六年級數學：圖形放大與縮小教學設計

活動名稱

圖形擴大與縮小

適用年級

六年級

教學節數

4節

設 計 者

劉玉玲 邱靖琍 邱婉婷

教學學校

富台國小

教學班級

教學者

教 學 日 期

教學節次

教 學 重 點

.. ..

第一節

引起動機，生活功能導入複習舊經驗(全等概念)

.. ..

第二節

辨認縮小放大圖形

.. ..

第三節

觀察縮圖或擴大圖邊長成比例及角度不變的關係

.. ..

第四節

畫出擴大縮小圖

教學準備

活動一：三張全等圖卡、自製海報數張、相類似但不全等的圖卡、小白板

活動二：圖卡、小白板、海報、相同圖案數張（含放大、縮小、拉長）、學習單

活動三：海報、學習單、小白板

活動四：海報、方格紙、學習單、小白板

參考資源

林宜臻的數學園地：http://www.naer.edu.tw:8080/

南一版數學六年級第七單元：縮圖

設計理念

以教室佈置時壁報紙的使用情境，抽離了複雜圖像，單純的討論長方形的放大縮小。而放大縮小的倍率是以對應邊長的變化倍率為準，不以面積的變化為準。由於同學的視覺容易受區域形狀的影響，所以必須加以強調。

.利用方向一樣的多邊形，讓學生易於察覺對應關係，配合對長方形放大縮小的了解，便能很容易接受格子圖放大縮小的方法。

延續教室佈置的情境進入格子圖的介紹，利用圖形的比較與討論方式，讓學生發現可用不同的方式在格子圖上找到不同的對應點，並在縮小時使用粗細不同樣式的格線，讓學生方便觀察。

利用格子的著色使學生容易找到對應邊長的比，避免較有爭議的測量方式。

教材地位

數學本質之概念

圖形變換，是屬於平面幾何中的一環，而所謂的圖形變換，就是指平面上全部的點按照一定的規則（即相互對應的關係，也就是對應點），可以與另一個平面上全部的點有一對一的關係。簡單的說，就是能夠將一個平面圖形按照一定的規則移到另一個平面圖形上。

全等變換

當變換的圖形與原來的圖形全等的時候，這種變換就叫做全等變換。至於要符合全等的條件，則是當兩個圖形相重疊的時候，如果是剛剛好的話（形狀與大小都一樣），那麼就叫做全等圖形。而所謂全等圖形，就是表示兩個圖形重疊在一起的時候，無論是頂點、邊、角都與對應的頂點、邊、角完全吻合，而且大小也要完全相同。

檢驗是否為全等圖形有以下三種方法：

1.以固定的方向移動（平行移動）。

2.設一個定點為中心，然後旋轉（旋轉移動）。

3.翻轉（1.從背面看　2.線對稱　3.用鏡子反射）。

利用上面三種移動方式就可以將圖形重疊。此時若為全等圖形時，則將圖形移動的時候，無論形狀或大小都不變，也就是角度的大小、邊長以及面積都不會有任何改變。

平行移動─在平面上透過平行或垂直移動，使原物件的位置產生移動的現象。

旋轉─平面上透過旋轉活動產生位移，而圖形與所呈現的圖像不變。

翻轉─將平面圖形翻轉180°，產生位移，此時圖形未改變，而圖像從原來的正面轉為反面。

相似變換

如果變換後的形狀一樣，但是大小不同，變成放大或縮小的形狀（相似形），這種變換就叫做相似變換。

相似變換的兩種型態：擴大與縮小

圖形的擴大圖與縮圖，通常以邊長的比值來描述其擴大或縮小的倍率。在原點與其擴大或縮小後的像點所成的對應之下，其對應角相等，對應邊成比例。

比例尺是表示縮圖（或擴大圖）上的長度和實際長度的比值。縮（擴大）圖和比例尺，可說是比和比值的應用。比例尺的求法，一般採計算縮（擴大）圖和原圖的對應邊長之比，常以1和其縮小（擴大）倍率的比、比值或線段圖表示。例如一張比例尺為「1:1000」的地圖，以比的觀點來看，表示地圖上的1個單位長線段，就是代表實際上的1000個單位長。若單位為公分，則地圖上的1公分，表示實際上的1000公分。以比值的觀點來看，它表示地圖上的1是實際上的1/1000。有些地圖上，比例尺的說明，除了比值或比的形式外，常配以線段圖。

仿射變換

仿射就是類似的意思，所以仿射變換也可以說就是類似變換。

在透明玻璃板α貼上能透光的紅色圓形薄紙，如果一樣把玻璃板α拿到平面β的上方，但不是與平面β平行，而是有些傾斜的話，則投影在平面β上面的圖形就不是圓形，而是橢圓形（圓的兩個交叉的垂直直徑，會有一個方向變成放大或縮小）

比較

當變換的圖形與原來的圖形全等的時候，這種變換就叫做全等變換。如果變換後的形狀一樣，但是大小不同，變成放大或縮小的形狀（相似形），這種變換就叫做相似變換。全等變換就是在相似變換的特殊情形下，相似比為1時的相似變換。相似變換就是在仿射變換的特殊情形下，兩個平面平行時的仿射變換。

數學概念之發展

近年來世界先進國家（如美國、俄國）大都以荷蘭數學教育家van Hiele夫婦的幾何學習發展理論為根據設計幾何方面的教材。van Hiele夫婦認為一個人幾何概念思考模式可以分成五個發展層次，每個層次有其發展特徵。

第O層次——視覺期（Visualization）

此階段學童可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形。透過視覺觀察具體實物，以實物的整體輪廓來辨認圖形，在視覺下差異不大的圖形，他們可以透過移動旋轉等方式辨識，可以使用非標準語言或標準數學術語描術物件的形狀，如像門的形狀為長方形，像盤子的形狀為圓形。雖然知道物件的形狀何者稱為「正方形」、「三角形」、「圓形」、「長方形」，但不能瞭解其真正定義。因此，這階段的學童宜多安排感官操作的活動，讓兒童透過視覺進行分類、造型、堆疊、描繪、著色等活動獲得概念。

第一層次——分析期（Analysis）

此階段的學童可以從圖形的構成要素以及構成要素之間的關係分析圖形，並且可以利用實際操作（如折疊、尺量，以格子觀察或設計特別的圖樣）的方式，發現某一群圖形的共有性質或規則。他們已具有豐富的視覺辨識經驗，能察覺到長方形有四個邊，四個角，且有兩個長邊，兩個短邊，對邊相等，但不能解釋性質間的關係，如知道菱形是四邊相等，對角線互相垂直平分的四邊形，但卻不能理解兩者的推理過程。能描述圖形的定義，但不易精簡描述的過程。此階段的學童，宜安排一些製作及檢驗的活動，使從製作與檢驗中獲得圖形的性質。

第二層次——關係期（Relation）或非形式演繹期(Informal Deduction)

此階段兒童可以透過非正式地論證把先前發現的性質作邏輯地聯結。能進一步探索圖形內在屬關係及各圖形間的包含關係，如四邊形兩雙對邊相等即是平等四邊形，而不必將所有屬性均描述出來才能確認其圖形。在瞭解圖形內在關係後，可以建立長方形是平行四邊形的一種；平等四邊形中，有一個角為直角時，此四邊形即為長方形；可以知道n邊多邊形的內角為（n－2）180度等概念。

第三層次——形式演繹期（Formal Deduction）

此階段者，能用演繹邏輯證明定理，並且建立相關定理的網路結構。他們可以在一個公設系統中建立幾何理論，他們不只是記憶圖表的性質，而且能夠證明，並瞭解一個證明的可能性常不只一種方法。可以理解一個定理的充分或必要條件之內在關係，發現正逆命題間的差異性。例如：能瞭解正五邊形邊長均相等，內角亦均相等，但邊長均相等的五邊形不一定是正五邊形。

第四層次——嚴密性（Rigor）或公理性（Axiomatic）

此階段的人，可以在不同的公理系統中建立定理，並且分析或比較這些系統的特性。例如能區別幾裏德幾何與非歐幾何的差異，也可瞭解抽象推理幾何，甚至可自創一種幾何公設系統。此層次一般人很難達到，即使是以數學為專業者亦不易達成。

根據van Hiele研究顯示，上述五個層次有其次序性，學習者需擁有前一層次的各項概念與策略，才能有效進行下一層次的教學活動。同時，亦由於教材內容屬性的差異，會影響學習者落入不同層次中。國小低年級學童大都均在第O層次的視覺期，故其對幾何圖形的瞭解須藉由實物的操作、觀察、描述與比較，經過無數次具體經驗，使其在視覺層次具備豐富經驗後，始能秩序漸進的達到較高層次。中年級學童大約可以達到第一層，高年級學童大約在第一層至第二層的過渡時期。

迷思概念

在圖形擴大與縮小的情況中，邊長的改變是一維的變化概念，面積的改變是二維的變化概念。學童對於後者的瞭解較為困難，必需透過直觀的圖形分割才能理解。

關於「放大幾倍」與「放大為幾倍」之語詞，一般常有不同之解釋。「放大幾倍」是指增加的部分，並不包括原來的一倍，例如「放大2倍」，是指比原圖增加2倍，若包括原圖應為原來的3倍；「放大為幾倍」，通常指「放大為原圖的幾倍」，其中包括原圖的一倍在內，例如「放大為2倍」，是指包含原圖的一倍與增加的一倍共兩倍的意思。在本單元教學時，最好皆以「放大為原來的幾倍」來說明較好，以免造成溝通上的混淆。

學生測量時，難免會有一些誤差，倘若誤差不大應該是可以允許的。

若老師將縮小或放大的圖轉換方向，學生較無法辨別。

學生進行操作時。容易忽略保角觀念，而導致畫出之縮放圖變形。

處理的特色

由觀察不同遠近的景色，經驗圖像的擴大和縮小後的效應，並利用方格觀察，嘗試說出圖形的擴大或縮小圖的關係。

以實際圖形或生活中的實際物品，觀察擴大或縮小圖之對應邊和對應角之間的關係。

藉由觀察擴大（縮小）圖與原圖之對應邊和對應角關係判斷擴大（縮小）圖，並經驗擴大N倍的圖形，面積擴大N的平方倍之關係。

由比例尺之需要感情境，認識比例尺，並運用於地圖上有關情況的閱讀。

學生無法察覺方向改變時，可實地拿一張圖操作講解。

學生忽略保角觀念，而導致畫出之縮放圖變形時，教師可利用透明描圖紙來進行比對疊合動作，使學生清楚，待學生熟悉後，再改以普通試卷紙進行。

能力指標

具體目標

S-3-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。

S-3-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響。

復習全等圖形的對應關係。

透過操作活動，辨認圖形的全等、縮小和放大。

透過格子的點數及測量活動，
了解縮圖和擴大圖的意義。

觀察縮圖或擴大圖邊長的關係。

實際操作繪出正確的放大或縮小圖。

教學活動流程

具體

目標

活動主題

及進行方式

主要活動與問話

教學資源

評量

複習全等圖形的對應關係。

引起動機

個人思考

全班分享

◎活動1-1.超級變變變

(A)　　　　　　 　 (B)

如何才能使(A)圖像(B)圖那樣看得更清楚?

我的方法是:

日常生活中，什麼時候將圖在不改變形狀的情況下擴大、縮小呢?

什麼時候擴大:

什麼時候縮小:

圖卡兩張

1.可分辨圖形大小不同

2.可想出使圖形看的更清楚的辦法

3.可舉出生活中擴大縮小的例子

複習全等圖形的對應關係。

複習舊經驗

個人思考

↓

全班分享

◎活動1-2：大家來找碴

U先將三張全等的圖卡貼在黑板上，利用大雄及同學間各說各話的情境，來複習學生關於全等的概念。

今天上課的時候，大雄的老師在黑板上貼了三張圖卡，問大家這三張圖卡是否有什麼關係？

大雄說：只有ㄅ和ㄆ看起來好像一樣大。它們應該是全等圖形。

靜香說：這三張圖片根本沒有什麼關係，因為它們都長的不一樣。

胖虎說：把ㄅ疊在ㄇ、ㄆ上，發現完全重疊，所以他們都是全等圖形。

誰說的才是對的？

□大雄　□靜香　□胖虎

理由是:

J請小朋友舉手發表。

此活動主要複習學生圖形全等所必須具備的對應關係─對應邊、對應點、對應角。

3張全等的圖卡

1.能看出圖形間的關係

2.說出圖形全等的要素

透過觀察活動，辨認圖形的全等、縮小和放大。

關係洞察

個人思考

↓

小組分享

↓

全班分享

◎活動2-1：腦內大革命

U老師在黑板上放置兩張三角形的圖卡。

請學生觀察黑板上的兩張圖卡有什麼樣的關係？

J請各小組討論觀察的結果，並把討論出的結果紀錄在小白板上，進行小組競賽，能回答出越多正確答案的小組為優勝者。

請各小組檢視兩張圖卡對應邊與對應角的關係。

J請各小組檢視觀察結果，並把討論出的結果紀錄在小白板上與同學分享。

• 老師可提示學生使用輔助用具(例如：直尺或是量角器)測量。

㊣請學生觀察學習單上例1、例2中的圖形有什麼樣的關係？

例1

例2

J請各小組先將各圖標示頂點名稱，再討論觀察，並把討論出的結果紀錄在小白板上，進行小組競賽，能回答出越多正確答案的小組為優勝者。

圖卡每組２張（和黑板上陳列的圖卡一樣）

小白板

學習單(1)

1.能發現越多縮圖或放大圖與原圖之間的關係

2.可完成學習單並與小組分享

3.能說出擴大圖對應角相同及對應邊成比例的關係

透過觀察活動，辨認圖形的全等、縮小和放大。

正誤區辨

個人思考

↓

小組分享

↓

全班分享

◎活動2-2：奇妙的放大燈

U老師將五張圖卡放置於黑板上，利用多拉A夢神奇道具的使用情境，讓學生觀察放大與縮小的關係。

多拉A夢要用放大燈將這張圖片放大，請問誰的做法是對的。

大雄說：「我好了！就是這張。」

做 法:我把它變小2倍了。

靜香說：「我也好了！就是這張。」

做 法:我把它拉長2倍了。

胖虎說：「我好了」

做 法:我把它長和寬都變大2倍了。

小夫說：「我也好了」

做 法:我把它拉高2倍了。

請問誰的圖片才是多拉A夢要的

□大雄 □胖虎 □靜香 □小夫

理由是.

J讓各小組相互討論之後發表。

圖片數張

海報一張、

小白板

1.能說出原圖與其放大圖或縮小圖間的關係

2. 能以正確的概念區別出題目中錯誤的部分。

3.能做良好的發表

觀察縮圖或擴大圖邊長的關係

概念確認

個人思考

↓

個人發表

↓

全班討論

◎活動3-1：變長變短變變變

U老師畫1條線段在黑板上。

請小朋友畫出此線段的2倍及倍長。

原 長度

2倍長

長

J把你的想法和做法說給旁邊的同學聽，看看說的合不合理。

海報1張

學習單(2)

1.能畫出正確比例的線條

概念確認

個人思考

↓

小組討論

↓

指名發表

◎活動3-2：我是名偵探柯南

U老師把畫有4個三角形的圖掛在黑板上。

上面的圖中，(丁)圖是(乙)圖倍擴大圖。

理由:

 (丙)圖是(乙)圖的擴大圖?

理由:

 (乙)圖是(甲)圖的縮圖嗎?

理由:

• 將自己的理由說給小組其他的人聽，並檢討自己的理由是否合理。

什麼是擴大縮圖呢?

所謂的擴大圖是

所謂的縮圖是

 小組中彼此檢查，看看要點是否都包括了。

海報1張

1.能辨別擴大縮小圖並能說明理由

2.能正確定義擴大縮小圖

實際操作繪出正確的放大或縮小圖。

概念應用

個人思考

↓

個人發表

↓

小組分享

◎活動4-1：依樣畫葫蘆

U老師將方格紙發給每個小朋友，請大家畫2倍的擴大圖及倍縮圖。

 小組中彼此檢查，看看圖形是否都畫對了。

海報1張

方格紙

學習單(3)

能正確畫出放大縮小圖

實際操作繪出正確的放大或縮小圖。

概念應用

個人思考

↓

個人發表

↓

全班分享

活動4-2：依樣畫葫蘆之極限挑戰

U老師在黑板上再放一張圖片，發下方格紙。

學校的影印機壞了，可是老師需要將一張圖片放大，用來作為教室佈置，所以老師請大家用手繪圖片的方式將這張圖片放成三倍大。

J老師發下方格紙讓全班畫，畫好之後，讓學生一一上台發表他們的作品。

一張圖片

每人一張方格紙

學習單(4)

1.能正確畫出放大圖。

2.能上台發表