活動名稱

面積的大小

適用年級

四年級

教學節數

約3節

設計者

吳偉立、陳迪貞、方郁琪、邱淑君、郭鳳婷、詹小瑩

教學節次

教學重點

第一節

面積的點算、面積公式

第二節

面積的形式計算、平方公分與平方公尺

第三節

綜合題目練習

教學準備

活動一：小白板、白板筆、璧報紙、正方形色紙、平方公分板（附件）、數學簿子、尺。

活動二：課本國旗情境掛圖、皮尺、。

活動三：數學簿子

教材地位

數學本質之概念

面積的概念：

面積表示一個封閉區域內平面的大小，並可透過覆蓋的活動描述被覆蓋面，是有周界的，有範圍的。

面積的保留概念：

面 積的保留概念是指面積的大小，不因位置、方向的改變而改變，如 與 雖然位置、方向變了，但面積依然相等；亦不因將原物件經切割或拼湊活動後而有所改變，如　若切割一刀後形成　兩塊，但合起來後仍為原來的正方形。

保 留概念是無法透過教學活動即予建立，其是經由多次經驗的累積才逐步形成。等積異形的概念在測量概念中占有非常重要的地位，透過此概念的形成才能了解數學的重要屬性─不變性。Hutton(1978)的研究顯示兒童在經驗保留性時的困難，如向四十八名十一歲的兒童展示兩個全等的長方形 將其中的一三角形移至左側，形成 與 ，此時即九名學生表示二者面積不同，由此可見，若不具面積保留性概念，即指導面積的求法，那是沒有意義的。

兒童若缺乏此類活動以經驗等積異形的不變屬性，則可能只學習到記憶的公式，如正方形面積的邊長×邊長，或三角形面積等於底×高÷2，則兒童只有採背誦方式記憶抽象的公式，而無法了解面積的概念。

面積的合成活動與面積的分解活動

合 成活動與分解活動為互逆關係；合成活動為正思考模式，為透過二個單位的累積而形成一個新的單位量，如：　　　　　　→　　　　　， 即後者是由前者組合而成，知道兩者面積相等；分解活動為逆思考模式，是透過一個單位量的分割而形成二個新的單位量，如：　　　　　　→ 　　　　，即後者是由前者切割而成，知道兩者面積相等。

面積測量概念：
直觀比較---當兩物件有顯著差異時，可透過視覺觀察就可比較出大小。
直接比較---透過疊合活動，比較出兩面積的大小。
間接比較---當二面積無法直接疊合比較時，需透過第三物媒介或經切割或拼湊等活動才能進行比較，可以用紙或布複製其一，再與另一比較，再以此直接比較結果做為原來兩平面區域的比較。因間接比較涉及兒童的保留概念或遞移概念，故兒童需較高成熟度才可實施。

面積公式導出是經過一連串操作、比較的過程，此時的面積公式才有意義，如被問及黑板的面積有多大時，只會用尺量出黑板的長與寬後再相乘者，未必即是真正了解面積概念，故求面積時應先認知到面積是有範圍的。

所 以剛開始教學時，先以單位正方形以紙卡表徵，若緊密以邊相合成一直排，假設用了m個。則此m個正方形區域合起來，形成一個新的平面區域，此平面區域面積的大小應該是單位正方形區域面積的m倍。若單位正方形的邊長為1公分，則稱為m平方公分。若將此直排橫向舖設，總共舖設了n個拷貝，則形成一個大長方形區域，此區域的面積為m平方公分的n倍，故為m×n平方公分，此大長方形的一邊長m公分，另一邊長n公分。

接著可讓小朋友實際操作，再一次驗證，先給定一未知邊長的長方形卡片或正方形卡片，先以平方公分板覆蓋或用直尺量長，再列出乘法算式求得長方形或正方形的面積。利用「一排有n個1平方公分，有m排」和「一排有a張1平方公尺，有b排」的敘述，分別列出面積的乘法算式，並歸納得到「長方形面積＝長×寬」的中文簡記式。再利用「一排有c個1平方公分，有c排」和「一排有d張1平方公尺紙，有d排」的敘述，引導出面積的乘法算式，並歸納得到「正方形面積＝邊長×邊長」的中文簡記式。

數學概念之發展

近年來世界先進國家(如美國、俄國)大都以荷蘭數學教育家van Hiele夫婦的幾何學習發展理論為根據設計幾何方面的教材。 van Hiele夫婦認為一個人幾何概念思考模式可以分成五個發展層次，每個層次次有其發展特徵。本次實驗教材之設計亦以此理念為根據，略述其特徵如下：

(一)第O層次——視覺期(Visualization)

此階段學童可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形。透過視覺觀察具體實物，以實物的整體輪廓來辨認圖形，視覺下差異不大的圖形，他們可以透過移動旋轉等方式辨識，可以使用非標準語言或標準數學術語描術物件的形狀，例如：兒童所知道的「長方形」是根據其以前所看到的長方形物體像門、盒子表面等的樣子。其描述方式常是：平平的、正正的、四四方方的、直直的、站著的、躺著的、長長的…；其所知道的「正方形」是由看到「正正方方的」實物表面的樣子，常以外面的線都是直直的，線都一樣等加以描述；「圓形」是像以前所吃過的餅乾或像錢幣圓圓的…的樣子，比較不成熟的非標準語言來形容。雖然知道物件的形狀何者稱為「正方形」、「三角形」、「圓形」、「長方形」，但不能瞭解其真正定義。因此，這階段的學童宜多安排感官操作的活動，讓兒童透過視覺進行分類、造型、堆疊、描繪、著色等活動獲得概念。

數學概念之發展

(二)第一層次——分析期(Analysis)

此階段的學童可以從圖形的構成要素以及構成要素之間的關係分析圖形，並且可以利用實際操作(如折疊、尺量，以格子觀察或設計特別的圖樣)的方式，發現某一群圖形的共有性質或規則。他們已具有豐富的視覺辨識經驗，能察覺到「長方形」有四個邊，四個直角，且有兩個長邊，兩個短邊，對邊相等；「正方形」是因為它有四個直角，有兩個長邊，有兩個短邊，有兩對邊平行但不能解釋性質間的關係，如知道「菱形」是四邊相等，對角線互相垂直平分的四邊形，但卻不能理解兩者的推理過程。能描述圖形的定義，但不易精簡描述的過程。此階段的學童，宜安排一些製作及檢驗的活動，使從製作與檢驗中獲得圖形的性質。

(三)第二層次——關係期(Relation)或非形式演繹期(Informal Deduction)

此階段的兒童能建立性質之間的關係以及圖形之間的關係，例如：兒童能了解「長方形」是一個具有直角的平行四邊形，「正方形」是長方形的一種，「正三角形」是等腰三角形的一種等之包含關係。他們能夠歸納出圖形的屬性，也能辨認圖形的分類，但這個階段的學生不能了解演繹的整體定義或公設的角色，具體獲得的結論往往先是經由技巧的猜測而來，再經由形式的證明，然而兒童較看不到邏輯次序可被改變，也不能了解如何從一個不同的或不熟悉的情境中去建構或證明。

(四)第三層次——形式演繹期(Formal Deduction)

達此階段者，能用演繹邏輯證明定理，並且建立相關定理的網路結構。他們可以在一個公設系統中建立幾何理論，他們不只是記憶圖表的性質，而且能夠證明，並瞭解一個證明的可能性常不只一種方法。可以理解一個定理的充分或必要條件之內在關係，發現正逆命題間的差異性。例如：能瞭解正五邊形邊長均相等，內角亦均相等，但邊長均相等的五邊形不一定是正五邊形。

(五)第四層次——嚴密性(Rigor)或公理性(Axiomatic)

達此階段的人，可以在不同的公理系統中建立定理，並且分析或比較這些系統的特性。例如能區別幾裏德幾何與非歐幾何的差異，也可瞭解抽象推理幾何，甚至可自創一種幾何公設系統。此層次一般人很難達到，即使是以數學為專業者亦不易達成。

根據van Hiele研究顯示，上述五個層次有其次序性，學習者需擁有前一層次的各項概念與策略，才能有效進行下一層次的教學活動。同時，亦由於教材內容屬性的差異，會影響學習者落入不同層次中。國小低年級學童大都均在第O層次的視覺期，故其對幾何圖形的瞭解須藉由實物的操作、觀察、描述與比較，經過無數次具體經驗，使其在視覺層次具備豐富經驗後，始能秩序漸進的達到較高層次。中年級學童大約可以達到第一層，高年級學童大約在第一層至第二層的過渡時期。

迷思概念

1.兩者面積相同，但一經過裁剪重新組合後，多數同學會認為兩者面積是不同的。

讓 同學實際剪裁圖形並轉換之後，讓同學了解等積異形的概念，並從實作之中相互對照比較等積異形的圖像。

2 . 長度、面積單位容易弄錯。例如：平方公分會寫成公分。
教學時，要多強調長度的概念，如像線的長度，而面積則是一整面，利用實物建立長度的感覺及面的感覺。

3 .周長與面積的概念混淆

同時有計算周長與面積的題目類型時，學生會把兩個概念記相反弄錯。

(1)老師在建立學生對面積的了解方面，可以用覆蓋的方式輔助學生。

(2)告知周長是四個邊的『和』，而面積是長和寬的乘積，周長只是邊邊的和，而面積則是一整個面的和。

4. 面積的測量

運 用實物實際操作，讓學生體會面積的大小、再來界定面積的單位及如何計算出面積。

1. 實物比較大小：先用學生手邊可取得的物品來比較物品的大小。用課本、鉛筆盒……來測量教室桌椅、黑板是用多少本課本或幾個鉛筆盒才能排滿。

2. 「方格板」：界定一個小方格的面積叫做1平方公分。圖形是由幾個小方格組成，面積便是所有小方格合起來的面積。數數看下面的圖形是由幾個小方格所構成？

面積是多少？

1. 矩形

1	1	1	1	1
1	1	1	1	1

每一個小方格面積是1平方公分，這個長方形共有10個小方格，所以面積是10平方公分。

算出總共有幾個小方格：

有5排，每排有2個，5×2＝10個

2. 三角形

從 圖形中可看出淡黃色部分即是三角形的面積，而淡黃色部分恰好是6塊小方塊的一半。所以，三角形面積是2 × 3 ÷ 2＝ 3平方公分

3. 其他多邊型或不規則形狀

所有形狀都可以利用方格板來求得面積的大小或面積大小的概數。

處理的特色

據教學現場觀察，若兒童不具保留概念，只是背誦面積公式，一旦公式忘記或是所求面積的複雜性提高，兒童將無所適從。本課程即希望學生透過實際操作，讓學生在活動過程中經驗等積異形的概念，進而建立保留概念。

1. 教學活動中應經常提供具體操作活動，經驗並察覺到圖形面積大小經過平移、旋轉等幾何變換後的面積不改變性，既可促進學生保留概念能力發展，又可避免一味仰賴視覺解題的僵化模式。

2. 提供操作不同單位量的學習經驗，避免學生思考僵化，誤以為以一格或一平方公分為單位量必然是且唯一的。

3. 透過個別單位拼湊成全體的合成活動較容易，但是將全體分割成相同單位量的分解活動則較困難，故應該提供豐富分解的經驗，以培養建立兩者間的互逆關係。

4. 單位量的轉換是推理關係的基礎，多提供單位量關係性問題的操作與討論經驗，以增進學生單位量間的轉換能力。

5. 加強對公式意義的了解，避免將公式的記憶流於型式而忽略了題意的重要，且應該經常提供多餘資訊的題目，培養學生判斷的能力與習慣。

6. 兒童對面積的了解是建立在覆蓋的活動上。面積的大小可透過不同方法測量而得，但若未經過覆蓋、拼湊、添補、複製與比較等活動，不能真正了解面積的概念。

7. 釐清周長與面積的概念。面積與周長─直是兒童混淆的概念，只先將面積的概念加以澄清，了解面積指的是某一特定範圍內的平面區域的大小，而此特定範圍的邊界，邊界或圍起來的線等生活語言稱之，面積概念鞏固，才用長度測量概念，量出圍起來的線的長度，再命名為周長。

能力指標

具體目標

4-n-15 能認識面積單位「平方公尺」，及「平方公分」、「平方公尺」間的關係，並作相關計算。

1.能認識面積的普遍單位「平方公分」。

2. 能利用面積的普遍單位「平方公分」計量面積，並比較大小。

3.培養平方公分量感，並練習以平方公分為單位，測量平面圖形。

4. 能透過不同物體的覆蓋來描述面積的大小。

5.平方公分與平方公尺的單位換算。

具體

目標

活動主題

及進行方式

主要活動與問話

教學資源

評量

1.先以實物讓學生做比較，並比較兩面積的大小。

第一節課：

一、關係洞察

個人思考

↓

小組分享及思考

↓

全班分享

U老師給班上同學的乖寶寶卡有分兩種，一種是a樣式的多啦A夢卡

而另外一種是b樣式的多啦A夢卡

請問各位小朋友，你認為哪一種乖寶寶卡比較大？

1.（）a樣式

2.（）b樣式

3.（）一樣大

將答案寫在白板上。

舉牌。

請答案錯者，說說看，以了解癥結所在。

小白板、白板筆

能夠對具體物件的大小有所洞察。

１.先以點算方式導入「面積」概念。

二、概念洞察

個人思考

↓

小組分享

↓

全班分享

↓

老師澄清

請問這2張乖寶寶卡實際是多大呢？

將自己的想法說給小組的同學聽，並將小組的方法寫在小白板上。

各組將答案貼在黑板上。

比較各組方法的異同。

統整各組方法

利用平方公分板覆蓋面積。

數數看小叮噹和戰鬥陀螺乖寶寶卡各有多少格？

小叮噹乖寶寶卡一排有個有排共有格共有平方公分

戰鬥陀螺乖寶寶卡

一排有個有排共有格

共有平方公分

說說看，你是怎麼算的﹖

告訴學生一個正方形所覆蓋的面積是一平方公分，而平方公分板的一格是「一平方公分」。

告訴學生，通常我們把長方形較長的邊，稱作「長」；較短的邊，稱作「寬」。

引導小朋友導出

[長方形的面積＝長×寬]

小白板、白板筆、平方公分板（附件）。

1. 導入學生正方形面積算式的概念，跳脫點算方式。

四、概念確認

個人思考

↓

小組分享

↓

全班分享

U小朋友各拿出一張正方形色紙

請問正方形色紙的面積是多少平方公分呢？

將你的算法說給小組的同學聽，看看說的合不合理。

透過平方公分板所量出的正方形色紙的排數有多少個、共有幾排，導入正方形面積的公式＝邊長×邊長（以平方公分為單位）的概念。

平方

公分

（附

件）、

尺、

正方

形色

紙、

小白

板、

白板

筆。

1.引導並確認學生大面積（平方公尺）的思考。

概念確認

個人思考

↓

小組分享及思考

↓

全班分享

U教室的長10公尺、寬3公尺，

請問要用幾張1平方公尺的報紙才能舖滿黑板呢？

一排舖張有排

所以共有平方公尺

說說看，你是怎麼算的﹖

小白板、

壁報

紙、

白板

筆。

能以平方公分作形式計算，能運用方形的面積公式計算面積。

概念應用

計算國旗紅色部分面積

一、複習舊經驗

個人思考

↓

小組分享及思考

↓

全班分享

U打開課本國旗情境掛圖

我們要製作與課本上一樣尺寸的國旗，請問國旗紅色部分需要用多少面積的紅色顏料﹖

將你的做法寫在小白板

小組成員討論彼此的做法是否正確。

• 方法對□方法不對

因為：

小組派成員上台報告討論出來的做法(有哪幾種)及算式。

可能解題的方式：

1.將複合圖形分割成若干個基本圖形並分別算出其面積，最後再合起來。

2.將複合圖形填補成較大的基本圖形，再扣除填補的部分。

課本國旗情境掛圖

能以平方公尺做形式計算

計算課本中的中庭花園小路面積的情境布題。

二、關係洞察

個人思考

↓

小組分享

↓

全班分享

↓

老師澄清

U看課本第92頁

如何去解題﹖

和隔壁同學互相討論。

在小組內發表自己的看法。

請不同解法的小朋友上台解題。

課本第92頁