你是我的另一半：五年級線對稱圖形教學活動設計

活動名稱

你是我的另一半

適用年級

五年級

教學節數

約三節

設計者

淡江大學教育學程(TKU93B 02黃健哲、10黃蘭筑、19黃綺紋)

教學學校

竹圍國小

教學班級

505

教學者

教學日期

教學節次

教學重點

2005. 6 .26

9：35~10：15

2005. 6 .26

10：30~11：10

教學準備

活動一：圖卡--正方形、正五邊形、一顆真心、星星、英文字母B和V。

活動二：圖片--風景和圖形、動物圖卡。

活動三：一半的字和鏡子、圖畫紙、彩色筆、色紙、剪刀。

資源

參考

林宜臻的數學園地：http://www.naer.edu.tw:8080/

康軒版數學五年級教師手冊【五下第四單元】

設計理念

對稱的觀念存在於各個學習領域。在數學領域方面，主要探討平面圖形與對稱的關係。自然與生活科技領域中，對稱存在大自然界，舉凡動物、植物、昆蟲等的外形都與對稱有關。而在藝術與人文領域裡，對稱的圖形給我們安定的感覺，而且許多圖畫作品與設計，都是以對稱為原則；然而，不對稱在此領域中也是一個重要的概念，不對稱給人衝擊、流動的感覺並很容易引人注意。對稱這個概念，存在於各個領域中。所以，活動設計可以突破學科領域的界線，統整對稱的概念，讓學生知道對稱不只限定在某個學科。

日常生活中，我們經常會看到「對稱」的圖形，也經常使用「對稱」這個名詞，一般所說的「對稱」，是對各種物件形狀的大略描述，就像日常生活使用的「相似」與「相像」是一樣的。我們常常照鏡子，由鏡中可以看到自己，甚至於我們可以用一半的圖，拿一面鏡子照照就可以看到全部。常常坐捷運總是會看到許多對稱的東西，想想這是與我們最相關的，更是引發學生思考的好題材－線對稱，從週遭環境中去發現對稱圖形之美，日常的器物或生物界存在許多對稱圖形，透過觀察文字能欣賞並體會文字之美。

再由認識生活中的對稱圖形作為引起動機並喚起舊經驗，教學的過程中著重在由學生主動操作，透過摺紙或電腦多媒體操作等方式來檢驗線對稱圖形，並瞭解線對稱圖形是兩邊全等的圖形。學生能藉由實際的摺紙操作而瞭解兩對稱點到對稱軸距離相等。再藉由電腦多媒體的展示可提高學生的學習動機，透過老師設計的電腦程式給學生親自操作線對稱的互動效果，進而提高學生的學習興趣增加學習效果，使學生於對稱性質能有更具體的概念。也讓學生從觀察、發現生活中的對稱，知道對稱就在我們的身邊。

教材地位

低 年級

中年級

高年級

數學本質之概念

線對稱

線對稱圖形是種較特殊的幾何圖形，人們常利用其結構的對稱性較有效地製作物件或圖案。就線對稱概念說明：

1.線對稱的意義

(1) 操作定型定義（直觀的概念）：

若一個圖形可沿著某一直線對折，使其在直線兩側的部分完全重合，這種圖形稱為關於此折線的對稱圖形，簡稱為線對稱圖形。

(2) 幾何上的意義：

一個圖形，若可以找到一條直線將其平分成兩半，使在其中一半內的任何點，都可以在另一半內找到一個對應點，使得這互相對應的點所連成的直線段，恰被平分此圖形的直線垂直平分，這個圖形即為一種線對稱圖形。

線對稱圖形中，將圖形平分成可重合的兩半之直線，稱為其對稱軸。分別在對稱軸之兩邊的兩點，若其連成之直線段恰好被此對稱軸垂直平分，這兩個點稱為關於此對稱軸互相對稱的點，一般常簡稱為對稱點。若將圖形對折時，分別在對稱軸兩邊，且正好處處疊合的兩條段，稱為關於此對稱軸的對稱線段（若該圖形為多邊形則可稱為對稱邊）。在對稱軸兩邊的區域，稱為對稱區域。若以稱軸通過該對稱圖形的內部，則在軸上的點的對稱點即為其本身。

2. 線對稱的本質概念

（1）對摺後能夠完全重疊的圖形，稱為線對稱圖形。

而對摺後的的摺線就是這個圖形的對稱軸。

（2）

數學概念之發展

根據Van Hiele 夫婦的說法，學生在合宜的教學下，其幾何的知識建構，將歷經下列五個階段，這五個階段必須循序漸進，無法逾越。

階段0：學生可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形。（例如三角形、角及平行直線）

階段1：學生從圖形的構成要素以及構成要素之間的關係分析圖形，並且實證地（例如折疊、用尺量、用縱橫格子或用特別設計的圖樣）發現某一群圖形共有的性質/規則。

階段2：學生透過給出或聽懂非正式地論證，把先前發現的性質邏輯地聯繫起來。

階段3：學生用演繹邏輯證明定理，並且建立相關定理的網路結構。

階段4：學生在不同的公設系統中建立定理並且分析比較這些系統。

Van Hiele 夫婦（1958）注意到學生的學習有不連續的跳越。「到了一個時刻，學的過程暫停了，然後它會繼續進行。這時學生似乎『成熟』了。教師在講解主題時並不成功。對那些尚未到達新階段的學生而言，教師似乎在講一種無法瞭解的語言。學生也許接受了教師的解釋，但是所教的課題不能進駐他們的心智中。學生覺得無助，也許可以模仿某些動作，但是他對他自己的活動沒有知覺，除非他已達到了新階段。」（朱建正，民86，194頁）「在前一階段是內含的事實到了下一階段以一種外顯的方式出現了。在階段0，圖形的辨識是因為它們的性質而決定的。但是在階段0作思考的學生並不覺察到這些性質。」Van Hiele說階段可用學生思考的對象的差異刻劃出來，例如在階段0，思考對像是幾何圖形。在階段1，學生在圖形的區類上運作，它們是階段0時的活動的產品，然後發現這些區類的性質。在階段2，這些性質又成為學生動作的對象，由此產生這些性質的邏輯次序。到階段3，這些邏輯次序的關係再次成為學生運作的對象。階段4的思考對象則是這些邏輯次序關係的「演繹基本假設」。每個階段有各自獨有的語言符號以及聯絡這些符號的關係系統。在一個層次為『正確』的關係，到了另一個層次顯得不正確。例如，考慮正方形和長方形的關係。兩個在不同層次作推理的學生無法瞭解對方的思考歷程。」後整體（具象）的結構（階段0）到視沈的幾何結構（階段1.2）到抽象結構（階段3.4），語言結構最是轉變的關鍵因素。Van Hiele（1959/1984）認為要從一階段進步到另一階段，依賴於合宜的教學多，依賴於年齡或生理上的成熟少。某種不合宜的教學也可以進行，此時學生依賴背育，導致階段的下滑。Van Hiele所採用的教學實驗設計分成五期。

資訊提供期：學生開始熟悉其工作領域（例如檢視例子與非例子）

向導期：學生在欲形成的知識網絡中的各種關係有關的工作上活動（例如折疊、用尺量、尋找對稱）。

明朗化期：學生覺察到關係，嘗試以話語表達，學習伴隨著對象事物而來的數學專門語言。

自由關連期：學生透過較複雜的工作學習在關係的網絡中找路（例如在知道一種四邊形的性質以後，調查另一種四邊形，例如箏形的同類性質）。

整合期：關於這個課題，學生總結他所學到的，然後反思他的運作，因而獲得一個原以屬於他的關係的新形成的網路。（例如，一種圖形的各種性質被總結了）。

迷思概念

1. 小朋友可能不易掌握什麼是旋轉180度。

2. 小朋友可能無法掌握旋轉後的情形是如何。

3. 小朋友可能知道是轉180度，但忽略了需大小相同才能完全重合。

4. 小朋友在線對稱上可能沒有注意圖形並沒有完全一樣。

5. 小朋友在線對稱上可能覺得圖案都一樣就忽略大小的差距或是只注意大小卻忽略圖案並不完全一樣。

處理的特色

1. 使 用手邊的書本當教具，每個小朋友都可以練習，可讓小朋友實際操作旋轉180度角，幫助其瞭解180度的概念。

2. 使用透明頁面，如投影片、薄塑膠片等，在上面畫上對稱圖形實際操作旋轉180度讓小朋友可以清楚看到透明頁面上的圖形旋轉後情形，以幫助產生更具體的概念。

3. 需多使用教具幫學生練習，具體的呈現點對稱、線對稱圖形，並且實際操作旋轉180度後的對稱圖形供學生分辨。

4. 運用透明頁面的效果，處理學生容易「忽略大小的差異」、「忽略圖形完全相同」等迷思概念。

5. 需多加練習，幫助小朋友多做抽象的思考，如：畫出對稱圖形。之後可以以小朋友畫出的圖形來探討是否符合線對稱或點對稱的定義為對稱圖形。

能力指標

具體目標

S-1-01 能由物體的外觀，辨認、描述與分類簡單幾何形體。

S-1-02 能描繪或仿製簡單幾何形體。

S-1-04 能認識平面圖形的內部、外部及其周界。

S-2-05 能理解旋轉角的意義。

C-R-01 能察覺生活中與數學相關的情境。

S-2-06 能理解平面圖形的線對稱關係。

5-s-04 能認識線對稱，並理解簡單平面圖形的線對稱性質。

一、從一般生活上接觸到的對稱經驗中，覺察到對稱顯示的意義。

二、能清楚的知道線對稱圖形所要求的是：對秤軸兩邊要完全一樣，才可以滿足對稱圖形的條件。

三、能夠清楚的分辨對稱圖形的對稱軸在哪裡，並且清楚的知道哪裡不符合對稱的條件。

四、生活經驗的對稱概念，聯結數學習得的對稱概念以及美學上的對稱均衡概念，理解文字以最簡單的型式呈現最複雜的奧妙和神秘。

五、透過實做、展現、敘述和闡釋活動，擴展出對稱概念的範疇，並可從審美的理性分析和直覺感知兩個向度，領略對稱現象呈現的均衡、重複、連續、簡單、複雜的美感，並應用這些能力於創作之中。

教學活動流程

具體

目標

活動主題

及進行方式

主要活動與問話

教學

資源

評量

一、從一般生活上接觸到的對稱經驗中，覺察到對稱顯示的意義。

關係洞察

個人思考

↓

小組分享

↓

全班分享

U黑板上圖卡幾何圖形中的線對稱圖形，並在該類別分別寫【正方形】、【正五邊形】、【一顆真心】、【星星】、【英文字母】。

對折後完全重合的圖形是線對稱圖形，這些圖形都是線對稱圖形嗎﹖

□ 是 □ 不是

理由是：

J將你的想法說給二人小組聽，看看說的合不合理。

J小組再一起討論。

J並和全班一起分享。

圖卡：

正方形、

正五邊形、

一顆真心、

星星、英文字母B和V

學生表達對於線對稱的想法

。

二、能清楚的知道線對稱圖形所要求的是：

對稱軸

兩邊要完全一樣

，才可以滿足對稱圖形的條件。

正誤區辯

個人思考

↓

小組分享

↓

全班分享

U各式各樣的圖片貼在黑板上。

 星星、月亮、太陽三個人一起出去玩，看到許多很特別的風景和圖形，每一張三人都有不同的看法，現在我們來幫他們看看到底是誰說的對。

【圖片一】

【圖片二】

【圖片三】

【圖片五】

太陽說：「我覺得全部都是線對稱圖形。」

星星說：「你說錯了，應該是【圖片二】和【圖片三】和【圖片五】才是線對稱圖形。」

月亮說：「不對，應該只有【圖片三】才是線對稱圖形。」

J小組再一起討論。

J並和全班一起分享。

圖片：

風景和圖形

學生表達對於線對稱的想法

。

三、能夠清楚的分辨對稱圖形的對稱軸在哪裡

，並且清楚的知道哪裡不符合對稱的條件。

概念確認

小組分享

↓

全班分享

U動物圖卡，每組二張

 泰山用網子抓了許多動物，要送給國王，但是國王只喜歡對稱的動物，只要有一點點不對稱就不行，那我們來幫泰山看看，要帶哪一些動物給國王？

J小組討論與分享自己的發現。

J每組將組員的大發現，寫在白板上與全班一起分享。

動物

圖卡

表達對於自己的觀察，有哪裡不一樣。

四、生活經驗的對稱概念，聯結數學習得的對稱概念以及美學上的對稱均衡概念，理解文字以最簡單的型式呈現最複雜的奧妙和神秘。

概念再製

小組分享

↓

全班分享

U給每組一面小鏡子。

 哈姆太郎寫了一封信給大老闆，因為太忙了大老闆沒時間看，結果被白蟻吃掉了一半，大老闆說：「

哇！不知道哈姆太郎要跟我說什麼」，我們來幫大老闆想一想怎麼辦好。

哈姆太郎大老闆

J小組討論自己的所看到的字是什麼。

J每組將組員所看到的另一半字，寫在白板上與全班一起分享。

每組各拿2個字

、每組一面鏡子

會使用鏡子，找字。並寫出另一半的字。

五、透過實做、展現、敘述和闡釋活動，擴展出對稱概念的範疇，並可從審美的理性分析和直覺感知兩個向度，領略對稱現象呈現的均衡、重複、連續、簡單、複雜的美感，並應用這些能力於創作之中。

概念應用

個人思考

↓

小組分享

↓

全班分享

U每人一張圖畫紙和每組一合彩色筆。

 動動腦，想想看。請依照自己喜歡的主題畫出線對稱圖形，請把它畫下來與大家一起分享。

J自己動手畫。

J小組討論與分享自己的想法。

J每組組員將自己的作品與全班一起分享。

U每人一張色紙和一把剪刀。

 動動腦，想想看，動手做做看。我們可以寫出一邊的字，對折將一半的字剪下來，我們就可以看到全部的字。

例如：

J自己動手做做看。

J將自己的作品與全班一起分享。

每人一張圖畫紙和每組一合彩色筆。

每人一張色紙和一把剪刀。

動動腦，想想看

，動手做做看。