人格的發展也不利。畢竟教學是協助或促進智能成長的一種努力，學校有責任提供學童高品質的教學，以協助其學習。教學活動設計中，以運思性的關鍵問語追問數學本質概念，能確保數學本質活動的進行。
二﹑形成性評量貫穿教學活動設計
「人何以能知？」「人如何獲知？」教育心理學從廣泛的教育問題探討，轉而集中研究教學歷程中如何教和如何學的問題，教學心理學大有取教育心理學而代之的趨勢59。當各種教學主義的呼聲甚囂塵上的當際，如果我們不希望我國的課程淪為外國的實驗室，那麼如何從本國的實際的教學情境中，建立有效的教學理論，並透過實徵研究，觀其在教育應用的可能性，將「為何能知」與「如何獲知」轉化成「如何教知」的方法，以致收「教師能教」與「學生能學」之效果，值得教學研究者的我們深思之重要課題。建構主義已蔚為時尚，從落實學習者本位的觀點，誠屬可喜。但Walberg60等分析了134篇文獻概覽包括7827件教學現場的研究，以及大規模的美國和國際的調查研究後，指出「提示」、「參與」、「改正回饋」、「增強」這些方法雖已不流行，效果卻相當大。筆者設計的教材與教學活動的設計中，經由形成性評量融合這些教學因素，讓每個概念的學習過程中，獲得即時的回饋與修正。研究結果證實，確實可行。
三﹑形成性評量式小組討論的設置
實驗組因小組討論的設置，全班積極參與，並從同學間的互動中獲得學習與滿足。上述之「數學本質概念的追問」，雖可促使兒童持有自己的想法，易於討論活動的進行，若以全班為單位進行討論，即使能引出多樣性的思考，未能活用時，僅止於學童想法的介紹，或某一想法的灌輸。形成性評量式小組討論的設置，由於人數較少，比較有發表的機會，兒童想法容易獲得即時回饋修正。Leinhardt61指出專家教師具有診斷和補救的能力，能夠了解學生成敗的原因；生手教師則往往依學生的表現結果來解釋其成就，而較少於教學進行中評估學習，職是之故，教學活動過程中，若施以形成性評量的小組討論，將能協助生手教師於教學進行中診斷和補救。
四﹑以容易掌握方式呈現教材與教學活動設計
筆者提供給教學者的版面設計中，在每個活動的左側，對照地列有該活動的目標、需用的教具;右側則提供設計的緣由;中間部分除呈現活動流程外，並提出學童可能發生的錯誤狀況，讓老師即時掌握重點及因應。此外，教材活動冠以標題，得以知活動內容；圖案的穿插，得以知活動進行的方式。Brown的研究62指出，有效率的學習者閱讀時會：(1)澄清閱讀目的；(2)辨認文章重點；(3)將注意力放在重點上；(4)監控閱讀理解；(5)複習及自我省思等。因此，教材內容與教學活動設計，應當引導老師及學生即時掌握學習內容的目標與重點。研究63也指出關係著學生學習成就的五個教師特質：(1)為人熱誠，(2)做事井然有序，(3)清晰呈現教學內容，(4)教材與教學過程多樣化，(5)提供學習機會。然而教師特質中的為人熱誠、做事井然有序等部份，亦非可以左右，但是我們可以透過有效的教材與教學活動的設計，讓教師有所依循，以致能清晰呈現教學內容、教材與教學過程多樣化、提供學習機會。使得該部份在解釋學習成就的變異加大，卻是課程研究設計者在提升小朋友有效的學習上，可以使力的部份。然而設計時，當就其可讀性上，加以考量，雖然課程研究設計者可以透過面對面的溝通，增長教師在該方面的教學知能，然而面對如此龐大的教師人數，勢必集聚各方管道，但是經過多層次闡釋後，面臨的可能是失真。因此一手的教材與教學活動設計如何清晰呈現，值得深思。包班制的現況不容忽視，教師所面對的不僅只是數學一科而已，如何為文言簡易賅，平易而不失其真，是為新課程推出之際，除了教材內容與教學活動設計如何設計外，另一課題。
參﹑研究展望
學生主動建構知識不能坐待其自然之發展，本研究援引Vygotsky「成長步隨著教育的痕跡展開」的主張及其鷹架理論，視內醞化的過程，藉由外顯的設計，兒童的智能將獲得更進一步的發展。強調教學過程中，不是「知識結果或知識過程」從中擇一關係，而是「知識結果且知識過程」，亦即本質的知識，並非以知識結果的型態給予，而是同時重視知識∙技能產生的過程。並基於提示、參與、改正回饋與增強等四項教學心理要素，在有效的教學中，扮演了重要的角色，以及具體的教材、引導式發現活動、歸納式的呈現順序，較能認知涉入，因此主張「經由數學本質概念的追問、形成性評量式小組討論及形成性評量，將促成主體性學習並形成概念。」。設計時，以數學本質概念的追問、形成性評量式的小組討論及利用核答透明片、提示單自行修正的形成性評量等活動構成。教學設計中，強調由自行關係發見形成初步概念，爾後經由小組討論﹑自行修正等形成性評量過程，形成概念及技能。
雖然，日本地區實證研究結果發現，即使是六年教材，因設計教材的不同，於四﹑五年級課堂進行，也可以有不亞於六年級的表現。台灣地區學童測試結果發現，實驗組的公立小5年級學童在擴大圖、縮圖的概念掌握、周延性、繪製方面的表現，不但不遜於對照組的附小6年級學童，平均得分都高於對照組同校公立小6(p<.05)，且中位數高於對照組，分散度亦較為集中。學習過程中，實驗組對於「因為和小組同學討論，所以更了解」「因為有自己核對答案的透明片，所以更了解」「因為有提示單，所以更了解」「因小組的討論，所以學會」「容易懂而且有趣」等項目，亦較對照組持肯定態度(p<.05)。然而，若能從「生活化的數學」角度多加著墨，小朋友知「為何而學」時，引起內在學習動機時，是否更能認知涉入，進而可以兼收「不但能學，而且樂學」之效。下一階段，筆者將就此加以探討。
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附錄
活
動目的．方式
【個人思考】
【指名發表】
教學設計與反應
(甲) (乙)
如何才能使(甲)圖像(乙)圖那樣看得更清楚?
我的方法是:
放不進去框框裡，要怎麼辦呢？
日常生活中，什麼時候將圖在不改變形狀的情況下擴大、縮小呢?
什麼時候擴大:
什麼時候縮小:
說 明
【個人思考】
【小組討論】
【指名發表】
先行確認小朋友是否瞭解對應邊﹑對應角
•將提示單交給不會測量角度的小朋友
•著眼於邊長的關係
【個人思考】
【小組討論】
【指名發表】
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
(乙)
(甲) 圖和(乙) 圖相同處在那裡?不同處又是在那裡?
相同處 形狀65%形狀&角度35%
不同處大小(面積)50% 大小(面積)&邊長50%
自己的發現，與小組其他人一樣嗎?
相對應的角度與相對應的邊，有什麼的麼關係呢?
相對應的角度 相同 100%
相對應的邊長 倍90% 不一樣長 10%
將自己的發現說給小組其他人聽，並檢討是否合理。
【幾倍擴大圖、縮圖的命名】
(乙)圖是(甲)圖的2倍擴大圖 。
(甲)圖是(乙)圖的
倍縮圖
想想看是以什麼的幾倍命名呢? 再小組討論是否合理。
「2倍」命名的理由是:
邊長兩倍 85% 形狀2倍 5% 空白10%
「
倍」命名的理由是:
邊長
倍
85%
形狀
倍
5%
空白10%
畫擴大圖、縮圖前，首先讓小朋友作原圖與擴大圖、縮圖間的比較觀察，嘗試發見原圖與擴大圖、縮圖間的法則關係。
如左所示，最初，全體小朋友雖已察覺出兩者形狀相同，而在「相對應邊的長度與對應角的角度 ，有什麼的麼關係呢？」 的發問下，方才發現對應角度也相同(35%→100%)。而90%的小朋友發見不僅是邊的長度不同而且各個對應邊，存在著相同比例的關係。
在幾倍命名理由的追問下，85%的小朋友篩選出決定幾倍的擴大圖、縮圖的要素。
【個人思考】
【
小組討論】
【指名發表】
【個人思考】
【指名發表】
上面的圖中，(丁)圖是(乙)圖4 100% 倍擴大圖。
•角度相同，邊長4倍75%
•度相同，邊長不是2倍10%
•角度相同，邊長長5%
•角度相同5%
•邊長4倍5%
(丙)圖是(乙)圖的擴大圖?不是100%
•角度不同，邊長不成倍數關係75%
•角度不同20%•空白5%
理由:
(乙)圖是(甲)圖的縮圖嗎? 是100%
•角度相同，邊長
•邊長
倍90%
倍5%
•角度相同，邊長短5%
理由:
將自己的理由說給小組其他的人聽，並檢討
自己的理由是否合理。
•角度不變，邊長倍數地擴大50%
•一個圖形，不改變形狀地擴大10%
•角度不變，邊長擴大15%
•角度不變，邊長擴大2倍10%
•角度相同，原圖所有的邊長與擴 大圖所有的邊長的比相同5%
•空白10%
所謂的擴大圖是
•角度不變，邊長改短35%
•一個圖形，不改變形狀地縮小10%
•角度不變，邊長
•角度相同，原圖的所有邊與縮圖的所 有邊的比例相同5%
•角度相同，邊長
•空白5%
倍縮小15%
倍縮小20%
所謂的縮圖是
小組中彼此檢查，看看要點是否都包括了。
為確認小朋友是否確切掌握先前之發現，進行形成性評量。
如左所示，多數的小朋友在此時，已能辨別擴大圖、縮圖，並能說明理由。
多數的小朋友在此時，已能就自身經驗對擴大圖、縮圖加以定義。
•將提示單交給不會測量角度的小朋友
•
將提示單交給不會畫角度的小朋友
•對於理解力較差的小朋友明示三邊。
【個人思考 小組討論 指名發表】
•使用附解答的OHP (每小組各一張)再確認
【
個人思考 小組討論 指名發表】
大家一起來畫2倍的擴大圖。
想想看，相對的邊該怎麼畫。
想想看，相對的角該怎麼畫。
完成擴大圖 100%
(甲) (乙)
查查看自己畫的情形，再小組討論，並找出原因。
我雖然畫大了，但形狀改變。
原因是: 角度錯 5%
我畫對了!
• ASA 65%
• SSS
25%
• 以3邊和3角確認10%
方法是:
【縮圖的製作】
大家一起來畫
倍的縮圖。
完成縮圖
100%
100%
畫
倍縮圖時，什麼是必要的條件呢?
對應邊長應該是:•
倍90%
•空白
10%
對應角應該是: •相同90%•空白 10%
確認一下自己和小組其他人的圖，是不是都成
倍的縮圖呢?
•邊長與角度
85%
•邊長
5%
•空白
10%
必須要確認什麼呢?
如果錯了，找找看它的原因是什麼?誤差 5%
以個人思考→小組討論→指名發表的順序展開擴大圖、縮圖的製作。首先讓每位小朋友，持有自己的想法，並在小組討論的安排下，由於人數較少，小朋友易於有提出自己想法及自我修正的機會。
如左所示，在全體的小朋友都能製作擴大圖的同時，並知道對應邊長及對應角度是必要的條件。
如左所示，全體的小朋友都能製作縮圖的同時，並知道對應邊長及對應角度是必要的條件。
應 用
【個人思考】
【
小組討論】
【
指名發表】
•使用附解答的OHP (每小組各一張)再確認
性質的利用
【個人思考】
【
小組討論】
【指名發表】
回
顧
【擴大圖、縮圖的挑戰】
讓我們向(甲)圖的
倍縮圖及2倍擴大圖挑戰。
確認一下自已和小組其他人的圖,是不是
都成
倍及2倍的擴大圖呢?
確認時，要檢查什麼呢?
如果錯了，找找看它的原因是什麼?
原因:
【擴大圖、縮圖性質的利用】
利用擴大圖、縮圖性質解題後，和小組其他人討論是否合理。
已知上圖中四角形ABCD 是四角形EFGH 的2倍擴大圖
角(ㄅ)幾度呢?
120° 100%
理由:因為對應角相等 100%
邊幾公分長? 26cm l00%
理由: •因為是2 倍擴大圖 ，所以邊也2 倍 95%
•空白 5%
邊GH幾公分長?• 9cm 95% •空白 5%
理由:
因為將邊長
倍100%
在擴大圖，縮圖的單元中學到什麼?
進行形成性評量的目的在於瞭解小朋友是否能利用擴大圖、縮圖的性質加以應用。
評量•指導一體化的想法下 ，備有自我檢驗用的OHP 片。
在此階段 ，全體小朋友已都能繪製擴大圖與縮圖。
進行形成性評量，確認能否活用擴大圖、縮圖性質。
如左所示,幾乎所有的小朋友都能活用性質。
小學 年 班 號 男女姓名
【擴大圖、縮圖的功能】
（乙） （甲）
如何才能使(甲)圖像(乙)圖那樣看得更清楚?
我的方法是: 。
放不進去框框裡要怎麼辦呢﹖
日常生活中，什麼時候可將圖在不改變形狀的情況下擴大•縮小呢?
什麼時候擴大﹕ 。
什麼時候縮小﹕ 。
【擴大圖、縮圖與原圖間的關係】
| ||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||
（乙） （甲）
（甲）圖和（乙）圖相同處在哪裡?不同處又是在哪裡?
相同處： 。
不同處： 。
自己的發現，與小組其他人一樣嗎?
相對應的角度與相對應的邊長，有什麼關係呢?
相對應的角度は 。
相對應的邊長さ。
將自己的發現說給小組其他人聽,並檢討是否合理。
(乙)圖是(甲)圖的2倍擴大圖。
(甲)圖是(乙)圖的
倍縮圖。
想想看是以什麼的幾倍命名呢?再和小組討論是否合理？
「2倍」命名的理由是： 。
「
倍」命名的理由是： 。
【擴大圖、縮圖概念•性質的再確認】
24cm
10cm 68° 22° 12cm 13cm 5cm
68° （乙） (甲)
22° 26cm
68° 22°
20cm 52cm
(丁) 26cm
(丙) 55° 12cm
48cm 30° 62°
上面的圖中，(丁)圖是(乙)圖的倍擴大圖。
わ
・理由：
(丙)圖是(乙)圖的擴大圖嗎?。
わ理由：
(乙)圖是(甲)圖的縮圖嗎? 。
理由：
將自己的理由說給小組其他的人聽,檢討自己的理由是否合理。
什麼是擴大圖、縮圖呢?
所謂的擴大圖是:
小組中彼此檢查,看看要點是否都包括了。
【擴大圖的製作】
大家一起來畫２倍的擴大圖。
想想看，相對的邊該怎麼畫？
想想看，相對的角該怎麼畫？
（甲）（乙）
查查看自己畫的情形，再小組討論，並找出原因。
我雖然畫大了，但形狀改變。
原因是：
我畫對了！
方法是：
【縮圖的製作】
讓我們來畫
倍的縮圖。
畫
倍縮圖時，什麼是必要的條件呢?
對應邊應該是：
對應角應該是：
確認一下自己和小組其他人的圖，是不是都成
倍的縮圖呢?
必須要確認什麼呢?
如果錯了，找找看它的原因是什麼?
原因是：
【擴大圖、縮圖的挑戰】
讓我們向(甲)圖的
倍縮圖及2倍圖挑戰。
縮圖 （甲） 擴大圖
確認一下自己和小組其他人的圖，是不是都成
倍縮圖及2倍擴大圖呢?
確認時，要檢查什麼呢?
如果錯了，找找看它的原因是什麼?
原因是﹕
【擴大圖、縮圖性質的利用】
利用擴大圖、縮圖性質解題後,和小組其他人討論是否合理。
已知右圖中四角形ABCD是四角形EFGH的2倍擴大圖。
理由：
邊ＢＣ幾公分長？。
理由：
邊ＧH幾公分長？。
理由：
小學 年 班 號ばん(姓名 )
請寫出學習擴大圖、縮圖的感想
1、擴大圖、縮圖的學習，因為
，所以覺得
２、擴大圖、縮圖的學習，因為
，所以であったで
３、擴大圖、縮圖的學習時，感受到哪幾項？在感受到的項目處畫Ｏ。
( )能明白擴大圖、縮圖的意義真好。
( )會畫擴大圖、縮圖感到高興。
( )畫擴大圖、縮圖難，會畫感到高興。
( )能由擴大圖、縮圖關係的發現會畫，感到高興。
( )畫擴大圖、縮圖感到困難時，由於發現解決之道，感到高興。
( )在與同學的討論中，學會畫擴大圖、縮圖，感到高興。
( )其他 。
４、比較擴大圖、縮圖的教學與從前的教學有什麼不同，如果有，請寫出。
５、請寫出學習擴大圖、縮圖時的感想。
擴大圖、縮圖的教學感想調查
姓名
針對擴大圖、縮圖的教學設計，請提出您的意見與感想，並加以評定。
評定
よ不 錯い 普 通 必須下工夫が 意見•感想 觀 點 | ||
兒童是否能進行主體性的學習？ | ||
是否符合兒童的實際狀況? | ||
活動是否容易進行？ | ||
若有其他的看法，請寫出。 | ||
擴大圖、縮圖學習感想調查
◎在下列每個項目中，請逐一在最接近自己的想法處打「ˇ」
非常同意 意見 項目 同意 沒意見 不同意 非常不同意 | ||||||
擴大圖、縮圖的上課 | 剛開始的時候，什麼都不懂上課後會畫，真好。 | |||||
因為和小組同學討論，所以更了解。 | ||||||
因為有自己核對答案的透明片，所以更了解。 | ||||||
發現擴大圖、縮圖與原圖間的關係，所以會畫。 | ||||||
有自己思考機會，所以更了解。 | ||||||
因為有提示單，所以更了解。 | ||||||
因小組的討論，所以學會。 | ||||||
因老師的講解，所以學會。 | ||||||
容易懂而且有趣。 | ||||||
《謝謝您的努忙！並請再確認是否在每個項目中，都勾選出自己的想法》
擴大圖、縮圖教與學後實驗組之意見•感想
任課老師
「兒童們非常有興趣地投入活動。由於是５年級的學生，所以所有的小朋友們，都在沒有經驗下，開始擴大圖、縮圖的學習。途中，兒童以為擴大是指面積２倍﹑3倍…的延展。直到發現關鍵在於邊與角時，學習氣氛為之一變。兒童們製圖間，了解擴大圖、縮圖，並以OHP確認，主體性地進行學習。」「概念上沒有問題。但由於有手靈巧與否的差異，所以有的小朋友概念理解上雖沒問題，但畫不好。」（EM5任課教師）
「由於OHP等的使用，促使兒童興趣盎然。自己的圖有錯時，一目瞭然可以得知，所以重畫的意願，油然而生。」「對於想自行處理的小朋友而言，是不錯。尤其適合理解力差的小朋友，還可以準備一些更具挑戰性的素材，供反應快的小朋友使用」（EO6任課教師)。
小朋友的感想
EK4的小朋友
【分組討論】
「和往常數學課不一樣的是，以小組進行教學，由於這樣有趣的學習是第一次，所以感到特別愉快。」
「又可畫擴大圖、縮圖﹑又可以聽別人擴大圖、縮圖的畫法，所以非常快樂。」
「在明白易懂的討論中學習，所以非常明瞭。」
「因為有機會和同學討論，所以非常明瞭。」
「因為和同學相互討論學習，所以有趣。」
「大家彼此教，彼此討論，所以非常明瞭。」
「和小組人作各種討論，所以非常明瞭。」
「因為以小組方式進行，所以非常明瞭。」
「大家一起設法，所以愉快。」
「擴大圖的學習時，是大家一起思考，平常學習時，只是一個人思考。」
「小組討論學習，所以覺得愉快。」
「和同學討論學習，所以非常明瞭。」
「因為討論，所以完全瞭解。」
「一起討論學習，所以非常明瞭。」
【挑戰】
「感到難，又感到愉快，經過好幾次失敗後，一旦會了，鬆了一口氣。」
「擴大圖、縮圖的學習，最初很難，但是在做的當中，變得快樂。」
「畫擴大圖、縮圖很難，慢慢地能畫出，感到高興。」
「有趣但費勁，因簡單明白易懂，所以非常明瞭。」
「因為第一次接觸，所以還擔心著能否學會，但因為完全學會，所以感到非常高興。」
「雖然難的地方也有，但是非常愉快。」
「困難的地方還是有，但是漸漸地就明白了。」
「雖然難，但是做了各種努力。」
「剛開始量邊和角度時，覺得麻煩討厭，但隨著學習的進行，變的有趣。」
「雖然相當難，但是非常愉快。」
「因為難，但是會了，感到高興。」
「有一點難，但是大部分很簡單。」
「能將擴大圖、縮圖弄清楚，所以感到高興。」
「由於難，重畫了好幾次。」こ
【OHP解答】
「畫擴大圖•縮小圖最難，但是與解答圖吻合時，非常愉快」
「寫理由時，想了一下，試著畫時快樂但有些難。」
【其他】
「平常說到數學幾乎是計算，像這樣的問題就很有趣。」
「比以往的上課愉快。」
「上課時有趣，所以感到愉快。」
「因為完全瞭解，所以感到高興。」
「因為有趣，所以愉快。」
「因為愉快，所以非常明瞭。」
「我認為這次的學習，非常愉快。」
「因為簡單，所以愉快。」
「因為簡單，所以非常明瞭。」
「雖然有不懂得地方，但是快樂。」
EK5的小朋友
【分組討論】
「因為大家一起做，所以完全瞭解。」
「能和同學討論，感到真好。」
「容易做，而且能和大家一起學習，出乎意料地愉快。」
「不用聽老師講解，以小組討論方式進行，與以往的課不同。」
「因為大家一起做，所以完全瞭解。」
「因為小組能討論，所以感到高興。」
【其他】
「因為覺得比平常還瞭解，所以感到高興。」
「容易懂，所以有趣。」
「容易做，而且完全懂，感到愉快。」
「是非常愉快的學習。」
「愉快。真想再做。」
「非常快樂。」
「以不同於從前的方式學習，非常快樂。」
「有趣。」
「愉快且懂。」
「因為簡單，所以高興。」
「自己能將擴大圖、縮圖畫得好，感到高興。」
「畫圖不拿手，有太多的圖，感到困難。」
【OHP解答】
「畫圖後核對答案，所以完全瞭解。」
「能充分瞭解擴大圖、縮圖的涵義，非常快樂。能自己核對答案也很好。」
「因為有核對答案用的OHP，所以能充分瞭解。」
「因為自己核對答案，所以非常明瞭。」
【挑戰】
「開始覺得麻煩，後來越來越愉快。」
「由於這個學習，自己能用各種方法思考，所以有趣。」
「最初不懂的部分，懂了真好。」
「剛開始畫擴大圖時，覺得非常難而不會，但是畫縮圖時，相當輕鬆地完成。」
「剛開始上擴大圖、縮圖的時候，什麼都不懂，上課後完全懂，感覺真好。」
「能畫圖及能解困難的問題，感到高興。」
「畫擴大圖、縮圖時，覺得難，能瞭解意義及畫法，真好。」
「從前上課時，老師寫在黑板，我們抄在筆記本，這次的擴大圖教學，使用講義，非常有趣。在最後能正確畫出，感到非常高興。」
「作圖時，感到有點焦慮，能畫時，感到非常高興，所以是非常快樂的學習。」
「雖然難，但是完全瞭解。」
「不懂的地方能懂，所以高興。」
【OHP解答】
「畫圖後核對答案，所以完全瞭解。」
「能充分瞭解擴大圖、縮圖的涵義，非常快樂。能自己核對答案也很好。」
「因為有核對答案用的OHP，所以能充分瞭解。」
「因為自己核對答案，所以非常明瞭。」
【其他】
「不是老師寫在黑板上的學習，而是用講義，能學到真好。」
「講義的學習，易懂快樂。」
EH6的小朋友
【挑戰】
「能畫擴大圖、縮圖，感到高興。」
「雖然有一點難，但很快樂。」
【其他】
「比起從前的上課，非常容易懂，希望以後都一直以這種的方式上課。」
「比起補習班，學校的上課方式，非常明瞭。」
「比起平常的上課簡單。」
「因為出乎意料地簡單，所以快樂。」
「擴大圖、縮圖的學習，比平常的學習，還要簡單。」
「有趣。」
「簡單有趣真好。」
「因為非常明瞭，所以快樂。」
【分組討論】
「因為討論機會多，所以快樂。」
「因為能一面和同學商量一面做，所以快樂。」
「因為同學教，所以非常明瞭明瞭。」
附錄7﹕擴大圖、縮圖單元活動設計原則
擴大圖、縮圖單元活動設計原則
活動設計時，整體上而言，是以數學本質概念的追問及﹑形成性評量﹑形成性評量式的小組討論構成。茲將構成原則陳述於后:
(1)以主動性學習展開活動
在主動性學習的理念下，「過程參與」取代「灌輸」，以「問題解決」貫穿整個學習過程。在問題設定階段，首先，讓兒童意識知識的有用性之後，經由既習知識的活用，試著發現原圖與擴大圖間的法則關係。再經由反覆推論與嘗試錯誤，篩選出擴大圖、縮圖的決定要素，最後確認先前發現的準確性。
(2)自力解決後小組討論→小組討論中自我修正
課堂開始之際，若採集體指導形態，已經會的小朋友很快就提出結論，而留下理解力較差的小朋友。因此，給予充分的自力解決時間，讓小朋友有機會持有自己的想法以及回顧自己的想法與做法後，才安排小組或集體的形態，讓彼此的想法在相互激盪後，做自我修正。
(3)根據理由的追問
教學的流程中，小朋友的思考方式，隨著發問而改變，根據理由的追問下，小朋友不得不擁有自己的想法，形成易於討論的局面，而且養成表達意見時，說理的態度。
(4)評量指導一體化
經由提示單，使得鞭長莫及的兒童，能自己藉由提示單，與舊知識連結，解決課題。此外，附解答的OHP提供即時自我修正的機會。至於自力解決後的小組討論，因小組人數遠較班級人數少，個人想法的妥當性，較容易即時獲得確認。
職是之故，擴大圖、縮圖教學活動設計之際，首先提出擴大圖、縮圖的線索或提示(提供發現的機會);在小朋友仔細觀察後，提出關鍵性問語，引導學生釐清擴大圖、縮圖概念的屬性並發表擴大圖、縮圖的特徵(誘發表現)；之後，予以擴大圖、縮圖的定義(形成概念)；並施以形成性診斷評量，以能區分概念的正例與非例(non-exmples)方式佈題，讓兒童對主要問題做反應(回饋治療)，幫助學生將所學的概念達到理解的認知層次；並要求小朋友表現相關技能(確認概念)。
《活動單中的標籤： 代表課題 代表進行方式 》
附錄8﹕擴大圖、縮圖概念學習效果評量卷
擴大圖、縮圖概念學習效果評量卷
36° 2cm 2cm 6cm 1cm 4cm 1.5cm 3.5cm 4cm 6cm 108° 108° 46° 26° 46° 108° 26° (甲) (乙) (丙) (丁)
小學年班號男 女 姓名
2cm 2.5cm 4cm 8cm 3cm 108° 108° 26° 46° 84° 60°
找出擴大圖、縮圖
1.上圖中，(乙)圖是(甲)圖的2倍擴大圖嗎? 是的不是
理由：
2.上圖中，(丙)圖是(甲)圖的2倍擴大圖嗎? 是的不是
理由：
3.上圖中(丁)圖是(P）圖的
倍縮圖嗎?
是的不是
理由：
( A
(乙) 107° B E F H
120° 107° 11cm
□cm
60° 73°
(甲)
□cm G
73° C
42cm D
l.邊BD的長度是＿＿＿＿cm。 3.角(甲)是幾度?＿＿＿＿
2.邊GH的長度是＿＿＿＿cm。 4.角(乙)是幾度?＿＿＿＿
倍縮圖與
(四)要如何確認是否是2倍的擴大圖?
角度的測量方法
１.將量角器的中心點與頂點Ｂ重合。
２.０°線對齊邊ＢＣ。
３.邊AB不夠長時，將邊AB。
４.讀與邊重合的刻度。
【 0° C
提示單 角度的畫法】
Combin
角度的畫法
50°
１.畫角的一邊ＢＣ。
２.將量角器的中心點與頂點B重合，並將０°線對齊邊BC。
３.０°線對齊邊BC將要畫的角度(例如50°)的刻度處，做記號。
４.畫一條通過點Ｂ與記號處的直線。
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