如何設計形成性評量教學活動
林宜臻
國立教育研究院籌備處 研究組
如何設計形成性評量教學活動
WTO的開放下，沒有能力，何以面對國際的競爭。在如此瞬息巨變的社會，知識的量已無法因應社會的變化，能力的培養勢在必行。但是數學的課堂中，隨著學年，厭惡數學的學子日增，是不爭之事實，再加以隨著彈性時間的設置，節數減縮的現況，所以如何讓學童在有限的時間內，獲得知識與技能的同時，具有能力，其方法之講究，更有其必要性。
事實上，教室現場的教師發問，將近百分之九十屬於事實發問與理解發問( ｼﾞｪ－ﾝﾊ－ﾘ－／西村辨作新美明夫編訳，1992 )，缺乏讓學生組織概念的機會，許多學生對於數學學習，僅是工具性的學習 (instrumental learning)，而非關係性的瞭解(relational understanding)(Skemp，1989)，因此產生「會未必懂」的現象，更遑論能力之培養。
評量試題內容的取向，可帶動課堂中教學方式，但是目前數學評量僅止於以等第﹑分數呈現學習結果，此猶如醫者僅告知病情，不施以處方，仍無助於病情之改善。「形成性評量」緣起於Bloom，用之於改善教學，Bloom的研究發現，學生學習能否成功，主要受到兩類因素的影響，一是如智力、家庭社會經濟地位等「不可變的因素」，另一是認知的始點﹑環境中的互動﹑回饋與修正的有否等「可變的因素」，Bloom(1983)的「精熟學習」理論中強調使力於「可變的因素」，任何教師幾乎能夠協助所有的學生學習成功，其關鍵要素在於教學中結合「形成性評量」的過程。
國中小九年一貫數學課程綱要於92.11.14公佈，能力指標(p.27參照)如何落實於課堂之中，值得探索。筆者於教學活動中，結合數學本質概念的追問、形成性評量式小組討論及形成性評量等過程，發現為落實之可行途徑。茲詳述如下：
一﹑課程設計與潛力之發揮
執鞭者認為人有上智下愚，學習成就上自有高低之分，倘若如此，教學效益何在1。Bloom2強調教育的可能性，主張除了特定種類學習特別無能的5%外，學童的表現分配，應該是通過預期目標居多的負偏態，而非鐘狀分配。Piaget的「生物學構造的成熟是概念發達的要因」影響下，伺機而教被視為當然。該一主張雖已指出各個發展階段的行為，然而什麼樣的外在條件促成，或什麼是決定性的要因，則不得而知。澀谷式的柬埔塞兒童智能研究3指出，智能測驗的得分與年齡不太相關，而與受教年數有密接關係，這意味著兒童的智能，並非是處於任何環境下，就自然地能充分發展，而是成熟與經驗的相互作用，其概念發展過程中，受著成人（社會）直接或間接的影響。相對於Piaget的成熟說，Vygotsky4批判兒童認知發展研究中的「發展先於教授」立場與「教授即發展」立場，主張5「成長步隨著教育的痕跡展開」，強調發展中教育的主導功能，提倡「發展的近側區（zone of proximal development）」6，認為外在活動是兒童內化(interiorization)的機制，提倡教學引發兒童成長之說。筆者7以自行設計之教材與教學活動設計，對班後段學童施以補救教學後，發現即使是班後段的學童，線對稱圖形的通過率由38.9%提升至88.9%，點對稱圖形方面的通過率也由2.8%提升至72.2%。
二﹑邏輯性知識獲得之過程
Piaget的建構主義理論中，認為知識的獲得，並非直接經由外在環境吸收知識，而是個人內部的構成，即使兒童直接受教於他人，實際上是個人內部構成或經由記憶學習而來。他將知識區分成物理性知識﹑邏輯性知識以及社會性（習慣性）知識。物理性知識可經由觀察獲得，而數學的習慣性記號8﹑表示法等社會性（習慣性）知識的根源，由於來自於人們的編製習慣，並不存有邏輯關係，因此，社會性（習慣性）知識獲得，是從人們經驗訊息的輸入。成人格式的計算方法，從某個角度而言，雖屬於社會性（習慣性）知識，其本質是邏輯–數學的知識，根源並非外來的提示，而來自於兒童本身的建構。換言之，邏輯性知識的學習過程中，要求的不是餵食式聽講及不知所以然的一連串複習，而是經驗﹑察覺﹑瞭解的建構過程。中原氏9主張成功為成功之母，然而其成功來自忠於教師指示下運作的結果，於是學生的注意力集中於如何執行，而非內含概念、關係的自行掌握。此種模式的運作下，學生視暗記為數學學習的不二法門，而非自我發現、創造10。總之，建構的前提，當問學習對象是屬物理性知識﹑邏輯性知識抑或是社會性（習慣性）知識，而非一味的建構。
三﹑結合教法之課程設計
教學的功能固然在支持學習者內在運作歷程，但也可能因教學處理方式的不當，抑遏小朋友的智能發展。Sowel11分析60篇研究後，指出較之於抽象方式，具體教學(concrete instruction)益於學習，並有正向學習態度。Walberg et al.12指出雖然沒有單一的教學方法能適用於所有的教學，但是他們分析134篇概覽包括將近八千篇有關中小學學生為對象的研究及教學研究的文獻概覽，發現提示(cues)﹑參與(engagement)﹑改正回饋與增強(correctives and reinforcement)等四項教學心理要素的效果最高。 Wertheimer則指出相對於兒童經由使用公式找出答案的機械式記誦學習方式，經由理解而學習的兒童能夠解決遷移的問題。此外，將概念轉換成具體模式，讓其它的事物與結構產生有意義關連的結構取向教學法(structure oriented method)、鼓勵學習者主動思考法則的發現式教學法(discovery method)以及學生歸納出規則的基本架構的歸納式教學法(inductive method)提供有意義的教學13。
換言之，提示、參與、改正回饋與增強等四項教學心理要素，在有效的教學中，扮演重要角色，理解後學習能夠解決遷移性的問題﹑具體的教材、引導式發現活動、歸納式的呈現順序，較能認知涉入。基於教材是老師最倚重的教學工具，加以很多老師常照本宣科，教材內容安排及呈現，直接影響學童的學習，教科書的內容撰寫相形重要。筆者發現14，教材中經由數學本質概念的追問、形成性評量式小組討論及形成性評量，確能促成主體性學習並形成概念。課程設計之際，若能進一步將有效之教法與課程內容相結合，教師負擔甚重的今日，不但俾於課程之落實，亦益於推廣。
四﹑促成思考過程之形成性評量的意義及其內涵
「國民教育階段九年一貫課程總綱綱要」15中曾提及評鑑方法應採多元化方式實施，兼重形成性和總結性評鑑。形成性評量(formative evaluation)在教學歷程中，是承接轉合的關鍵部份，其目的在於分析教學得失及診斷學習困難，作為實施補救教學的根據，而非評定等級用。換言之，形成性評量乃是判斷教學活動是否達成目標的一種過程，藉此了解教學是否有效，希望學生的行為隨著教學歷程而逐漸改變，使最後能達成教學目標。因此，形成性評量只是一種方法、工具，而不是終極的目的。Leinhardt16指出專家教師具有診斷和補救的能力，能夠了解學生成敗的原因；生手教師則往往依學生的表現結果來解釋其成就，而較少於教學進行中評估學習，職是之故，課程中倘若已結合形成性評量，將能協助生手教師於教學活動過程中，進行診斷和補救，進而達到預期之目標。筆者在擴大圖．縮圖的教學設計17時，將形成性評量﹑形成性評量的小組討論，融合於整個教學活動設計中，首先提出擴大圖、縮圖的線索或提示（提供發現的機會）；在小朋友仔細觀察後，提出關鍵性問語，引導學生釐清擴大圖、縮圖概念的屬性並發表擴大圖、縮圖的特徵（誘發表現）；之後，予以擴大圖、縮圖的定義（形成概念）；並施以形成性診斷評量，以能區分概念的正例與非例(non-examples)方式佈題，讓兒童對主要問題做反應（回饋治療），幫助學生將所學的概念達到理解的認知層次；並要求小朋友表現相關技能（確認概念）。而提示單的提供，使鞭長莫及的兒童，能藉由提示單與舊知識連結，自行解決課題；附解答的OHP則提供即時自我修正的機會；形成性評量的小組討論，由於人數較少，較容易有更多機會就數學本質概念探討，獲得及時的確認，釐清個人想法的妥當性。該一教學活動設計，結合前節所述之有效教法，確能促成學生概念的改變和形成。
五、結合形成性評量機制的教學活動設計
知識﹑技術隨著自己本身是環境的被役或使役的角色而有所不同，學習活動受制於進行方式的不同，學童「會未必懂」。忠於教師指示下運作的結果，學生的注意力集中於如何執行，而非形式化記號表現中的內含概念﹑關係的掌握。Piaget強調概念的發展決定於生物個體的成熟與否，相對於Piaget的成熟說， Vygotsky 主張「成長步隨著教育的痕跡展開」， Vygotsky的近側發展區域及鷹架理論，視內醞化的過程，藉由外顯的設計，兒童的智能將獲得更進一步的發展。筆者認同Vygotsky「成長步隨著教育的痕跡展開」的主張，並援引Vygotsky的鷹架（scaffolding）理論，視內醞化的過程，藉由外顯的設計，兒童智能將獲得更進一步的發展，其中教科書的教學活動設計形成性評量化為其媒介。其模式如下，由此模式衍生如下之形成性評量教學活動編製準則﹕
本
主體性學習
質概念的掌握關
係洞察正
誤區辨(概念確認)概
念再製概念應用
素材問題解決化
過程形成性評量化
素材問題解決化
過程形成性評量化
個 | 小組回饋-自我修正 | 全班檢討 |
根據理由的追問 | ||
人思考言語化模式中經由關係洞察、正誤區辨 - 概念確認、概念再製、概念應用過程，掌握數學本質概念，且以[根據理由為何]的追問方式呈現，首先讓兒童個人思考言語化，而後在小組回饋下，自我修正，進而全班檢討，取得共識。過程中的形成性評量，其定位不在於等第的劃分，也不是瑣碎知識的再現成功，應進一步引導學生形成能力導向的學習態度，及促成學生對數學本質概念的掌握與思考的活絡化，提升學生更高層次的認知能力，進而將概念應用在生活經驗。
(一) 結合數學本質概念追問的形成性評量
邏輯性知識的學習過程中，要求的不是餵食式聽講及不知所以然的一連串複習，而是經驗﹑察覺﹑瞭解的建構過程。導入之際，立即結合同構圖解說或直接傳達，雖較易獲答，然而學童必須操作與原擁有無關的知識系統。學生的注意力將集中於如何執行，而非內含概念、關係的自行掌握。
又如石田一三氏18認為計算錯誤的對策是一面看著記載計算過程的範例19加以練習。此種模式下，即使獲得正確解答，「會未必懂」。邏輯知識的學習重點不應僅是記號涵義的賦予，而在於關係的凸顯。對僅是做法的「會」和關係掌握的「懂」應加以區隔。概念構築時，對象間關係的掌握機會是必要的，理解來自於與自己所知對應關係的發現以及經由自己所知能一貫解釋學習情報20。未能掌握關係構造時，判斷的基盤常擺在知覺性的特徵，而就其關係構造分析﹑解決﹑整理的過程，方能掌握數學本質概念。概念教學使學生減少資訊超載的負荷，構造性的瞭解，在回憶時具有再生的特質，學生未能掌握概念的關鍵特，較容易傾向分開學習一些事物。
(二) 從個人思考言語化到小組討論的過程
1.個人思考言語化
上述之「數學本質概念的追問」，雖可促使兒童持有自己的想法，易於討論活動的進行，若以全班為單位進行討論，即使能引出多樣性的思考，未能活用時，僅止於學童想法的介紹，或某一想法的灌輸。課堂開始之際，採取個別思考及小組討論時，小朋友將有機會持有自己的想法，並能回顧自己的想法和做法。因此，在課題提示之後，提供小朋友個人思考、自力解決的機會，並設有根據理由的說明，讓小朋友持由自己的想法，並經由言語的表達，意識到先前的操作，促使經驗內容清晰化，避免習而不察。
2.藉由小組討論思考過程明確化
師生一對一發問時，問話球由老師投向學生，返回後，才能再投向其他位學生，因此在自己的名字被呼叫之前，其餘的學生是無參加狀態。若學生間彼此互問，則全體學生都能參與。Perret－Clermont的研究21中，指出社會性互動的重要性，實驗組只是擁有十分鐘的意見交換時間，但實驗組學童在兩次後測中，都優於對照組，意味交談有助於概念的獲得。發表、討論﹑思考的意義，在於說服對方，須驅動知識；而思考明確化的過程，須將自己與他人想法關係化，進而引發新思考，提高思考的內容度22。然而，筆者的兩人一組的預備實驗中，發現，若其中一位無法進入狀況時，另一位勢必處於無學習狀態。因此，筆者採以小組替代兩人一組的討論方式。
此外，學童無法建立某種關係時，即使說明，學童也無法獲得理解。直接的回饋方式，讓學童喪失自主性和自我思考的信心。學童無法察覺更高層次的策略時，即使告知，事隔一段時間後，學童依然返回原有的策略解題。因此，筆者將小組討論定位於思考的明確化以及即時的修正，而不在於策略的提昇。
六､如何設計形成性評量教學活動
活 | 適用年級 | 年級 | 教學節數 | 約 節 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
設 計 者 | 縣(市)國小老師 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
教學學校 | 國小 | 教學班級 | 年 班 | 教學者 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
教 學 日 期 | 教學節次 | 教 學 重 點 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2002. . | 第一節 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2002. . | 第二節 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2002. . | 第三節 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
教學準備 |
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教材地位(例) | 5年級 6年級 國中 【第×單元】 •小數乘法及意義 • 【本單元】
•分數乘整數的意義及其計算
•基準量×分數倍 將 【第×單元】 • 【第×單元】 •連乘分數的意義 •倒數的意義 •將整數､分數､小數的四則混合計算轉換成分數的計算 【 •比例､百分率､比直 【第×單元】
• | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
數學本質之概念(例) | 柱體由空間中兩個全等且平行的封閉平面區域及在全等對應關係下,連接這兩個區域的對應點之所有直線段所成的集合稱之。 錐體給定空間中的一個封閉的平面區域及不在此平面區域上的一點,則連接此給定點與平面區域上的任意點的所有線段的聯集稱之。 底側面可展曲面 1.其中的兩全等且平行的封閉平面區域,稱為柱體的底。底以外的其餘表面稱為柱體的側面。 2.決定此錐體的平面區域稱為錐體的底。不在底上而決定此錐體的給定點,一般稱為錐體的頂點,底以外的錐體表面稱為側面。 3.若一曲面在不改變曲面上的區域面積及曲面上撕裂的條件下，可以變形為平面區域，則稱此曲面為可展曲面。柱面及錐面均為可展曲面。 (摘自1102期基隆市武崙國小方文彬､雲林縣久安國小李應葦､南投縣新街國小柯志忠､宜蘭縣成功國小黃新民) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
數學概念之發展(例) | 根據van Hiele研究顯示，國小低年級學童大都均在第O層次的視覺期，故其對幾何圖形的瞭解須藉由實物的操作、觀察、描述與比較，經過無數次具體經驗，使其在視覺層次具備豐富經驗後，始能秩序漸進的達到較高層次。中年級學童大約可以達到第一層，高年級學童大約在第一層至第二層的過渡時期。 第一層次—分析期（Analysis）—此階段的學童可以從圖形的構成要素以及構成要素之間的關係分析圖形，並且可以利用實際操作，發現某一群圖形的共有性質或規則。此階段的學童，宜安排一些製作及檢驗的活動，使從製作與檢驗中獲得圖形的性質。第二層次—關係期（Relation）或非形式演繹期(Informal Deduction) —此階段兒童可以透過非正式地論證把先前發現的性質作邏輯地聯結。能進一步探索圖形內在屬關係及各圖形間的包含關係。 據Micheal研究，兒童能察覺角的大小是指兩個邊張開程度的不同之後，才能做兩個不同的角量之比較，進而以一個基準角去描述另一個角的角量，將角量數值化。他強調兒童必須熟悉角的射線對、區域、旋轉三種的概念，而且達到融會貫通之後，才能瞭解測出度數的意義。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
迷思概念(例) | 本活動設計目標有三：「生活角度與數學角度」、「圖形角與張開角」、「旋轉角的認識」。簡要說明如下： 人們所認識的生活角度，常是真正角概念的局部：一個角有個線段當作邊，兩邊中夾著一塊區域，產生一個尖尖的頂點。由於角的形象大都以有限度的物件呈現，因此，角的邊也常以線段表示。有關數學角度，Michael,1989提出角的意義：（1）角是一雙定出兩個方向間的差量之射線。（2）角是自同一端點射出的兩射線圍出的一個平面區域。（3）角是一射線繞其端點旋轉一個程度的量。 根據教學現場觀察，兒童除容易犯「對右開角熟悉，對左開角陌生」。而研究也發現，兒童的角度迷思概念多數來自混淆圖形角與張開角兩概念：角的邊越長，角度越大；內角的所夾的面積越大，角度越大；菱型的邊同長，則角同大。至於多數兒童「忽略鈍角，偏好銳角」，則可能源自於旋轉角概念未建立穩固、教學過程優先強調單位角與單位角合成。 值此，本課程安排為幫助兒童減少迷思概念，故從生活情境入手，從「生活角度」抽離出「數學角度」的概念、檢驗兒童的角度保留概念。並修改過去的課程安排，藉形成性評量逐一澄清「圖形角與張開角」、「旋轉角的認識」建立360度 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
的整體概念。以利兒童學習後續量與實測的角度課程：直接比較、間接比較、角度數量化-個別單位、普遍單位、角度的合成與分解、三角形內角和180度……等。 (摘自1102期嘉義縣太興國小侯美玲､台中縣竹林國小蘇麗敏､台中縣竹林國小陳舜佳､嘉義縣溪口國小何美宜) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
處理的特色(例) | 面積是指某一封閉二維區域的大小，也可以表示對此一特定區域被數個單位量所覆蓋的程度。兒童易認為「1平方公分」即是每邊長1公分的「正方形」﹐對於「面積」的定義易與「周長」相混淆。而且教學者常將重點放在圖形的辨認或分解、合成形狀確認後，立即選用最抽象的形式-面積公式以求解，忽略測量教材的本質是「量感的培養」與「測量概念」的建立。面積概念的發展，應從「保留概念的形成」到「測量概念的建立」逐步發展，而「估測概念」更是不可或缺的。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
分年能力指標(例) | 具體目標(例) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。 | 1.能理解等值分數 2.能進行簡單異分母分數的比較 3.能做簡單分數與小數的互換。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。 | 1.能約分、擴分 2.能處理等值分數的換算。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
動名稱
動一：
第
教學活動流程 (例) 摘自TKU90B張馨尹 | ||||
具體 目標 | 活動主題 及進行方式 | 主要活動與問話 | 教學資源 | 評量 |
1.能掌握三角形的組成要素。 2.能掌握圓形的組成要素。
| 一、關係洞察 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全 | U黑版上圖卡分類，並在該類別下分別寫[三角形]､[圓形]。
一般三角形 直角三角形 三角形
鈍角三角形 銳角三角形 圓形
這些圓形／三角形裡的圖形中有什麼相同的地方呢？ J將你的想法說給二人小組聽，看看說的合不合理。 | 圖 | 1.學生表達對於分類的想法。 |
| 二、正誤區辨 個人分享 ↓ 全班分享 | U黑版上呈現下列海報，老師手指藍色、綠色､粉紅色､紅色、橘色等部份，逐次發問。 老師手指的部分是圓嗎？
認為對的在白板上打O，錯的打×。 請舉牌。 | 海報 | 1.學生能表達對於圖形的想法。 |
三、概念確認 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全 | U黑板上呈現下列海報
找找看，圖形中裡面有幾個圓形呢？ J將你的答案寫在小白板後，和二人小組檢核。 | 海報、小白板 | 1.學生能說出正確的答案。 | |
四、正誤區辨 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全班分享
| U黑版上呈現下列圖卡。 哪些是三角形呢？
(曲線) 非三角形 (有一缺口) 非三角形
(橫放的) 三角形 (倒放的) 三角形 將你的想法說給二人小組聽，看看說的合不合理。 二人小組討論完後，老師逐一指著圖詢問全班「這是三角形嗎？(若『是』則再詢問)你怎麼知道的？(若『不是』則再詢問)為什麼不是呢？」 | 圖 | 1.學生能表達對於圖形的想法。 | |
班分享
卡：三角形（共四張）、圓形（共四張）
班分享
卡：共四張教學活動流程(例) | ||
具體 目標 | 活動主題及進行方式 (含能力目標代號) | 主要活動與問話 |
1 | 一﹑檢測是否有等值分數的概念【N-2-5】 (長條等分卡) 個人思考
小組討論 分組發表 意見分享 | 兩人吃的蛋糕一樣多嗎？
※兩人吃的蛋糕，各佔全部的幾分之幾？ 小明吃的蛋糕佔全部的 小華吃的蛋糕佔全部的 ※大雄說小明吃1塊，小華吃2塊，所以小華吃的比較多？大雄說的對不對？ 對 不對 理由是：
請將你們的想法說給小組的人聽，看說的合不合理。 |
摘自1086期苗栗信德國小何寬俊、林美曲、嘉義大同國小湯繪樺、桃園華勛國小陳淑婷、新竹新設國小葉秋熒、屏東牡丹國小丘雪琪、屏東中正國小高珠鈴。 | ||
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【學習單】
六人上街買蔥油餅，一塊蔥油餅12元，每人各要付多少元﹖
1.聰明的你，請幫小方完成下表。
六人上街買餅 | 一塊蔥油餅12元 | 購買數量 | 乘法算式 | 要付的錢 |
小明買3塊 |
| 3塊 | 12×3＝36 | 36元 |
小玉買2塊 |
| 2塊 | 元 | |
小珍買1塊 |
| 1塊 | 12×1＝12 | 12元 |
2.小華買
塊蔥油餅，想想看，小華要付的錢，比小珍要付的錢多還是少﹖
多少
理由是﹕
3.聰明的你，請繼續幫小方完成下表。
小華 買 |
|
| 元 | |
小安 買 |
|
| 12× | 4元 |
小平 買 |
|
| 元 |
4
.小方說乘法一定會讓數字變大，你同不同意他的說法﹖
同意不同意
理由是﹕
請將自己的想法，說給小組聽。看是不是合理。
(摘自台中市南屯國小李建霖、台中市平和國小魏麗枝、台南市省躬國小吳世豪 、嘉義市嘉北國小郭義章
教學活動流程(摘自TKU91B黃琮聖､林姿均) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
第一節課 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
具體 目標 | 活動主題及進行方式 | 主要活動與問話 | 教學資源 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.學生能紀錄問題中兩個數量的變化，並從紀錄中經驗兩數量的對等關係。 | 複習舊經驗（比） 個人思考 ↓ 小組檢討 | 【灌籃高手】櫻木花道正和流川楓比賽投籃，已知每投進一顆「小人物上籃」（三步上籃）可得2分，投進兩球的話就有4分，身為記分員的你，請你把投進球的個數與分數之間關係的情形記錄下。
將你的想法紀錄在小白板，並說小組的同學聽，看紀錄的合不合理。 可能的記法： 1：2 2：4 3：6
其他 | powerpoint | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.引導學生經驗兩數量的變化關係，進而認識比例的意義。（正比例） | 關係洞察（正比例） 個人思考 ↓ 小組討論 ↓ 全班分享 | 隨著櫻木花道「小人物上籃」進球數的增加，我們發覺分數漸漸有了變化。再想一想，進球數和得分數之間可能有什麼樣子的關係呢？試著求出比值看看並且畫出關係圖。你發現了什麼？
得分數 進球數 把你的想法和做法，說給旁邊的同學聽，看看說得合不合理？ 揭示下表：
進球數和得分數成這樣的關係時，我們稱它成[正比例]。 想想看當比值什麼樣的情形時，我們稱它成[正比例]﹖ 成[正比例]時，比值： | Powerpoint A4紙 色筆 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.讓學生瞭解比例的真正涵義與其代表意義。 | 正誤區辨 個人思考 ↓ 小組討論 ↓ 全班分享 | 比賽正如火如荼的展開著，在一旁的宮城良田和三井壽竟交換起東西來了，宮城拿了12本舊漫畫書跟三井壽換了3本雜誌過來。 赤木剛憲說： 「嗯…我也要拿13本舊漫畫來，這樣就可以換到4本雜誌了。」 彩子說： 「12本舊漫畫是比3本雜誌『值錢』的。」 晴子說： 「舊漫畫兌換雜誌的比是12：3」 請問誰的說法才是正確的呢？ □赤木剛憲□彩子□晴子 你的理由是 ___________________ 把你的想法和做法，說給小組的同學聽，看看說得合不合理？
| Powerpoint | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.學生能熟悉成比例的概念。 | 概念確認 個人思考 ↓ 全班分享 | 比賽到一半，中場休息了，晴子貼心地到頂好超市幫大家買一些運動飲料，她發現其中有4瓶裝飲料賣60元，8瓶裝飲料賣120元，還有12瓶裝飲料賣168元，晴子想了一下：它們的價錢隨著數量的增加而增加，所以它們是成比例的、是一致的？所以買哪一種包裝都差不多？ 你覺得晴子的想法對不對呢？ □對 □不對 說說看，你的理由是 ____________ 把你的想法和做法，說給旁邊的同學聽，看看說得合不合理？ 學生可能會誤以為只要隨著數量增加，它的數量愈大就是成正比例的迷思，而忽略到比值。老師要再次強調比值的概念。所以它們並不成比例關係。
| powerpoint | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.能知道比的基準和比較量。 | 概念確認 個人思考 ↓ 小組討論 ↓ 全班分享 | 上半場比賽終了，已知目前戰況是櫻木花道9次投籃中進了5次，流川楓18次投籃中進了10次。
晴子說： 「流川楓比較厲害，因為他投進了10球大於櫻木的5球。」 三井壽說： 「櫻木投籃數和進球數的比是9：5，流川楓是18：10。」 安西教練說： 「9：5 = 18：10。這二人進球的比值是一樣的，所以是相同的比。」 請問誰說得對呢？ 晴子□三井壽□安西教練 理由是 _______________________ 把你的想法和做法，說給旁邊的同學聽，看看說得合不合理？ | powerpoint | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
第二節課 | ||||||||||||||||||||||||
具體 目標 | 活動主題及進行方式 | 主要活動與問話 | 教學資源 | |||||||||||||||||||||
6.比例的應用。 | 概念應用 個人思考 ↓ 小組討論 ↓ 全班分享 |
赤木剛憲說： 「5分鐘3顆球…是5：3； 30顆籃球的話是30：18， 所以要花18分鐘。」 宮城良田說： 「5分鐘3顆球…是5：3； 30顆籃球的話是50：30， 所以要花50分鐘。」 請問誰說的對呢？ □ 赤木剛憲 □ 宮城良田 理由是：__________________ 把你的想法和做法，說給小組的同學聽，看看說得合不合理？ 老師提醒學生檢查比的位置是否正確。
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7.學生能自由發表意見。 | 個人思考 ↓ 全班分享 | 腦力大激盪：想想看，我們在日常生活中，還有哪些是成正比例的？ 把你的想法和做法，說給旁邊的同學聽，看看說得合不合理？ 如： 砂糖公斤數和價錢成比例。 郵票的張數和價錢。 其他。 | powerpoint | |||||||||||||||||||||
上述列舉之例，來自於國立教育研究院籌備處 [教育部台灣省國民學校教師研習會] 1086期､1102期､1155期數學科形成性評量班種子教師及淡江大學教育學院師資培育中心數學教材教法班學生的作品，每次回顧他們的精心傑作，都讓筆者感動不已，雖然只有4.5 天的研習，卻有如此豐碩的成果，不得不佩服這群老師們的專業、敬業，同時讓筆者體會到教師們的無窮潛力，進而對教育充滿了希望。
林宜臻製表
階段 | 數 與 量 N | 幾何 S | 統計與機率 D | 代 數 A |
一年級 | 1-n-01 能認識100以內的數及「個位」、「十位」的位名，並進行位值單位的換算。 | 1-s-01 能認識直線與曲線。 | 1-d-01 能對生活中的事件或活動做初步的分類與紀錄。 | 1-a-01 能在具體情境中，認識等號兩邊數量一樣多的意義。 |
1-n-02 能認識1元、5元、10元、50元等錢幣幣值，並做1元與10元錢幣的換算。 | 1-s-02 能辨認、描述與分類簡單平面圖形與立體形體。 | 1-d-02 能將紀錄以統計表呈現並說明。 | 1-a-02 能在具體情境中，認識加法的交換律、結合律，並運用於簡化計算。 | |
1-n-03 能運用數表達多少、大小、順序。 | 1-s-03 能描繪或仿製簡單平面圖形。 | 1-a-03 能在具體情境中，認識加減互逆。 | ||
1-n-04 能從合成、分解的活動中，理解加減法的意義，使用＋、－、＝作橫式紀錄與直式紀錄，並解決生活中的問題。 | 1-s-04 能依給定圖示，將簡單形體作平面舖設與立體堆疊。 | |||
1-n-05 能熟練基本加減法。 | 1-s-05 能描述某物在觀察者的前後、左右、上下及兩個物體的遠近位置。 | |||
1-n-06 能作一位數之連加、連減與加減混合計算。 | ||||
1-n-07 能進行2個一數、5個一數、10個一數等活動。 | ||||
1-n-08 能認識常用時間用語，並報讀日期與鐘面上整點、半點的時刻。 | ||||
1-n-09 能認識長度，並作直接比較。 | ||||
1-n-10 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較物體的長短。 |
階段 | 數 與 量 N | 幾何 S | 統計與機率 D | 代 數 A |
二 年 級 | 2-n-01 能認識1000以內的數及「百位」的位名，並作位值單位換算。 | 2-s-01 能認識周遭物體上的角、直線與平面（含簡單立體形體）。 | 2-a-01（同2-n-03） 能用＜、＝與＞表示數量大小關係，並在具體情境中認識遞移律。 | |
2-n-02 能認識錢幣的幣值有100元、500元等，並作10元與100元錢幣的換算。 | 2-s-02 能認識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現象。 | 2-a-02能將具體情境中單步驟的加、減問題列成算式填充題，並解釋式子與原問題情境的關係。 | ||
2-n-03（同2-a-01） 能用＜、＝與＞表示數量大小關係，並在具體情境中認識遞移律。 | 2-s-03 能使用直尺畫出指定長度的線段。 | 2-a-03 能在具體情境中，認識乘法交換律。 | ||
2-n-04 能熟練二位數加減直式計算。 | 2-s-04能畫出兩點間的線段，並測量其長度。 | 2-a-04 能理解加減互逆，並運用於驗算與解題。 | ||
2-n-05 能作連加、連減與加減混合計算。 | 2-s-05（同2-n-17）能認識面積，並作直接比較。 | |||
2-n-06 能理解乘法的意義，使用×、＝作橫式紀錄，並解決生活中的問題。 | 2-s-06 能由邊長關係，認識簡單平面圖形與立體形體。 | |||
2-n-07 能在具體情境中，進行分裝與平分的活動。 | ||||
2-n-08能理解九九乘法。 | ||||
2-n-09 能在具體情境中，解決兩步驟問題（加、減與乘，不含併式）。 | ||||
2-n-10能在平分的情境中，認識分母在12以內的單位分數，並比較不同單位分數的大小。 | ||||
2-n-11 能認識鐘面上的時刻是幾點幾分。 | ||||
2-n-12能認識「年」、「月」、「星期」、「日」，並知道「某月有幾日」、「一星期有七天」。 | ||||
2-n-13 能理解用不同個別單位測量同一長度時，其數值不同，並能說明原因。 | ||||
2-n-14能認識長度單位「公分」、「公尺」及其關係，並能作相關的實測、估測與同單位的計算。 | ||||
2-n-15能認識容量，並作直接比較。 | ||||
2-n-16能認識重量，並作直接比較。 | ||||
2-n-17（同2-s-05） 能認識面積，並作直接比較。 |
階段 | 數 與 量 N | 幾何 S | 統計與機率 D | 代 數 A |
三年級 | 3-n-01 能認識10000以內的數及「千位」的位名，並進行位值單位換算。 | 3-s-01 能認識平面圖形的內部、外部與其周界。 | 3-d-01 能報讀生活中常見的直接對應（一維）表格。 | 3-a-01 能將具體情境中單步驟的乘、除問題列成算式填充題，並能解釋式子與原問題情境的關係。 |
3-n-02 能熟練加減直式計算（四位數以內，和＜10000，含多重借位）。 | 3-s-02 能認識周長，並實測周長。 | |||
3-n-03 能熟練三位數乘以一位數的直式計算，並解決二位數乘以二位數的乘法問題。 | 3-s-03 能使用圓規畫圓，認識圓的「圓心」、「圓周」、「半徑」與「直徑」。 | 3-d-02 能報讀生活中常見的交叉對應（二維）表格。 | 3-a-02能在具體情境中，認識乘除互逆。 | |
3-n-04 能理解除法的意義，運用÷、＝作橫式紀錄（包括有餘數的情況），並解決生活中的問題。 | 3-s-04（同3-n-17） 能認識角，並比較角的大小。 | |||
3-n-05能熟練三位數除以一位數的直式計算。 | 3-s-05（同3-n-18）能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同面積的大小，並認識面積單位「平方公分」。 | |||
3-n-06 能在具體情境中，解決兩步驟問題（加、減與除，不含併式）。 | 3-s-06 能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。 | |||
3-n-07 能由長度測量的經驗，透過刻度尺的方式來認識數線，標記整數值，並在數線上作比較、加、減的操作。 | ||||
3-n-08 能在具體情境中，做三位數以內的加減估算，並用來檢驗答案的合理性。 | ||||
3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。 | ||||
3-n-10能認識一位小數，並作比較與加減計算。 | ||||
3-n-11 能認識時間單位「日」、「時」、「分」、「秒」及其間的關係，並作時或分同單位時間量的加減計算。 | ||||
3-n-12 能認識長度單位「毫米」，及「公尺」、「公分」、「毫米」間的關係，並作實測與相關計算。 | ||||
3-n-13 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同容器的容量。 | ||||
3-n-14 能認識容量單位「公升」、「毫公升」（簡稱「毫升」）及其關係，並作相關的實測、估測與計算。 | ||||
3-n-15 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同物體的重量。 | ||||
3-n-16能認識重量單位「公斤」、「公克」及其關係，並作相關的實測、估測與計算。 | ||||
3-n-17（同3-s-04） 能認識角，並比較角的大小。 | ||||
3-n-18（同3-s-05） 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同面積的大小，並認識面積單位「平方公分」。 |
階段 | 數 與 量 N | 幾何 S | 統計與機率 D | 代 數 A |
四年級 | 4-n-01 能透過位值概念，延伸整數的認識到大數（含「億」、「兆」之位名），並作位值單位的換算。 | 4-s-01 能運用「角」與「邊」等構成要素，辨認簡單平面圖形。 | 4-d-01 能報讀生活中資料的統計圖，如長條圖、折線圖與圓形圖等。 | 4-a-01 能在具體情境中，理解乘法結合律、先乘再除與先除再乘的結果相同，也理解連除兩數相當於除以此兩數之積。 |
4-n-02 能熟練整數加、減、乘、除的直式計算。 | 4-s-02 能透過操作，認識基本三角形與四邊形的簡單性質。 | |||
4-n-03能在具體情境中，解決兩步驟問題，並學習併式的記法（包括連乘、連除、乘除混合）。 | 4-s-03 能認識平面圖形全等的意義。 | |||
4-n-04 能作整數四則混合計算（兩步驟）。 | 4-s-04（同4-n-14） 能認識角度單位「度」，使用量角器實測角度或畫出指定的角。 | 4-d-02 能報讀較複雜的長條圖。 | 4-a-02 能將具體情境中所列出的單步驟算式填充題類化至使用未知數符號的算式，並能解釋式子與原問題情境的關係。 | |
4-n-05 能用四捨五入的方法，對大數在指定位數取概數，並做加、減之估算。 | 4-s-05 能理解旋轉角的意義。 | |||
4-n-06 能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 | 4-s-06 能理解平面上直角、垂直與平行的意義。 | 4-a-03 能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題。 | ||
4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數倍的計算。 | 4-s-07 能由直角、垂直與平行的概念，認識簡單平面圖形。 | 4-a-04 能用中文簡記式表示長方形和正方形的面積公式與周長公式。 | ||
4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。 | 4-s-08 能利用三角板畫出直角與兩平行線段，並用來描繪平面圖形。 | |||
4-n-09 能認識二、三位小數與百分位、千分位的位名，並作比較。 | 4-s-09（同4-n-16） 能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式。 | |||
4-n-10 能用直式處理整數除以整數，商為三位小數的計算。 | ||||
4-n-11能用直式處理二、三位小數加、減與整數倍的計算，並解決生活中的問題。 | ||||
4-n-12 能解決複名數的時間量計算，以及時刻與時間量的加減問題。 | ||||
4-n-13 能認識長度單位「公里」，及「公里」與其他長度單位的關係，並作相關計算。 | ||||
4-n-14（同4-s-04） 能認識角度單位「度」，並使用量角器實測角度或畫出指定的角。 | ||||
4-n-15 能認識面積單位「平方公尺」，及「平方公分」、「平方公尺」間的關係，並作相關計算。 | ||||
4-n-16（同4-s-09） 能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式。 | ||||
4-n-17 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同體積的大小，並認識體積單位「立方公分」。 |
階段 | 數 與 量 N | 幾何 S | 統計與機率 D | 代 數 A |
五年級 | 5-n-01 能在具體情境中，解決三步驟問題。 | 5-s-01 能透過操作，理解三角形三內角和為180度。 | 5-d-01 能整理生活中的資料，並製成長條圖。 | 5-a-01能在具體情境中，理解乘法對加法的分配律，並運用於簡化心算。 |
5-n-02 能熟練整數四則混合計算。 | 5-s-02 能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊。 | 5-d-02 能報讀生活中有序資料的統計圖。 | 5-a-02能熟練運用四則運算的性質，做整數四則混合計算。 | |
5-n-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 | 5-s-03 能認識圓心角，理解180度、360度的意義，並認識扇形。 | 5-d-03 能整理有序資料，並繪製成折線圖。 | 5-a-03能解決使用未知數符號所列出的單步驟算式題，並嘗試解題及驗算其解。 | |
5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。 | 5-s-04 能認識線對稱，並理解簡單平面圖形的線對稱性質。 | 5-a-04能用中文簡記式表示簡單平面圖形的面積，並說明圖形中邊長或高變化時對面積的影響。 | ||
5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。 | 5-s-05（同5-n-16） 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。 | 5-a-05 能用中文簡記式表示長方體和正方體的體積公式。 | ||
5-n-06 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 | 5-s-06能運用「頂點」、「邊」與「面」等構成要素，辨認簡單立體形體。 | |||
5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 | 5-s-07（同5-n-18） 能理解長方體和正方體的體積公式。 | |||
5-n-08能認識多位小數，並作比較與加、減的計算，以及解決生活中的問題。 | 5-s-08能認識面的平行與垂直，並描述正方體與長方體中面與面的平行與垂直關係。 | |||
5-n-09 能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題。 | ||||
5-n-10 能用四捨五入的方法，對小數在指定位數取概數，並做加、減、乘、除之估算。 | ||||
5-n-11 能將分數、小數標記在數線上。 | ||||
5-n-12能認識比率及其應用（含「百分率」、「折」）。 | ||||
5-n-13 能解決時間的乘除計算問題。 | ||||
5-n-14能認識重量單位「公噸」及「公噸」、「公斤」間的關係，並作相關計算。 | ||||
5-n-15能認識面積單位「公畝」、「公頃」、「平方公里」及其關係，並作相關計算。 | ||||
5-n-16（同5-s-05） 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。 | ||||
5-n-17 能認識體積單位「立方公尺」，及「立方公分」、「立方公尺」間的關係，並作相關計算。 | ||||
5-n-18（同5-s-07）能理解長方體和正方體的體積公式。 | ||||
5-n-19能理解容量、容積和體積間的關係。 |
階段 | 數 與 量 N | 幾何 S | 統計與機率 D | 代 數 A |
六 年級 | 6-n-01 能認識質數、合數，並作質因數的分解（質數＜20，質因數＜10，被分解數＜100）。 | 6-s-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。 | 6-d-01 能整理生活中的資料，並製成圓形圖 | 6-a-01 能理解等量公理。（同6-n-06） |
6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將分數約成最簡分數。 | 6-s-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。 | 6-a-02* 能使用未知數符號，將具體情境中的問題列成兩步驟的算式題，並嘗試解題及驗算其解。 | ||
6-n-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 | 6-s-03* 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。（同6-n-11*） | 6-a-03 能利用常用的數量關係，列出恰當的算式，進行解題，並檢驗解的合理性。（同6-n-10） | ||
6-n-04 能用直式處理除數為小數的計算，並解決生活中的問題。 | 6-s-04 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。（同6-n-12） | 6-a-04* 能在比例的情境或幾何公式中，透過列表的方式認識變數。 | ||
6-n-05 能作分數的兩步驟四則混合計算。 | 6-s-05 能認識直圓錐、直圓柱與直角柱。 | 6-a-05 能用中文簡記式表示圓面積、圓周長與柱體的體積公式。 | ||
6-n-06 能理解等量公理。（同6-a-01） | 6-s-06（同6-n-13） 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。 | |||
6-n-07 能認識比和比值，並解決生活中的問題。 | ||||
6-n-08 能理解速度的概念與應用，認識速度的普遍單位及換算，並處理相關的計算問題。 | ||||
6-n-09 能理解正比的現象，並發展正比的概念，解決生活中的問題。 | ||||
6-n-10 能利用常用的數量關係，列出恰當的算式，進行解題，並檢驗解的合理性。（同6-a-03） | ||||
6-n-11* 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。（同6-s-03*） | ||||
6-n-12 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。（同6-s-04） | ||||
6-n-13 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。（同6-s-06） |
階段 | 數 與 量 N | 幾何 S | 統計與機率 D | 代 數 A |
七 年 級 | 7-n-01 能以「正、負」表徵生活中相對的量，並認識負數是性質（方向、盈虧）的相反。 | 7-a-01 能由命題中用 | ||
7-n-02 能認識如5及－5在數線上的相對位置。 | 7-a-02 能嘗試以代入法或枚舉法求解，並檢驗解的合理性。 | |||
7-n-03 能在數線上判別整數的大小。 | 7-a-03 能熟練符號的代數操作。 | |||
7-n-04能在數線上操作簡單的描點，如 | 7-a-04 能由具體情境中列出一元一次方程式，並理解其解的意義。 | |||
7-n-05 能認識絕值符號，並理解絕對值在數線上的圖義。 | 7-a-05 能以等量公理來解一元一次方程式，並作驗算。 | |||
7-n-06能用絕對值的符號表示數線上兩點間的間隔（距離）。 | 7-a-06 能利用移項法則來解一元一次方程式，並作驗算。 | |||
7-n-07 能運算絕對值並熟練其應用。 | 7-a-07能由具體情境中列出一元一次不等式。 | |||
7-n-08 能判別兩數加、減、乘、除的正負結果並算出其值。 | 7-a-08 能利用移項法則在數線上找出一元一次不等式的解。 | |||
7-n-09 能理解質數的意義，並認識100以內的質數。 | 7-a-09 能由具體情境中描述解的意義。 | |||
7-n-10 能理解因數、質因數、倍數、最大公因數和最小公倍數，並熟練質因數分解的計算方法。 | 7-a-10 能由具體情境中列出二元一次方程式，並理解其解的意義。 | |||
7-n-11 能以最大公因數、最小公倍數熟練運用至約分、擴分、最簡分數的計算。 | 7-a-11 能運用直角座標系來標定位置。 | |||
7-n-12 能理解負數的特性並熟練正負數（含小數、分數）的四則運算。 | 7-a-12 能認識變數與函數。 | |||
7-n-13能理解底數為整數且指數為非負整數的運算，如 | 7-a-13 能舉出例子，說明一次函數是一種特殊的比例對應關係。 | |||
7-n-14 能理解底數為分數且指數為非負整數的計算。 | 7-a-14 能在直角座標平面上描繪一次函數的圖形。 | |||
7-n-15 能用以十為底的指數表達大數或小數（包括日常生活長度、重量、容積等單位，如奈米、微米、公分或厘米、公尺或米、…）。 | 7-a-15 能在直角座標平面上描繪二元一次方程式的圖形。 | |||
7-n-16 能理解比例的意義（以實例說明正比、反比關係的意義）。 | 7-a-16能由具體情境中列出二元一次聯立方程式，並能理解其解的意義。 | |||
7-n-17能熟練比例式的基本運算（含a:b＝c:da/b＝c/d； a:b＝c:dad＝bc； a:b＝c:da＝bk，c＝dk； a/b＝c/dad＝bc； a/b＝c/da＝bk，c＝dk；比的化簡）。 | 7-a-17 能在直角座標平面上認識二元一次聯立方程式的解。 | |||
7-n-18能理解連比和連比例的意義。 | 7-a-18能熟練使用消去法解二元一次聯立方程式。 | |||
7-n-19 能熟練連比例式的應用，如單位換算、三角形面積與邊長或圓面積與半徑間的變化關係。 |
階段 | 數 與 量 N | 幾何 S | 統計 與機率 D | 代 數 A |
八 年級 | 8-n-01能理解二次方根的意義。 | 8-s-01能認識生活中的平面圖形（三角形、四邊形、多邊形及圓形）。 | 8-a-01能熟練二次式的乘法公式，如 | |
8-n-02能求二次方根的近似值。 | 8-s-02能認識並定義簡單幾何圖形的點、線、角（含符號： | |||
8-n-03能理解二次方根最簡式的意義，並做化簡。 | 8-s-03能認識圓形的定義及相關名詞（圓心、半徑、弦、直徑、弧、弓形、圓心角、扇形）。 | 8-a-02能理解簡單根式的化簡及有理化。 | ||
8-a-03能認識多項式及相關名詞。 | ||||
8-s-04能認識尺規作圖。 | 8-a-04能熟練多項式的加法和減法。 | |||
8-s-05能利用直角定義兩直線互相垂直，以及利用垂直於同一直線定義兩直線互相平行。 | 8-a-05能熟練多項式的乘法（利用分配律及直式算法來計算）。 | |||
8-n-04能理解二次方根的加、減、乘、除規則。 | ||||
8-s-06能具體說明兩平行線間距離處處相等。 | 8-a-06能熟練多項式的除法（如長除法、分離係數法等）。 | |||
8-s-07能熟練基本尺規作圖。 | ||||
8-n-05能在日常生活中，觀察有次序的數列，並理解其規則性。 | 8-s-08能認識平行線的基本性質。 | 8-a-07能理解勾股定理（商高定理）。 | ||
8-s-09能以最少性質辨認三角形 。 | 8-a-08能由簡單面積計算導出勾股定理。 | |||
8-s-10能理解平面圖形線對稱的意義。 | 8-a-09能理解勾股定理的應用。 | |||
8-s-11能理解特殊三角形的定義。 | 8-a-10能理解因式、倍式、公因式與因式分解的意義。 | |||
8-s-12能理解三角形的基本性質。 | ||||
8-n-06能觀察出等差數列的規則性。 | 8-s-13能理解特殊三角形的性質。 | 8-a-11能利用提出公因式與分組分解法分解二次多項式。 | ||
8-s-14能以尺規作圖理解兩個三角形全等的意義。 | ||||
8-a-12能利用乘法公式與十字交乘法做因式分解。 | ||||
8-s-15能理解三角形全等的性質。 | ||||
8-s-16能理解三角形邊角關係。 | 8-a-13能在具體情境中認識一元二次方程式，並理解其解的意義。 | |||
8-n-07能利用首項、公差計算出等差數列的每一項。 | 8-s-17能理解四邊形的基本性質。 | |||
8-s-18能理解特殊四邊形的定義。 | ||||
8-s-19能作出正方形及平行四邊形的圖形。 | 8-a-14能利用因式分解來解一元二次方程式。 | |||
8-s-20能由面積的關係導出直角三角形三個邊的關係。 | 8-a-15能利用配方法解一元二次方程式。 | |||
8-n-08能由觀察和推演，導出等差級數的公式，從理解公式到解題，並能活用於日常生活 | 8-s-21能理解平行線截線性質：兩平行線同位角相等；同側內角互補；內錯角相等。 | 8-a-16能認識判別式，並利用公式解來解一元二次方程式。 | ||
8-s-22能理解平行線的判別性質。 | 8-a-17能利用一元二次方程式解應用問題。 | |||
8-s-23能理解平行四邊形的意義與性質。 | ||||
8-s-24能理解平行四邊形的判別性質。 | ||||
8-s-25能理解平行四邊形的面積公式。 | ||||
8-s-26能理解梯形的意義與性質（包含梯形中線性質）。 | ||||
8-s-27能利用三角形內角和為180度的性質解決多邊形內角和、與外角和定理的問題。 | ||||
8-s-28能辨識一個敘述及其逆敘述間的不同。 | ||||
8-s-29能利用平面圖形的性質解決周長問題。 | ||||
8-s-30能利用圓的性質解決扇形面積問題。 | ||||
8-s-31能描述複合平面圖形構成要素間的可能關係。 | ||||
8-s-32能計算複合平面圖形的周長及面積問題。 | ||||
8-s-33能以最少性質辨認立體圖形。 | ||||
8-s-34能描述複合立體圖形構成要素間的可能關係。 | ||||
8-s-35能計算柱體表面積的問題。 | ||||
8-s-36能計算複合立體圖形的體積及表面積問題。 |
階段 | 數與量 N | 幾何 S | 統計與機率 D | 代 數 A |
九 年 級 | 9-s-01 能根據平行線截線性質作推理。 | 9-d-01 能將原始資料整理成次數分配表，並製作統計圖形，來顯示資料蘊含的意義。 | 9-a-01 能以具體情境來理解二次函數的意義。 | |
9-s-02 能對簡單的相似多邊形指出對應邊成比例、對應角相等性質。 | 9-d-02 能理解百分位數的概念，認識第10、25、50、75、90百分位數，並製作盒狀圖。 | 9-a-02 能理解二次函數的樣式並繪出其圖形。 | ||
9-s-03 能理解三角形的相似性質。 | 9-d-03能利用較理想化的資料說明常見的百分位數，來認識一筆或一組資料在所有資料中的位置。 | 9-a-03 能利用配方法繪出二次函數的圖形。 | ||
9-s-04 能理解平行線截比例線段性質。 | 9-d-04 能認識平均數、中位數與眾數均可以某個程度地表示整筆資料集中的位置。 | 9-a-04 能計算二次函數的最大值與最小值。 | ||
9-s-05 能利用相似三角形對應邊成比例的觀念，應用於實物的測量。 | 9-d-05 能認識平均數、中位數與眾數在不同狀況下，被使用的需求度有些微的差異。 | 9-a-05 能應用二次函數最大值與最小值的簡單性質。 | ||
9-s-06 能理解直線與圓及兩圓的關係。 | 9-d-06 能認識全距，並理解全距大小的意義。 | 9-a-06 能理解二次函數的圖形與拋物線的概念。 | ||
9-s-07 能理解圓的相關性質。 | 9-d-07 能認識第1、2、3四分位數，及四分位距。 | 9-a-07 能理解拋物線的線對稱性質。 | ||
9-s-08 能理解三角形外心的定義和相關性質。 | 9-d-08 能理解當存在少數特別大或特別小的資料時，四分位距比全距更適合來描述整組資料的分散程度。 | |||
9-s-09 能理解三角形內心的定義和相關性質。 | 9-d-09 能以具體情境介紹機率的概念。 | |||
9-s-10 能理解三角形重心的定義和相關性質。 | 9-d-10 能進行簡單的實驗以了解抽樣的不確定性、隨機性質等初步概念。 | |||
9-s-11 能以三角形和圓的性質為題材來學習推理。 |
1林宜臻(1984)。完全習得学習の意義と問題点―その柔軟的な適用をめざして。お茶の水女子大学人文科学研究科修士論文。
2ﾌﾞﾙ－ﾑ，B.S.他/梶田叡一他訳(1983).『教育評価法ﾊﾝﾄﾞﾌﾞｯｸ』第一法規。原題：Handbook on formative and summative evaluation of student learning.
3細谷 純(1968).「発達心理学と教育」波多野完治ほか編『心理学のすすめ』筑摩書房。
4Vygotsky,L.S.(1978).Mind in Society－The Development of Higher Psychological Processes.M.Cole et al.(Eds.),Cambridge:Harvard University，pp.84－91.
5ｳﾞｨｺﾞｷ－／柴田義松.森岡修一訳(1975).『子どもの知的発達と教授』。東京：明治図書，p.80。
ｳﾞｨｺﾞｷ－／柴田義松.森岡修一訳(1975).『子どもの知的発達と教授』。東京：明治図書，p.33。
6「發展的近側區」意指兒童的成就與真正能力間存在的可發展空間。
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14林宜臻(民88)。主體性學習之探討－以擴大圖．縮圖教學設計為例。台北：教育部台灣省國民學校教師研習會。
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18石田一三(1995).「あなたは計算練習で“間違う練習”をさせているのでは？」『日本数学教育学会誌』第77巻，第10号，p．17。
19石田一三(1995).「あなたは計算練習で“間違う練習”をさせているのでは？」『日本数学教育学会誌』第77巻，第10号，p.15。
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21 Perret－Clermont，A.N(1980).Social Interaction and Cognitive Development in Children.New York:Academic Press.
22ｽｹﾝﾌﾟ，R.R.著，藤永 保．銀林 浩訳(1973)『数学学習の心理学』，pp.107- 109，新曜社。