平面圖形本質概念與國小幾何教學探討

國小教育學程數學科教材教法

林宜臻老師

平面圖形本質概念

TKU92B

487000258 (02)楊季芳

487550989 (12)曾俊龍

488070144 (21)林雅凰

民國93年4月

目錄

壹、國小數學中的幾何教材內容……………………………………..5

貳、兒童幾何概念的發展……………………………………………..5

參、數學結構…………………………………………………………..7

肆、國小數學中的平面圖形…………………………………………..9

一、線的垂直與平行………………………………………………………….9

二、線對稱和點對稱…………………………………………………………14

三、三角形……………………………………………………………………17

四、四邊形……………………………………………………………………21

五、圓形………………………………………………………………………24

六、多邊形……………………………………………………………………27

七、面積………………………………………………………………………31

八、縮圖………………………………………………………………………44

九、比例尺……………………………………………………………………47

伍、平面圖形的教學…………………………………………………..50

陸、學生對平面圖形的迷思概念……………………………………..62

柒、結論與建議………………………………………………………..66

捌、參考資料……………………………………………………………70

壹、國小數學中的幾何教材內容

數學領域將九年國民教育區分為四個階段：階段一為一至三年級，階段二為四、五年級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年級。另將數學內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題。

國小數學課程「幾何」的教材領域，包括「平面圖形」與「立體圖形」兩部分，本報告重點在於「平面圖形」，「立體圖形」略為不談。其實，圖形並非實際存在的東西，只是能從實際的物體聯想到它，例如：我們在日常生活中所看到的一切器物、建築……等乃是圖形的化身，亦即圖形具體化的東西，圖形是從實物中摒棄其無可避免的夾雜物如顏色、氣味、大小、材質、輕重、硬度、厚度、用途等性質，進而抽象後得到的概念。

能力指標係依主題及階段學習能力而訂定，然因多數指標須採分年進階式教學方能達成其教學目標。因此，由階段能力指標演繹出更細緻的分年細目及詮釋，以利分年進階式教學進度目標的明確掌握。分年細目以三碼編排，其中第一碼表示年級，分別以1，…，9表示一至九年級；第二碼表示主題，分別以小寫字母n、s、a、d表示「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主題；第三碼則是分年細目的流水號，表示該細項下分年細目的序號。下表為平面圖形的相關分年細目：

分年細目：

　　從分年細目中可看出低年級階段以能辨認、描述、分類、描繪簡單平面圖形，進一步認識周遭物體上的角、直線、平面、平行與垂直，並能使用直尺為主。中年級以認識角、角度、垂直、平行、長方形和正方形的面積和周長、透過製作活動瞭解各種形狀的構成要素、能使用簡單的工具繪圖（圓規）與測量（量角器）為主。高年級則透過操作與觀察，以瞭解圖形間的關係，包括三角形、平行四邊形、梯形、圓、扇形，並能做簡單的應用為主。

貳、兒童的幾何概念發展

近年來世界先進國家（如美國、俄國）大都以荷蘭數學教育家van Hiele夫婦的幾何學習發展理論為根據設計幾何方面的教材。van Hiele夫婦認為一個人幾何概念思考模式可以分成五個發展層次，每個層次次有其發展特徵。本次實驗教材之設計亦以此理念為根據，略述其特徵如下：

一、第O層次——視覺期（Visualization）

此階段學童可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形。透過視覺觀察具體實物，以實物的整體輪廓來辨認圖形，視覺下差異不大的圖形，他們可以透過移動旋等方式辨識，可以使用非標準語言或標準數學術語描術物件的形狀，例如：兒童所知道的「長方形」是根據其以前所看到的長方形物體像門、盒子表面等的樣子。其描述方式常是：平平的、正正的、四四方方的、直直的、站著的、躺著的、長長的、……；其所知道的「正方形」是由看到「正正方方的」實物表面的樣子，常以外面的線都是直直的，線都一樣等加以描述；「圓形」是像以前所吃過的餅乾或像錢幣圓圓的、……的樣子，比較不成熟的非標準語言來形容。雖然知道物件的形狀何者稱為「正方形」、「三角形」、「圓形」、「長方形」，但不能瞭解其真正定義。因此，這階段的學童宜多安排感官操作的活動，讓兒童透過視覺進行分類、造型、堆疊、描繪、著色等活動獲得概念。

二、第一層次——分析期（Analysis）

此階段的學童可以從圖形的構成要素以及構成要素之間的關係分析圖形，並且可以利用實際操作（如折疊、尺量，以格子觀察或設計特別的圖樣）的方式，發現某一群圖形的共有性質或規則。他們已具有豐富的視覺辨識經驗，能察覺到「長方形」有四個邊，四個直角，且有兩個長邊，兩個短邊，對邊相等；「正方形」是因為它有四個直角，有兩個長邊，有兩個短邊，有兩對邊平行但不能解釋性質間的關係，如知道「菱形」是四邊相等，對角線互相垂直平分的四邊形，但卻不能理解兩者的推理過程。能描述圖形的定義，但不易精簡描述的過程。此階段的學童，宜安排一些製作及檢驗的活動，使從製作與檢驗中獲得圖形的性質。

三、第二層次——關係期（Relation)或非形式演繹期(Informal Deduction)

此階段的兒童能建立性質之間的關係以及圖形之間的關係，例如：兒童能了解「長方形」是一個具有直角的平行四邊形，「正方形」是長方形的一種，「正三角形」是等腰三角形的一種等之包含關係。他們能夠歸納出圖形的屬性，也能辨認圖形的分類，但這個階段的學生不能了解演繹的整體定義或公設的角色，具體獲得的結論往往先是經由技巧的猜測而來，再經由形式的證明，然而兒童較看不到邏輯次序可被改變，也不能了解如何從一個不同的或不熟悉的情境中去建構或證明。

四、第三層次——形式演繹期（Formal Deduction）

達此階段者，能用演繹邏輯證明定理，並且建立相關定理的網路結構。他們可以在一個公設系統中建立幾何理論，他們不只是記憶圖表的性質，而且能夠證明，並瞭解一個證明的可能性常不只一種方法。可以理解一個定理的充分或必要條件之內在關係，發現正逆命題間的差異性。例如：能瞭解正五邊形邊長均相等，內角亦均相等，但邊長均相等的五邊形不一定是正五邊形。

五、第四層次——嚴密性（Rigor）或公理性（Axiomatic）

達此階段的人，可以在不同的公理系統中建立定理，並且分析或比較這些系統的特性。例如能區別幾裏德幾何與非歐幾何的差異，也可瞭解抽象推理幾何，甚至可自創一種幾何公設系統。此層次一般人很難達到，即使是以數學為專業者亦不易達成。

根據van Hiele研究顯示，上述五個層次有其次序性，學習者需擁有前一層次的各項概念與策略，才能有效進行下一層次的教學活動。同時，亦由於教材內容屬性的差異，會影響學習者落入不同層次中。國小低年級學童大都均在第O層次的視覺期，故其對幾何圖形的瞭解須藉由實物的操作、觀察、描述與比較，經過無數次具體經驗，使其在視覺層次具備豐富經驗後，始能秩序漸進的達到較高層次。中年級學童大約可以達到第一層，高年級學童大約在第一層至第二層的過渡時期。

參、數學結構

一、平面區域：

(一) 和平面區域概念相關的生活經驗：

　　一般的臥室或客廳的地板由牆腳圍住，形成一個確定的平面區域。運動場跑道以埋磚方式圍成，跑道內部亦形成一個平面區域。許多物體的表面是平直的，如方形紙盒，它的每個面也是一個平面區域。在這些例子中，都可以指出區域的周界及其內部。

　　有些地面不避免會有些起伏，把它視為平面區域必須故意忽略這些起伏。假定牧場內皆栽植牧草，但房屋、水塘當然除外。在計算栽植牧草的量時，可以將牧草生長的地面視為一個平面區域。這樣看待的平面區域是有洞的，它的邊界是由幾個分離的封閉曲線所構成。

　　小物體的表面是可移動的，如書本的表面，地面則是不可移動的。可移動的表面可以用疊合的方式，覆蓋在另一平面區域上，這是直接比較，或個別單位複製的運作依據。兩個不可移動的表面的比較，則需透過複製後才能疊合比較。

　　在平面的幾何概念中，平面是空間中某些特殊的點的集合，但是用紙表徵面時，因為紙張都是兩面，所以容易造成錯誤概念。像牆壁的表面、地面，或書本表面都只有一面，雖然操作不如紙張容易，但是對形成平面區域的概念還是有必要的。

　　就如同彎曲物的長要拉直後才能比較一樣，曲面的面積也必須攤平才能比較，像柱體或錐體的表面，都可以切開後攤平，在幾何上稱為可展平的曲面。但是像球體表面就不能攤平了，即可切開後也不行。它的面積一定要用極限方式來討論。

　(二)平面區域的認識：

長度是描述直線段的大小，面積則是描述平面區域的大小。最單純的平面區域是由封閉的、不自己相交的平滑曲線或折線段為周界所圍成。例如橢圓曲線的內部、長方形的內部、八邊形（含凹）的內部等都是很單純的平面區域。

較複雜的平面區域可能由多個不相連的封閉曲線或折線段形成其周界，但區域本身仍然是連通的。

　(三)平面區域的分與合：

　　兩平面區域若共有一段周界，則可將共有的周界部分取消，形成一個新的平面區域，此為平面區域的合成。反之，可以在一個平面區域內加以分割，使形成兩個不相連的子平面區域，此為平面區域的分解。

　(三)區分周界與區域，以及周界長和區域的大小：

　　在長度概念啟蒙時，直線段先於距離。兩點之間的距離是連結這兩點的直線段的長度，這兩點是直線段的端點。

面積概念啟蒙的麻煩是，無法像直線段一樣，在紙上標示出平面區域。補救之道是在周界圍成的內部特別用顏色塗勻加以區分。在黑板上，教師可以用手掌在標示出的平面區域上做出塗抹的動作，以強調此區域。如果只是用食指指著某個長方形周界繞一圈，而口說這個長方形面積，就難怪學童始終混淆周界和面積了。

在學會求出長方形面積後，應令學生同時實測長方形區域的面積及周長，並經驗兩個長方形可以周長相等，面積不相等，或者反過來的情形。

二、平面區域的大小比較：

(一) 直接比較：

　　可移動的物體的平直表面可以緊密覆蓋在另一個平面區域上。假若其中一個平面區域可以完全落在另一個平面區域中，這時兩個平面區域的大小就能夠決定。這個道理和直線段物體可以用互相疊合的方式比較長短的方式類以。 

(二) 間接比較：

　　如果A、B兩個平面區域皆不可移動，則可以用紙、布複製其中之一，例如A，設此一次複製物為C，則A和C面積大小一樣，記做A=C，再拿C與B做直接比較，而以C和B的比較結果推論A和B的結果。

(三) 個別單位比較：

　　上述的直接比較或間接比較，對於任意的兩個平面區域常常是無效的，因為它不像直線段可以對齊一端，檢視另一端。以右圖的長方形為例，不易判斷AEFG和ABCE兩個長方形的大小。有兩個方法可以解決這種問題。

　　一個方法是把BEFH切下來和GHCD比較，如果還不行就再切補。我們稱此法為切割拼湊，在古代中國算書上則稱為出入相補。有關出入相補法會放在等積異形中再討論。另一個辦法就是利用個別單位區域的合成來複製被提出比較的兩個平面區域A、B。

　　可以用做個別單位的平面圖形應具備下列兩類條件：

1.可在平面上做出向四面八方延伸的無空隙舖設。

例如：正方形、長方形、凸四邊形、三角形、正六邊形。

2.在計數時，可以運用乘法簡化運算。

　　符合條件１又符合條件２的原型只有正方形和長方形。如果又要配合平面直角座標系，以便在微積分學中推廣，則只有正方形一種。只要選擇的正方形夠小，就可以在平面區域A、B的內部，分別覆蓋這些同大的正方形，覆蓋時不重疊亦不留空隙。把這些同大的正方形合起來，就等於複製出平面區域A和B了。我們可以用個別單位正方形的數量的大小來判斷平面區域A和B的大小。

肆、國小數學中的平面圖形

●線的垂直與平行

一、垂直和平行的意義：

(一)垂直線：生活上所說的垂直線是指與水平面成直角的線，數學上則稱交角為直角的直線，也稱為二直線互相垂直。

(二)平行線：二直線若方向相同則為平行線，或可說成二直線若處處距離相等，既不相交，也不重合。

垂直與平行是二直線間的特性，這些直線並不必要是鉛直線或水平線。

二、日常生活中的垂直與平行：

日常生活中的物件形狀，以長方形最為常見。引出直角概念及長方形（正方形）、三角板上的直角，由竹籤（或吸管等長條形物件）排長方形，引出兩邊互相垂直的特徵。接著逐步延伸一直角的兩邊分別形成「┬」及「┼」之形狀，把直角兩邊互相垂直擴張至兩直線互相垂直的一般現象。

五線譜、十行紙、畫有平行線的筆記簿等，皆為學童常見的平行線，兩平行線若有一條垂直於第三條線，則必定同時垂直於這第三條線。先以這些學童常見的平行線與歪斜、相交的直線對照，引出平行概念，再用同一張紙連續摺兩次直角的方式，察覺同時垂直於第三條線的兩直線互相平行之特徵，並以特徵檢查兩直線是否平行。

三、認知結構：

(一)垂直與平行概念發展的van Hiele階段：

根據van Hiele的兒童幾何認知發展理論，視覺層次的兒童已能夠利用竹籤等長條形物件做出長方形，能夠區辨直線平行的特徵，也能利用長方形框架或圖形板檢查兩條直線是否平行，採功能性的引導法，讓兒童自垂直線與平行線的功能出發，認識垂直與平行的特徵。透過要素抽離的實際活動，長方形四個角為直角的特性，抽出直角的兩邊，使實物與圖象產生連結，認識互相垂直的線的意義。

此階段的學童已能確認特殊的形狀，辨認相像的圖象。

(二)垂直與平行概念的內化：

兒童知道垂直線的畫法以前，必須先了解兩直線互相垂直的意義。此時的學童，對兩直線互相垂直的了解程度不同，其在畫垂直線時，可能有不同的表現，可能畫成「└」、「┴」、「┼」等。因此，在引導其畫垂直線時，宜配合其理解層次提供適當的暗示。利用檢查直角的策略可判斷兩直線是否垂直，這種逆運思，可能部份學童尚未完全發展，教學時可用「互相垂直的線形成什麼角﹖」、「用檢查直角的方法來檢查線是否互相垂直，可以嗎﹖」來暗示其思考的方向。

畫一直線與另一直線平行，或過已知直線外一點畫一直線與已知直線平行，為van Hiele幾何思考模式的分析期（Analysis）的能力，此階段的學童能進一步觀察到圖形組成要素與圖形之間的關係，知道互相垂直的線形成直角，互相平行的線會同時垂直於另一條直線。小學四年級的學童，對這些性質都只是在經驗與察覺階段，在畫圖的過程中，可能需要一些相關的提示。因此，過已知直線外一點畫一條直線與已知直線垂直或平行，這種較高層次的運思，不宜評量。

(三)直角邊和垂直線的關係：

兩直線互相垂直，常見不同的象徵（不計其方向），如圖四：

    

│ │ │ │ │

│ │ │ │ │

│ ├─── ──┼── │

└─── │ │ ───── ────

圖四

這些圖形，對兒童而言，常有不同的認知，為使兒童能由實物圖象抽離出抽象的概念，本單元利用描出三角板的直角邊（如圖四），逐步配合竹籤改變其造型，使兒童將圖四、、之圖象加以連結，認識這些圖象皆可表示兩直線互相垂直的特徵；由於、兩種圖象的抽象層次較高，此時暫不討論。

四、畫法與檢驗：

(一)垂直線的畫法及檢驗：

畫任意互相垂直的兩條直線有幾種方法，下面舉出兩種一般常用的方式之畫圖步驟：

1.利用直角形板的兩邊：

（1）任意畫出第一條直線A（見圖一）。

（2）將直角形板的一個直角邊與1.畫出的第一條直線A疊合（或平行）（見圖一2.）。

（3）沿著直角形板的另一個直角邊畫出一條直線B（與第一條直線相交或不相交）即得（見圖一3.）。

若要過線外一點畫一直線和已知直線垂直，只要在步驟(中使直角形板的另一個直角邊靠著所給的點，再畫出直線便得。

圖一

2.利用直尺（可畫出直線的工具即可）與圓規（可畫圓弧的工具即可）：

（1）任意畫出一條直線C（見圖二）。

（2）在第一條直線上任意取定適當距離（適當距離乃為便於畫圓的考慮）的兩點，設為P、Q兩點（見圖二）。

（3）以大於PQ之距離為半徑，利用圓規分別以P、Q兩點為圓心畫二圓弧，使於第一條直線的兩側分別交於一點R、S（見圖二）。

（4）以直尺連接兩圓弧之交點R、S得一直線，則此直線與第一條線互相垂直（見圖二）。

    

   R  R

│

P Q P Q P Q P │ Q

──────Ｃ──────Ｃ──────Ｃ──┼───Ｃ

│

│

S S

圖二

上面第二種畫法，此階段的學童尚不易理解，此時還不宜介紹；第一種畫法與互相垂直的線的定義之關聯較為明確且易懂，故本單元採用第一種畫法引導垂直線的畫法。

要檢驗所畫的兩條直線是否互相垂直，只要檢查其交角是否成直角即可。

(二)平行線的畫法與檢驗：

利用「兩平行線之一與第三條直線垂直，則另一條線必亦與第三條直線垂直」的性質，便可畫出互相平行的直線，其步驟為：

1.畫出第一條直線L（見圖三）。

2.依照畫垂直線的步驟畫出與第一條直線L垂直的線M（見圖三）。

3.再畫出所畫出的直線M的垂直線N，則此直線N與所畫出的第一條直線L平行（見圖三）。

 ＭＭ

│ ───┼───Ｎ

│ │

───────Ｌ───┼───Ｌ───┼───Ｌ

圖三

要檢驗兩直線是否平行，只要檢驗此二線是否同時垂直於第三條同平面上的直線。

五、教學應注意事項：

(一)兒童已經驗多次命名活動，大都可以理解為便於彼此間的溝通，常會對某些圖形或特徵取一個一般人常用的名稱，且命名過程並非此處之重要目標，故兩直線「互相垂直」、「互相平行」的描述，可採用教師直接宣告的方式進行。

(二)學童畫垂直線或平行線時，若有些微的偏差宜淡化處理，不必要求達到十分準確。

七、教學活動舉例：

(一)經驗兩直線垂直的意義

(二)經驗兩直線平行的意義

(三)察覺垂直的意義

(四)察覺平行的意義

●線對稱和點對稱

線對稱圖形和點對稱圖形是兩種較特殊的幾何圖形，人們常利用其結構的對稱性較有效地製作物件或圖案。下面先就其概念及畫圖要點簡要說明，再描述數學實驗課程之處理方式。

一、線對稱的概念和畫圖：

(一)線對稱的意義：

1.操作定型定義（直觀的概念）：

若一個圖形可沿著某一直線對折，使其在直線兩側的部分完全重合，這種圖形稱為關於此折線的對稱圖形，簡稱為線對稱圖形。

2.幾何上的意義：

一個圖形，若可以找到一條直線將其平分成兩半，使在其中一半內的任何點，都可以在另一半內找到一個對應點，使得這互相對應的點所連成的直線段，恰被平分此圖形的直線垂直平分，這個圖形即為一種線對稱圖形。

線對稱圖形中，將圖形平分成可重合的兩半之直線，稱為其對稱軸。分別在對稱軸之兩邊的兩點，若其連成之直線段恰好被此對稱軸垂直平分，這兩個點稱為關於此對稱軸互相對稱的點，一般常簡稱為對稱點。若將圖形對折時，分別在對稱軸兩邊，且正好處處疊合的兩條段，稱為關於此對稱軸的對稱線段（若該圖形為多邊形則可稱為對稱邊）。在對稱軸兩邊的區域，稱為對稱區域。若以稱軸通過該對稱圖形的內部，則在軸上的點的對稱點即為其本身。

(二)線對稱圖形的作圖：

1.剪圖法：

將一張紙對折，在其上依所要的圖形之一半的形狀剪下（使透過兩半），然後展開，則可得一個線對稱圖形。

2 .描繪法：

利用雙面複寫紙或單面複寫紙皆可以畫出線對稱圖形。將一張白紙對折，將複寫紙插入對折之中間，使可透色的面和白紙之兩個內面接觸，然後在對折紙的表面畫出所要的對稱圖形的一半圓形，畫好之後，將複寫紙取出，展開白紙，複寫紙透色的面即出現所要的對稱圖形。

3.利用對稱軸垂直平分對稱點的連結之特性：

在一張白紙上適當位置畫出一條直線當做對稱軸（如圖七之（1）），接著於軸線的一邊畫出所要的對稱圖形的一半圖形（如圖七之（2）），定出一些關鍵點（如圖七之（3）中的A、B、C），過每一個關鍵點分別畫出和軸垂直的直線段，使其通過軸線至另一側的適當位置，於此直線段上取一點使其至軸之距離等於原關鍵點至軸的距離，則此點即為原關鍵點的對稱點（如圖七之（4）中的D、E、F）。接著利用這些關鍵點連出原來的一半圖形中各邊之對稱邊，即得一個線對稱圖形（如圖七中之（4））。

圖七：利用對稱軸垂直平分對稱點連結畫對稱圖形

二、點對稱圖形的概念：

(一)點對稱的定義：

1.操作型定義（直觀的概念）：

平面上的圖形，若可以找到一個固定點（在此圖形上或在此圖形外），使此圖形繞著此固定點旋轉180度後，新位置恰好和原位置重合，則稱這此圖形為以此固定點為旋轉中心的點對稱圖形，一般簡稱為點對稱圖形。

2.幾何上的定義：

若一個圖形可以找到一點P（在圖形上或圖形外），滿足對此圖形上的任意點A都存在著圖形上的另一點B使P點介於A、B兩點之間，且AP＝BP，這種圖形稱為以P為中心點對稱圖形，A和B稱為關於P點之相互對稱的點（或以P為中心的對稱點）。

從以上的定義可知，一個點對稱圖形繞其對稱中心旋思180度後不改變其位置。但事實上，除了對稱中心以外，圖形上的任何點與對稱中心的相關位置，在保距的情況下皆改變了180度的角度。具有點對稱特徵的圖形，若其上某一點之原位置為S，圖形繞中心旋轉了180度後，其新位置所疊合的點設為T點，則稱S點和T點為關於P點的相互對稱點，簡稱為以P點為中心的對稱點。由以上定義可知，互相對稱的點和對稱中心等距且三點共線。

點對稱概念是一種比線對稱更為抽象的剛性運動。日常生活中純為點對稱而線對稱特徵的圖形較為少見，許多具有點對稱性質的圖形，也同時具有線對稱的特徵。一般人比較會注意到其線對稱部分的特性及運用，而忽略或較少去強調對稱部分。學童對於點對稱概念的瞭解也較線對稱為難，在這部份概念的發展較遲。

(二)點對稱圖形的畫圖策略：

利用點對稱圖形相互對稱的點與對稱中心等距且共線的性質，可以容易地畫出一點的對稱點之位置。其步驟為：

1.定出一個點做為對稱中心。

2.依圖形的對稱關係畫出所欲畫的圖形之關鍵點。

3.連出關鍵點所確定的邊。

下面以圖八為例來說明：首先定出P點做為對稱中心，接著畫出A和B點的位置，並以A點和B點關於P點之對稱點與P點等距且共線的位置關係特性，分別畫出A和B的對稱D和E點，最後依對稱關係連出各邊AB、DE、AP、DP、BP、EP，即得所要的對稱圖形。

圖八：利用對稱點和對稱中心之關係畫點對稱圖

三、教材的處理方式

(一)透過製作探討線對稱圖形的特性及畫圖要領。

數學實驗課程中，先透過對折與剪圖的操作活動，喚起線對稱圖形的舊經驗，並利用複寫紙描圖方式，進一步經驗線對稱圖形的各種產生方法，引出「對稱軸」，讓學童較深入的瞭解線對稱的意義，再引導學童觀察線對稱圖形之各個對稱部分與對稱軸之關係，認識「相互對稱的點」，以及找出對稱點的方法，並讓學童判斷線對稱圖形。最後引出利用對稱點和對稱軸的關係之畫圖要領，嘗試以這種關係畫線對稱圖形。

(二)透過操作活動，觀察平面旋轉現象，以及圖形旋轉180度之結果，認識點對稱圖形的特徵，並經驗點對稱圖形部分區域的作圖。

具體的表徵活動是建立抽象表徵能力的基礎。學童必須從具體運作過程逐步分析探討，才能理解抽象的點對稱關係。因此，實驗教材采漸進的方式引導學童經驗旋轉現象之後，才進入點對稱概念的認識。在中年級階段利用具體表現角的邊之棒形物（如竹簽）繞著其固定的一端轉動，再以線段記錄其旋轉的起始和終止位置，探討其轉動知名度，認識旋轉角，建立旋轉的初步概念。因此，高年級的學童，大都可以瞭解物件繞著一點轉動的意義，乃以此經驗為基礎，擴充旋轉情境至平面繞一點的旋轉。首先利用圖形旋轉前和旋轉後各點互相對應之關係探討旋轉之保長及保角的性質，再讓學童檢驗依指定點為旋轉中心，旋轉180度後會和旋轉前的圖形完全疊合的現象，引出點對稱圖形概念與術語。之後再進一步探討旋轉前和旋轉後重疊的點之對應關係，以及相互對應的點和旋轉中心等距離且共線諸性質，最後引導學童嘗試應用這種特性畫出一個點對稱圖形的部份區域，使成完整的點對稱圖形，並嘗試確定一些點對稱圖形的中心，以增進其分析推理的能力。

●三角形

一、三角形定義：

(一)角的意義：

角是多邊形頂點的局部；在此意義下，僅限於180°以內的角，我們用描出多邊形的各個角的活動來配合此意義，如下圖所示，僅指圖形內部的角

(二)三角形的要素：

1.頂點：三頂點的位置確定後，三角形隨之確定。

連結任意兩頂點得一邊。兩邊夾得一角。

2.邊：三邊對應相等的兩個三角形，可以經過旋轉，翻轉和平移後完全疊合，亦即全等。

3.角：三角對應相等的兩個三角形相似。

(三)由圖形分離出要素：

1.三角形三邊的抽離：

2.三角形三角的抽離：

c＜d＜e＜f，f的脫離程度最高

要讓兒童透過要素抽離的實際活動來認識要素。同時也要提供抽離的反向活動，即從要素建構圖形。

二、三角形的態樣：

國小四年級開始教導學生區辨各式三角形，以等腰三角形與正三角形為主，教導學生三角形邊角的關係，但對於邊角比例問題待國中後教導，小學階段只要知道「大邊對大角，小邊對小角」。

正三角形：三邊一樣大，三角都是60度

等腰三角形：兩邊一樣長，兩等邊所對應的角一樣大

直角三角形：三角形中有角為直角（90度）

三、三角形的面積：

三角形面積的求法是由公式【（底×高）÷2】，因為有別於透明格板直觀而得之算法，在學生的認知上需要有推理能力，因此放在五年級平行四邊形的面積求法之後，並且與梯形面積求法同放在一起。

四、三角形的分類及命名：

(一)三角形分類並命名

(二)畫圖及命名為等腰三角形

(三)畫圖並命名為正三角形

●四邊形

一、定義：

(一)四邊形的要素：

1.頂點的情形和三角形的完全相同。

2.四邊對應相等的兩個四邊形不一定全等。這可由以活動關結相連的四根木條的操弄得知。但是如果再加上有一個夾角對應相等，或有一條對角線對應相等，則為全等。

3.因四邊形的內角和為360，故若三角對應相等，則第四角亦相等。

(二)四邊形的態樣：

【第七冊】平面圖形是將具體物的面拓印出來的結果，它不受視覺位置、方向或翻轉的影響，故可透過分類、操作、比較、歸納推理等形成概念及命名。本單元續第五冊第六單元認識四邊形的構成要素之後，進一步分析構成要素中邊長的相等、垂直和平行，並以此觀點加以分類及命名，由此認識長方形、正方形、平行四邊形、菱形、梯形和箏形。各圖形特徵如下：

菱形：四邊等長。

正方形：四邊等長，四個角為直角。

長方形：四個角為直角。

平行四邊形：兩組對邊分別平行（且等長）。

箏形：有兩組等長的相鄰邊，但對邊不平行（不等長）。

梯形：一組對邊平行，另一組對邊不平行。

二､四邊形的認知結構：

按照van Hiele的兒童幾何認知發展理論，此時期的兒童正處於視覺（Visualization）過渡到分析期（Analysis）的階段，學童經由觀察與實驗開始辨認圖形的特徵，可從完整的圖形來辨認部份的要素。因此，【四上】【第七冊】先以特定長度的四支竹籤排圖的方式，排出各種特徵的四邊形，並依其特性和生活中常見的物件圖象連結，在加以分類命名。由於此階段學童大都尚未達到從部份要素辨認整體的層次，故不進一步分析各類圖形構成要素間的相關特徵（如：正方形、長方形、菱形、平行四邊形的對邊都平行），以及圖形間的包含關係（如：正方形是長方形的一種）。

三、具體表徵活動：

頂點，直線都是抽象的概念。用拉直的繩子表徵直線，必須忽略繩子有粗細的事實。但是對兒童而言，具體表徵的限制，及其多樣性正是抽象化的條件。這裏討論一些常用的具體表徵，可在教學中採用。

黃豆牙籤可以表徵頂點和邊。但是頂點本來同時就是邊的端點，因此用黃豆突顯頂點的利弊值得檢討。當然，在實際的建築物中，樑、柱的接合點常有特殊的零件。永遠要注意削尖的牙籤的危險性，同時要製備各種長度的牙籤是麻煩些。

釘板橡皮圈可以造出許多多邊形，但是有點限制，它也是以表徵頂點和邊為主。

用厚紙做成的圖形板較強調多邊形的內部，但也是以描繪方式進行抽離活動的道具。圖形板的另一用途是連結面積與平面圖形之間的關係，相當於長度單元的異物累積描述。塑膠吸管是相當新的材料。它的好處是：頭尾可以套入，容易剪斷，可以黏貼，可以代替牙籤。

從人類幾何學發展史的觀點，則不可以忽略拉直的繩、線等在表徵直線形上的效果。在操場上用繩當尺，白灰畫線可以畫出很大的多邊形。

四、三角形和四邊形的關係：

(一)下圖顯示以一直線截割三角形的情形：

(二)四邊形可被對角線分成兩個三角形。

(三)設一四邊形的對邊皆不平行，延長後相交可得兩個三角形。此四邊形可視為這兩個三角形的交集。

五、四邊形的包含關係

（一）特殊四邊形的性質關係

四邊形一般依其結構的特性將其分為梯形、平行四邊形、長方形、菱形、正方形、…等。各類別間有些尚有部份共同的特性。例如：

1.四個角皆相等（皆為直角）的四邊形，一般稱為長方形或矩形；當其四個邊等長時又稱為正方形。

2.兩組對邊分別平等的四邊形，一般稱為平行四邊形；當其四個角皆相等時又稱為長方形；當其四邊等長時，又稱為菱形。

3.菱形中，四個角等大時又稱為正方形。

依集合的觀點，以上的各類圖形可以形成下列的關係：「正方形集合包含於長方形集合」、「正方形集合包含於菱形集合」、「長方形集合包含於平行四邊形集合」及「菱形集合包含於平等四邊形集合」。

小學階段的學童對於集合包含關係的這種抽象概念，大都無法充分的瞭解，因此還不宜以抽象的方式來探討。

（二）教材的處理方式

數學實驗課程的設計，自低年級開始就讓學童逐步經驗四邊形的結構關係。中年級階段，透過邊和角的條件限制，進一步讓學童察覺到一些特殊四邊形的共同特徵。五年級下學期時，從以上的基礎出發，利用具體操作觀察的方式，再深入探討一些四邊形間的包含關係。

1.利用角度固定，改變一組對邊長，觀察長方形與正方形、平行四邊形與菱形的關係。

(1)長方形包含正方形：

首先讓學童自一些四邊形的圖形（或圖卡）中找出四個角都是直角的四邊形——含長方形和正方形，再以長方形紙卡套入與其等大（以紙卡恰好能放入為原則）的長方形信封中，將紙卡緩緩抽出，使露出的圖卡部分先呈長方形，然後逐漸形成正方形，接著又呈長方形（見圖五），由此過程引導學童觀察討論所看到的圖形邊長及形狀的改變狀況。在觀察討論的過程中，當抽出的部分呈正方形時，提出如「這樣的形狀是否為長方形？」之問題以供討論，使察覺二者之關係，從而獲得正方形也是長方形的一種圖形之概念。

拉出圖卡呈長方形　　　　拉出圖卡呈正方形　　　拉出圖卡呈長方形

圖五：正方形也是長方形之觀察

(2) 平行四邊形包含菱形

如同長方形包含正方形的情況，先自各種四邊形中找出有兩組對邊平行的四邊形，再仿上述長方形信封裝入圖卡的方式（見圖六），此時的圖卡改為平行四邊形（或使欲拉出的一邊與其相鄰的兩個平行邊的交角不呈直角即可），拉出圖卡討論各階段圖卡拉出的形狀，當拉出部分呈菱形時，則提出「這是平行四邊形嗎？」的問題，供學童討論，以獲得菱形也是平行四邊形的概念。

拉出圖卡呈平行四邊形　　　拉出圖卡呈菱形　　　　拉出圖卡呈平行四邊形

圖六：菱形也是平行四邊形之觀察

2.利用邊長固定，改變角度的方式，觀察菱形與正方形、平行四邊形與長方形的關係

(1) 菱形包含正方形

先自各種四邊形中找出四邊等長的四邊形，其中包含菱形和正方形，再利用邊等長且端點連在一起之框架，連續改變其角度，觀察框架所圍住之形狀的變化情形。當鄰邊調整成直角時，提出「這是菱形嗎？又可怎麼稱呼？」之類的問話，使學童討論，以得知正方形也是菱形。

(2) 平行四邊形包含長方形

同（1）之過程，先自各種四邊形中找出兩組對邊平行的四邊形，其中包含平行四邊形和長方形，再利用平行四邊形框架仿（1）之操作過程，改變其夾角之角度，引導學童討論，當角度改變至鄰邊呈直角時，則提出「這是平行四邊形嗎？又可怎麼稱呼？」之類的問話，使學童經由進一步的討論，體認長方形也是平行四邊形。

由於此時大部份的學童尚無法瞭解集合間的包含關係，因此，僅要求學童能察覺到一些特殊四邊形的特定關係，尚不引出「集合」、「包含」或「包含於」等術語，以及不做整個四邊形集合與特殊四邊形集合間的包含關係的歸納。

六、教學策略：

【第七冊】

(一)學童以竹籤排四邊形時，若學生排出的圖形全為同一種特徵的圖形時，教師宜補充，做出另一種特徵的圖形，以供學童討論，再進行命名活動。

(二)指定學生上臺演示時，為節省教學時間，教師宜指定排相同特徵形狀的學童分別集中在黑板的一邊，如：排長方形者在黑板的右邊，排平行四邊形者在黑板的中間，非平行四邊形者在黑板的左邊，可節省討論分類時，需將圖形重新歸類的時間。

七、教學時應注意事項

(一)強調和求完美絕非同等。畫三角形時，強調邊是直的，在頂點附近是封閉的，且線段不可交叉。學生如果沒畫好，老師要求學生重畫一次，並檢查缺點是否改善了，這是強調，但如果仍有瑕疵，則教師應審慎考慮是否要求重畫，加強技術指導或放棄。

(二)剪刀用完要收好。

(三)此時兒童稱呼尚未命名的梯形、平行四邊形為四邊形、但原來已有名稱的長方形、正方形則不要求兒童認識它們亦為四邊形的一種。但教學時強調四邊形，長方形，正方形的共通性。

●圓形

一、圓形的定義：

(一)圓及其構成要素：

圓是平面上的封閉曲線，這曲線上的所有點與一個定點成等距離。古代墨家對圓也給了定義「圓，一中同長也。」此指圓內半徑同長的意義。

1.圓心是圓的中心；（即指固定點）。

2.圓周是圓的周邊；（即指封閉曲線）。

3.半徑是圓心到圓周的線段（即指一端在圓周上，另一端在圓心的線段）。

4.直徑是通過圓心且兩端在圓周上的直線段。

(二)同圓內半徑與直徑的個數及關係

同圓內有無數條半徑與直徑。同圓內直徑是半徑的2倍。

(三)圓與圓心及半徑的關係

圓的位置由圓心決定。圓的大小由半徑大小決定。

二、圓形的認知結構

依據van Hiele 的幾何學習發展階段，本單元圓的教學位於分析階段，在這階段的學童注意到圖形的組成要素，所以圓的教學活動要透過製作圓的過程，逐漸發展圓的構成要素，使學生了解圓心、半徑、直徑及圓周。

研究學童到7～8歲才能產生等距離概念，也能找出無限多點滿足等距離條件。根據他們的研究，我國四年級學童（9～10歲）可以進行圓的學習。

三、圓的教材地位

四、教學策略(圓的教學活動)

(一)先辨認圓

活動的要點在於複習，所以只要學生能指出或說出那些圖形是圓或非圓的合理理由即可，不必拘限某一理由或深入追究。

(三)討論怎樣畫圓

1.用繩子畫圓：

活動進行時，如果沒有學童用繩子畫圓，教師應示範表演，用一段一端繫著一重物的繩子，手握著繩子的另一端轉動繩子，使重物以手為圓心繞圈，讓學童觀察，引起學童想用繩子畫圓的動機。學生每兩人一組，一人進行畫圓，另一人標示固定點，待圓畫好時，沿著定長繩子邊緣畫線段。將作品放在黑板上展示，先讓學生就定點與定長的線段嘗試命名，然後教師再宣告圓心、半徑的用語；至於圓周，教師用手比劃圓的周邊一圈，再宣告為圓周。接著要求學童從圓心到圓周畫數條半徑，討論這些半徑一樣長的理由。

2.使用圓形紙卡找圓心、半徑和直徑：

先用有點出圓心的紙卡依下列步驟進行摺疊。

(1)先對摺，使二半圓形紙卡密合，打開紙卡，用筆沿著摺痕畫線。

(2)取不同方向，仿(1)再對摺，並畫線。

(3)又取不同方向，仿(1)再對摺，並畫線。

經由上面活動後，學童會發現圓形紙卡上有三條摺線相交於圓心；再進行像這樣的直線的命名，一般人稱它是這個圓的「直徑」，接著讓學童找出一條直徑上有兩條半徑。

3.使用沒有點出圓心的圓形紙卡找出圓心

仿上面2.的(2)到(2)的摺疊及打開沿著摺痕畫線的方法，找出圓心，並檢驗交點到圓周的線段是否等長，確定交點是圓心。

4.用圓規畫圓

(1)圓規的結構與使用

圓規是繪圖的儀器，可以用來畫圓，取線段長度。圓規又稱圓腳規，它有兩隻腳，可隨意分開或合併；一般構造上，一腳為針尖，另一腳可裝入繪圖的筆或筆心。畫圖時，可依下列步驟進行：

A.先分開圓規的兩腳，使兩腳的距離等於圓的半徑。

B.然後，將針尖腳固定於一點（圓心的位置）。

C.繞著針尖腳，旋轉套有筆的腳一周。

(2)注意事項：

A.針尖腳不可移動。

B.旋轉圓規時，兩腳的距離要保持一定，不可變化。

(3)用圓規畫圓的活動

學童除了會畫圓外，且要加深了解圓的組成要素。活動開始，先討論怎麼使用圓規畫圓，重點要能說出並演示使用圓規的過程；然後，在自己所畫的圓上點出圓心及畫出半徑和直徑，並用尺量直徑及半徑，能知道直徑是半徑的2倍；最後能畫出一個指定半徑長的圓。

五、面積

(一)圓形面積

圓形面積的嚴密求法一定要透過極限過限。使用內接及外切正六邊形，每次增加2倍邊數，就可以達到任意逼近圓面積的任務。

由於這種方法需要一些國中才學的幾何知識，以及開平方的技巧，這是微積分學未興起前的古代解法，所以不適合放在國小。

另一方面，我們可以將互相垂直的兩條半徑各取十等方，然後以這些分點為準，打出邊長是半徑的0.1倍的格子，將這種格子圖樣擴充到整個圓上。然後細數完全在圓內的格子總數，以及和圓域有交集的格子總數。如此得到圓面積的一個下界和上界。如果再把有交集的格子細分成更小的正方形格子後再數，則可以使下界往上提，上界往下降，從而得到圓面積的一個更好的估計。將這個過程用極限的概念來進行，就非常接近微積分學中求積分的概念了。

圓面積的公式為「圓周率×半徑的平方」或「A=」，在小學階段要想嚴格證明它，是不可能的。一般的解釋是把圓等分割成8個、16個、32個扇形，然後將這些扇形一半在上，一半在下，排列成一個類似平行四邊形的圖樣。然後指出，當分割數兩倍兩倍增加時，這個圖形愈來愈接近長方形，其高為半徑，其底為半圓周長。

(二)扇形面積

扇形是由兩段直線段和一段圓弧所構成。此二直線段必須是圓弧的半徑。由於360度制係將一周角分成360等分，叫做1度。所以每個圓心角為1度的扇形是全等的，故其面積為圓面積的。所以扇形面積=圓面積×。如果此二直線段不是圓弧的半徑，則其面積的求法就必須分解成適當的扇形及三角形來求了。

六、教學應注意事項

（一）圓的辨認活動，只要學童有合理的理由即可。

（二）用圓形紙卡摺直徑，往往會有偏差，務必注意二半圓要疊合好，才會產生所有摺線交於一點。

（三）無論用繩子或圓規畫圓，讓學童多嘗試幾次，理解畫圓時要有定點及定長。

（四）引入兩點間的距離，目的要使學童知道兩點間的直線段長就是兩點間的距離；兩點間距離不可用尺量，目的在評量學童是否知道同圓內的半徑都一樣長。

●多邊形

一、多邊形的定義：【第五冊、三年級上學期】

由三個邊或三個以上的邊圍成的簡單封閉平面圖之通稱，如三角形、四邊形、五邊形、…皆是多邊形。各個內角皆小於180度的多邊形（或說成：連接多邊形內部或邊上的任意兩點之直線段皆包含於此多邊形中），稱為凸多邊形（見圖一）；各個內角中，至少有一個角度大於180度的多邊形，稱為凹多邊形（見圖二）。

由折線段圍成的簡單封閉圖形。按此定義可包括凸的和有凹的多邊形。但是在中、小學所談的多邊形一般僅限於凸多邊形，且省去凸字。

二、小學前的先備經驗：

小學課本僅談(d)。

1.公私立幼稚園結業的兒童已經有正方形、三角形、長方形、圓形等初步概念。

2.一般的兒童有顏色、大小等日常用語來描述日常生活中常見的東西的形狀，也能說出週遭具體實物名稱，如：盒子、罐頭、餅乾盒、箱子、牙膏盒、輪子等。

3.用筆和直尺畫線由頂點相連得出多邊形的活動。

三、認知結構

【五上第十冊】

我國五年級學童（10～11歲）幾何的學習進入到第二個階段「分析階段」開始分析幾何的觀念，即透過觀察及實際驗證的方法，分析圖形的組成要素及圖形的性質。

(一)在本單元可以分析

1.邊角關係

2.正多邊形的圓心角與邊的關係

3.正多邊形可以畫一外接圓

(二)教學策略

1.以圓規畫圓，標示出圓心。

2.以圓心為中心連接正多邊形的頂點

3.探討圓心角與邊的關係。

四、教學活動：

(一)透過多邊形的製作認識多邊形。

教材設計時，從製作的觀點出發，先給一些有相同長度及不同長度的吸管，讓兒童自行選取適當個數，圍出三角形、四邊形、五邊形和六邊形，再由兒童依其在三角形、四邊形的命名經驗，引出五邊形、六邊形、…等的命名，並綜合這些圖形共同特徵——有許多的邊，引出多邊形的通稱。

(二)透過圖形全等邊之拼合及不相鄰的對角分割（連續），認識多邊形的對角線。

就多邊形的對角線利用適當的圖形拼合與分割經驗，引出其意義，並就其意義在所給的多邊形上嘗試描繪出幾條對角線。因此時的學童才初步認識對角線，尚無法理解推算一個多邊形對角線個數的方法，所以除了四邊形和五邊形外，其他多邊形的對角線，僅就學童所能察覺的情況畫出幾條即可，並不要求窮盡畫出一個多邊形的所有對角線。

五、多邊形的全等、內角和及正多邊形概念

（一）基礎概念

1.全等對應

當兩個圖形間存在一種頂、邊和角的對應關係，將這兩個圖形互相對應的部份相疊，如果可處處疊合，這種對應稱為全等對應。當兩上圖形間可形成全等對應時，這兩個圖形就是全等圖形，其對應邊相等，對應角也相等。反之若兩個圖形全等，則其構成元素間必可形成一種全等對應關係。因此，若已知兩個圖形間具有全等對應關係，便可以不必經由操作方式將圖形疊合來判斷兩圖是否全等。

2.多邊形的內角和概念

多邊形的內角和以三角形內角和為基礎，因此，討論多邊形內角和之前應先探討三角形內角和。三角形的內角和有許多觀察方式，例如：

(1) 剪拼法：保持三個角的角度不變，將三角形的三個角剪（撕）下，使頂點相疊，以邊靠邊的拼合（如圖三），由此結果可看出合成的角之外面兩邊成一直線，因而得知三角形之內角和是180度。

(2) 測量法：利用量角器分別測量三角形的三個內角之角度，再算出三個角度的和。

(3) 長方形對角線分割法：已知直角之角度為90度，長方形的四個角皆為直角，可算出其四個內角和為360度。將長方形以對角線分割成兩個全等的直角三角形，或以兩個全等的直角三角形拼成一個長方形之方式，可推知直角三角形的內角和是180度。再分割任意三角形成兩個直角三角形，便可推知任意三角形的內角和為180度（見圖四）。

圖四：長方形對角線分割法推斷三角形內角和

(4) 利用平行線的內錯角或同位角關係推得。

小學階段的學童大都還不能理解第（4）種推理證明方法。

3.正多邊形概念

三角形和其他的多邊形性質有一點不同，即它有「大邊對大角，等邊對等角」之特性，四個邊以上的多邊形則沒有這個性質。四邊以上的多邊形需具備下列定義之條件，才稱為正多邊形。

正多邊形：各個邊皆等長，且各個內角皆等大的多邊形。

正多邊形為具有與其邊數相等的對稱軸之線對稱圖形，其所有的對稱軸皆相交於一點，此點稱為多邊形的中心，中心到多邊形頂點的直線段可將此多邊形分割成數個相等的等腰三角形。若以其中心為圓心，以中心到此多邊形的頂點之距離為半徑，可以畫出此正多邊形的外接圓。

利用這個特性可較方便的畫出正多邊形。

4.對角線：連接多邊形上不相鄰的頂點的直線段。

三角形是多邊形中最基本的圖形，三個頂點中，任意兩個頂點皆相鄰，故無對角線。四個邊以上的多邊形，其上任一頂點至少會和其上的一個頂點不相鄰，故皆有對角線。多邊形的邊數越多，則其不相鄰的頂點數也越多，因此對角線的個數也隨著增多，四邊形有兩條，五邊形有五條，六邊形則多達九條。

（二）教材處理方式

1.以兩個全等圖形的疊合建立構成要素的全等對應概念。

實驗課程在五年級階段的活動設計中，先引導學童複習疊合法，觀察全等現象後，引出頂點、邊和角的對應關係，再引導學童利用全等對應關係判斷兩個圖形是否全等。

2.由拼湊三角形的三個內角、長方形的對角線切割及任意三角形分割成兩個直角三角形策略，引出三角形內角和特性。

數學實驗課程在中年級階段，已建立學童由兩個直角三角形拼成一個長方形、直的角度是90度、角的兩邊或一直線狀態時其度量為180度及將多邊形分割成多個三角形的正逆思考與操作經驗。於是高年級階段以這些經驗為基礎，引導學童探討直角與任意多邊形的內角和。首先采開放的方式，由兒童利用其舊經驗，以量角度、將角剪下拼排、…等方式思考操作觀察，計算出三角形三個角度和大約為180度，再利用兩個全等的直角三角形拼成長方形，或將長方形沿對角線分割成兩個全等的直角三角形的方法，確認直角三角形的內角為180度。進一步利用將任意三角形分割成直角三角形的方法，推出任意三角形內角和為180度。

3.透過對角線分割多邊形成為多個不相交的三角形（或多邊形），引出多邊形內角和求法。

在學童明白三角形內角和特性後，接著以三角形內角和是180度的基礎知識，利用對角線分割多邊形成為數個不相交的三角形之方式，導出多邊形內角和的求法。

4.透過邊和角的條件形成正多邊形概念。

數學實驗課程先於五年級上學期引出多邊形概念，等兒童對其相關概念較清楚熟悉之後，於五年級下學期再引出正多邊形概念。首先讓學童針對三角形和正方形從邊與角兩種構成要素分析，引出三邊等且三個角等大的三角形稱為正三角形，四個邊等長且四個角等大的四邊形稱為正方形（正四邊形）。再從這些經驗出發，探討是否也有正五邊形和正六邊形。起初讓學童嘗試製作等邊五邊形及六邊形，觀察其各種形狀，再引導其調整各處角之角度，使其盡可能成等角之形狀，分別引出「正五邊形」及「正六邊形」之名稱。然後綜合正三角形、正方形、正五邊形、…等之等邊且等角的多邊形，稱為「正多邊形」，使兒童清楚地獲得正多邊形的概念。其次，以這些經驗為基礎，利用連續畫等邊及等角的策略，經驗正多邊形的畫圖。

●面積

◎平面區域

◎面積有多大？

◎面積的單位

◎計算面積

◎丈量面積(平方公里)

◎面積課程的一些議題

◎平面區域

一、數學結構

(一)區別平面區域和非平面區域

兒童容易把光滑和平平混淆。靜止的水平面很好，可做為概念的原型。果凍的平面成型來自水平面，但又可以擺成其他方向。塑膠板或牆面、桌面、玻璃表面皆可。不必刻意強調光滑玻璃之表面比地面更接近平面，因為其差異係來自光不光滑，反而容易誤導學童混淆光滑與平面。

(二)區分周界與區域以及周界長和區域的大小

長度概念啟蒙時，直線段先於距離。兩點之間的距離是連結這兩點的直線段的長度，這兩點是直線段的端點。面積概念啟蒙的麻煩是，無法像直線段一樣，在紙上標示出平面區域。補救之道是在周界圍成的內部特別用顏色塗勻加以區分。在黑板上，教師可以用手掌在標示出的平面區域上做出塗抹的動作，以強調此區域。如果只是用食指指著某個長方形周界繞一圈，而口說這個長方形面積，就難怪學童始終混淆周界和面積了。

在學會求出長方形面積後，應令學生同時實測長方形區域的面積及周長，並經驗兩個長方形可以周長相等，面積不相等，或者反過來的情形。

(三)曲面的面積

可展曲面如圓柱面和圓錐面，可令學童剪開，比較其大小。至於其他不可展曲面，如人體之表面，可以透過皮膚的概念，或以剪成塊狀或報紙片覆於身體之上，估測人體的體表面積。

(四)平面區域的分與合

平面區域的原型為課本上的色塊或圖形板之表面，或一塊布、一張報紙。有必要與兒童溝通將報紙剪為兩塊，或將分開之兩塊再拼合，拼合時宜以膠帶自背面黏合之，不宜重疊報紙，以免引起兒童誤解。

二、兩平面區域大小之比較

(一)直接比較

將一平面區域，如切取報紙一塊，覆於另一塊之上，這是學童可以做的，但不易察覺到，如果不是平面，不可能使這兩塊之間沒有空隙。此活動有時可以有確切的結果，如一塊完全在另一塊之下，學童可以檢視後報告此一結果。

(二)間接比較

兩平面區域若無法直接比較，則可以用紙或布複製其一，再與另一比較，再以此直接比較結果做為原來兩平面區域的比較結論。由於人們對於平面區域與觀察者的相對位置較無估測其大小變化的意見，故此種間接比較沒有什麼教學上的困難。比較困難的是切割重組。

以往台灣物質較匱乏，蛋糕、涼糕常故意切成平行四邊形，而非長方形，以使人們感覺得大些。可見這種感覺終生不變。但是所謂保留概念的意思就是，理智可以克服感覺，只要是同樣那幾塊區域合起來的，不論形狀如何，面積都一樣。

相當比例的三年級學生在判斷由兩個等腰直角三角形所組成的平行四邊形和正方形，誰的區域比較大時，確有些爭議。與其提早讓學童掀起上述平行四邊形和正方形，誰的區域比較大的班級爭議，不如在介紹1平方公分後，常令學童以圖卡或在公分格上「做」出一定數量的平方公分的區域，如15平方公分的區域，並令學童互相欣賞，強調它們都是15個1平方公分合起來的大小，加強此類等積異形的印象。

有人認為等積異形的概念是求平行四邊形面積的先備條件，因此急於再課程中安排上述平行四邊形和正方形的區域大小的比較活動。其實，學童只要認識「平面區域的面積可以由數塊子區域的面積加起來」，就可以進行求解平行四邊形面積的活動了。因此上述有關個別單位活動的經驗較有建設性。

(三)個別單位比較

上 述的直接比較或間接比較，對於任意的兩個平面區域常常是無效的，因為它不像直線段可以對齊一端，檢視另一端。以右圖的長方形為例，不易判斷AEFG和ABCE兩個長方形的大小。有兩個方法可以解決這種問題。

一個方法是把BEFH切下來和GHCD比較，如果還不行就再切補。我們稱此法為切割拼湊，在古代中國算書上則稱為出入相補。有關出入相補法會放在等積異形中再討論。另一個辦法就是利用個別單位區域的合成來複製被提出比較的兩個平面區域A、B。

可以用做個別單位的平面圖形應具備下列兩類條件：

1.可在平面上做出向四面八方延伸的無空隙舖設。

例如：正方形、長方形、凸四邊形、三角形、正六邊形。

2.在計數時，可以運用乘法簡化運算。

　符合條件1又符合條件2的原型只有正方形和長方形。如果又要配合平面直角座標系，以便在微積分學中推廣，則只有正方形一種。只要選擇的正方形夠小，就可以在平面區域A、B的內部，分別覆蓋這些同大的正方形，覆蓋時不重疊亦不留空隙。把這些同大的正方形合起來，就等於複製出平面區域A和B了。我們可以用個別單位正方形的數量的大小來判斷平面區域A和B的大小。

◎面積有多大？

一、數學結構

（一）面積表示個別物覆蓋面的大小。

「面積」指的是對某一特定區域的覆蓋或填補的程度，如黑板用六張報紙，四本課本蓋滿，則表示黑板的面積有六張報紙和四本課本合起來這麼大，此時的覆蓋活動，包含了二個條件，即

1.面積是有周界的，有範圍的。故覆蓋物不能超過給定的邊界。

2.面積是從一維到二維掃描的結果。故覆蓋物是不能重疊的。

根據以上二條件，了解面積指的是在固定邊界內覆蓋面的大小，且其覆蓋物必須緊密接合。

（二）周長表示一維的長度量，面積表示二維的平面區域大小。

周長指的是一維長度量，面積則是由周長圍起來的平面區域的大小，兩者涵意雖不同，但卻有密不可分的關係，故常造成兒童相當的混淆，故需透過不斷的操作，才能經驗到兩者之間的關係，而明瞭周長即是圍成一平面區域的周界的長度，同時經驗到相同周長，卻可以圍成各種不同形狀，透過拼湊活動亦經驗到形狀雖不同但面積卻相等，亦即等積異形的初步概念。

（三）面積的保留性─等積異形的比較活動

保 留概念是無法透過教學活動即予建立，其是經由多次經驗的累積才逐步形成。等積異形的概念與測量概念中占有非常重要的地位，透過此概念的形成才能了解數學的重要屬性─不變性。Hutton(1978)的研究顯示兒童在經驗保留性時的困難，如向四十八名十一歲的兒童展示兩個全等的長方形將其中的一三角形移至左側，形成與，此時即九名學生表示二者面積不同，由此可見，若不具面積保留性概念，即指導面積的求法，那是沒有意義的。

本 單元中與均由兩塊三角形組合而成，此時雖為拼湊造形活動，但亦經驗到的面積是由兩個的面積合起來的，的面積亦是由兩個面積合起來的，故和的面積均是由兩個組合而成。

兒 童若缺乏此類活動以經驗等積異形的不變屬性，則可能只學習到記憶的公式，如正方形面積的邊長×邊長，或三角形面積等於底×高÷2，則兒童只有採背誦方式記憶抽象的公式，而無法了解面積的概念，而形成如Hutton所述與

所 以兒童認為兩者面積不等，因梯形面積不會算出，故回到視覺階段，而認為兩者面積不同。

（四）面積的測量─說出面積的範圍，量出面積的大小。

提到面積的測量，一般人即立刻想到不同形狀的面積公式，其實，面積公式導出是經過一連串操作、比較的過程，此時的面積公式才有意義，如被問及黑板的面積有多大時，只會用尺量出黑板的長與寬後再相乘者，未必即是真正了解面積概念，故求面積時應先認知到面積是有範圍的。

故兒童可以透過視覺掃描全部黑板，亦可透過雙手塗抹黑板的面，或由口述黑板的面積是從這個邊到那個邊所圍起來的範圍，以凸顯面積的周界，此為面積的描述，若為較明確描述面積的大小。由於此階段的兒童尚沒有測量運思的能力，故可能仍透過視覺或覆蓋活動，知道黑板的面積比佈告欄的面積大即可。

二、認知活動

（一）封閉的概念與結構

由於面積指的是一個封閉範圍內平面的大小，故封閉的概念應是面積概念的前置經驗。根據皮亞傑的研究顯示，兒童在三歲六個月到四歲階段即能掌握封閉的概念，此時若不計較準確性，兒童能處理封閉或開放，內或外的圖形，如兒童被要求畫出的方形，圓形與三角形，雖然不是直線邊，亦不是正確角度，但卻均具有封閉的特性。

（ 二）面積的保留概念

面積的保留概念指的是面積的大小，不因位置、方向的改變而改變，如　　與

　　面積相等；亦不因切割或拼湊活動而改變，如　　若切割一刀後形成　　　　兩塊，但合起來後仍為原來的正方形。

皮亞傑曾針對面積保留概念舉例說明，即實驗者在兒童面前放兩塊同樣大小的綠紙板當作農場，其中每一塊放下一頭玩具牛，並作解釋，然後問兒童：「哪頭牛吃的草比較多﹖」典型的答案為兩頭牛吃的草一樣多，此種是透過視覺即可建立面積相等的概念。實驗者緊接著在每塊農場上安放一座穀倉，再問同一問題，答案亦同，但當連續放置穀倉，但放置位置不同此時，則發現兒童有不同反應，運思前期的兒童會認為甲地牛可以吃的草較多，但具體運思期的兒童（七～九歲）則會認為穀倉放置位置與面積無關，所以兩地可以吃的草地一樣大，此均與兒童的保留概念有關。

（三）拼湊的痕跡（即拼湊方法的記錄）不等於切割活動。

在 已知的三個圖形，如　　，　，　　，均用二個　　拼湊而成，但當二個　　均移開後，又形成三種完全不同形狀的圖形，若兒童不具有保留概念，則不易感覺其間的關連性，故若將拼湊過程留下痕跡，即　　，　　，　　，使被拼湊圖形與拼湊圖形間產生連結。以促進面積保留概念的建立，但此兒童尚不會主動切割，故仍無法了解等積異形概念，亦無法透過公式，計算求得面積。

（四）直觀比較、直接比較與間接比較

比較活動涉及兩物的包含關係，直觀比較是透過視覺觀察而得，故誤差較大，但當兩物差異顯著時直觀比較即可，直接比較則是透過疊合活動，直接比較出熟大熟小，故較小的面必包含於較大的面，至於間接比較，則是當二面無法直接比較，故需透過第三物媒介或經切割或拼湊等活動才能進行比較，而間接比較涉及兒童的保留概念或遞移概念，故兒童需較高成熟度才可實施。

三、教學注意事項

（一）兒童對面積的了解是建立在覆蓋的活動上。

面積的大小可透過不同方法測量而得，但若未經過覆蓋、拼湊、添補、複製與比較等活動，不能真正了解面積的概念。

（二）釐清周長與面積的概念

面積與周長一直是兒童混淆的概念，故本單元未同時出現，只先將面積的概念加以澄清，了解面積指的是某一特定範圍內的平面區域的大小，而此特定範圍的邊界，不從測量的角度出發，故暫不出現「周長」的語言，而採用周圍，邊界或圍起來的線等生活語言稱之，俟面積概念鞏固，才用長度測量概念，量出圍起來的線的長度，再命名為周長，而此單元為免混淆，暫不界定。

（三）經驗等積異形的活動

等積異形概念與面積保留概念有密不可分的關係，而圖形的複雜程度亦影響二種概念的建立。本單元從可操作的圖形著手，透過視覺或操作活動，經驗到形狀雖不同，但面積可能相等的事實，至於較複雜的測量運思活動，如用公式計算面積，則不在本單元的範疇。

◎面積的單位

一、數學結構

(一)面積概念的內涵

面積與體積分別代表二維與三維空間的量；前者代表封閉區域內平面的大小；後者則為三維物體，以面為界，含有長、有闊、有厚、有高等，在空間占有量的大小。

一般面積的概念含面積保留概念、面積測量概念及面積的估測概念；面積保留概念指的是理解面積的大小不因其方向、位置不同而有異，亦不因其合成或分解活動而有改變；面積的測量概念則從個別物件（如：用四本課本、四本簿子描述桌面的大小）到個別單位（如：用十張報紙描述黑板的大小），進而到普遍單位的使用（如：用平方公分板的計數格子，到用方瓦拼排），以察覺面積公式的由來。

(二)「數個」獨立物件的合成與「一個」個別單位的複製

面積的合成分為「數個」個別單位量的拼湊與「一個」單位量的複製；前者為個別獨立的物件，只要在覆蓋或拼湊的過程中為「邊靠邊的緊密且不重疊的排列，並不超過邊界範圍」的條件即可；然而，一個單位量的複製則涉及一個單位量的記錄方式與其正確性，其需要較高的理解與技巧，面積的分割則為更高層次的理解能力，且是建立在豐富的單位量複製的經驗基礎上，因其不僅需複製各單位量，且需判斷以什麼為基本的單位量，故面積的分割活動安排在合成活動之後，而等積異形的概念始逐步形成。

(三)量感的建立為單位量轉換的前置活動

面積的估測為建立面積量感的活動，使得單位間的換算不再是「規則的記憶和機械的反應」，而是「單位量間有測量意義的轉換與描述」。

二、認知活動

(一)面積的計數單位──從個別單位到普遍單位

「面積」指的是特定區域平面的大小，並可透過覆蓋的活動描述被覆蓋面；第五冊第八單元「面積有多大」於課本上佈置情境，使學生經驗到覆蓋活動的條件──即覆蓋物不能超過邊界亦不能重疊；第六冊第十單元「面積與體積」則從課本上的操作擴大到範圍更廣的生活情境中，提供桌面有多大的情境，由學生思考取用較適宜的覆蓋物。從個別單位到普遍單位的使用，產生更方便溝通的單位量，如：圖畫紙的面積有「八張貼紙合起來這麼大」，色紙有「十張貼紙合起來這麼大」，兩者均採用了貼紙為個別單位，但其單位量不同（如：上例中覆蓋圖畫紙的貼紙和覆蓋色紙的貼紙的面積大小不同）容易產生誤解，以為色紙用了較多的貼紙故較大，殊不知兩種貼紙的面積大小有異，故普遍單位的使用即為約定統一的單位量。本冊仍延續普遍單位的使用，並擴大至不同階的普遍單位量，如：平方公分與平方公尺的認識。

(二)面積的合成活動──從數個單位量的拼湊到一個單位量的重複複製

合成活動從具體操作「數個個別獨立物件的累積」到「只有一個單位物件的重複複製的累積」；前者是具象的，可操作的；後者為心象的，不容易操作的，必須在操作過程中留下操作的痕跡，才能化心象活動為具象的活動，並透過此類活動豐富分解活動的前置經驗，並了解記錄的方式及熟悉操作的技巧。第五、六冊面積的合成均為多少個單位的累積，本冊則進行透過一個單位量的重複複製以描述一個封閉區域內面積的大小。

(三)面積的合成活動與面積的分解活動

合成活動與分解活動為互逆關係；合成活動為正思考模式，為透過二個單位的累積而形成一個新的單位量，如：┌──┬──┐─→┌─────┐，即後者是由前者組合而成，知道兩者面積相等；分解活動為逆思考模式，是透過一個單位量的分割而形成二個新的單位量，如：┌─────┐─→┌──┬──┐，即後者是由前者切割而成，知道兩者面積相等。然而，分解活動需較高理解層，故在豐富的合成活動後始能進行之，本冊仍只是提供合成活動。

(四)1平方公分確認──從刻度單位到成為測量的基本單位

「1平方公分」名詞的初次引入是透過平方公分板的介紹，一格即表示1平方公分，透過點數格子，如：5格即表示5平方公分；第六冊介紹一方瓦這麼大表示1平方公分，即從「連續的格子板」到「離散的一個一個方瓦」的覆蓋活動，但仍不是「1公分×1公分＝1平方公分」的結果；本單元活動2 透過觀察、測量、分析發現1 平方公分即是長與寬均為1 公分的正方形的面積的大小，再回頭驗證原來的刻度單位的權威性，使刻度單位與測量單位產生連結。

(五)個別單位量的掌握──「5平方公分」與「5個1平方公分」的區別

前已述及，面積的普遍單位的合成活動有兩種，一種為數個相同單位量的拼湊，一種唯一個個別單位的重複複製。然而，兒童不一定能理解「一個單位量的重複五次合起來的面積」與「用五個相同單位量拼湊而成的面積」是相等的，故本單元活動2提供兩者間的連結經驗，讓學生能了解「5個1平方公分合起來的面積為5平方公分」是透過單位量的累積，如：為5平方公分，亦能了解為5平方公分是用5個1平方公分拼湊而成。至於能將5平方公分分割為5個1平方公分則必須透過切割活動，如：，或利用測量公式，如：長為5公分，寬為1公分，所以面積是長乘以寬，故為5公分×1公分＝5平方公分，此兩種解題方式均需較高成熟度始能為之。本單元的教學設計即為提供其前置活動經驗，故當學生用5個獨立個物描出其輪廓，而說出是5平方公分時，可追問哪裡有1平方公分，以回溯其拼湊的過程，並留下拼湊的痕跡，以奠定未來分割活動的基礎。

(六)面積量感的培養──做出給定面積×平方公分的範圍

以「平方公分」為個別單位，做出面積是×平方公分的區域，透過格子的點數、拼湊、切割與合成等活動，獲得面積相等但形狀可能不等的經驗，並察覺面積的大小比較並非只透過視覺，而應該是測量的結果。

◎計算面積

一、數學結構

本單元為面積概念的應用與面積公式的檢驗，相關意義請參閱第六冊至第十一冊面積單元教學研究篇。

二、認知結構

透過一平方公尺為單位量的覆蓋活動，察覺面積公式的意義。第八冊第五單元「面積和體積」及第九冊第四單元「對角線和展開圖」已讓學生經驗到長ａ公尺，寬ｂ公尺的長方形面積為長邊排了ａ個單位量，寬邊排了ｂ個單位量，故長方形面積為ａ×ｂ個單位量，故長方形面積亦可透過長乘以寬的方式求得。

(一)透過一平方公尺為單位量的分割與合成活動，理解面積公式的意義。

本單元為以分數或小數為邊長的長方形面積問題，此時無法透過整數個單位量覆蓋求得，而必須透過單位量的再分割活動，即分數的分數倍概念，以檢驗長方形面積是否亦可由長乘以寬以求得；由於兒童必須先經由具體操作活動才容易進行心像活動，故本單元活動設計順序為從整數的帶分數倍到帶分數的帶分數倍，再到真分數的單位分數倍，最後為真分數的真分數倍。

(二)單位正方形的累積與等分割

將 單位正方形以紙卡表徵，若緊密以邊相合成一直排，假設用了m個。則此m個正方形區域合起來，形成一個新的平面區域，此平面區域面積的大小應該是單位正方形區域面積的m倍。若單位正方形的邊長為1公分，則稱為m平方公分。若將此直排橫向舖設，總共舖設了n個拷貝，則形成一個大長方形區域，此區域的面積為m平方公分的n倍，故為m×n平方公分，此大長方形的一邊長m公分，另一邊長n公分。

將單位正方形以紙卡表徵，若緊密以邊相合成一直排，假設用了m個。則此m個正方形區域合起來，形成一個新的平面區域，此平面區域面積的大小應該是單位正方形區域面積的m倍。若單位正方形的邊長為1公分，則稱為m平方公分。若將此直排橫向舖設，總共舖設了n個拷貝，則形成一個大長方形區域，此區域的面積為m平方公分的n倍，故為m×n平方公分，此大長方形的一邊長m公分，另一邊長n公分。

將單位正方形的一邊分割成p等分，過這些分割點做另一邊的平行線，則可將單位正方形區域分割成p個全等的小長方形區域。按照全等平面區域面積相同的共識，每個小長方形區域的面積是單位正方形面積的p分之一倍。若單位正方形的邊長為1公尺，則其面積可記為 平方公尺。若將此小長方形區域的另一未分割的邊，分為q等分，然後過這些分割點做另一邊的平行線，則可將每個小長方形區域更細分成q個更小等分，其面積 為平方公尺的 倍，故依分數的分數倍概念，更小長方形區域的面積為 平方公尺。以這些更小長方形區域最為累積單位，可以累積成邊長分別為 公尺和 公尺的長方形區域，此長方形區域的面積 平方公尺。下圖顯示 為 ， 為 的情形。

(三)邊長為單位長的分數倍的長方形（區域）的面積求法

反過來說，設有一長方形區域，其邊長分別為 公尺和 公尺，此處的 和可為假分數或真分數。則可以用邊長為公尺和 公尺的長方形區域加以分割或覆蓋，得出其面積為 平方公尺。

另一想直接運用倍的概念。設一長方形區域，其一邊長a單位，另一邊長b單位，此處a、b可為整數或分數。此長方形區域之面積為「一邊長1單位，另一邊長b單位」的a倍。另一方面「一邊長為1單位，另一邊長為b單位」的長方形區域之面積為單位正方形區域面積之b倍，所以合併上述兩個關係，邊長各為a、b單位的長方區域之面積為a×b平方單位。

三、教學策略

(一)面積個別單位

每個人的步幅不同，但使用腳步來估測距離卻很實用，類似這種例子很多，使得長度的個別單位概念非常重要，而各種長度個別單位與標準單位的換算也變得很重要。

但是在面積的情形有很大的差異。雖然使用正三角形、長方形、正六邊形等，亦可做平面的無空隙舖設，但是這些個別單位的點數很不方便。考察本課程列在N-2-9下，個別單位比較欄的4個教學活動，讓我們覺得這些活動只有概念形成的過程價值。雖然以磁磚舖設牆面、地面，以長方形格子劃分天花板或地面非常普遍，但與其點數長方形後，並量出這些全等的長方形的長與寬，再算出天花板的總面積，還不如直接量出天花板的長與寬後，直接算出天花板的面積。總之，在常用的公制單位，如平方公分、平方公尺以及民用的坪（6尺見方）或英美的平方英呎、平方英吋之外的個別單位的價值不大。

(二)以個別單位做面積

以個別單位做面積，共有兩種方式。一種是在打好格子的紙上，塗出指定數量的格子，另一種是使用全等的圖形卡片鋪排在一起，但不可重疊。不論用哪一種方式，做出的平面區域應該是連在一起較合理。由於打好的格子已經大大限制了個別單位鋪排的方式，因此，教學應以後者為主，前者為輔。由於1平方公分大的圖形卡片太小操作不易，因此有時會以正方體的白色積木代替1平方公分的平面圖卡，以利操作。但是這樣做也可能引起學童的誤解，因此剛開始時仍以使用圖形卡片為宜。在後面討論長方形面積的求法時，經過適當的溝通後，就可以使用較方便的白色積木了。

(三)面積的普遍單位的原型

分析個別單位和普遍單位在連續量的教學上的意義，我們可以注意到個別單位是用物件名稱，如數學課本，或手指正三角形圖卡，口說「這種正三角形圖卡」。普遍單位則是使用較抽象的「平方公分」及「平方公尺」，而非可操作的物件的名稱。一個有效的解決方式是利用白色積木的面做為1平方公分的原型，配合「以手操作×個白色積木的覆蓋」，「口說×個1平方公分合起來的面積」，達到「聽到1平方公分」就想到「1個白色積木的面」的效果。

同樣的，可用報紙或不織布製作1平方公尺的原型，而且最好有許多塊效果較好。至於1平方公里的原型，則以學童較熟悉的社區、原野，界定出1平方公里的周界後，把周界內的重要地標都標示出來。但這時主要是讓學童具備1平方公里的量感。

總之，面積的普遍單位的原型在1平方公分的處理時，要做得很透徹，到了1平方公尺時，可以重點處理，到了1平方公里時，就可以借用1平方公分和1平方公尺的經驗，而這種經驗是不能用長度概念的發展經驗代替的。

(四)1平方公尺和1平方公分的關係

實驗教材利用學童習作附件的百格板，先建立1平方公尺和100張百格板合起來的面積一樣大，再由1張百格板是100平方公分，從而得到100個1平方公分的100倍，而得到10000平方公分。這樣引導的方式，對四年級上學期的學童的認知水平相當合適。

(五)坪的介紹

九年一貫課程強調連結與統整，82年課程強調認知發展的數學課程的架構。因此在82年課程中並不在意坪的單位的介紹。再加上坪的單位與平方公尺的關係會涉及公尺的小數倍及小數的乘法，所以如果要提的話，也需放在六年級下學期，因此在教學時間的限制下，如果台斤、台尺都沒介紹的話，連帶坪也不介紹了。不過，相當多社會人士樂見坪的單位的介紹。因此，當九年一貫課程來臨，此議題將獲重視。

(六)面積的大範圍實測

對土地進行實測的活動有兩種實施方式，一種是事先劃定界限，並對學生宣告劃出的圖形為長方形、梯形、三角形或圓形，然後要求學生量出邊長、高長等，接著在紙上出畫出示意圖，標出邊長、高長協助思考，利用公式，算出答案。這些地面上的圖形可以事先畫在操場上，或乙校園數學步道方式，預先規畫布置。例如：籃球場、躲避球場等。

另一種更接近實際情形的實施方式為類似測量校園的面積的活動。此時，須先以土地測量方式，將校園畫成依一定縮小比例，如二千分之一的平面圖。然後將此平面圖分割成長方形、三角形、梯形等，再在圖上量出底長、高長等，利用公式求出。

四、教學注意事項

（一）經由覆蓋活動，第九冊已學習過邊長為整數的長方形面積求法，活動三為推理察覺到邊長為分數或小數的長方形面積問題與面積公式的關係，即利用學生已有的「分數的分數倍」概念，解決分數的運算問題，進而了解到無論邊長是否為整數的長方形面積均可由長乘以寬求得。

（二）面積問題的本質即是描述覆蓋的結果，不足一個單位的長度不易進行具體的操作活動，故先從整數的帶分數倍著手，即學生可先透過具體操作活動，即二個一平方公尺，再透過心像活動，即一個平方公尺的2倍，理解到一列可排2個，二列可以排4個。

（三）經由整數的帶分數倍的基礎，再到帶分數的帶分數倍。當面積不足一個單位量時，學生必須透過切割活動，自訂一個新的單位量，並進行不同單位量間的轉換，故本活動從真分數的單位分數倍，到真分數的真分數倍，再進行帶分數的真分數倍，此時學生可從分數的分數倍的舊有經驗上解決面積問題，亦可從圖像的切割活動理解分數的分數倍意義。活動四乃邊長為小數的長方形面積問題，學生可將小數轉換為分數進行解題，亦可透過更小單位量的掌握以解決面積問題。

◎丈量面積(平方公里)

一、數學結構

平方公里為我國丈量土地面積的基本單位，有關度量衡法參見第十一冊第十一單元「公噸、公畝和公頃」學習研究篇中的數學結構。

(一)源自長度公制單位的面積單位

在小學介紹的長度單位是毫公尺、公分、公尺和公里，因此相對應的應有平方毫公尺、平方公分、平方公尺和平方公里。由於平方毫公尺太小故捨去。因為1公尺=100公分，故1平方公尺=10000平方公分。同理，1平方公里=1000000平方公尺。

(二)地積單位

一般用在表示土地面積的單位有平方公尺、10公尺平方=1公畝，100公尺平方=1公頃及1平方公里，它們之間的倍數都是100倍。

在台灣，甲、分、坪的地積單位都是日據時代遺留下來的，其中以坪最容易被孩子看到，也最容易引起誤會。過去從報上看到的，投標購買土地時，將平方公尺誤為坪，導致訴訟或損失的至少有3起。

由於1台尺=0.303公尺，而1坪=6台尺平方，故

1坪=(0.3036)²平方公尺=3.305平方公尺。

因為1台尺的長度不像1公尺有可以鑑定的獨立標準，唯一可能是依附公制而存在，如1台斤=600公克，因此提倡以平方公尺代替坪是合理的。

二、認知結構

(一)平方公里的命名與量感的經驗

平方公里的命名與平方公尺、平方公分同，均經約定俗成，故邊長為一公里見方大小的面積即稱為一平方公里，然而其面積大小的描述已超越兒童的生活經驗，故不易透過操作活動培養其量感，故先透過比例尺的觀念，介紹國家首會所在地，並提供地圖，透過視覺活動描述一平方公里所包含的國家重要的相關機構，此時只能初步經驗一平方公里的可能範圍，還需透過生活周遭環境的描述上才能真正經驗到一平方公里的意義。

(二)不同單位量間的化聚

平方公里為首次引入，從平方公分、平方公尺、公畝、公頃到平方公里，已是五個不同單位量間的化聚，然而單位量間的轉換，無法透過記憶而得，其必須建立在每一個單位量的量感基礎上，故宜透過熟悉實物與環境的描述，回溯各單位量間的關係，進一步才能進行判斷與描述某物較適合採用某種單位量的應用活動。

三、教學注意事項

(一)活動七為平方公里的首次引入，學生能處理名稱的問題，但量感的建立不易，故本活動圍出以台北都會區的總統府周邊地段，透過描述一平方公里內的主要建築物，經驗一平方公里的範圍。教師宜分別就所屬地區地圖展示；並討論兒童生活經驗中一平方公里內的區域。

(二)活動八為不同單位量間的化聚活動，由於單位量的認知建立量感的基礎，教師宜從兒童所熟悉的生活環境著手進行討論。

◎面積課程的一些議題

一、與分割重組有關的幾何論證

一個平行四邊形可以分割成兩個全等的三角形，或者從平行四邊形的左側切出一個直角三角形移到右側，即可構成一個長方形。在以往都是由老師加以宣告，畫個圖就算交代了。

若按照凡析理夫婦的幾何教學理論，則以圓規、直尺加以檢查，以疊合方式檢驗，或透過三角形內角和為180度的定理做局部論證是絕對必要的。

至於學童是否能夠自發地利用長方形面積公式以解決三角形、梯形和平行四邊形的面積問題？此處國編本是將此三類圖形畫在公分格子上，期望學童在數格子時，能夠利用先乘後加或先乘後減的方式計算，從而察覺到此種方法。實際教學的結果，效果並不完全。我們發現，可能由於讓學童點數的此三類圖形仍然失之過小，以致學童利用逐一點數以及逐一地出入相補的方式求得答案。因此解決之道，應將上述布題中的三種圖形的面積加大，例如加至50～100平方公分。

二、面積語詞引入的時機

本課程的長度啟蒙教學中，首先藉著長短形容詞，配合直觀比較，用「長」來介紹直線段，並以拉直的繩子或直的木條、竹竿表徵直線段，並以手指從一端觸摸直到另一端後才移開。在教到以刻度單位表示長時，才用長度的語詞來溝通。與此成對比的是面積的啟蒙教學。在學童的用語中，面積缺乏與長短對應的日常語詞。雖然在文言文中用「勢」表示面的大小，用「積」表示物體的大小，但現已不常用。因此本課程在N-1-9的直接比較，即面積教學的第二個活動，即引入面積的語詞，亦即在直接比較覆蓋活動之後即引入面積的語詞。這個時機是否太早呢？是否在面積可以用刻度表示之後才引入面積語詞較合適？如果這樣做，則在面積語詞未引入之前，可以使用「面的大小」一詞代替。

三、平方公分板的使用

在82年版課程標準的註200，以公分尺的使用為例，有兩個階段。首度使用係當作刻度工具，有人稱為「怪尺」，後來則是個別單位結構的理解。何以分成兩個階段？有三個好理由。

(一)學童早已熟悉公分尺的存在。他看過成人使用它，這也是他畫線的學具。

(二)使用容易，並常與直接比較有關。例如用公分尺對尺上刻度位置與欲度量物件，就是直接比較。

(三)在啟蒙階段有助於建立保留概念。

問題在於：是否每一種量都要有刻度工具階段的教學？重量、容量、角度這三種量可以做，而且需要。體積無法做。

　　本課程把平方公分板當作面積的刻度工具，但其效率則令人質疑。理由如下：

1.平方公分板上格子的點數非常麻煩。

2.它不是真正實用的工具。

3.按照公分尺的教學模式，平方公分板至少要佔兩個教學活動，很花時間。不如在個別單位教過後，再使用格子就好。

4.在紙上打格子，把需要討論內部面積的平面圖形畫上去，比使用平方公分板進行教學要容易得多。

一個折衷的建議是多利用上述第4點的方式進行求面積，作為格子的點數的經驗。

●縮圖

為了某種特殊的需求，我們常會將所要觀察的對象放大或縮小，照片即為我們最常見的實際情境縮小圖。因此，以取景角度相同與不同的照片，在不同大小比例的情況，讓兒童初步經驗並觀察輪廓相似但大小不同之情況，及其上對應部份的邊長倍率關係，初步的描述為「甲照片中的某物件是乙照片中該物件的幾倍擴大圖」。進一步從製作的觀點出發，讓兒童於方格紙上利用等大小方格策略，在方格紙上嘗試作圖。根據方格紙上所給的圖形，試畫其3倍的擴大圖，再由畫出的結果檢驗其各邊長（接擴大為原圖的三倍）是否正確，討論其合理的畫圖方法。

從這種全等對應舊經驗的反省出發，引導至一個圖形和它的投影圖像的對應，先溝通這種不一樣大小的兩個圖形互相對應的頂點、互相對應的邊，以及互相對應的角，再由方格紙上所畫的擴大（縮小）圖探討其頂點、邊和角與原圖的對應關係、對應角全等、對應邊的倍率關係。最後利用這些對應部份的關係特徵，引出數學上較嚴密的擴大圖及縮小圖之定義，但在此描述時，仍較具體的以兩個已確定擴大（縮小）倍率的圖形，配合其擴大（縮小）倍率說出（例如：甲圖為乙圖的3倍擴大圖）。

一、數學結構：

（一）擴大圖和縮圖的意義及關係

1.意義：圖形的擴大圖或縮圖（縮小圖），通常以邊長的比值來描述其擴大或縮小的倍率。具體一點來說：設n表示一個正整數，一個直線圖形甲在保持各個角度大小不變下，各邊的長皆增為其原來的n倍時，稱它為乙圖，則乙圖為甲圖的n倍擴大圖。反之，可稱甲圖為乙圖的n分之一倍縮小圖（縮圖）。通常一個圖形的擴大圖或縮圖，其擴大或縮小的倍率不一定限在整數或分數之分子為1的情況，如它也可以擴大為原圖的1.7倍或縮小為原圖的 倍等等。

2.關係：擴大圖或縮圖和原圖之間有下列關係：

（1）擴大圖和縮圖是相對的概念，即若乙圖為甲圖的擴大圖，則甲圖為乙圖的縮圖。

（2）擴大圖或縮圖和原圖實際上是相似的圖形，其對應角相等，對應邊成比例。

（3）平面直線段圖形邊長擴大或縮小為原圖的n倍（當n>1時為擴大，n<1時為縮小），則其面積擴大或縮小為原圖的n的二次方倍。【面積比等於線段的平方比】

（4）立體多面體圖形邊長擴大（縮小）為原圖的n倍，則其體積擴大為原圖的n的三次方倍。【體積比等於線段的立方比】

（二）平面擴大圖或縮圖的畫法

要畫一個直線段圖形擴大（縮小）為其n倍的圖形，一般有下列幾種方式：

1.利用方格畫圖：

（1）固定方格大小：其步驟如下

A.將原圖分割成若干個等大方格。

B.找出原圖中各線段垂直及水平方向所佔的方格數。

C.在與步驟1.相同大小方格的方格紙上算出原圖各邊的垂直及水平方向所佔的方格數之n倍方格，畫出擴大圖上各個對應的邊，即得所求之n倍擴大圖或縮圖。

（2）固定方格數，放大（或縮小）方格邊長，其步驟如下：

A.將原圖分成若干個大小相同的方格。

B.以步驟1.所分成的一方格邊長之n倍為新方格一邊的長，畫出一張方格紙，使其水平與鉛直的方格數等於或多於原圖所被分割的水平或鉛直方格數。

C.在步驟2.中所畫的方格紙上，依原圖各邊的垂直及水平方向所佔的方格數，畫出原圖的各對應邊，即得原圖的擴大圖或縮圖。

2.利用對應角相等，對應邊長為原圖的n倍性質直接作圖，步驟如下：

（1）量出原圖各角之角度及各邊的長度。

（2）依角和邊的對應位置，依序畫出全等的對應角及n倍長度的對應邊，即得原圖的擴大（縮小）圖。

（三）擴大或縮小圖的判別

對應角相等且對應邊長成比例的兩個不全等圖形。是相似形，也可以說是其中一圖為另一圖的擴大或縮小圖。所以要判別甲圖形是否為乙圖形的擴大（縮小）圖，只要檢驗其各對應角是否全等，及對應邊長是否成比例即可。呈現在等大小方格紙上的圖形，可利用各對應邊所經過的方格數的比值來判斷。對於非呈現於方格紙上的圖形，便要使用量長度與量角度的工具（如直尺、三角板、量角器…等）分別量出對應的邊長，再計算各個對應邊長的比值，量出對應角的角度，再加以比對。

二、認知結構

在日常生活中，學童已經常看到一些實物或景觀的圖片，這些圖片是原物某種方位的縮圖或擴大圖，例如人、風景、建築物，……等的圖片，都是原物的縮圖，細胞、微生物、小動物的圖片、電影畫面、…等，大都是原物的擴大圖。

在vanHiele幾何概念發展階段0的學童觀察圖形時，是以它的整體外觀來辨認，他們在描述兩個圖形的大小關係時，也是以其整體的輪廓來判斷，還不能從邊、角等構成要素去分析。本教材在低年級階段，透過外觀相似的分類、描繪、比較的經驗，引導兒童逐漸進入結構特徵的分析。第三冊先透過圖形的疊合或摺合的操作活動，從外觀經驗圖形的全等和對稱特徵。

高年級階段的兒童，幾何概念思考能力，大都已進入vanHiele的分析發展層次，能分析兩圖形結構間的關係。因此，在第十冊引導其認識圖形構成要素間頂點和頂點、角和角以及邊和邊的全等對應概念。再由此經驗出發，引出擴大圖（縮圖）和原圖構成要素間的對應，並探討對應角全等及對應邊成比例的性質。

由觀察不同遠近照出的同一景像圖片，討論不同大小但同形狀的圖形外觀的大小，並漸進至邊長的倍率關係，從實際擴大（縮小）的情境察覺「甲圖放大為2倍的擴大圖」之粗淺概念。為使學童能較深入的了解圖形構成要素在圖形擴大（縮小）時的改變情形，讓學童先嘗試畫擴大圖，再由畫出的圖形檢驗過程中，體會出圖形擴大為原來的幾倍時，各個邊確確實擴大幾倍的正確狀況。

再從構成要素的對應概念進入，先引起全等對應關係的舊經驗，接著利用透明片上的圖形投影放大，從易描述觀察的點開始，引出原圖與擴大圖上的點之對應關係，再探討邊的對應，讓學童了解同形狀不同大小的圖形間的構成要素也可以形成一種一對一的對應關係。建立了擴大（縮小）圖和原圖構要素的對應概念之後，才進行角的全等及邊的等倍率關係之討論分析，以形成利用「對應角全等，對應邊都擴大（縮小）為原圖的n倍」定義擴大（縮小）圖的共識，建立數學上較嚴密的定義方式。

三、教學應注意事項

（一）取景相同但遠近不同拍攝出的照片上，圖案大小關係的討論或檢驗時，學生若實際量出邊長比較，出現邊長數值不同時，可能係測量誤差的關係，可以和學童適當溝通後，加以淡化處理。若出現圖的大小倍率關係「二倍」與「四倍」的爭論時，宜引導其以「邊長」來探討圖形擴大之倍率關係。

（二）檢驗學童在方格紙上試畫3倍的擴大圖時，應注意提醒學童每一邊都要檢查。特別是當圖形的邊不和方格紙上的方格邊平行或垂直時（即傾斜線），較不易檢查，可能要利用到水平或鉛直的方格數，應讓學童較詳細的溝通討論。

（三）利用透明片的投影和原圖討論對應關係時，應同時於黑板上展示出原圖，以利對照討論。起初可就較易描述的一些特定點觀察，然後再舉任意位置的點進行溝通，以使學童察覺原圖上的每一點，在影像圖上都有一個對應的像點。

（四）關於「放大幾倍」與「放大為幾倍」之語詞，一般常有不同之解釋。「放大幾倍」是指增加的部分，並不包括原來的一倍，例如「放大2倍」，是指比原圖增加2倍，若包括原圖應為原來的3倍；「放大為幾倍」，通常指「放大為原圖的幾倍」，其中包括原圖的一倍在內，例如「放大為2倍」，是指包含原圖的一倍與增加的一倍共兩倍的意思。在教學時，最好皆以「放大為原來的幾倍」來說明較好，以免造成溝通上的混淆。

●比例尺

一、數學結構

(一)擴大或縮小圖的判別

對應角相等且對應邊長成比例的兩個不全等圖形。是相似形，也可以說是其中一圖為另一圖的擴大或縮小圖。所以要判別甲圖形是否為乙圖形的擴大（縮小）圖，只要檢驗其各對應角是否全等，及對應邊長是否成比例即可。呈現在等大小方格紙上的圖形，可利用各對應邊所經過的方格數的比值來判斷。對於非呈現於方格紙上的圖形，便要使用量長度與量角度的工具（如直尺、三角板、量角器…等）分別量出對應的邊長，再計算各個對應邊長的比值，量出對應角的角度，再加以比對。

（二）比例尺的意義及表示法

比例尺是表示縮圖（或擴大圖）上的長度和實際長度的比值。縮（擴大）圖和比例尺，可說是比和比值的應用。比例尺的求法，一般採計算縮（擴大）圖和原圖的對應邊長之比，常以1 和其縮小（擴大）倍率的比、比值或線段圖表示。例如一張比例尺為「1：1000」的地圖，以比的觀點來看，表示地圖上的1 個單位長線段，就是代表實際上的1000個單位長。若單位為公分，則地圖上的1 公分，表示實際上的1000公分。以比值的觀點來看，它表示地圖上的1 是實際上的1/1000 。有些地圖上，比例尺的說明，除了比值或比的形式外，常配以線段圖，例如：

1.比例尺：參萬分之一

2.比例尺：1 ：30000

(三)空照圖與一般地圖的差異

空照圖是自空中拍攝出地面的情境圖，如自空中飛行的飛機上往地面看，可看到陸地上的各種景象，像房子、街道、河流，田野、山林等，十分複雜。圖上除了這些實際景象的平面圖像外，並沒有特殊標記，我們不易從這種實際景象圖上估測出兩地的距離，或看出某個特定區域的界限。

一般的地圖是一種地面某個範圍摒除地面上的真實物件後，簡化抽象之縮小表徵，僅以線條描述重要的不同地區的界限，河流、道路等分布範圍；以點表示一些重要的地點，如城市、特殊場所等的相關位置，同時標示其名稱或代號，使人可以容易了解這些情況的分布及相對位置關係。

縮圖比例尺部分之教材，承接縮圖的部份，讓學童嘗試在沒有方格的白紙上，經驗利用對應角全等及對應邊擴大（縮小）某倍率的關係，畫擴大（縮小）某倍率的擴大（縮小）圖，使了解一般擴大（縮）圖的做法要領。最後再於方格紙上畫出簡單圖形（如長方形、正方形）的擴大（縮）圖，引導兒童直觀的察覺圖形擴大（縮小）n倍的結果，其面積擴大（縮小）為原圖形面積的n的二次方倍關係。

接著由學校部份的平面圖情境，嘗試抽象思考某場地的實際範圍為動機，引起學童產生「比例尺」的需要感，再提供標出比例尺的情境，探討比例尺的意義及功能。接著引出各種不同表示比例尺的記錄格式。最後由空照圖和地圖之對照，察覺其呈現概念的差異性及體認地圖的功能，並嘗試應用所提供的比例尺，進行地圖上兩地實際距離的估測。

二、認知的結構

（一）圖形擴大及縮小概念應用能力的發展

自學童能拿筆塗鴨時起，便已開始在學習畫實物的縮小（擴大）圖，當時的畫圖是沒有規則的，粗糙的，大都以所畫對象的實際情境之外觀為依據，並且沒有密切的結構比率之考慮。當他們逐漸體會物體的結構關係時，其畫圖的步驟也會隨著修改，慢慢轉向自結構的關鍵部份著手，同時也注意到各部分的比率關係。直到確實了解圖形擴大或縮小和原圖結構的關聯性之後，便能靈活的運用其性質於各種圖形的繪製上。

配合學童幾何概念的發展程序，安排相關概念的應用情境，使其形成的概念能逐漸進入內蘊化的程度。在第十二冊中，關於圖形擴大（縮小）的概念，已引導兒童形成擴大（縮小）圖和原圖間「對應角全等，對應邊長成比例」的數學上嚴密定義。以這種經驗為基礎，首先採取開放性的方式，讓學童應用其先前的各種畫圖經驗畫出擴大（縮小）圖，接著要求其不用方格之協助，直接運用擴大（縮小）圖和原圖間構成要素的關係畫出指定放大（縮小）倍率的圖形。接著提出不在方格紙上的一些圖形，讓學童利用構成要素的關係判別擴大（縮小）圖，使其概念逐漸內蘊化。

（二）圖形擴大（縮小）n倍與其面積擴大程度的聯結

圖形邊長的改變是一維的性質，面積的改變則是二維的，學童對於後者的了解較為困難，必須透過直觀的圖形分割才能理解。透過將擴大圖畫在方格紙上的活動，引導學童先利用方格的協助，觀察原圖和擴大圖的面積變化關係，再將面積擴大的倍率和邊的擴大倍率關係結合，使兒童發展出由邊的擴大（縮小）倍率，推知面積的擴大（縮小）倍率之能力，【面積比等於線段的平方比】。

(三)比例尺概念的建立與應用

比例尺是一種抽象的內涵量概念，它並不是像量長度的直尺，可以拿來直接測量實物的長短，學童必須先了解擴大（縮小）圖與原圖邊長的倍率關係後才能理解的一種「表示原物與擴大（縮小）圖擴大（縮小）倍率關係」表徵。因此先讓學童熟悉並能應用擴大（縮小）倍率概念之後，再介紹比例尺概念及應用。

先以未標示比例尺的簡單情境平面圖為動機，引起學童推斷實際情境大小的困難，再提出一般常見的比例尺表示形式，溝通其所表示的概念，接著以標有比例尺及某些辦公或活動場所的學校地圖或兒童較熟悉的地區之地圖，讓兒童利用比例尺探討一些地點間的大致距離與比例尺的關係，以增進其對比例尺功能的認識與分析推理能力。

三、教學策略：

分成下面幾個階段來引導：

(一)由觀察不同遠近的景象，經驗圖像的擴大和縮小後的效應，並在方格紙上嘗試畫出簡單圖形的擴大或縮小圖。

在日常生活中，學童已經常看到一些實物或景觀的圖片，這些圖片是原物的某種方位縮圖或擴大圖。由觀察不同遠近照出的同一景物圖片，討論相同與不同取景方向照出景物外觀的大小開始，漸進至邊長的倍率關係。從實際擴大（或縮小）的情境察覺「甲圖放大為2倍的擴大圖」之粗淺概念。為使學童能較深入的瞭解圖形構成要素在圖形擴大（縮小）時的改變情形，讓學童先嘗試畫擴大圖，再由畫出的圖形檢驗過程中，體會出圖形擴大為原來的幾倍時，各個邊確實擴大幾倍的正確狀況。

(二)觀察擴大或縮小圖之對應邊和對應角之間的關係。

學童大致經驗了擴大圖和原圖邊長之關係後，再從構成要素的對應概念進入，先引起全等對應關係的舊經驗，接著利用圖形投影放大，從容易觀察的位置開始，引出原圖與擴大圖上的點之對應關係，再探討邊的對應，讓學童了解同形狀不同大小的圖形間的構成要素也可以形成一種一對一的對應關係。建立了擴大（縮小）圖和原圖構成要素的對應概念之後，才進行角的全等及邊的等倍率關係之討論分析，以形成利用「對應角全等，對應邊都擴大（縮小）為原圖的N倍」定義擴大（縮小）圖的共識，建立數學上較嚴密的定義方式。

(三)藉由觀察擴大（縮小）圖與原圖之對應邊和對應角關係判斷擴大（縮小）圖，並經驗擴大N倍的圖形，面積擴大N的平方倍之關係。

學童在前一階段已形成擴大（縮小）圖和原圖間「對應角全等及對應邊長成比例」的數學上嚴密定義之概念，此階段以這種經驗為基礎，首先採取開放性的方式，讓學童應用其先前的各種畫圖經驗畫出擴大（縮小）圖，接著要求其不用方格之協助，直接運用擴大（縮小）圖和原圖間構成要素的關係畫出指定放大（縮小）倍率的圖形。最後，提出不在方格紙上的一些圖形，讓學童利用構成要素的關係判別擴大（縮小）圖，使其概念逐漸內蘊化。

在圖形擴大與縮小的情況中，邊長的改變是一維的變化概念，面積的改變是二維的變化概念。學童對於後者的瞭解較為困難，必需透過直觀的圖形分割才能理解。實驗課程乃透過將擴大圖畫在方格紙上的活動，引導學童先利用方格的協助，觀察原圖和擴大圖的面積變化關係，再將面積擴大（縮小）的倍率和邊的擴大（縮小）倍率關係結合，使兒童發展出由邊的擴大（縮小）倍率推知面積的擴大（縮小）倍率之能力。

(四)由比例尺之需要感情境，認識比例尺，並運用於地圖上有關情況的閱讀。

首先以未標示比例尺之簡單情境平面圖，引起學童推斷實際情境大小的困難，再提出常見的比例尺表現形式，溝通其所表示的概念，接著以標有比例尺及某些活動場所的學校地圖或兒童較熟悉的地區之地圖，讓兒童利用比例尺探討一些地點間的大致距離與比例尺的關係，以增進其對比例尺功能的認識與分析推理能力。

伍、平面圖形的教學

◎教學計畫

◎教學活動

◎教學評量

◎教學實施篇

◎教學計畫

教師在教學之前，必須研究教學重點，教學方法，選擇教具，布置情境，設計診斷及評量的方法與要項，分項舉例說明如下：

一、教學重點

　　針對單元目標，可以一節為一小段計畫各節的活動。例如「透過觀察與操作，建立立體圖形的初步概念及分辨出三角形、長方形、正方形和圓形等平面圖形」的教學，其第一節課的教學重點為「從實際的造形活動，讓兒童經驗到平面和非平面的區別」，兒童根據實際的造形後，體驗到他選用某些東西的考量。如：圓筒形的飲料罐橫放會滾，適合做車輪，直放不會動，適合做房屋的柱子，……。

兒童會根據其舊經驗去判斷如何選取材料造形較合理，同時在活動中，藉由堆疊、滴動、觸摸、觀察等經驗區分面的種類。第二節課「做具體經驗的學習」，師生共同準備多種實物，適當地加以描述，並依其形狀分類，提供他們豐富的具體經驗，讓其運用自己的詞彙，將視覺和語言關聯，進而建立立體圖形的初步概念。如：兒童將具體物以盒子的形狀、罐子的形狀、球的形狀分堆，並能從實物中摒棄其無關形狀的因素像質料、顏色、花樣、其內部所裝的東西、……等，而建立立體圖形的初步概念。第三節課「辨認三角形、長方形、正方形、圓形」，可用描繪具體物的表面之活動，畫出其輪廓來認識形狀。第四節「術語與符號的聯結」，透過說、讀、聽、寫、做的活動，以各種圖形的術語與符號相對應，並透過分類塗色之活動，加深對圖形的認識。

　　也可以一個個的活動來設計各個段落的教學內容，例如：「形狀與大小」單元（第三冊第六單元）的主要內容為全等圖形、圖形有多大、和圖形的對稱，設計成下列活動：

活動1. 先透過直觀找出兩個圖片中不同的地方，再用疊合的方法說出能完全疊合的圖形是全等圖形。

活動2. 先從一堆圖形中找出全等圖形，再用疊合的方法說明它們是全等的。

活動3. 先觀察不能移動的兩個圖形是否全等，再用剪、疊的方法說明它們是全等的。

活動4. 先探討如何做出一個圖形和給定的圖形全等，再透過剪、疊的方法檢驗它們是否全等。

活動5. 透過打掃地面、抹擦桌面、擦拭黑板和塗顏色等活動，對面積有初步的認識。

活動6. 透過數地面、牆壁磁磚的經驗，會用平方公分板測量圖形的面。

活動7. 透過摺紙、疊合的活動，觀察對稱的現象。

活動8. 透過剪紙、疊合的活動，經驗對稱的現象。

　　教學時可依兒童的反應狀況將幾個活動在一節課中完成，或一節課僅進行一個活動。

二、教具選擇

　　教具的選擇，應盡量取自於日常生活中的東西，如盒子、罐子、球、積木、冰淇淋筒、……，由這些具體物抽象化而形成圖形，引導兒童透過對物體模型、圖型的觀察、拼排、製作、畫圖、實驗等活動，獲得和運用幾何初步知識。除外，視活動之需，師生準備圖形卡、釘板、橡皮筋、竹籤、直尺、剪刀、色筆、圖片、色紙、投影機、……等，也是必要的。

三、情境布置

　　為使教學獲得更好的效果，教學之前，應在適當場所如教室的布告欄上布置有關認識幾何圖形的活動情境圖，在每節課或每個活動之初或進行中，於黑板上或講桌上擺置該活動所需的物品，或師生共同準備活動中所需用到的物件，以便於活動中適時取用。教師可視教具數量與活動特性，安排分組活動、個別活動或全班活動的學習方式。

四、診斷評量

　　為使教學能順利進行，在教學進行中隨時注意兒童的學習反應及了解兒童學習後的結果，教師宜適當計畫觀察、評估的策略──前測、形成性評量、總結性評量。