好玩的『七巧板』
台南市中山國中楊富美
台南縣善化國中姜宗毅
壹、設計想法
本教學活動以兩種對數學教育影響最大的認知發展理論：Piaget理論與Van Hiele理論為例，Piaget 認為兒童對於幾何概念的理解有一順序，最先是理解拓樸性質，接著是投影的關係，最後則是依賴歐幾里德關係。Van Hiele 的幾何概念發展理論，分為五個階段，分別為第一階段的視覺化階段，第二階段的分析期，第三階段的非形式演繹期，第四階段的形式演繹期，第五階段的嚴密期。兒童起自最早的視覺化階段，到分析階段仍是以知覺經驗為主，然後才逐漸過渡至非正式演繹階段。（沈佩芳，民91）
由Piaget發展理論中，我們發現他著重幾何概念形成的運思過程；而van Hiele 的理論則在建構幾何系統的邏輯順序，以期理論架構去表明數學的結構關係。以此兩大理論為基礎，發展本教學活動，逐步讓學生的幾何概念穩固成型並能了解幾何性質，進而作邏輯推理。
貳、設計內涵
學生在小學已學過”七巧板”這個課程，本活動利用有趣的七巧板，透過實際的操弄及試驗，巧妙的分割正方形及多變的組合，進而辨識四邊形的定義與性質，並從各種不同形體的面積關係中學習比例關係。
一、學生能力分析
本班學生38人，為入學後成立之英語實驗班，約有25位學生表現較佳，4
位學生表現較遲緩，其餘學生為中等程度，學生於第一階段（s-1-1能由形體的外觀辨認出某一形體、s-1-2能依據形體的外觀做簡單分類、s-1-10能透過具體操作判斷某些形體可作無空隙的平面舖設或立體堆疊(面積、體積)）及第二階段（s-2-1就給定的形體，能確認並說出組成要素的名稱，並在檢驗後適當地描述其要素間的關係、s-2-2能依形體的組成要素之間的關係比較兩形體的異同、s-2-3能透過實測察覺形體的性質、s-2-8能操作形體間的轉換組合）已經學過辨識形體及操作組合，因此本活動將延續第一、二階段學生對於形體的了解，透過實驗辨識更多形體，並了解其內涵。
二、教學目標
1.能了解七巧板的構造形成。
2.能使用七巧板拼出各種四邊形。
3.能了解不同形體面積比例關係。
三、對應的能力指標
(一)圖形與空間
s-3-10 能透過實驗辨識三角形、四邊形、圓的性質
(二)連結主題
1.解題
C-S-3 能熟悉解題的各種歷程﹑蒐集﹑觀察﹑臆測﹑檢驗﹑推演﹑驗證﹑論證等。
C-S-4 能運用解題的各種方法：分類、歸納、演繹、推論、類比、分析、變形、一般化、特殊化、模型化、系統化、監控等。
C-S-5 瞭解一數學問題可有不同的解法、並能嘗試不同的解法。
2.溝通
C-C-7 能回應情境設想特例估計或不同角度等方式說明或反駁解答的合理性。
C-C-8 能尊重他人解決數學問題的多元想法。
3.評析
C-E-4 能評析解法的優缺點。
以上能力指標所對應之教學活動內容，將呈現於活動流程中，以方便對應。
參、教學設計
一、活動目標
1.能了解七巧板的構造並製作。
2.能說出七巧板中有哪幾種圖形。
3.能使用七巧板拼出三角形及各種四邊形。
4.能了解七巧板中各種圖形的面積比。
二、教學節數與教學年級
本單元授課學生為七年級，利用二節課時間進行本教學活動，讓學生有充分
時間進行實作。
三、實施方式
本教學活動利用數學領域教學時數，以實作及分組合作學習活動為主，由教師說明七巧板的由來及構造，透過教師的引導，學生利用色紙親自製作七巧板，從動手操作中更了解七巧板的構造與組成，並由實際操弄活動中了解各種形體的組成要素及各形體中面積的比例關係。
四、活動流程
教 師 活 動 | 學 生 活 動 | 評 量 要 點 | 能力指標 |
教師說明如何利用摺紙將正方形色紙製作一套七巧板（附件一），並由學生親自製作
說明利用七巧板完成課本例題圖（1）的六個圖案（附件二）並能畫出其分解圖。 三、發表與討論（附件六） 請同學上台解說 （各組可依序上台發 表） 四、活動3. 請同學利用七巧板七塊板子完成每組自行設計的圖案並能畫出其分解圖。 五、發表與討論（附件六） 請每一組發表一件最滿意的作品並能畫出其分解圖。（建議：每次由不同組員上台） 六、活動4. 請同學利用七巧板七 塊板子拼出下列幾何 圖形
七、發表與討論（附件六）
發表作品
台說明 八、活動5. 說明不限制全部七塊板子都要使用，還可拼出哪些簡單的幾何圖形？ 把拼出的圖形 畫出拼出的圖形的分解圖並寫出他們的名稱。 九、發表與討論（附件六）
發表作品
台說明 十、活動6. 能說明七巧板不同圖形 之面積比 十一、發表與討論
發表作品 （2）請與他組相異者上台 說明 十二、請同學完成學習單 | ＊專心聆聽 ＊動手操作 ＊分工合作完成拼圖 ＊畫出圖案的分解圖 ＊發表同學上台說明 ＊分享成果 ＊互相討論 ＊分工合作完成作品 ＊發表同學上台說明 ＊專心聆聽 ＊分享成果 ＊欣賞作品 ＊互相討論 ＊分工合作完成作品 ＊發表同學上 台說明 ＊專心聆聽 ＊分享成果 ＊欣賞作品 ＊互相討論 ＊分工合作完成作品 ＊發表同學上台說明 ＊專心聆聽 ＊分享成果 ＊欣賞作品 ＊專心聆聽 ＊動手操作 ＊發表同學上台說明 ＊專心聆聽 ＊分享成果 ＊欣賞作品 | ◎專注聆聽 ◎具體操作 ◎能與同學互相討論 ◎能分工合作完成作品 ◎能發表解題過程與結果 ◎能尊重他人發言 ◎能欣賞他人成果 ◎能與同學互相討論 ◎能分工合作完成作品 ◎能勇於發表 ◎能尊重他人發言 ◎能欣賞他人作品 ◎主動學習 ◎合作學習 ◎能勇於發表 ◎能尊重他人發言 ◎能欣賞他人作品 ◎主動學習 ◎合作學習 ◎能勇於發表 ◎能尊重他人發言 ◎能欣賞他人作品 ◎主動學習 ◎合作學習 ◎能勇於發表 ◎能尊重他人發言 ◎能欣賞他人作品 | S-3-10 C-S-4 C-S-3 C-C-8 C-C-7 C-C-8 C-E-4 C-S-3 C-S-4 C-S-5 C-C-8 C-E-4 C-S-5 C-C-8 C-S-5 C-C-8 C-E-4 C-S-5 C-C-7 C-C-8 C-S-5 C-S-8 C-E-4 C-S-5 C-C-7 C-C-8 C-S-5 C-C-8 C-E-4 |
五、評量方式
本課程除了於課堂中分組實作、小組發表之外，並兼採紙筆測驗（附件五），以了解學生是否充分了解七巧板的運用及面積比例關係，建立學生基本的幾何概念，為日後學習更深入的教材奠定基礎。
肆、教學省思與改進
本活動於教學後，分別對學生及觀摩教師實施問卷調查，就學生對本課程實
施後的心得感想作調查，在學生部分有以下五個問題：
1.這個單元的教材你喜歡嗎？
2.這節課的教學方法你喜歡嗎？
3.你喜歡和同學共同討論問題並尋求解決嗎？
4.你覺得和同學共同討論有助於學習嗎？
5.當你遇到問題會想到與同學共同討論並尋求解決嗎？
在問卷回收彙整之後，從學生所回饋的內容（附件三）當中可以發現，學生對於本課程內容實施方式及教學內容設計滿意度極高，並在做中學及溝通討論之中學習與他人溝通的技巧並學習尊重他人的意見，透過多元的學習達成學習目標，並藉以提高學習興趣。
而在觀摩教師方面也有以下六個問題，希望透過教師間的互動溝通以及回饋，改進第一現場的教學，讓授課教師能再一次修正自己的教材內容及教學方法。
1.您覺得本節教學的教材選用如何？
2.您覺得本節教學的教法運用如何？
3.您覺得本節教學的教學媒體的運用如何？
4.您覺得本節教學的教學效果如何？
5.您覺得本節教學的教學評量有何建議？
6.觀摩後的心得建議
從教師的回饋內容（附件四）中，我們也可以清楚的了解整個教材的選擇及課堂活動的進行是教師所樂於見到的；但是課堂進度的掌控以及堂規的控制是老師們比較在意的，而電腦輔助及動態幾何教學也是目前推廣的重點，如能再做適當的修正及改正，定能發展出更好更活潑的教學活動，也能讓學生更樂於學習，讓數學課不再乏味。
筆者對於近幾年幾何教學的發展是抱持肯定的態度，或許有些老師仍然習慣於過去邏輯推理幾何，總認為必須證明才算是幾何教學，但是在課堂上的成效似乎有限且枯燥無味。近幾年幾何教學有了極大轉變，從操作中帶領學生進入幾何領域，應該是初學者所必須的，如此方式能引起學生興趣、奠定基礎，待較高年級時再實施邏輯推理證明，便能將整個幾何教學活絡起來，而如能再配合資訊媒體動畫教學，定能使教學更生動活潑，達成創新教學的目的。
附件一：
七巧板製作流程
（一） （二） （三）
（四） （五）
圖（二），連接
圖（三），取
、
之中點E、F，連接
圖（四），取
之中點G，連接
交於O圖（五），取
、
之中點I、H，連接
、
延正方形內部線段切割，即為七巧板
附件二：
附件三：
「七巧板」學生回饋單彙整2002.11.28
1.這個單元的教材你喜歡嗎？ 請說明理由
＊ 拼來拼去的，很好玩、很有趣。（2.13.14.16.19.20.23.27.31.32.33.35.）
＊可讓我們見識到七塊板子可做出這麼多的圖形。（6）
可以比較輕鬆易懂的學，而且可以訓練我們的想像力和益智力，發揮大家的創意（1.5.8.9.17.18.21.22.25.28.30.34.）
＊ 七巧板很有趣，以前都不覺得它和數學有關係，只是能做很多好玩的圖形的紙片，但上過這個單元，才知道它和數學有那麼大的關係。（29）
還好，學習單超麻煩，半夜不用睡，全在搞這個。（4）
不喜歡，要排來排去很麻煩，又要花很多時間。（7）
2.這節課的教學方法你喜歡嗎？ 請說明理由
動手做，動腦想，好有趣唷！（1.2.4.5.13.16.20.21.23.33.34.）
由這些活動可以讓我們去腦力激盪一下，而且看看別人的作品來比較，看看哪些是我沒有想到的。（6.14.17.）
因為很有趣，用輕鬆的態度學習，可以和同學討論研究，有「團結」的感覺。（7.8.9.12.28.31.32.35.）
老師會說明的很詳細。（19.）
在與同學進行討論，小組競爭中，我們能夠發揮更多的創意。（22.29.）
因為分組，所以有許多活動都需要大家分工合作，但有些同學整組都只一個人在做，但教學的方法，可以使大家認真學習。（30.）
3.你喜歡和同學共同討論問題並尋求解決嗎？ 請說明理由
可以彼此交流不同意見，增進友誼，增進默契。（5.18.27.34.）
很多人在一起，就比較敢去問老師，解決問題。（2.7.8.9.16.23.）
和同學討論問題的過程中，或許每個人的看法都不同，而我們也可以從中學到許多不同的解答方法。（6.12.14.17.22.25.28.31.32.）
這樣可以參考別人的答案，也可以談論看哪一個結論比較正確，比較容易理解。（1.4.13.19.20.21.29.）
不喜歡；因為有的人從頭到尾都只有他在作，都不給同學嘗試，同學當然也得不到什麼知識，有時又會吵架。（30.）
有時候跟合得來的同學一起討論，就能很快找到答案；和自己不是很合得來的同學，就有意見不一的情況。（33.）
4.你覺得和同學共同討論有助於學習嗎？ 請說明理由
邊玩邊學，記憶較深刻。（2.23.33.）
可以結合大家的思想、智慧，聽聽不同的解題方法，更容易解答問題。（8.13.14.18.21.）
和同學討論問題比較沒有壓力，非常有趣；會讓人對學習有興趣，更吸引我去研究問題，不會排斥困難科目了。（9.12.17.22.28.31.32.）
大家一起集思廣益，較能快點解決問題，並進步了解，也能從別人身上學到新的東西。（1.4.5.6.7.16.17.25.27.）
必須同學都一起分工合作，活動才能進行得愉快，因為愈多人，想法愈多，所討論的方法應該會更好。（30.）
有些人都顧自己，不和別人討論。（34.）
5.當你遇到問題會想到與同學共同討論並尋求解決嗎？
會；但如果她們也不會，就會請教老師、父母親、長輩。（2.4.5.9.12.13.14.18.19.21.23.28.30.31.32.）
我覺得經由討論把不懂的弄懂，可以比較快把難題解決。（5.6.16.17.20.27.）
每個人所知不多，但一定不同，互相交換心得，可以得到更多好意見。（8.）
因為同儕之間理解程度接近，遇到問題的時候，討論出來的結果，自己比較可吸收，問題也就更容易解決。（22.25.33.34.）
起初，想不到答案或解決的方法時，會把自己的想法再寫一次，看有沒有錯誤的地方，如果沒有，就找別的方法，但還是不行時，就要請同學討論，說不定可以找到答案。（29.）
不會；因為有時同學說明的聽不懂，聽不懂又請同學再說，這樣不只對方會覺得很煩，自己也會不好意思。（7.）
附件四：
「七巧板」教學觀摩教師意見彙整2002.11.28
您覺得本節教學的教材選用如何？
符合學生的先備知識。
大致上符合能力指標的需求。
不錯，讓學生實作，利用色紙，投影片，拼圖及分解圖，可讓學生印象深刻。
教材選用適合學生程度，學生程度佳，互動良好，激盪許多富想像力的火花。
教材很適合學生來學習，因為七巧板的拼圖是沒有年齡限制和程度問題，所以學生能夠從拼圖中學到意外的收穫，如等直角三角形。
您覺得本節教學的教法運用如何？
可先探討七巧板是由哪些幾何圖形構成。
藉由活動動態的操作，輔以學生的討論，感覺上是呈現較為活潑的教法。
合作學習是現在一直在推動的教學方法，可以達到師生互動。
合作學習讓學生有互相討論、腦力激盪的機會，很適合這種沒有數學式的單元。
學生討論熱烈，互動很棒，很有參與感，探索機會豐富。
很自然、親切，讓學生沒有壓力，比傳統式教學好多了，藉此教學引起學生創造思考之能力。
3.您覺得本節教學的教學媒體的運用如何？
善用空白投影片將所拼出的圖形之分解圖畫出，並且呈現時機適切，效果很不錯。
利用簡明扼要的投影片，順便可呈現學生的作品，是一個不錯的點子。另方面，可加入動態幾何的呈現或flash動畫的操作，不知是否會添加有趣。
讓學生將設計的圖案畫在投影片上show和同學一起分享成果，可激發其他同學不同的想法，如六角形。
很好，但投影片的版面太小，不易比較觀察。
很多樣，像投影片，摺紙等，有別於一般上課方式——老師教，學生聽、抄——的模式。
您覺得本節教學的教學活動進行如何？
教師的主力放在活動設計的層面（可能與學生程度有關），引起動機的部分似乎著墨較少，比較薄弱，理論的介紹亦較缺乏（可能是牽就國小教材重疊之故）。
讓學生動手作教具，自己操作，比較能吸引學生上這堂課。
教學活動流暢，活動設計生動，循序漸進，教學方法活潑，可引起學習動機。
學生大都皆能配合活動進行，感覺流暢，是否讓學生上台報告時，更能說出為何要如此拼。
分組活動頗為生動，滿能引起學生之學習動機。
您覺得本節教學的教學效果如何？
本節的教學目標想達成什麼可先說明。
學生由互相討論，實地操作，所得到、學到的知識，應該比用聽的更容易印象深刻，學習效果應該不錯。
學生都願意將自己設計的圖案畫出來，跟著老師的活動一步步的設計不同形狀，無形中便達到學習效果。
學生已能瞭解幾何圖形的基本觀念，並且有比較各圖案的差異。
您覺得本節教學的教學評量有何建議？
學習單的活動需經由小組的激盪，感覺上活潑動態。對於實際課堂上恐怕沒有充裕的時間讓學生操弄。
學習單的內容與上課內容大致上差不多，如果學生真的吸收課程內容，則學習單應該就能表現學習效果。
利用不同顏色的色紙，讓學生拼出一個有顏色、漂亮的圖案，這樣的學習單，應該較能吸引學生動手做，且有別於以往的紙筆測驗。
是否可以讓學生在最後對同一個圖形以競賽方式來評量，學生可藉由學習單之評量，回顧今日所學之單元，加深學生之印象。
6.觀摩後的心得建議
我覺得老師對學生的突發狀況，都能切從容的應付，顯然是經驗功力之展現。
合作學習的教學方式活較潑，學生互相討論可以達到師生互動的效果，但合作學習的缺點可能是進度落後，合作教學所費的時間較多，不過合作學習的效果是不錯的。
在時間的分配上，七巧板的部分若使用2節課，時間似乎太多了，不過，若是時間許可下，可趁著幾何圖形的單元，讓學生分工合作，自己動手做數學，應該會很受學生所喜愛。
學到如何讓學生玩七巧板，可抽圖形讓小組競賽。
期盼能看到一般班級來當試教對象。
學生的創意多，驚喜連連！
教學有別於傳統方式，相當不錯，唯是否可以介紹七巧板後，再給學生一些期望，如在往後的哪一個單元會再利用到。
藉此教學觀摩來增進本身之教學知能，修正自己的教學方式，希望每位教師能彼此觀摩、討論，尋求適合學生之最佳教學法。
附件五：
紙筆測驗（一）
『七巧板』學習單2002.11.28
___年___班____號姓名____________
1. 請同學利用七巧板設計並彩繪圖案，至少兩個，並能說出其
名字。
2. 不限制全部七塊板子都要使用，可拼出哪些簡單的幾何圖形？
畫出拼好的圖形的分解圖並寫出他們的名稱。（愈多愈好）
紙筆測驗（二）
動動腦-----七巧板
試問七巧板中，小正方形的面積與大正方形面積的比值為______
（
）
至少移動______塊板子可排成長方形且此長方形的長邊必為短邊的_____倍（2;2）
至少幾塊板子可排成梯形？
（2）
下圖中，編號１與編號（３＋４＋５）的面積是否相等？（）是（）否
理由：
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７
５、說明看看你如何確定所排出的圖形為：
(1)正方形
(2)長方形
(3)等腰直角三角形
(4)平行四邊形
(5)等腰梯形
附件六：
學生作品
