活動名稱

體積

適用年級

5年級

教學節數

1節

設計者

淡江大學李明穎

教學學校

大成國小

教學班級

六年甲班

教學者

李明穎

教學日期

教學節次

教學重點

2006.12 .15

第一節

學會長方體及正方體的體積計算

教學準備

活動一：長方形的面積複習。

活動二：利用積木的堆疊學習體積的概念。

活動三：將立體積木與立體圖形做連結。

教材地位

數學本質概念

1. 體積

   1. 定義:一物體的體積為此物體所佔空間的大小。此一定義可獨立於物體之外，而成為某一封閉曲面內的空間之大小。若定義面積是封閉曲線所圍成的平面區域的大小。

   2. 物體佔空間的大小：體積表示物體佔空間的大小，不論是否為實心或空心物件，均可透過視覺觀察外部的大小，如：大象比老虎大、籃球比棒球大，此均代表著前面所佔的空間較後者為大，一般又稱為外體積。

   3. 體積的單位：與長度和面積一樣，必須選定一個單位。單位選擇的考慮則與面積相同，必須滿足下列三個條件。

1. 此單位的幾何形狀必須能填滿空間，向外延伸。

2. 此單位要能夠被簡單地等分分割。

3. 此單位及其等分分割量的計數需能配合數的加減乘除。

只有正方體能夠滿足上述要求，長方體可滿足a、b，但不能滿足c。

4. 其他意義: Linda, Margaret & Olwen （1984）則認為體積應包含下列四個不同層面的意義：

1. 外體積（external volume）——即透過視覺，知覺到的物體占空間的大小，不論其為實心或空心，如：皮球、積木或空臬子。

2. 內體積（internal voluem）——即物件內部空間大小，此乃指空心物件的內部容積，一般指的是裝載固體的小個物，如：盒子內可裝８個白色小積木，表示盒子的容積是８立方公分。

3. 排他性體積（displace volume）——即物件體積的大小是透過排出的液量表示原物件的體積，如：石頭的體積，可透過將其擲入滿水位的水缸內，流出的液體體積即表示石頭的體積。

4. 液積與容量（liquid volume and capacity）——液積表示液體所佔有空間的量，代表液體體積又稱液量。容量則是容器的最大裝載量，一般表示裝載液體的量。

(1)正方體與長方體：

(2)正方體與長方體特性比較

數學概念發展

兒童的空間幾何思考模式，由Pierre van Hiele和Dina van Hiele-Geldof 兩位荷蘭教師所提出五個不同的發展階段，分別是視覺、描述、非形式演繹、形式演繹、邏輯等五個發展階段，每一個階段各具有其發展特徵。在最初的視覺辨認階段中，兒童是透過視覺觀察具體實物，由實物的輪廓來辨識圖形，例如：兒童所知道的長方形，是因為以前所看到長方形就是這個樣子或它是像門的樣子，兒童所知道的「正方形」、「圓形」是因為它長得「方方正正的」，或它像以前所吃過的餅乾的樣子，此階段的兒童可以學習數學非標準語言或數學術語。例如：兒童知道「正方形」、「圓形」這些術語但還不能了解「正方形」、「長方形」、「圓形」真正的定義。故在低年級教學時，宜多安排具體物操作的活動，諸如：滾動、堆疊、造型、塗色、描繪……等活動，透過這些活動讓兒童實際經驗並獲得概念。

第一階段 視覺 (visuality)：在這個層次的兒童能透過圖形的整體輪廓辨認，去學習辭彙及辨認，或再造出一個與指定的圖形相同的圖形，但不能利用圖形的特徵或組成要素來分析。

第二階段 分析(analysis)：在這個層次能分析圖形特徵及組成要素，但不能解釋性質之間的關係，也不能了解正式圖形定義。

第三階段 非形式化的演繹 (informal deduction)：在這個層次能建立圖形之間的關係及性質之間的關係網路，能了解定義並解釋非正式的論証，但不能了解證明或定理的重要性，不能由不熟悉的前題去建立證明結果的成立。

第四階段 形式的演繹 (formal deduction)：在這個層次可以了解到證明的重要性和了解「未定義名詞」、「定理」和「公理」的意義，能嚴密地證明及建立定理間的關係網路，能比較一個定理的不同證明方式。

第五階段 嚴密性(rigior)：在這個層次能學習不同的幾何系統，並在不同的幾何系統作比較，如歐氏幾何與非歐氏幾何之比較。

當兒童具有足夠的、完整的視覺辨識階段的特徵後即進展到次一階段的描述階段時，此階段的兒童能開始分析幾何的概念，即透過觀察及實際驗證的方法，分析圖形的組成要素及圖形的性質。例如：兒童所知道的「長方形」是因為它有四個直角，有兩個長邊，有兩個短邊，有兩對邊平行，所知道的「正方形」是因為它有一樣長的四個邊，有四個直角。

接下來的第三個階段是非正式演繹階段，此階段的兒童能建立的性質之間的關係及圖形之間的關係。例如：兒童能了解到長方形是一個直角的平行四邊形，正方形是長方形的一種。而當兒童發展形式演繹階段時，兒童開始會了解到推論的重要性，了解到定理的不同證明方法。例如：如果這個圖形是一個平行四邊形而且有一個直角，則可證明此圖形是一個矩形。最後的階段是幾何的嚴密性，此階段的兒童可以學習不同的幾何系統，並在不同系統之間作相互比較。

而國小階段學生的空間幾何思考模式，屬於視覺期和分析期。「視覺期」的特徵是能依據「形體的外觀」進行直接的辨識、比較（比對）、操作；而「分析期」的特徵是能依據「形體外觀的部分特徵及其間巨象的關連」配合經驗進行形體性質的描述、比對、和分析的活動。這個時期的兒童應透過視覺觀察具體物，進行堆疊、製作、描繪的操作性活動，並逐漸豐富視覺經驗而發展出比對與分析圖形和形體的組成的起始能力。高年級的學生應該已能夠透過「視覺」和「自然語詞」，觀察、描述和比較基本的平面和立體圖形的特徵。此外，學生能夠用文字或記號來描述平面和立體圖形（例如四邊形、立方體等）的性質、透過實驗發現和實物比對說明圖形的特徵、依據察覺的圖形特徵說出合於某些性質的圖形及依靠觀察直接比較不同類圖形性質的異同。

中年級學童大約可以達到第一層；高年級學童大約在第一期至第二期的過渡時期，第三、四階段屬於較高深的幾何思考，不屬於國小階段兒童，因此低年級對幾何的理解須藉由實物，不斷的具體經驗的學習，以豐富他們的視覺經驗，使其在低階段的學習經驗豐富了之後，則可循序漸進到較高的階段。

迷思概念

1. 重視公式的記憶，輕忽概念的瞭解

2. 對於立體的圖形沒有空間感。

3. 平面與立體概念的建立。

4. 請小朋友用30個白色積木堆出1個長方體或是正方體，小朋友會因為堆出來的形體比較高，而認為高的形體比較大。

處理特色

進行概念演進順序：長度→面積→體積。並使用具體建立概念教具：一立方公分的「小白顆粒」。

先從小白顆粒排起(以下此圖為俯視圖)：

長：用了幾顆小白顆粒排出的？

寬：用了幾顆小白顆粒排出的？

面積：一共有幾顆小白顆粒？

小白顆粒堆疊高

體積：現在有幾顆小白顆粒？

能力指標

具體目標

S-2-07能認識立體形體在平面上呈現的方式

S-2-08能用正方形與正方體為單位度量面積與體積，並理解長方形面積與長方體體積之公式

S-3-01能使用簡單的幾何性質描述、區分平面圖形

1.能分辨平面圖形及立體圖形之差異，並說明相關性。

2.能計算正方形及長方形的面積。

3.能透過平面圖形的面積計算理解體積計算的規則。

教學活動流程

具體

目標

活動主題

及進行方式

主要活動與問話

教學資源

評量

能計算正方形及長方形的面積。

【關係洞察】

活動一：長方形的面積複習。

【正誤區辨】

利用平面海報請學生計算長方形面積。填寫於學習單中。

問：如何計算？

答：長*寬

海報

能分辨平面圖形及立體圖形之差異，並說明相關性。

【概念再製】

活動二：利用積木的堆疊學習體積的概念。

【正誤區辨】

1.說明白色積木為1cm*1cm*1cm，並發給每個人15顆積木。請學生用積木堆疊出與活動一相同面積的長方體。

問：長方體的大小為何?

說明體積概念引導長*寬*高

答：長*寬*高

2.請學生加高一層積木堆疊，加深堆疊概念了解體積的計算過程。

3.請學生堆疊出3cm*4cm*3cm的積木，來辨別學生的學習程度。

白色積木

能透過平面圖形的面積計算理解體積計算的規則。

【概念應用】

活動三：將立體積木與立體圖形做連結。

1.先請學生在學習單中回答，海報一中的圖形需要幾顆積木。再請學生依自己回答的顆數試堆疊出相同的圖形。

2.請學生回答海報二中有幾顆積木，並引導與非積木圖形的連結。

兩張海報

活動名稱

體積

教學

年級

五年級

教學

節次

1節

設計者

李明穎

試教者

李明穎

紀錄者

李明潔

試教地點

臺北縣大成國小

試教日期

民國95年12 月15 日