301

陸正威、王慧豐

台北縣永和國小教師

摘要

本研究旨在探討「同儕交互指導數學解題方案」對不同程度別國小學童數學解題表現的提升，數學焦慮的降低，以及解題後設認知的增強所能產生的立即與保留效果是否會隨編組情境方式而有所不同。本研究以台北縣永和國小五年級154名學生（四個班級）為研究樣本，並以班級為單位，隨機分派在異質編組、同質編組、不編組與控制組的情境下。各班學生依數學解題能力測驗前測成績分為高低不同程度別的受試者，以不等組前後測設計進行為期十週之實驗處理。研究結果顯示：

一、異質編組的「同儕交互指導數學解題方案」能顯著提升受試學童的數學解題表現，且提升的程度明顯高於不編組與控制組情境所能達到的。另外，異質編組同儕交互指導情境有助於降低高程度學童的數學焦慮，以及可增強受試學童數學解題的後設認知。

二、同質編組的「同儕交互指導數學解題方案」能顯著提升受試學童的數學解題表現，且提升的程度明顯高於不編組與控制組情境所能達到的。另外，同質編組同儕交互指導情境有助於降低低程度學童的數學焦慮，但卻未能增強受試學童數學解題的後設認知。

三、不編組的「數學解題方案」能顯著提升受試學童的數學解題表現，且提升的程度明顯高於控制組情境所能達到的。然而，不編組情境卻未能有效降低受試學童的數學焦慮。更值得注意的是，此不編組情境明顯降低受試學童數學解題的後設認知（研究者認為此下降的幅度是出自於學童對自己原本認知重新修正的結果，而非單純降低學童後設認知的程度）。

四、在控制組情境下（沒有接受任何數學解題教學），受試學童的數學解題表現、數學焦慮與後設認知，經過十週後都沒有明顯的改變，顯示這些變項不容易因時間而發生太大改變。

依此研究結果，本研究進一步探討「同儕交互指導數學解題方案」對國小學童數學解題表現、數學焦慮及後設認知的影響。並對國小教學及後續研究，提出建議。

關鍵詞：同儕交互指導數學解題方案、數學解題表現、數學焦慮、後設認知

壹、前言

一、研究動機

學校教學中除了課程內容、師資素質等因素外，學生同儕間的關係，亦為影響教師教學及學生學習的巨觀環境因素，林清江（民84）曾建議教師可藉由教學活動的設計形成班級同儕共同工作的氣氛，善用酬賞制度引導學生間積極合作的同儕文化。Fantuzzo, Riggo, Connelly, & Dimeff（1989a）則認為同儕在課業間相互的指導、支持與合作，有助於解決學業上的困難與疑惑，並分享學習中的喜悅與挫折，故同儕交互指導有助於學生提昇其學業成就及減輕學習焦慮。Fantuzzo等人將這種同儕間相互合作、指導的學習策略運用於學校教學活動中，稱之為「同儕交互指導」（Reciprocal Peer Tutoring，簡稱為RPT）教學。

Annis等人研究都一致發現同儕之間相互的指導，其實是有助於雙方的認知發展與學校心理適應（Annis, 1982；Bargh & Schul, 1980；Lambiotte, Dansereau, O’Donnel, Young, Skaggs, Hall, & Rocklin, 1987）。另外Vygotsky的「鷹架理論」（scaffolding）也認為藉由同儕的協助，有助於提昇個體的認知水準（引自張春興，民83）。黃德祥等學者亦指出學校中同儕指導的輔導措施，有助於改善學生的學業成就及降低學習焦慮（黃德祥，民86；單文經，民86；魏麗敏，民86）。因此教師若能運用不同程度的學生配對以同儕交互指導的方式進行教學活動，除了有助於提高教師教學效果以及高低不同程度學生的認知發展與學業成就，也有助於建立班級裡相互支持合作的良性氣氛與健全學生的學習態度，培養學生「表達溝通分享」與「團隊合作」的基本能力。

美國全國數學教師協會曾建議「學校數學教育應將解題活動作為主要課題」（引自蘇明水，民82）；我國新數學課程標準亦「將數學視為解題」列為國小數學教育的首要工作（周筱亭，民84）。我國「國民教育階段九年一貫課程總綱綱要」更將「表達、溝通、分享」、「團隊合作」與「解決問題」三者定在十項國民基本能力之中（歐用生、楊慧文，民88）。因此，以同儕交互指導進行國小的數學解題教學，能否使國小學童在班級同儕的互動與合作中，學習解決數學問題的方法，並降低數學學習焦慮，提昇後設認知，就成為教師刻不容緩而亟待努力的工作。

二、研究目的

教育革新的成功與否，不止理論建構者的努力，更需要學校教師在實務中落實與發展。本研究之目的，在探討「同儕交互指導數學解題方案」對國小學童數學解題能力的影響，並對於在兒童數學焦慮及後設認知能力的影響上亦作評量，以期對國小課程與教學，提供「實踐智慧」（practical wisdom），為我國國民教育盡一份心力。

貳、重要文獻摘論與名詞釋義

一、重要文獻摘論

（一）同儕交互指導教學的理論與研究

同儕交互指導（Reciprocal Peer Tutoring，縮寫RPT）教學，是美國賓州大學Fantuzzo所提出的一種合作教學方式。就是運用同儕間相互幫助，彼此討論課業、分享學習經驗和紓解學習焦慮（Fantuzzo et al., 1989a）。

同儕交互指導的三項教學原理為「同儕指導」、「結構化學習模式」和「間歇團體酬賞」。「同儕指導」是指由兩名學生一組，輪流擔任「指導者」和「學習者」的角色，在學習中相互提問、檢定答案、訂正答案（Fantuzzo, King, & Heller, 1992）。O’Donnell, Dansereau, Hall, & Rocklin（1987）認為學生在配對的學習情境下，較單獨學習的學生，較能面對學習焦慮。Annis（1982）、Bargh & Schul（1980）、Lambiotte等人（1987）的研究均發現在同儕教學中，指導者透過思維的重整與再述，期學習的效果，甚至比學習者更好。通常小組越大，小組學習所需的人際關係能力與小團體技巧也越複雜。因此，對人際組織能力與小團體討論技巧較弱的國小學童而言，同儕交互指導教學中的同儕指導設計是較為合適的（陸正威，民88；黃政傑、林佩璇，民85）。

結構化學習模式則包括提問、擬題、模考、講解等四個步驟。結構化的學習模式是將「鷹架理論」運用於學生交互提問、擬間歇團體酬賞則是根據行為學習論中Skinner操作制約理論中「後效強化」（contingent reinforcement）的觀念。就酬賞的種類而言，可分為物質性與精神性酬賞。前者可包括文具、點心等（Heller & Fantuzzo, 1993）；後者則可包括口頭獎勵、獎狀等（黃政傑、林佩璇，民85）。同儕交互指導的教學設計則以表說明呈現。

整體而言，教師若能運用不同程度的學生配對，以同儕交互指導的方式進行教學活動，應有助於學童的認知發展與解決問題的能力。也有助於建立班級經營中同儕相互支持、溝通、分享及團隊合作的良性氣氛（陸正威，民88）。

（二）數學解題的的理論與研究

早先由Dewey提出解題的六階段論（確認問題、界定問題、擬定計畫、執行計畫、體驗解題結果、評鑑）後，但由於學校學生所面對的數學問題多為教師或教材中經設計的問題，Polya故修正提出解題四個階段模式，包括「了解題意」、「擬定計劃」、「執行計劃」與「檢討反省」四個步驟，以求與實際學校教學情境相契合（整理自陸正威、王慧豐，民88；劉秋木，民85）。

Polya認為並非要解題者固定地依照這四個階段循序前進，而是啟發解題的一種方法（引自劉秋木，民78）。之後Schoenfeld在研究不同解題能力學生的原案分析中亦有相似的發現，低解題能力者多於閱讀題目後即陷住，而高解題能力者的解題思唯則是在這四個階段中來回進行，此點與Polya與問題表徵系統轉換型的概念亦可相互援證（引自涂金堂，民84）。

Polya的解題歷程表提出後，Souviney與劉秋木均將Polya解題四階段的細目內容予以具體化，以應用於實際教育中之教學目標撰寫及便於提綱切領易於瞭解。茲將Polya、Souviney及劉秋木「數學解題階段歷程表」整理於表2，以便於比較。

表1 同儕交互指導教學設計工作項目及內容一覽表

（綜合自陸正威，民88；陸正威、王慧豐，民88；Fantuzzo et al., 1992）。

表2 Polya、Souviney、劉秋木「數學解題階段歷程比較表」

（引自陸正威、王慧豐，民88，15-17頁）

由表2可以發現，最初Polya所提出的四個階段的解題策略多為敘述式的問句，Souviney的修改的主要是增加同儕討論及小組合作。而我國學者劉秋木的修改，則將Polya的原細目內容予以系統化與簡目化，較為適於課程中教學目標的繕寫。

二、名詞釋義

（一）同儕交互指導數學解題方案

本研究之「同儕交互指導數學解題方案」，係研究者依劉秋木（民85）所修改的Polya數學解題四階段理論為基礎，配合Fantuzzo等人（1989a）同儕交互指導的教學方法，並參酌相關研究所編擬之數學解題方案（參見本文之研究工具）。目的在增進國小學童的數學解題能力，並藉由同儕交互指導的教學方式降低其數學焦慮及提昇後設認知的發展。本方案除了團體的教學活動外，並設計有作業單，以供課後作業活動之用。

（二）數學解題表現

數學解題能力是指個人在面對數學問題時，所展現解決問題的能力。研究者根據劉秋木（民78）所編製的「數學解題行為量表（甲、乙卷）」，依研究需要改編為「數學解題能力測驗（Ａ、Ｂ、Ｃ卷）」。本研究所指之「數學解題表現」係指受試者於「數學解題能力測驗（Ａ、Ｂ、Ｃ卷）」的分數，得分越高，代表其數學解題表現能力越高。

（三）數學焦慮

數學焦慮是指個人在學習或接觸數學時，所引起關於身心兩方面緊張、憂慮的一種情緒狀態。本研究的數學焦慮係受試者在魏麗敏（民77）所編製之「數學焦慮量表」的得分，分數越高，代表其數學焦慮越高。

（四）後設認知

本研究之後設認知是指個人在解數學題時對自己數學解題歷程的認知。研究者根據O’Neil & Abedi（1996）所編製的「狀態後設認知測驗」（state metacognitive inventory），中譯改編為「數學解題經驗問卷」。本研究所指之「後設認知」係指受試者於「數學解題經驗問卷」的得分，分數越高，代表其後設認知越高。

參、研究方法

一、研究樣本

本研究以臺北縣永和國小五年級學童為研究對象，自十一個常態編成之普通班為單位「叢集抽樣」其中四班，隨機分派為「異質編組」、「同質編組」、「不編組」及「控制組」四種編組情境，以求與實際班級同儕互動一致。

各組受試者先依數學解題能力測驗前測成績分為高低程度別的兩組受試者，「異質編組」是以配對組分派的方式由一名高程度學生與一名低程度學生所組成，「同質編組」則是以配對組分派的方式由兩名相同程度的學生（同為高程度或同為低程度）所組成，「不編組」與「控制組」則不進行配對編組。

二、研究架構與設計

本研究採實驗研究之不等組前後測準實驗設計，以符合實際教學現況（參見圖1）。四組受試者「數學解題能力」（有ABC三複本）、「數學焦慮」與「後設認知」測驗之前測於實驗處理前一週進行，後測及延宕後測則分別在實驗處理後一週及一個月後進行。

圖1 「同儕交互指導數學解題方案」研究架構圖

本研究之實驗處理「同儕交互指導數學解題方案」，各組之教學者均由研究者擔任，教學時數均為22節。其中處於異質、同質及不編組情境的三個班級為實驗組，接受「同儕交互指導數學解題方案」的教學。唯處於不編組情境的班級無配對編組，所有同儕交互指導數學解題方案之實驗處理，以個別學生為單位進行教師講述、自我提問與擬題、模考及講解訂正等活動。處於控制組情境的班級則不接受任何實驗處理，於實驗期間由級任老師進行正常教學時之活動，作為三個實驗組對照之用。

三、研究工具

本研究所使用之研究工具包括「數學解題能力測驗」（分ABC三卷）、「數學焦慮問卷」、「後設認知問卷」及「同儕交互指導數學解題方案」等四種，分別說明如下：

（一）數學解題能力測驗

「數學解題能力測驗」為研究者依研究需要，改編自劉秋木（民78）之「數學解題行為評量表」。測驗的目的，在評量國小高年級學童使用認知歷程的能力，但不含後設認知能力（劉秋木，民85）。題型的編製以Polya的解題歷程為基礎，分為「了解題意」、「擬定計畫」、「執行計畫」、「評估答案」等四大類，分為甲乙兩卷，各六十四題。

甲乙兩卷之庫李信度（Kr20）分別為.85與.93；以吳武典、陳榮華編之「數學診斷測驗」作為效標時之效標關聯效度時甲卷為.81、乙卷為.78。適用範圍由國小五年級至國中二年級，一般採團體施測，測驗時間約一小時，記分方式答對一題得一分，答錯不倒扣，滿分六十四分。

由於本研究包括前後測及延宕後測三次的數學解題測驗，並考量六十四題對小學生作答時間稍長，將原本各64題的甲乙卷，依原卷內容細目分析表與題組題的完整性改編為各25題的ABC三卷，新卷與原卷試題在內容細目的比例上力求一致，涵蓋Polya四個解題歷程及解題策略，與本研究「同儕交互指導數學解題方案」的教學內容一致（參見表3）。計分方式每題4分，25題總分100分，作答時間30分鐘。

（二）數學焦慮量表

由魏麗敏（民77）所編製，適用對象為中小學生。測驗目的為測量受試者的數學焦慮程度，以供輔導與鑑定之用。採是非題型式，答「是」的答案記一分，最高為三十二分，得分越高代表數學焦慮越高。

該測驗四個分測驗為「擔憂」（worry）、「厭惡」（dislike）、「測試焦慮」（test anxiety）和「壓力知覺」（perception of stress），每個分測驗八題，總計三十二題。全量表內部一致性係數為.89，再測信度.72，與李默英所編「數學學習態度量表」之「數學焦慮分量表」（計分方式為數學焦慮越高，得分越低）之效標關聯效度為–.66（p<.001）。

（三）後設認知問卷

由O’Neil（1996）所編製，原適用對象為中學以上程度學生。測驗目的為測量受試者的狀態後設認知程度，以供教學與鑑定之用。採四等量表的型式，分數越高代表狀態後設認知程度越佳。

該測驗四個分測驗為「覺察」（awareness）、「認知策略」（cognitive strategy）、「計畫」（planning）和「自我檢核」（self-checking），每個分測驗五題，總計二十題，全量表內部一致性α信度為.70。該測驗先由研究者譯為中文，再請專家學者一名、國小五年級教師一名、學生兩名進行語句修飾，力求符合試題之英文原義及國小五年級學生語法與知識程度。並請兩名具有外文系背景之國民教育研究所研究生將中文測驗題目反譯（back-translation）為英文題目，以檢視中譯後之題意是否與英文原義一致，適用於國小高年級學童狀態（state）後設認知的評量。

（四）同儕交互指導數學解題方案

本方案由研究者自編，主要根據Fantuzzo等人（1989a；1992）的同儕交互指導教學理論，以及劉秋木（民78）依Polya解題四階段理論為基礎所提出之數學解題認知歷程編製而成，編擬本方案之教案及教學目標。目的在培養學童數學科解決問題的步驟與策略，不包含於現行的數學科課程內容之中，運用學生早、午自修時間進行，平時數學課仍照原教學模式進行。

本課程內容包括一次課程簡介暖身活動，藉以說明教學目標、合作方式、評量標準，並增進同儕互賴。十二次的數學解題策略教學，涵蓋Polya「了解題意」、「擬定計畫」、「執行計畫」和「評估答案」四個解題歷程及解題策略。三次的同儕擬題模考，以模擬考試情境、減低數學測試焦慮，並藉由練習命題及交互講解，提升後設認知。兩次的形成性評量及一次總結性評量，藉此使教師及學生了解學習成效，並予以增強或補救。三次的學習表揚，先以同儕交互講解的方式訂正評量測驗，再由教學者針對其中重要觀念或較多疑問的題目統一講解；最後進行學習表揚，鼓勵學習表現優異的同儕或個人，持續努力進步。總計二十二次課程，每節四十分鐘，各單元名稱、教學策略與教學內容以表3呈現。

四、實施程序

本研究之實施程序包括：實驗處理前階段、實驗處理階段、實驗處理後階段。其中實驗處理前階段自86年7月至10月，工作包括蒐集相關文獻、蒐集及修訂測驗工具、擬定研究架構及實驗設計、聯絡實驗學校、編製實驗教材、實施前測及進行編組。

而實驗處理階段自86年11月至87年1月，主要的工作是對處於異質編組、同質編組及不編組情境之受試班級，進行「同儕交互指導數學解題方案」的實驗教學。而控制組於該階段，則不接受任何數學解題教學。

實驗處理後階段自87年1月至87年6月，工作包括實施後測、實施延宕後測、統計分析及撰寫研究報告。

肆、研究結果分析

本研究主要探討在不同同儕交互指導的情境下，不同程度的受試者在不同階段的數學解題表現、數學焦慮及後設認知向度上是否有明顯的差異。以下分別探討在不同編組情境下不同程度受試者在前測、後測及延宕後測之數學解題表現、數學焦慮與後設認知是否有顯著改變。

一、不同編組情境下不同程度別受試者於不同測驗階段數學解題表現之差異分析

本段主要針對不同編組情境下不同程度別的受試者在不同階段數學解題表現的差異情形進行資料分析，茲以4（編組情境）×2（程度別）×3（測驗階段）三因子變異數分析考驗之，其結果列於表4。

三因子變異數分析結果顯示：「編組情境」【F=25.52，p<.001】、「程度別」【F=127.12，p<.001】及「測驗階段」【F=146.34，p<.001】三者的主要效果均達顯著。另外，「編組情境×測驗階段」【F=15.42，p<.001】與「程度別×測驗階段」【F=4.15，p<.05】的二階交互作用亦達顯著，其餘的交互作用則不顯著。

由於三階「編組情境×程度別×測驗階段」交互作用並不顯著（p>.05），因此以下只就達顯著的二階交互作用進行單純主要效果考驗。「編組情境×測驗階段」單純主要效果考驗的結果顯示各編組情境下的受試學童在前測的表現並無任何差異，但在後測的表現則有顯著不同（p<.001）（參見表5、圖2）。

表3 「同儕交互指導數學解題方案」課程之單元名稱、教學策略與教學內容

表4 各組不同程度別受試者在前、後、延宕測驗
數學解題表現之變異數分析摘要表

* p<.05 *** p<.001

表5 編組情境與測驗階段對受試者數學解題表現之

單純主要效果考驗變異數分析摘要表

*** p<.001

2）。

表6 程度別與測驗階段對受試者數學解題表現之

單純主要效果考驗變異數分析摘要表

*** p<.001

另一方面，「程度別×測驗階段」單純主要效果考驗的結果則顯示不同程度別的學童不論在前、後、延宕測驗上的表現都有顯著的差別（ps<.001）（參見表6），從平均數可得知高程度學童在所有測驗階段的表現都比低程度學童好（參見表7）。如果由另一方面來看，不論是高或低程度的受試兒童在三個測驗階段的表現也有顯著的不同（ps<.001），經事後比較發現，不論是高程度或低程度的兒童在後測與延宕後測的數學解題表現都明顯優於在前測時現也有顯著的不同（ps<.001），經事後比較發現，不論是高程度或低程度的兒童在後測與延宕後測的數學解題表現都明顯優於在前測時的表現，而在後測與延宕後階段的表現間則沒有明顯差異（參見圖3、表7）。

表7 各組不同程度別受試者在前、後、延宕測驗及立即、

保留效果數學解題表現之平均數摘要表

綜合以上分析，顯示「同儕交互指導數學解題方案」能提高異質編組、同質編組與不編組情境下兒童的數學解題表現，異質與同質編組情境也較不編組情境有助於提昇學生的數學解題表現。而高程度學童在異質與同質編組情境下都能有不錯的表現；但是低程度學童在異質編組情境的表現似乎比在同質編組情境下好。另外不論是高程度或低程度學童在後測與延宕後測階段的數學解題表現都比在前測階段的表現有明顯的進步，且低程度學童進步的情形比高分組好。

圖3 不同程度別受試者於前、後、延宕測驗之數學解題表現比較圖

二、不同編組情境下不同程度別受試者於不同測驗階段數學焦慮之差異分析

本段主要針對不同編組情境下不同程度別的受試者在不同階段數學焦慮的差異情形進行資料分析，茲以4（編組情境）×2（程度別）×3（測驗階段）三因子變異數分析考驗之，其結果列於表8。

表8 各組不同程度別受試者在前、後、延宕測驗數學焦慮之變異數分析摘要表

* p<.05 *** p<.001

三因子變異數分析結果顯示：只有「測驗階段」【F=9.16，p<.001】的主要效果達顯著。另外，「編組情境×測驗階段」【F=2.72，p<.05】的二階交互作用及「編組情境×程度別×測驗階段」【F=2.49，p<.05】的三階交互作用亦達顯著，其餘的交互作用則不顯著。

由於三階「編組情境×程度別×測驗階段」交互作用達顯著，因此進一步分析單純交互作用果，其結果列於表9。

表9 編組情境、程度別及測驗階段對數學焦慮單純交互作用考驗變異數分析摘要表

*
p<.05 *** p<.001

由表9可以發現，對高程度及低程度的受試者，編組情境與測驗階段皆有顯著的交互作用（ps<.05）；而對處於同質編組情境下的受試者，程度別與測驗階段也有顯著的交互作用（p<.001）。因此再進行單純單純主要效果考驗，結果列於表10。

表10 編組情境、程度別與測驗階段對數學焦慮
單純單純主要效果考驗分析摘要表

* p<.05 ** p<.01 *** p<.001

圖4 各組高程度受試者於前、後、延宕

測驗之數學焦慮比較圖

由表10可以發現在高程度學童方面，測驗階段會在異質編組情境下出現明顯的差異。經事後比較發現，異質編組情境下高程度學童在後測及延宕後測的數學焦慮，都明顯比前測時低，而後測與延宕後測的數學焦慮之間則沒有明顯的不同（參見圖4）。

而在低程度學童方面，測驗階段卻是在同質編組情境下會有明顯差異。經事後比較發現，同質編組情境下低程度學童在後測及延宕後測的數學焦慮，也都明顯比前測時低，而後測與延宕後測的數學焦慮之間則沒有明顯不同（參見圖5）。

此外在表10還可以發現於低程度學童方面，在後測和在延宕後測時不同編組情境下學童的數學焦慮都會有顯著的不同。

經事後比較發現不論在後測或延宕後測，於同質編組情境下低程度學童的數學焦慮都明顯低於控制組的低程度學童，其餘各組內低程度學童的數學焦慮之間則沒有明顯的不同（參見圖5）。綜合以上分析，顯示「同儕交互指導數學解題方案」能顯著降低於異質編組情境下高程度兒童與同質編組情境下低程度兒童之數學焦慮。

三、不同編組情境下不同程度別受試者於不同測驗階段後設認知之差異分析

本段主要針對不同編組情境下不同程度別的受試者在不同階段後設認知的差異情形進行資料分析，茲以4（編組情境）×2（程度別）×3（測驗階段）三因子變異數分析考驗之，其結果列於表11。

表11各組不同程度別受試者在前、後、延宕測驗

後設認知之變異數分析摘要表

* p<.05 ** p<.01 *** p<.001

三因子變異數分析結果顯示：「程度別」【F=7.41，p<.01】及「測驗階段」【F=3.15，p<.05】兩者的主要效果達顯著。另外，「編組情境×測驗階段」【F=5.35，p<.001】的二階交互作用亦達顯著，其餘的交互作用則不顯著。

表12編組情境與測驗階段對受試者後設認知之

單純主要效果考驗變異數分析摘要表

p<.05 ** p<.01 *** p<.001

由於三階「編組方式×高低分組×測驗階段」交互作用並不顯著（p>.05），因此以下只就達顯著的二階交互作用進行單純主要效果考驗。「編組情境×測驗階段」單純主要效果考驗的結果顯示各編組情境下的受試學童在前測的表現並無任何差異，但在後測的

表現則有顯著不同（p<.001）（參見表12、圖6）。經事後比較發現處於異質編組和控制組情境下學童後測的後設認知均高於在不編組情境下學童的表現，而處於異質編組情境下學童的後設認知又顯著高

圖6 各組受試者於前、後、延宕

測驗之後設認知比較圖

另一方面，由表11可以發現「程度別」對後設認知的主要效果亦有著顯著的差異。由圖7的比較顯示，高程度學童的後設認知顯然高於低程度學童。「程度別」主要效果的結果意味著高程度學童的後設認知顯然優於低程度學童，究其原因是由於高低程度別原本受試分配的情形就不相同，因此這個結果是顯然可以預見的。這個結果與林清山、張景媛（民82）、涂金堂（民84）有關學童數學解題能力與後設認知呈正相關的研究結果相吻合。綜合以上分析，顯示「同儕交互指導數學解題方案」能影響處於異質編組、同質編組與不編組情境下兒童對後設認知的思考，而異質編組情境也較同質及不編組情境能提昇兒童的後設認知。

圖7 不同程度別受試者之後設

認知平均數比較圖

伍、討論與建議

以下分別敘述討論研究結果分析的主要發現，並歸納呈現本研究之結論，最後對國小教學以及後續的研究提出建議。

一、主要發現與討論

（一）處於異質編組及同質編組情境下的學童經過「同儕交互指導數學解題方案」教學後的數學解題表現顯著高於在不編組情境下學童的表現，且不編組情境下學童的表現又顯著高於控制組學童的表現。

本研究發現接受數學解題方案的受試者在後測與延宕後測階段的數學解題表現均顯著優於控制組學童的表現，這個結果意味著數學解題方案教學對於學生數學解題立即與保留效果都非常顯著，這個結果與古明峰（民79）、張景媛（民83）、孫扶志（民85）及Montague（1995）等人有關數學解題教學研究結果一致。究其原因可能是數學解題方案中，有關數學解題的教學及學習單的作業活動，的確能顯著提昇兒童的數學解題能力、解題步驟的思考以及解題策略的運用。而同儕交互指導編組情境下受試者表現的立即與保留效果亦顯著優於不編組，這個結果與Fantuzzo等人（1992；1995）及Heller & Fantuzzo（1993）等人有關RPT教學的研究結果一致。其原因可能是同儕交互指導的學習活動中，兒童在不瞭解解題策略（即可用性缺陷）或不知何時使用解題的策略（即生產性缺陷）時，可藉由同儕的指導（誘發心像）或示範（外加心像）而提昇其解題能力；而當同儕間解題的策略相左時，也可透過討論（同化或調適），溝通彼此的解題策略（組織新基模）。雖然整體看來同質與異質兩編組情境下受試者表現的差異並不顯著，兩組高程度學童的平均表現相差僅.4分，但兩組低程度學童間卻有10.53分的差距（參見表7）。分析其原因可能是高程度學童由於原始的解題能力較好，因此不論在同質或異質編組情境下學習的效果都不錯；但處於異質編組情境下低程度學童在面臨不會或不知何時使用解題策略時，高程度的同儕能指導或示範解題的策略，因此低程度學童在異質編組情境下的表現比在同質編組的情境下要好。雖然異質與同質編組情境下受試者表現的差異並未達到統計顯著性，但對兩編組情境下低程度學童的表現而言，應有其學習成就上的差異。

（二）不同程度別學童在後測與延宕後測階段的數學解題表現都比前測階段的表現有顯著的進步，且低程度學童表現進步的情形又比高程度學童的情形好。

本研究發現不同程度別學童在後測與延宕後測階段的數學解題表現都比前測階段的表現有顯著的進步，且低程度學童表現進步的情形又比高程度學童好。顯示處於異質、同質及不編組情境下不同程度別的學童，在數學解題教學與學習單練習後的數學解題表現都能有明顯的進步。而低程度學童可能由於原始數學解題表現較低，因此在實驗處理後有較大進步的空間；而高程度學童由於是原始數學解題表現就不錯，故實驗處理後進步的程度比較小。另一方面，在異質與同質編組情境下的學童可能是有著同儕的討論、指導與示範，因此不論高或低程度學童的數學解題表現都能有所進步。這個結果與在Annis（1982）、Bargh & Schul （1980）、Lambiotte等人（1987）等人有關同儕間相互的指導有助於同儕雙方學習成效的研究結果一致。

（三）「同儕交互指導數學解題方案」的教學有助於降低處於異質編組情境下高程度學童以及處於同質編組情境下低程度學童的數學焦慮。

本研究發現「同儕交互指導數學解題方案」的教學對處於異質編組情境下高程度學童以及處於同質編組情境下低程度學童的數學焦慮有著明顯的立即與保留效果。這個結果與Fantuzzo等人（1989a；1989b）、Griffin & Griffin（1995）及Heller & Fantuzzo（1993）等人有關同儕交互指導教學有助於降低學生學習焦慮，以及Lamb & Daniels（1993）等人以數學解題教學有助於提高資優女童數學情意的研究結果一致。究其原因可能是由於異質編組為高低配的編組情境，高程度兒童除了藉由數學解題的教學活動中習得解題的策略，在小組裡常扮演著指導與示範的角色並重整自己的解題概念教導低程度同儕，較能感受到對自己數學解題能力的自信，進而由於對自己數學解題能力的信心，在數學解題測驗時也降低了擔心答錯的恐懼，因此降低了數學焦慮；然而低程度兒童在小組裡可能多處於被指導的角色，僅能藉數學解題的教學活動中習得解題的策略，由於數學解題能力的提升，而使數學焦慮略為降低，此點也與魏麗敏（民77）、鐘思嘉等人（民80）、涂金堂（民84）與Aiken（1970a；1970b；1976）等人發現學童數學成就與數學焦慮呈負相關的研究結果相呼應。相對地處於同質編組情境下高程度兒童的數學焦慮降低的情形不明顯，低程度兒童的數學焦慮則有顯著的降低。其原因可能是由於處於同質編組情境為高高、低低配的編組情境，高程度兒童的數學解題能力都相當不錯，雙方在小組裡扮演指導與示範角色的機會相當，不易由同儕的指導或示範中增加自己對解題的自信，而影響了數學焦慮降低的情形。然而低程度兒童雖然程度較低，但也因此使彼此的認同感較高，易產生同理心，在小組互動中也會較為積極相互表達彼此對解題策略的看法，雖然缺乏高程度同儕的示範與指導，但由於同儕互動情形不錯，且藉由數學解題的教學活動中習得不少解題的策略，因此以同質編組情境較能大幅降低低程度學童的數學焦慮。

（四）「同儕交互指導數學解題方案」的教學有助於提高處於異質編組情境下學童的後設認知，但是對處於同質編組情境下學童後設認知的影響不明顯，而處於不編組情境下學童的後設認知則明顯地降低。

「同儕交互指導數學解題方案」的教學有助於提高處於異質編組情境下學童的後設認知，這個結果與劉錫麒（民80）的研究結果相異，由於劉錫麒（民80）的研究僅使用同儕交互指導中相互提問的策略，其他同儕交互指導之擬題、模考、講解的策略則未使用，因此處於異質、同質與不編組情境下學童後設認知改變的情形並不明顯。若以本研究與劉錫麒（民80）的研究相較可知，在異質編組情境下統合運用同儕交互指導中相互提問、擬題、模考、講解的策略，對提昇學童的後設認知是有明顯的助益。而同質編組情境下學童後設認知改變的情形並不明顯，究其原因可能是由於同儕認知程度相近，在提問、擬題、模考、講解等活動時，不易因認知程度的落差而藉由討論（同化或調適）溝通彼此的解題策略（組織新基模），因此阻礙了後設認知的成長；相反地異質編組情境下的學童，由於程度相差較多，比較容易在同儕交互的活動中思考彼此的解題策略，因此促進了後設認知的成長，這個結果也與Annis（1982）、Bargh & Schul（1980）、Lambiotte等人（1989）等人有關認知發展的研究結果相呼應。另一方面，可能是數學解題教學使得國小學童認真思考自己的解題策略，卻無法藉由同儕的交互指導與示範，重新反省、思考、建構自己的解題策略，故造成在不編組情境下學童的後設認知反而明顯地下降，這個結果與陳密桃（民79）、Brown & Lawton（1977）、Brown & Scott（1971）等人研究發現國小學童對後設認知的知覺較低，在經過訓練之前對教師所擬之數學問題多傾向於正面肯定的反應，而忽略個體對自己解題歷程的認知之研究結果相呼應。

二、研究結論與摘要

根據以上本研究之主要發現，提出研究結論，並歸納整理於表13，以瞭解「同儕交互指導數學解題方案」對不同編組情境下不同程度別學童數學解題表現、數學焦慮與後設認知的影響。

表13 「同儕交互指導數學解題方案」對處於異質編組、同質編組及不編組情境下不同程度別的受試者數學解題表現、數學焦慮與後設認知影響之研究結果摘要表

三、建議

本節根據上述主要發現與結論，針對國小同儕交互指導數學解題教學及後續研究提出建議，以供後續更深入的研究參考。

（一）對國小教學的建議

1.在國小進行同儕交互指導數學解題教學方面

當今的國小數學教育強調應促進學生思考數學、解決數學問題，國小推展同儕交互指導數學解題教學正有助於提昇國小學童的數學解題能力。而且教師應盡量在異質編組情境下進行同儕交互指導數學解題教學，方能最有助於提昇全班之數學解題能力及後設認知，且能降低班上高程度學童的數學焦慮。教師若是希望減輕班級中低程度學童的數學焦慮，則以同質編組情境進行教學有較易收效，唯學生後設認知的成長不若在異質編組情境下進行教學的效果好。

2.在數學解題方面

教學不應只是教導學生死的「知識」，如此只不過是教「書」的經師；應教導學生「如何」學得知識、明瞭知識的邏輯推理，進而應用於生活處世，如此才是教「人」讀書的人師。在分數與升學主義的壓力下，教師常傾向於把「又快又好」的解題策略演示給學生，使學生在不斷的聽講與計算中，造成思考問題與解決問題的能力僵化。教師應運用同儕交互指導數學解題教學等方法，使學生瞭解數學解題階段的概念、主動建構自己的解題策略及瞭解自己的解題歷程。並配合同儕的示範與指導，使原本不會或不知如何使用解題策略的學生得以藉由教師與同儕的指導或示範進而提升數學解題的能力。

3.在數學焦慮方面

目前校園及青少年輟學所引發的問題日益增加，其主要原因之一是就是學業失敗，而學生對所有科目中最感困難與排斥的就是數學。教師若能善用同儕交互指導的教學方法，應有助於降低學生的數學焦慮，進而提高學業成就，增加對學習的興趣。相關的研究也發現，學生的數學解題能力與數學焦慮是呈負相關，一旦學生對數學產生焦慮後，在面對數學問題時則可能因此排斥或放棄。因此教師在教導學生數學解題策略時，也同時要注重學生的數學焦慮，方能提高教學的成效。

4.在後設認知方面

從心理學的觀點而言，數學解題是一種高層次的思考活動，而解題者在解題歷程中，若能覺察、計畫、自我檢核解題的策略，則有助於提高數學解題的能力。相關的研究也顯示後設認知與數學解題的表現常是呈正相關，後設認知知識是指個人對自己所學的知識明確瞭解，並且瞭解其中所蘊含的原理原則，求知的活動能達到此一地步，就是瞭解。後設認知經驗則是個人在應用知識時的理解監控與自我檢核，也就是一種「知之後的經驗」。由於後設認知對於學生的學習相當重要，後設認知的能力與教師的啟發以及學習的經驗息息相關，並非每個學生都會隨著年齡的增長而有相同的後設認知。因此教師應避免僅以講述的方式進行數學解題教學，應盡量以異質編組情境之同儕交互指導的方式進行教學，方有助於學生後設認知的發展。

（二）對後續研究的建議

1.研究樣本方面

本研究受限於研究時間與人力的限制，僅以臺北縣永和國小五年級四個班進行實驗。未來可考慮提高各編組情境下相同程度別受試者人數，以加強研究結果的推論性。並針對不同年級或不同城鄉別的學校進行類似的實驗教學研究。

2.研究科目方面

未來可將同儕交互指導應用於閱讀教學、作文指導教學、藝能科教學（如樂器、工藝技法的交互指導）等科目，研究同儕交互指導的成效。亦可再進一步研究，在這些科目不同編組情境下不同程度別學生表現的情形與本研究結果的異同。

3.研究設計方面

在編組情境方面，未來可考慮增加設計「異性別異質編組」、「同性別異質編組」、「異性別同質編組」、「同性別同質編組」等情境，以研究在同樣編組情境下，不同性別及程度別對學生的數學解題表現、數學焦慮與後設認知的影響，是否與本研究結果仍然一致或有所差異。

4.次變項的研究方面

未來可繼續研究在不同編組情境下進行在「同儕交互指導數學解題方案」的教學對其中不同程度學童在數學解題的四個次變項（瞭解題意、擬定計畫、執行計畫及評估答案）的表現上的影響。同樣也可針對數學焦慮的四個次變項（擔憂、厭惡、測試焦慮及壓力知覺）及後設認知的四個次變項（覺察、認知策略、計畫和自我檢核）作更深入的探討。

5.評量方式方面

未來可針對少數幾個異（同）質編組情境裡的學生，以晤談或放聲思考等方法，探討不同程度別的學生在同儕交互指導的教學中，數學解題認知、數學焦慮與後設認知改變的情形。例如高、低程度學生在數學解題所習得的策略是否相同、在異（同）質編組情境下高（低）程度學童數學焦慮降低的心理歷程、在異質編組（同質、不編組）情境下學童對自己解題歷程認知改變的歷程等。此將有助於瞭解「同儕交互指導數學解題方案」對國小學童數學解題表現、數學焦慮與後設認知影響的內在心理因素，以作為充實改良相關數學解題教學方案，提昇國小學童數學學習之用。

參考文獻

一、中文部份：

古明峰(民79)，三種輔導與教學介入策略對國小數學高焦慮兒童之數學態度、計算能力與應用題解題能力的影響。國立台灣師範大學教育心理與輔導研究所碩士論文，未出版。

林清山、張景媛(民82)，國中生後設認知、動機信念與數學解題策略之關係研究。臺灣師大教育心理學報，26，53-74。

林清江(民84)，教育社會學新論—我國社會與教育關係之研究。臺北，五南。