國立教育研究院籌備處九十二年度研究計畫成果報告
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形成性評量教學活動對一年級學童數學概念之影響
計畫類別：個別型研究計畫
處理方式：可立即對外參考
執行單位：國立教育研究院籌備處
執行期間：92年1月1日至92年12月31日
林宜臻
Yi-Jen Lin
國立教育研究院籌備處研究組
National Academy for Educational Research,ROC,Preparatory Office
地址：台北縣三峽鎮三樹路二號
電話：8671-1232 傳真：8671-1247
個人網站：http://www.naer.edu.tw/study/math/jen/
摘要
形成性評量教學活動對一年級學童數學概念之影響
林宜臻 Yi-Jen Lin
國立教育研究院籌備處研究組
個人網站：http://www.naer.edu.tw/study/math/jen
本研究旨在探討結合形成性評量的教學活動模式，是否裨益於一年級學童數學本質概念之掌握。本研究發現：學童的概念掌握的變異來源，來自教學活動設計的不同。接受結合形成性評量教學活動設計的實驗教材組的中位數值高於現行教材組，而且較現行教材組的分佈集中，相對於現行教材組的42.7%通過率，實驗教材組的通過率達80.5%。由以上的發現可以得知：(1)經由主體性引導方式，讓學童由關係洞察、正誤區辯―概念確認、概念再製、概念應用等過程，俾於數學本質概念的掌握。(2)以形成性評量為媒介的數學教學活動設計，在高年級的圖形概念建立有效外(林宜臻，88､89a)，運用於一年級，仍有助於學童數學本質概念的掌握。(3)教學過程進行中與進行後，皆須施以形成性評量，方能確立概念。
關鍵詞：形成性評量﹑教學活動設計、數學本質概念
目 錄
二、文獻探討 1
(一) 課程設計的有效性 1
(二) 形成性評量的重要性 2
(三) 概念學習 2
三﹑研究方法 3
(一) 研究對象 3
(二) 研究過程 3
(三) 研究工具 4
四、結果與分析 6
(一) 子概念效果比較 6
(二) 整體效果比較 15
五、結論與建議 19
(一) 結論 19
(二)教育應用上的建議 20
六、參考文獻 21
(一) 中文文獻 21
(二) 日文文獻 22
(三) 英文文獻 22
附錄 23
附錄1：一上評量試卷 23
附錄2：一上評量卷施測說明 25
附錄3：[數到20]教學活動設計 26
附錄4：[長度比較]教學活動設計 31
附錄5：[加一加]教學活動設計 39
附錄6：[減一減]教學活動設計 45
附錄7：[現在幾點鐘]教學活動設計 49
附錄8：[這是什麼形狀]教學活動設計 57
附錄9：形成性評量教學後的省思 64
圖 表 目 錄
圖目錄
表目錄
表1：[數字大小]比較6
表 2：[數字大小比較]教學活動設計比較7
表3：[序數概念]比較8
表4：[形狀判別]比較9
表5：[鐘面認識]之比較10
表6：【認識[幾點鐘]與[幾點半]】鐘面教學活動設計比較11
表7：長度認識之比較13
表8：加法與減法算式圈選一覽表14
表9：[列算式]比較15
表10：不同教材組平均數考驗15
表11：不同教材別子概念答對率及顯著性差異比較16
表12：不同教材別子目標多變量變異數分析17
表13：實驗教材組與現行教材組子目標單因子變異數差異考驗摘要表17
表14︰實驗教材組與現行教材組各子目標的平均數與標準差17
表15：實驗教材組與現行教材組總分通過率之比較18
表16：兩類型學校平均數考驗19
――形成性評量教學活動對一年級學童數學概念之影響
一、研究背景與目的
隨著彈性時間的設置，節數減縮的現況，如何讓學童在有限的時間內，獲得知識與技能的同時，具有能力，其方法之講究，有其必要。教室現場的教師發問，將近百分之九十屬於事實發問與理解發問(ｼﾞｪ－ﾝﾊ－ﾘ－／西村辨作新美明夫編訳，1992 )，缺乏讓學生組織概念的機會，許多學生對於數學學習，僅是工具性的學習(instrumental lear-ning)，而非關係性的瞭解(relational understanding)，形成只會套式解招而未能真正掌握數學本質概念的「會未必懂」現象。
當各種教學主義的呼聲甚囂塵上的當際，如果我們不希望我國的課程淪為外國的實驗室，那麼如何從本國的實際教學情境中，建立有效的課程設計理論，讓學童獲得知識與技能的同時，具有能力，並透過實證研究，觀其在教育應用的可能性，將「為何能知」與「如何獲知」轉化成「如何教知」的方法，以致收「教師能教」與「學生能學」之效果，值得教學研究者的我們深思之重要課題(張春興，民77)。Piaget強調概念的發展決定於生物個體的成熟與否，相對於此，Vygotsky 主張「成長步隨著教育的痕跡展開」，其鷹架（scaffolding）理論，視內醞化的過程，藉由外顯的設計，兒童智能將獲得更進一步的發展。林宜臻(民88，89a)的研究結果指出：以形成性評量(formative evaluation)為媒介的數學教學活動設計，在高年級的圖形概念建立確實有效，運用於一年級時，是否仍有助於數學本質概念的掌握，有待進一步探討
根據上述，本研究的目的在於瞭解結合形成性評量機制的數學教學活動設計，對於認知層面成長的可能性。基於上述的研究目的，本研究擬回答[數學教學活動設計結合形成性評量機制，對於一年級學童的數學本質概念掌握，是否更有助益？]之問題。
二、文獻探討
(一) 課程設計的有效性
林宜臻(民81、89a)以自行設計之結合形成性評量機制的教學活動設計，對班後段學童施以補救教學後，發現即使是班後段的學童，線對稱圖形的通過率由38.9%提升至88.9%，點對稱圖形方面的通過率也由2.8%提升至72.2%。同一研究中，以265人為研究對象，發現高智商組在現行教材下，點對稱圖形的通過率為53.4%，實驗教材下的通過率則為79.1%，兩者通過率相差25.7%；低智商組在現行教材下，點對稱圖形的通過率只有16.0%，相對於此，實驗教材下的通過率達55.6%，兩者相差高達39.6%。林宜臻(民88)的擴大圖、縮圖試探性研究中，發現使用形成性評量教學活動設計，即使是四年級或是五年級學童，成績高於六年級對照組，而且分數集中。以571人為研究對象時，實驗組市立國小5年級的平均得分居然高於同校對照組的六年級(p<.05)，由此可見，年級的高低並不與學生表現間有其正相關，而與課程之設計有關，其中結合形成性評量的機制，確有助於數學領域目標之達成，為可行之途徑。
(二) 形成性評量的重要性
相對其他學科，數學的邏輯性相當高，前置概念的奠基穩固與否，將影響日後概念的學習，「形成性評量」的即時回饋修正機制，提供學生機會，確實掌握概念的達成，避免因途中的挫敗，在概念無法銜接下，放棄數學。「形成性評量」緣起於Bloom用之於改善教學。Bloom的研究發現，學生學習能否成功，主要受到兩類因素的影響。一是如智力、家庭社會經濟地位等「不可變的因素」，另一是認知的始點﹑環境中的互動﹑回饋與修正的有否等「可變的因素」，ブルーム(1983)的「精熟學習」理論中強調使力於「可變的因素」，任何教師幾乎能夠協助所有的學生學習成功，其關鍵要素在於教學中結合「形成性評量」的過程。先行訂定行為目標，教學過程中施以「形成性評量」，對未達既定標準之學童，予以補救教學，已達者則進行加深加廣的學習(林宜臻，1985 [日文版] )。
一般而言，形成性評量的主要意義在於判斷教學活動是否達成目標的一種過程，藉此了解教學是否有效，作為實施補救教學的根據，希望學生的行為隨著教學歷程而逐漸改變，使最後能達成教學目標。研究者以為新概念建立之際，若能事前掌握學生的學習困難處，並就相關概念進行良好之路徑編織，勝於事後之補救，故本研究中之[形成性評量]，重視學童可能迷思概念的事前掌握，以及概念形成階段的即時回饋修正，而非僅是補救教學之用。此形成性評量的定位不在於等第的劃分，也不是瑣碎知識的再現成功，而在於引導學生形成能力導向的學習態度，促成學生對數學本質概念的掌握及思考的活絡化，以改進教學方法，提升學童更高層次的認知能力，而非只會作答而不知所以然。
(三) 概念學習
概念形成與概念同化，是兒童獲得概念的兩種基本形式。[概念形成]指學生從許多具體例中，以歸納的方式概括出同類事例的本質屬性，從而獲得概念的。心理過程主要包括辨別、分類、抽象、演譯等活動。概念同化是利用已經掌握的概念去學習新概念，或者修改舊概念使之適應新學習需要的過程。概念形成主要依靠對感性材料的抽象概括，而概念同化則主要依靠對感性經驗的抽象概括。因此，感性材料或感性經驗是影響概念學習的重要因素。林福來1指出抽象化歷程需經搭橋、編織過程。黃家鳴(1998)指出教師若不能讓思考重回學習的起點，看到初學者可能會經歷的難關、疑點和問題，教師不以熟識習慣的事物為理所當然，就無從協助學童建立概念、掌握運算的意義。由於符號或圖象等可表達數學概念和關係，方能利用此共同媒介互相溝通數學思考，因此，缺乏概念理解的符號運算將會變成純粹的符號操作，教師教學時應將數學概念、關係與其外在表象諸如符號、圖象等連繫，進而以外在表象本身為對象，進行運算或推導所需的結果。故應將數學概念、關係及其不同的外在表象方式連繫一起來探究、討論，對學生的數學學習將有所裨益。在不同階段有著不同抽象程度的外在表象，亦可以存在不同但同樣有效的表象方式。數學內容可經由(1)突顯具體情境的數學概念，(2)操弄用以表達數學概念、關係的實物模型和教具，(3)以圖畫、圖形、圖表，(4)以語言、文字，(5)以符號、數式等表達方式闡述。教學過程中運用這五種表象方式來闡述數學內容，以促進學生連結及靈活利用這些不同的表象方式。
三﹑研究方法
(一) 研究對象
本研究為避免教學經驗的變異，導致結果的擴大解釋，以教學經驗淺的L國小實習教師班級為實驗組，採用結合形成性評量教學活動設計；同校一年級的其他班級為對照組，採用現行教材，探討數學教學活動設計結合形成性評量機制，對於一年級學童的數學本質概念掌握，是否更有助益，此外，一般教師認為學童家長的社經背景影響學童先備經驗，進而影響學童概念學習，故本研究不同教學設計組採同一學校外，並以使用同樣的現行教材的L國小一年級７個班級227名及S國小一年級全體5個班級144名學童表現，探討一年級學童的數學本質概念認知的變異，是否來自學校類型之不同，其中L國小是文化刺激及家長社經背景高的都會型學校，S國小則是都會邊緣的老社區，文化刺激及家長社經背景偏低。
(二) 研究過程
一年級上學期的整學期，實驗教材組採用形成性評量教學活動設計進行教學，對照組則採用現行教材的教學活動設計進行教學，並利用期末考(※1年級第1學期只安排此次考試)後的92年1月15日進行測試。為避免一年級學童的語文能力影響作題，若有學童無法讀題，只要不給解答的暗示，施測者可以幫忙唸題，由於非速度測驗，施測者須給學童充分作答的時間(參見p.26附錄 2：一上評量卷施測說明)。
(三) 研究工具
1.教學活動設計結合形成性評量機制
本研究中實驗教材組的教學活動設計，限制以之圖1模式為形成性評量教學活動編製之準則﹕
係洞察
誤區辨
念
素材
問題解決化 過程 形成性評量化
個 | 小組回饋-自我修正 | 全班檢討 |
根據理由的追問 | ||
人思考言語化模式中經由關係洞察、正誤區辨- 概念確認、概念再製、概念應用過程，掌握數學本質概念，且以[根據理由為何]的追問方式呈現，首先讓兒童個人思考言語化，而後在小組回饋下，自我修正，進而全班檢討，取得共識。過程中的形成性評量，其定位不在於等第的劃分，也不是瑣碎知識的再現成功，應進一步引導學生形成能力導向的學習態度，及促成學生對數學本質概念的掌握與思考的活絡化，提升學生更高層次的認知能力，進而將概念應用在生活經驗。因此，形成性評量教學活動設計時，應與生活連結，以形成概念﹑促進思考，也必須提供兒童自我修正的機會，避免過於枝節或強調技術性的熟練。
2.評量工具
（１）測驗內容
本測驗工具的產生，首先分析一上教材內容及其目標，作為編製試題的依據，內容包括：數的認識與大小的比較､長度比較､日常生活的加減問題､形狀認識(長方形､三角形､正方形等)、鐘面認識(幾點鐘､幾點半)等。
（２）工具的信度與效度
本測驗的目的在於掌握學童對於數學概念的瞭解情形，因此採效標參照。
甲．信度
以371名國小一年級學童為樣本，將測驗的同類題目分成兩部分各求其總分，再以Pearson積差相關雙尾檢定，求得相關系數為.468**(P<.01)，顯示本測驗之內部一致性高。
乙．效度
測驗的效度旨在考驗其能否測量所欲測量的行為特質，本測驗工具，係筆者根據教學目標與內容編寫而成，具有內容效度。
另採主成分分析法(principal component analysis)抽取共同因素，以均等變異法(equamax)的直交轉軸(orthogonal rotation)方式，讓所解釋的變異儘量均等。所得結果如下：
因素 題目 | 因素1 | 因素2 | 因素3 | 因素4 |
形狀典型例 | 形狀非典型例 | 數字大小比較 長度比較 | 算式判斷 | |
圓形 | .807 | |||
三角尖中 | .725 | |||
正方形 | .638 | |||
長方橫放 | .421 | |||
三角左下 | .912 | |||
三角左上 | .893 | |||
長方直立 | .484 | |||
比12與7 | .837 | |||
比18與15 | .791 | |||
比61與29 | .424 | |||
算式減法 | .721 | |||
算式加法 | .558 | |||
排序 | .473 | |||
三點半3 | -.617 | |||
五點長短 | .516 | |||
九點半 | .491 | |||
下長 | -.473 | |||
彎直一樣 | .435 | |||
特徵值 | 2.92 | 1.98 | 1.86 | 1.58 |
解釋變異量 | 14.60% | 9.90% | 9.30% | 7.91% |
累積的解釋變異量 | 41.72% | |||
研
究者原設之概念計有[數大小的比較]､[長度比較]､[形狀(長方形､三角形､正方形､圓形)
認識]､[鐘面(幾點鐘､幾點半)辨識]
､[算式判斷]。採主成分分析法抽取，發現[數大小的比較]､[算式判斷]與研究者原設之概念相吻合。另[鐘面(幾點鐘､幾點半)
辨識]涉及指針的長短，所以與[長度比較]
屬同一因數。形狀概念區隔成兩因素，究其竟在於難度，對於一年級小朋友而言，相對於常見而言，又是另一概念。整體而言，本工具具有某種程度的建構效度。
(四)統計處理
(1)以t檢定進行考驗，以了解數學成績與不同教材間有無相關存在。
(2)以卡方(χ2)同質性檢定考驗不同教材組學童的各子概念答對率之差異情形。
(3)以卡方(χ2)同質性檢定考驗不同教材組學童通過人數百分比之差異情形。
(4)以本單因子多變量變異數分析(MANOVA)的顯著性考驗分析不同教材組在不同子目標下表現的差異情形，當差異達到顯著水準，則以單因子變異數進一步分析其差異。
(5)以t檢定進行考驗，以了解數學成績與學校類型間有無相關存在。
(6)以卡方(χ2)同質性檢定考驗不同學校類型學童的各子概念答對率之差異情形
上述統計以SPSSP/PC+套裝軟體處理。
四、結果與分析
究竟接受結合形成性評量教學活動設計者的成績與接受傳統教學活動設計者的成績是否有差異，以下依據各子概念答對率，分析不同類型學校及不同教材組的各子概念答對率，結果如下:
(一) 子概念效果比較
1.數字大小比較
題目 統 組別 | 一､哪個數字比較大，大的數字請打 | |||||
1815 | 12７ | 6129 | ||||
S國小(N=144) | 96.5% | χ2＝.02 df=1 p=.88 | 96.5% | χ2＝.48 df=1 p=.48 | 66.7% | χ2＝2.03 df=1 p=.15 |
L國小(N=226) | 97.4% | 98.2% | 73.6% | |||
現行教材組 (N=227) | 97.4% | χ2＝.73 df=1 p=.39 | 98.2% | χ2＝.00 df=1 p=1.00 | 73.6% | χ2＝.48 df=1 p=.48 |
實驗教材組 (N=133) | 99.2% | 98.5% | 77.4% | |||
A班(N=31) | 100.0% | χ2＝2.87 df=3 p=.41 | 100.0% | χ2＝5.79 df=3 p=.12 | 77.4% | χ2＝2.98 df=3 p=.39 |
B班(N=35) | 100.0% | 100.0% | 68.6% | |||
C班(N=35) | 100.0% | 100.0% | 85.7% | |||
D班(N=32) | 96.9% | 93.8% | 78.1% | |||
計值由表1可以得知：[數字大小比較]方面，不同類型學校及不同教材間並無顯著差異(p >.05)。其中一上範圍[18與15]數字大小比較的答對率為96.5%及98.2%，[12與7]數字大小比較的答對率為96.5%及99.1%時，但是超過一上範圍的[61與29]數字大小比較時，答對率分別只有66.7%與73.9%。實驗教材組也只有77.4%，進一步依班別分析時，發現C班通過率為85.7%，B班通過率只有68.6%，所以比較兩班的教學活動設計如下：
B班 | C班 | |
關 係 洞 察 | U 16 26
11、6、2、6各代表什麼意思？ J將你的想法說給小組聽，看看說得合不合理。 一條長條代表多少個呢？為什麼這26下面會有這2條長條呢？ J將你的想法說給全班聽，看看說得合不合理。 這16的”1”是什麼呀？是指這1個小方塊嗎？還是指別的呢？ J將你的想法說給全班聽，看看說得合不合理。 |
2、3、1、4各代表什麼﹖ |
正 誤 區 辨 | U老師在黑板上寫下「11」 1這兩個1，代表的意義一樣嗎? J將你的想法說給全班聽，看看說得合不合理。 | 3 2
|
概念確認 | 分組競賽： 師問：36有幾個10？幾個1？ 生答：36有3個10，6個1。 | |
由表 2可以看出，B班與C班都經由[關係洞察]進行位值概念之掌握，然[正誤區辨]部分，C班的方式較B班容易進行，此外，C班有進行[概念確認]，B班並沒有。
2.序數概念
題目 統計值
組別 | 二
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) | |
S國小(N=144) | 99.3% | χ2＝1.90 df=1 p=.16 |
L國小(N=226) | 96.5% | |
現行教材組 (N=227) | 96.5% | χ2＝.00 df=1 p=1.00 |
實驗教材組 (N=133) | 97.0% | |
由表3可以得知：[序數概念]兩校間並無顯著差異，而且不因教學活動設計的不同有顯著差異，達九成六以上的小朋友能掌握[序數概念]。
3.形狀判別
題目 統計值 | 三､認為為對的，請打 o，錯的請打 × | ||||||||||
|
|
|
| ||||||||
組別 | 這是圓形 | 這是長嘗方形 | 這是三角形 | 這是長嘗方形 | |||||||
S國小(N=144) | 99.3% | χ2＝.00 df=1 p=1.00 | 19.4% | χ2＝8.60 df=1 p= .00 | 51.4% | χ2＝1.90 df=1 p= .16 | 83.3% | χ2＝.63df=1 p=.42 | |||
L國小(N=226) | 99.6% | 33.5% | 44.1% | 86.3% | |||||||
現行 教材組 (N=227) | 99.6% | χ2＝.00 df=1 p=1.00 | 33.5% | χ2＝59.90 df=1 p= .00 | 44.1% | χ2＝4.62 df=1 p=.03 | 86.3% | χ2＝9.65 df=1 p=.00 | |||
實驗 教材組 (N=133) | 100.0% | 78.9% | 56.4% | 97.0% | |||||||
統計值
| ( | ( | ( | (8)
| |||||||
組別 | 這是三角形 | 這是正方形 | 這是三角形 | 這是長嘗方形 | |||||||
S國小(N=144) | 50.7% | χ2＝.44 df=1 p=.50 | 96.5% | χ2＝.00 df=1 p=1.00 | 97.2% | χ2＝.00 df=1 p=.99 | 90.3% | χ2＝.19 df=1 p=.65 | |||
L國小(N=226) | 47.1% | 96.9% | 97.8% | 91.6% | |||||||
現行 教材組 (N=227) | 47.1% | χ2＝7.24 df=1 p=.00 | 96.9% | χ2＝.33 df=1 p=.56 | 97.8% | χ2＝1.58 df=1 p=.20 | 91.6% | χ2＝1.38 df=1 p=.24 | |||
實驗 教材組 (N=133) | 62.4% | 98.5% | 100.0% | 95.5% | |||||||
6)
7)
由
表4可以得知：形狀判別上，題目若與課本的擺放方向相同時，兩類型學校的答對率高達90.3%~99.6%，他如有缺口，答對率下降為19.4%､33.5%。三角形也有相同現象，如常見的答對率為97.2%與98.7%，擺放的方向改變成時，答對率只有44.6%~50.7%，此種現象並不因學校類型而有所不同(p
>.05)。
整
體而言，實驗教材組[形狀判別]的答對率均高於現行教材組，尤其是非封閉區域具缺口的長方形和直立長方形及非典型擺放方向的三角形，均有顯著差異(p<.05)，即便如此，實驗教材組的答對率只有56.4%，值得檢討。
陳
創義(民92）指出95%國中生在圖形分類時，受到典型例(如：等腰三角形的兩腰是必須立著，而其底邊為水平)影響，本研究中，也發現到形狀判別上，題目若與課本的擺放方向相同時，實驗教材組答對率高達95.5%
~100%，現行教材組答對率高達91.6%
~99.6%兩，當非典型例時，如有缺口的長方形、直立長方形和擺放方向變成的三角形時，實驗教材組答對率下降為56.4%以下，現行教材組答對率下降為33.5%以下。國小生在圖形辨認時，也受到典型例影響，但實驗教材組的圖形辨認尤其是非典型圖形辨認的答對率均高於現行教材組，且有顯著差異(p<.05)，意味著教材的設計將影響學童形狀概念的建立。
4.鐘面認識
四､認為危長嘗針和和短針都指對請打o圈，指錯請打× 叉 | ||||||||
題目 統計值
組別 | ( | (2) | (3) | (4) | ||||
這是5點 | 這是3點半 | 這是9點半 | 這是8點 | |||||
S國小(N=144) | 63.9% | χ2＝.18 df=1 p=.66 | 35.4% | χ2＝34.36 df=1 p=.00 | 66.0% | χ2＝65.82 df=1 p= .00 | 93.8% | χ2＝.04 df=1 p=.83 |
L國小(N=226) | 61.7% | 66.5% | 96.9% | 94.3% | ||||
現行教材組 (N=227) | 61.7% | χ2＝.35 df=1 p=.55 | 66.5% | χ2＝.06 df=1 p=.79 | 96.9% | χ2＝.00 df=1 p=1.00 | 94.3% | χ2＝.02 df=1 p=.86 |
實驗教材組 (N=133) | 65.4% | 68.4% | 97.0% | 93.2% | ||||
A班(N=31) | 41.9% | χ2＝10.98 df=3 p= .01 | 80.6% | χ2＝9.84 df=3 p= .02 | 100.0% | χ2＝2.78 df=3 p= .42 | 93.5% | χ2＝5.12 df=3 p= .16 |
B班(N=35) | 65.7% | 80.0% | 97.1% | 97.1% | ||||
C班(N=35) | 77.1% | 62.9% | 97.1% | 97.1% | ||||
D班(N=32) | 75.0% | 50.0% | 93.8% | 84.4% | ||||
1)
由表5可以得知：當鐘面正確呈現整點鐘時，答對率為93.8%與94.3%，不同類型學校間並無顯著差異，當鐘面長針指5短針指12時，學童能指出不是[5點鐘]的答對率只有63.9%與61.7%。當鐘面正確呈現9點半鐘面時，L國小學童答對率為96.9%，S國小學童的答對率為66.0%。非例呈現[3點半]鐘面(長針指6，短針指3)時，L國小學童能指出不是[3點半]鐘面的答對率，下降為66.5%，S國小也只有35.4%。
整體而言，實驗教材組的表現優於現行教材組，但無顯著差異。進一步分析發現實驗教材組的A班非例整點鐘的答對率只有41.9%，但非例幾點半的答對率卻高達80.6%，於是進行實驗教材組A班的[幾點鐘]與[幾點半]鐘面教學活動設計比較。
幾點鐘 | 幾點半鐘面認識 | |
關係洞察 | U老師在黑板上呈現下列鐘面，並說明各為「幾點鐘」。
這是3點 | U老師在黑板上呈現下列鐘面，並說明各為「幾點半」。
|
|
這是6點半 | |
|
這是9點半 | |
仔細看看，3點﹑5點與9點的時候，長針與短針各是指著哪個數字。 | 仔細看看，3點半﹑6點半與9點半的時候，長針與短針各是指著哪個數字。 | |
3點(鐘)：長針指著，短針指著 5點(鐘)：長針指著，短針指著 9點(鐘)：長針指著，短針指著 整點鐘時，長針都指著，短針如何指﹖ J將你的觀察說給二人小組聽，看看說的合不合理。 | 3點半：長針指著，短針指著 5點半：長針指著，短針指著 9點半：長針指著，短針指著 幾點半時，整點鐘時，長針都指著，短針如何指﹖ J將你的觀察說給二人小組聽，看看說的合不合理。 | |
正誤區辨 | U老師在黑板上呈現下列鐘面。
這是3點(鐘)，對不對？□對□不對 理由是： J將你的想法說給二人小組聽，看看說的合不合理。 | U 1這是７點半，對不對？□對□不對 理由是： J將你的想法說給二人小組聽，看看說的合不合理。 |
概念再製 | U老師撥弄時鐘，出數題測驗學生。 這是幾點鐘？ J將你的答案寫在小白板。 U老師出題，請學生調出指定的時間。 J請你用小時鐘撥出正確的時間。 | U老師撥弄時鐘，出數題測驗學生。 這是幾點半？ J將你的答案寫在小白板。 U老師出題，請學生調出指定的時間。 J請你用小時鐘撥出正確的時間。 |
概念應用 |
1靜香和大雄約好，下午４點要到大雄家玩。大雄吃過午飯後，就一直期待４點能趕快到。在房間裡等得不耐煩的大雄，後來跑到客廳去等，當他抬頭看 | |
牆上的鐘後，很生氣的說:「靜香遲到了，都４點半了，怎麼還沒到啊!」 如果你是小叮噹，你要怎麼樣告訴他才合理呢？ □對呀，靜香太不守時了。因為 □不對，靜香才沒有遲到呢！因為 將你的想法說給二人小組聽，看看說的合不合理。 |
由表6的[幾點鐘]與[幾點半]鐘面認識教學活動設計的比較，我們發現兩個教學活動設計都經由[關係洞察]、[正誤區辨]、[概念再製]的過程，唯一的差別在於[幾點半鐘面]認識的教學活動設計，有[概念應用]的場景，讓學童能再一次注意到短針概念確認。
5.長度認識
題目 統計值
組別 | 五､認為對的，請打o，錯的請打× | |||
兩條繩子一樣長[嘗 |
| |||
S國小 (N=144) | 90.3% | χ2＝21.68 df=1 p=.00 | 58.3% | χ2＝.01 df=1 p=.90 |
L國小 (N=226) | 69.6% | 57.7% | ||
現行教材組 (N=227) | 69.6% | χ2＝6.04 df=1 p=.01 | 57.7% | χ2＝10.39 df=1 p= .00 |
實驗教材組 (N=133) | 82.0% | 75.2% | ||
A班(N=31) | 77.4% | χ2＝19.04 df=3 p= .00 | 67.7% | χ2＝3.17 df=3 p=.36 |
B班(N=35) | 97.1% | 82.9% | ||
C班(N=35) | 91.4% | 80.0% | ||
D班(N=32) | 59.4% | 68.8% | ||
由表7可以得知：長度比較方面，題目呈現兩端對齊的一條直一條彎的兩條線，問此二條線是否一樣長，S國小的答對率90.3%､L國小69.6%，此種現象因學校類型而有所不同(p> .05)，L國小各項概念答對率優於S國小，該概念表現劣於S國小，值得注意。課本插圖呈現長度比較時，習慣左側對齊，比較右側以決定長短，所以題目呈現兩支一樣長的鉛筆，下方鉛筆較上方鉛筆右移一節，問下方的鉛筆是否較長，此題的答對率只有58.3%與57.7%，此種現象也並不因學校類型而有所不同(p=.000)。
整體而言，實驗教材組的表現優於現行教材組，且有顯著差異(p<.01)。實驗教材組的B班與C班較A班與D班兩班表現好的原因，在於B班與C班分別觀摩A班與D班的教學後，修正教學活動設計，再進行教學。
6.列算式
題 目 | 算式 | S國小 | L國小 | |
(1)媽媽要替小綿羊 | 1+1+2=4 | 41.1% | 57.3% | |
4+4=8 | 複選 | 60.6% | 55.1% | |
單選 | 50.7% | 34.4% | ||
4+2=6 | 10.1% | 24.7% | ||
(2)老師的鉛筆盒有8支筆，給了小華､小明､小英3人各1支筆，請問老師鉛筆盒，現在共有幾支筆﹖ | 8+3+1=12 | 16.3% | 25.1% | |
8-3-1=4 | 15.6% | 26.4% | ||
8-3=5 | 複選 | 76.8% | 77.5% | |
單選 | 68.8% | 60.4% | ||
由表8可以得知：由於加法算式題目中有1､1､2的數字，所以高達41.1%與57.3%的學童圈選1+1+2=4，單一正確圈選4+4=8只有50.7% 與34.4%。
減法題目有[共有]兩字，所以也有16.3%與25.1%的學童圈選8+3+1=12算式，另有利用題目中的8､3､1的數字圈選[8-3-1=4]佔15.6%､26.4%。單一正確圈選8-3=5算式佔68.8%與60.4% 。能正確判斷加法算式只有50.7%與34.4%。
題目 統計值
組別 | 六､對的算式請打 o，錯的請打 × | ||||||||||||||||||
(1)媽媽要替小綿羊
| (2)老師的鉛筆盒有8支筆，給了小華､小明､小英3人各1支筆，請問老師鉛筆盒，現在共有幾支筆﹖
| ||||||||||||||||||
S國小 (N=144) | 50.7% | χ2＝9.73 df=1 p=.00 | 68.8% | χ2＝2.68 df=1 p=.10 | |||||||||||||||
L國小 (N=226) | 34.4% | 60.4% | |||||||||||||||||
現行教材組 (N=227) | 34.4% | χ2＝11.56 df=1 p=.00 | 60.4% | χ2＝17.11 df=1 p= .00 | |||||||||||||||
實驗教材組 (N=133) | 52.6% | 83.5% | |||||||||||||||||
A班(N=31) | 45.2% | χ2＝14.82 df=3 p=.00 | 80.6% | χ2＝6.59 df=3 p=.08 | |||||||||||||||
B班(N=35) | 80.0% | 97.1% | |||||||||||||||||
C班(N=35) | 45.7% | 77.1% | |||||||||||||||||
D班(N=32) | 37.5% | 78.1% | |||||||||||||||||
整體而言，實驗教材組的表現優於現行教材組，且有顯著差異(p=.00)。但實驗教材組的答對率只有52.6%，其中D班的答對率只有37.5%，究其因在於該單元係早期發展的單元，教學流程中，雖有[關係洞察]的過程，但缺乏[正誤區辨]，所以概念建立不夠穩固。
(二) 整體效果比較
整體而言，接受結合形成性評量教學活動設計者的成績與接受傳統教學活動設計者的成績是否有差異，統計結果如下：。
平均數相等的t檢定 | ||||
t | 自由度 | 顯著性(雙側) | 平均差異 | 標準誤差異 |
6.913 | 358 | .000 | .000 | 1.7423 |
7.204 | 312. 051 | .000 | 1.7423 | .2418 |
由表10雙側平均數相等t檢定結果發現p= .000<α = .001，達到顯著水準。可知學生的概念掌握因教材組之不同，而有所差異。進一步分析不同教材組各子概念答對率，結果如下：
現行教材組 (N=227) | 實驗教材組 (N=133) | Valu | df | Asymp.Sig. (2-sided) | Exactig. (2-sided) | |
比18與15 | 97.4% | 99.2% | 1.573 | 1 | .210 | .267 |
比12與 7 | 98.2% | 98.5% | .034 | 1 | .853 | 1.000 |
比61與29 | 73.6% | 77.4% | .672 | 1 | .412 | |
排序 | 96.5% | 97.0% | .069 | 1 | .792 | 1.000 |
圓形 | 99.6% | 100.0% | .588 | 1 | .443 | 1.000 |
長方形缺 | 33.5% | 78.9% | 69.350 | 1 | .000 | |
三角左上 | 44.1% | 56.4% | 5.111 | 1 | .024 | |
長方直立 | 86.3% | 97.0% | 10.835 | 1 | .001 | |
三角左下 | 47.1% | 62.4% | 7.846 | 1 | .005 | |
正方形 | 96.9% | 98.5% | .859 | 1 | .354 | .494 |
三角尖中 | 97.8% | 100.0% | 2.971 | 1 | .08 | .162 |
長方橫放 | 91.6% | 95.5% | 1.932 | 1 | .164 | |
五點長短 | 61.7% | 65.4% | .503 | 1 | .478 | |
三點半3 | 66.5% | 68.4% | .138 | 1 | .711 | |
九點半 | 96.9% | 97.0% | .002 | 1 | .968 | 1.000 |
八點 | 94.3% | 93.2% | .158 | 1 | .691 | |
彎直一樣 | 69.6% | 82.0% | 6.678 | 1 | .010 | |
下長 | 57.7% | 75.2% | 11.143 | 1 | .001 | |
加法算式 | 34.4% | 52.6% | 11.563 | 1 | .001 | |
減法算式 | 60.4% | 83.5% | 11.563 | 1 | .001 |
※當觀察次數小於5時，採Fisher's Exact Test
由表11可以得知20項子概念中，實驗教材組答對率高於現行教材組有19項，只有[八點鐘鐘面]的概念，現行教材組的答對率94.3%高於實驗教材組的93.2%外，由於P=.691>α=.001顯示[八點鐘鐘面]的概念，兩組間並無差異。再以獨立樣本單因子多變項變異數分析(MANOVA)的顯著性考驗分析不同教材組在不同子目標下的表現情形，其結果如下：
Value | F | Hypothesis df | Error df | Sig. | |
Pillai's trace | .157 | 13.137 | 5.000 | 354.000 | .000 |
Wilks' lambda | .843 | 13.137 | 5.000 | 354.000 | .000 |
Hotelling's trace | .186 | 13.137 | 5.000 | 354.000 | .000 |
Roy's largest root | .186 | 13.137 | 5.000 | 354.000 | .000 |
α=.05
由表12多變項變異數分析結果，T2值為.186，達到.000的顯著差異水準，顯示不同教材組在子目標的表現有顯著差異。因此，進行單因子變異數分析，列於表13：
表13：實驗教材組與現行教材組子目標單因子變異數差異考驗摘要表
（DF=1,358)
Dependent
Variable
Sum of
Squares
df
Mean Square
F
Sig.
數
.359
1
.359
1.128
.289
形狀
70.683
1
70.683
48.282
.000
鐘面
.183
1
.183
.291
.590
長度
7.462
1
7.462
15.039
.000
算式
14.358
1
14.358
23.792
.000
由表13單因子變異數分析的結果，可以得知：兩組除[數]及[鐘面]外，在[形狀]､[長度]､[算式]的子目標表現上，都達到.000的顯著水準。進一步分析實驗教材組與現行教材組各子目標的平均數與標準差，結果如下：
概念 | 組別 | 統計值 | 差異的95% 信賴區間 | ||
平均數 | 標準誤 | 下界 | 上界 | ||
數 | 現行教材組 | 3.656 | .037 | 3.583 | 3.730 |
實驗教材組 | 3.722 | .049 | 3.626 | 3.818 | |
形狀 | 現行教材組 | 5.969 | .080 | 5.811 | 6.127 |
實驗教材組 | 6.887 | .105 | 6.681 | 7.094 | |
鐘面 | 現行教材組 | 3.194 | .053 | 3.090 | 3.297 |
實驗教材組 | 3.241 | .069 | 3.105 | 3.376 | |
長度 | 現行教材組 | 1.273 | .047 | 1.181 | 1.365 |
實驗教材組 | 1.571 | .061 | 1.451 | 1.692 | |
算式 | 現行教材組 | .947 | .052 | .846 | 1.049 |
實驗教材組 | 1.361 | .067 | 1.228 | 1.493 | |
※實驗教材組(N=133) 現行教材組(N=227)
由表14可以得知實驗教材組在各子目標的平均數都均高於現行教材組。再以盒形圖呈現，以了解兩組總得分之間資料分配情形。
由可以看出實驗教材組的中位數值高於現行教材組，而且較現行教材組的分佈集中。以80%為通過與否的決斷點時，兩組的情形如下：
現行教材組(N=227) | 實驗教材組(N=133) | |||
總分 | 通過 | 小計 | 97 | 107 |
組內 | 42.7% | 80.5% | ||
不通過 | 小計 | 130 | 26 | |
組內 | 57.3% | 19.5% | ||
由表15得知：χ2＝48.59 df=1 p=.000 顯示實驗教材組與現行教材組在總分通過率有顯著差異，相較於現行教材組通過率的42.7%，實驗教材組的通過率達80.5%。
由以上結果得知：接受結合形成性評量教學活動設計學童的成績，優於接受傳統教學活動設計者的成績。Boom(林宜臻[日文版]，1985)指出，除了5%智能不足的學童外，所有的學童均能達到預期的目標，平均得分偏高分的負偏態現象，實驗教材組的通過率達80.5%雖高於現行教材組42.7%的通過率(p<.001)，但仍有相當發展的空間。實驗教材組教學者究其因(p.73參照)除部分學童上課較不專心外，原因在於每一單元結束後，單元與單元間並無整合複習或測驗的機制，在未熟練下形成「我學了，可是我會忘」，日後設計活動時，不僅在教學時，要隨時審視，確認學生都懂，也必須在單元結束後，進行評量，以掌握學生的學習狀況，進而補救加強。
研究進一步探討學生的概念掌握是否也因學校類型之不同，而有所差異。統計結果如下：
平均數相等的t檢定 | ||||
t | 自由度 | 顯著性(雙側) | 平均差異 | 標準誤差異 |
-1.185 | 369 | .237 | -.2966 | .2504 |
-1.210 | 325.531 | .227 | -.2966 | .2451 |
由表16的雙側平均數相等的t檢定F=.377，P=.51>.05，未達顯著水準，可以得知學生的概念掌握並不因學校類型的不同，而有所差異。
一般教師認為學童家長的社經背景影響學童先備經驗，進而影響學童概念學習，故本研究以使用同樣的現行教材，但文化刺激及家長社經背景高的都會型學校L國小一年級７個班級227名及都會邊緣的老社區，文化刺激及家長社經背景偏低S國小一年級全體5個班級144名學童的表現加以比較，由以上的結果可以發現一年級學童的數學本質概念認知的變異，並非來自學校類型之不同。相較於表10(p.16)可以發現數學本質概念認知的變異，來自於教學活動設計。
五、結論與建議
(一) 結論
本研究重要結論如下：
1.一年級學童概念掌握的變異來源，並非來自學校類型之不同，而因教學活動設計的不同而有所差異(p < .001)。
2.兩組除[數]、[鐘面]的概念外，在[形狀]､[長度]､[算式]的子目標表現上有顯著差異(p=.00)， 20項子概念中，接受結合形成性評量教學活動設計的實驗教材組，其答對率高於現行教材組有19項，只有[八點鐘鐘面]的概念，現行教材組的答對率94.3%高於實驗教材組的93.2%外，但兩組間並無差異(p=.691>α=.001)。
3.實驗教材組的中位數值高於現行教材組，而且較現行教材組的分佈集中。
4.實驗教材組與現行教材組在總分通過率間有顯著差異(χ2＝48.59 df=1 p<.001)， 現行教材組通過率是42.7%，實驗教材組的通過率達80.5%。
由以上的結論可以得知：以形成性評量為媒介的數學教學活動設計，在高年級的圖形概念建立有效外(林宜臻，88､89a)，運用於一年級，仍有助於學童數學本質概念的掌握。
(二)教育應用上的建議
1. 概念形成可經由[關係洞察]、[正誤區辯―概念確認]、[概念再製]、[概念應用]等過程
由本研究結果可以得知：結合形成性評量的教學活動設計，確實有助於一年級學童數學概念的掌握。數學本質概念可由教學者直接告訴學習者，亦可從一些具體事例出發，讓學童從他們的實際經驗中發現概念的本質特徵（關鍵特徵），最後將該一特徵應用於同類物件。本研究中結合形成性評量的教學活動設計，採後者方式，非經由直接告知，而是經由主體性問話方式引導，讓學童經由觀察對象的關係洞察、正誤區辯―概念確認、概念再製、概念應用等過程進行，由結果發現這種以相同特點的事物，辨別其本質屬性與非本質屬性，然後把共同的本質屬性抽取出來加以概括的模式，確有助於數學本質概念的掌握。
數學教育的目標，不僅只是知識與技能的獲得，而在於知識技能獲得的同時，提升與生俱來的內藏能力。中原克己(1983)主張成功為成功之母，然而其成功來自忠於教師指示下運作的結果，學生的注意力集中於如何執行，而非形式化記號表現中的內含概念．關係的掌握。廣岡亮藏(1968)指出不應因知識的系統性，而否認知識主體性的把持。如何讓學童在有限的時間內，獲得知識與技能的同時，具有能力，有其必要。當數學課程設計模式結合形成性評量，經由主體性引導方式，讓學童經由關係洞察、正誤區辯―概念確認、概念再製、概念應用等過程，俾於數學本質概念的掌握，是可行之途徑。
2.迷思概念的事前掌握並搭橋、編織
陳光勳(民92）指出好的診斷教學確實能使多數具有迷思概念的學童造成認知衝突,進一步澄清概念而呈現概念上的改變。黃家鳴(民87)強調重回學習的起點，理出初學者可能會經歷的難關、疑點和問題。研究者的結合形成性評量的教學活動設計中，亦要求實驗教材組的教學者先行探索學童的迷思概念，將學童的可能迷思概念以「正誤區辨」的方式，做為課程設計的一部份(p.67參照)，而非教學過程、考試或作業中發現學童的迷思概念，方施以補救。此種方式，教師不以熟識習慣的事物為理所當然，而於事前掌握學童的迷思概念，加以搭橋、編織，確可協助學童建立概念。
3.教學過程進行中與進行後，皆須施以形成性評量
Boom(林宜臻[日文版]，1985)指出，除了5%智能不足的學童外，所有的學童均能達到預期的目標，平均得分偏高分的負偏態現象，實驗教材組的通過率達80.5%雖高於現行教材組42.7%的通過率(p<.001)，但仍有相當發展的空間。不但要在教學時，隨時審視確認，也必須在單元結束後，進行評量，以掌握學生的學習狀況，進而補救加強。一旦概念掌握後，須加以熟練，否則形成「我學了，可是我會忘」，概念的形成將未能克竟其功。
六、參考文獻
(一) 中文文獻
林宜臻(民88)。主體性學習之探討―以擴大圖•縮圖教學設計為例。台北:教育部台灣省國民學校教師研習會。
林宜臻(民89a)。増進國小點對稱圖形理解度之研究。台北：教育部台灣省國民學校教師研習會。
林宜臻(民89b)。促成思考過程之形成性評量在學校本位數學學習領域課程設計之應用。載於教育部台灣省國民學校教師研習會編印：九年一貫課程的教與學(頁47-57)。
林宜臻(民90a)。數學領域課程設計─從形成性評量的教學活動談起。載於教育部台灣省國民學校教師研習會編印：九年一貫SMART─教師增能自修手冊(頁94-108)。
林宜臻(民90b)。讓促成思考過程之形成性評量在數學課堂生根。研習資訊，19(1)，8—16。
林宜臻(民90c)。數學課程設計與執行者的教。研習資訊，19(2)，54—63。
張春興(民77）。知之歷程與教之歷程﹐認知心理學的發展及其在教育上的應用。國科會主編﹐認知與學習研討會專集,2,1-34。
陳光勳(民92）兒童數、量、形概念調查及診斷教學之研究―子計畫二:學童長度、面積與體積概念調查及診斷教學(II)(行政院國家科學委員會補助專題研究計畫NSC 91-2522-S-152-005) 。台北：中華民國行政院國家科學委員會。
陳創義(民92）。青少年的數學概念學習研究－子計劃六：青少年的幾何形狀概念發展研究。(行政院國家科學委員會補助專題研究計畫NSC 91-2522-S-003-007) 。台北：中華民國行政院國家科學委員會。
黃家鳴(民87)：淺談數學概念表象在數學教學上的一些問題(下)。香港數學教育學會刊物：數學教育第六期。
(二) 日文文獻
ﾌﾞﾙ-ﾑ(1983)。落ちこぼしのない教育の方策―ﾏｽﾀﾘ－ﾗ－ﾆﾝｸﾞ研究のその後の発展―，指導と評価，10。
ﾌﾞﾙ－ﾑ，B.S.他/梶田叡一他訳(1983).教育評価法ﾊﾝﾄﾞﾌﾞｯｸ。第一法規。原題：Handbook on formative and summative evaluation of student learning.
ｳﾞｨｺﾞｷ－／柴田義松.森岡修一訳(1975).子どもの知的発達と教授。東京：明治図書。
ｼﾞｪ－ﾝ•ﾊ－ﾘ－著／西村辨作•新美明夫編訳(1992)。滅びゆく思考力。大修館書店。
広岡亮蔵(1968)。教育著作集Ⅰ学力論。東京：明治図書。
中原克己(1983)。到達評価的実踐。現代教育科學，7月号。東京：明治図書。
中原忠男(1995)。算数.数学教育における構成的の研究。聖文社。
林宜臻(1985)。完全習得学習の意義と問題点―その柔軟的な適用をめざして。お茶の水女子大学人文科学研究科修士論文(未出版)。
(三) 英文文獻
Vygotsky,L.S.(1978).Mind in Society－The Development of Higher Psychological Processes. M.Cole et al.(Eds.).Cambridge:Harvard University
Walberg,H.J.(1991).Productiveteachingandinstruction:Assessingtheknowledgebase.inH.C.Waxman&H.J.Walberg(Eds.),Effectiveteaching: Currentresearch(pp.33-62). Berkeley,CA:McCutcha.
附錄
附錄 1：一上評量試卷
國小 一年班 號 姓名:
一､哪個數字比較大，大的數字請打 勾
18 15 | 12 7 | 61 29 |
( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) |
二､小明說他的好朋友排在第6個等公車，請找出他的好朋友，並打勾
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
三､認為為對的，請打 o圈，錯的請打 × 叉
( 這是圓形 ( ) | ( 這是長嘗方形 ( ) | (3)
這是三角形 ( ) | ( 這是長嘗方形 ( ) |
( 這是三角形 () | (6)
這是正方形 () | (7) 這是三角形 () | (8)
這是長嘗方形 () |
1)
2)
4)
四､認為危長嘗針和和短針都指對請打 o圈，指錯請打 × 叉
( | (2) | (3) | (4) |
這是5點 | 這是3點半 | 這是9點半 | 這是8點 |
( ) | ( ) | ( ) | ( ) |
1)
五､認為對的，請打 o圈，錯的請打 × 叉
兩條繩子一樣長[嘗 ( ) |
( ) |
六､對的算式請打 o圈，錯的請打 ×叉
(1)媽媽要替小綿羊 算式： 1+1+24 4+4=8 4+2=6
( )
( )
( ) | ||||||||
(2)老師的鉛筆盒有8支筆，給了小華､小明､小英3人各1支筆，請問老師鉛筆盒，現在共有幾支筆﹖ 算式： 8+3+1=12 8-3-1=4 8-3=5
( )
( )
( ) |
附錄 2：一上評量卷施測說明
您好！非常感謝您的協助!
1. 由於本研究想瞭解一年級小朋友，對於數､形狀等概念的具備程度，所以題目超過課本一上的範圍。
2. 為避免一年級小朋友的語文能力影響作題，若有小朋友無法讀題，只要不給解答的暗示，麻煩您幫小朋友唸題。
3. 由於此次，並非速度測驗，請您給小朋友充分作答的時間。
再度感謝您的協助，讓數學教育方向更明朗化。
國立教育研究院籌備處[教育部台灣省國民學校教師研習會] 研究組
林宜臻敬上
E-mail﹕[email protected]
http://residence.educities.edu.tw/iestmath1/
附錄 3：[數到20]教學活動設計
活動名稱 | 我會數到20 | ||||||
教學日期 | 教學節次 | 教學內容 | |||||
2002.11.07 | 第一節 | 活動一 至 活動二 | |||||
2002.11.08 | 第一節 | 活動三 及 課本習作 | |||||
2002.11.11 | 第一節 | 檢討作業 | |||||
教學準備 | 活動一 小白板及白板筆 活動二 方格板 活動三 小白板及白板筆、小朋友的手指頭 活動四 小白板及白板筆、小積木 活動五 小白板及白板筆、小積木 活動六 小白板及白板筆、11-15號的小朋友 活動七 小白板及白板筆、小火車展示卡 | ||||||
參考資源 |
| ||||||
能力指標 | 具體目標 | ||||||
N-1-1能初步掌握非負整數數詞序列的規律，並能以具體的量、聲音、圖像、數字，進行說、讀、聽、寫、做的活動，表徵2000以內的數。 | 1.了解1和10的關係。 2.了解10是由1累積而來。 | ||||||
R-1-1能察覺生活中與數學相關的情境。 R-1-2能察覺數學與其他領域之間有所連結。 T-1-2能把情境數量形之關係已數學語言表出。 T-1-4 能把待解的問題轉化成數學的問題。 N-1-14 在情境中理解加法和減法的相互關係。 |
| ||||||
設計構想 一、100以內數的本質概念
二、概念的發展 (一)文獻探討 國小一年級的兒童處於皮亞傑的認知發展期的「具體運思期」。此時期兒童思維的主要特徵是，他能夠面對問題時，循邏輯法則推理思維，但此推理思維能力，由於多限於眼見的具體情境或熟悉的經驗，因此本單元於設計時，可多利用兒童所熟悉的利用手指頭數數的經驗，及過去於數學教學時使用過的教具－白色積木、橘色積木，進行教學活動。 (二)學生的先備經驗 本課程設計之教學對象為國小一年級上學期的兒童，本單元跨「量與實測」、「數與計算」二個領域。 兒童已具備之能力有：
透過分解、合成以及比較的活動，使學童經驗10以內正整數間的關係， (三)兒童迷思概念與教材分析 在此次課程設計前，針對欲教學之學生可能會犯的錯誤，進行可能的探討，依據探討的結果來設計此次的課程內容。十進位的計算方式，當某一位數相加之後超過了10，我們就必須要進位，若兒童對進位的概念沒有很清楚，就會造成往後的計算都是錯的，他們的進位概念沒有建立好，影響了數的加法計算。 本課程是在建立兒童的進位概念為主，老師設計一個情境遊戲，兒童藉由實際的操作方式，了解進位的意義，使兒童在數的加法計算時，能夠適時將進位概念應用在計算上。 | |||||||
三、處理的特色 因小朋友剛由數數以及基本的加法進入到加法的進位單元，老師一開始可採操作的方式，建立小朋友十進位的概念，讓進位「具體化」，之後再慢慢導入計算部分，以幫助孩子認識加法的進位。 在教學時則請教師注意以下事項： (一)兒童分辨十進位時，宜讓兒裡解釋其中的「一」所代表的含義。 (二)當兒童知道進位時，即可練習20以上的數。 | |||||||
具體 目標 | 活動主題及進行方式 | 主要活動與問話 | 教學 資源 | ||||
抽象符號代替具體事物 | 活動一 引起動機 提出問題 共同討論 意見分享 | | 小白板及白板筆 | ||||
1.了解10是由1累積而來。 2.了解1和10的關係。 | 活動二 洞察關係 引起動機
提出問題 意見分享 | 23 14
| 方格板 | ||||
正誤區辨 | 14代表什麼意思？那裡有10那裡有4？ 小明說23是這樣表示的，對不對？ 2 3
| ||||||
活動三 概念確認 引起動機 小組練習 | 分組競賽： 師問：36有幾個10？幾個1？ 生答：36有3個10，6個1。 | 小朋友的手指頭 | |||||
會寫20以內的數字。 | 活動四 引起動機 個人練習 | 練習書寫18 (選擇筆順易寫錯或是不好看的數字。例如：18、13、19) ，並利用小方塊排出18。 | 小白板及白板筆 小積木 | ||||
聽到20以內的數字，能以具體物表示各數的量。 | 活動五 引起動機
小組練習 | 那一個18看起來比較清楚、容易算？
| 小積木 小白板及白板筆 | ||||
讓孩子察覺日常生活中數字排列的順序。 | 活動六 洞察關係 引
…… 提 意見分享 |
11 12 13 14 15
…… 13號排在那兩號中間？15號呢？ 11號前面有幾個人？14號後面有幾個人？ | 11-15號的小朋友 小白板及白板筆 | ||||
練習排數字的順序，並學會倒數的能力。 | 活動七 引起動機
提出問題
個人思考
意見分享 | 火車上有那二個車箱沒有號碼？各要填入那二個號碼？
火車上有那二個車箱沒有號碼？各要填入那二個號碼？從17號車箱至12號車箱，依序要經過那二個沒有號碼的車箱？
| 小火車展示卡 小白板及白板筆 | ||||
出問題
附錄 4：[長度比較]教學活動設計
活動名稱 | 誰能跟我比？ | 單元名稱 | 比一比 | |||||
教學日期 | 教學節次 | 教學內容 | ||||||
2002.10.28 | 第一節 | 活動一 至 活動三 | ||||||
2002.10.30 | 第二節 | 活動四 至 活動六 | ||||||
2002.11.01 | 第三節 | 活動七 至 活動九 | ||||||
教學準備 | 活動一 鉛筆、大象及長頸鹿圖片 活動二 請小朋友自行準備二支鉛筆、10個車箱的小火車、筆心不等長，但筆一樣長的教具 活動三 2枝等長的棒棒糖 活動四 工具箱 活動五 紙條或是棉線、習作 活動六 公主人偶、老師可自行繪製小矮人的床或是利用海報製作 活動七 繩子(不同於桌子或黑板的顏色)至少三條 活動八 繩子(不同於桌子或黑板的顏色) 活動九 椅子、花朵(或以鉛筆及書本為替代品) | |||||||
參考資源 |
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能力指標 | 具體目標 | |||||||
N-1-9能透過感官活動感覺一個量，並能對兩個同類量作直接比較，進而對一個量作複製活動(量：長度、容量、重量、角度、面積、體積)。 |
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N-1-10 能使用生活中常用的測量工具(刻度尺的方式，即不涉及其結構)，以一階普遍單位描述一個量(量：長度、容量、重量、角度、面積、體積；普遍單位：米、厘米、分公升、千克、克、度、平方厘米、立方厘米)。 |
| |||||||
N-1-15 能用不同的想法，檢驗答案的合理性。 |
| |||||||
S-1-8 能辨認周遭物體中的直線、平面。 |
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設計構想 一、直線與比較的本質概念直線 兩點之間最短的距離 基準點 強調兩物比較時起始點要相同 直觀比較 指用眼睛的感官來判斷，不需要透過比對。 直接比較 指必須透過將兩物直接比對活動（例如將一端對齊再比另外一端）來判斷長短。 複製 指透過直接比較，做出和原物等長的另一物。 二、概念的發展(一)文獻探討 ******國外文獻有關長度評量之檢討****** 給六歲兒童看由5枝火柴棒組成的排列，其圖形如下。
給學生另外一種火柴棒，長度只有原長的。要他們排出一條直線段和所給問題上呈現的折線一樣長。在學生解題時，這三題的排列同時呈現，而且鼓勵他們做修正。 這是反亞傑式的認知衝突學習模式(Inhelder等1974)。最初兒童在第一題會用5枝新火柴棒排成和第一折點到終點一樣長的線段。在第二題會想這個2用5枝來排，所以我也用5枝。只有到第三題時，長度和枝數這兩個個別單位比較的要素才一起被考慮。有35%沒有任何改變，37%似乎有進步，其餘28%顯示長度保留概念。 由於我們新教材的教學活動從複製開始，而且注重估測，有過曲線長的經驗，我預期我們的兒童曾從複製拉直或兩個單位長的不同進入。對本課程是一個很好的總結性評量題目。 本活動的長度教材，主要進行「直觀比較」、「直接比較」與「複製」活動，來讓學生學習直線與比較的概念。 | ||||||||
(二)學生的先備經驗 本課程設計之教學對象為國小一年級上學期的兒童，本單元跨「圖形與空間」、「量與實測」二個領域。 兒童已具備之能力有： S-1-1 能由形體的外觀辨認出某一形體。 N-1-15 能用不同的想法，檢驗答案的合理性。 (三)兒童迷思概念與教材分析 在此次課程設計前，針對欲教學之學生可能會犯的錯誤，進行可能的探討，依據探討的結果來設計此次的課程內容。一般而言，生活中的立體物品上，也有長度，例如：盒子的長、寬、高、杯子的高、書的厚度、緞帶的寬度等，但從立體物品中，抽離出長度對一年級的學童較難，故本活動不討論有關寬度、厚度的立體物，只討論較單純的直線物，例如：鉛筆的長、吸管的長、棍子的長等，本活動也可以討論可拉直的直線物，例如：繩子、細緞帶、細皮帶等。 此次課程設計的目標是希望學生能夠透過生活中直線的應用，對於直線有更多的認識，加強學生對於直線的概念。 進行「直觀比較」與「直接比較」時，必須確認學童比較的是兩物的長度，故活動中會要求學童比出「有多長」。學童比的時候，為了突顯物品的長是指從物的一端到另一端的直線距離，故要求學童必須沿著物的邊，從一端比到另一端。 三、處理的特色 課本的課程設計上，與生活較無直接連結，無法使學生了解為何要學習直線，或者直線的比較與生活有何關聯。所以，此次的課程設計上，儘量與生活做連結，請學生經由分組討論的方式激盪出對直線的認識，並可以舉例出生活中與直線的比較有什麼關係之應用。在教學時則請教師注意以下事項： (一)兒童指出長時，宜令兒童以手指直線段，從一端點循至另一端點。 (二)當兒童知道遠近、高矮的形容詞，或能計畫進行類似以椅墊腳取物的活動時，即可進行本活動。 (三)此處的長短以肉眼能夠覺知的範圍為限，因此以5公分以上至數公尺的範圍的例子較為妥當。太長或太短的例子宜淡化。曲線段的例子也不宜強調。 | ||||||||
具體 目標 | 活動主題及進行方式 （能力指標） | 主要活動與問話 | 教學資源 | |||||
知道長度是個連績量的累積 | 活動一 關係洞察 引起動機
提
意 |
|
2.大象及長頸鹿圖片 | |||||
知道長度的比較需要有一個共同的起始點--基準點。 | 活動二 正誤區辨 提出問題
小組討論
意見分享 | 拿出自己的兩支筆比比看，那一支比較長？你怎麼知道的? 小明說第一列火車和第三列火車一樣長，小明說對了嗎？ □ 對 □ 不對 理由是____________ 第一列 第二列 第三列 小明說兩隻筆一樣長，小明說對了嗎？
□ 對 □ 不對 理由是____________ |
| |||||
能學會長短與其方向無絕對的關係。 | 活動三 概念確立 提出問題
小組討論
意見分享 | 老師說二枝糖不一樣長，對不對？ □ 對 □ 不對 理由是____________
| 1. 2枝等長的棒棒糖 | |||||
手比兩端無法正確比出長度的缺失。 | 活動四 概念應用 提出問題
小組討論
意見分享 |
用手比可以買到一樣大小的工具箱嗎? □ 可以 □ 不可以 理由是____________ | 1.工具箱 | |||||
能夠量出線段的長度，並複製等長的直線。 | 活動五 概念再製 提出問題
小組討論
意 | 宇宙比一比(鉛筆、桌子、食指、腳ㄚ子) 師：鉛筆(可替換)比一比。 生：比一比鉛筆(可替換)。 師：鉛筆(可替換)的長在哪裡？ 生：鉛筆(可替換)的長在這裡(手順筆身指出長在哪裡)。 師：鉛筆(可替換)有多長？ 生 完成習作P21 用自己的方式比比看，誰的桌子長？ | 1.紙條或是棉線 2.習作 | |||||
學會用直接或間接的方式比較直 線長短。 | 活動六 概念應用 提
小組討論
意見分享 |
| 1.公主人偶 2.老師可自行繪製小矮人的床或是利用海報製作 | |||||
與生活結合並學會澄清直線與曲線的比較關係。 | 活動七 概念應用 提 小 意見分享 | 爸爸想找一條最長的繩子來綁舊報紙，你知道那一條最長嗎？ 1 2 3
理由是_ | 1.繩子(不同於桌子或黑板的顏色) 至少三條 | |||||
能知道線段的長短與其是直線或曲線有關。 | 活動八 正誤區辨 提出問題
小組討論
意見分享 | 義燦說：「這條繩子和桌面的長度一樣長。」
你認為義燦說的對嗎? □ 對 □ 不對 理由是_ | 1.繩子(不同於桌子或黑板的顏色) | |||||
物品的長短不會因高矮羘廋或是被遮住而有所不同 | 活動九 正誤區辨 提出問題
小組討論
意見分享 |
小惠 小明 小慈 小明最高，對不對？ □ 對 □ 不對 理由是____ ________
左邊的花最長，對不對？ □ 對 □ 不對 理由是 | 1.椅子 2.花朵(或以鉛筆及書本為替代品) | |||||
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出問題
組討論
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附錄 5：[加一加]教學活動設計
單元名稱 | 加一加 | 活動名稱 | 併加型加法 添加型加法 「+」、「=」 以算式表示和為10以內的數 | 教學節數 | 四節 | |
教學準備 | 活動一 圖卡(3隻狸貓、４隻大象) 活動二 小白黑版、色筆、圖卡(3隻狸貓、４隻大象) 活動三 圖卡(3隻狸貓、４隻大象)、習作 活動四 作業練習本 活動五 作業練習本 活動六 作業練習本 | |||||
能力指標 | 具體目標 | |||||
N-1-1能透過感官活動感覺一個量，並能對兩個同類量作直接比較，進而對一個量作複製活動(量：長度、容量、重量、角度、面積、體積)。 N-1-3 能理解加法、減法的意義，解決生活中有關三位數以內的加、減法問題，並運用電算器加以檢驗。 C-R-1能察覺生活中與數學相關的情境。 C-C-1瞭解數學語言(符號、用語、圖表、非形式化演繹等)的內涵。 C-C-5用數學語言呈現解題的過程。 C-C-8能尊重他人解決數學問題的多元想法。 | 紀錄「併加型」問題的解題活動與結果。 紀錄「添加型」問題的解頭活動與結果。 認識「+」、「=」的數學符號及了解其意義。 兩數和為10以內的問題。 會用數學的語言，來與他人溝通和為10以內之兩數的合成。 | |||||
兒童迷思概念 | ||||||
1.「=」的“結果”意義兒童較易掌握，但「=」兩邊的“等值”意義兒童較不易掌握。 2.兒童不易掌握算式中符號及數字的各別意義。 3.部份兒童受限於語文理解能力，因此在將數學問句轉化成算式書寫有困難。 | ||||||
具體 目標 | 活動主題 及進行方式 | 主要活動與問話 | 教學資源 | 評量 | ||||||||
1.複習數記的方法。 | 一 | 有3隻狸貓打算要到電影院看電影，到了電影院門口有４隻大象也想要和他們一起進去看，就在準備進入電影院時，被剪票人員叫住他們，剪票人員是一位老花眼很重的貓頭鷹老公公，他說：「你們人數太多了，我們電影院只有８個位置，現在你們卻來了９個人。不行！不行！有人不可以進來。」狸貓們一聽好難過，大象們則是很疑惑，「疑？我們有９個人啊！那麼多啊！可是我怎麼不覺得有那麼多呢？」 貓頭鷹數對了嗎？ □ 數對 說說看你是怎麼數的？ □ 數不對 應該是由幾人： 說說看你是怎麼數的？ 將你的答案寫在小黑板上。 | 圖卡(3隻狸貓、４隻大象) | 學生能說出正確的答案，並說明如何數的。 | ||||||||
2.能以畫圈的方式紀錄。 | 二、畫圈紀錄。
| U後來他們發現，原來他們都數錯了，其實他們的人數才７個人，於是他們便開心的進入看電影。細心的貓頭鷹，還問他們是不是想吃些什麼點心，狸貓味口小點了２個三明治，大象味口大點了５個三明治。貓頭鷹記性不好，所以把他紀錄在紙上。 1如果你是貓頭鷹，你會怎麼紀錄才清楚呢？ 將你的答案寫在小黑板上。將你的想法說給你的小組聽，看看說的合不合理。 ※老師巡視時，邊請幾位做法值得分享的學生上臺書寫。 ※此處，貓頭鷹的方法因教學需要，故假定為畫圈。 | 小白黑版、色筆、圖卡(3隻狸貓、４隻大象) | 學生能採各種合理的策略紀錄。 | ||||||||
3.能簡要紀錄自己的思考過程。 | 三、我的想法。
| U貓頭鷹年紀大了，數了幾次都數不好，一會兒說有６個三明治，一會兒說有７個，一會兒說有８個，搞得廚房裡的師傅不知道到底要準備幾個。 1如果你是大象/狸貓，你會怎麼數給貓頭鷹聽呢？ J上臺把你數的方法說出來，看看你數的方法對不對。 ※因此處假定貓頭鷹是用圈圈表示三明治的個數，所以請學生也以圈圈數記！ | 圖卡(3隻狸貓、４隻大象)、習作 | 學生能正確說出數計的方法。 | ||||||||
4.認識「+」、「=」的數學符號及了解其意義。 | 四 | U（泰山影片中）珍妮發現樹上上原來有３隻猩猩，後來又跳來６隻猩猩，現在樹上有幾隻猴子？ 1如果是用貓頭鷹畫圈圈的方式，你會怎麼畫呢？ J上臺把你的畫法寫出來，看看你畫的對不對。 珍妮在紙上紀錄３＋６＝９ 1.你們了解她寫這個的意義嗎？ 2.說說看，這裡的３代表什麼意思？ 3.說說看，這裡的６代表什麼意思？ 4.「＋」這個讀作什麼？它寫在３和６的中間，是什麼意思？ 5.說說看，這裡的９代表什麼意思？ 6.「＝」這個讀作什麼？它是什麼意思？ J將你的想法說給你的小組聽，看看說的合不合理。 ※指導要點
| 作業練習本 | 1.能以畫圈的方式表達物體個數。 2.能解釋加法算式中的數值、符號意義。 | ||||||||
5.能確實掌控加法算式的各數值、符號意義。 | 五、形成性評量
| U猴子吵著要和珍妮一起去找泰山，路上猴子看到５隻螞蟻在搬東西時被一根好長的樹枝給檔路，猴子幫助他們移走樹枝，後來又看到４隻鳥被人類放置的網給困在網子裡，珍妮也幫他們從網子上救下來。 1用畫圈圈並寫上算式記算，猴子和珍妮一路上幫助了多少隻小動物？ J將你的答案寫下來。 1請你用４＋５＝９編一個簡單的題目（老師應先示範一題） J將你的想法說給你的小組聽，看看說的合不合理。 | 作業練習簿 | 1.能運用畫圈及加法算式解決問題。 2.能利用一個加法算式編一個題目。 | ||||||||
6.練習計算數和為10以內的加法問題。 | 六、算式填充題
| U1.學生於作業本上書寫如下圖。
2.全班分成兩組，每組輪流派二位代表單手猜拳(0~5)，並將二代表拳數相加。每次比賽時兩組同時出拳。老師口喊：「數字拳王誰出招？」學生口喊：「數字拳王我出招！」即出拳。 3.學生出拳後，老師抽「大」、「小」任一張牌。 4.抽到「大」→二代表拳數相加所得較「大」的組別獲。反之亦然。 J將兩隊出拳的情形紀錄於作業練習簿。(書寫算式、畫圈) | 作業練習簿 | 1.能正確紀錄猜拳後的結果。 |
、複習併加型加法。
、介紹加法算式。
單元名稱 | 加一加 | 教學 年級 | 一年級 | 教學 節次 | 一 節 | |||
教學目標 |
| |||||||
數 學 概 念 | ||||||||
引發學生熱烈參與之問話或活動 | 成功之因素 | |||||||
活動二「畫圈紀錄」：老師請學生個別記錄於小黑板後，請３位學生將其方法寫在臺上黑板，並進行全班檢核。 | 開放給小朋友child method，根據兒童的想法，找出理想的畫記方法，並討論若採該記錄方式的好處。 ※精進→再詢問：「我怎麼樣在這麼短的時間內記錄？」「花許多時間寫出狸貓寫什麼？大象吃什麼？有什麼缺點？有沒有比較簡單的紀錄方式？」「畫三明治比較不好畫，我們可以圓圈的方式代替。」 | |||||||
教 學 技 巧 | ||||||||
未能如預期引起反應之問話或活動 | 無法達成之因素 | 擬改善之對策 | ||||||
活動一「複習併加型加法」：學生將答案寫在小黑版的興趣缺缺。 | 當老師說故事表示貓頭鷹所數時，學生即能馬上察覺並說出貓頭鷹所數的數目有誤，老師還要求小組討論，多此一舉。 | 學生能說出貓頭鷹所數為何有誤，並將正確答案寫在黑板上，就可止住此活動。 | ||||||
教學目標 | 1.能簡要記錄自己的思考過程。 | |||||||
數 學 概 念 | ||||||||
引發學生熱烈參與之問話或活動 | 成功之因素 | |||||||
活動三「我的想法」：老師請學生上臺介紹他們各自的數法。 | 學生有機會看到其他人的數法並與自己的數法相對照，老師亦可以從此看出學生的起點行為。 | |||||||
未能如預期引起反應之問話或活動 | 無法達成之因素 | 擬改善之對策 | ||||||
活動三「我的想法」：老師要求學生一定要將運思過程記錄。 | 學生很難以“老師的方式”記錄。 | 老師只要請學生舉手，確認學生所用的策略即可。學生只要用“說”的，不要強制要求學生一定要“寫”出來。 | ||||||
附錄 6：[減一減]教學活動設計
單元名稱 | 減一減 | 活動名稱 | 減一減 | 教學節數 | 二節 | |||||
教學資源 | 活動一 小白板、圖卡(巫婆×1、偷蛋鴨×1、鳥蛋×8)、附件一 活動二 小白板、圖卡(巫婆×1、偷蛋鴨×1、鳥蛋×5) 活動三 小白板、圖卡(巫婆×1、偷蛋鴨×1、鳥蛋×3) 活動四 圖卡(巫婆×1、鳥蛋×6、小白板)、附件一 活動五 (無) | |||||||||
能力指標 | 具體目標 | |||||||||
C-R-1 能察覺生活中與數學相關的情境。 C-C-1 瞭解數學語言(符號、用語、圖表、非形式化演繹等)的內涵。 | 能知道何謂「剩下」。 | |||||||||
N-1-3 能理解加法、減法的意義，解決生活中有關三位數以內的加、減法問題，並運用電算器加以檢驗。 C-R-1 能察覺生活中與數學相關的情境。 C-C-1 瞭解數學語言(符號、用語、圖表、非形式化演繹等)的內涵。 C-C-5用數學語言呈現解題的過程。 C-C-8能尊重他人解決數學問題的多元想法。 | 1.能以具體物呈現問題及計算策略。 2.能初步認識如何用圈表示減法算式。 3.認識「-」、「=」的數學符號及了解其意義。 4.能用算式記錄「拿走型」的減法。 5.能確實掌控減法算式的各數值、符號意義。 | |||||||||
具體 目標 | 活動主題及進行方式 | 主要活動與問話 | 教學資源 | 評量 | ||||||
1.複習數記的方法。 | 一、複習舊概念 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全班分享 | | 小白板、圖卡(巫婆×1、偷蛋鴨×1、鳥蛋×8)、附件一 | 1.學生能寫／說出正確的答案。 | ||||||
個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全班分享 | 請用畫「○」的方式寫在小白板後，和二人小組分享。 剩下來的５顆蛋後來又被偷蛋鴨偷走２顆，還剩下幾顆？
將你的答案用「數字」表示寫在小白板後，和二人小組分享。 | |||||||||
2.認識「-」、「=」的數學符號及了解其意義。 | 二、關係洞察 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全班分享 | 偷蛋鴨在偷蛋日記上記錄５－２＝３
５ － ２ ＝ ３
J將你的想法說給二人小組聽，看看說的合不合理。 | 小白板、圖卡(巫婆×1、偷蛋鴨×1、鳥蛋×5) | 能表達對於減法算式的想法。 | ||||||
3.能用算式記錄「拿走型」的減法。 | 三、概念再製。 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全班分享 | 剩下來的３顆蛋後來又被偷蛋鴨偷走１顆，還剩下幾顆？這一次偷蛋鴨要怎麼在日記上利用減法算式記錄？ J | 小白板、圖卡(巫婆×1、偷蛋鴨×1、鳥蛋×3) | 學生能列出正確的算式。 | ||||||
四、正誤區辨 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全班分享 | 1你 □同意 □不同意 理由是 J將你的想法說給二人小組聽，看看說的合不合理。 ※教學要點：老師依照「數字順序～」表達小莉的想法，並同時將想法所對應的數字、符號寫在黑板。 | 圖卡(巫婆×1、鳥蛋×6、小白板)、附件一 | 學生能列出正確的算式。 | |||||||
4.能確實掌控減法算式的各數值、符號意義。 | 五、概念應用 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全班分享 | 1請你用６－４＝２編一個簡單的題目。 J將你的想法說給你的小組聽，看看說的合不合理。 ※教學要點：老師應先示範一題，之後並給予充分的個人思考時間，之後才進行小組分享。 | (無) | 能編出合理的題目。 | ||||||
同意小莉的想法嗎？附錄 7：[現在幾點鐘]教學活動設計
單元名稱 | 現在幾點鐘 | 教學節數 | 共四節 | |
教學資源 | 活動一 課本掛圖 活動二 時鐘(大)×1個 活動三 時鐘(大)×3個 活動四 時鐘(大)×1個 活動五 時鐘(大)×1個、小白板 活動六 時鐘(大)×1個、小白板、時鐘(小)×35個 活動七 時鐘(小)×35個 活動八 時鐘(小)×35個 活動九 時鐘(大)×3個 活動十 時鐘(大)×1個 活動十一 時鐘(大)×1個、小白板 活動十二 時鐘(大)×1個、小白板、時鐘(小)×35個 活動十三 時鐘(大)×1個 | |||
能力指標 | 具體目標 | |||
N-1-11 能區分幾個事件發生的先後順序。 N-1-12 能報讀鐘面上的幾點、幾點半以及數字鐘上的時刻，以便溝通。 C-R-1 能覺察生活中與數學相關的情境。 | 1.比較做不同事情時，所花時間的長短。 2.知道事情發生的先後順序。 3.知道時鐘的基本構造。 4.會報讀幾點鐘。 5.能以數字書寫表示時間。 6.會用長短針撥出正確時刻。 7.知道長針和短針的不同。 8.能觀察到不同時刻的先後順序關係。 9.會報讀幾點半。 10.會用長短針撥出正確時刻。 | |||
設計特色 | 以學生自己具體操做觀察時鐘長短針走動的順向轉動、快慢。 直接以學生易犯錯的迷思概念做為教學的素材。 | |||
兒童 迷思概念 | 初學識鐘的學生，易以長針或短針中的其中一根，來判別時刻。 不少學生對於半點的時刻識讀，會困惑於短針兩旁的數字，無法確實以時刻的先後順序來判別時刻。 | |||
具體 目標 | 活動主題及進行方式 | 主要活動與問話 | 教學 資源 | 評量 | |
1.比較做不同事情時，所花時間的長短。 2.知道事情發生的先後順序。 | 一、 經驗分享 個人思考 ↓ 全班分享 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全班分享 | （配合課本）喝水和睡覺哪個花的時間比較長？哪個花的時間比較長？ 全班一起回答。 還有什麼事情花的時間比較長？什麼事情花的時間比較短？ J知道的人舉手發言。 （配合課本）依照烤肉時的準備工作順序應該是如何？將課本上的四張圖片用1、2、3、4排出來。 J將你的答案寫在課本後，和二人小組分享。 | 課本掛圖 | 1.能說出喝水花的時間較短，睡覺花的時間比較長。 2.正確的舉例比較所花時間的長短。 3.正確的將四張圖依照所發生的先後順序用1、2、3、4排出來。 | |
3.知道時鐘的基本構造。 | 二、 關察洞察 個人思考 ↓ 全班分享 | 仔細觀察，時鐘上有什麼？ J知道的人舉手發言。 時鐘上的兩根針都一樣長嗎？ 全班一起回答。 長的哪一根叫什麼？短的哪一根叫什麼？ J知道的人舉手發言。 | 時鐘(大)×1個 | 1.能說出鐘上的數字、指針。 2.能指出整點時長針和短針的位置。 | |
4.會報讀幾點鐘。 | 三、 關係洞察 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全班分享 | U老師在黑板上呈現下列鐘面，並說明各為「幾點鐘」。
這是3點
這是6點 12 1 2 10 11 這是9點 3 . 9 4 8 5 6 7 仔細看看，3點﹑5點與9點的時候，長針與短針各是指著哪個數字。 3點(鐘)：長針指著，短針指著 5點(鐘)：長針指著，短針指著 9點(鐘)：長針指著，短針指著 整點鐘時，長針都指著，短針如何指﹖ 將你的觀察說給二人小組聽，看看說的合不合理。 | 時鐘(大)×3個 | 1.能說出鐘面長、短針應有的正確位置。 | |
四、 正誤區辨 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全班分享 | U老師在黑板上呈現下列鐘面。
這是3點(鐘)，對不對？ □對 □不對 理由是 J將你的想法說給二人小組聽，看看說的合不合理。 | 時鐘(大)×1個 | |||
5.能以數字書寫表示時間。 | 五、 概念洞察 個人書寫 ↓ 全班檢討 | U老師介紹 3點(鐘)可書寫成3:00 6點(鐘)可書寫成6:00 9點(鐘)可書寫成9:00 10點(鐘)要怎麼寫呢？ J將你的答案寫在小白板。 | 時鐘(大)×1個、小白板 | 1.能以正確的方式書寫時間。 | |
6.會用長短針撥出正確時刻。 | 六、概念複製 個人操作/書寫 ↓ 小組檢核 ↓ 全班檢討 | U老師撥弄時鐘，出數題測驗學生。 這是幾點鐘？ J將你的答案寫在小白板。 U老師出題，請學生調出指定的時間。 J請你用小時鐘撥出正確的時間。 | 時鐘(大)×1個、小白板、時鐘(小)×35個 | 1.能說出鐘面的時刻。 2.能撥出指定的時刻。 | |
7.知道長針和短針的不同。 | 七、關係洞察 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全班分享 | 1你觀察過長針和短針走的方向是如何走的？ J將你的觀察說給二人小組聽。 1撥動時鐘，讓長針走一圈，觀察時鐘上的短針是怎麼走的？ J將你的觀察說給二人小組聽，看看說的合不合理。 1哪一根針走得比較快？哪一根針走得比較慢？ J將你的想法說給二人小組聽，看看說的合不合理。 | 時鐘(小)×35個 | 1.能指出長、短的差異處。 | |
8.能觀察到不同時刻的先後順序關係。 | 八、 關係洞察 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全班分享 | 1撥動手上的小時鐘看看： 6點之後的時間是幾點？ 2點之後的時間是幾點？ J將你的想法／觀察說給二人小組聽，看看說的合不合理。 | 時鐘(小)×35個 | 1.能說出時刻的發生的先後順序。 | |
9.會報讀幾點半。 | 九、 關係洞察 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全班分享 | U老師在黑板上呈現下列鐘面，並說明各為「幾點半」。
這是3點半
這是6點半
這是9點半 仔細看看，3點半﹑6點半與9點半的時候，長針與短針各是指著哪個數字。 3點半：長針指著，短針指著 5點半：長針指著，短針指著 9點半：長針指著，短針指著 幾點半時，整點鐘時，長針都指著，短針指著 J將你的觀察說給二人小組聽，看看說的合不合理。， | 時鐘(大)×3個 | 1.能指出整點時長針和短針的位置。 | |
十、 正誤區辨 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全班分享 | U 1這是７點半，對不對？ □對 □不對 理由是 J將你的想法說給二人小組聽，看看說的合不合理。 | 時鐘(大)×1個 | 1.能說出鐘面長、短針應有的正確位置。 | ||
10.能以數字書寫表示時間。 | 概念介紹＆ 概念複製 個人書寫 ↓ 全班檢討 | U老師介紹 3點半可書寫成3:30 6點半可書寫成6:30 9點半可書寫成9:30 110點半要怎麼寫呢？ J將你的答案寫在小白板。 | 時鐘(大)×1個、小白板 | 1.能以正確的方式書寫時間。 | |
11.會用長短針撥出正確時刻。 | 概念複製 個人操作/書寫 ↓ 小組檢核 ↓ 全班檢討 | U老師撥弄時鐘，出數題測驗學生。 這是幾點半？ J將你的答案寫在小白板。 U老師出題，請學生調出指定的時間。 J請你用小時鐘撥出正確的時間。 | 時鐘(大)×1個、小白板、時鐘(小)×35個 | 1.能說出鐘面的時刻。 2.能撥出指定的時刻。 | |
12.會報讀幾點鐘、幾點半。 | 十三、正誤區辨 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全班分享 |
1靜香和大雄約好，下午４點要到大雄家玩。大雄吃過午飯後，就一直期待４點能趕快到。在房間裡等得不耐煩的大雄，後來跑到客廳去等，當他抬頭看牆上的鐘後，很生 氣的說:「靜香遲到了，都４點半了，怎麼還沒到啊!」 如果你是小叮噹，你要怎麼樣告訴他才合理呢？ □對呀，靜香太不守時了。因為 □不對，靜香才沒有遲到呢！因為 將你的想法說給二人小組聽，看看說的合不合理。 | 時鐘(大)×1個 | 1.能說出鐘面的時刻。 | |
附錄 8：[這是什麼形狀]教學活動設計
單元名稱 | 這是什麼形狀 | 教學節數 | 共四節 | |
教學資源 | 活動一 積木：球體、圓柱體、正方體 活動二 積木：球體、圓柱體、正方體 活動三 積木：圓柱體、三角柱體、正方體、長方體 圖卡：圓形、三角形、正方形、長方形 活動四 圖卡：三角形（共四張）、圓形（共四張） 活動五 海報 活動六 海報、小白板 活動七 圖卡：共四張 活動八 圖卡：長方形（共三張）、正方形（共三張） 活動九 圖卡：共三張 活動十 圖卡：共五張 | |||
能力指標 | 具體目標 | |||
S-1-1 能由行體的外觀辨認出某一形體。 S-1-2 能依據二維、三維幾本形體的外觀，作簡單分類。 S-1-3 能複製二維、三維的基本形體。 S-1-4 能使用非標準或標準的名稱描述基本形體。 D-1-1 能將資料作分類與整理，並說明其理由。 C-R-1 能覺察生活中與數學相關的情境。 | 1.體會平面與非平面不同之處。 2.透過複製立體圖形的面，認識圓形、三角形、正方形、長方形。 3.認識長方形、圖形、三角形、正方形等專有名詞。 4.能掌握「圓形」、「三角形」、「長方形」、「正方形」的組成要素、圖形性質。 | |||
設計特色 | 以碰觸、觀察、複製實物的形體與表面，分辨平面圖形的形狀與立體物之形體特徵。 | |||
兒童 迷思概念 | 同一圖形，一旦歪斜擺放或大小不同，即不易辨識其正確形狀。 | |||
具體目標 | 活動主題及進行方式 | 主要活動與問話 | 教學資源 | 評量 | ||||
1.體會平面與非平面不同之處。 | 一、關察洞察 活動進行 ↓ 全班分享 | U每二人一組發下積木各一，二人輪流擔任出題者拿積木放在被測者的手上，被測者眼睛要瞇起來，並猜一猜拿到什麼積木。 你是怎麼樣猜出來「球體」、「圓柱」、「正方體」的？（老師不直稱形體的名稱，只要以手舉高展示即可） 全班一起分享。 | 積木：球體、圓柱體、正方體 | 1.學生能說出觸摸物體後的感受。 | ||||
二、正誤區辨 個人思考 ↓ 全班分享 | U老師在桌上擺上「球體」和「圓柱體」。 閉眼摸到會滾動的東西，就一定是「球體」嗎？有沒有可能是「圓柱體」？要怎麼樣才能判定呢？ 全班一起回答。 U老師在桌上擺上「正方體」和「圓柱體」。 閉眼摸到平平的東西，就一定是「正方體」嗎？有沒有可能是「圓柱」呢？要怎麼樣才能判定呢？ 全班一起回答。 ※教學要點：老師以手舉實體展示的方式，取代直呼名稱。 | 積木：球體、圓柱體、正方體 | 1.能表達對於物體外觀的想法。 | |||||
2.透過複製立體圖形的面，認識圓形、三角形、正方形、長方形。 3.認識長方形、圖形、三角形、正方形等專有名詞。 | 三、實物操作 個人操作 ↓ 全班分享 | U每二人一組，每組發下積木四類：「圓柱體」、「三角柱體」、「正方體」、「長方體」各一。 在自己的小白版上，用彩色筆畫下積木的一個面。 ※教學要點：老師鼓勵所繪的面能有不同的形狀更好。 U黑板上放置圖卡四張：「圓形」、「三角形」、「正方形」、「長方形」。 你們印出來的面有沒有和這張圖長得很像的？ 你是拿什麼東西描出來的？用它的那一個面呢？ 將你的方法／想法和全班分享。 | 積木：圓柱體、三角柱體、正方體、長方體 圖卡：圓形、三角形、正方形、長方形 | 1.學生能確實操作。 2.學生能舉例正確。 | ||||
4.能掌握圓形的組成要素、圖形性質。 5.能掌握三角形的組成要素、圖形性質。 | 四、關係洞察 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全班分享 | U黑版上的圖卡呈現下列分類。
一般三角形 直角三角形 三角形
鈍角三角形 銳角三角形
圓形 這些圓形／三角形裡的圖形中有什麼相同的地方呢？ J將你的想法說給二人小組聽，看看說的合不合理。 | 圖卡：三角形（共四張）、圓形（共四張） | 1.學生表達對於分類的想法。 | ||||
五、正誤區辨 個人分享 ↓ 全班分享 | U黑版上呈現下列海報。 猴子老師說：「有3個圓。」(藍色、綠色) 體育老師說：「有２個圓。」(粉紅色) S老師說：「有2個圓。」(紅色、橘色)
| 海報 | 1.學生能表達對於圖形的想法。 | |||||
你同意誰的說法？ □猴子老師 □體育老師□S老師 理由是： 將你的想法說給二人小組聽，看看說的合不合理。 | ||||||||
六、概念再製 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全班分享 | U 找找看，圖形中裡面有幾個圓形呢？ J將你的答案寫在小白板後，和二人小組檢核。 | 海報、小白板 | 1.學生能說出正確的答案。 | |||||
七、正誤區辨 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全班分享 | U黑版上呈現下列圖卡。 哪些是三角形呢？
(曲線) 非三角形 (有一缺口) 非三角形
(橫放的) 三角形 (倒放的) 三角形 將你的想法說給二人小組聽，看看說的合不合理。 | 圖卡：共四張 | 1.學生能表達對於圖形的想法。 | |||||
※教學要點：二人小組討論完後，老師逐一指著圖詢問全班「這是三角形嗎？(若『是』則再詢問)你怎麼知道的？(若『不是』則再詢問)為什麼不是呢？」 | ||||||||
6.能掌握長方形的組成要素、圖形性質。 7.能掌握正方形的組成要素、圖形性質。 | 八、關係洞察 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全班分享 | U黑版上的圖卡呈現下列分類。 長方形
正方形 這些正方形／長方形裡的圖形中有什麼相同的地方呢？ J將你的想法說給二人小組聽，看看說的合不合理。 | 圖卡：長方形（共三張）、正方形（共三張） | 1.學生表達對於分類的想法。 | ||||
九、正誤區誤 個人思考 ↓ 小組分享
↓ (一邊為曲線) 非正方形 全班分享 | U黑版上呈現下列圖卡。 哪些是正方形呢？
(斜放的) 正方形 (菱形) 非正方形 將你的想法說給二人小組聽，看看說的合不合理。 ※教學要點：二人小組討論完後，老師逐一指著圖詢問全班「這是正方形嗎？(若『是』則再詢問)你怎麼知道的？(若『不是』則再詢問)為什麼不是呢？」 | 圖卡：共三張 | 1.學生能表達對於圖形的想法。 | |||||
十、正誤區辨 個人思考 ↓ 小組分享 ↓ 全班分享 | U黑版上呈現下列圖卡。 哪些是長方形呢？
(邊不等長) 非長方形 (直立的) 長方形
(沒有直角) 非長方形 (斜放的) 長方形 將你的想法說給二人小組聽，看看說的合不合理。 ※教學要點：二人小組討論完後，老師逐一指著圖詢問全班「這是長方形嗎？(若『是』則再詢問)你怎麼知道的？(若『不是』則再詢問)為什麼不是呢？」 | 圖卡：共五張 | 1.學生能表達對於圖形的想法。 | |||||
附錄 9：形成性評量教學後的省思
過去的學習經驗談我對於數學教學的看法
從小學階段到大學階段，在不同時期中，數學對我而言，有不同的感受。
小學時，覺得數學並不難，因此總覺得只要看課本學就可以懂了；認為計算題只要計算機按一按就可以很精確的算出答案來，實在搞不懂老師為什麼回家作業要出一堆計算題，來「浪費」我們的時間呢？
中學時，解X、Y的問題，屢戰屢敗的經驗讓我覺得自己好像數學白痴。數學對我而言，是一堆永遠只能在老師解答案後的讚嘆，以為數學要學得好，做的題目要夠多，記憶能力要夠好，才能「看到什麼題型，就知道要用什麼方法」。
高中時，到一家知名的補習班補數學，抱的心態是：「大家都去補數學，我也應該要去補。」老實說，國中數學成績老是墊後的我，起初，對於高中數學並沒有想力挽狂瀾的決心，不過我還是很認真的，不論在學校或補習班，都很仔細的聽講。就在一次數學大考中，我意外的成為班上最高分的人，之後的幾次小考亦是如此，我才開始在分數的回饋中得到對數學的信心。
追究我在數學上「意外突變」的成長，補習班老師的教學方式，帶給我學習數學的樂趣，是最大的主因。老師常常在揭示題目後，語帶豐富的感情及熱情的問我們：「你們看到這一句話，會想到什麼？有什麼衝動？」每每讓我感受到，數學的思考，就像是你看到好山好水，心中會起了一波波的漣漪，而忍不住想要讚美一番，這樣的動作，是那麼樣的自然、單純。另外，由簡到難，也是老師教學時會注意到，但老師更會注意由簡到難中，概念上的連接，常常會有一段小小的落差，一個數學領悟力高的學習者，可能一下就可以跨過；但，相對的，數學領悟力較弱的人，若在此這個點跨不過去，就可能成為學習接下來的課程中的絆腳石。因此老師很注重「比較」：將兩個相似的題目或概念放在一起，引導我們思考，究竟有何「相同」與「不同」的地方，如此以我們所熟悉的相同點的基礎上，來觀察不同點，並找出之間的關連，這樣難中有易的方式，讓我覺得自己好像是個「偵探」，在各種線索中一絲一絲的抽絲剝繭，體驗到思緖跳躍在各種線索中的樂趣，和因為自己不斷動腦後雲霧漸開的興奮，那真是一種充滿了學習及成長的喜悅。
升大學時，我以這樣活潑的思考態度來學習微積分、統計，成績表現都還不錯。原以為我學習數學的快樂體驗，將在二年級統計學完後畫下休止符，沒想到在大四學程三的課程中，因為選修了「功課一級多」的老師－林宜臻教授的數學教材教法課程後，再次將我對數學的熱情，持續的加溫。
從教材教法課程中認識「形成性評量」
在宜臻教授的引領之下，我們不僅認識了老師對數學教學的幾項重要概念「形成性評量在課堂中落實」、「讓孩子在課堂中思考數學本質概念」。我們在老師的指導下，整個學期有相當多次的練習，透過小組討論實作設計教學活動設計，並進入學校進行教學，從孩子們積極的想要反駁我們的「錯誤假設」中，我們隱隱可以感受得到－孩子對於這樣一個帶有一些挑戰，要求得不斷思考的課程進行方式，反應出來的學習態度是蠻積極、有興趣參與的，讓我們隱約可以想像到一股輕快的數學樂章，正在他們的小腦袋裡，奔放的流動著。
過去的學習中，老師教加法時，就是單刀直入的告訴我們「累十進一」的「技巧」；教分數的除法時，就是要我們記下「除數先倒過來後，除變乘」。從來都沒有人帶著我們思考，為什麼會是這樣？我們全部都是被灌輸最精簡化的東西，至於最衷於數學原味，甚至於是最有趣的探索過程，卻都被老師「善意」的棄於一旁。
宜臻教授還訓練我們，深入的了解、預測學生的迷思概念，將孩子的迷思概念以「正誤區辨」的方式，做為課程設計的一部份，這一點也與過去的數學教學方式有很大的不同。過往，老師們都是在學生考試或作業中，發現有問題了，才提出學生易犯錯的概念；宜臻教授則是巧妙的在教學中，以學生易犯錯的部份，做為教學的素材，藉此加深學生的印象，幫助學生更清楚的掌握住什麼樣才是完整、正確的概念。我很喜歡設計這樣的問題，雖然對我一位生手而言，並不是那麼容易，但我喜歡那種挑戰自己的思維，點子不斷在腦中跳動的感覺，真是有意思！
「老師不要同時為佈題者和解題者」，這一點也是宜臻教授不斷強調的，我自己也深深為這個想法所吸引著。常期以來，數學科教學常見老師像是一個統領數學的天王，學生上課時噤若寒蟬，因為得仔細聆聽老師像佈道一般的解題方式，學生的聲音，永遠是在進行練習題（相似題）演練中才會獲得重視。但宜臻教授卻十分重視學生在課堂中的聲音，學生可以告訴老師他們的想法，甚至是「指揮」老師怎麼樣解題才對。老師將建構知識的權力，還給了孩子。老師像是一名助產婆，協助學生們將小腦袋瓜中蘊藏的智慧小寶寶給擠出來。數學的道理不難，學生或多或少都能抓到一些概念，也許這些概念並非完整，但唯透過學生自己解題，孩子才有可能在課堂中，不斷的進行思考。我也深信，能夠說出來的想法，才是思考後內化的想法，這樣的想法才會記得牢；唯有經過思考後的知識，才是真正的智慧。
此外，宜臻教授也鼓勵我們帶領孩子從「數學本質概念」中認識數學。不過，由於自己在小學階段學習這些概念時，並沒有經驗過這樣的方式，在沒有經驗法則可遵循的情況下，每一次小組設計教案時，小組成員常為了確定彼此對本質概念的想法是正確且一致的，而得花相當長的時間來討論、辨證。因此，我深深的感覺到，在一開始嘗試以「形成性評量」進行課程設計時，有一個充滿支持氣氛的討論小組，一起共事、實驗，是相當關鍵性的。一個人的意見或想法，容易造成偏頗，二個人以上的小組，正好可以透過不斷的對話，讓觀念愈釐愈清，也因透過他人的回饋，自己得以在教學之前，做一番審視，避免在教學時產生不必要的問題。
宜臻教授的作業中，規畫我們採訪在職老師，藉此了解「學生的數學迷思概念為何」。如此從側面了解學生學習數學時的狀況，我想對於在師資培訓中的職前老師而言，是相當重要的。畢竟，我們還沒有真正沒走入教學，對學生的了解有限，在思考「學生的數學迷思概念為何」時，除了從自己過去的學習經驗中，及自己的推論中找出來，老師提供給我們的訊息，就顯得格外重要。
在L國小以「形成性評量」進行數學教學
真的到了自己成為實習老師，在觀摩了我在L國小的實習輔導老師－S老師的教學一個月後，我也開始上臺教數學。一開始我並沒有以「形成性評量」的方式教學，一方面是自己沒有獨立作業嘗試的勇氣，一方面也是因未與S老師討論是否能接受這樣的教學方式。很幸運的是，獨自摸索了一陣子後，在宜臻教授的指導和S老師的包容、同意下，我和另外三位實習夥伴，開始嘗試著採協同的方式，以形成性評量的精神，來設計接下來的課程。
以下，我針對自己以一個實習老師的角色，來進行「形成性評量的教學」方法，將這段期間，我對個人在設計教案、教學的過程、對學生的觀察曾有過的疑惑條列出來，並針對這些疑惑，將在此期間受到宜臻教授、S老師的指導後，把我個人的省思列述如後。
一、小組討論在一年級中應幾人進行較為恰當？
宜臻教授的教學模式中，「小組討論」是她相當重視的活動。透過小組討論，小組成員可以一同分享對問題的看法：在說出自己的想法後，可以透過他人的回饋來確認或提醒錯誤；在聽別人的想法時，自己可以以別人為鑑，反觀自照自己的想法是否無誤，或以別人相當清晰、正確的想法，來幫助自己的想法更加的完整。
在小組組成人數上，宜臻教授認為三至四人是較恰當的人，因為小組討論時，若只有兩個人互相討論，可能會發生其中一人無話可說時，另一人也無法從他人想法中學習；不過，若小組成員高達六人，卻可能為了要讓每個人發言，而必須占用課堂上相當多的時間。在以上兩項考量之下，「四人小組」成為一個最佳的小組討論人數。但是，由於一般在國小中，開始有較正式的討論活動，大都是從國小三年級開始，普遍大家對於國小一年級，是否有能力參與討論活動，卻沒有實驗得知，因此，在S老師的同意、支持下，我的班上嘗試著以二人小組及四人小組的方式進行數學教學。
實驗後我們發現，可能是因為低年級孩子處在「前運思期」末期或「具體運思期」前期，自我中心還是太重，即使我們不斷在教學過程中，曾經試著引導他們進行四人小組的分享，但就我的觀察，孩子似乎只有在碰到較簡單或封閉式的問題，四人小組運作才會明顯的啟動；至於其它較複雜，需要不斷思考才能得到想法的問題，就沒那麼受到孩子們的眷顧，討論的氣氛就不是那麼熱烈了。倒是，二人小組的運作，由於人數少，兩人彼此分享、聆聽的時間相對縮短，孩子投入討論的情況反而較為熱烙。
最後，我們決定暫時「接納」他們似乎較能運作「二人小組」的事實，後來的各科教學（包括非數學），我們也常利用「二人小組」來進行討論和分享。只是，有一些學生的反應，倒還是值得我們再深思的，由於孩子們各別狀況的差異：或因聽障孩子口語表達能力，聆聽能力不佳；或因少部份孩子的語文能力表達不佳；或因孩子過於自負，不願聽別人的分享。以上的問題，都是在進行「二人小組」討論時，得靠老師的班級經營及輔導的智慧來克服，老師不妨把握在初次向學生介紹「二人小組」的討論模式時，應該要特別注意，並給予學生鼓勵。
二、小一上學期「數」的認識只教到「數到二十」，難道學生的能力和認知，真的只能到此嗎？
由於大部分的小朋友在學齡前都已會從1數到100，也大都具有看到數字後讀出數字的能力，因此，在學生開學沒多久，學會1到10的概念後，我們在即將進入「我會數到20」這個單元時，宜臻教授提出「如果學生對於數字的認識，已經具備有位值概念了，他其實就可以認識20―99的數字了。」因此，我們在設計這個單元時，刻意以認識位值概念的方法切入認識數字。從學生實做和討論的狀況，以36為例；我們發現，學生不僅是能讀，還能說出36中，3代表3個長條(1個長條表示10個1)，6代表6個小方塊(1個方塊代表1)，他們確實是有能力接受20以上的數字，並了解它在「量」方面的意義。
同樣的，這個學期「這是什麼形狀」單元中，我們也是以相較課本的程度，再度提高對學生能力的信心，請孩子比較說出各別形狀的構成要素(外觀)。教學結果，孩子的反應同樣符合我們原先的推測。
我不諱言，在這樣的嘗試以「提高對孩子能力的認知」的教學，在一開始確實讓我有些憂心，雖然我知道對接近百分之百的孩子而言，他們是可以以較輕鬆的方式，面對我們所設計的教學，但，我仍然對於那少數(可能是2個，也可能是3個、4個，甚至於５個)可能受限於語文，或過去的學習經驗，而無法掌握這些相較於他們的程度，可能較難的問題，倘若我真的忽略掉這些孩子的需要，那麼我這樣提升問題的層次，多數孩子雖然可以跟得上我們的腳步，但那少數的孩子該怎麼辦呢？
後來宜臻教授告訴我，我們在教學流程中「關係洞察」後，還要進行「正誤區辨」、「概念再製」、「概念應用」的步驟，目的就是要了解學生的學習狀況，找出到底孩子在學了之後，是否有吸收，若發現學生有學習的困難，教師便要再省思自己的教學，再針對全班共同問題或個別問題，給予全班的再教學或個別指導教學。
老師的指導，讓我了解到，老師視整班的普遍能力設定課堂目標的同時，也要特別注意個別差異的孩子。我們可以試著以實際狀況，推判學生可提升的能力程度並進行教學，但倘若少部分學生真的無法達到該能力，我們至少要讓他們達到課本上指定應發展的基本能力。
三、其它學科的教學過程都有一定程序（如：引起動機、發展活動、綜合活動），那麼數學科的程序又是什麼呢？
初以「形成性評量」進行數學教學，在安排課程教學流程時，常將注意力放在－是否有將該課的目標按難易度做應有的順序分配。就這樣，我們的教案變成似乎是一個概念、接著一個概念的認識，總覺得似乎少了些系統化的教學程序。最令我們不安的是，在教學後，學生雖然已初步認識數學的本質概念，但究竟學生是否真的吸收所授的概念，我們卻無從得知。
所幸，宜臻教授再度給予我們一個方向，告訴我們每一個數學概念的教學流程可採四個步驟：「關係洞察」、「正誤區辨」、「概念再製」、「概念應用」。
(一)「關係洞察」：這是認識本質概念的重要階段。
(二)「正誤區辨」：緊跟在「關係洞察」後，為了要讓學生確定自己是否已經有清楚、完整的概念與否，而以學生可能有的「迷思概念」，設計問題情境讓學生思考。
(三)「概念再製」：設計同上兩步驟的類似題，再次供學生思考並複製已學會的概念。
(四)「概念應用」：此部分重視與生活經驗（活用）連結，藉此培養學生以數學解決生活問題的素養。
四、以「形成性評量」進行數學教學的四個步驟，每個步驟都一定要在課堂當中呈現嗎？
當我以四個步個驟的方式設計「這是什麼形狀」單元時，發現透過「關係洞察」就可以帶領學生認識形狀的組成要素，透過「正誤區辨」就可以帶領孩子仔細的以形狀的組成要素，來判斷所見的形狀是否符合特定形狀應有的組成要素；似乎學生經由以上兩個步驟，就可以達到學習目標了，那，接下來「概念再製」、「概念應用」還要再進行嗎？我開始思考，難道這四個步驟，每個步驟都是缺一不可嗎？如果在前兩項步驟就可以確定學生已能充分了解本質概念，其餘未做的步驟還是得繼續進行嗎？
經由宜臻教授的解惑，我知道前兩個步驟「關係洞察」、「正誤區辨」是相當關鍵性的步驟，少了一個步驟，就很難確切的掌握學生的理解狀況，但後兩個步驟的彈性就多了點。若有把握前兩個步驟後學生就能達到教學目標，後兩個步驟是可以省略；但若數學概念是較複雜的，則還是得透過四個完整的教學步驟才能達到完整的教學目標。當然，有時僅做一、二、四項流程的彈性做法也是可以被接受的。總之，一切的衡量標準還是以「達到教學目標」為依歸。
五、什麼樣的題目／概念該用小組討論？什麼樣的題目／概念該用小黑板？什麼樣的題目／概念直接用比手勢或做動作的方式表示答案或想法？
【老師直接告知】－遇到由社會「約定俗成」的概念或習慣時，由老師直接告知學生。例如以下舉例就是可以直接由老師告訴學生：“＋”念作「加」。１００不念成「十零」而是念作「一佰」。長短針的命名。
【小組討論】－遇到與數學「本質概念」有關的問題，特別是在一開始概念形成階段，包括「關係洞察」、「正誤區辨」往往都必須透過小組討論，讓學生彼此檢核想法，進而模仿、修正、確認想法。
【小黑板】－若該問題，對老師而言有極重要的判別價值，需要特別了解究竟學生有什麼樣不同的想法，或究竟有哪些學生觀念還不正確，就可以透過學生將答案寫在小黑板的方式檢測出來。而在這裡強調的是，書寫個人小黑板的優點是，老師可以透過學生舉牌揭示答案的速度，來判別學生概念的清楚與否或熟練度，因此，當老師要特別確認有「哪幾位」學生有學習問題時，特別適合採用此法。
【手勢／動作】－由於手勢／動作具有快速反應學生想法的優點，因此，若問題僅是要簡單的了解學生普遍性回答狀況，尚不遷涉重要的評量考核時，可以利用此法。
六、學生分享完想法後，接下來是由老師直接公佈答案，告訴學生「他說對了／錯了」嗎？
若有學生說法錯誤，或偏離老師所想要的答案，可以再反問學生「還有沒有不一樣的想法？」「你同意他的說法嗎？你的想法是什麼呢？」或以「你的想法和他不一樣／一樣」的人請舉手的方式，來取得全班的共識。以上的方法，都必須視問題及學生的回答狀況來選擇。
在我們班上，我可以感覺到，當你以這樣詢問、徵求孩子意見的方式了解學生的想法時，孩子參與討論的氣氛都相當的不錯，這樣一個充滿「信任」、「尊重」的情境，比老師直接告訴學生「正確答案」的方式，更有助於鼓舞學生養成在課堂中思考數學的習慣。
不過採用此法，最大的缺點是（我實在不太想要說它是缺點），有時必須要花較久的時間，才能凝聚全班的共識找出最佳的答案；但，我仍認為，唯有經過思考後內化的知識，才能成為真正理解其要意的智慧，並能從中培養表達、溝通、分析的能力，這才是帶得走的數學能力。
七、為什麼有時學生老是無法說到我要的答案？
剛開始上臺教學時引導了半天，學生的答案卻連摸到解答問題核心的邊緣都沒有，甚至於話題還岔離了數學本身的問題。後來經過S老師及宜臻教授的指正，了解這樣的狀況常與老師對於「目標掌握不清」、「問話設計不佳」有關。
以小一課程「我會數到20」單元，題目要求「數一數蘋果有幾個，並將１０個圈起來」，老師若問「為什麼我要把10個圈起來」，不若問「10個圈起來有什麼好處」來的好，後者很清楚的直接切入關鍵點，請學生從「優點」來思考，了解「10」個圈起來的意義。
這個部分，可能也是實習老師受限於教學經驗，在掌握問話的精神上還不純熟的緣故。可喜的是，我發現，當我愈常看其他老師、實習老師的教學狀況，從他們的優點中「取經」，從缺點中「反觀自己」，自己成長的機會就會相對提高。
八、老師已傳達活動指令了，為什麼有人仍無法正確操作？
「形成性評量」的數學教學活動中，蠻重視學生透過操作的經驗，從操作中啟動學生主動思考，建構數學的意義。對於我這個教學新鮮人而言，要在不是很純熟的班級經營技巧下，從事活動性的教學，是有壓力的。特別是面對學生不專心聆聽活動步驟，以致不知道該如何參與接下來的自行／小組操作活動，這種孩子，真是會把我心中的「大魔鬼」喚出來，真想抓他出來打屁股。
不過，後來當我開始在每次進行活動前，點幾個學生複述我剛才所說的活動注意要項，總算把那些可能在第一次講解時比較不專心的孩子的注意力，給拉了回來，使我的教學活動更加的順利。
九、學生上課時不專心怎麼辦？
剛開始進行數學教學時，我總覺得學生上課時的專注度不是很好，是不是我上課中沒有遊戲，或者是我的技巧不足，宜臻教授一句話：「我們要用一個緊扣數學本質概念的教學設計來抓住孩子的心。」又帶給我一番省思。
老師認為在「形成性評量」的數學教學模式下的教學，孩子是可以受問話和佈題的情境所吸引。當老師設計了一個富「形成性評量」概念的題目，孩子參與的興趣是容易被引發的。老師告訴我的話，我聽進去了；後來，當我愈努力去思考數學的本質概念，所設計出來的教學，確實似乎也愈能引起學生參與課堂的意願。
不過，孩子是好動的，有經驗的老師都懂得善於利用班級經營的技巧，來避免孩子分心－例如在老師發下操作教具前，事先提醒學生沒有老師說動手就不可以碰，不守約定就會被沒收；課堂中用不到或晚一點才要用到的教具，就別太早請學生拿出來或發給學生，讓他們可以減少誘惑物的刺激。
十、我對於數學本質的概念是正確、是完整的嗎？
由於這樣的課程設計非常重視「數學本質概念」，教師是否能充分掌握數學本質概念就十分的重要。但往往教學指引中的內容有限，且又常是單一年段的分析，這樣的結果，教師無法看到課程綜向的連貫性。倘若教師無法掌握到數學「完整」的本質概念，那麼可能無法很完整掌握到教學目標，並知曉他在國小階段所占有的重要性為何。
所幸「教師研習會」網站內的數學部分，包括宜臻教授所架設的網站「林宜臻的數學園地」，提供相當豐富的資訊，讓我們有一個可以參考、瀏覽的豐富寶庫。當然資料有了，剩下來的功夫就是得由我們自行消化吸收啦！
九、以為學生都了解了，但學生期末小考考卷答題表現卻不佳？
我原來想，既然我已照著宜臻教授所說的「四個步驟」進行教學，從學生的反應，班上孩子的數學應該不會有什麼大問題。豈料，從學生期末考前的小考測驗卷中，我還是發現部分學生學習狀況並不好，讓我始料未及。
在與S老師討論過後，初步排除我教學設計的問題，一方面可能與這些學生上課較不專心有關，另一方面可能是因每一單元上完後，就緊接著上下一單元，中間並無整合複習或測驗的機制。在「我學了，可是我會忘」的普遍情況下，學生可能並沒有在學後，精熟整個單元的概念。因此，S老師建議我，不僅在教學時，要隨時審視，確認學生都懂，也必須要在學完數個單元後，先進行小測驗，掌握學生的學習狀況，避免到學期末急在弦上，才發現學生的「大問題」，而亡羊補牢的進行補強，實在有失「形成性評量」精神。
十一、為何在教學中，學生已經驗過「正誤區辨」的題目，在宜臻教授以形成性評量所設計的測驗題中，仍然有諸多錯誤？
這部分的答案，我還無法解答出來，我目前推測的幾個原因如下：
1.我的教學技巧、班級經營，影響了整體的教學成效。
2.學完一個單元後，未進行完整的複習，以致學生雖然當下學會，但因未再練習而生疏。
3.學生於教學時就不懂，只是我未發現，誤以為他們都會了。
4.教學流程有漏洞。
雖然截至目前為止，原因還在有勞宜臻教授分析中，但因為我在以「形成性評量」來進行教學，我看到孩子在「正誤區辨」時眼睛發亮的神情，熱烈討論的情景，因此我會推測「四步驟」的教學流程應該沒有問題，問題可能還是出在前三項原因的可能性較大吧！
感言
如果我能在數學教學上，多一些可喜的成長，最要感謝宜臻教授在我實習之初長達二個月的期間，到校指導。如果沒有教授費心、費時的鼓勵和指教，我真的無法在那麼樣短的時間內，看到自己教學的缺點，並再下一次課堂中進行改進。在教授的身上，我看到一位教育者對數學教育的使命感，看她為數學教育所投入的心力，讓我們真的很不捨，好想拍拍教授的肩膀說：「老師您辛苦了！健康可要照顧好哩！」有人說：「生命中的貴人就像是遇到一位人間的菩薩。」我覺得宜臻教授就像是我生命中的菩薩，讓我成長，更讓我砥礪自己須更用心於數學教育。
我的實習輔導老師－S老師對於以「形成性評量」進行數學教學的支持令我萬分感激。我總覺得自己以一位學習者的身份，平日受輔導老師的教導，就是夠麻煩老師的了，但因為在班上實行「形成性評量」進行數學教學，我們幾乎完全自編教材的方式，讓老師可能要承擔點「風險」。感謝S老師一路的支持並不斷提供給我建議，讓我能不斷的精進。
最後要感謝我的實習好夥伴E、F、W，在這段期間大家為了教案，為了共同的目標，常常在放學後還會繼續討論教學事宜。一路上我們彼此支持、成長、相互打氣，總算是在對一上數學有提到的數學本質概念上，有個較完整的了解。這樣美好的合作經驗，讓我更加體會到－在教學的路上，有機會與眾人一同協同討論，進行協同教學是一件能為教學加分的事。
1引自林福來教授主持的讀書會中，林福來教授的話語。
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