增進國小點對稱圖形理解度之研究
林 宜臻
e-mail：[email protected]
[http://www.naer.edu.tw/study/math/jen/][http://residence.educities.edu.tw/iestmath1/]
國立教育研究院籌備處(教育部台灣省國民學校教師研習會) 研究組
謝 辭
進入數學課程研究小組時，心裡既興奮又惶恐，興奮的是工作能與興趣結合，惶恐的是自己是否有足夠的專業能力勝任這個工作，深思之餘，抱著「人一之，己百之」的心情盡力而為之。所幸的是在數學課程研究小組的這段時間，教授們予以包容與鞭勵，以及鄔主任瑞香與小組老師的教學經驗的分享，讓我得以成長，以致今日拙文得以順利出爐。此外，必需感謝的是陳招英老師的教學，讓我確信點對稱圖形教學的可行性，當然也感謝同是教育熱愛者的劉主任順嬌，沒有她熱心的安排，筆者無法參與陳招英老師的這場教學的饗宴。還有感謝母校老松國小的前林樹根校長及現任的廖文隆校長與已退休但令筆者敬愛的康榮華主任、雙園國小的李聰超校長、萬芳國小前吳國基校長、國語實小何翠華主任、文聖國小江香蘭主任的協助與配合任，得以順利進行教學錄影、訪談與測試。又廖倩文老師、杜佳真老師、朱貴莉老師、陳盈秀老師的教學，讓筆者得以知曉小朋友學習困難處，並從而得到教學上的啟示。實驗教學的這段時間，感謝劉雅惠老師、趙美玲老師，陳錫龍老師、陳門牽老師、張國銘老師、張文城老師擔任教學實驗工作，備極辛勞。小學恩師胡瑞華老師及遠在屏東的張淑芬老師，雖已退休，仍不時予以筆者指導，一併僅此致謝。我還要感謝那群參與實驗教學的小朋友，他們在課堂中的投入，以及掛在臉龐的滿足笑容，讓筆者肯定了自我的價值，兩年來背著錄影機穿梭於教學錄影及訪談、教材與教學活動設計、教具製作以及日夜與電腦的為伍，又是統計分析、又是報告的撰寫，似乎已不是那麼重要了！
還有感謝本會前主任謝水南與歐主任用生及研究中心周主任筱亭的行政支持，讓筆者的教學理念，能得以印證。還要感謝永遠的長者林研究員錦英，在筆者沮喪時予以關照、鼓勵與指導。最後要感謝的是養我、育我的寡母，與無時無刻關懷筆者的外子，還有另一個也很疼我的媽媽─婆婆，沒有她照顧我的兩個幼小子女，筆者當無法全力投入我熱愛的工作。還有…….，這一切的一切筆者都將銘記在心。
摘 要
增進國小點對稱圖形理解度之研究
林 宜臻
教育部台灣省國民學校教師研習會研究室數學組
本研究旨在：
1.瞭解國小兒童點對稱圖形概念學習之現況和問題。
2.檢討現行國小階段點對稱圖形概念的教材內容的編寫方式。
3.探討增進國小兒童點對稱圖形概念理解度的可能性。
本研究分成教材內容與活動設計及實徵研究兩大部份，教材內容與活動設計的部份，首先根據教學錄影、師生個別面談、兒童在團體測驗的作答情形，並參考文獻，編擬點對稱圖形的教材內容與活動設計。第二部份則採實徵的研究方法，以瞭解本教材與活動設計的成效。為瞭解筆者設計的教學模式和現行教材效果之差異，本研究採準實驗研究法，其型式為不相等實驗組控制組設計。統計處理以獨立樣本單因子多變項變異數分析(MANOVA)的顯著性考驗分析不同教材組在對稱圖形的不同子目標下表現的差異情形；以二因子獨立樣本卡方(χ2 )顯著性考驗分析不同教材組學童，達到精熟人數百分比之差異情形；以相依樣本多變項變異數分析(MANOVA)的顯著性考驗分析，探討後測與延後測以及補救教學前後對稱圖形學習之變化情形，以卡方改變顯著性考驗分析班後段補救教學前後，精熟人數百分比之改變情形；以混合設計二因子多變項變異數分析，考驗組間、智商間、概念能力間的差異及交互作用現象;以混合設計二因子多變項變異數分析，考驗組間、性別間、概念能力間的差異及交互作用現象。
本研究有如下之具體成果：
1.針對兒童點對稱圖形概念學習困難處,提出具體改進意見。
2.提供數學課程教材與教法結合之可行模式，以為編擬教材與教學活動設計時之參考。
Increasing Comprehensibilityof Point Symmetry
Yi-JenLin
ResearchDepartment , TaiwanProvincialInstituteforElementarySchoolTeachers'InserviceEducation
Themainpurposesofthisresearchare：
1.Understanding thefifthgrader'sdifficultyaboutpointsymmetry.
2.Examiningwrittentextsoforiginalmaterialofpointsymmetryat primaryschool stage.
3.Evaluatingthepossibilityaboutincreasingthepupils'comprehensionofpoint symmetry.
Thisresearchcontains:teachingmaterials,lessonplanandexperimentalresearch.Theredesignedcontentsandlessonplanarebasedonfieldteaching,theindividualinterviewsbetweenteachersandpupils,researchliteratureandtheresponseofgroupexamination,throughthesemi-experimentalresearchtounderstandthedifferenteffectbetweenredesignedandoriginalmaterial.TheMANOVAisusedfortestingthedifferencesbetweentwogroupsinhierarchiesofpointsymmetry. SignificanttestingofHotelling T2isalsousedinordertoanalyzetheretentionbetweentwogroups. MixeddesignMANOVAisusedtotestthedifferencesandinteractionsinconceptionaboutpointsymmetrybetweentreatmentgroupsandI.Q..
Theoutcomesofthisresearch:
1.Showwhatdifficultiespupilsencounterwhentheylearntheconceptionofpointsymmetryandtherebysuggesthowtoresolvethosedifficulties.
2.Affordcurriculumdevelopersaplausiblemodelforthemathcurriculumthat combinesteachingmethodwithteachingmaterials.
目 錄
謝辭1
摘要II
目錄IV
表目錄VII
圖目錄IX
第一章 緒論1
壹､研究問題的背景與重要性1
貳､研究目的5
參､研究範圍與內容5
一、研究範圍5
二、研究內容5
第二章 理論背景與文獻探討7
壹．對稱圖形教材與教學活動設計的理論基礎7
一、什麼是對稱圖形7
二、概念如何形成8
三、如何教9
四、對稱圖形學習概況11
貳．增進課文理解的技巧13
一、具體的前導組織14
二、文章組織的標示14
三、附加問題14
第三章 實證研究之設計與實施16
壹．研究問題與假設16
一、研究問題16
二、研究假設16
三、名詞的操作型定義17
貳．研究方法17
一、研究設計與架構18
二、研究對象20
三、研究工具20
四、實施程序26
五、資料處理及統計方法28
第四章 研究結果與分析討論29
壹．研究結果29
一、實驗教材組與現行教材組學習效果之比較29
二、實驗教材組與現行教材組學習保留情形之比較33
三、班後段補救教學前後的學習效果比較36
四、不同智商別的學生在不同教材組別下得分之比較39
五、不同性別的學生在不同教材組別下得分之比較42
貳．分析與討論44
一、實驗教材組與現行教材組學習效果之比較44
二、實驗教材組與現行教材組學習保留情形之比較45
三、班後段補救教學前後的學習效果比較45
四、不同智商別的學生在不同教材組別下得分之比較46
五、不同性別的學生在不同教材組別下得分之比較46
第五章 研究發現、結論與建議47
壹．研究發現47
貳．研究結論48
參．建議…. 51
參考書目54
一、中文部份54
二、日文部份57
三、英文部份58
附 錄59
附錄1：丁師對稱圖形教學紀錄59
附錄2︰丙師對稱圖形教學紀錄68
附錄3：乙師對稱圖形教學紀錄78
附錄4：甲師對稱圖形教學紀錄85
附錄5：一位初教者之反省記錄92
附錄6：實驗教材組用教材94
附錄7：實驗教材組用教學活動設計97
附錄8：對稱圖形概念學習效果評量卷100
附錄9：「如果你可以決定教材的刪改，你會建議將點對稱圖形的教材刪除或保留呢？說說看你的理由！」反應例101
附錄10：實驗教材組點對稱圖形「教」「學」後感言舉例103
附錄11：小朋友點對稱圖形作品舉例105
表 目 錄
表1︰不相等實驗組控制組前後測實驗設計18
表2︰工作進度一欄表26
表3︰實驗教材組與現行教材組前測平均數、標準差及Ｔ考驗29
表4︰實驗教材組與現行教材組線對稱圖形後測的平均數與標準差30
表5︰實驗教材組與現行教材組線對稱圖形後測多變項︰30
表6︰實驗教材組與現行教材組點對稱圖形後測的平均數與標準差31
表7：實驗教材組與現行教材組點對稱圖形後測多變項變異數差異考驗(T2考驗）摘要表31
表8：實驗教材組與現行教材組點對稱圖形後測單因子變異數差異考驗摘要表31
表9︰不同教材下線對稱圖形通過率比較表33
表10︰不同教材下點對稱圖形通過率比較表33
表11︰實驗教材組與現行教材組線對稱圖形延後測平均數與標準差34
表12：實驗教材組與現行教材組線對稱圖形延後測多變項變異數差異考驗(T2考驗)摘要表34
表13︰實驗教材組與現行教材組線對稱圖形延後測單因子變異數差異考驗摘要表35
表14︰實驗教材組與現行教材組點對稱圖形延後測平均數與標準差35
表15︰實驗教材組與現行教材組點對稱圖形延後測多變項變異數差異考驗(T2考驗)摘要表35
表16︰實驗教材組與現行教材組點對稱圖形延後測單因子變異數差異考驗摘要表36
表17︰班後段補救教學前後線對稱圖形測驗的平均數與標準差36
表18︰班後段補救教學前後點對稱圖形測驗的平均數與標準差37
表19︰班後段補救教學前後線對稱圖形測驗多變項變異數差異考驗(T2考驗)摘要表37
表20︰班後段補救教學前後點對稱圖形測驗多變項變異數差異考驗(T2考驗)摘要表38
表21︰班後段補救教學前後線對稱圖形測驗單因子變異數差異考驗摘要表38
表22︰班後段補救教學前後點對稱圖形測驗單因子變異數差異考驗摘要表38
表23︰補救教學前後線對稱圖形通過率比較表39
表24︰補救教學前後點對稱圖形通過率比較表39
表25︰不同智商別的學生在不同教材組別下平均數與標準差40
表26︰不同智商別的學生在不同教材組別下MANOVA分析摘要表40
表27︰不同智商下對稱圖形後測單因子變異數差異考驗摘要表40
表28︰不同組別下對稱圖形後測單因子變異數差異考驗摘要表41
表29︰高智商組在不同教材下的線對稱圖形通過率比較表41
表30︰高智商組在不同教材下的點對稱圖形通過率比較表41
表31︰低智商組在不同教材下的線對稱圖形通過率比較表42
表32︰低智商組在不同教材下的點對稱圖形通過率比較表42
表33︰不同教材與不同性別在對稱圖形得分的平均數與標準差42
表34︰不同教材與不同性別在對稱圖形得分的MANOVA分析摘要表43
表35︰不同組別下對稱圖形後測單因子變異數差異考驗摘要表43
表36︰不同教材下女生組的點對稱圖形通過率比較表44
表37︰不同教材下男生組的點對稱圖形通過率比較表44
圖 目 錄
圖1︰點．線對稱圖形學習比較圖12
圖2︰不同類型教師指導下對稱圖形後測成績通過率比較圖12
圖3︰不同類型教師指導下對稱圖形後測成績通過率比較圖13
圖4：實徵研究架構圖18
圖5︰實驗教材下的學生前後測通過率比較圖29
圖6︰現行教材下的學生前後測通過率比較圖30
圖7︰不同教材下線對稱圖形後測的塊狀比較圖32
圖8︰不同教材下點對稱圖形後測的塊狀比較圖32
圖9︰不同教材下的學生後測通過率比較圖32
圖10︰不同教材下的學生延後測通過率比較圖34
圖11︰班後段補救教學前後通過率比較圖37
增進國小點對稱圖形理解度之研究
第一章 緒論
本研究採理論與實用之觀點，從事有關如何增進國小點對稱圖形理解度之探討，並進行實徵研究瞭解其可能性。本章分別就問題的背景與重要性、研究的目的、研究的範圍與內容，臚陳於後：
壹､研究問題的背景與重要性
根據課程標準修訂草案(教育部，民80)點對稱圖形部份，將被建議移到國中階段；日本的數學課程中，點對稱圖形概念尚保留於小學階段中（林宜臻等，民80）。我國將之挪於國中階段，是否真的可以解決問題，尚值得探討。根據我國國小數學課程標準草案，國小數學課程大致分成「數與計算」、「量與實測」、「圖形與空間」、「數量關係」、「統計圖表」等五大領域，其中「數與計算」、「量與實測」所佔的教材份量遠多於「圖形與空間」（教育部，民80）。在數與計算教材比比皆是的情況下，幾何教材一直為小朋友所愛，這是現場老師給筆者的反應，因此刪掉尚具有調適性質的幾何教材，是否有當，值得探討。筆者曾訪談一位高智商低成就的小朋友，詢問她為何在筆者實施的點對稱圖形測試中，反而得到滿分，她所持的理由是幾何題目較富有挑戰性。另外，筆者曾對以讀唇替代聽的啟聰班學生施測，發現3/4的小朋友在點對稱圖形的評量中獲得滿分。Vester也指出人類的學習型態大致可分──視覺型、聽覺型、觸覺型、言語型(會話型)，以今日授課型態而言，較利於聽覺型，表面上成績不理想，原因可能在於教師教學型態與學生學習型態不一致所致（西元教善，1981），學生在視覺方面的理解力，差距甚大，有些頂尖學生在該方面的表現，未及平常表現差的學生（Post，1992，p.258）。有些研究指出學業成敗會影響學業成就動機及自我概念的形成（Dunham，1973；—，1983），數學的學習範圍不應只限定於某部份，而幾何教材的開發，亦能使別領域受挫的學生，在幾何領域的學習上獲得滿足。況且數學教育重要目標之一，在於培養科學思考方式，Bishop指出空間、幾何圖形方面的課程發展，遠不及於計算教材，而空間幾何的教材內容有助於心像(image)的形成（林宜臻譯，民80），不習慣以理性思考，是國人常見之弊病，諸如在地下道找尋出口時，以嘗試錯誤方式發現情形，履見不鮮，然而原理及觀念的瞭解是學習遷移的主要途徑，構造性的瞭解，在回憶時具有再生的特質。卜思（Booth,民76,p.5）指出在倫敦大學主持的中學數學與科學概念大型研究計畫中，發現不管高低年級，不管那一個概念，概念瞭解層次並沒有隨年齡層的提高而增進，同時也指出錯誤分析與補救教學研究小組發現，以學生學習的困難與錯誤的原因為基礎，設計教案教學是可行的。因此如何針對學生感到困難的單元，診斷其錯誤概念發生的原因，進而發展教材與教學活動設計，一直是筆者努力的方向。對完全學習理論信徒的筆者而言，只有問題的課程與老師，而沒有問題學生。當學生在學習上碰到困難時，不要輕易在學生身上貼上標籤，而要先問為什麼他們無法學習以及思考著透過什麼樣的方式能幫助他們學習，如同醫生只宣佈病情而不施以救治，仍然無助於病情。小朋友在學習上的經常受挫，久之不但影響他們的學習意願，對人格的發展亦頗不利。基於小朋友點對稱圖形學習狀況不佳，即歸因於成熟度不夠，究竟是學生的成熟度不夠？抑或是教學上發生問題？筆者曾無事先告知前往學區相近的兩校實施試探性的點對稱圖形概念測試，其中最能測試點對稱圖形概念瞭解情形的問題中，有一班答對者佔25/44，另一班則只佔2/42。讓筆者深深感受的是教學的功能固然在支持學習者內在運作歷程，雖然教師可以栽培小朋友，但也可能抑遏小朋友智能的發展。APU測驗研究小組對英國11-15歲學生調查其數學能力，發現鏡射及旋轉方面的反應並不太好（劉湘川等，民81），或許有人會對點對稱圖形教材提出學習無用論的看法──為什麼要學這些將來沒什麼用的知識。林福來（民74；民76，p.1）指出剛性變換的性質是幾何教學的重點之一，變換幾何在英國、西德等國家，幾乎被選為中學幾何教材的主體，而我國的中學課程標準中，並不包含變換幾何的教材，而高中學習內容則以函數圖形為主體的平移、對稱、伸縮等變換的概念，點出我國幾何教材中，剛性變換教材在國中階段產生斷層，這跟一些先進國家在這階段特別強調變換幾何，有極端的不同。瀨山士郎（1990）也呼籲圖形教育應不只侷限於圖形，應同時著重於所擺放的位置，應不僅止於形的處理，亦應掌握平面、空間的對稱變換，亦即經由變換而圖形不變性質亦應予以重視。況且智力之可變性繫於個體是否有機會學習運思性的知識（張春興，民77，p.26）。Chi & Koeske指出改變知識基底可以產生複雜的認知表現；量和結構的改變將影響到回憶的量，Carey則指出小孩的推理和學習能力之所以產生巨大的轉變，原因在於小孩從各個不同領域中取得的知識不斷地在更新使然（許榮富，民81，pp.9～10）。畢竟教學是協助或促進智能成長的一種努力，學校有責任提供學童高品質的教學，以協助其學習，其目的旨在使學生從學習中獲得遷移的能力，以便個體在面對新情境時，能把握各事物間的關係，瞭解其適用性。VanHiele認為數學教育的目的，不僅在於知識與技術的學習，而在於洞察力的發展（上迫弘樹，pp.26-27），換言之，概念學習的目的在於遇到新的情境時，可以經由概念的屬性而加以確認。在我們尚未教導學生概念的關鍵特徵(critical features)，學生較容易傾向分開學習一些事物，而概念教學使學生減少資訊超載的負荷，構造性的瞭解，在回憶時具有再生的特質(regenerative character)。難得的是我國小學的現有教材中，尚介紹一些對稱的概念（國立編譯館，民78a），如今國小數學課程修訂委員基於小朋友學習困難，將點對稱的部份予以刪除，擬挪至國中階段，然挪至國中階段是否能解決問題？認知發展影響學習表現，乃不爭之事實，然而在小朋友學習發生問題時，也該問教學者的努力夠不夠？筆者曾就這個問題與教過這個單元的老師交換意見，不少老師的誠懇反應是，在他們的就學過程中，並沒有學過點對稱圖形的概念，所以他們在教學時，並沒有把握，有關於此，劉好（民78）在以教師為對象的旋轉概念的測試中也發現，全體受試者的答對率僅為19.7﹪，而曾擔任該單元教學的高年級級任中，答對者也只是31.9﹪。可見非老師不為也，乃不能也。在訪談中，他們也提到無法從現行的課程中，體會到點對稱圖形的概念。教學者的老師本身不懂，更遑論受教者的學生。因此在小朋友學習發生問題，甚至老師也無法從現有教材中掌握時，是不是也該問課程的設計是否適切？學習本身是一種成長的過程，「課堂中沒有被遺忘的學生」是完全學習理論信徒的筆者的座右銘，本研究正是針對學生感到困難的單元，診斷其錯誤概念發生的原因，進而發展教學活動設計，讓幾乎所有的學生在教師的引導下，都能充分的激盪，洴出智惠。換言之，如何針對學生困難的單元，透過課程的妥善處理，提供學生經驗、察覺、瞭解的過程，讓他們潛力得以充分發揮，對身為數學課程研究小組一員的筆者，深覺責無旁貸，亦是為文之目的。教學方案一般而言有三（陳麗華，民76）：（一）教師自行發展(teacher development approach)；（二）課程─教法途徑(curriculum－method approach)；（三)教師發展與課程發展兼容並蓄。其中，課程─教法模式途徑亦即課程與教材教法緊密契合，將俾於大規模的推廣，以確保學童的學力水準。本會數學課程研究小組的工作之一，即根據將頒佈之國民小學數學課程標準，編擬實驗教材、教師手冊、習作及配合教材設計教具等，並在各實驗學校進行教學實驗，在修訂後交給國立編譯館，作為標準本教材，肩負國小數學課程發展工作的本會數學小組，於課程發展之際，若能進一步將教法等與課程結合，教師負擔甚重的今日，不但俾於課程之落實，亦益於推廣。教育心理學通常採取行為學派取向(behaviorist approach)與認知論取向(cognitive approach)，行為學派取向的研究專注於「教學操弄」(instructional manipulations)和「結果表現」(outcome performance)兩個變項間的關係，而認知論取向重視決定外在因素（如教學操弄和結果表現）和內在因素（如學習歷程、學習結果以及學習者的先前知識和技能）之間的關係（林清山譯，民79，p.4），雖然行為主義對任何複雜的行為，企圖簡化只採用制約作用來解釋，將人視為外在環境塑造的產物，走向機械論與外因決定論，而認知學派無論是調和理性主義與經驗主義的皮亞傑認知理論或是美國的訊息處理論，在基本上都是要解答「人何以能知？」「人如何獲知？」（張春興，民77，p.6，p.8）固然有其意義可言，然而本研究基本上認為學生在什麼階段能理解、其理解方式如何等的探討，固有其參考價值，然而人類知識表徵的複雜性難以捕獲，況且在大班教學的現況下，稟賦各異的學生集聚一室，亦是不爭的事實，並且學生主動建構知識不能坐待其自然之發展，是以筆者認為透過引導式的發現，讓學生經驗、察覺、釐清概念進而瞭解的事前安排促進學習方式，並經由課程內容呈現的安排，讓教師的角色由演說、領導、解題者變換成引導者，引導學生思考問題、解決問題；讓教師的教學法不再是「我說你聽」而是「我問你想、你說、你做」（楊美伶，民81），由學生主動建構的精神融於課程內容的安排中，卻也是幫助學生建立概念的方式之一。筆者即植基於上述之觀點，嘗試改變現有的點對稱圖形課程內容與活動設計的呈現方式，以圖增進小朋友對點對稱圖形的理解。
貳､研究目的
根據前述研究背景與重要性，本研究有如下目的：
一、檢討現行國小點對稱圖形概念的教材內容的編寫方式。
二、透過筆者編擬的教學活動設計，從事實徵研究，探討增進國小兒童點對稱圖形理解度可能性。
三、探討數學課程教材與教法結合之模式，提供本會數學科課程研究小組編擬教材與教學活動設計時之參考。
參､研究範圍與內容
基於上述的研究目的，本研究之範圍與內容如下：
一、研究範圍
父母的教導方式、社經背景（羅芙蓉，民76）､教師的風格、專業學識的背景；學生學習的風格、性別、先前的知識...，皆足以影響學生學習的狀況。本研究中的實徵研究部份，試想提出讓一些影響學生表現，卻非教育能改變(如前所述之家長的社經背景等)的變異量相對地減低。Suchman的中程教學理論（劉錫麒，民79）的重點在於產生理論命題，並在實際情境的應用中，予以考驗或做修正，緣自於教學涉及教學對象、內容、方法與活動等多樣而繁複的層面，的確難以用簡化單一的理論加以預測和解釋。因此本研究先產生理論命題，並在實際情境的應用中，予以考驗或修正，其次藉由實徵研究，探討筆者所發展的教學活動設計於實際教學應用中能否獲得預期的效果，以探知發展的可能性。本研究範圍以因小朋友反應不佳而將遭被刪的點對稱單元為對象，分成教材與教學活動的設計以及實徵研究兩大部份進行，第一部份以發展教材內容與教學活動為主，首先根據教學錄影、師生個別面談、兒童在團體測驗的作答情形，並參考文獻，編擬點對稱圖形的教材內容與教學活動設計，第二部份則採實徵研究，以瞭解本教材與活動設計的成效。
二、研究內容
本研究包括五大部分：
（一）緒論：說明研究問題的背景與重要性、研究目的、研究範圍與內容。
（二）理論背景與文獻探討：綜合整理教學法的有關研究文獻，比對點對稱圖形現有教學活動設計，作為點對稱圖形教學活動設計的理論基礎；探究增進課文理解的技巧，比對現有點對稱圖形教學活動設計及教材內容呈現方式，作為安排點對稱圖形教學活動設計及教材內容版面呈現之的理論基礎。
（三）實徵研究設計與實施：說明本研究的研究問題與假設、研究方法（實驗設計、研究架構、變項、研究樣本的選取、研究工具的選取與編制、實施程序、資料的處理）。
（四）研究結果與分析討論：就本研究之結果說明，並加以分析與討論。
（五）主要發現、結論與建議：摘述本研究的發現及結論並提出建議。
第二章 理論背景與文獻探討
課程設計上，當以「智能獲得充分發展」作為課程組織的規準，本章旨在綜合探討教學法的有關研究文獻及點對稱圖形教學現況，比對點對稱圖形現有教學活動設計，作為點對稱圖形教學活動設計的理論基礎；此外，教材內容安排及呈現，直接影響學童的學習，加以教材是老師最倚重的教學工具，很多老師常照本宣科，因此教材內容與撰寫，相形重要（柯華葳等，民79），職是之故，教材內容與教學活動設計上，如何讓老師及學生即時掌握學習的目標與重點，亦是設計的重點之一。因之，筆者同時探討增進課文理解的技巧，比對現有點對稱圖形教學活動設計及教材內容呈現方式，作為安排點對稱圖形教學活動設計及教材內容版面呈現之的理論基礎。茲分述如下：
壹、對稱圖形教材與教學活動設計的理論基礎
一、什麼是對稱圖形
根據數學辭典（日本數學教育學會,1987,pp.199～201;史野健太郎,1990,p.397）點．線對稱圖形屬相等變換，其定義如下：
《線對稱圖形》
(甲)一平面圖形以直線Ｌ為摺線，於空間翻轉180°後，完全重合，稱之。
(乙)兩平面圖形以直線Ｌ為摺線，於空間翻轉180°後，其中一個與另一個完全重合，稱之。
《點對稱圖形》
(甲)一平面圖形以一點ｏ為中心，於平面旋轉180°後，與原來圖形完全重合，稱之。
(乙)兩平面圖形以ｏ為中心，其中一個平面於平面旋轉180°後，與另一個平面完全重合，稱之。
簡明數學百科中，無論點對稱圖形點或線對稱圖形的定義，皆採(乙)定義（洪萬生等譯，民68，pp.199-200）。我國國小數學在第九冊十二章正多邊形與對稱的章節中（國立編譯館，民81），介紹線對稱與點對稱圖形，無論線對稱圖形或點對稱圖形，都採(甲)定義，教材中還包括給定一半平面的圖形，求作另一半平面的對稱部份，相當於一半平面映至另一半平面上的剛性變換觀念，就變換的觀點而言，點對稱圖形究竟採何種定義方式為佳，有待斟酌。
二、概念如何形成
山田（1978）認為小學數學概念經由：(1)操作：透過操作、經驗，強化動作與行為之過程。(2)意象：內化經由操作所獲得之行為與知覺之過程。(3)言語：經由言語、數等將意象抽象之過程。(4)邏輯：以言詞內化因果、邏輯等關係之過程等四個階段形成（竹谷誠，1991，p.192）。VanHiele（1986）主張幾何概念的學習層次分別為：察覺(recognition)、描述(description)分析、分類(classification)關連(relationships)、演繹分析(deductive analysis)、公理(axiomatic)，層次0的小朋友能察覺(recognize)形狀，以描述一般物件（例如：將矩形描述成看起來像門或那是一張正方形的桌子），但不能注意到成份的部份，層次1的小朋友能描述已知形或物的特徵（例如：正方形的桌子有四個相等的邊及直角(square corner)）並能忽視不切題(irrelevant)的屬性（例如：方向），層次2的小朋友則能瞭解抽象的關連（例如：正方形既是菱形同時是矩形），並能根據形或物的特徵加以區分歸類（所有具有四個相等的邊與90°角的桌子，都是正方形），一般而言，小朋友在六年級結束時，能達到這三個層次。層次3的小朋友能暸解假說(postulates)及定理(theorems)並能使用歸納技巧證明定理（例如：三角形的內角和為180°），通常在中學及成人級階段方獲得。層次4則相當抽象並不包含具體物或圖像模式，在這階段的假說、公理(axiomatic)相當周延、嚴謹，不適合小學、國中甚至高中階段的學習。VanHiele不同於Piaget的是，他並不否認更高層次思考的可能性，而著重於如何經由刺激（例如：教學），充份開發學生的潛能，讓學生躍升至下一層次（Souviney，1989，pp.25-26，PP.134-135；Musser﹑Burger，1991，PP.469-471），他認為經由背誦雖可躍昇幾個層次，但也容易遺忘。至於學習層次的提昇，VanHiele認為幾何的學習層次隨洞察而提昇，其所提之學習五階段為：(1)以具體物(未分化的視覺構造)為對象，圖形為方法。(2)以圖形為對象，圖形性質為方法。(3)以圖形性質為對象，性質間關係(命題)為方法。(4)以命題為對象，邏輯為方法。(5)以邏輯本身為研究對象。亦即幾何的學習在於對圖形的洞察、性質的洞察、性質間關係（命題）的洞察、命題間關係（邏輯）的洞察（上迫弘樹，1988，pp.26-27；Hoffer，1992，p.259）。Skemp將瞭解分成關係性瞭解、機械性暸解、以及符號性暸解三種，Polya則將瞭解分成(1)機械性暸解：記憶規則並能正確使用。(2)歸納性暸解：對規則多次查驗達到暸解。(3)關係性瞭解：暸解規則之證明。(4)直覺性瞭解(Intuitive Understanding)：視規則為自然（繆龍驥、林福來，民76，p.26）。Erickson等認為概念改變教學基本上包含察覺(awareness)﹑失衡(disequilibrium)、更新(reformation)等三個階段（魏金財，民81）。覺察階段，教師提供一個探討機會，讓小朋友把想法呈現出來，再透過班級討論或師生對話方式，使兒童察覺自己的思考或想法，並比較彼此間不同的觀點；失衡階段則引入不一致的觀點挑戰現有既存的看法；而更新階段則藉由教師的教學設計等，消除認知不調和的現象。Tennyson & Park指出從事概念教學或原則教學時，提供正反例，有助於學生了解適用範圍與限制（張新仁，民77）。而在對稱圖形的教學上，對折與繞點旋轉180°的同時呈現，有助於掌握線、點對稱圖形的異同及其本質（加藤明，1990）。
綜合觀之，概念經由操作、意象、言語、邏輯等四階段形成；概念形成首先將訊息定向、聯結及分類等，之後將多量的訊息項目遞減成較少量的類化項目；概念改變的教學，基本上包含察覺、失衡、更新等三個階段；學習層次隨洞察而提昇；對照與正反例的提供，有助於學生了解適用範圍與限制。反觀我國只以兩節介紹點對稱圖形，教材內容卻包括透過操作方式介紹點對稱圖形的定義及對稱點邊，並經由實測暸解連接對稱點的直線與對稱中心的關係，進而要求利用該一性質，由給定的半平面圖形畫出另一半面圖形，且未提供思考的空間及比較線、點對稱圖形的異同的機會。此種安排方式，是否有當，尚待思索。
三、如何教
（一）有效的教學
Sowel（1989）分析60篇研究後，指出較之於抽象方式，具體教學(concrete instruction)益於學習，並有正向學習態度。Walbergetal（1991）指出雖然沒有單一的教學方法能適用於所有的教學，但是有效的教學有些共同的特徵，他們分析134篇概覽，包括將近八千篇有關中小學學生為對象的研究及教學研究的文獻概覽，發現提示(cues)﹑參與(engagement)﹑改正回饋與增強(correctives and reinforcement)等四項教學心理要素效果高達0.88至1.25，甚為罕見。其中「提示」係指將要學的以及怎麼學的向學習者解說，其品質之優劣見諸於教師所作的解說以及所編訂的教材是否清楚易見，是否把握重點，若以先前的知識、先前的教材為橋樑的前導組織(advance organizers)的效果高，分別高達0.75與0.71；「參與」除了學習者主動而持續參與教學活動外，經常性的考試增加努力用功的機會及回饋改正的可能，相對地增多了學習的數量，且以小考比大考有效。「回饋」是指改正學習者的錯誤，若能即時發現並予以改正，助於教學目標達成（林宜臻，1985），Thorndike指出只有練習並不會促進學習，但是有回饋的練習會促進學習（林清山譯，民79，p.117）。Trobridge & Cason更進一步指出，得到詳細回饋的學生，比只給「對－錯」回饋的學生習得快速而且穩靠，換言之，雖然回饋可以被用來促進學習，然而回饋時，不應僅告訴他們「對」或「錯」，而應告訴他們做得正確或不正確的是什麼。回饋中所含的訊息；至於「增強」的價值在於提供學生進步的訊息，其中以立即與直接的力量大。綜上所述，具體教學方式較抽象方式益於學習，並有正向學習態度。提示、參與、改正回饋與增強等四項教學心理要素，在有效的教學中，扮演了重要的角色。
（二）有意義的教學
教學目標應在於讓兒童能創造性的應用學過的東西於新環境中（林宜臻，民81），Wertheimer指出相對於兒童經由使用公式找出答案的機械式記誦學習方式，經由理解而學習的兒童能夠解決遷移的問題。而結構取向教學法(structure oriented method)、發現式教學法(discovery method)以及歸納式教學法(inductive method)提供有意義的教學（林清山譯，民79，pp.158-187）。
1.結構取向教學法
結構取向教學法在於將概念轉換成具體模式，讓其它的事物與結構產生有意義的關連，不再只強調訓練與練習。
2.發現式教學法
相對於學生只負責傾聽，發現式教學法讓學生發現新原則和理念。研究指出純發現的效果經常需要額外的學習時間，學習水準低且在遷移和長期保持的表現也較差；而說明式教法雖能學習到法則，但不能鼓勵學習者主動思考法則；至於引導式發現教學法，雖比說明式多花時間，但有較佳的長期保持和學習遷移。
3.歸納式教學法
演繹式教學法先把原則呈現給學生，歸納式教學法在學生歸納出規則的基本架構之後才呈現。Worthen指出歸納法在學習上比演譯法慢；但在長期保留及遷移上，歸納法優於演繹法。
總而言之，具體的教材、引導式發現活動、歸納式的呈現順序，可以鼓勵學習者在學習中變得較能認知涉入(cognition involved)，較容易產生問題解決的學習遷移。
四、對稱圖形學習概況
以學生的學習困難及錯誤原因為基礎，設計教學活動的目的在於協助老師於啟蒙學生的階段，即能因應學生可能的盲點，讓學生在烙印最深的第一印象(primary image)中，順利形成新的概念。為確實掌握小朋友對點對稱圖形學習現況，以發掘他們困難所在，同時瞭解在一般教學情況下，小朋友容易以什麼樣錯誤的方式思考，據此以為教材內容與教學活動設計之參考。職是之故，於對稱圖形單元教學後，在任課老師未知情下，前往臺北市老松國小施測並訪談，以蒐集小朋友作答情形，由於老松國小歷史悠久，擔任五年級教學的老師個個教學經驗豐富，而且該區家長以小販、工人居多，如此俾於粗步掌握家長支援較少但教師教學經驗豐富狀況下，小朋友學習對稱圖形的情形；此外，筆者為大致瞭解學經歷不同的四位老師如何闡釋現有的教材，前往該四位教師任職的學校，現場錄製對稱圖形的教學情形，將其轉錄成文字（參見附錄1~ 附錄4）加以分析，並將發現情形分述如下:
（一）學習概況
在對稱圖形的學習上，405名受測的學生其表現如圖1：
圖1 可以看出線對稱圖形學習上，無論是圖形的判別、對稱軸的找出、對稱點邊的指出或圖形的繪製，達到八成以上，相對於線對稱圖形，點對稱圖形方面卻低於七成。由此可見，小朋友在點對稱圖形的學習上，確有其困難存在。
（
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二）不同類型教師指導下的學習概況
[線對稱圖形] [點對稱圖形]
從圖2可以看出即使是不同類型教師的指導，學生的線對稱圖形學習狀況優於點對稱圖形的學習，雖是如此，有些班級學生對於點對稱圖形卻近於八成達到精熟水準，其中丁師向以教學精湛著稱，課堂中對於重點的提示、歸納方面清晰明白外，關鍵概念與具體物操作間的連結，更是環環相扣，例如利用各種形狀圖片，拼出對稱圖形，除了讓學生做中學，印象得以鮮明外，更能及時瞭解學生的錯誤類型，予以回饋(參見附錄1)，學生有如此表現，當不足為奇。丙師只有三年不到的經驗，上課時，大多是教師一人講授的場面，而且師生互動甚少(參見附錄2)，卻能施以形成性評量，瞭解學生學習狀況，並於發現學生未能釐清概念時，即以點、線對稱圖形相互比較的對照方式，進行補救教學(參見附錄5)，卻也有令人滿意的結果。另一位教育系出身的乙師，教學時不疾不徐、口齒清晰、候答時間充份，並忠於現有教材解說詳盡(參見附錄3)，因此，小朋友在圖形繪製的表現上令人滿意，然而小朋友的點對稱圖形辨識及對稱點與對稱邊的指認方面，不近理想。最令人訝異的是一位已經教點對稱圖形八、九次之多的甲師，對於點對稱圖形概念，似乎無法掌握，教學時，模稜兩可(參見附錄4)，其所擔任的班級，只有五成左右的小朋友達到精熟水準，更有甚者，十週後的延後測(參見)，只剩三、四成，相對於此，後測表現不錯的班級，卻
仍維持七、八成的精熟水準。
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綜合觀之，線對稱圖形方面，就五年級小朋友而言，在一般的教學情況下，即能有不錯的表現；點對稱圖形方面，卻因著教材呈現方式及教師處理方式的不同，小朋友顯現出不小的差距。換言之，點對稱圖形教材與教學活動設計上，仍有相當大的發揮空間。
貳、增進課文理解的技巧
Armbruster認為一篇能增進讀者閱讀的文章應該是：(1)能幫助讀者選擇重要訊息；(2)能幫助讀者組織重要訊息；(3)能幫助讀者統整重要訊息；(4)提供正確而不相矛盾訊息（邱上真，民79，p.22）。Wang，Haertel & Walberg發現影響學生學習228個項目中，後設認知(meta cognition)是最主要因素，其次才是班級管理、教學品質、師生互動、教室氣氛以及同儕團體的影響。Brown的研究指出，有效率的學習者閱讀時會：(1)澄清閱讀目的；(2)辨認文章重點；(3)將注意力放在重點上；(4)監控閱讀理解；(5)複習及自我省思等（楊宗仁，民80）。因此，如何引導老師及學生即時掌握學習內容的目標與重點，應也是教材內容與教學活動設計上的重點。Mayer指出增進課文理解的技巧（林清山譯，民79，p.130）如下：
一、具體的前導組織
Mayer發現前導組體(advance organizer)將導致強而有力的學習遷移效果，而前導組體的設計上，事先呈現具體類比，對下一篇文章的學習與記憶有顯著的促進效果（林清山譯，民79，p.137），West & Fensham指出前導組體對背景知識分數較低者而言，能顯著提高學習效果；但對於那些分數較高者則不能（林清山譯，民79，p.139）。
二、文章組織的標示
標示(signaling)技巧是指在文章內安置一些非內容的文字，用以強調文章的概念結構和組織。Meyer的研究指出，標示並不能幫助優秀的學生閱讀，但對一般、較差或低成就的學生卻有正面的效果（林清山譯，民79，p.145）。Loman & Mayer指出「標示」能加強與概念有關的訊息之記憶保持，亦即「標示」能引導閱讀者注意到概念性的訊息。鄭昭明（民75）指出在一組學生給標題，另一組唸完短文後再給標題，最後一組則是先給標題再唸短文，結果顯示：事先提供標題的那一組記住較多的內容，另外兩組則沒有區別。亦即學習者雖已具備先備知識，如果事先未示之標題，仍然無助於理解學習，而閱讀前即獲知標題的受試者，其理解和記憶程度優於事後方知標題者。
三、附加問題
附加問題(adjunct question)可以提醒讀者注意重要問題，具有高達0.96之效果（Walberget，1991），其功能包括「順向」和「逆向」效果兩種。前者提醒讀者閱讀其下面文章時會特別注意同類的消息；後者可以使讀者有機會再回頭看文章中的特定部份，使看到學習材料的次數增加。換言之，順向效果可以使我們對問題中所提到的訊息形式做選擇性的注意，而逆向效果則使我們對問題中所提到的特定訊息的注意總量增加（林清山譯，民79，p.150）。Boker的研究指出如果教學的目的是要學生記得特定的訊息，則附加問題不論放在文章前或文章後都有效（林清山譯，民79，p.152）。Rickards & Divesta認為有意義的問題，使讀者將閱讀材料組織成一個綱要的結構，而不是記憶一連串的事實（林清山譯，民79，p.154）。
綜上所述，增進讀者閱讀的文章是：能幫助讀者選擇、組織、統整重要訊息及提供正確而不相矛盾訊息，此外，具體的前導組織、文章組織的標示以及附加問題有助於增進課文理解。因此，課程設計之際，除了內容本質的掌握外，教學活動設計中，融合有效的教學法下，應更有助於「教」與「學」。提示、參與、改正回饋、增強等四項教學心理要素，目前雖不流行，但仍為非常有效的方法；教學安排上，具體的教材、引導式發現活動、歸納式的呈現順序，可以使學習者在學習中變得較能認知涉入；教材編排上，能幫助讀者選擇、組織、統整與提供正確而不相矛盾訊息，以及具體的前導組織、文章組織的標示、附加問題等有助於增進課文理解。
以此觀之，我國的教科書中，以一平面的左右兩側對折後重合定義線對稱圖形，就教材的銜接而言，是否以半平面旋轉180°重合，定義點對稱圖形更加理想？概念學習上，未見教材與教學活動設計中，針對新學習的概念，施以形成性評量，若能於教材設計之時，能融合形成性評量與提供對策，不但提供練習的機會，是否也更能幫助老師及時掌握學生的錯誤概念，並讓小朋友獲得即時之回饋與增強？點對稱圖形概念介紹之際，是否應充份提供機會讓小朋友由發現及歸納中洞察圖形及其性質，讓小朋友更能認知涉入？教材呈現上，若能以對照方式並穿插標題與附加問題，是否讓小朋友更容易掌握及反芻所要學的內容？
第三章 實證研究之設計與實施
本研究第二章已就相關文獻以及教學現況，加以探討，並比對現有之教材與活動設計，獲得概括之了解。本研究植基於此種瞭解之上，設計「點對稱圖形」教材與活動設計。本實徵研究之進行，旨在探討增進國小點對稱圖形概念理解度之可能性，瞭解筆者設計的教材與教學活動設計是否具有更好的學習效果。如上所述，本研究的活動設計參酌相關文獻及教學實況設計而成，應可獲得某種程度之效果，然尚待實徵研究予以證明。茲將本研究的研究問題與假設、研究方法（實驗設計、研究架構、變項、研究樣本的選取、研究工具的選取與編制、實施程序、資料的處理）分述如下：
壹、研究問題與假設
一、研究問題
根據第一章所述之本研究的目的，以及第二章之理論基礎與相關研究文獻之探討，本研究擬探討下列各項問題：
1.不同的點對稱圖形教材與教學活動設計，對兒童點、線對稱圖形概念是否有影響？
2.不同的點對稱圖形教材與教學活動設計，對兒童點、線對稱圖形的學習保留是否有影響？
3.不同的點對稱圖形教材與教學活動設計，對班後段兒童點、線對稱圖形的學習是否有影響？
4.不同的點對稱圖形教材和教學活動設計與智商，對兒童點、線對稱圖形的學習有否交互作用？
5.不同的點對稱圖形教材和教學活動設計與性別，對兒童點．線對稱圖形的學習有否交互作用？
二、研究假設
針對以上研究問題的敘述，本研究提出下列假設加以考驗：
假設１：接受新設計點對稱圖形之教材的學生與接受現行教材的學生在「線對稱圖形概念學習效果評量」後測的得分上沒有顯著差異，在「點對稱圖形概念學習效果評量」後測的得分上有顯著差異。
假設２：接受新設計點對稱圖形之教材的學生與接受現行教材的學生在「點．線對稱圖形概念學習效果評量」延後測的得分上有顯著差異。
假設３：接受新設計點對稱圖形之教材的班後段學生，在接受補救教學後，在「點．線對稱圖形概念學習效果評量」的得分上有顯著差異。
假設４：接受新設計點對稱圖形之教材的學生與接受現行教材的學生在點．線對稱圖形概念的學習效果與智商別無交互作用，但不同智商別在點對稱圖形概念的學習效果與組別間有顯著差異。
假設５：接受新設計點對稱圖形之教材的學生與接受現行教材的學生在點．線對稱圖形概念的學習效果與性別無交互作用，但不同性別在點對稱圖形概念的學習效果與組別間有顯著差異。
三、名詞的操作型定義
１．新設計點對稱圖形之教材：
指本實徵研究中，實驗教材組所用的筆者設計的教材、教學活動設計（參見附錄6､附錄7）。
２．現行教材：
指本實徵研究中，現行教材組所用的我國現行國小第九冊的數學教材與教學指引（國立編譯館，民78ab）第十二章「正多邊形與對稱」中有關線對稱及點對稱部份之教材、教學活動設計。
３．學習效果：
指學生在「點、線對稱圖形概念學習效果評量」上作答的反應。
４．班後段學生：
指文聖國小除了實驗組與控制組外的五個班級，在「點、線對稱圖形概念學習效果評量」延後測中，班級得分的最後七名學生。
５．不同智商別：
本實徵研究中以高於平均數半個標準差為高智商組，以低於平均數半個標準差為低智商組。
貳、研究方法
本研究首先調查一般的學習狀況下，小朋友學習點、線對稱圖形的情形，同時進行教學錄影，瞭解不同類型的老師如何闡釋現有的教材，並探討文獻，作為教材內容與教學活動設計之參考。次年進行實徵研究，瞭解筆者設計之「點對稱圖形」教材與教學活動的可行性及其對班後段學習影響之探討。茲將實徵研究之研究設計、研究對象、研究工具等分別說明如下：
一、研究設計與架構
（一）研究一：不同教材組教學效果比較
本研究採實地實驗法(field experiment)，係因該研究法在真實教育情境進行，所得的教育結果較能用來解決教育情境中實際發生的問題，此外，為瞭解不同的教材與教學活動設計對兒童對稱圖形概念之影響及學習效果的差異，並基於不妨礙日常教學活動的前提下，採準實驗法，雖無隨機分派受試者，但兩組受試者的智力平均商數並無差異(詳述如後)，以排除受試者間差異所引起的偏誤，其型式為不相等實驗組控制組前後測實驗設計，不打破原來之班級，從合乎條件的
六個班級中，隨機抽取三班為實驗教材組，另三班為現行教材組。本實驗設計模式如表1：
表1︰不相等實驗組控制組前後測實驗設計
組 別 前 測 實驗處理 後 測
實驗組 Ｙ１ Ｘ Ｙ２
控制組 Ｙ３ Ｙ４
本實徵研究之架構如圖4：
控 制 變 項 自 變 項 依 變 項
1.智力 組別 1.點、線對稱
2.數學前測成績. 實驗教材組 圖形學習效
3.實驗學校所在區. 現行教材組 果
4.家長社經地位 2.學習意願
5.教學經驗
6.教學期間
7.教學節數;
圖4：實徵研究架構圖
甲、自變項
《組別》
實驗教材組：教師根據筆者所編之教學活動設計進行教學。
現行教材組：教師根據現行之教材及教學活動設計進行教學。
乙、控制變項
（甲）智力：根據四年級所測得的S.P.M.的得分，實驗教材組的智力平均數為40.74，現行教材組的智力平均數為39.73，兩組智力平均數差異ｔ檢定值為1.06，因ｔ.95(∞) =1.671，顯示兩組的智力無差異，兩組可視為相等。
（乙）數學前測成績：以學童在筆者自編之「對稱圖形概念學習效果評量」的得分來表示。
（丙）實驗學校所在區：兩組學童均在同一學校，避免學區之差異。
（丁）家長社經地位：學區以小販、工人為主，較無暇兼顧小朋友課業，避免學習效果的變異來自家長於課外之輔導。
（戊）教學經驗：以初次教點對稱圖形的教師為對象，避免教師教點對稱圖形經驗的影響。
（己）教學期間：在正式教對稱圖形單元的前一個半月進行，一來時值第二次月考前一週，可防止額外之教學，二來避免學習效果來自於補習班之教學。
（庚）教學告知時間：於實驗教學的前三天，參加實驗教學的老師方知被選擔任實驗教學，避免教師花過多額外的教學準備時間。
（辛）教材配發時間：於告知被擔任實驗教學時（即實驗教學前三天）方才配發筆者自編之教材與活動設計，避免教師過度研討教材。
（壬）教學節數：兩組均在五節課內完成對稱圖形的教學。
丙、依變項：
（甲）點、線對稱圖形的學習效果：指學童在筆者自編之「對稱圖概念學習效果評量」之各項子測驗得分。
（乙）學習意願：指小朋友在意見調查表中，所陳述的意見。
（二）研究二：班後段補救教學前後差異效果比較
本研究採單組實驗前後測設計，本實驗設計模式如下：
O
X O'
ｏ：前測之樣本 ｘ：實驗處理 ｏ'：後測之樣本
甲、自變項
筆者設計之「點對稱圖形」教材與教學活動。
乙、依變項：
點、線對稱圖形的學習效果：指學童在筆者自編之「對稱圖概念學習效果評量」之各項子測驗得分。
二、研究對象
（一）研究一：不同教材組教學效果比較
基於教師教學經驗影響學生學習及家長於課外之輔導將影響學生學習之考量，因此學校的選擇，則以學校中初次教點對稱圖形教師人數的多寡，以及學生家長兼顧小朋友課業情形為考量之基準。由於一般學校的五、六年級課程，幾乎都由較資深的老師擔任，所幸的是剛成立七年的文聖國小，恰有六位老師符合條件，而且該校之學區以小販、工人為主，因此在學校熱心的協助下，以該六位教師所擔任的班級的學生為實徵研究之對象，並隨機選取其中三班為實驗教材組，另三班為現行教材組，樣本總計265名。
（二）研究二：班後段補救教學前後差異效果比較
由於筆者想暸解筆者設計之「點對稱圖形」教材與教學活動，對班後段學習影響之探討。因此以文聖國小未參加實驗的五年級另六個班級中，每班的最後七名為對象集合成一班，由筆者親自教學。由於某一班因另有要務不克參加，某一班要求多一名，故得樣本計36名。
三、研究工具
本研究重點在於教材內容與活動的設計以及實徵研究兩大部份，教材內容與活動的設計部份，首先根據教學錄影、師生個別面談、兒童在團體測驗的作答情形，並參考文獻，編擬點對稱圖形的教材內容與教學活動設計。實徵研究部份的工具，以「對稱圖形概念學習效果評量卷」及意見調查表蒐集所需資料。現就教材與教學活動設計、對稱圖形概念學習效果評量卷以及相關意見調查表，分述如下：
（一）教學活動與教材內容之設計及教具之安排
相對於現行教材，筆者在概念導入的切入點、教學流程的設計、診斷性評量的穿插等方面，作如下之設計：
１．活動設計原則
綜合第二章的文獻探討及教學現況，筆者在教學活動與教材設計上的原則是：(1)引導式發現教學法(GuidedDiscovery)：安排發現之情境，讓學生經驗、察覺、釐清概念，進而瞭解；(2)關鍵性問語：智力之可變性繫於個體是否有機會學習運思性的知識（張春興，民77，p.26）。因此課文內容中，適時提出關鍵性問語，讓教師的教學法不再是「我說你聽」而是「我問你想、你說、你做」；(3)形成性評量：Leinhardt指出專家教師具有診斷和補救的能力，能夠了解學生成敗的原因；生手教師則往往依學生的表現結果來解釋其成就，而較少於教學進行中評估學習（孫志麟，民81，p.22），職是之故，教學活動過程中，施以形成性評量，視評量為教學的一部份，讓老師於課堂中能隨時掌握小朋友的學習情形，並予以補救。
因此，點對稱圖形教學活動之設計，首先提出點對稱圖形的線索或提示（提供發現的機會）；在小朋友仔細觀察、操作後，提出關鍵性問語，引導學生釐清點對稱圖形概念的屬性並發表點對稱圖形的特徵（誘發表現）；之後，予以點對稱圖形的定義（形成概念）；並施以形成性診斷評量，以能區分概念的正例與非例(non-examples)方式佈題，讓兒童對主要問題做反應（回饋治療），幫助學生將所學的概念達到理解的認知層次；並安排「畫畫看」、「排排看」要求小朋友表現相關技能（確認概念），同時以對丈佈題方式呈現點對稱圖形與線對稱圖形，提供線、點對稱圖形的比較機會，以助於點、線對稱圖形異同及其本質的掌握；最後施以總結性評量，增進保留與遷移的刺激。
２．教材內容之安排
筆者在概念的導入及內容順序上的安排如下:
(1)導入方式
教學過程中，經由診斷評量結果，施以事後的補救，固然有其意義可言，然而從學習者的角度，第一印象(primaryimage)烙印最深，因此在開始教新概念時，若先考慮從哪一個角度切入，對影響學習效果的變異量而言，更具意義，因此，如何切入亦是設計上的重點。現有教材內容中，以整面圖形旋轉180°重合之方式導入，筆者設計的點對稱圖形教材，則以半面圖形旋轉移動方式切入，一來可承接線對稱圖形的半面圖形翻轉之經驗，二來俾於由一半複製出另一半的點對稱圖形繪製之瞭解。此外，筆者以簡單線條構成的點對稱圖形與線對稱圖形呈現，讓學生容易地經由實際操作之體驗，發現點對稱圖形的概念特徵。
(2)活動順序
相對於現有教材於介紹點對稱圖形概念後，即請小朋友找出對稱中心之方式，筆者以為須先瞭解點對稱圖形之性質，方易於發現點對稱圖形之對稱中心。
３．版面之設計
(1)課文
甲．標題
標題能引導閱讀者注意到概念性的訊息，日本國小數學科教科書（前原昭二，1991）的內容中，無論是單元的名稱或是活動前的標題，能讓讀者連想到活動的內容與重點，我國國小數學教科書的單元名稱亦是如，然而課文的活動內容前，未見標題，因此，筆者於每一主要活動前，冠以標題，讓讀者於活動前，即能獲知活動的內容與重點。
乙．圖案
為了讓教師及小朋友可以一眼望知活動進行的方式，筆者於每一主要活動前，穿插包括主要問話、動手做、動腦想、說說看等圖案，讓小朋友及老師很快能有所依循。
(2)教學指引
甲．教學活動目標的提示
明確的目標提醒老師們確認和注意新學習材料的重要層面，將能量投入目標有關之活動，因而筆者設計的教學活動指引中（參見附錄7），在每一活動的左側，明示活動目標與精神及提醒何時揭示教具，讓老師能即時掌握活動目標與精神及適時揭示教具。
乙．錯誤與困難訊息的提示以及對策的提供
筆者根據第一年的教室觀察、訪談以及小朋友答題的錯誤類型等，於教學活動指引中的每一活動右側提示著小朋友可能遭遇到的困難、錯誤狀況，讓老師能事前的掌握與防範，此外，尚包括曾試教過而且可用之對策，以為老師教學之參考。
４．教具之安排
1960年代數學課程的改革，強調結構取向的方法，結構取向教學法在於將概念轉換成具體模式，讓它透過許多其它的事物與結構產生有意義的關連，不再只強調訓練與練習。然而對於工作負擔頗重的教師而言，教學具的製作應朝易懂易做的方向，因而筆者設計的教具的特點有：
易懂且易做介紹點對稱圖形意義所用的教具，不但容易製作，且易於操作，亦可於課後置於黑板，讓小朋友當學具使用。
(2) 整體性地掌握
在量取鈍角的測量題中，有的學生將量角器讀錯邊（例如將120度，讀成60度）（師大科教中心譯，民81，P.8）；或經由對稱點、邊的找出，繪製點對稱圖形另一半的描點處理方式，卻不知畫出的圖形是線對稱圖形（參見附錄3），相對於現行教材以如此般偏向解析描點處理過程的方式，筆者提供成對圖卡，讓小朋友透過拼排的活動，更直觀、整體性地掌握對稱圖形。此外，由於採分組比賽之方式，一來，小朋友得以更直觀、整體`性地掌握對稱圖形，二來，小朋友更樂於參與（參見附錄10）。
５．設計之特色
綜合觀之，相較於現行的方式，筆者設計之課文教材與教學活動設計有如下之特色：
(1)數學結構方面
採半平面旋轉介紹點對稱圖形的切入方式，俾於小朋友相等變換(congruenttransformation)的體會。
(2)教材銜接方面
採用比較型的導進組體(comparative advance organizer)提供即將進行之學習一概念性的架構，亦即以小朋友擁有以兩半平面翻轉介紹線對稱圖形的舊有經驗的考量，不採現有以全平面旋轉介紹點對稱圖形的方式，改以半平面旋轉方式介紹點對稱圖形，為新學習的點對稱圖形提供一連接的機轉。
(3)教學活動方面
診斷性評量工具的提供
藉由診斷性評量工具的提供，讓兒童對主要問題做反應，這些問題可以確認學習的達成與否，進而提供正確回饋的機會。
適時的提問
筆者於活動後，穿插關鍵問語，除了讓教師的教學法不再是「我說你聽」而是「我問你想、你說、你做」外，並提醒讀者注意問題的重點，以釐清概念，使讀者將閱讀材料組織成一個綱要的結構，而不是記憶一連串的事實。
(4)教材內容呈現方面
【對丈佈題】
點對稱圖形與線對稱圖形的同時呈現，提供線、點對稱圖形的比較機會，以助於點、線對稱圖形異同及其本質的掌握。
(5)版面設計方面
課文
活動冠之以標題，得以知活動內容；圖案的穿插，得以知活動進行的方式。
教學活動指引
教學活動目標與精神以及提醒何時揭示教具，就在每一活動左側提示，讓老師能即時掌握活動目標及適時揭示教具；此外，小朋友的錯誤與困難訊息的提示與對策的提供，同時呈現於每一活動的右側，讓老師能事前針對小朋友的錯誤與困難加以掌握與防範，而且迅速獲知可能的對策。
(6)教具方面
既是教具又是學具，易懂且易做
筆者設計介紹點對稱圖形意義所用的教具，不但容易製作，且易於操作，亦可於課後置於黑板，讓小朋友當學具使用。
寓教於樂
相對於現行教材中，偏向解析描點處理過程的方式，筆者提供成對圖卡，讓小朋友透過拼排的活動，更直觀、整體性地掌握對稱圖形，小朋友亦樂於參與。
（二）評量工具的編製
本實徵研究之進行，旨在探討增進國小點對稱圖形概念理解度之可能性，為瞭解筆者設計的教材與教學活動設計是否具有更好的學習效果，以及筆者設計的教材與教學活動設計，是否能為學生接受，筆者採用自編之「對稱圖形概念學習效果評量卷」及相關意見調查表為研究工具，茲說明如下：
１．對稱圖形概念學習效果評量卷
（１）測驗內容
由筆者自編的「對稱圖形概念學習效果評量卷」（如附錄8），其目的在於了解學生對於點、線對稱圖形概念的學習情形，亦即「學到什麼」、「學了多少」。本測驗工具的產生，首先分析課程的教材內容及其行為目標，作為編製試題的依據，並參考Merrill Mathematics（Abell & Howell，1985）、新算數（前原昭二，1991）等編製而成，並根據預試結果，將文詞及圖示不妥之處重新改寫潤飾。測驗共十題，內容包括：點、線對稱圖形的辨識；對稱中心、對稱軸的指認；對稱邊、點的指出；點、線對稱圖形另一半的繪製等。
（２）工具的信度與效度
本測驗的目的在於掌握小朋友對於概念的瞭解情形，因此採效標參照，故不論及難度與鑑別度，而著重於效度與信度。
甲．信度
本研究以雙園國小256名國小兒童為樣本，求得Cronbachα係數為.868，顯示本測驗之內部一致性高。
乙．效度
（甲）內容效度
測驗的效度旨在考驗其能否測量所欲測量的行為特質，本測驗工具，係筆者根據教學目標與內容編寫而成，經學者專家、國小優秀教師確認具有內容效度。
（乙）同時效度
本測驗卷同時以學生該學期數學成績為外在效標，求得相關係數為.665達到.001的顯著水準，顯示本測驗具有良好的同時效度。由以上的信度與效度分析結果，可知本測量工具的效度與信度符合需要。
２．相關意見調查表
本問卷目的在於瞭解筆者設計的教材與教學活動設計，是否能被學生接受，在教學實驗後，筆者提出「如果你可以決定教材的刪改，你會建議將點對稱圖形的單元刪除或保留？」開放性的問題，讓小朋友寫下他們的看法。
四、實施程序
本研究之過程如表2，有關實徵研究部份之過程，敘說於後：
（一）工作進度
項 目 | 80 9 | 80 10 | 80 11 | 80 12 | 81 1 | 81 2 | 81 3 | 81 4 | 81 5 | 81 6 | 81 7 | 81 8 | 81 9 | 81 10 | 81 11 | 81 12 | 82 1 | 82 2 | 82 3 |
1.蒐集資料 | * | * | * | ||||||||||||||||
2.編寫評量工具 | * | ||||||||||||||||||
3.後測 | * | * | |||||||||||||||||
4.教學錄影 | * | ||||||||||||||||||
5.資料輸入電腦(一) | * | * | |||||||||||||||||
6.統計資料分析(一) | * | * | |||||||||||||||||
7.檢討現行教材 | * | * | |||||||||||||||||
8.編寫教材 | * | * | * | ||||||||||||||||
9.編寫教學活動設計 | * | * | * | * | |||||||||||||||
10.小型試教 | * | * | * | ||||||||||||||||
11.實驗教學與後測 | * | ||||||||||||||||||
12.資料輸入電腦(二) | * | * | |||||||||||||||||
13.統計資料分析(二) | * | ||||||||||||||||||
14.延後測 | * | ||||||||||||||||||
15.資料輸入電腦(三) | * | ||||||||||||||||||
16.資料統計分析(三) | * | * | * |
（二）實徵研究過程
甲、研究一：不同教材組教學效果比較
本教學實徵研究，於81年11月上旬電話洽商實驗學校，得到文聖國小應允後，同月14日(週六)前往該校，面見符合條件的實驗教學教師，說明實驗目的，並隨機分派其中三班為實驗班，另三班為控制班，方才將筆者自編之學生用教材、教學活動設計與教(學)具，交給實驗班教師，六班教師於隔週(16日～21日)即進行實驗教學，教學前施以前測，並於教學後予以後測，十週後再舉行延後測等。
乙、研究二：班後段補救教學前後差異效果比較
本研究商請前述文聖國小五年級非實驗的六個班級，亦接受「對稱圖形概念學習效果評量卷」的測驗，請該六班老師，挑取班級表現較差的七名學生集合於一班，由筆者根據「研究一」中筆者所設計的教材與教學活動設計，親自進行兩節課的補救教學，教學後施以後測。
五、資料處理及統計方法
本研究依研究目的編製研究工具及提出研究假設。在編製研究工具過程中，採Reliability程式，求工具內部一致性係數；以Correlation程式求同時效度。至於探討問題的統計處理如下：
１．以獨立樣本單因子多變項變異數分析(MANOVA)的顯著性考驗分析不同教材組在對稱圖形的不同子目標下表現的差異情形，當差異達到顯著水準，則以單因子變異數進一步分析其差異。
２．以二因子獨立樣本卡方(χ2)顯著性考驗分析不同教材組學童，達到精熟人數百分比之差異情形。
３．以相依樣本多變項變異數分析的顯著性考驗分析，探討後測與延後測，以及補救教學前後對稱圖形學習之變化情形。
４．以卡方(χ2)改變顯著性考驗分析班後段補救教學前後，精熟人數百分比之改變情形。
５．以混合設計二因子多變項變異數分析，考驗組間、智商間、概念能力間的差異及交互作用現象。
６．以混合設計二因子多變項變異數分析，考驗組間、性別間、概念能力間的差異及交互作用現象。
上述統計以SPSS/PC﹢套裝軟體處理。
本研究旨在探討筆者設計之教材與教學活動設計對於小朋友點對稱圖形概念的可教性及其效果，根據此一目的以及第三章的實驗設計進行實徵研究，並將所蒐集的有關資料，進行統計分析。茲將本研究所得的結果，分述如下：
壹、研究結果
一、實驗教材組與現行教材組學習效果之比較
為瞭解實驗教材組與現行教材組在對稱圖形概念學習上的效果，首先將各組受試者的前測所得分數統計其平均數、標準差並進行Ｔ考驗，其結果如表3：
組別 | 線 對 稱 圖 形 | 點 對 稱 圖 形 | ||||
平均數 | 標準差 | Ｔ值 | 平均數 | 標準差 | Ｔ值 | |
實驗教材組 (N=141) 現行教材組 (N=139) | 8.65 8.82 | 3.19 3.49 | .68 (N.S.) | 6.59 6.73 | 1.73 1.69 | .50 (N.S.) |
由可以發現兩組在線對稱圖形與點對稱圖形的平均數差異的ｔ值分別為.68與.50，因ｔ.975(∞) =1.96、ｔ.025(∞) =-1.96顯示兩組在教學前，兩組並無差異。教學後施以後測，結果如圖5及圖6:
%
%
【線 對
稱 圖 形】
【點 對
稱 圖 形】
%
%
【線 對
稱 圖 形】
6︰現行教材下的學生前後測通過率比較圖【點 對
稱 圖 形】
表
4︰實驗教材組與現行教材組線對稱圖形後測的平均數與標準差
組別 統計 依變項 | 實驗教材組(N=133) | 現行教材組(N=131) | ||
平均數 | 標準差 | 平均數 | 標準差 | |
辨圖 | 7.18 | 1.14 | 6.89 | 1.22 |
對稱軸 | 5.07 | 1.07 | 4.89 | 0.98 |
對稱點邊 | 3.39 | 1.15 | 3.23 | 1.16 |
製圖 | 3.53 | 0.95 | 3.45 | 1.22 |
變異數差異考驗(T2考驗)摘要表
────────────────────────────
Value Approx.F Hypoth.DF Error DF Sig.ofF
────────────────────────────
.01625 1.05208 4.00 259.00 .381
────────────────────────────
由表4及表5可以看出兩組學生在線對稱圖形方面，並無顯著差異。再將點對稱圖形方面的平均數、標準差以及MANOVA分析摘要分別列於表6､表7：
統計 依變項 | 實驗教材組(N=133) | 現行教材組(N=131) | ||
平均數 | 標準差 | 平均數 | 標準差 | |
辨 圖 | 6.73 | 1.45 | 5.34 | 1.97 |
對稱中心 | 5.55 | 1.63 | 4.88 | 1.16 |
對稱點邊 | 3.14 | 1.16 | 1.66 | 1.41 |
製 圖 | 2.28 | 1.47 | 1.58 | 1.49 |
表7：實驗教材組與現行教材組點對稱圖形後測多變項變異數差異考驗(T2考驗）摘要表
────────────────────────────
Value Approx.F Hypoth.DF Error DF Sig.ofF
────────────────────────────
.36808 23.92516 4.00 260.00 .000
────────────────────────────
由表6及表7的多變項變異數分析結果，T2值為.368，達到.000的顯著差異水準，顯示不同教材組在點對稱圖形方面的表現有顯著差異。因此，進行單因子變異數分析，列於表8：
表8：實驗教材組與現行教材組點對稱圖形後測單因子變異數差異考驗摘要表
（DF=1,263)
變異來源SSbSSwMSbMSwF Sig. Of F
辨 圖 127.58626 785.87034 127.58626 2.98810 42.69812 .000
對稱軸 30.12553 525.18013 30.12553 1.99688 15.08628 .000
對稱點邊 144.63869 439.52734 144.63869 1.67121 86.54746 .000
製圖 32.08538 574.69198 32.08538 2.18514 14.68344 .000
由表8的單因子變異數分析的結果，可以得知，兩組在點對稱圖形的每一個子目標的表現上，都達到.000的顯著水準。進一步以塊狀圖將兩組離散情形呈現於圖7及圖8：
X O5 O4 E2 E 22 * 中位值 - 25%,75% X 高/低 O偏離值 E極端值
9 X X O2 實驗教材組 O2 現行教材組 O2 X O O2 E 22 * 中位值 - 25%,75% X 高/低 O偏離值 E極端值
4 * X X 實驗教材組 O2 現行教材組 O2 X
*
* *
由圖7﹑圖8可以看出實驗教材組在點、線對稱圖形後測的中位數值高於現行教材組，而且較為集中。進一步比較兩組後測通過情形列於圖9：
%
%
%
由圖9顯示實驗教材組的通過率高於現行教材組，再進行χ2考驗列於表9及表10：
組別 表現 數值 | 通過 | 不通過 | χ2 | 自由度 | |
實驗教材組 (N=134) | 人 數 | 109 | 25 | 2.46 | 1 |
百分數 | 81.3% | 18.7% | |||
現行教材組 (N=131) | 人 數 | 96 | 35 | ||
百分數 | 73.3% | 26.7% | |||
N.S.
表現 數值 組別 | 通過 | 不通過 | χ2 | 自由度 | |
實驗教材組 (N=134) | 人 數 | 98 | 36 | 37.11*** | 1 |
百分數 | 73.1% | 26.9% | |||
現行教材組 (N=131) | 人 數 | 47 | 84 | ||
百分數 | 35.9% | 64.1% | |||
*** p<.001
由表9､表10，可以看出兩組的通過率，在線對稱圖形方面並沒有達到顯著差異，點對稱圖形方面則達到.001的顯著差異水準，根據Giaconia & Hedges(1987)所提公式，可推算出實驗教材組的表現，約高於現行教材組93個百分點。
二、實驗教材組與現行教材組學習保留情形之比較
為瞭解實驗教材組與現行教材組在點、線對稱圖形概念學習上的保留情形，對各組受試者在「對稱圖形概念學習效果評量」的延後測所得分數的差值進行變異數分析。首先比較兩組後測通過情形，列於圖10︰
由圖10可以得知在教學後十週，實驗教材組的通過率仍高於現行教材組，進一步以獨立樣本單因子多變項變異數分析的顯著性分別考驗點、線對稱圖形的情形，茲將各組受試者在線對稱圖形延後測所得分數統計其平均數、標準差以及MANOVA分析摘要分別列於表11及表12：
表11︰實驗教材組與現行教材組線對稱圖形延後測平均數與標準差
統計 依變項 | 實驗教材組(N=139) | 現行教材組(N=138) | ||
平均數 | 標準差 | 平均數 | 標準差 | |
辨圖 | 7.19 | 1.27 | 6.75 | 1.46 |
對稱軸 | 5.27 | 1.00 | 4.90 | 0.61 |
對稱點邊 | 3.45 | 1.07 | 2.90 | 1.46 |
製圖 | 3.22 | 1.32 | 2.91 | 1.53 |
表12：實驗教材組與現行教材組線對稱圖形延後測多變項變異數差異考驗(T2考驗)摘要表
────────────────────────────
Value Approx.F Hypoth.DF Error DF Sig. Of F
────────────────────────────
.5720 3.88927 4.00 272 .004
────────────────────────────
由表11及表12的多變項變異數分析結果顯示T2值為.057，達到.004的顯著差異水準，由此可知，不同教材組在線對稱圖形的表現上有顯著差異。因此，進行單因子變異數分析，列於表13：
表13︰實驗教材組與現行教材組線對稱圖形延後測單因子變異數差異考驗摘要表
（DF=1,275）
變異來源 SSb SSw MSb MSw F Sig. Of F
辨
圖 13.00907
514.75988 13.00907 1.87185 6.94983 .009
對稱軸 9.35946 323.73079 9.35946 1.17720 7.95060 .005
對稱點邊 20.75728 450.92503 20.75728 1.63973 12.65898 .000
製 圖 6.34862 562.48170 6.34862 2.04539 3.10387 .079
由表13的單因子變異數分析的結果，可以得知，兩組在線對稱圖形的子目標的表現上，除後測（參見圖9）也有不錯表現的製圖一項外，其餘各項達到顯著水準(p<.01)。點對稱圖形方面，兩組的平均數與標準差列於表14，差異的顯著性則列於表15：
表14︰實驗教材組與現行教材組點對稱圖形延後測平均數與標準差
統計 依變項 | 實驗教材組(N=139) | 現行教材組(N=138) | ||
平均數 | 標準差 | 平均數 | 標準差 | |
辨圖 | 6.55 | 1.59 | 5.48 | 1.67 |
對稱中心 | 5.15 | 1.10 | 4.38 | 1.33 |
對稱點邊 | 2.95 | 1.32 | 1.91 | 1.55 |
製圖 | 2.27 | 1.46 | 1.53 | 1.47 |
表15 ﹕實驗教材組與現行教材組點對稱圖形延後測多變項變異數差異考驗(T2考驗)摘要表
────────────────────────────
Value Approx.F Hypoth.DF Error DF Sig. Of F
────────────────────────────
.18584 12.63730 4.00 272.00 .000
────────────────────────────
由表15的多變項變異數分析結果，T2值為.186，達.000的顯著差異水準，由此可知，不同教材組在點對稱圖形的表現上有顯著差異。進一步進行單因子變異數分析，其結果列於表16︰
表16︰實驗教材組與現行教材組點對稱圖形延後測單因子變異數差異考驗摘要表
(DF=1,275)
變
異來源
SSb SSw MSb MSw F Sig.ofF
辨 圖 80.12964 730.78011 80.12964 2.65738 30.15360 .000
對稱中心 40.74073 406.47227 40.74073 1.47808 27.56326 .000
對稱點邊 75.44688 568.69753 75.44688 2.06799 36.48317 .000
製圖 38.37266 587.99557 38.37266 2.13817 17.94653 .000
由表16的單因子變異數分析的結果，可以得知兩組在各項子目標的表現上達.000的顯著差異水準，由此可知，即使在教學後十週，不同教材組在點對稱圖形的每一個子目標的表現上，仍然有顯著差異。
三、班後段補救教學前後的學習效果比較
為瞭解筆者設計之教材與教學活動設計，是否也適用於班後段小朋友，將班後段在補救教學前後的「對稱圖形概念學習效果評量」所得分數的差值進行變異數分析。首先將受試者補救教學前後在對稱圖形所得分數加以統計後，將平均數、標準差分別列於表17以及表18，並將補較教學前後通過情形呈現於圖11：
統計 依變項 | 實驗教材組(N=36) | 現行教材組(N=36) | ||
平均數 | 標準差 | 平均數 | 標準差 | |
辨 圖 | 6.39 | 1.32 | 7.56 | 1.21 |
對稱軸 | 4.06 | 1.24 | 2.50 | 1.40 |
對稱點邊 | 2.50 | 1.40 | 3.69 | 0.82 |
製 圖 | 3.19 | 1.17 | 2.39 | 0.87 |
統計 依變項 | 實驗教材組(N=36) | 現行教材組(N=36) | ||
平均數 | 標準差 | 平均數 | 標準差 | |
辨圖 | 4.31 | 1.51 | 7.14 | 1.22 |
對稱中心 | 3.17 | 1.13 | 5.22 | 1.02 |
對稱點邊 | 1.00 | 1.04 | 2.86 | 1.18 |
製圖 | 0.53 | 0.88 | 2.08 | 1.48 |
%
%
%
表17､表18及圖11可以看出補救教學後小朋友無論在點對稱圖形圖形或是線對稱圖形的各項子目標的表現上都有令人滿意的結果，再以獨立樣本單因子多變項變異數分析的顯著性，分別考驗點、線對稱圖形的情形，將此結果列於表19︰
表19︰班後段補救教學前後線對稱圖形測驗多變項變異數差異考驗(T2考驗)摘要表
────────────────────────────
Value Approx.F Hypoth.DF Error DF Sig. Of F
────────────────────────────
.51162 6.75341 5.00 66.00 .000
────────────────────────────
表20︰班後段補救教學前後點對稱圖形測驗多變項變異數差異考驗(T2考驗)摘要表
────────────────────────────
Value Approx.F Hypoth.DF Error DF Sig. Of F
────────────────────────────
1.61898 21.37049 5.00 66.00 .000
────────────────────────────
由表19及表20的多變項變異數分析結果，T2值分別為.512及1.619，都達到.000的顯著差異水準，由此可知，補救教學前後，無論在點對稱圖形或是線對稱圖形的表現均有顯著差異。因此，再進行單因子變異數分析，其結果分別列於表21及表22：
表21︰班後段補救教學前後線對稱圖形測驗單因子變異數差異考驗摘要表
（DF=1,70）
變
異來源
SSb SSw MSb MSw F Sig.ofF
辨 圖 24.50000 111.44444 24.50000 1.59206 15.38883 .000
對稱軸 24.50000 110.11111 24.50000 1.57302 15.57518 .000
對稱點邊 25.68056 92.63889 25.68056 1.32341 19.40480 .000
製 圖 11.68056 74.19444 11.68056 1.05992 11.02022 .001
表22︰班後段補救教學前後點對稱圖形測驗單因子變異數差異考驗摘要表
（DF=1,70)
變異來源 SSb SSw MSb MSw F Sig.ofF
辨 圖 144.50000 131.94444 144.50000 1.88492 76.66105 .000
對稱軸 76.05556 81.22222 76.05556 1.16032 65.54720 .000
對稱點邊 62.34722 86.30556 62.34722 1.23294 50.56807 .000
製 圖 43.55556 103.72222 43.55556 1.48175 29.39475 .000
由表21､表22的單因子變異數分析的結果，可以得知補救教學前後，線對稱圖形及點對稱圖形的各項子目標的表現上，均達到小於.001的顯著差異水準，顯示補救教學前後，小朋友的表現上，有顯著差異。進一步將補救教學前後對稱圖形通過率列於表23及表24：
組別 統計 | 通 過 | 不通過 | χ2 | 自由度 | |
補救教學前 (N=36) | 人 數 | 14 | 22 | 19.511*** | 1 |
百分率 | 38.9% | 61.1% | |||
補救教學後 (N=36) | 人 數 | 32 | 4 | ||
百分率 | 88.9% | 11.1% | |||
***P<.OO1
組別 統計 | 通 過 | 不通過 | χ2 | 自由度 | |
補救教學前 (N=36) | 人 數 | 1 | 35 | 37.04*** | 1 |
百分率 | 2.8% | 97.2% | |||
補救教學後 (N=36) | 人 數 | 26 | 10 | ||
百分率 | 72.2% | 27.8% | |||
***P<.OO1
由表24可以得知補救教學後，小朋友線對稱圖形的通過率由38.9%提升至88.9%，點對稱圖形方面則由2.8%提升至72.2%。
四、不同智商別的學生在不同教材組別下得分之比較
為瞭解不同智商別在點、線對稱圖形的學習是否因教材組別的不同而有所差異，進行組別與智商別之混合設計二因子多變項變異數分析。茲將不同智商別的學生在不同教材組別下的點、線對稱圖形後測得分的平均數與標準差列在表25，將不同智商別的學生在不同教材組別下的MANOVA分析摘要表列在表26:
統計值 組別 別 | 智 商 別 | 高 智 商 組 | 低 智 商 組 | ||
平均數 | 標準差 | 平均數 | 標準差 | ||
線 對 稱 | 實驗教材組 | 19.78 | 2.95 | 17.97 | 3.61 |
現行教材組 | 19.93 | 2.38 | 16.60 | 3.16 | |
點 對 稱 | 實驗教材組 | 18.40 | 3.50 | 16.47 | 5.06 |
現行教材組 | 15.14 | 4.911 | 5.53 | 5.02 | |
表26︰不同智商別的學生在不同教材組別下MANOVA分析摘要表
──────────────────────────────
變異來源 SSCP DF Λ Sig.ofF
─
─────────────────────────────
1
57098.35 47238.86
1
.000
.8082***
861.161
1
361.54 396.30 .8318*** .000
組
別×智商別
29.17
33.76 39.06 1 .9819 .152
207
1157.87 3850.3186
──────────────────────────────
由表26可知，組別與智商別無交互效果存在，但組別與智商別間分別達很顯著之差異。茲再以單因子變異數分析，確定何者造成差異，並將結果列於表27及表28
(DF=1,210)
變
異來源SSb
SSw
MSb
MSw
F Sig.ofF
線對稱圖形 329.82273 1840.33815 329.82273 8.89052 37.09824 .000
點
對稱圖形
396.30222
3850.30818 396.30222 18.60052 21.30597 .000
(DF=1,210)
變
異來源
SSb SSw MSb MSw F
Sig.of F
線
對稱圖形
18.53581
1840.33815 18.5358 18.89052 2.08490 .150
點對稱圖形 861.15702 3850.30818 861.1570 218.60052 46.29746 .000
由表27可知不同智商組別下，無論點對稱圖形或是線對稱圖形皆達.000的顯著差異，再由表28可知不同組別下的差異係來自於點對稱圖形，達到.000的顯著差異水準。茲將高智商組在不同教材下點、線對稱圖形通過情形分別列於表29及表30：
組別 統計 | 通 過 | 不通過 | χ2 | 自由度 | |
實驗教材組 (N=67) | 人 數 | 59 | 8 | .00 | 1 |
百分率 | 88.1% | 11.9% | |||
現行教材組 (N=58) | 人 數 | 51 | 7 | ||
百分率 | 87.9% | 12.1% | |||
N.S.
組別 統計 | 通 過 | 不通過 | χ2 | 自由度 | |
實驗教材組 (N=67) | 人 數 | 53 | 14 | 9.28** | 1 |
百分率 | 79.1% | 20.9% | |||
現行教材組 (N=58) | 人 數 | 31 | 27 | ||
百分率 | 53.4% | 46.6% | |||
**P<.O1
由表29可知高智商組在不同教材下的線對稱圖形通過率並無顯著差異，但由表30可知在點對稱圖形的通過率，不同教材組達顯著差異(P<.01)，兩者通過率差25.7%。茲再將低智商組在不同教材下點、線對稱圖形通過情形列於表31､表32︰
組別 統計 | 通 過 | 不通過 | χ2 | 自由度 | |
實驗教材組 (N=36) | 人 數 | 24 | 12 | 2.96 | 1 |
百分率 | 66.7% | 33.3% | |||
現行教材組 (N=50) | 人 數 | 24 | 26 | ||
百分率 | 48.0% | 52.0% | |||
N.S.
組別 統計 | 通 過 | 不通過 | χ2 | 自由度 | |
實驗教材組 (N=36) | 人 數 | 20 | 16 | 14.91*** | 1 |
百分率 | 55.6% | 44.4% | |||
現行教材組 (N=50) | 人 數 | 8 | 42 | ||
百分率 | 16.0% | 84.4% | |||
***P<.001
由表31､表32可知低智商組在線對稱圖形的表現上並不因教材的不同，而有顯著差異；但在點對稱圖形方面，則因教材組別的不同，達到.001的顯著差異。而且現行教材下的通過率只有16.0%，相對於此實驗教材下的通過率達55.6%。
五、不同性別的學生在不同教材組別下得分之比較
為瞭解不同性別在點、線對稱圖形的學習是否因教材組別的不同而有所差異，進行組別與性別之混合設計二因子多變項變異數分析。茲將不同性別的學生在不同教材組別下的點、線對稱圖形後測得分的平均數與標準差列在表33，將不同性別的學生在不同教材組別下的MANOVA分析摘要表列在表34:
統計值 別 | 智 商 別 | 女 生 組 | 男 生 組 | ||
組別 | 平均數 | 標準差 | 平均數 | 標準差 | |
線 對 稱 | 實驗教材組 | 18.98 | 3.08 | 19.41 | 3.14 |
現行教材組 | 18.53 | 3.22 | 18.42 | 2.87 | |
點 對 稱 | 實驗教材組 | 17.66 | 4.43 | 17.74 | 3.26 |
現行教材組 | 13.82 | 4.39 | 13.11 | 4.99 | |
表34︰不同教材與不同性別在對稱圖形得分的MANOVA分析摘要表
──────────────────────────────
變異來源 SSCP DF Λ Sig.of F
─
.7879***1
.000
1
.9954
.553
1
.9970
.675 常數
1
93476.39
77386.56 64066.231
組別
1
194.10 1183.59
性別 
-3.93 6.69
組別×性別
6.01
7.81 10.14
260 誤差 
1713.18 4813.85
──────────────────────────────
由表34可知，組別與性別無交互效果存在，性別間也未達顯著差異，但在組間達很顯著之差異。進一步進行單因子變異數分析，確定何者造成差異，將結果列於表35︰
（DF=1,263）
變
異來源
SSb
SSw
MSb MSw
F Sig.of
F
線對稱圖形 31.83005 2471.30998 31.83005 9.50504 3.34876 .068
點對稱圖形1183.59109 4813.85348 1183.59109 18.51482 63.92668 .000
由表35可知不同教材組別在線對稱圖形的表現方面並無差異，但在點對稱圖形方面的表現上，達到.000的顯著差異水準。茲將男、女生組在不同教材組下的點對稱圖形通過情形列於表36及表37：
36︰不同教材下女生組的點對稱圖形通過率比較表表現 組別 統計值 | 通 過 | 不通過 | χ2 | 自由度 | |
實驗教材組 (N=134) | 人 數 | 48 | 17 | 17.11*** | 1 |
百分率 | 73.8% | 26.2% | |||
現行教材組 (N=131) | 人 數 | 25 | 41 | ||
百分率 | 37.9% | 62.1% | |||
***P<.001
組別 統計值 | 通 過 | 不通過 | χ2 | 自由度 | |
實驗教材組 (N=134) | 人 數 | 50 | 19 | 37.11*** | 1 |
百分率 | 72.5% | 27.5% | |||
現行教材組 (N=131) | 人 數 | 22 | 43 | ||
百分率 | 33.8% | 66.2% | |||
***P<.001
表36及表37可知不同性別在點對稱圖形的通過率，因教材的不同達顯著差異(P<.001)，女生組在現行教材下的通過率只有37.9%，但在實驗教材下的女生組通過率達73.8%；男生組方面在現行教材下的通過率只有33.8%，實驗教材下男生組的通過率則達72.5%。
貳、分析與討論
本研究所得之結果，業經詳述如前，茲將本研究結果，逐項討論如下：
一、實驗教材組與現行教材組學習效果之比較
實徵研究的假設一基於筆者所設計之點對稱圖形教材與教學活動設計，係根據實際教學現況、個別訪談、小朋友團體筆試作答結果以及文獻設計而成，當具有良好之學習結果，因此提出接受新設計點對稱圖形之教材的學生與接受現行教材的學生在「線對稱圖形概念學習效果評量」後測的得分上沒有顯著差異，在「點對稱圖形概念學習效果評量」後測的得分上有顯著差異的假設，由前節之圖5～圖9及表3～表10的統計結果，可以發現兩組學生在教學後，無論是線對稱圖形或是點對稱圖形，都有長足的進步，兩組在線對稱圖形方面，並無顯著差異，在點對稱圖形方面，T2值為.368，達到.000的顯著差異水準，顯示不同教材組在點對稱圖形方面的表現有顯著差異，由單因子變異數分析的結果，還可以得知，兩組在點對稱圖形的每一個子目標的表現上，都達到.000的顯著水準，而且實驗教材組在點、線對稱圖形後測的中位數值高於現行教材組，離散情形較為集中，並且實驗教材組的表現，約高於現行教材組93個百分點，因此研究假設一可以獲得支持。
二、實驗教材組與現行教材組學習保留情形之比較
實徵研究的假設二基於筆者設計之點對稱圖形教材與教學活動設計，根據文獻以對丈方式佈題，在點對稱圖形的教材中，同時呈現點、線對稱圖形，讓小朋友不時比對，澄清概念，並於形成性評量中，加強之，在剛教學後，由於印象較為鮮明，兩組不易呈現差異，教學後的十週，筆者對丈佈題的方式，理應更有助於學習之保留，因此提出接受新設計點對稱圖形之教材的學生與接受現行教材的學生在點、線對稱圖形概念學習後的十週，不但點對稱圖形方面仍有差異，線對稱圖形方面也有顯著差異的假設。由前節之圖10及表11～表16的統計結果，可以發現教學後十週，實驗教材組的通過率仍高於現行教材組，兩組在線對稱圖形的子目標的表現上，除製圖一項外，其餘各項達到顯著水準(p<.01)。點對稱圖形方面，不同教材組在每一個子目標的表現上，仍然有顯著差異(p<.001)，因此研究假設二可以獲得支持。
三、班後段補救教學前後的學習效果比較
基於教材良窳亦為影響小朋友學習之考量，筆者認為在現行教材下，即使被歸類為班後段小朋友，在理想教材的設計下亦可獲得某種程度的學習，筆者設計之教材與教學活動設計，係參酌相關文獻及教學實況設計而成，應不僅俾於一般小朋友的學習，理應亦可助於現行教材下的班後段小朋友學習，為避免變異來自教學者，由教材與教學活動設計的執筆人的筆者親自進行二小時的補救教學，當最能闡釋該份教材的精神要義，補救教學後，應可提升小朋友在對稱圖形的學習效果，因此實徵研究假設三認為接受新設計點對稱圖形之教材的班後段學生，在接受補救教學後，在點、線對稱圖形概念的學習效果上有顯著差異。由表17～表23的統計結果，可以發現小朋友補救教學後，無論在點對稱圖形或是線對稱圖形的各項子目標的表現上都有均有顯著之變化，小朋友線對稱圖形的通過率由38.9%提升至88.9%，點對稱圖形方面也由2.8%提升至72.2%，因此研究假設三可以獲得支持。
四、不同智商別的學生在不同教材組別下得分之比較
智力影響學業成就已是不可爭之事實，然而智力不能解釋學習成的總變異，因此筆者認為精心設計的教材與教學活動設計，應可讓高智商者，獲得更充份的發揮，亦可讓低智商者，獲得更有效之學習，因而，實徵研究的假設四認為接受新設計點對稱圖形之教材的學生與接受現行教材的學生在點、線對稱圖形概念的學習效果與智商別無交互作用，但不同智商別在點對稱圖形概念的學習效果與組別間有顯著差異。由表24～表30的統計結果，可以發現組別與智商別無交互效果存在，但組別與智商別間達很顯著之差異，不同智商組別下，無論點對稱圖形或是線對稱圖形皆達.000的顯著差異，不同組別下的差異係來自於點對稱圖形，達到.000的顯著差異水準。高智商組在不同教材下，在點對稱圖形的通過率，兩者通過率差25.7%。低智商組在現行教材下點對稱圖形的通過率只有16.0%，相對於此，實驗教材下的通過率達55.6%，因此研究假設四可以獲得支持。
五、不同性別的學生在不同教材組別下得分之比較
李默英（民72）指出，國內外的研究都發現，在小學階段，男女生的數學成就並無顯著差異，因此實徵研究的假設五認為接受新設計點對稱圖形之教材的學生與接受現行教材的學生在點、線對稱圖形概念的學習效果與性別無交互作用，但不同性別在點對稱圖形概念的學習效果與組別間有顯著差異。由前節表31～表35的統計結果，組別與性別無交互效果存在，性別間也未達顯著差異，但在組間達很顯著之差異。而不同組別下的差異係來自於點對稱圖形，達到.000的顯著差異水準。不同性別在點對稱圖形的通過率，因教材的不同達顯著差異(P<.001)，女生組在現行教材下的通過率只有37.9%，但在實驗教材下的女生組通過率達73.8%；男生組方面在現行教材下的通過率只有33.8%，實驗教材下男生組的通過率則達72.5%，因此研究假設五可以獲得支持。
第五章 研究發現、結論與建議
壹．研究發現
根據本研究之調查及實驗之結果，經過統計、分析與討論，得到下列幾項發現：
一、學習效果隨教材與教學活動設計的不同而有差異
實驗教材組與現行教材組在點對稱圖形方面的表現不但有顯著差異，而且在點對稱圖形的每一個子目標的表現上，均達到.000的顯著水準，並且實驗教材組在點、線對稱圖形後測的中位數值高於現行教材組，且較為集中，甚至實驗教材組的表現，約可高於現行教材組93個百分點。
二、學習保留效果隨教材與教學活動設計的不同而有差異
在教學後十週，實驗教材組的點對稱圖形的通過率高達七成以上，相對於此，現行教材組除對稱中心一項外，僅有五成左右的通過率。不同教材組在點對稱圖形的每一個子目標的表現上，仍然有顯著差異外，甚至兩組在線對稱圖形子目標的表現上，除後測也有不錯表現的製圖一項外，其餘各項也達到顯著水準(p<.01)。
三、不同的教材與教學活動設計有助於對班後段兒童的學習
補救教學後，即使是班後段的小朋友，無論在點對稱圖形或是線對稱圖形的各項子目標的表現上均有顯著進步之變化，小朋友線對稱圖形的通過率由38.9%提升至88.9%，點對稱圖形方面也由2.8%提升至72.2%。
四、相同智商別的學習效果隨教材與教學活動設計的不同而有差異
組別與智商別並無交互效果存在，但高智商組在現行教材下點對稱圖形的通過率為53.4%，實驗教材下的通過率則為79.1%，兩者通過率相差25.7%。低智商組在現行教材下點對稱圖形的通過率只有16.0%，相對於此，實驗教材下的通過率達55.6%，兩者相差高達39.6%。
五、相同性別的學習效果隨教材與教學活動設計的不同而有差異
組別與性別無交互效果存在，性別間也未達顯著差異，但在組間達很顯著之差異。相同性別在點對稱圖形的通過率，因教材的不同達顯著差異(P<.001)，女生組在現行教材下的通過率只有37.9%，但在實驗教材下的女生組通過率達73.8%；男生組方面在現行教材下的通過率只有33.8%，實驗教材下男生組的通過率則達72.5%。
貳．研究結論
國小課程標準草案中，建議將點對稱圖形由國小階段挪至國中，其理由在於該階段的小朋友不易學習點對稱圖形的教材，於是筆者走進教室，結果發現小朋友在「點對稱圖形」單元的學習狀況的確實不理想，然問題並不全然在於小朋友，教師本身無法根據現行教材掌握點對稱圖形概念，亦是問題所在，劉好（民78）在以教師為對象的有關旋轉概念的測試結果指出全體受試者的答對率僅為19.7﹪，而曾擔任該單元教學的高年級級任中，答對者也只有31.9﹪，佐證筆者的想法。倘若點對稱圖形的教材與活動設計上能有所突破，讓老師本身先能掌握點對稱圖形概念，是為要務之急，加之配合有效之教材與教學活動設計，應可增進小朋友對於點對稱圖形的理解情形，於是筆者親自到教室拍錄實際教學情況，根據教學錄影、師生個別面談、兒童在團體測驗的作答情形，並參考文獻，編擬點對稱圖形的教材內容與活動設計，然後進行實徵研究，以探討筆者設計之教材與活動設計能否增進小朋友對點對稱圖形的理解程度，茲根據前述本研究之發現，提出如下之結論：
一、點對稱圖形教材與教學活動設計仍有發揮之空間
教學心理學家重視教學進行的程序，Suchman指出如果不照這個次序，兒童或者產生錯誤的假定，或者使探討的效果事倍功半（鍾聖校，民79）。筆者所設計之教材與教學活動設計的特點有二：
（一）教師容易掌握：
教學活動的指引中，每個活動的左側，對照地列有該活動的目標、需用的教具，右側則提供小朋友可能發生的錯誤狀況與困難的狀況及其對策，讓老師即時掌握重點及因應之道；教材中活動冠之以標題，得以知活動內容；圖案的穿插，得以知活動進行的方式。
（二）小朋友容易了解、樂於參與：
以半面旋轉的導入方式，既可承接半面翻轉的線對稱圖形經驗，又可為複製另一半面點對稱圖形的註腳；於每個概念的學習過程中，獲得即時的回饋與修正；每人均有易得之學具，獲得由具體至抽象之經驗；運思性的對比活動安排與適時的關鍵問語，助於概念的釐清；活潑的的進行方式，引發參與活動的興趣。教學進行程序的安排上，首先提出點對稱圖形的線索或提示（提供發現的機會）；在小朋友仔細觀察、操作後，提出關鍵性問語，引導學生釐出點對稱圖形概念的屬性並發表點對稱圖形的特徵（誘發表現）；之後，予以點對稱圖形的定義（形成概念）；並施以形成性診斷評量，以能區分概念的正例與非例(non-examples)方式佈題，讓兒童對主要問題做反應（回饋治療），幫助學生將所學的概念達到理解的認知層次；並安排「畫畫看」、「排排看」要求小朋友表現相關技能（確認概念），同時以對丈佈題方式呈現點對稱圖形與線對稱圖形，提供線、點對稱圖形的比較機會，以助於點、線對稱圖形異同及其本質的掌握；最後施以總結性評量，增進保留與遷移的刺激。筆者透過上述之教材與教學活動設計與教學程序的安排，結果如本章前節研究發現所指，無論是一般的學習者，抑是高低智商者、不同的性別者，甚至是班後段者，皆能獲得更充份之發揮，筆者認為本教材與教學活動設計教學模式確有助於點對稱圖形的理解程度，換言之，現行教材的點對稱圖形教材與教學活動設計仍有發揮之空間。課程內容的增刪之際，不應只是由於學生的不會，輕言挪至國中階段，應先問教學的現況中，究竟出現了什麼樣的問題。
二、智商不等於學習成就，學習興趣端賴教材與教學活動設計，班後段仍有潛力
我們的小朋友在1992國際數理教育評鑑IAEP(楊榮祥，民81，P．20）的十三歲級數學組中，我國以平均答對率73%，和韓國並列第一；九歲級數學組則以答對率68%，與匈牙利並列第二，僅次於韓國（註：統計上無顯著差異），然而，低得分群(註：末10%)的十三歲級數學組名列倒數第四，對於數學興趣這一項，排名倒數第四。由以上的數據，欣慰的是我國優異的表現，但值得注意的是低分群的表現與興趣不高的現象。在我國班後段的小朋友是否被我們遺忘了，成績掛帥下，興趣是否也被學習成就抹煞了。
（一）智商不等於學習成就
執鞭者認為人有上智下愚，學習成就上自有高低之分，若是如此，教學效益何在（林宜臻，民74）。研究的結果顯示，若教學是基於「學習為概念上的轉變」的理念將有更好的學習效果（徐順益，民81），而知識量與結構的改變，將影響回憶的量和結構（許榮富，民81，pp.9）。筆者的研究中，高智商組在現行教材下點對稱圖形的通過率為53.4%，實驗教材下的通過率則為79.1%，兩者通過率相差25.7%；低智商組在現行教材下點對稱圖形的通過率只有16.0%，相對於此，實驗教材下的通過率達55.6%，兩者相差高達39.6%，由此可見，智商並不是學習成就的唯一指標，智商絕不等於學生學成就，教材與教學活動設計卻可以主導變異。
（二）學習興趣端賴教材與教學活動設計
學習成就與學習興趣不可得兼，是一般的刻板印象，筆者為暸解不同教材下，學生反應的情形，筆者提出「如果你可以決定教材的刪改，你會建議將點對稱圖形的教材刪除或保留呢？說說看你的理由！」，讓小朋友自由發揮，結果因教材的不同呈現兩極端的反應情形（參見附錄9），在筆者研究中，筆試表現不錯的實驗教材組，雖然也有小朋友覺得難，或基於該點對稱易學，恐教材過多，贊成刪除，但佔極少數，幾乎該組的小朋友都以該單元有趣、易懂，或是唯恐刪除後學弟妹無法享受點對稱教材的樂趣等相當正面的學習態度贊成保留；相對於此，現行教材組贊成保留者寥寥可數，其理由偏向於為獲得該方面知識，不得不學的態度，而以無趣、過難、不想學的理由，幾乎都贊成刪除；實驗教材組的老師基於這一單元是孩子與老師的最愛之一，主張保留（參見附錄9）。筆者要說的是，學習興趣並不一定與學習成就成正比（如IAEP的數據），但學習興趣端賴教材與教學活動設計，如果教學在於期待學生成功的學習與有興趣的學習，教材與教學活動的設計，成為一重要之課題。
（三）班後段仍有潛力
皮亞傑的認知發展理論，主要說明個體以其先天心理結構與後天環境交互作用而引發智力成長的歷程，準此以觀，良好的教育環境對兒童智力的發展具有促進作用（張春興，民77，p.13）。可是鐘狀的學習成就分佈，被視為當然，教育的有效性被忽視，事實上，班後段者仍然潛力無窮，由筆者對班後段學生施以補救教學的結果觀之，補救教學後，即使是班後段的小朋友，有顯著進步之變化，小朋友線對稱圖形的通過率由38.9%提升至88.9%，點對稱圖形方面也由2.8%提升至72.2%，甚至有幾位小朋友在補救教學後，得到近乎滿分，甚至是滿分的情形，令筆者側目，同時對於教育的可行性，有了更進一步的體認。因此，筆者要呼籲的是請在貼標籤前，應先問是否還有更適合這些小朋友的教材與教學活動設計？是否提供了不同管道的學習機會？
參．建議
一、教材與教學活動設計方面
本研究中筆者所設計之點對稱圖形教材與教學活動設計與現行教材與教學活動設計上，無論在概念導入的切入點、教學流程的設計、診斷性評量的穿插、版面的設計等方面，有其相異之處，根據本研究之發現，可以得知實驗教材與教學活動設計，不但可以提升93個百分點，而且有助於學習效果之保留，筆者所設計之教材與教學活動設計的安排方式，應可供教材與教學活動設計者之參考。
二、點對稱圖形教材的定位與時段安排方面
在數與計算教材比比皆是的情況下，刪掉尚具有調適性質的幾何教材，是否有當，值得探討。數學教育目標在於培養個人的邏輯觀念、綜合分析能力，讓一個人經由數學的訓練，在面臨真實人生的情境時，能以理性思考尋找解決問題的方法，點對稱圖形的教材可以訓練空間思考，如今國小數學課程草案小組基於點對稱教材在小學五年級的學習現況不佳，擬將此挪至國中階段，筆者要問的是：難道學習者的成熟度，可與理想的學習成就，畫上等號嗎？國中階段還要面對的是聯考的壓力，教學不正常也是現況，挪至國中階段，未必就能解決問題，況且小朋友未必在小學階段不能學，布魯納也指出課程組織要考慮學習者的準備狀態，原則上是對的，但是不能靜待兒童學習準備度的到來，而應採取積極的態度，因為兒童的認知發展並非循序，可以以並進方式出現，可以以外在動力加速兒童智能的成長，所以應將等待準備改成創造準備（梁恆正，民63）。回頭看實驗教材組小朋友點對稱圖形的學習感言及執教實驗教材組教師的教學感言（參見附錄10，再看只花五節課的對稱圖形的教學時間後，小朋畫筆下的作品（參見附錄11），我們於心何忍剝奪小朋友學習的權利呢？若將之從五年級，挪至仍在小學階段的六年級，是否也可以是另一種選擇？
三、教材與教學活動設計內容呈現方面
研究指出父母採「高關懷、低權威」的教導方式對兒童學習行為最有利；社經背景中上等者的學習環境都較中下等者好；教師的風格、專業學識的背景；學生學習的風格、性別、智力....等皆足以影響學生學習的狀況（羅芙蓉，民76；李默英，民72；林繼盛，民71），Rosenshine&Furst（1973）也指出關係著學生學習成就的五個教師特質：(1)為人熱誠，(2)做事井然有序，(3)清晰呈現教學內容，(4)教材與教學過程多樣化，(5)提供學習機會（Perroff，1991，p.3）。然而家庭因素方面，只能建議，不能強求完全配合；學生與生具有之人格特質以及教師特質中的為人熱誠、做事井然有序等部份，亦非可以左右，但是我們可以透過有效的教材與教學活動的設計，讓教師有所依循，以致能清晰呈現教學內容、教材與教學過程多樣化、提供學習機會，使得該部份在解釋學習成就的變異加大，卻是課程研究設計者在提升小朋友有效的學習上，可以使力的部份，值得欣慰。然而設計時，當究其可讀性上，加以考量，雖然課程研究設計者可以透過面對面的溝通，增長教師在該方面的教學知能，然而面對如此龐大的教師人數，勢必集聚各方管道，但是經過多層次闡釋後結果的不理想，由想像可以得知，因此教材與教學活動設計如何清晰呈現，值得深思。筆者於教材與教學活動設計後，就可讀性的考量上，除就教於學者專家及前線教師外，亦請一般人過目，力求文筆平易，讓執教者能於閱讀教材與教學活動設計後的同時，即時掌握精神與脈絡。畢竟包班制的現況不容忽視，教師所面對的不僅只是數學一科而已，如何為文言簡易賅，平易而不失其真，是為新課程推出之際，除了教材內容與教學活動設計如何設計外，另一課題。
四、「教」「學」觀方面
「人何以能知？」「人如何獲知？」教育心理學從廣泛的教育問題探討，轉而集中研究教學歷程中如何教和如何學的問題，教學心理學(instructional psychology)大有取教育心理學而代之的趨勢（張春興，民77，p.12），建構主義已蔚為時尚，從落實學習者本位的觀點，誠屬可喜，然而「說說看，想想看」尚須知識為後盾，況且稟賦各異者，集聚同一課堂，亦是不爭之事實，應不是只一味建構，忽視其他較適合別的小朋友的學習方式，Walberg等分析了134篇文獻概覽包括7,827件教學現場的研究，以及大規模的美國和國際的調查研究後，指出提示、參與、改正回饋、增強這些方法雖已不流行，效果卻相當大（Walberg，1991），有鑑於此，筆者設計的教材與教學活動的設計中，融合這些教學因素，由實徵研究得知，小朋友不但能學而且樂於學習。當各種教學主義的呼聲甚囂塵上的當際，如果我們不希望我國的課程淪為外國的實驗室，那麼如何從本國的實際的教學情境中，建立有效的教學理論，並透過實徵研究，觀其在教育應用的可能性，將「為何能知」與「如何獲知」轉化成「如何教知」的方法，以致收「教師能教」與「學生能學」之效果，值得教學研究者的我們深思之重要課題。
參考書目
一、中文部份
卜思（民76）。數學教育研究─英國與澳大利亞。科學教育月刊，100，3-6。
李吟（民74）。教學原理─最新教學理論與策略。台北，遠流出版社。
林宜臻、莊仁宗（民81）。中華民國、日本、大陸小學數學課程之比較，第七屆科教研討會。
林宜臻（民81）。教學常見的缺失及其解決之道（數學科）。教育部國民教育司編印,國民小學教學方法手冊,122-126。
林宜臻譯（民81）。數學的視覺面。科學教育月刊，145，2-7頁。
林清山（民69）。心理與教育統計學（五版）。台北,東華書局。
林清山（民75）。教學的心理學基礎。中國教育學會主編﹐有效教學研究。台北，臺灣書局，57-87。
林清山（民77）。多變項分析統計法。台北﹐東華書局。
林清山譯（民79）。教育心理學─認知取向。台北﹐遠流出版社。
林福來（民74）。我國學生數學概念發展第一次協調會。國科會專題研究計畫報告(NSC75～0111～S002～06)﹐我國學生數學概念發展研究。
林福來（民75）。我國學生數學概念發展第二次協調會。載於國科會專題研究計畫報告(NSC75～0111～S002～06)﹐我國學生數學概念發展研究。
林福來（民76）。國中生反射、旋轉、平移概念發展研究。國科會專題研究計畫報告(NSC75～0111～S003～01,NSC76～0111～S003～12。
林福來（民76）。數學教育研究--英國與澳大利亞。科學教育月刊，100，3-6。
林福來（民80）。數學的診斷評量。教師天地，54，32-38。
林繼盛（民71）。影響國小兒童學業成就的家庭因素。載於臺灣省國民學校教師研習會主編﹐國民中小學專題研究報告,1,1-105。
李默英（民72）。性別、年級、數學學習態度、性別角色與數學成就之關係。政治大學教育研究所碩士論文（未出版）。
洪萬生等譯（民68）。簡明數學百科全書。
柯華葳、范信賢（民79）。增進國小社會科課文理解度之研究。載於臺灣省國民學校教師研習會主編﹐國教學報, 3 , 33-60。
邱上真（民79）。學習策略教學的理論與實際。載於國科會專題研究計畫報告(NSC79～0301～H018～02)。
師大科教中心（民81）。國際數學及科學教育評鑑(IAEP)計畫─實作測驗研究報告。
徐順益（民81）。我國國中、小學學生對與力相關之整體概念結構的發展研究。國科會專題研究計畫報告(NSC80～0111～S018～13～D)。
孫志麟（民81）。專家教師與生手教師的差異。師友月刊，298，21-23。
許榮富（民81）。科學教育的科學與認知科學。第七屆科教研討會專題演講稿。
國立編譯館（民78a）。國民小學數學課本，第九冊修訂初版。台北﹐臺灣書店。
國立編譯館（民78b）。國民小學數學科教學指引，第九冊修訂初版。台北﹐臺灣書店。
國科會（民75）。科學教育發展處學門規劃資料─數學教育。
屠耀華（民78）。國中生圖形概念研究。國科會專題研究計畫報告(NSC78～0111～S003～07A)。
張春興（民70）。心理學。台北，東華書局。
張春興（民77）。知之歷程與教之歷程﹐認知心理學的發展及其在教育上的應用。國科會主編﹐認知與學習研討會專集,2,1-34。
張新仁（民77）。現代教學法的新趨勢。國立高雄師範大學教育研究所﹐教育研究，2，69-88。
教育部（民80）。國民小學數學課程標準草案。未出版。
梁恆正（民63）。布魯納認知理論在課程組織中的應用。國立師範大學教育研究所碩士論文（未出版）。
陳麗華（民76）。精熟學習模式及其在國小數學科教學上之效果研究。國立師範大學教育研究所碩士論文（未出版）。
甯自強（民76）。根本建構主義─認知研究的另一種架構。師友月刊，240，30-32頁。
單經生譯（民69）。蓋聶與皮亞傑學習理論對課程發展之啟示（一）國教月刊，27，4，59-64。
楊宗仁（民80）。「有效率」與「無效率」的學習者在後設認知上的差異。菁莪季刊，6，24-30。
楊美伶（民81）。數學教與學問題探討。科技報導，130期，第27版。
楊榮祥（民81）。1992國際數理教育評鑑IAEP，科學教育月刊，149。
裘友善（民76）。目標難度對工作表現的影響。國立師範大學教育研究所博士論文（未出版）。
裘友善（民77）。提示對概念形成的影響。國立師範大學教育研究所期刊，21，267-273。
劉好（民79）。小學教師數學基本能力之調查分析。國科會專題研究計畫報告(NSC78～0111～S142～02)。
劉湘川、劉好（民81）。我國小學學童對稱概念的發展研究。國科會專題研究計畫報告(NSC81～0111～S142～01～N)。
劉錫麒（民79）。合作反省思考的數學解題教學模式及其實徵研究。國立師範大學教育研究所博士論文（未出版）。
鄭昭明（民75）。知識的傳遞與理解歷程。國科會主辦﹐認知與學習研討會論文報告。
鍾聖校（民79）。科學教育研究。台北﹐師大書苑。
鍾蔚起譯（民80）。影響學習的主要因素與增進教學成效的策略。師友，291，31-33頁。
繆龍驥、林福來（民76）。我國學生數學概念發展研究。國科會專題研究計畫報告(NSC75～0111～S002～06)。
魏金財（民81）。兒童對雨量之概念與其概念之改變類型。國民學校教師研習會:國教學報，4，225-256。
魏金財（民79）。點、線對稱概念電腦輔助教學軟體設計。國民學校教師研習會﹐國教學報，3，235-271。
羅芙蓉（民78）。國小資優與普通兒童父母教導方式與學習行為之關係。國立師範大學教育研究所期刊，31，91-102。
二、日文部份
上迫弘樹（1988）。數學教育洞察研究─Van Hiele理論解釋中心。數學教育學研究紀要，14，26-32。
山田 完（1978）。小學５年分數的授業─教育工學授業改善(３)。武藏野市教育工學研究紀要，89。
內木場啟（1986）。算數、數學教。東京﹐明治圖書。
文部省（1989）。小學校指導書算數編。東京,東洋館。
日本數學教育學會(1987）。算數教育指導用語辭典。東京,新數社。
平林一榮、石田忠男（1990）。算數．數學科重要用語300基礎知識。
矢野健太郎編（1990）。數學小辭典。東京,共立出版社。
加藤明（1990）。算數指導入門。東京,金子書房。
西元教善（1981）。數學學習心理學的研究。數學教育學研究紀要，7，18-21。
竹谷誠（1991）。新理論。東京,早稻田大學出版部。
杉山吉茂（1988）。小學算數指導。東京,學陽書房。
岡田 進（1983）。算數診斷治療（下）。東京,明治圖書。
林 宜臻（1985）。完全習得學習理論問題點─柔軟的適應。國立茶水女子大學人文科學研究科修士論文。
鈴木和夫（1982）。新算數６上─教師指導用書。東京,東京書籍。
前原昭二（1991）。新算數（１～６）。東京,東京書籍。
遠山啟編（1974）。現代化算數指導法事典。東京,明治圖書。
龜谷義富（1992）。新教科書『量測定、圖形』領域問題點指導困難教材攻略法─5、6年教科書。算數教育，427，52-58。
瀨山士郎（1990）:圖形教育2本柱。算數教育，402，10-13。
關澤正躬（1991）。小學幾何教育新視點─線對稱點對稱。算數教育，426，80-85。
三、英文部份
Abell&Howell（1985）.Merrill Mathematics─Teacher Resource Book.Columbus:Merrill.
Dunham,R.B.（1973）.AchievementMotionsPredictiveofAcademicPerformance:AMultivariate Analysis.Journal of Education Research,67,70-77.
Giaconia,R.M.&Hedges,L.V.（1987）.Synthesizing research evidence.In M.J.Dunkin（ed.）,TheInternational Encyclopedia of Teaching and Teacher Education(pp.124-142).Oxford:Pegamon Press.
Musser,G.L,&Burger,W.F.（1991）.Mathematics for elementary teachers. N.Y.: Macmillan.
Perroff,E.（1991）.Effectiveteaching.N.Y.:Longman.
Hoffer.A.R.（1992）.Geometryandvisualthinking.In T.R Post(Eds.) ,Teaching mathematics in grades K-8─Research Based Methods (pp.249-277). Boston: Allyn & Boston.
Souviney,R.J.（1989）.Learningtoteachmathematics.Columbus:Merrill.
Sowel,E.（1989）.Effectsofmanipulativematerialsinmathematicsinstruction.JournalforResearchinMathematicsEducation,20,5,498-505.
VanHiele,P.M.（1986）.Structureandinsight.Olando:AcademicPress.
Walberg,H.J.（1991）.Productiveteachingandinstruction:Assessingtheknowledgebase.InH.C.Waxman&H.J.Walberg（Eds.）,Effectiveteaching: Currentresearch(pp.33-62),Berkeley,CA:McCutchan.
附 錄
教學目 | 教 學 過 程 | 師 生 對話 | 建 議 事 項 |
日常生活中的稱圖形 實際驗證、判別 歸納重點 加深概念 對稱軸 實地操作 批判、加深印象
對稱點、對稱邊
歸納重點 引導線對稱特性 平分 垂直 畫線對稱圖
作業活動 提出點對稱圖形的概念
加深概念 辨別點對 加深概念 畫點對稱 圖
加深概念 綜合歸納整理 歸納辨識點對稱圖形 實地操作 | 引起動機 學生討論、發表 教師揭示圖片 學生討論為何是線對稱 上台發表 教師揭示重點 小組討論歸納： 1.中心線 2.對摺 3.重合 課本P.93圖形操作討論 教師分發圖形 學生分組操作討論上台發表 教師講解 學生上台演示 ．黑板上畫定對稱軸 ．教師分發各式圖片 ．學生黑板上拼出線對稱圖形 教師指定一學生上台揭示操作，再將另一半的位置移位 由學生判斷、解答 揭示正方形 學生各自操作 小組共同討論 師生共同操作 舉出錯誤類型 學生操作 共同檢討 揭示平行四邊形 三角形（一般△，正△） 師生共同操作 教師歸納 揭示課本P.94圖形 教師操作→學生上台操作 更換對稱軸，辨別討論P.94問題 澄清點與線的概念 揭示P.94重點 教師講解 小組討論歸納 揭示P.95正五邊形圖形 教師操作 小組討論 教師講解 學生以手勢回饋表示垂直 揭示未完成的線對稱圖形 教師強調２’的位置，使學生了解距離的重要 在各組桌面實地操作線 小組介紹各組作品 各自設計線對稱圖形 ．揭示點對稱圖形 ．小組討論整理重點、相同特性 上台發表 歸納重點 揭示： 1.一點為中心 2.旋轉180° 3.重合 以圓周角的概念解釋 各組操繩實地運作 1.各列均選定裁判 2.指定各組一，令其跑到原地， 旋轉180°後的位置 3.用繩檢核，裁判裁定是否正確 利用投影片教具操作講解 小組討論課本重點，教師逐一解釋 小組討論課本題目 各組分發圖形研究辨別 上台發表 綜合歸納 各組分發圖形（卍、÷、S、Ｎ...）上台操作發表 2 利用點稱性質引至更為複雜的圖形 黑板上拼排點稱圖形 教師示範 兒童操作 （兒童上台實際操作發給的各式成對的圖片） 分組設計點對稱圖形 揭示學生作品(點對稱與線對稱圖形分開） 學生上台講解各自作品 學生舉出有缺陷的作品 教師舉出特殊作品 教師提出問題 小組討論、發表 教師揭示正三角形、正五邊形、正六邊形及正方形圖片 學生實際操作 小組討論歸納 分組拼作點對稱與線對稱圖形 教師分發成對圖卡給各組 1、3、5組在各自桌面呈現點對稱圖形 2、4、6組呈現線對稱圖形 各組分派代表講解所呈現的圖形 | T:日常生活中有哪些是對對稱圖形? S:窗戶、桌子、耳朵、眼鏡... T:為什麼﹖ S:摺疊起來兩邊重合 T:例如耳朵是以什麼為中心重疊﹖ S:以鼻子作中心線摺疊，左耳和右耳重合 T:日常生活中出現了許多的線對稱圖形 S1:中心線兩旁形狀一樣 S2:先找出中心線，摺起圖形來左右兩邊一樣 S3:中心線兩旁的顏色、形狀、大小一樣 T:說出你的圖形是線對稱的理由 S1:沿中心線摺疊，圖形左右能重合 S2:左右兩邊、大小一樣 S3:左右兩邊、大小、形狀都一樣 T:這中心線是對稱軸，在日常生活中你可曾見過〞軸〞這個名稱 S:車輪 T:除了車輪外，軸心國即是以這個國家為中 心 T:臉譜有多少條對稱軸 S1:一條，直的。 T:為什麼沒其他的﹖ S1:橫的線不是，因為臉的上面沒有嘴巴，摺疊後不重合 T:為什麼要按照你這樣的方式擺? S:否則摺疊後圖形不會重合 T:正方形的４條對稱軸怎麼來﹖ S1: T:有一個人有32條對稱軸，請他示範 S2: T:這些對稱軸兩旁大小不一，不能重合，所以不能稱是對稱軸。 T:等腰△１，正△有3條對稱軸，正方形有４條對稱軸 T:用ㄅ、ㄆ、ㄇ、ㄈ不清楚，老師用１、２、３、４來代替 T:以線１．３為對稱軸，２、４互為對稱點邊，邊１．２與邊１．４對稱 T:如果對稱軸與對稱點兩邊連線不相等，會產生什麼結果﹖ S:圖形摺疊後不會重合 T:物體往下沈產生直角 T:２’表示２的對稱點 T:中心線一定要畫 T:完成圖形後，如果左邊多個圓，右邊同樣也要多個一樣大的圓，才叫對稱。 T:以各組桌面中心線為對稱圖形對稱軸 T:由以上圖形中尋找符合重點的特性
S2:旋轉180°圖形完全重合 S3:旋轉180°左上的圖形會跑到右下方 T:左上變右下的概念很重要 S4:圖形要旋轉180° T:課本上的名詞「對稱中心」應屬於哪一個重點﹖ S:一點為中心稱「對稱中心」 T:圓周角為﹖度 S:360° T:180°＝360°÷２ ∴180°即為1/2圓周角＝1/2圓剛好轉1/2圓，即在原來的正對面 T:先固定圓心再跑，事後事後用繩檢核，不如要拉繩檢查直接拉繩操作 T:一個半圓形就是180° T:旋轉180°後圖形會重合即是點對稱圖形 T:如何找對稱中心 S1:平行四邊形兩對角線相交處，即為對稱中心﹖ T:各圖形是否均符合點對稱圖形性質﹖（平行四邊形、正△、正方形、正五邊形、 正六邊形...） S:凡是正偶數邊形即為點對稱圖形 S:指定一點，轉180°圖形會重合 T: 旋轉180°處找１的對稱點１’ 量距離 ２→２’ 連接１’２’ T:在180°的地方相互呈現 T:若圖畫得不夠精細，很可能遭受淘汰的命運 T:點對稱和線對稱有哪些不同﹖ S1:對摺之後圖形重合是線對稱旋轉之後重合是點對稱 S2:線對稱是沿對稱軸對摺，點對稱是平面旋轉 S3:各有不同的定點 T:線對稱圖形中誰和誰垂直平分﹖ S:對稱軸與對稱點連線 S4:點對稱中，圖形以對角線為分界。 S5:線對稱中，圖形用對摺的線作分界 T:對角線交叉點為對稱中心。 S1:只有正偶數邊形才是點對稱圖形 S2:梯形也為雙數邊形 S:一定要是正的才是點對稱 S3:三角形沒有對角線，所以不是點對稱圖形 | ．圖形中沒有非例，讓學生辨別 ．若學生呈現有錯誤，要立即指正 ．節省故事情節，而著重概念的澄清 ．由學生來指正錯誤，共同評分 ．評分標準應著重線對稱圖形概念是否清晰呈現，而非只是整體的圖形 <註>有一組學生錯誤類型為 ●←原位 ●←移動後 以為180°即為直線距離 ．若能舉出非例辨別引出對稱點邊更好 ．找出既是點對稱，又是線對稱的圖形作對照，辨別在點對稱與線對稱中，對稱點的差異 ．對角線的交點肯定為對稱中心有商榷必要 ．要把對稱中心固定好再轉180度，否則失去意義 ．宜先給題目讓學生先自我構圖，教師再作講解，畢竟學生處理時，乃針對〞點〞而非整體圖形概念 ．學生須有整體概念才能由對稱點連線的中心找出對稱中心 ．學生以為對稱中心在對角線之交叉點上 ．發現錯誤時，教師不必事先知會，宜藉由問話，讓學生自行判斷 ．數學層面的探討宜多於表達及聯想力。 |
附錄2︰丙師對稱圖形教學紀錄
教學目標 | 教 學 過 程 | 師 生 對 話 | 建 議 事 項 |
線對稱概念 日常生活中的線對稱圖形
引出線對稱及具備條件 加深概念
歸納整理 辨識正方形的對稱軸
對稱點邊 批判 對稱點、邊 辨識對稱軸 畫線對稱圖
線對稱的特性 點對稱概念 辨識點對稱 加強概念 對稱點、對稱邊 乙 乙 歸納重點 畫點對稱圖 綜合歸納 | 複製圖形 ．揭示用顏料完成的一半圖形 ．沿中線對摺複印至空白的另一半 ．完成圖形(蝴蝶) 剪紙 ．先將紙對摺，依所需形剪下後展 開 各組討論 發表 師生問答 印證剛前例 師生共同討論 舉非例 共同討論課本P.93圖形 課本P.93重點 揭示正方形 ．學生上台演示對稱軸的摺法 出現非例 揭示正方形 紅 黃 綠 紫 更換對稱軸，學生辨識 紅 黃 綠 紫 師生問答 課本P.94問題 揭示圖形，以甲、乙、丙、丁代替ㄅ、ㄆ、ㄇ、 ㄈ ．師生共同訂正討論 ．教師黑板操作 揭示圓形 學生各自操作 師生共同討論 課本P.93圖形 小組討論 共同訂正 操作平行四邊形 揭示原圖形的一半 揭示正方形的一半 課本P.95圖形實地練習 黑板上共同訂正 揭示P.96 各自操作 整理P.96重點 揭示風車 教師操作 辨別風車旋轉時各扇葉移動的位置 揭示教具 教師操作 課本P.96圖形 共同檢討訂正 揭示風車 兒童觀察，教師操作 揭示正方形 教師整理課本P.96重點 甲 丙 甲 丙 操作菱形 教師示範講解 教師操作平行四邊形 教師整理P.97重點 揭示未完成的圖形 出現反例 師生共同討論 作業活動：課本P.97 小組討論、發表 師生共同討論 習作乙P.45圖形 學生操作 | T:這個過程中，發現了什麼 S:只要先畫一半圖形，摺疊後回得一個完整的圖形 T:我們還可以這樣得到所需圖形 T:像這樣的圖形叫作「對稱」 T:除了這些外，還有哪些是對稱的圖形 S1:正方形、鏡子、眼鏡 T:眼鏡如何對稱 S1:假設切一半，左右兩邊會一樣 S2:窗戶 T :如何對稱﹖ S2:（實地比劃解釋） S4:廟頂、蜻蜓 S5:剪刀、鈔票、「春」、「田」字 S6:螃蟹、衣服、「昱」字 S7:螃蟹有些兩邊的螯不一樣大，不能稱作對稱 S3:躲避球場、臉 T:各組所討論的對稱是根據什麼判別﹖ S:有一條根據的線 T:這些圖形在線的兩旁對稱故叫做「線對稱」 T:除此之外還根據什麼﹖ S:形狀、大小 S:摺起來兩邊一樣長 T:距離誰的兩邊﹖ S:根據的線 T:就是距離一樣，離這條「線」兩邊的距離一樣 T:這是否為線對稱圖形 S:形狀一樣 T:形狀一樣，但大小不一樣，非線對稱 :臉有沒有對稱﹖ T:為什麼對稱﹖以什麼作根據﹖
T:為什麼沒有對稱﹖ S2:如果臉上一旁長了一個瘤 T :這種特殊的情況下，是沒有對稱，不過大致說來，還是對稱 T:除了這些，還有哪些是對稱﹖ S1:蜻蜓 S2:正方形、長方形、三角形 T:我們的身體有沒有對稱 T:就外觀來看有嗎﹖ S:有 T:內部呢﹖為什麼﹖ S1:左邊有心臟、右邊沒有，所以不對稱 S: T:左右邊的形狀是否一樣 S:是。 T:大小呢﹖ S:一樣。 T:那你覺得是否這樣也能叫對稱﹖
T:沿對稱軸摺疊時兩邊不重合，不算。 T:所以正方形有４條對稱軸。 T:黃與紫重疊，紅和綠重疊。 T:黃和紫、紅和綠互稱對稱點。 T:我們的臉以鼻作對稱軸時，左眼和右眼就互稱對稱點 T:這時對稱點為何﹖ S:紅和黃、綠和紫。 S1:「春」字並不是線對稱，因為寫的時候我們並不會那麼平均地寫 T :但如果我們用剪紙的方法來作，它就很平均，所以要視當時情況而定。 S:圓形有無限多條對稱軸 T:圓形旳對稱軸有無限多條，事實上就是圓形的直徑? S:直徑 T:如何辨識一個圓形有多條對稱軸﹖ S:用摺的 T:萬一無法摺疊時呢﹖ S:看對稱軸兩邊大小、形狀是否相同 T:平行四邊形有無對稱軸 S1:斜的就是 T:我們剛假設的對稱軸（斜的）兩邊形狀一樣、大小一樣，但沒有重疊，因此不是 T:如何畫出原來的圖形﹖ S1:將另一半攤開來 T :當不能攤開時呢﹖ S2:在對稱軸上放個鏡子 T :用畫的呢﹖ S3:橫看為等腰梯形，在另一邊也畫個相的等腰梯形 T :如何更精確的畫出來﹖ S4:量各點到對稱軸距離，在另一邊點出再連接 S1:將對稱軸，左邊的長方形畫下來，放到對稱軸的另一邊 S2:量到對稱軸的距離，在另一邊畫出對稱點 T:為什麼要畫中間這條線﹖（指虛線處） S:量對稱點到對稱軸距離 T:正五邊形是否為線對稱圖形﹖有多少對稱軸﹖ T:以甲己為對稱軸，量戊辛與乙辛是否一樣， 甲己和乙戊是否垂直 T:風車在轉動時有個地方不動 S:中心 T:甲→乙轉幾度﹖ S:90° T:甲→丙﹖ S:180° T:甲→甲﹖ S:360° T:甲轉180°時圖形上下是否重合﹖ S:有 T:這種旋轉180°後和原圖形重合的圖形即是點對稱圖形 T:不動的中心即是對稱中心 T:旋轉180°後，甲到丙的位置，乙到丁的位置，甲和丙、乙和丁互為對稱點。 T:邊甲丁跑到了乙丙邊的位置，甲丁的對稱邊即為乙丙。 T:甲的對稱點即是對面的丙，乙的對稱點即是對面的丁。 T:三角形如何旋轉180° T:甲→乙，乙→丙即為180°旋轉對嗎﹖ S1:乙→丙即為180°。 S2:三角形中間畫上方位,乙→丙經過２個90度即為180°旋轉。甲→丙同理∴甲→丙為180°旋轉。 T:先固定甲丙，乙丁交點為對稱中心。 T:旋轉180°後甲與丙對稱。 T:量出甲、乙、丙、丁分別和對稱中心的距離，發現了什麼﹖ S1:四邊與中心距離一樣長。 S2:在兩邊連線交點找到對稱中心。 T:距離關係呢﹖ S3:對稱中心兩旁距離相等。 T:１、２、３、４之間有什麼關係﹖ S:１＝３，２＝４。 T:利用P.97特性如何畫出丙點? S:量甲戊的距離，在另一邊等距標出丙。 T:為什麼﹖ S:設甲戊為１，丙戊就是剛剛的３，甲戊＝丙戊，１＝３、２＝４，連丙丁、乙丁。 S:量甲乙，在對稱中心另一邊畫出與甲乙等長的線段。 T:這是線對稱畫法，因利用乙丙為對稱軸，利用對稱中心平分對稱點兩邊連線來作。 T:我們要畫出甲與丁的對稱點。 S2:量丁乙長。 T:沒利用對稱中心 S3:連丁戊、甲戊、在丁戊、甲戊的相反方向作出與丁戊、甲戊距距離等長的點，互相連接。 T:還有沒有其他畫法﹖ S1:對摺甲丁，可找到戊，量甲丁到戊的距離，在另一半作出同樣距離的直線將此直線與原圖形作連接。 T :這種方法有缺點，誰能指正﹖ S2:找不出甲、丁對稱點的正確位置。 S3:沒有對稱點可作連接 T :可能會變成找不到甲’與丁’可作連接。 T:若按照剛才所討論方法，我們要找甲乙中心，甲丙中心，再作圖反而更麻煩。 S1:每個圖形都有不同畫法。 T:如此反而增加困擾不若課本方法簡便。 T:在一般圖形中，是點對稱且是線對稱的圖形有哪些﹖ S:正方形、長方形、正三角形、圓形、菱形、正五邊形、正六邊形、正十邊形。 T:為什麼平行四邊形不列入﹖ S:只是點對稱圖形，而非線對稱。 T:把圖形翻轉或自行摺疊，可找到６條對稱 軸。 T:還有其他判別方法嗎﹖ S1:只因為立體圖形作混淆，視為平面圖形就可以了。 S2:只要看中間為一正六邊形，剛好這些都是正六邊形的對稱軸 | 鈔票不對稱 ．舉個距離不同的例子如：○ ○ ．讓學生實際操作體會重合的意義 ．三角形只有正和等腰才是線對稱，在此時提出數個三角形，讓兒童辨別 ．由學生討論得知，而非由老師告知 ．學生各自操作，更能加深印象，教師再從學生操作中舉出非例討論。 ．未提及對稱邊 ．宜學生各自實地操作。 ．宜各組實際操作，上台解說 ．由學生上台講解 ．讓學生自行發現 學生的錯誤概念為到對面即180度，應就固定某一點旋轉探討。 教師宜針對錯誤概念澄清。 ． |
附錄3：乙師對稱圖形教學紀錄
教學目標 | 教學過程 | 師 生 對 話 | 建議事項 |
辨識正方形對稱軸 其他圖形的對稱軸 加強概念
日常生活中的線對稱圖形 整理概念 對稱點 對稱邊
線對稱圖形的性質
畫線對稱圖 點對稱概念 旋轉概念 對稱點，對稱邊 對稱中心 判別點對稱圖形 概念印證 綜合歸納
特性 畫點對稱圖 綜合歸納 | 揭示正方形 教師演示 學生上台演示 每人操作 學生操作習作乙P.45圖形 教師講解訂正 就上述圖形複習線對稱的概念 黑板揭示課本P.93圖形 學生操作 師生共同訂正 利用剪下的圖形操作，尋找對稱軸 學生各自操作 師生共同訂正 揭示課本P.93重點 揭示課本P.94 教師示範講解 ㄅ ㄆ ㄈ ㄇ 揭示問題 更換對稱軸成ㄆㄇ 回答課本問題 揭示長方形 學生自行操作並上台演示 ㄅㄉ ㄈ ㄆㄊ ㄇ 揭示問題 ㄅ ㄈ ㄉ ㄊ ㄆ ㄇ 指定學生上台解答，教師講解，指正錯誤類型 揭示課本P.95正五邊形 揭示P.95圖形 ㄅ ㄉ ㄆ ㄊ 教師講解 練習其他三個圖形（P.95）黑板上共同訂正 揭示平行四邊形 畫出方位 北 西 東 南 利用木棍，教師黑板操作 回到平行四邊形 教師黑板操作 學生自行操作 黑板操作平行四邊形 教師歸納講解 學生實地操作習乙P.45圖形 教師黑板示範，共同訂正 學生操作課本P.96圖形 黑板上共同訂正 教師示範操作 揭示各種圖形（正三角形、正五邊形、正六邊形、正八邊形、梯形）。 學生目測判別歸納 教師歸納 揭示平行四邊形 教師黑板操作 歸納課本P.97重點 揭示 教師示範講解 學生自行練習其他類題 教師指名上台演示 教師行間巡視並指名有錯誤類型之學生上台演示。 學出錯誤類型 揭示各種圖形 製成表格比較 教師演示 學生上台演示歸納 共同訂正檢討 | T:摺線兩邊情形如何﹖ S:形狀一樣，大小一樣 T:還有沒有其他摺法 T:像這種左右兩邊圖形的形狀完全一樣且完全重合，叫線對稱圖形。 T:這條線稱為〞對稱軸〞 T:正方形共有幾條對稱軸。 S1:共有４條。 T:和他一樣是４條的舉手 T:正方形一共有４條對稱軸，是不是線對稱圖形。 S:是。 T:先用目測判別是否為線對稱圖形。 T:自己是否為線對稱﹖ S:是。 T:對稱軸在哪兒﹖ S:中間一條線分下來。 T:日常生活中還有哪些線對稱圖形﹖ S:黑板。 T:ㄅㄇ為對稱軸時，ㄆ、ㄈ互為對稱點。ㄅㄆ和ㄅㄈ為對稱邊 T:以ㄅㄇ為對稱軸時，有一組對稱點，二組對稱邊。 T:以ㄉㄊ為對稱軸時， 對稱點：ㄅ－ㄈ，ㄆ－ㄇ 對稱邊：ㄅㄆ－ㄈㄇ T:這個同學把對稱點部分寫成ㄈㄇ、ㄅㄆ，他的意思可能是ㄈ對ㄇ，ㄅ對ㄆ，但如此表示很容易被誤解為線段ㄈㄇ和線段ㄅㄆ。 T:如何畫正五邊形。 S:把圖平分五等分。 T:360°周角平分五個圓心角。 T:以ㄅㄊ為對稱軸，有幾組對稱點。 S:ㄆ對ㄉ，ㄇ對ㄈ２組 T:連ㄆㄉ、ㄅㄊ和ㄆㄉ的關係如何﹖ S1:兩線交叉成90° T:ㄅㄊ和ㄇㄈ有什麼關係﹖ S:亦成90°。 T:量ㄆㄋ和ㄉㄋ，ㄇㄊ和ㄈㄊ看看。 S:一樣長。 T:對稱軸和對稱點連線垂直ㄆㄋ＝ㄉㄋ，ㄇㄊ＝ㄈㄊ。 T:給一半的線對稱圖形，我們可用上述兩個特點來畫。 T:畫圖時對稱點連線一定要和對稱軸垂直。 T:為什麼會變成如此﹖ S:旋轉。 T:轉一圈為周角360度。 T:固定中心由北→東轉幾度﹖ S:90°。 T:北→南呢﹖ S:180° T:固定圖形中心點 T:轉180°後圖形是否重合﹖ S:有 T:點呢﹖ S:也改變了 T:這種圖形叫作點對稱圖形。 T:先用大頭針固定中心點再旋轉。 T:旋轉180°後重合的兩點稱作對稱點，對稱點有幾對﹖ S:ㄅ對ㄇ，ㄆ對ㄈ。 T:對稱邊有幾對﹖ S:ㄅㄆ對ㄇㄈ ㄆㄇ對ㄅㄈ T:線對稱最重要的是對稱軸，點對稱最重的是對稱中心。 T:先用大頭針固定中心，旋轉180°判別是否為點對稱圖形。 T:４個圖形，只有正三角形不是點對稱圖形。 T:先用目測觀察。 T:以上有幾個圖形，若不是點對稱圖形原因為何﹖ S:旋轉後不會重合。 T:奇數邊的正多邊形不是點對稱圖形。 T:梯形是偶數邊為什麼也不是呢﹖ S:因角度不同。 T:奇數邊的正多邊形和梯形不是點對稱圖形。 T:先連接兩組對稱點。 T:對稱中心與對稱點的連線有什麼關係﹖ S1:平分。 T:為什麼﹖量量看課本上的圖形。 S:ㄆㄉ＝ㄉㄈ T:為什麼會變成這樣。 S:這是線對稱圖形。 T:對稱點是找出來了，可是對應邊連錯了，才會變成這樣的圖形。 T:其他人也是因為對應邊接錯了，才會錯掉。 獌瑢瑱瑳 線對稱○○○○ 點對稱×○○× | ．學生的錯誤類型不易主動呈現，教師宜適時舉出非例 ．舉出平行四邊形例子，讓學生當場辨識 ．詢問學生如何目測 ．讓學生發表是或不是的理由，讓其他的學生共同判定。 讓學生自己發現．利用性質畫對稱圖。 宜實地操作及比較、討論， 讓學生自己發現、發表。 ．是學生弄混點對稱和線對稱 概念，而非對稱點連接錯誤 所致。 |
附錄4：甲師對稱圖形教學紀錄
教學目標 | 教 學 過 程 | 師 生 對 話 | 建 議 事 項 |
對稱點，對稱邊 加強概念
歸納重點 印證概念 辨識對稱軸 對稱點．對稱邊 歸納重點 複習整理
點對稱概念 旋轉180度 對稱點．對稱邊 對稱點的位置 澄清觀念 綜合歸納 點對稱特性 畫點對稱圖 | 揭示正方形圖形 教師示範演示 ㄅ ㄈ ㄆ ㄇ 學生用色紙操作 教師示範講解 揭示平行四邊形 複習圖形性質 教師操作 長方形 直角三角形 圓 立體圖形 正八邊形 臉譜 課本P.93重點 教師講解 P.93圖形師生共同訂正 教師演示 等腰三角形 正三角形 揭示正三角形 ㄅ ㄆ ㄇ 揭示等腰三角形 揭示圓 確認其他圖形的對稱軸 平行四邊形 教師示範講解 正六邊形 教師操作 學生操作 揭示課本P.94圖形 教師講解操作 整理P.94重點 P.94題目教師揭示講解 師生共同訂正 揭示正八邊形複習線對稱條件 師生共同操作 揭示正方形 教師操作講解 揭示方位 北 西 東 南 揭示２個相等正方形 教師操作講解 揭示課本P.96平行四邊形 揭示正方形 教師示範講解旋轉180度後對稱點的位置 揭示菱形 複習線對稱時的對稱點 揭示圓形 菱形 正三角形 長方形 教師操作錯誤類型 梯形 正五邊形 花 揭示課本P.97圖形 教師講解 揭示P.97重點 教師講解 課本P.97 教師黑板示範 | T:我們把正方形左右對摺之後，發現了什麼﹖ S:兩個長方形。 T:除了分成兩個相同的長方形外，還有什麼﹖ T:除了左右一樣長，上下一樣長外，還有什麼﹖ S:可以斜摺。 T:分成２個相等的三角形外，還有什麼條件﹖ S:是直角三角形，兩邊一樣長。 T:這種三角形叫等腰直三角形。 T:摺疊後左右兩邊是否重合? T:ㄅ頂點和誰重合﹖ S:ㄅ對ㄈ、ㄆ對ㄇ。 T:不但要重疊，還要密合才行。 T:這種圖形屬於線對稱，我們所摺的線叫「對稱軸」。 T:這個重合的點叫對稱點 T:可分為兩半的摺線叫作「對稱軸」。 T:對稱邊左右相對，上下相對，而且要能夠在摺疊時重合。 T:這種圖形叫〞線對稱〞。 T:由中間摺疊是否為我們所說的線對稱。 S:沒有重合。 T:所以它不是。 T:從中間分再摺疊。 T:邊重合，頂點重合所以是線對稱圖形。 T:先目測是否為線對稱。 S:不是。 T:線對稱圖形一定有中心線，將其分為兩半，使邊重合，頂點重合。 T:中心線一定要通過圓心，將其分成２個相等的半圓，圓周２邊的弧線一定要重合。 T:照中心摺，將圖形分作２半，互相重合，是否為線對稱﹖ S:是。 T:摺疊後８個頂點兩兩相對正，有４組對稱點。 T:有無對稱邊（指著對稱邊）。 T:上面的邊和下面的邊重合嗎﹖ S:沒有。 T:從中間分成兩半有無重合﹖ S:有。 T:如果臉不對稱，看起來是不是會怪怪的。 T:第一個等腰△是否為線對稱﹖ S:是。 T:中間摺一半，頂點重合邊重合。 T:分成２個相等的部分。 S:兩個直角三角形。 T:兩邊一樣大的直角三角形。 T:除了這樣分，還能怎麼概念分﹖ T:由ㄅ可分一條對稱軸。 T:再把ㄆ移到上面可再分一條。 T:ㄇ移到上面也有一條。 T:這三條線都可把這個三角形分２半，都是它的對稱軸。 T:這個圖形除了中間一條外，還有沒有其他不一樣的對稱軸﹖ S:沒有了。 T:有多少條對稱軸﹖ S:直的斜的都是。 T:這些線怎樣分都是分成兩個相等的半圓。 T:對稱軸條件﹖ S:通過圓心。 T:如果沒有通過圓心那麼圖形要如何重合。 T:線對稱圖形是在畫出對稱軸後，對稱點和對稱邊須完全密合才是，而平行四邊形沒有，所以它不是線對稱圖形。 T:正六邊形有多少條對稱軸 S:橫的，斜的都有。 T:由頂點來分有３條，由邊來分也有３條。共６條。 T:對角線摺下來上下頂點重合才會是線對稱，如果對角線不能使邊重合，頂點重合、頂點重合則不是線對稱。 T:先用邊來摺，再以點辨別。 T:用對角線作摺線，正八邊形共有幾條對稱軸﹖ S:８條。 T:我們以中間定一點當中心，轉180度是什麼情形 S:平角。 T:什麼現象﹖ S:成一直線。 T:以上面的邊作標準，我們要如何把正方形旋轉180°? S:轉到下面。 T:如何轉180°﹖ S:北→南、東→西。 T:我們把上面的邊轉180°到下面，前面的正方形，會不會和後面的正方形重合﹖ S:會。 T:我們再看斜的點，轉180°相當於轉到對角，也會和後面正方形重合。 T:這樣的圖形我們稱為點對稱圖形。 T:ㄅ的角原先在左上角，我們旋轉180°後就到右下角，左上到右下成一直線，兩個圖形重合，這種圖形叫點對稱，中間的點叫對稱中心，重合的邊叫對稱邊。 T:正方形是點對稱圖形，也是線對稱圖形，有４條對稱軸。 T:我們先在中間定一點作對稱中心，再固定中心旋轉。 T:上面的角跑到下角，互成180°，所以上面的點與下面的點對稱，左邊的點畫一直線180°與右邊的點也會對稱。 T:以圓心作對稱中心，轉180°後，還是重合，是否為點對稱圖形﹖ S:是。 T:是點對稱也是線對稱圖形。 T:轉過來沒有重合，所以不是點對稱圖形。 T:但它是線對稱圖形，有３條對稱軸。 T:是點對稱圖形。 T:也是線對稱圖形，有多少條對稱軸﹖ S:４條。 T:正方形中斜的對稱軸可成立，長方形呢﹖ S:因為邊長不等長。 T:所以長方形中只有２條對稱軸，斜的不成立。 T:是不是點對稱。 S:因為上下邊不一樣大小，所以摺疊起來不重合 S:上面尖但下面是平的，所以不是。 S:看起來像正六邊形 T:中間是對稱中心，所以是，因為可以分成２半，所以是線對稱。 T:ㄉ點是什麼﹖ S:對稱中心。 T:ㄉㄅ和ㄉㄇ是不是一樣長﹖ S:是。 T:連線是什麼﹖(課文中) S:對角線。 T:左上角的圖形，先把對角線畫好，再把點和點互相連接。 T:左下角圖形怎麼畫。 S:先畫上面的三角形。 | 宜由學生自己操作發現 不宜皆由教師操作，不易發現錯誤，宜小組討論 宜強調固定某一點旋轉 問題為閉鎖式問法，學生只有對與不對、會與不會的２種選擇。 在圖形標明四點名稱，將更清楚 將圖形揭示後，讓學生討論操作。 宜先整體性掌握。 |
附錄5：一位初教者之反省記錄
杜佳真師
當林宜臻老師告訴我統計出來的測驗結果，班上在大家認為最能測出觀念的問題中有23人答對，起初並不以為意，心中還有些責怪那些個答錯的同學，後來得知有的班級答對的甚至10個不到，如此成績算是十分令人訝異時，我才真正了解這些孩子能力的定位。
事實上，就一個教學只有三年經驗不到的我來說，初試啼聲顯得相當生澀，錄影帶中的教學過程，自己看了都覺得汗顏，缺乏經驗的情況下，教學並未能真正提綱挈領、掌握要點且有系統的教給學生，甚至頻頻出現補鍋的情形，說實在話，倘若依照如此的教學過程，學生對此單元仍是一知半解，甚至不知所云。
發現這個情況是在事後我給學生作隨堂測驗時，結果發現學生們對於對稱概念仍然十分模糊，尤其當點對稱與線對稱圖形同時出現，學生們往往把二者混淆，且傾向線對稱概念，也就是說，對於點對稱的觀念十分薄弱。我做了許多事後的補救教學，尤其以互相比較的方式，像點與線對稱圖形同時的出現，讓學生們去比較不同對稱下對稱點及對稱邊的變化。
如 戊
甲 戊 丁
庚 ．
丁 乙 己
丙
當線對稱時，戊己為對稱軸，甲－丁，乙－丙互為對稱點；甲乙－丁丙，甲戊－丁戊，乙己－丙乙互為對稱邊；甲丁⊥戊己且甲戊＝丁戊（對稱軸垂直平分對稱點的兩邊連線）。當點對稱圖形時，庚為對稱中乙己丙心，甲－丙，乙－丁互為對稱點；甲乙－丁丙，甲丁－丙乙為對稱邊，甲庚＝丙庚，乙庚＝丁庚（對稱中心平分對稱點兩邊連線）。
類似如上之題組同時出現，讓學生辨別，同時增加對稱圖形的概念。至於作圖的題目更容易了解學生是否對點對稱及線對稱圖形概念完整，除了要求畫出圖形來，亦需標示對稱點，如此更容易知道學生認知理解上的錯誤類型。
如
課本P.97的例題：
3’
＜點對稱＞ ＜線對稱＞
1 1 2 3 1 1’ 3’ ’ 1 2 3 1 1’
在作圖過程中，因為對稱點的定點位置相同，當學生誤將點對稱畫成線對稱圖形時，我們並不能確定其是否因對稱觀念混淆或是對稱點連接錯誤而產生錯誤，要求其點出對稱點，當我們在批閱時即可對學生答題過程有概略的了解。
如此的補救教學，偏重於紙上操作，而缺乏學生實地操作，不斷地反覆練習，無形上是給學生們一些強迫學習，「土法煉鋼」而能使得學生們漸漸釐清觀念，如此成效，著令我驚訝，在成績掛帥的教育下，或許能有些成效，但個人拙見認為此法可作參考，不值得鼓勵。
附錄6：實驗教材組用教材
附錄7：實驗教材組用教學活動設計
附
錄8：對稱圖形概念學習效果評量卷
附錄9：「如果你可以決定教材的刪改，你會建議將點對稱圖形的教材刪除或保留呢？說說看你的理由！」反應例
一、小朋友的反應例
1.贊成保留的理由：
《實驗教材組》
「刪除的話，四年級的同學，學不到這麼有趣的單元」
「這一課有趣、又好玩」
「這個單元是我數學科裡面最喜歡的單元」
「簡單又有挑戰」
「這單元很簡單，可以使數學不好的人有信心」
「可以讓弟弟、妹妹學到這麼好的教材」
「我們享受到這單元的樂趣，而我們的學弟學妹卻不能享受到，對他們來說，很不公平」
「因為那個一學就會，所以可以保留」
《現行教材組》
「因為要讓弟妹有更多的知識」
「雖然難，就應該加以學習」
「刪掉後，會出更難的單元」
「刪除的話，學弟學妹學不到」
2.贊成刪除的理由：
《實驗教材組》
「這個單元很簡單，根本不必學，自然會知道，太多的單元，學生恐怕受不了」
《現行教材組》
「實在太難了！根本沒辦法學」
「學得很無趣」
「因為不想學」
「可以讓後人簡單一點的學習」
二、教師反應例
保留，但必須在"教材、教法、評量"方面做適當的修正、補充。
a.從小培養對稱的空間概念有其必要性。
b.數學原本是活潑生動、刺激好玩的！但卻淪為今日學童的夢魘，究其原因，是當今數學教材過於艱深；偏重結果，忽略過程；忙於訓練計算能力，而無暇啟迪孩子思考的潛能......，而這一單元是孩子與老師的最愛之一，它可以不必加減乘除，卻能展開想像的翅膀，熬遊於真、善、美的童話世界！
c.最後我想說：從前我們無福接受點、線對稱圖形的曼妙教學而至今遺憾！今後，請別剝奪孩子學習成長的機會！研習會林老師的熱忱與創思，令我由衷欽佩，希望各界予以肯定、支持，讓此單元繼續存在，並且是有價值的存在！
附錄10：實驗教材組點對稱圖形「教」「學」後感言舉例
一､點對稱圖形學習感言
「平常的數學課，每次都要等好久，才等到了鐘聲，實在是有點受不了。可是上第十一單元卻不一樣。起初，聽說要教較艱難的第十一單元，心裡想，又要開始和數學搏鬥了，但是，上第一天的數學第十一單元，卻特別高興，因為老師用一種我們沒見過的教學用具教我們，大家在上課時都聽得津津有味，恨不得鐘聲別響，到了下課時，同學們都到講臺上轉一轉、摸一摸，玩得有說有笑，當然我也不例外。過後，我覺得上數學課並不會多難，只要課前預習，課後溫習，上課時專心、用心。也希望如果有較困難的單元，老師用更好的方式來教學。」
「自從我上了那節數學，我才深深體會到原來上數學課是這麼容易、簡單...。」
「說起上數學課就令我頭痛，可是這次可不一樣了，因為這次老師以活潑、生動來上課，一點也不頭疼...。」
「這一單元並不難，只要你上課認真學習，那你就能輕輕鬆鬆的學完這一單元，而不會覺得困難...。」
「上這一課時，本來我以為這個單元很難，原來這麼簡單，只要肯學習就好了。」
「這次數學課比以前上的好，因為以前我不太喜歡上數學課，而且課本看起來呆呆的沒有什麼變化，而這一次用的東西比較好，而且下課又能操作...。」
「四年級的數學課總是跟不上，沒想到五年級的點對稱，使我感到好玩，回家就不會有困難。」
「這幾天老師用這種方法教點對稱，使我學得很容易，這種教法使我感到容易多了，並且沒有那麼亂...。」
「我以前認為數學最困難了，可是這一單元讓我知道數學非常好玩。」
「以前我最討厭上數學課，自從上了點對稱以後，讓我覺得數學課很有趣。」
「我以前都很怕上數學課，但是這一次上的課很好、很有趣，我好希望能夠在再上一次呢！」
「這一單元的教學過程裡，竟然最不用功的小朋友也聽的很入神。」
「以前上數學課總是覺得很煩，而且又會想睡覺，上了這課以後，使我每天都想上數學。」
「我以前認為數學很難，可是經過老師的教導，我覺得數學並不難，只要認真去學，就不會覺得難了。」
「我覺得我們的教具很好，可以讓我們學好這一單元，還有這些教具讓我們下課充滿了快樂。」
「上點對稱時可以懂得很多，也可以考得很好，爸爸也不會打人...。」
二、點對稱圖形教學感言
劉雅惠師
數學在筆者成長的過程中，雖不至於是頭疼的科目卻是我暗自設定的拒絕往來戶，因為繁瑣、無趣、艱澀的數學課遠遠比不上其他課程的誘惑力......。一份精心設計的教材、教具，一張親切溫婉的笑臉，帶給我們五年三班師生一次難忘的記憶！小朋友雀躍歡喜，而我，更是感激滿懷！總覺得收穫最多的是我自己！
如果每一單元的教學，都是如此教具充足、教學合宜；如果每個老師都能永保高度熱忱、全心全意；如果教育的環境能不斷改善，排除障礙；如果政府能更重視教育界的沉痾，更鼓勵默默耕耘如林宜臻老師......如果，這些都是指日可待的理想，而不是我們日日驚醒的幻夢，相信兒童將有福！國家亦有幸！筆者也將不改投身粉筆生涯的初衷了！
附
錄11：小朋友點對稱圖形作品舉例
