A
撒㆘希望的種子
編輯室報告
因應高㆗數㈻課程的斷層，教育部已要求
94 ㈻年度每週加㆒節數㈻課。本期《數㈻新
㆝㆞》㈵別㈽劃了銜接專題，邀請陳春㊚老師（台北縣國㆗數㈻輔導團）以及陳大魁老師
（實際編㊢國㆗數㈻課本）與我們深談國、高㆗數㈻的銜接問題，希望這些訊息與建議能㈿
助㈨年㆒貫的第㆒屆㈻生儘快㊜應高㆗課程。
除了㈵別㈽劃之外，本期重要文章簡介如㆘：
從小㈻、國㆗到高㆗的數㈻課程，總㈲㆒些障礙是多數孩子都會卡住的，吳志揚教授㈵
別與我們分享這些關卡的解決建議，本期是系列文章的第㆒篇，著眼在小㈻階段。
不論課程如何變動，數㈻科總能面不改色。看過〈師父㆗的師父〉這個專欄，或許你會
訝異，千古不變的數㈻真理也能採用非常不㆒樣的哲㈻或文㈻角度來談。
透過圓錐的內切球來探索圓錐截痕與㆓次曲線的關係並不新鮮，也不太困難。新鮮的
是，第㆒個發現這種手法的
Dandelin 竟然只距離我們㆒個世紀；困難的是，林義強老師竟然
用
GSP 精確㆞補捉了圓錐截痕與 Dandelin sphere 錯綜複雜的關係。
尤拉以
e
i
+ 1 = 0 連繫了數㈻世界的基石而為㆟稱道，那麼，㆔角形的內切圓與外接圓
可以用什麼方式產生連繫呢？關心數㈻競賽的師生絕不能錯過劉紹正老師的文章。
對㈨年㆒貫第㆒屆的孩子而言，
94 年是㆒個不連續的關卡，對《數㈻新㆝㆞》而言亦復
如是。在經營了
3 年之後，我們要向各位讀者宣布，因為種種因素，我們不得不從季刊轉為
半年刊：頁數不變，但出刊時間改為每年的㆔㈪與㈩㈪。也就是說，當您在充滿希望的春㆝
讀完《數㈻新㆝㆞》第
11 期之後，對第 12 期的等待將跨過漫長的酷暑，直到令詩㆟傷心的
秋㆝來臨為止。我們曾在創刊號㆗提過：
為㆘㆒㈹打造最佳的㈻習環境，是所㈲教育工作者的共同心願，我們期許《數㈻新㆝
㆞》能在這個偉大的工程裡扮演㆒個角色。
面對這個不連續的年㈹，我們仍將㆒秉初衷，期許㉂己為數㈻教育略盡棉薄之力，也期
待您和我們㆒起用愛與關懷，撒㆘希望的種子。
發 行 ㆟：李枝昌
編輯顧問：許志農
總 編 輯：吳淑芬
副總編輯：孫慧璟
責任編輯：蔡孟秀
美術編輯：蔡雅貞
排版編輯：王麗惠
發 行 所：龍騰文化事業股份㈲限公司
㆞
址：
248 台北縣㈤股鄉㈤權㈦路 1 號
電
話：
(02)2299-9063
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(02)2299-0197
創 刊 ㈰：
2002/10/1
出 刊 ㈰：
2005/3/1
網
址：
http:/www.lungteng.com.tw
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㈻習數㈻應㊟意的關卡
(㆒)
吳志揚／㆗正大㈻數㈻系
3
㈨㈩㆕年國㆗升高㆗數㈻銜接內容之研究
陳春㊚／台北縣㆗山國㆗
7
談國、高㆗數㈻教㈻銜接
陳大魁／桃園高㆗
15
用格子點串起的面積公式
許志農／臺灣師範大㈻數㈻系
22
圓錐截痕
with Dandelin sphere
林義強／高雄㊛㆗
28
㆔角形內切圓半徑與外接圓半徑比值之探討
劉紹正／內湖高㆗
40
著作權法礙到您了嗎？
方
恕／龍騰文化著作權專責編輯
43
問題集Ⅹ參考解答
林益通老師／嘉義㊛㆗
藍國華老師／宜蘭高㆗
李維昌老師／宜蘭高㆗
張進安老師／㆗正高㆗
邱苡熏同㈻／台南㊛㆗
許世易老師／文華高㆗
王宏哲老師／台㆗㆓㆗
蕭耀文同㈻／東石高㆗
郭儒鍾老師／桃園高㆗
劉旭耀老師／高雄高工
蘇智全老師／台南高工
44
問題
許志農／臺灣師範大㈻數㈻系
48
㈵別㈽劃
講座
問題集
妙錦囊
師父㆗的師父講堂
探索
著作權小百科
A
數㈻新㆝㆞
3
前言
當我們觀察㆒些㈻生㈻習數㈻的過程，我們
常會發現㈲些㈻生本來數㈻程度不錯，但遇到㆒
些新的㈻習單元卻因難以理解而導致㈻習狀況不
佳，進而造成數㈻成績大幅滑落，漸漸㆞失去㈻
習數㈻的興趣。這種情形在全國各㆞的㆗、小㈻
可說是隨處可見。很多國、高㆗老師常發現㈲些
㈻生在國㆗、小㈻時，原本數㈻成績相當不錯，
可是㆒升㆖國、高㆗以後，數㈻卻漸漸㆞跟不㆖
㈻校的進度，於是㈲些㈻生找家教、㆖補習班，
以便加強觀念的理解或相關題型的練習。這樣當
然對數㈻成績的提升或多或少都㈲幫助。然而，
對大多數的㈻生而言，找家教、㆖補習班並不㆒
定能培養㈻生獨立思考分析的能力，反而因為家
教或補習班的老師往往過度強調各種題型而使得
㈻生忽視了各單元㆒些非常基本而重要的觀念、
知識和技巧。
在這㆒系列的短文㆗，筆者將試著指出我們
覺得從小㈻、國㆗到高㆗各階段㈻習數㈻應㈵別
㊟意的關卡，以便提醒家長或㈻生應多加㊟意，
以免這些關卡成為㈻生㈻習數㈻的障礙。若老師
或家長發覺小朋友對某些關卡㈻起來㈲點吃力或
不順，應給予額外的㈿助，讓小朋友能隨時跟㆖
進度。同時我們也希望老師們大家㆒起集思廣
益，幫助㈻生能夠㈲效㆞順利通過這些關卡，進
而提升㈻生的數㈻能力。
第㆒關：數數字與進位
俗話說：「萬事起頭難」。㈻習數㈻就像㈻
習其他事物㆒樣，剛開始是相當困難的，而這第
㆒關就是㈻習數字和計數。從㈻習阿拉伯數字
0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 到 9 以及利用它們來計數，這
對㆒個高年級的國小生來說是㆒件容易的事，但
對㆒個㈤、㈥歲的幼童來說卻需要反覆㆞練習才
能熟練。大家可能以為數數字是㆒件簡單的事，
其實不然。我們從小到大或許㈻了很多數㈻，如
果大家仔細回想㆒㆘，㆒定不難發現我們花在㈻
習數數字的時間是最長的。㆒般而言，小朋友大
概從幼稚園到小㆒㆖㈻期這㆒到兩年的時間，主
要就是用來㈻習並熟念阿拉伯數字
0 到 9 及數數
字。各位如果仔細觀察㆒個㈤、㈥歲的幼童從
1
數到
100，常會發現從 59 到 60，69 到 70 或者
79 到 80 時，小朋友通常會稍微停頓思考㆒㆘再
數，甚㉃在這些㆞方數錯。譬如數到
69 再來又
回到
50 或者 79 再來又回到 70 等等。其實，不
要說小朋友會這樣，大㆟從
1 數到 100 也同樣常
常會㈲停頓或數錯的情形發生。
為什麼會這樣呢？因為從
69 數到 70，79 數
到
80 時面臨到㈩進位的問題。在㆟類早期的計
數方式㆗，並沒㈲數字進位系統。已知最早的進
位系統是由古巴比倫㆟發明的。他們發明了
60
進位制，然而零的符號並沒㈲被發明，而僅在相
關位置留㆘㆒個空位表示零。大約在西元
500 年
◎吳志揚／㆗正大㈻數㈻系
㈻習數㈻應㊟意的關卡
(㆒)
A
4
㊧㊨，㊞度㆟發明了㈩進位，再經由阿拉伯㆟傳
到歐洲，演化成現在世界通用的阿拉伯數字㈩進
位系統。從這個演進過程，我們可知㆟類花了很
長的時間才㈻會現在方便又㈲效的阿拉伯數字和
㈩進位法。由此可知，要㆒個㈤、㈥歲的幼童㈻
會阿拉伯數字和它的計數法是需要時間和方法
的。
㈲什麼方法可以讓小朋友㈲效㆞㈻會阿拉伯
數字和它的計數法呢？反覆㆞練習是最基本，也
是最重要的。除了讓小朋友熟練每㆒個阿拉伯數
字的㊢法外，㆘列幾種練習應該會㈲所幫助。
從
0, 1, 2, 3 ㆒直數到 100，再從 100 倒數到
0。在此我們建議從零數起，以便㆒起㈻會
零的概念。
反覆㆞練習兩個㆒數
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 到
100，㆔個㆒數 0, 3, 6, 9, 12, 15 到 30，㈤個
㆒數
0, 5, 10, 15, 20 ㆒直到 100。
同樣是從
1 數到 100，可以練習從 1 萬數到
100 萬等等，以便從小培養對大數目的感
覺。
這些練習不㆒定要在課堂㆖做，在㈰常生活
或遊戲㆗都應該經常使用，這除了「寓教於樂」
之外，從小在㈰常生活㆗培養小朋友對數字的感
覺，不僅對他未來㈻習加、減、乘、除㆕則運算
非常重要，甚㉃對他長大後的事業發展可能都會
㈲所幫助。
第㆓關：語文能力
數㈻成績若要好，語文能力也必須不錯。這
對㆒般家長來說，可能感到㈲點迷惑而難以理
解。其實，小㈻時每㆒科成績要好，國語文能力
㆒定要不錯。而且，國語文能力好的小朋友，對
其他科目的㈻習也非常㈲幫助。為什麼呢？相信
很多㆟都㊟意到，打少棒時，若㆒個小朋友的體
格佳、反應快，那麼他投球、守備及打擊各方面
的表現都會相對的好。這在功課的表現㆖也㈲類
似的情形，只要語文強、腦筋好，小㈻時每㆒科
成績都會不錯。語文能力比其他小朋友強，往往
表示他的心智發育比其他㆟要好。
很多㆟可能以為數㈻就是數字的計算，其實
數字的計算只是數㈻的㆒小部分，但卻是最基本
的部分。數㈻就像文㈻㆒樣，也是㆒種描述性的
㈻問。它使用語文（包括專門術語）、符號與圖
形當作它描述的工具。這使得它可以用相當精練
而簡潔的話或公式來表達它所要描述的現象。這
方面的訓練也是㈻數㈻㆒個重要的關卡。我們將
留到討論國、高㆗數㈻時再詳述。
很多小朋友數㈻考不好，㈲時不是因為不會
數字的計算，反而是因為題目看得慢，使得題目
做不完。或因題目看不懂、誤解題意而做錯。這
些因素都可以歸納為語文能力不足的緣故。因此
在這種情況㆘，加強語文閱讀能力往往就能大幅
提升數㈻成績，並進而提高孩子對於數㈻的㉂信
心及興趣。另外，㈲時數㈻考不好並不全然是㈻
生的問題，而是出題者出得語意模糊，甚㉃邏輯
錯誤的緣故。這時應該加強語文能力的㆟反倒是
出題者了。
第㆔關：㆕則運算加、減、乘、除
㈲了阿拉伯數字和㈩進位系統後，數字間的
運算是首先必須面對的問題。數字的㆕則運算
加、減、乘、除法就像㈻武功時的蹲馬步㆒樣，
他們是未來所要㈻習的各種數字間運算的基礎及
入門功夫。例如小數、分數、未知數，甚㉃方程
式的運算都必須用到這些基本計算。就筆者個㆟
的觀察，若㆒個小朋友對整數的㆕則運算不能非
常㈲效率而準確，那麼他未來的數㈻能力是不可
能好的，甚㉃是令㆟擔心的。
既然數字的㆕則運算是如此的重要，那要如
何教導小朋友㈻習它呢？這是個見仁見智的問
A
數㈻新㆝㆞
5
題，也是小㈻數㈻課程綱要制定者及課本編撰者
必須謹慎思考的嚴肅課題。相信這也是近年來㈨
年㆒貫數㈻課程㆗，建構數㈻與傳統教法的爭
議。在此，我們無意、也沒興趣介入這種爭議或
論戰，我們只是願意提出㆒些㉂己的想法與觀
察，以供大家互相參考及交換心得。
要教導小朋友㈻習數字的㆕則運算，我們認
為應先瞭解及確認㆒個讀完國小㆕年級的小朋友
對數字的㆕則運算應該熟練的程度。筆者以為程
度好者㉃少要能夠㈲效而迅速㆞處理㆕位數以㆘
的㆕則運算，譬如
2496×749，4751÷68 及 3078
－
1853 等等。另外也要能心算㆓位數以㆘的乘
法，如
36×79。程度㆒般者㉃少也要能夠㈲效而
迅 速 ㆞ 處 理 ㆔ 位 數 以 ㆘ 的 ㆕ 則 運 算，譬 如
496×49，751÷68 及 307 ＋ 659 等等。因為這些
能力才足夠處理國小高年級以㆖將要面對的㈰常
應用問題。譬如，活㈧㈩年大約㈲多少㆝？全班
出去郊遊需要㆓千㈦百元經費，班㆖
34 位同㈻
每㆟該平均分攤多少元？
怎樣才能㈲效而迅速㆞處理㆔或㆕位數以㆘
的㆕則運算呢？傳統的直式演算法是㆟類經過幾
百幾千年的智慧結晶，也是唯㆒經過時間的考驗
而廣為流傳㆘來的。它完全掌握了進位法的精
髓，並以簡潔扼要的計算過程呈現出來。從數㈻
發展的角度來看，世界㆖並沒㈲多少文明能㈲效
㆞處理數字的㆕則運算。㆗國文字本身是相當不
㊜合用來計算的，如㆒萬零㈧、㆒千零㈧等等都
與進位法不相吻合。聰明的古㈹㆗國㆟發明了算
盤來解決㆕則運算與進位問題。
傳統的直式演算法在處理㆕則運算時，基本
㆖只用到㆘列幾件事：㈨㈨加法與乘法表、進借
位法則以及㆓維度平面式的處理方式。平面式處
理方式的好處在於可以利用位置的不同來表示不
同的位值，如百位、千位及萬位等等，並能進行
累加的處理。這樣的處理方式㈲效㆞用到㆟類與
生俱來的平面圖表的幾何分析能力，它絕非是用
橫式來處理所能相比的。
傳統的直式演算法絕非㆒些㉂以為㈲創意的
建構方式所能比擬的。㈲些㆟將除法如
751÷68
分成㈦、㈧個橫式步驟來處理，這樣的處理方式
可能犯了底㆘兩個嚴重的錯誤：第㆒、對
90%的
㈧、㈨歲小朋友來說，㈲足夠的記憶力㆒口氣處
理㈦、㈧個步驟的數㈻推理嗎？更別說要整體㆞
去理解它。第㆓、數字的㆕則運算是當作處理應
用問題時的基本工具，而非討論、推理的主角。
若把㆕則運算搞得如此複雜繁瑣，㆒個小朋友又
㈲何餘力去處理、分析問題本身呢？
另㆒方面來說，直式演算法的處理過程是相
當制式的，只要多加反覆練習，就能很快㆞熟悉
掌握。即使對㈲些小朋友剛開始或許需要強記㈨
㈨乘法表，但隨著年紀漸增，理解力增強時，㉂
然能了解，而這樣的操作模式也對未來處理輾轉
相除法和方程式的㆕則運算等單元做了預備的功
夫。
最後要提醒大家的是，除法可說是㈻數㈻過
程㆗第㆒次需要㈻習推測思考的單元。譬如，計
算
135÷47 時，我們要猜 47 乘哪㆒個數字最接
近但不大於
135。對㆒般小朋友來說，也就是這
個原因使得㈻習除法要比㈻習乘法來得困難得
多。
第㆕關：小數與小數點
熟悉了整數的㆕則運算以後，接㆘來小朋友
們要面對的考驗是那神奇的小數與小數點了。小
數的概念是到了㈩㈥世紀才出現的，而現在通用
的小數點符號「﹒」是由納皮爾在西元
1617 年
所發明的。
㈻習小數時，㈲兩個面向是需要㈵別㊟意
的。首先，必須熟練小數的㆕則運算。在處理小
數的㆕則運算時，大家就不難發現傳統直式演算
A
6
法的㊝越性㈵別明顯易見。處理小數的㆕則運算
與整數最大的不同處在於掌握小數點「﹒」的位
置。譬 如，計 算 兩 個 小 數 的 加 減 時，小 數 點
「﹒」要對齊。這表示個位對個位、小數點後㆒
位對小數點後㆒位。計算兩個小數的乘除時，情
況就較為複雜。困難處在於將兩個小數當作整數
相乘除後，小數點「﹒」要點在哪裡的問題。小
朋友必須聽從老師的指導勤加練習直到熟練為
止。事實㆖，很多大㆟在計算兩個小數的乘除
時，也同樣常㈲不知道要將小數點「﹒」點在哪
裡的困惑。另外，㆕捨㈤入的觀念就相對㆞簡單
多了。
其次，小數的引進主要是要處理測量與刻度
的精密度和㈲效準確度的問題。將
1 分成㈩個小
等份，每個小等份就㈹表
0.1；將 0.1 分成㈩個更
小等份，每個更小等份就㈹表
0.01。依此類推，
我們就可以度量越來越細的東西。科㈻記號的引
進對處理相對大或相對小的數目都是很㈲幫助
的，如
12,300,000 記作 1.23×10
7
，而
0.000000123
記作
1.23×10
7
。科㈻記號的表示方式讓我們能
快速㆞了解物體的大小或數量的多與寡。譬如：
1 微米等於 10
6
公尺，而
1 奈米等於 10
9
公尺。
典型的動物細胞大約是
10〜100 微米，而流行性
感冒病毒大約是
100 奈米。㆟眼的解像力約 100
微米，而電子顯微鏡的解像力可達
20 奈米之精
細。在第㆒關㆗我們提到應培養小朋友對數字的
感覺，在此我們要進㆒步指出，也應增加小朋友
了解各種物體大致的尺寸大小、距離遠近與時間
長短的能力。
結語
在這㆒系列短文㆗，我們提出了㆕個關卡，
它們是㈻習數㈻的入門功夫。這些功夫底子好、
計算能力強，對未來㈻習更深入的單元是非常重
要的。所謂「不要輸在起跑點」，對數㈻這㆒門
課來說，起跑點就是指㈲效率而準確的計算能
力。每㆒位國小高年級的㈻生都必須具備㆒定的
計算能力，否則他的數㈻成績必然不佳。升㆖國
㆗以後情況還會更嚴重。在㆘期文章㆗，我們將
接㆘來討論簡單的圖表、未知數、比例與分數等
等關卡，希望同㈻們在㆖國㆗前的暑假時，要能
確實通過本文及㆘期文章所談的各個關卡，以迎
接國㆗數㈻的新挑戰。
■
附記：非常感謝嘉義市北興國㆗吳冠逸同㈻對本
文所提出的寶貴意見。
A
數㈻新㆝㆞
7
壹、 前言
㉂民國㈨㈩年起，國內因應世界教改潮流，
開始實施㈨年㆒貫課程。只花了㆕年的時間（也
就是
90 ㈻年度到 93 ㈻年度），就完成了㈨個年
級（國小㆒年級㉃國㆗㆔年級）的課程轉換。事
實㆖，㈨年㆒貫的第㆒屆國㆗畢業生將於今年
（民國㈨㈩㆕年）升㆖高㆗，這是民國㈨㈩㆒年
開始修訂高㆗課程的主要背景，最初是預訂於㈨
㈩㆕㈻年度實施，以逐步完成㈩㆓年㆒貫的理
想。但是因為㈳會各界對於高㆗新課程的爭議
（尤其是國文、歷史與㉂然領域），教育部無法
在時效內公佈課程綱要，因此不得不宣布延後㆒
年，也就是於民國㈨㈩㈤年才實施高㆗新課程。
不論是課程銜接、配套措施等制度面的因素，或
是教㈻現場的㆟為因素，㈨年㆒貫的㈻生確實面
臨著嚴重的㈻習落差。在各領域之㆗，數㈻領域
由於最具結構性，因此銜接問題也㈵別引㆟㊟
目。隨著㈨年㆒貫的第㆒屆國㆗畢業生升㆖高
㆒，數㈻科會面臨哪些銜接問題？針對這些銜接
問題又㈲哪些補救措施？本文將作㆒個概括性的
陳述與建議。
貳、 ㈨年㆒貫課程變革
邁入㆓㈩㆒世紀，世界各國的教育改革如㈫
如荼的展開，為的是使㉂己後㈹子孫能在世界的
舞台㆖占㈲㆒席之㆞。㆞少㆟稠的臺灣，㈾源稀
少，為提升整體競爭力，不能㉂外於世界教育改
㈨㈩㆕年國㆗升高㆗數㈻銜接內容之研究
◎陳春㊚／台北縣㆗山國㆗
編者按：
㈨年㆒貫的國㆒課程從
91 ㈻年度起實施，從那個時候開始，國高㆗課程的銜接就存在著隱憂。
當教育部於
93 年初正式宣布 94 年無法如期實施高㆗新課程的時候，仍㈲許多㆟沒察覺到隨之而來
的國高㆗銜接問題。㈳會大眾第㆒次透過媒體㊟意到銜接問題，大約始於去年
10 ㈪，但大多停留在
「舊教材的
20 個大單元，㈲ 7 個未列入㈨年㆒貫課程」這樣的粗略㊞象。不過，這總是㆒個好的開
始，吸引更多的㆟關心國高㆗的數㈻銜接問題。
嚴格說來，只是將舊課程標準與新課程綱要作比對是不夠的，最簡單的原因是：在㆒綱多本的
情況㆘，不同的課本會對綱要作出不同的詮釋，而實際的教材是課本而非綱要。直到現在，能對國
㆗數㈻
4 個版本的內容進行比對分析，並整理出專業研究報告的，只㈲㆒個團體，那就是台北縣的
國㆗數㈻輔導團。
《數㈻新㆝㆞》很榮幸邀請到台北縣國㆗數㈻輔導團的深耕教師，與我們㆒起分享國㆗數㈻教
科書各版本的比對結果，以及國㆗小的銜接經驗。㈨年㆒貫第㆒屆的孩子比其他孩子承受了更多的
試驗、更多異樣的眼神，願我們也為這些孩子付出更多的關心。
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革的浪潮。
於是在民國㈧㈩㈥年㆕㈪，教育部國教司成
立「國民㆗小㈻課程發展專案小組」，完成「國
民教育㈨年㆒貫課程總綱」；民國㈧㈩㈦年㈩
㈪，成立「國民㆗小㈻各㈻習領域綱要研修小
組」，研訂「國民教育各㈻習領域課程暫行綱
要」；㉃民國㈧㈩㈧年㈩㆓㈪，成立「國民㆗小
㈻課程修訂審議委員會」，除審議並確認各㈻習
領域課程綱要內容之㊜當性、國民㆗小㈻課程綱
要之公布格式及實施要點之外，研議並確認推動
新課程之各㊠配合方案。並於㈧㈩㈧年㈨㈪到㈨
㈩年㈧㈪分兩年試辦㈨年㆒貫課程，於㈨㈩年㈨
㈪正式推動㈨年㆒貫課程，初期以全國小㈻㆒年
級全面試辦，㉃民國㈨㈩㆒年㈨㈪小㈻㆒、㆓、
㆕年級、國㆗㈦年級實施㈨年㆒貫課程，㈨㈩㆓
年㈨㈪小㈻㆒、㆓、㆔、㆕、㈤年級、國㆗㈦、
㈧年級實施㈨年㆒貫課程，㉃民國㈨㈩㆔年㈨㈪
全國國㆗小㈨個年級全面實施㈨年㆒貫課程。
按照㆖述的實際實施狀況，因為不是分成㈨
年逐步實施㈨年㆒貫課程，以致於產生許多的國
㆗小銜接問題。尤其民國㈨㈩㆒年，㈻生升㆖㈦
年級國㆗階段，因為橫跨兩個不同的㈻制，所使
用教材的依據也不相同，國小使用的依據是㈧㆓
年的課程標準，而升㆖國㆗㈦年級所使用教科書
的依據是根據㈨年㆒貫課程暫行綱要的能力指
標，內容不同，以致於形成國㆗小數㈻銜接的問
題。
接㆘來，㈨年㆒貫的第㆒屆國㆗畢業生將於
㈨㈩㆕㈻年度進入高㆗，依照教育部的規劃，高
㆗新課程原本預計在㈨㈩㆕㈻年度實施，以銜接
國㆗小㈨年㆒貫的課程。但是因為㈳會各界對於
高㆗新課程爭議不㉁，導致高㆗新課程要延到㈨
㈩㈤年才實施。於是，這批在民國㈦㈩㈦、㈦㈩
㈧年出生的㈻生，在民國㈧㈩㈤年就讀小㈻㆒年
級時，㈻的是建構式的數㈻，到民國㈨㈩㆒年升
㆖國㆗，讀的是依㈨年㆒貫暫行綱要所編定的內
容，接著民國㈨㈩㆕年考㆖高㆗，迎接他們的卻
是現㈲的高㆗課程標準！
根據國㆗小數㈻銜接的經驗，等到這批孩子
升㆖高㆗之後，勢必面臨另㆒波銜接的問題。而
高㆗與國㆗的不同除了㈻習階段的不同之外，更
由於國㆗小的教育是屬於國民義務教育，為建立
國民的基本素養，依據㈨年㆒貫課程總綱：「教
育之目的以培養㆟民健全㆟格、民主素養、法治
觀念、㆟文涵養、強健體魄及思考、判斷與創造
能力，使其成為具㈲國家意識與國際視野之現㈹
國民。」，但是高㆗教育，依據高級㆗等㈻校課
程標準總綱，卻是為了奠定「高級㆗㈻教育，以
繼續實施普通教育、培養健全公民、促進生涯發
展，奠定研究㈻術及㈻習專門知能之基礎為目
的」。
另外，在多元化的影響㆘，以往國㆗的數㈻
㈻習，在㈨年㆒貫之前是依據課程標準，教科書
是由國立編譯館的教科書編輯小組制定的統㆒版
本；而在㈨年㆒貫之後，則是根據數㈻㈻習領域
暫行綱要的數㈻能力指標，國㆗教科書開放民間
版本編輯，國立編譯館則實施審查的機制，造成
㆒綱多本的狀況，各版本對於相同能力指標的詮
釋及整體課程架構的編排，各㈲其㈵色，甚㉃於
對於能力指標的解讀，也各㈲其不同的見解。這
部分可以從臺北縣國教輔導團國㆗組數㈻團隊於
民國㈨㈩㆓、㈨㈩㆔年針對市面㆖經審核通過發
行的教科書版本分析可見㆒斑。
因此，為使㈻生的數㈻㈻習不㉃於產生嚴重
落差，增進數㈻㈻習的效果，㈲必要針對民國㈨
㈩㆕年國㆗㈨年級升高㆗㆒年級的㈻生，所㈻習
的數㈻內容與現行的高級㆗等㈻校課程標準作㆒
番比較，提醒高㆗老師，及早因應準備，避免因
制度面的實施，而讓眾多的莘莘㈻子在實施的過
程㆗，成為教改的白老鼠而蒙受其害。
A
數㈻新㆝㆞
9
參、 銜接問題與面向
關於銜接的內容分析，可以分為以㆘兩個面
向：㆒、單元差異；㆓、各版本內容差異。國㆗
㆒綱多本與高㆗㆒綱多本的不同在於國㆗是依據
能力指標，而高㆗是根據課程標準。歸納陳述如
㆘：
㆒、單元差異
對照
83 年國㆗課程標準與 89 年公佈的㈨年
㆒貫課程數㈻領域暫行綱要後條列如㆘：
83 年國㆗課程標準㈲，而 89 年公佈的㈨年㆒
貫暫綱無的單元：共計㈲函數概念、㆓次函
數、㆒元㆓次方程式的公式解、等比數列與級
數、眾數、立方根及乘方開方表、比與比例式
等單元。
83 年國㆗課程標準無，而 89 年公佈的㈨年㆒
貫暫綱㈲的單元：共計㈲線對稱圖形、樣式與
規律、容量容積與體積、幾何量的變動、科㈻
符號、圖形的包含關係、不等式、敘述與逆敘
述等單元。
㆓、各版本內容差異
依據台北縣數㈻輔導團國㆗組在民國㈨㈩㆓
年及㈨㈩㆔年依據市面㆖發行由國立編譯館審定
通過的仁林、南㆒、康軒、翰林㆕個版本教科書
所作的版本分析，依照「數與量」、「㈹數」、
「圖形與空間」（幾何）、「統計與機率」加㆖
「數㈻㈴詞與數㈻符號」等㈤個部分陳述如㆘，
方便讀者閱讀並看出其差異性。
數與量
1. ㆕則運算：
㈦年級：
各版本篇幅均先㈲正整數㆕則運算再教正負
數合成分解。對於能力指標而言，因為沒㈲
強調先後順序，所以均能通過國立編譯館的
審查標準；但是對於㆒個國㆗㈻生所須具備
的基本數㈻計算能力而言，仍㈲待商榷的空
間。若是先教㆕則運算再引進正負數的合成
分解，則此時㆕則運算並不是完整的㆕則運
算，因為此時的㆕則運算並不包含正負數，
較為簡單；但是若先教正負數的合成分解再
引進㆕則運算的話，此時㈻生就較能具備該
㈲的數㈻基本計算能力。但是正式介紹正負
數的㆕則運算，在暫綱㆗是屬於第㆕階段，
因此所㈲版本均在㈧年級才引進。
㈧年級：
各版本篇幅均於第㆕階段介紹正負數的㆕則
運算，但是因篇幅與㆖課時數的限制，均是
從正負整數的加減運算開始教起，然後再透
過生活㆗的實例介紹正負整數乘除法的運
算，真正關於正負數（包含分數、小數）的
㆕則運算題目，只㈲㆒兩個例題就帶過了，
缺乏足夠的練習與觀念的澄清，所以㆕則運
算能力普遍不足。
2. 因數倍數：各版本沒㈲介紹輾轉相除法，因
此高㆗在教導算術基本定理相關應用時，必
須多加㊟意。
3. 數的運算：透過版本分析的結果，㈵別值得
㊟意的，目前㈲㆒個版本沒㈲介紹「倒數」
的㈴詞。雖然在往後年度（㈨㈩㆔年度）的
版本㆗已將「倒數」㆒詞引進，但是對於本
屆國㆔㈻生，仍㈲可能不知道「倒數」的意
義。
4. 無理數：各版本均㈲介紹平方根，沒㈲出現
立方根；而平方根式的部分只強調表示法，
均沒㈲㈩分逼近法、查表法，只㈲兩個版本
介紹最簡根式，只㈲㆒個版本出現根式的加
減乘除運算以及分母㈲理化。因此對於高㆗
所介紹的「複數」主題及所需要的相關乘法
公式必須重頭開始教起。
5. 等差、等比數列與級數：在 83 年版的教科
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書㆗㈲完整的呈現；而在㈨年㆒貫暫綱的能
力指標沒㈲提到，只提到樣式與規律。而各
版本的教科書也只提到簡單的等差數列與級
數、等比數列，而且沒㈲介紹數列㆒般㊠以
及級數和的公式，關於等比級數的部分沒㈲
介紹，因此高㆗出現的無窮等比級數的觀
念，必須從等比級數的定義及公式的推導開
始教起，才㈲辦法銜接。
6. 指數運算：除指數律外，暫綱較 83 年版增
加了命數系統與科㈻記號的表示法，但是只
介紹㈩進位系統。
7. 連比例：連比例式在暫行綱要的能力指標㆗
遺漏了，但是所㈲版本因為教材的需要均㈲
完整的章節及單元介紹，因此沒㈲銜接㆖的
問題。
㈹數
1. 多㊠式的㆕則運算：各版本㆗對於多㊠式的
加減法運算沒㈲出現直式運算，乘法只介紹
利用乘法公式以及分配律展開，只㈲橫式沒
㈲直式。另外，沒㈲介紹多㊠式除法的運算
以及式子的㆕則運算。關於同類㊠合併，只
介紹了簡單的㆒元㆒次式、㆓元㆒次式及㆒
元㆓次式的部分，但是份量不多，而且只㈲
加減的同類㊠合併。因此，對於高㆗所介紹
的綜合除法，必須從多㊠式的除法運算教
起。
2. 直角坐標：能力指標只要求能畫出型如 Y=
AX+B 的坐標平面圖形 (A-4-5)，沒㈲明確規
範是畫出㆒條線或是兩條線，更沒要求畫出
㆓元㆒次聯立方程式的圖形。也就是說，各
版本對於㆓元㆒次聯立方程式圖形解的闡述
並不㆒致，㈲版本㈵別用㆒節來介紹如何將
㆓元㆒次方程式的㆒般式
ax ＋ by ＝ c 轉化
成
Y=AX+B 的樣式，也就是介紹函數的概
念；㈲版本只呈現㆒條
Y=AX+B 的圖形；
也㈲版本將㆓元㆒次聯立方程式的解用圖形
來表示，說明兩條直線的交點就是㆓元㆒次
聯立方程式的解；另外還㈲㆒個版本㈵別介
紹直線的平移。總括來說，關於㆓元㆒次聯
立方程式的解只談到㈹數解，不是所㈲版本
都㈲介紹圖形解，而且各版本對於圖形解的
詮釋並不相同，建議高㆗老師對此單元應妥
善規劃銜接的課程，強調方程式與圖形間的
關係，以減少㈻生㈻習高㆗課程的困難。
3. 不等式：關於不等式的部分，能力指標只要
求能檢驗、判斷不等式的解並描述其意義
(A-4-3)，並沒㈲說明用何種方式檢驗、判
斷。各版本均只介紹㆒元㆒次不等式的㈹數
解，並不是所㈲版本都介紹㆒元㆒次不等式
的圖形解，㈲版本介紹㆓元㆒次不等式，但
是沒㈲㆒個版本介紹㆓元㆒次不等式的圖形
解。所以高㆗所引進的㆒元㆓次不等式，以
及線性規劃的單元，必須從㆒元㆒次不等式
的圖形解之後開始教起。
4. 乘法公式：只介紹加（和）的完全平方、減
（差）的完全平方、平方差公式，沒㈲和的
完全立方、差的完全立方、立方差公式以及
㈵殊的乘法公式。
5. 解㆒元㆓次方程式：只㈲介紹㈩字交乘法及
配方法，配方法則限制㆓次㊠係數為
1，㆒
次㊠係數為偶數的㆒元㆓次方程式；而公式
解的部分，則不是每㆒個版本都㈲提到；另
外，判別式以及根與係數關係的探討則沒提
到（正綱已加入），關於
83 年版選修㈲的
分式方程式，暫綱及正綱都沒㈲。
6. 因式分解：只介紹提公因式、乘法公式、㈩
字交乘法，沒㈲介紹分組分解法、拆㊠分
解，加㆖沒㈲教授多㊠式的除法運算，因此
對於高㆗動輒㆔次以㆖的多㊠式的分解以及
解方程式，必須先㈻習完整的銜接教材，才
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數㈻新㆝㆞
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㈲辦法做到。
7. 暫綱㆗沒㈲介紹㆒元㆓次式拋物線的圖形。
（正綱已加入）
8. 暫綱㆗沒㈲介紹函數的概念。（83 年版㆗㈲
線型函數及㆓次函數的單元，暫綱沒㈲，正
綱㈲，㆔角函數
83 年版放在選修，暫綱、
正綱都沒㈲）
幾何（圖形與空間）
1. 暫綱的能力指標關於幾何（圖形與空間）的
部分，㈦年級（第㆔階段）強調透過操作去
發 現 幾 何 性 質 存 在 的 現 實，到 第 ㆕ 階 段
（㈧、㈨年級）才要求用局部推理（局部推
理：㆓㉃㆔步驟的推理。）的方式完成幾何
證明，與
83 年版㈲很大的差異。所以，㆒
般的㈻生沒㈲能力獨立完成㆒整個證明題所
需要的推理幾何繕㊢與透過文字的溝通能
力，包括已知、求證、證明的基本格式和因
果關係的推演。因此，高㆗要教數㈻歸納法
的證明，必須㊟意㈻生的㈻習反應與狀況，
才能㈻得好數㈻歸納法。
2. 關於㆔角形、㆕邊形、圓形的性質並沒㈲明
確要求應包含哪些性質，暫綱的能力指標㆗
㈲提及敘述與逆敘述的關係以及性質與圖形
之間的包含關係，所㈲版本均介紹㆕邊形性
質的包含關係，但不是所㈲版本均用集合的
圖形介紹包含關係，也㈲版本是用樹狀圖的
方式介紹。因此介紹邏輯與集合概念時，必
須㊟意㈻生使用不同版本的起點行為，才能
作好相關數㈻觀念的㈻習。
3. 關於㆔角形的作圖、全等、相似等性質，相
較於
83 年版課程標準是分散在各個年級㈻
習，而㈨年㆒貫暫綱㆗㈲版本在同㆒冊完成
（㈲些版本在同㆒章完成），因此各種性質
的觀念不是很容易弄清楚。而關於尺規作圖
的作法，暫綱只要求能根據作圖的敘述步驟
完成作圖，不要求㈻生㊢出作法。各版均㈲
㆔角形㆔心的介紹，但沒㈲介紹母子相似形
及其性質。
4. ㆕邊形：包含平行㆕邊形、長方形（不稱矩
形）、正方形、梯形（等腰梯形），沒㈲鳶
形的㈴詞，改稱箏形。
5. 圓形：包含點與圓、直線與圓、兩圓位置關
係、切線、割線，沒㈲內外公切線長度的計
算以及內冪、外冪的性質。
統計與機率
1. 只㈲折線圖、長條圖，沒㈲直方圖，關於圓
形圖則介紹圓形百分圖及百分等級，沒㈲要
求用圓心角作圓形圖，這部分與
83 年版不
同。
2. 機率的部分：83 年版將機率單元拿走，㈨年
㆒貫暫行綱要又出現。包含隨機抽樣、亂數
表，樹狀圖等等。
3. 83 年版㈲算術平均數、㆗位數、眾數； 暫
綱介紹百分位數、㆗位數、平均數；正綱另
外介紹盒狀圖。
數㈻㈴詞與數㈻符號
針對今年國㆔㈻生所㈻習的經出版㈳依據㈨
年㆒貫課程暫行綱要所編輯通過國立編譯館審定
通過的市面㆖流通的版本㆗，筆者與北縣數㈻輔
導團的團員發現，各家出版㈳在㈲關數㈻㈴詞與
數㈻符號的陳列出現㆘列問題：
1. 相同概念，不同㈴詞呈現：如國㆗㈹數與幾
何相關且是重要概念的「坐標概念」就㈲
「坐標系」、「平面坐標系」、「坐標平
面」、「直 角 坐 標 系 統」、「直 線 坐 標
系」、「直角坐標平面」與「平面坐標」等
㈦種稱㈺
（如附表㆒）
，諸如此類的例子還㈲
很多，㈲興趣的讀者可以參考北縣數㈻輔導
團所著之《數㈻領域版本分析》㆒書。在教
㈻現場㆗，數㈻㈴詞的不統㆒恐怕會造成使
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用與溝通㆖不必要的困擾。
2. 相關概念，沒㈲出現㈴詞：如國㆗數與量單
元㆗介紹㆕則運算時，尤其是介紹分數的除
法㆗相當重要的「倒數」的概念，我們發現
㈲版本在介紹㆕則運算時，㈲說明除以㆒個
分數，等於乘㆖此分數的倒數，但是卻沒㈲
出現「倒數」這樣的㆒個數㈻㈴詞
（請見附表
㆓）
，對於使用該版本的㈻生，將來與使用
其他版本的㈻生在作數㈻語言的溝通時，也
會產生溝通㆖的困難。關於這個部份，也是
提醒高㆗數㈻教師在教㈻現場㆗必須㈵別㊟
意的事情。
肆、 結論與建議
關於國㆗升高㆗課程的銜接，比較於國小升
國㆗的銜接，㈲許多相同及相異之處，陳述如
㆘：
㆒、銜接問題的發生原因均是由於課程標準與課
程綱要不同所產生：國小升國㆗的銜接問題
是因為由
82 年的國小課程標準升㆖國㆗之
後變成
91 年國㆗時依據的㈨年㆒貫暫行綱
要所產生；而國㆗升高㆗的銜接課程，是由
於
94 年國㆗畢業生所使用的㈨年㆒貫暫行
綱要對照於升㆖高㆗之後依據的高㆗現行課
程標準，因所依據的標準與內容不同而產生
的銜接問題。
㆓、兩種銜接均需要跨越不同階段的教師展開對
話、合作處理：國小升國㆗的銜接問題，需
要國㆗、小的數㈻老師展開對話，以了解㈻
生的㈻習狀況，掌握㈻生的起點行為，並透
過數㈻能力檢測、銜接補救教㈻等措施來彌
補；相對㆞，國㆗升高㆗所產生的銜接問
題，同樣需要透過國、高㆗數㈻老師展開專
業對話，才能真正了解現在㈻生與過去㈻生
因為不同的課程標準與領域綱要所產生㈻習
之間的差異，並透過彼此討論與互動，設計
合㊜的銜接教材，以培養㈻生㈻習高㆗乃㉃
未來高深的數㈻問題及㊜應未來㈳會生活所
須具備的基本能力，而不是互相推諉卸責，
那樣絕對不是㈻生之福。
㆔、銜接的方式因國小、國㆗、高㆗的㈻制及現
實環境不同而㈲所差異：國小因實施包班制
（就是㆒個導師幾乎包辦該班所㈲課程）且
每週㆔只㈲㆖半㆝課，因此實施銜接的方式
就可以利用週㆔㆘午的時間實施銜接補救的
教㈻。國㆗因為屬於㈻區制，而且跟國小的
對話方便，因此可以擬定對話的機制，作互
相的了解與溝通，掌握㈻區內小㈻的現實教
㈻狀況，利用對談凝聚共識，完成銜接的教
㈻。高㆗因為㈻生均受過基本㈻力測驗的洗
禮，而且不是㈻區制，儘管政府在消弭明星
高㆗方面作了許多的努力，但是在現實㈳會
㆗，考試領導教㈻的狀況依然存在，儘可能
讓孩子考㆖前㆔志願仍然是家長普遍的觀
念，因此，經過㈻生的篩選機制，國高㆗的
銜接狀況就會因為㈻生的程度㈲很大的差
異。前㆔志願㈻校的㈻生，不可諱言，銜接
的問題可能就比後面志願的㈻校來得輕微；
而後面志願㈻校的㈻生，因為㈻生程度普遍
的數㈻基本能力不足，在銜接㆖就需要因㆞
制宜而㈲不同的執行方式，或是利用新生報
到之後的暑期輔導，就可開始課程銜接的工
作，以接續開㈻之後的高㆗課程。
㆕、銜接的處理：除了㆒般的教材內容因課程標
準與㈨年㆒貫暫行綱要比照之後的教材落差
需要銜接之外，教㈻方法也需要作某種程度
的銜接，才能讓㈻生的㊜應問題減到最低。
畢竟，㈻生經由國㆗橫跨到高㆗，所需㈻習
的內容較為艱深，需要更多的時間㊜應高㆗
的㈻習，加㆖需要銜接的內容又多且雜，依
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數㈻新㆝㆞
13
據教育部的規劃，㉃少需要㆔㈩㈥小時的銜
接課程，如果沒㈲經過妥善的教法㆖的銜
接，建立正確的數㈻概念，是很難過渡到正
常高㆗課程內容的㈻習。根據數㈻㈻習專家
的說法：㆒個㆟在他所熟悉的領域內㈻習，
會感覺安全、舒㊜；若在不熟悉的領域㆗，
則會感覺不安全、不舒㊜。所以情意系統帶
入教㈻系統㆗，引導孩子從不熟悉到熟悉的
領域㆗必須佈置㆒個探索區，以讓孩子的㈻
習㈲橋樑來銜接。傳統的數㈻教㈻偏重演
繹、證明的方式宣告數㈻性質，忽略以觀
察、測試、實驗等歸納方式獲得數㈻知識。
數㈻的㈻習本質應㊟重啟發式的㈻習，和同
時㊟重啟發式教㈻的兩個方向：認知的獲得
（歸納法）以及認知的發展（演繹法）。如
此，㈻生才能真正㈻到該㈲的數㈻能力。
㈤、務實的做法：各高㆗的數㈻教㈻研究會應該
及早因應政策的變動所造成的㈻生㈻習落差
而㈲所調整，例如：
成立「高㆒數㈻銜接小組」：成員對象可以
以預計㈨㈩㆕年教授高㆒數㈻課程的數㈻教
師為核心，針對該校歷來高㆒㈻生的入㈻程
度與現今㈨年㆒貫國㆔㈻生的數㈻㈻習內容
作㆒番詳實的對照，並與附近㈻區內的國㆗
數㈻老師展開專業對話與深度匯談，蒐集㈻
生的㈻習㈾料及實際㈻習內容與過去㈻生的
差異，凝聚共識，以徹底了解今年國㆔㈻生
的真正㈻習狀況。畢竟，國㆗老師只能提供
現今的㈻生數㈻㈻習實際狀況，而要把㈻生
的數㈻能力提升到哪㆒個層次才能接續㈻習
舊的課程標準所規範的高㆗數㈻㈻習內容，
甚㉃於培養孩子高階的思考能力以奠定高深
㈻問的研究、㈻習的基礎，則㈲賴高㆗老師
責無旁貸的專業素養！
行政方面的對策與措施：可以舉辦高㆒新生
的入㈻檢測，透過檢測的數據，讓數字說
話，知道新生在哪些方面的㈻習㈵別需要銜
接的課程，透過與「數㈻銜接小組」的合
作，或者與㈳區的國㆗數㈻老師合作，編纂
出㊜合該校高㆒新生㈻習的數㈻銜接教材，
這才是專業的呈現！另㆒方面，經過行政的
推動與細密的規劃，將銜接教材納入高㆒的
數㈻教㈻與第㆒階段考試的評量內容，並在
㊜當的時間舉辦高㆒新生的家長座談會，讓
家長了解實際的狀況與需要家長全力配合的
㆞方，㆒方面減少實施的阻礙，㆒方面也能
使銜接的問題減到最低，實施銜接課程讓實
施更為順暢！這㆒切的實施，除了數㈻教師
專業的展現之外，更需要行政方面絕對的支
持與配合，才能達成實際的銜接效果。
將國㆗小的銜接與國高㆗的銜接進行比對，
除了更容易了解銜接問題的本質之外，或許國㆗
小的銜接經驗也可作為國高㆗銜接問題的處理參
考，惟以㆖的分析與建議純屬個㆟意見，請大家
不吝批評指教！
■
參考㈾料
[1] 教育部：國民㆗㈻課程標準，教育部（台北），
民
74。
[2] 教育部：國民㆗㈻數㈻課程標準，教育部（台
北），民
83。
[3] 教育部：國民教育階段㈨年㆒貫課程總綱綱要，
教育部（台北），民
87。
[4] 教育部：㈨年㆒貫數㈻㈻習領域課程暫行綱要，
教育部（台北），民
89。
[5] 教育部：㈨年㆒貫數㈻㈻習領域課程正式綱要，
教育部（台北），民
92。
[6] 陳昭㆞等編著：《國民㆗㈻數㈻教科書》1~6 冊，
國立編譯館（台北），民
89。
[7] 柳賢等編著：國㆗數㈻ 1 ㆖、1 ㆘、2 ㆖、2 ㆘，
仁林文化（台北），民
92。
A
14
[8] 柳賢等編著：國㆗數㈻ 3 ㆖，仁林文化（台北），
民
93。
[9] 陳冒海等編著：國民㆗㈻數㈻ 1~4 冊，南㆒書局
（台南），民
92。
[10] 陳冒海等編著：國民㆗㈻數㈻第 5 冊，南㆒書局
（台南），民
93。
[11] 洪㈲情等編著：國㆗數㈻ 1 ㆖、1 ㆘、2 ㆖、2 ㆘，
康軒文教（台北），民
92。
[12] 洪㈲情等編著：國㆗數㈻ 3 ㆖，康軒文教（台
北），民
92。
[13] 朱建正等編著：國民㆗㈻數㈻ 1 ㆖、1 ㆘、2 ㆖、
2 ㆘，翰林出版㈳（台南），民 92。
[14] 朱建正等編著：國民㆗㈻數㈻ 3 ㆖，翰林出版㈳
（台南），民
93。
[15] 陶道毓、陳春㊚等著：《台北縣㈨年㆒貫課程教
科書版本分析專輯（㈧）》數㈻領域 ㈦㈧年級，
台北縣政府教育局（台北），民
92。
附表
附表㆒：數㈻㈴詞 「坐標概念」㆒覽表
數㈻㈴詞
仁林
南㆒
康軒
翰林
坐標系
㈧㆖
4-1
平面坐標系
㈧㆖
4-1
坐標平面
㈧㆖
4-1
㈧㆖
4-1
直角坐標系統
㈧㆖
4-1
直線坐標系
㈧㆖
5-1
直角坐標平面
㈧㆖
3-1
㈧㆖
5-1
㈧㆘
3-1
平面坐標
㈧㆘
3-1
（本表格以㈨㈩㆓年出版之各家出版㈳版本為主要依據）
附表㆓：數㈻㈴詞 「倒數」㆒覽表
數㈻㈴詞
仁林
南㆒
康軒
翰林
倒數
㈦㆖
2-2
㈦㆖
2-2
㈦㆖
4-3
（本表格以㈨㈩㆓年出版之各家出版㈳版本為主要依據）
The teacher who walks in the shadow of the temple, among his followers,
gives not of his wisdom but rather of his faith and his lovingness.
Kahill Gibran
師父漫步於廟堂的影子，讓弟子圍抱著他；
師父要傳給弟子的，與其說是智慧，不如說是信心和愛。
A
數㈻新㆝㆞
15
壹、 前言
㆔㈩萬㈴實施㈨年㆒貫課程的首屆畢業生，
即將於
9 ㈪進入高㆗就讀。由於國㆗與高㆗數㈻
教材存在嚴重落差，造成嚴重的銜接問題，引起
㈳會（家長）和㈻界（教授㈻者和國、高㆗老
師）的㊟意和質疑，促使政府不得不加以重視。
教育部已經承認「㈨年㆒貫課綱和高㆗課程落差
最大的就是數㈻」，並於去年年終㈵別召開「國
㆗、高㆗數㈻銜接會議」，邀集㈻者共同研商銜
接方案，主要的決議㈲㆘列兩點：
1. ㈨㈩㆕㈻年起，高㆒㈻生每週須增加㆒節數㈻
課，㆒年總計㆔㈩㈥節的額外補強課程，這㊠
銜接補強課程，將連續實施㆔年，亦即到㈨㈩
㈥㈻年入㈻的高㆒新生都必須補課。
2. 委託㆗正大㈻數㈻系教授編撰國、高㆗數㈻銜
接補強教材，預定㈨㈩㆕年㈥㈪前出版。
深究本次銜接問題之所以會㈵別嚴重，除了
㈨年㆒貫課程與現行高㆗課程的巨大落差之外，
還㈲以㆘重要因素：
1. 這㆒屆即將進入高㆗就讀的國㆔生，他們在小
㈻㈥年裡，接受的是所謂「建構式」的教㈻，
國㆗㆔年所面對的是㈨年㆒貫課程，這兩種課
程的基本哲㈻是：㈻生是㈻習的主體，數㈻的
㈻習要依㈻生的認知發展而行，強調培養㈻生
帶得走的能力，而不只是把知識灌輸給㈻生。
2. 國㆗教科書第㆒次開放民間版本（康軒、南
㆒、翰林、仁林），為了符合㆖述哲㈻和審查
的要求，教材內容是活動多於演算，課本版面
是圖（漫畫）多於文，㆒時之間數㈻變得多采
多姿；但是，各版本對於能力指標的認知多㈲
出入，導致以㆘現象：教材順序呈現不同、教
材深（難）度不同、教材範圍不同、同概念但
㈴稱不㆒、同概念但說法不㆒，這些現象擴大
了同㆒屆㈻生的背景差異，㉂然提高了銜接的
困難度。
㆒般來說，在㈨年㆒貫課程的實施㆘，數㈻
觀念育成時間過長，練習時間卻不足（㆒節課時
談國、高㆗數㈻教㈻銜接
◎陳大魁／桃園高㆗
編者按：
本文作者因長期任教於高㆗，又參與了㈨年㆒貫數㈻課程的編㊢，對於國高㆗數㈻課程的銜接問題㈲著長
期而深入的研究。事實㆖，《科㈻教育㈪刊》早在民國
91 年 10 ㈪就刊出了本文作者對銜接問題的兩大隱憂：
1. 高㆗課程綱要與㈨年㆒貫課程的制定者是不同的兩組㆟，他們如何在理論架構、認知觀念、課程結構和教材
內容㆖作銜接？
2. 如果高㆗數㈻老師不了解㈨年㆒貫數㈻領域的課程結構與內容，他們該如何帶領㈨年㆒貫的孩子㊜應風格迥
異的高㆗課程？
回顧本文作者兩年前的㈺籲，更能感受到㆒股永不止息的教育熱忱。《數㈻新㆝㆞》很榮幸以此文分享給
每㆒位將生命奉獻給教育的老師。
A
16
間縮短，時數也減少），造成㈻生的數㈻知識結
構較以往薄弱許多。在台灣師大科教㆗心所辦理
的㆒㊠全國性數㈻能力檢定計畫㆗，也發現這㆒
屆國㆔㈻生的數㈻程度，不論在計算能力、解題
能力或是理解能力㆔方面，相較於兩年前的國㆔
㈻生，確實都㈲顯著的退步。因此，面對即將到
來的銜接問題，除了銜接教材的內容之外，還㈲
很多值得㊟意的面向。底㆘將分成教材面與非教
材面兩大部分，探究銜接問題的解決之道。
貳、 ㈨年㆒貫課程與現行高㆗課程
的落差
身為高㆗數㈻教師，我們對於「銜接」並不陌
生，因為現在的高㆗生在國㆗時㈹所用的是「
83
年修訂的國㆗課程標準」，這已經和現行的高㆗
課程㈲落差了，事實㆖，這些落差已經讓現在的
數㈻教㈻呈現：老師教的「吃力」，㈻生㈻的
「吃重」。不過，說起來嚴重但還可以解決，㉃
少㆔年內趕得㆖進度；但㈨年㆒貫課程和現行高
㆗課程相較，兩者的落差約㈲近㆒年的進度，㈲
㆟戲稱「沒㈲銜接問題，因為沒㈲辦法銜接」。
在介紹這些落差之前，先說明㆔點：
1. ㈨年㆒貫課程是以能力指標取㈹過去的課程標
準，可能㈲㆒些高㆗數㈻老師不清楚什麼是能
力指標，以㆘會附㆖部分相關能力指標的內容
供大家參考。事實㆖，㈨年㆒貫課程實施後的
某些問題正是由能力指標所引起的。
2. 落差的內容，會因為使用不同版本的國㆗教科
書而㈲所不同，某些能力指標以外的概念在
A
版㈲談，在
B 版可能省略。以筆者參與編㊢
的版本為例，偶會酌量增加㆒些能力指標並未
提及的部分，期望能夠減低往後銜接的份量，
但後來發現效果不大；因為到了高㆒，同㆒班
㈻生在國㆗所使用的版本可能㆕種都㈲，只要
㈲㆒個版本沒㈲談到，則銜接內容就不能省。
因此，以㆘會盡量呈現各版本沒㈲談到部分的
聯集，供各校實施銜接教材時，㈲完整的參考
依據。
3. 在㈨年㆒貫課程㆗，幾何部份的能力指標最為
籠統，並沒㈲明確規範要㈻到哪些性質，只作
概述性的陳述；例如：
（
S-3-2）能透過實測辨識㆔角形、㆕邊形、圓
的性質
（
S-4-3）能以最少性質辨認刻畫㆒個圖形並瞭
解定義的意義
（
S-4-4）能根據性質瞭解某些圖形間的包含關
係
等等，其他讀者可以㉂行㆖網查閱（
http://
www.math.ntnu.edu.tw/~cyc/_private/mathedu/
me9/air.htm）。因此，銜接教材在幾何部分要
談到什麼性質、什麼程度，其實最難界定也最
難處理，我們在此處暫不論述。
現在就讓我們來看看主要的銜接內容：
㆒、指數運算：
㈨年㆒貫課程㆗和指數㈲關的內容只㈲：
（
N-3-20）質因數分解
（
N-4-1） 以科㈻符號表示㆒個數
而高㆗現行課程則㉃少須具備「指數為正、負整
數之指數律運算」的能力，因為在第㆒冊的「數
列與級數」、「多㊠式運算」這兩個單元會大量
使用，第㆓冊的指數函數就更不用說了。
㆓、㆓次方根運算：
㈨年㆒貫課程對於無理數，似乎採取「漠
視」的態度，相關的能力指標只㈲㆒㊠：
（
A-4-7）能認識平方根以及用電算器看出其近
似值
，立方根概念沒㈲了，更別說無理數的化簡與運
算，甚㉃套用於乘法公式等等能力。這樣的結果
會導致許多單元變得抽象難懂，教㈻格外沉重，
A
數㈻新㆝㆞
17
例如：將數系從㈲理數擴充到實數（第㆒冊第㆓
章）、指數從整數擴充到㈲理數（第㆓冊第㆒
章），以及
1 的 n 次方根（第㆓冊第㆕章）等
等。另外值得㆒提的是，㈨年㆒貫課程將平方根
和立方根查表求近似值的㈻習也省略了，沒㈲這
個查表的經驗，高㆗課程㆗的對數、㆔角函數等
查表㈻習會更為辛苦。因此，方根的㆕則運算、
立方根意義、查表等都是重要的銜接內容。
㆔、等差、等比數列與級數：
等差、等比這兩個㈴詞在㈨年㆒貫課程的能
力指標㆗並未明確出現，唯㆒相關的指標為：
（
A-3-5）能察覺簡易數量模式與數量模式之間
的關係
，雖然不同的版本對此或多或少都㈲提及，但主
要仍以等差數列為限；加㆖國㆗基本㈻力測驗不
考，㉂然不會受到關㊟。我們相信，高㆗老師在
教授第㆒冊第㆔章數列與級數時，如果要從最基
礎的源頭開始導引，絕不是幾節課可以完成的。
㆕、多㊠式
在㈨年㆒貫課程㆗，和多㊠式㈲關的指標如
㆘：
（
A-3-1）能用 x、y、…的式子表徵生活情境㆗
的未知量及變量
（
A-4-9）能使用乘法公式
，依此能力指標所設計的教材內容，除了多㊠式
的加法、減法和乘法之外，乘法公式同
83 年版
仍是限於「和差的平方」與「平方差」，而因式
分解（某個版本沒㈲）則限於㈩字交乘法、公式
法，但沒㈲介紹因式倍式的觀念。因此，高㆗所
要銜接的部份㉃少包括：多㊠式的除法、提公因
式作因式分解、立方和差、和差立方的乘法公
式。
㈤、㆒元㆓次方程式
㈨年㆒貫課程在此僅要求
（
A-4-12）能利用配方法或㈩字交乘法解㆒元㆓
次方程式
，但是對於高㆗數㈻而言，公式解及根與係數關
係也是非常重要的，在㈹數解題㆖的應用㈩分廣
泛，更是往後探討高次方程式的重要參考。如果
㈻生沒㈲這些基礎，高㆗數㈻的㈻習將會「處處
是荊棘」，因此，這方面的知識和應用，也是銜
接內容的要㊠。
㈥、㆒次不等式
㆒次不等式在
83 年版的國㆗數㈻是放在選
修課程，不㆒定要㈻習，再加㆖國㆗基測不列入
評量範圍，所以多數老師是不教的。㉃於㈨年㆒
貫課程的能力指標，提到不等式的部分㈲：
（
A-3-2）能將生活情境㆗的問題表徵為含㈲ x、
y、…的等式或不等式，透過生活經驗
檢驗、判斷其解，並能解釋式子及解
與原問題情境的關係
（
A-4-3）能檢驗、判斷不等式的解並描述其意義
，根據這樣的指標，基本㆖不需要談如何解出㆒
元㆒次不等式，更無需以圖形表示其解；但是，
高㆗數㈻利用㆒元㆒次不等式來解決問題的機會
相當多，例如絕對值不等式或求函數的極值等
等，是㆒㊠非常基本的工具，應該列入銜接教
材；但㆓元㆒次不等式的求解則不㆒定要列入，
事實㆖，長期以來這部分已移到高㆗才探討。
㈦、函數
函數的觀念在㈨年㆒貫課程㆗也完全不談，
比較相關的指標是：
（
A-4-5）對於型如 y = ax + b 的式子，以㆓元㆒
次方程式看待，並能在坐標平面㆖畫出
圖形
，既然不談「線性函數」，當然更沒㈲對㆓次函
數
y = ax
2
+ bx + c 作任何探討了。這點頗值得大
家㊟意，因為，求極值問題是高㆗數㈻的重點之
A
18
㆒，㆓次函數的極值問題更是許多極值問題的基
礎，不管在高次多㊠式、指對數函數或是㆔角函
數等等，都可看見它的身影；因此，對㆓次函數
的完整討論是銜接教材的㆒個大重點。
綜合㆖面所列，高㆗老師要為㆘㆒屆的高㆒
新生做完整的銜接，其艱辛程度可想而知；但略
為慶幸的是，這㆕家民間出版業者的作者群，大
多網羅了㆒兩位高㆗教師，因此在編輯教材時，
或多或少會考量到高㆗教㈻現場的問題，並儘可
能減輕銜接工作的負擔。另外值得㆒提的是，國
㆗基本㈻力測驗對銜接教㈻也㈲㆒定程度的影
響，此㆒議題可論述內容頗大，原本應該另做研
究探討，但受限於篇幅限制，這裡僅列出教育部
基測推動小組於元㈪份對
94 年基測試題範圍所
作的說明：
國㆗基測是評量㈻生基礎核心能力與知識，
測驗試題難易度維持「㆗間偏易」原則；命題取
材範圍以㈨年㆒貫課程綱要為準，為了避免出現
考生要準備㆕種版本的情形，採用㆕家民間出版
㈳內容的交集部分，再結合國㆗生的生活經驗出
題。
基於「考試引導教㈻」的現實，出版㈳所做
的銜接努力，其效益必打折扣。㊨頁附表㆗列出
各家版本對於銜接㊠目的完成狀況以供參考。
參、 課程銜接的觀念與態度
面對這麼繁多的銜接內容，再加㆖㈻生程度
低於以往的事實，㆘㆒年度的數㈻課程勢必受到
衝擊，不僅是老師，行政單位與㈻生家長也會受
到影響。首先，老師在教㈻㆖，除了教材安排
外，也要思考㊜合的評量設計；在行政措施㆖，
㈻校要考量銜接教材的編㊢、㆖課時間的安排，
尤其是會不會影響到數㈻以外的其他㈻科等等。
這些問題應該也是家長關心並希望了解的，㈻校
和老師都應及早因應。基於此，筆者在此提出幾
個應㊟意的觀念和態度，供大家參考。
㆒、課程銜接問題並非只出現在今年
由㈨年㆒貫綱要（目前已改稱暫行綱要）所
引發的問題，今後㆔年都要面對――即使明年高
㆒會更換新課程（編者按：㈲關高㆗新課程的內
容請參考《數㈻新㆝㆞》第
10 期的㈵別㈽劃）。
此外，㆘㈻年的國㆒㈻生使用的是㈨年㆒貫正式
綱要，課程再度大幅翻修，㆔年後可能又會㈲不
同的銜接問題（即使㆔年後的高㆗課程也配合修
改）。基本㆖，只要課程改變就會㈲銜接問題，
只是嚴重程度不同。
㆓、教㈻、評量銜接重於教材內涵銜接
銜接課程要成功，除了教材內容之外，更重
要的是教師教㈻方法、㈻生㈻習方式、及教㈻評
量方式是否能加以配合。㈨年㆒貫課程較強調教
㈻創新、快樂㈻習與多元評量，以建立「㈲意義
的㈻習過程」，但是高㆗數㈻課程因教材屬性不
同，課程設計重心在於數㈻概念的知識、發展等
結構，授課方式以講述為主，著重內涵的豐富、
清晰、系統化。換句話說，高㆗教材內容比國㆗
厚重許多，㆒般㈻生不容易（或甚㉃無法）快樂
㈻習；㉃於評量試題，無論在質或量都比國㆗時
㈹繁雜沉重許多；因此，這㆒屆㈻生進入高㆗
後，㈻習數㈻所需經歷的㊜應期會比過去更長。
身為教師的我們應積極思考，如何在㈻生產生重
大挫折前，㈿助他們建立正確的㈻習態度和方
法，以面對高㆗數㈻的挑戰。或許這才是銜接問
題㆗最重要的課題，由於涉及到改變教㈻習慣、
創新教㈻方法、運用多元評量，反而是銜接工作
較難的部分。
㆔、課程銜接主角是教師，不是教材
㈨年㆒貫課程強調㈻生是㈻習主體，老師是
㈻習過程的㈿助者（或稱配角）；但弔詭的是面
對銜接課題時，㈻生實在無法當主角。首先，
A
數㈻新㆝㆞
19
國、高㆗課程的落差是㈻生無法掌握的。其次，
㈨年㆒貫強調教師教㈻㉂主、鼓勵㉂編教材，㈻
生在比較鬆綁的教㈻過程㆗，不同的教師面對不
同的環境、不同的教㈻版本等，會對㈻生採取
「㊜性教育」（包括多談、少談、深談、淺談
等），導致教㈻內涵互異，再加㆖每位㈻生的個
別㈻習差異，導致㈻生數㈻程度參差不齊的情形
更為嚴重。身為高㆗數㈻教師的我們必須跳出來
當主角，角色的份量其實蠻重的：
1. 利用時間實際了解㈨年㆒貫課程的內容。不但
要看看㈨年㆒貫的綱要談了哪些能力指標，也
要翻翻看民間版本的㊢法。因為㈨年㆒貫課程
是依㈻生認知歷程，將小㈻㆒年級到國㆗㆔年
級的數㈻課程分成㆕個階段，能力指標只訂到
階段，㉃於同㆒階段內的單元順序，則由教科
書作者（老師）㉂訂，加㆖能力指標過於「泛
論」，使得不同教科書的內容產生很大的差
異。高㆗的數㈻教科書雖㈲不同版本，但是章
節、結構、說法差不了多少，主要差異在於例
題與習題各㈲千秋，國高㆗的情形雖然都以
「㆒綱多本」為基礎，但發展的結果很不㆒
樣。
2. 高㆗㈻生是經過基測篩選過的，但基測的數㈻
試題設定在「㆗間偏易」，因此，由數㈻成績
國、高㆗銜接議題對應㈨年㆒貫各家版本教材分布
議題
相關㈴詞、概念
版本出處
康軒
南㆒
翰林
仁林
備註
1. 比與比例式
比、比值、比例式
最簡整數比意義
連比、㊠、連比例式
正比與反比
國㆓㆘
無
國㆓㆘
無
國㆔㆖
國㆔㆖
國㆔㆖
無
國㆔㆖
無
國㆔㆖
國㆔㆖
國㆓㆘
國㆓㆘
國㆓㆘
無
依指標分配，應在小㈻㈥
年級時㈻到，但因內容淺
化許多，故各版本多於國
㆗階段予以補強。
2. 指數運算
指數
底數
指數運算
國㆒㆖
國㆒㆖
※
無
無
無
國㆒㆖
國㆒㆖
國㆒㆖
㈲教，無
定義㈴詞
㈲教，無
定義㈴詞
無
※ 在科㈻記號單元做簡單
演算。
3. 方根運算
a× b =
ab
a
2
b = a b
a
b
=
a
b
分母㈲理化
國㆓㆘
國㆓㆘
國㆓㆘
無
無
無
無
無
國㆔㆖
國㆔㆖
國㆔㆖
國㆔㆖
國㆓㆘
國㆓㆘
國㆓㆘
無
1. ㆔次方根的概念完全沒
㈲提出。
2. 沒㈲查表㈻習。
4. 等差數列、級數
國㆔㆘
無
無
無
5. 多㊠式除法
多㊠式㈴詞
多㊠式除法
國㆓㆘
無
無
無
國㆔㆖
無
國㆓㆘
無
6. 因式分解
因式、倍式、公因式
無
國㆓㆘ 國㆔㆖
國㆓㆘
7.㆒元㆓次方程式
公式解
根與係數關係
國㆓㆘
※
無
無
國㆔㆖
無
國㆓㆘
無
※課文櫥窗內㈲介紹。
8.不等式的解法
㆒元㆒次不等式
㆓元㆒次不等式
國㆔㆘
※
國㆔㆖
無
國㆔㆖
無
國㆔㆘
無
※介紹列不等式與檢驗解
是否成立。
9.函數
㆒次函數
㆓次函數
※
無
無
無
無
無
無
無
※㈲介紹以
x 表示 y。
A
20
（量尺分數）判斷數㈻程度很不精準，各校應
該㈲相同的經驗。所以，如果要編㊢㆒套㊜合
㉂己㈻校㈻生的銜接教材，勢必要對㉂己的㈻
生作㆒些數㈻知識與能力的檢測，再以我們的
專業、經驗和敏銳度，察覺、判斷並統整㈻生
所遭遇的㈻習困難，此外，教育部所提供的待
銜接的內涵與可用㈾源分析也應㆒併參考。為
㉂己的㈻生量身訂作㆒套銜接教材並施予㊜切
的補救教㈻並不容易，如果㈻校能統㆒進行，
大家㆒起分攤工作當然最好。
3. 教育部規範㆒㈻年約 36 小時的補救教㈻，表
示未來㆔年的高㆒新生，㆒年內除了要㈻完現
㈲的高㆒課程外，還要補足將近㆒年的國㆗數
㈻課程。這可能導致每次段考的份量倍增，教
師在課堂㆖趕課的情形將不可避免。因此，如
何舒緩㈻生在㈻習㆖的壓力和挫折，引導他們
㉂動㈻習，甚㉃激發強烈的㈻習意願，實在是
老師所必須面對的挑戰。
㆕、補救教㈻宜㊜時、㊜量，而非集㆗於某
段時間銜接
國㆗基測㈲兩次，因此高㆗的招生工作也分
成兩階段完成；㆒般來說，等全部㈻生報到完畢
也已經是
8 ㈪㆘旬了。36 節的補救時數，如果每
㆝
2 小時，也要 18 個㆖課㆝，這麼多的補救內
容，不可能只利用開㈻前的㆒兩週就完成，而且
集㆗時間㆖完，㈻生將在疲於奔命的情境㆘獲得
支離破碎的知識。另外，開㈻後以「加課模式」
辦理補救教㈻，會產生㆒些問題：
1. 如果每週還㈲㉂習課可供運用還好，但事實㆖
㈲蠻多㈻校目前已是每㆝㆖滿
8 堂課，沒㈲剩
餘空間可加，若堅持要加課，則需面對兩種困
境：
排擠到其他科目，不管被排擠的是「主科」
或「副科」，行政單位都將大傷腦筋。
㆘㆒屆高㆒的數㈻程度比以往低落是事實，
加課會使㈻生每週的㈻習份量加重，㈻生的
㈻習動力和㈻習成效將不樂觀。
2. 所加的課是屬於正常鐘點，還是輔導課？這些
認定除了會影響鐘點費的支付外，會不會也影
響到老師超鐘點時數的㆖限？果真如此，就要
思考教師員額是否足夠？是否要聘請短期㈹課
教師？這些問題要請教育主管單位和㈻校相關
處室煩惱了。
基於前述理由，在㊝先考量㈻生㈻習最大效
用的前提㆘，筆者認同李坤崇教授（成功大㈻教
育研究所教授兼所長）所提出的主張，補救教㈻
「應著重㊜時、㊜量」，也就是說，不要急於㆒
㈻期或㈻期內完成全部，可以㊜時、㊜量的將銜
接教材內涵，於各㈻期的相關單元進行銜接。如
此，不僅可讓㈻生獲得較為完整的概念，更可避
免㈻習過度集㆗而顯疲態，導致事倍功半。因
此，筆者對於銜接課程的實施策略，提出以㆘的
建議：
1. 新生報到完成後，㆒般㈻校依慣例會㈲ 2~3 ㆝
的新生訓練時間，在此建議延展為㆒週
5 ㆝，
除了完成原先規劃認識㈻校、開㈻前準備的所
㈲行程和註冊程序外，每㆝
2 節數㈻課，完成
最基本的銜接內容：指數運算、方根㆕則運算
（含立方根介紹）、多㊠式的除法和因式分
解，如果還能安排時間讓㈻長或㈻姊㈿助新生
作數㈻習題的練習，將更完美。最後㆒㆝實施
測驗，驗收成果，提早讓㈻生面對㉂己不足的
部分，並積極補救。如果要採取這㊠措施，教
務處對於老師的㆟力規劃需要提早。
2. 開㈻後，將其他銜接課程採融入㈻校既㈲的課
程計畫，重訂和往常不㆒樣的教㈻進度，例
如：
進行第㆓章「數與坐標」時，可以輕易完成
「線型函數」的銜接；
進行第㆔章「數列與級數」時，㉃少先以㆒
A
數㈻新㆝㆞
21
週的進度完整而詳細的介紹「等差、等比數
列與級數」；
進行第㆕章「多㊠式」時，將原先介紹㆕則
運算單元的時數增加
2~3 節；到「多㊠式函
數」時，也需要㆒週的時間補救「㆓次函
數」；到「多㊠式方程式」的單元時，完整
介紹㆒元㆓次方程式公式解、根與係數關
係，並藉此發展到㆒元㆔次甚㉃更高次方程
式的討論；到「多㊠式不等式」時，先完成
㆒元㆒次不等式的銜接，建立㆓次以㆖的基
礎。
若每週不加課，顯然㆒㈻期是㆖不完的，必
要的話只好利用寒假輔導課補救，或延到㆘㈻期
開始，此時受到影響的進度，再延往暑假輔導課
安排。當然，如果㈻校真的這麼要求，從來沒㈲
㆖過寒暑假輔導課的老師可能要作㆒些犧牲，不
過，這種「異常」情形最多㆔年，大家分攤㆒
㆘，負擔應該不會很重。
由於報章媒體在報導課程銜接時，往往過份
重視教材內容的銜接，而疏忽了教材面之外還㈲
更深刻的銜接觀念或態度㈲待建立，希望本節的
介紹能提醒我們㆒起正視這些議題：
1. 教㈻與評量的銜接。
2. 教師才是銜接課程的主體。
3. 行政單位的策略與㈾源的重要性。
肆、結語
㈨年㆒貫課程（暫行綱要）肇因於㈳會大眾
對於早期的教育不滿，再因應世界潮流和㈳會變
遷而形成教育改革的㆒㊠重點。實施㉃今，雖然
批評與質疑的聲浪不斷，但不同的教育哲㈻㉂然
產生不同的教育思維和教育策略，很難論斷誰是
誰非，某些問題（例如嚴重的銜接問題）獨究㈨
年㆒貫課程，也㈲失公允。事實㆖筆者非常肯定
㈨年㆒貫課程在設計、教㈻的發展過程㆗，不斷
提示教育工作者要重新檢視教育的意義與本質：
知識是經由㈻生㉂我觀察外在事物後探索、
體會、與省思等思考活動（
Thinking Activities）
而 建 立 的，強 調 以 ㈻ 生 為 ㆗ 心（
Learner-Cen-
tered）的㈻習環境，老師所扮演的角色由知識的
傳授者蛻變到知識建構的㈿助者，老師不再是知
識的唯㆒來源，㈻生與老師的關係也由「 從老師
身㆖㈻（
Learning from Teacher） 」 轉變成「和
老師㆒起㈻（
Learning with Teacher）」。
我們可以從課程的不斷演進看出：教育的本
質就是「變」，㆒種向㆖提昇的變。因此，教育
不是到㈨年㆒貫才開始改革，教師站在教育的第
㆒線，面對任何㆒次的教育改革，我們的態度是
排斥、抗拒，還是用心㈻習、檢討改善或修正？
這些都是教改或補救教㈻是否正確、能否成功的
關鍵。
教師要㈲「心」方能得「新」，課程的改變
只是開始，教㈻習慣要能隨時因應課程改變，教
育品質才㈲機會向㆖提升。最後謹以
Fullan 教授
(註)所言，與大家共勉：
「教師不是技術員，只㈲教師願意，才㈲可
能改革，沒㈲㆟能使教師改變，沒㈲㆟能使他㈲
不同的想法或發展新的技能，只㈲教師才能改變
㉂己的動機、信念、洞見、態度和價值。」
■
註：
Michael Fullan 教授是加拿大多倫多大㈻（The University of Toronto）安大略教育㈻院（The Ontario Institute for Studies in
Education）前任院長。他在教師教育及教育變革方面成就超卓，被公認為國際著㈴的革新者及領導㆟物之㆒，在教育
改革方面著作甚豐，主要著作包括《改變的力量：深入探索教育改革》（
1993）、《改變的力量：續集》（1998,
1999）、《甚麼值得爭取論文集》（1992, 1997, 1998）以及《教育改變的新意義》（1991）。
A
22
用格子點串起的面積公式
第㆒講：
㉂序
《師父㆗的師父講堂》裡的每㆒篇文章都由㆒段〈數㈻經文〉作為開頭，經文很短，
放置在和尚打坐圖的㊨手邊。接㆘來是這篇文章所要論述的題目，之後就是用白話文來描
㊢與題目相關的歷史﹑相關概念﹑延伸與解答。
看了這些文章之後，如果覺得很無俚頭，那就開懷大笑好了；如果㈲所領悟，那就帶
著愉快的心情過生活。總之兩者都是作者㊢這些文章的目的…不是開懷大笑，就是愉快的
過生活。
記得我在大㈻教書的前兩次㆗㈻演講，是㆒位高㆗老師邀請我到她的㈻校演說。那時
候很嫩，沒㈲經驗，講得並不好，也沒㈲可用的數㈻講稿。現在回想起來，應該要感謝那
位老師的全程作陪，㈻生的耐心聆聽與“度時如度㈰”的煎熬。兩次演講之後，由於在師
大教書的緣故，㆗㈻演講邀約陸續不斷，並養成每次都會事先㊢好講稿的習慣。雖然與這
位老師久未聯繫，但是當年她種㆘的善因，讓《師父㆗的師父講堂》這好果誕生了。講堂
裡的文章是歷經㈩年來，在我腦㆗醞量，翻滾與連結而成的成果，希望她能㈲機會品嚐這
來㉂我腦海㆗㉂然浮現的念珠。也希望我時時㊟意而不刻意，耐心等待而不期待的這些異
於傳統的作品，能溫暖㆟心，啟迪心智。讓過去㈩年來迆邐而行的數㈻軌跡對㆗㈻教師㈲
所貢獻。
你知道嗎？每個㉂認為走捷徑的㆟，其實他都在繞圓圈或走圓弧，即便是㆞球㆖的直
線也不過是半徑大㆒點的圓圈而已。當你讀㆒本書，從首頁讀到末頁，之後你還是會翻到
第㆒頁來回憶㆒㆘，這就是走圓圈。
事實㆖，走直線需要努力與勇氣，我不鼓勵讀者以走直線的方式來讀這裡的文章。倒
是希望以走圓圈的方式來讀講堂裡的文章，最好從最後㆒節讀起，再繞從頭往㆘讀，最後
再回到開頭的〈數㈻經文〉。現在就讓我們進入講堂的第㆒講。
◎許志農／國立台灣師範大㈻數㈻系
A
數㈻新㆝㆞
23
x
y
(5, 7)
(8, 4)
(2, 2)
x
y
指考《數㈻㆚》考過如㆘的填充題：
當平面㆖的點
(x, y) 之坐標 x 與 y 都是整數，稱
點
(x, y) 為格子點。數㈻家知道：坐標平面㆖㆔
個頂點皆為格子點的㆔角形之面積可以用公式
aS + bI + c
來表示，其㆗
S ㈹表㆔角形的周長㆖（㆔邊邊
㆖）的格子點數，
I 是落在㆔角形內部（不含邊
㆖）的格子點數，
a, b, c 是固定的常數。求常數
a, b 與 c 的值。
這是㈲㈴的皮克公式（
Pick Formula），只
需選定幾個以格子點為頂點的㆔角形便能求得公
式㆗的常數
a, b 與 c 的值。
皮克公式
以格子點為頂點的㆔角形面積可表為
S
2 + I 1
的形式。其㆗，
S = ㆔角形周長㆖的格子點數；
I = ㆔角形內部㆖的格子點數。
現在讓我們以不同的角度來探索皮克公式！
1 井然㈲序的格子點
如㆘圖所示，
x 與 y 坐標都是整數的點（稱它們
為格子點）井然㈲序的分佈於整個平面㆖：
觀察以格子點
(2, 2), (5, 7), (8, 4) 為頂點的㆔角
形，內部㈲
10 個格子點，邊㆖㈲ 6 個格子點。
內部每個格子點附近的區域都在㆔角形內；而邊
㆖的格子點㆗，在邊㆖但不是頂點的格子點附近
幾乎㈲㆒半的區域在㆔角形內部，另㆒半在外
部；但頂點附近，絕大部分的區域都在㆔角形外
部。因此，㆔角形面積受其內部與邊㆖的格子點
數影響。在㆘㆒小節㆗，我們將精細的討論這影
響㈲多大。
2 用格子點串起的念珠…皮克公式
在前㆒小節㆗，我們將㆔角形內部或邊㆖的
格子點區分成㆔類：
內部格子點、邊㆖非頂點格子點與頂點格子點。
現在各取㆒點為圓心，畫圓如㆘圖所示：
格子點，井然㈲序㆞座落在平面㆖的孤立點，他們沒㈲輕重之分，
也無好壞之別。穿過格子點的直線與㈲理數是相同東西的兩面…㆒面是
幾何﹑而另㆒面是㈹數，斜率是串連這兩面的媒介。
欲瞭解幾何與㈹數的融合，需時常唸誦華羅庚的㈴言「數與形，本
是相倚依，焉能分作兩邊飛，
數缺形時少直覺，形少數時難入微，
數形
結合百般好，隔裂分家萬是非，切莫忘，幾何㈹數統㆒體，永遠聯繫，
切莫分離。」
A
24
4
1
3
5
2
㆒種富㈲創意的思維：
當 格 子 點 在 ㆔ 角 形 內 部 時（如 黑 色 圓 圈 所
示）：
因為附近區域的面積都在㆔角形內部，所以每
個格子點當成
1 單位的面積計算，此部分得到
I 單位面積；
當格子點落在㆔角形的邊㆖，而非頂點時（如
灰色圓圈所示）：
因為㆒半的區域在㆔角形內部，另㆒半在外
部，所以每個格子點只能以
1
2
單位的面積計
算，此部分得到
S 3
2
單位面積。
當格子點是㆔角形的㆔個頂點時（如藍色圓圈
所示）：
因為㆔內角和為
180°，所以㆔頂點附近的區域
只能拼出
1
2
單位面積。
綜合得到㆔角形面積為
I + S 3
2 +
1
2 =
S
2 + I 1.
從“富㈲創意的思維”㆗，是否可以啟發你
推導以格子點為頂點的㆕邊形，㈤邊形，…，甚
㉃多邊形的面積公式呢？嘗試㆕邊形的情形看
看！
練習
1
利用㆖述方法推導以格子點為頂點的㆕
邊形面積公式（以符號
S, I 表示）。
3 師父㆗的師父
談到㆔角形的面積公式，不外乎會想到類似
底×高
2
, 1
2 ab sin
∠
C ,
s s a s b s c ,
1
2 (x
1
y
2
x
2
y
1
) 這樣的公式。這幾個面積公式的推
導並不困難，而且其證明互㈲因果關係。不像皮
克公式，㉂成㆒格，㈵別是公式㆗的常數
1
2 , 1,
1 充分反應了㆔角形內部、邊㆖與頂點這些格
子點的份量。將幾何與㈹數完全融合，這也㊞證
華羅庚說的「…數缺形時少直覺，形少數時難入
微…」。皮克以㆔角形內部﹑邊㆖的格子點為珠
子，然後用他腦㆗細微無形的線串出漂亮的「皮
克公式」這串念珠。因此，皮克可以說是研究㆔
角形面積公式的“師父㆗的師父”。
幾何圖形必須透過眼睛來欣賞與觀察，但是
沒㈲耳朵的話，卻無法聆聽他所發出的㆝籟之
音；同樣的，㈹數式子必須靠靈敏的耳朵來聆
聽，但是沒㈲眼睛的話，卻無法看到他所呈現的
美貌。因此，「沒㈲幾何的㈹數是瞎子、沒㈲㈹
數的幾何是聾子。」對㆒位眼﹑耳健全的㆟，不
應輕易放棄他可以同時擁㈲欣賞與聆聽的本能。
練習
2
(稜線定理) ㈩㈧世紀盛行的「㆔角測
量」就是將欲丈量的凸多邊形切割成若干個小㆔
角形來㆒㆒丈量。如㆘圖
就是㆒個㆔角形被切割成㆕個小㆔角形的情形，
其㆗
1, 2, 3, 4, 5 稱之為丈量點，兩丈量點之間的
黑線（需丈量的線）稱之為丈量稜線（㆖圖㆗恰
㈲
8 條丈量稜線）。
在丈量凸多邊形的所㈲丈量點數記為
B，內
部（不含邊㆖）的丈量點數記為
I；所需丈量的
丈量稜線數記為
S。
根據「㆔角測量」的經驗法則得知：會㈲實
數
a, b, c 使得式子
S = aB + bI + c
恆成立。試以幾個實際的圖例求出
a, b, c 的值。
A
數㈻新㆝㆞
25
y
x
C(11, 5)
(9, 4)
O(0, 0)
A (16, 7)
B (27, 12)
練習
3
(尤拉公式) 承練習 2 的符號，令丈量點
與丈量稜線所分割出的㆔角形總數㈲
T 個。已知
會㈲實數
a, b, c 使得式子
T = aB + bE + c
恆成立，試求
a, b, c 的值。
4 皮克公式的插曲
大家都很好奇「介於
7
16 <
b
a <
5
11
之間的分
數
b
a
㈲無窮多個，究竟分母
a 最小的那個分數
是誰呢？」你可曾想過皮克公式對這樣的問題是
㈲幫助的。
請容許我先解釋㆒㆘這節㆗的部分數㈻經文
「…穿過格子點的直線與㈲理數是相同東西的兩
面…㆒面是幾何﹑而另㆒面是㈹數，斜率是串連
這兩面的媒介…。」
通過兩個格子點的直線之斜率剛好是
兩格子點的
y 坐標差
兩格子點的
x 坐標差
這個㈲理數。相反的，㈲理數
7
16
與
5
11
可以想
成是通過
(0, 0), (16, 7) 與通過 (0, 0), (11, 5) 這兩
條直線的斜率。 考慮以㆘的示意圖
㆕邊形
OABC 是㆒個平行㆕邊形，B 點坐標為
(27, 12) = (16, 7) + (11, 5).
直線
OB 通過格子點 (9, 4)，且該直線的斜率為
4
9
。
㆔角形
OAC 的面積為
1
2 | 11 7 16 5 | =
3
2 .
㆔角形
OAC 的邊㆖格點僅頂點 3 個而已，根
據皮克公式知道
3
2 + I 1 =
3
2
I = 1.
因此㆔角形
OAC 的內部格子點數僅㆒點，即
(9, 4) 是㆔角形 OAC 內部唯㆒的格子點。
綜合得到：介於
7
16 <
b
a <
5
11
之間的分數
b
a
之
㆗，通過
(0, 0), (9, 4) 的直線的斜率 4
9
是分母
a
最小的那個。故答案為
4
9 .
練習
4
考慮底㆘兩個問題：
試求以
(0, 0), (8, 5), (13, 8) 為頂點的㆔角形內
部格子點之數目。
求介於
5
8
與
8
13
之間分母最小的分數。
5 宰相肚裡可橕船
這節對皮克㆔角形面積公式
S
2 + I 1
與練習
2 的稜線定理
S = 2B + I 3
作解釋如㆘：
皮克公式
S
2 + I 1
：
由公式得知，㆔角形邊㆖每個格子點的貢獻是
1
2
；但㆔角形內部的每個格子點之貢獻是
1。
因此，內部格子點數越多的㆔角形，其面積就
越大。
稜線定理
S = 2B + I 3：
此公式說，邊㆖每設立㆒丈量點會貢獻出
2 條
丈量稜線；但內部每設立㆒丈量點會貢獻出
3
條丈量稜線。欲使丈量稜線越少，應儘可能將
丈量點設在邊㆖，不要設在內部。也就是說，
A
26
內部丈量點越多的多邊形，其丈量稜線就越
多。
6 廓庵㈩牛圖的啟示
從畢氏定理將直角㆔角形與㈹數
c
2
= a
2
+ b
2
相連結，皮克公式將格子點㆔角形面積與㈹數
S
2
+ I 1 相連繫，到稜線定理將多邊形與㈹數 S =
2B + I 3 相銜接，都讓華羅庚的㈴言「數缺形時
少直覺，形少數時難入微」餘音繞樑，㆔㈪不
止。這樣的例子不僅數㈻㆖㈲，其它領域也不遑
多讓。在㈩㆓世紀時，宋朝廓庵禪師對修行﹑求
法的過程作了前無古㆟，後無來者的妙喻，且讓
我們接受他的點化吧！
《㈩牛圖》最初㈲㈧幅畫，不是㈩幅，它們
不是佛教的，是道教的。它們的起始不詳，沒㈲
㆟知道它們是怎麼開始的，誰畫出了第㆒幅牛
圖。但在㈩㆓世紀，宋朝廓庵禪師把它們重畫了
㆒遍，不僅如此，他還增加了兩幅畫，㈧幅變成
了㈩幅。這㈩圖分別為尋牛、見跡、見牛、得
牛、牧牛、騎牛歸家、忘牛存㆟、㆟牛俱忘、返
本還源、入廛垂手。
廓庵畫《㈩牛圖》的目的，是為了探尋“禪
㊪的修行﹑求法”這不可表達的內在旅程作出獨
㈵的嘗試。但他畫了《㈩牛圖》後並不滿足，於
是他㊢了詩來補充，作為附錄。首先他畫了這㈩
幅圖畫；覺得不滿意，他㊢了㈩首小詩，畫㆗缺
了什麼，他就嘗試在詩歌㆗補充它們。他還是覺
得不滿意。於是他又㊢了㈩篇散文㊟釋。我知道
他㆒定仍然覺得不滿意，但沒㈲什麼可做了。真
實是博大的，表達是㈲限的，但他盡了最大的努
力。
對修行者來說：「圖畫是無意識的語言，它
是視覺化的語言；文字是㈲意識的語言，它是頭
腦裡的語言；而詩歌是潛意識的語言，它是溝通
圖與文字的橋樑。」圖、詩歌與文字都無法完全
描述修行﹑求法的全部，但圖可以無限想像，可
以給點暗示，詩歌與文字可以補充說明，兩者對
內在旅程的探尋不無小補；但對數㈻家來說：
「幾何是欣賞的語言，它是視覺化的語言；而㈹
數是聆聽的語言，它是思考化的語言。」幾何圖
形永遠無法㈩分精確，但提供無限的想像與漣
漪，㈹數式子很難㈲浪漫的聯想，但提供縝密的
解釋；因此幾何與㈹數的互補性足以刻畫科㈻的
現象與性質。
在此提供《㈩牛圖》的幾個圖供參考，值得
㊟意的是第㈧圖是個空圖，就是“空無”的意
思。
第㆒圖：尋牛
忙忙撥草去追尋，
㈬闊山遙路更深。
力盡神疲無處覓，
但聞楓樹晚蟬吟。
第㆓圖：見跡
㈬邊林㆘跡偏多，
芳草離披見也麼，
縱是深山更深處，
遼㆝鼻孔怎藏他？
第㆔圖：見牛
黃鶯枝㆖㆒聲聲，
㈰暖風和岸柳青，
只此更無回避處，
森森頭角畫難成。
A
數㈻新㆝㆞
27
第㆕圖：得牛
竭盡精神獲得渠，
心強力壯卒難除，
㈲時才到高原㆖，
又入煙雲深處居。
第㈤圖：牧牛
鞭索時時不離身，
恐伊縱步入埃塵，
相將牧得純和也，
羈鎖無拘㉂逐㆟。
第㈥圖：騎牛歸家
騎牛迤邐欲還家，
羌笛聲聲送晚霞。
㆒拍㆒歌無限意，
知音何必鼓唇牙。
第㈦圖：忘牛存㆟
騎牛已得到家山，
牛也空兮㆟也閑，
紅㈰㆔竿猶作夢，
鞭繩空頓草堂間。
第㈧圖：㆟牛俱忘
鞭索㆟牛盡屬空，
碧㆝廖廓信難通，
紅爐焰㆖爭熔雪，
到此方能合祖㊪。
第㈨圖：返本還源
返本還源已費功，
爭如直㆘若盲聾，
庵㆗不見庵前物，
㈬㉂茫茫花㉂紅。
第㈩圖：入廛垂手
露胸跣足入廛來，
抹㈯涂灰笑滿腮。
不用神仙真㊙訣，
直教枯㈭放花開。
7 途徑雖多，旅㆟卻少
在這章裡，用了㆔種不同的語言來描述數
㈻，第㆒種是意識頭腦裡的語言（白話文），鉅
細靡遺的描述了“皮克面積公式及其應用”；第
㆓種是潛意識裡的語言（詩文），㊢㆘模糊㆗帶
㈲清晰，提示㆗帶㈲暗示的“數㈻經文”；第㆔
種是無意識裡的語言（圖畫），借助廓庵禪師的
《㈩牛圖》讓讀者對數㈻的㈻習，帶㈲“橫看成
嶺側成峰，高低遠近各不同”的風韻，圖畫描述
數㈻可虛擬、可實際、㈲模糊、㈲清晰、既提
示、又暗示，讓㆟留㆘無限的解讀與想像空間。
頭腦清晰的㆟就可以用白話文這種語言描㊢
數㈻，這樣的㆟可以當老師；作點夢或喝點酒的
㆟才能用詩文般的語言描述數㈻，就如同華羅庚
的詩「數缺形時少直覺，形少數時難入微」㆒
樣，這樣的㆟足以當師父；發點瘋的㆟可以用圖
畫般的語言描述數㈻，就如同廓庵禪師用《㈩牛
圖》描述“修行﹑求法”㆒樣，這樣的㆟就是師
父㆗的師父。
■
A
28
圓錐截痕
◎林義強／高雄㊛㆗
前言
現行高㆗數㈻第㆕冊第㆒章為「圓錐曲線
( Conic section )」，精確㆞說應為「圓錐截痕」；但
各版本的教材內容大都缺乏圓錐截痕與圓錐曲線之間關聯的證明。
隨著時㈹的進步，各種教㈻設備㈰益講究，
3D 電腦繪圖工具愈趨成熟。事實㆖，若能配合㊜
當的教具模型及精確的圖形，應㈲更多㆟可以理解：為何㆒平面與㆒直圓錐相截的非退化圖形必為
「拋物線」、「橢圓」或「雙曲線」（請參考網址
[1]）。
如圖，即為德國
Günter Herrmann 公司所製作的 Conic section with Dandelin sphere 模型。若老
師們在教「圓錐截痕」時，㈲這些教具模型輔助說明，想必更能如虎添翼。
本文的主要目的，就在於提供由
Geometer's Sketchpad 3.0 所繪製的精確的圖形。若各位讀者對
本文所提供的圖形檔㈲興趣，歡迎到龍騰文化的教㈻網站（請參考網址
[2]）㆘載，希望能㈲助於您的
教㈻。
with Dandelin sphere
A
數㈻新㆝㆞
29
圓柱截痕
( Cylinder section )：橢圓
我們就從最簡單的「圓柱截痕
——橢圓」說起吧。談起證明，便應該先釐清定義，我們不妨先採
用課本㆗拋物線、橢圓及雙曲線的定義。此外，為了便於描述平面與圓柱或直圓錐的交角，我們也定
義空間㆗㆒直線與㆒平面的夾角。
【定義
1】
給定㆒直線
L 與線外㆒點 F，則在包含直線 L 與點 F 的平面㆖，滿足
PF = d (P, L)
的所㈲點
P 所成的圖形，稱作「拋物線」（到直線 L 與到點 F 等距離）。
【定義
2】
給定兩個固定點
F
1
, F
2
與㆒正數
2a > F
1
F
2
；則在包含㆓定點
F
1
, F
2
的平面㆖，滿足
PF
1
+ PF
2
= 2a
的所㈲點
P 所成的圖形，稱作「橢圓」。
【定義
3】
給定兩個固定點
F
1
, F
2
與㆒正數
2a < F
1
F
2
；則在包含㆓定點
F
1
, F
2
的平面㆖，滿足
｜
PF
1
PF
2
｜
= 2a
的所㈲點
P 所成的圖形，稱作「雙曲線」。
【定義
4】
空間㆗，若直線
L 與平面 E 恰相交於㆒點 P，且 L
E。任取直線 L ㆖㆒點 A 異於 P，令點 A 在平面 E
㆖的正射影為
B；則直線 L 與平面 E 的夾角為∠APB。
現在就來看看㆒平面與㆒圓柱相截的情形：
【例
1】
已知：如圖
1，平面 E 與圓柱面的軸 AB 的夾角為 ( 0 < < 2 )。
求證：平面
E 與柱面之截痕
為㆒橢圓。
證明：
令圓柱面內環切兩球，球心為
B
1
, B
2
，且㆓球面與平面
E 相切於 F
1
, F
2
兩點，如次頁圖
2。
A
30
▲
圖
1
▲
圖
2
▲
圖
3
任取截痕
㆖㆒點
P，過 P 點作 P
1
P
2
// B
1
B
2
交㆓環切圓於
P
1
, P
2
兩點，如圖
3，則 P
1
P
2
B
2
B
1
為矩形，因
此
P
1
P
2
= B
1
B
2
。㊟意到
PF
1
, PP
1
同過
P 點與球面相切於 F
1
, P
1
兩點，故切線段
PF
1
= PP
1
，同理
PF
2
= PP
2
。由此可知，
P
恆㈲
PF
1
+ PF
2
= PP
1
+ PP
2
= P
1
P
2
= B
1
B
2
（為㆒定值），
故截痕
恰為以
F
1
, F
2
為㆓焦點之橢圓。
□
接著，來看看平面與圓柱的軸的夾角 、圓柱的半徑如何影響橢圓的形狀、大小：
【例
2】
承例
1，若平面 E 與圓柱面的軸的夾角為 ，圓柱面的圓半徑 r；則橢圓之長軸長、短軸長及㆓焦點距
離為多少？
解：
環切球半徑
B
1
F
1
= 圓柱半徑 = r，∠B
1
OF
1
= 平面 E 與圓柱的軸的夾角 = ；
承㆖述的證明，橢圓
之長軸長為
2a = B
1
B
2
= 2OB
1
= 2B
1
F
1
csc = 2rcsc ，
㆓焦點距離為
2c = F
1
F
2
= 2OF
1
= 2BF
1
cot = 2rcot ，
故短軸長為
2b = 2 a
2
c
2
= 2
rcsc
2
rcot
2
= 2r。
（大部分㆟，憑直觀就能判斷圓柱的直徑即為橢圓之短軸長。）
□
A
數㈻新㆝㆞
31
圓錐截痕之㆒：橢圓、雙曲線的雙焦定義
我們接著看看㆒平面與㆒直圓錐相截的情形：
【例
3】
已知：如圖
4，直圓錐的軸 AB 與其母線（請參考註解 [1]）的夾角為 ；平面 E 過 B 點，並與直圓錐的
軸
AB 的夾角為 ，0 <
< < 2 。
求證：平面
E 與錐面之截痕
為㆒橢圓。
證明：
令圓錐面內環切㆓球，球心為
B
1
, B
2
，半徑為
r
1
, r
2
，且㆓球面在平面
E 之兩側並與 E 相切於 F
1
, F
2
兩
點，如圖
5 (因 0 <
< < 2 ，故恰㈲兩個球面滿足要求 )。
任取截痕
㆖㆒點
P，作直線 AP 交㆓環切圓於 P
1
, P
2
兩點，如圖
6。
㊟意到㆓球面的外公切線段長為
P
1
P
2
= ( r
2
r
1
) cot 。
又
PF
1
, PP
1
同過
P 點與球面相切於 F
1
, P
1
兩點，故切線段
PF
1
= PP
1
，同理
PF
2
= PP
2
。由此可知，
P
恆㈲
PF
1
+PF
2
= PP
1
+PP
2
= P
1
P
2
= (r
2
r
1
) cot （為㆒定值），
故截痕
恰為以
F
1
, F
2
為㆓焦點之橢圓。
□
▲
圖
5
▲
圖
6
▲
圖
4
A
32
【例
4】
已知：如圖
7，直圓錐的軸 AB 與其母線的夾角為 ；平面 E 與直圓錐的軸 AB 的夾角為 ，0
< <
2 ( = 0
即平面
E // AB )。
求證：平面
E 與錐面之截痕
為㆒雙曲線。
證明：
令圓錐面內環切㆓球，球心為
B
1
, B
2
，半徑為
r
1
, r
2
，且㆓球面在平面
E 之同側並與平面 E 相切於 F
1
,
F
2
兩點，如圖
8。( 因 0
<
< 2 ，故圓錐的㆖、㆘兩部各㈲㆒個球面滿足要求 )。
任取截痕
㆖㆒點
P，作直線 AP 交㆓環切圓於 P
1
, P
2
兩點，如圖
9。㊟意到㆓球面的內公切線段長為
P
1
P
2
= ( r
1
+ r
2
) cot ，
又
PF
1
, PP
1
同過
P 點與球面相切於 F
1
, P
1
兩點，故切線段
PF
1
= PP
1
，同理
PF
2
= PP
2
。由此可知，
P
恆㈲｜
PF
1
PF
2
｜
=｜PP
1
PP
2
｜
= P
1
P
2
= ( r
1
+ r
2
) cot （為㆒定值），
故截痕
恰為以
F
1
, F
2
為㆓焦點之雙曲線。
□
此處橢圓、雙曲線的形狀、大小如何被決定，容後討論。大多數㆟第㆒次看過例
3 與例 4 的證明，
總會讚嘆：這兩個巧妙的球面頗似神來之筆。接㆘來要談的拋物線須要㈲準線才能完成證明；而令㆟
拍案叫絕的是：這兩個神奇的球面竟也㈲助於確定準線的位置。
▲
圖
8
▲
圖
9
▲
圖
7
A
數㈻新㆝㆞
33
圓錐截痕之㆓：錐線的焦、準定義
【例
5】
已知：如圖
10，直圓錐的軸 AB 與其母線的夾角為 ；平面 E 與直圓錐的軸 AB 的夾角為 ，0 < = <
2
。
求證：平面
E 與錐面之截痕
為㆒拋物線。
證明：
令球面
S 與平面 E 相切於點 F，並與圓錐面環切於㆒圓 C（因
= ，故圓錐內恰㈲㆒個球面滿足要求
）。
再令平面
E
1
包含圓
C，且與平面 E 相交於㆒直線 L，如圖 11，任取截痕
㆖㆒點
P，連 AP 交環切圓
C 於 P
1
，令
P 在 E
1
㆖的正射影為
P
0
，且
P 在 L ㆖的正射影為 P
2
，如圖
12。
㊟意到
PF , PP
1
同過
P 點與球面相切，由切線段相等知
PF = PP
1
△
PP
0
P
1
㆗，由
PP
0
⊥
E
1
知
PP
0
// AB，故∠P
1
PP
0
=∠P
1
AB = 。又∠PP
0
P
1
= 90°，故
PP
1
= PP
0
sec
△
PP
0
P
2
㆗，由
PP
2
// BF 知 ∠P
2
PP
0
=∠FBA = = 。又 ∠PP
0
P
2
= 90°，故
PP
2
= PP
0
sec = PP
0
sec
由
可知，
P
恆㈲
PF = PP
1
= PP
2
= d(P, L) 。
故截痕
恰為以
F 為焦點，且以直線 L 為準線之拋物線。
□
▲
圖
11
▲
圖
12
▲
圖
10
A
34
最早接觸到這個證明，是
1994 年㆖師大陳創義教授暑修班的幾何課。當時，陳老師沒㈲在黑板㆖
畫圖，也沒㈲模型教具，進修的老師們大都似懂非懂。我當時的想法是：這樣簡潔、㊝雅的證明，完
全不依賴方程式，應該早於笛卡兒（
René Descartes , 1596-1650）解析幾何的年㈹。想必是阿波羅尼斯
( Apollonius of Perga , 約 262BC-190BC )的作品，也難怪他會被尊稱為「幾何大師（The Great Ge-
ometer）」。
直到
2004 年初，為圓錐曲線備課而㆖網尋找㈾料時，才意外發現這個簡化證明的神奇球面是丹德
林（
Germinal Pierre Dandelin , 1794-1847）的傑作。為了紀念他的發現，現今大都將此球面稱之為「丹
德林球面（
Dandelin sphere）」。此外也發現了㆒些跟圓錐曲線相關的㈲趣數據：
1. 克卜勒（Johann Kepler , 1571-1630）於 1609 年提出：㈫星繞太陽的軌道為㆒個橢圓，且太陽在此橢
圓的㆒個焦點㆖。
2. 太陽系行星的軌道為離心率很小的橢圓，也就是說很「圓」的橢圓。例如：㈫星的離心率約為 1
11
，
而㆞球的離心率約為
1
60
；換算之後，㈫星軌道短軸對長軸的比值約為
0.99586，而㆞球軌道短軸對長
軸的比值約為
0.99986。果然超圓！
3. 哈雷慧星的離心率約為 0.9675，其軌道的形狀很接近拋物線。
圓錐截痕之㆔：錐線的焦準定義
拋物線㈲㆒組焦點、準線，而橢圓、雙曲線都㈲兩組焦點、準線。所以，圓錐曲線也可以用如㆘
的定義方式：
【定義
5】
給定㆒直線
L 與線外㆒點 F 及㆒正數 e；則在包含直線 L 與點 F 的平面㆖，滿足PF = e．d (P, L) 的所
㈲點
P 所成的圖形，稱作「錐線(Conics)」且
1.當 e = 1 時，圖形為㆒「拋物線」；
2.當 0 < e < 1 時，圖形為㆒「橢圓」；
3.當 e > 1 時，圖形為㆒「雙曲線」；
其㆗，定點
F 稱作錐線的「焦點(focus)」，定直線 L 稱作錐線的「準線(directrix)」，而常數 e 則稱作
錐線的「離心率
(eccentricity)」。
在此基礎之㆖，我們可以將拋物線、橢圓、雙曲線的證明整合如㆘：
A
數㈻新㆝㆞
35
▲
圖
14
▲
圖
15
▲
圖
13
【例
6】
已知：如圖
13-15，直圓錐的軸 AB 與其母線的夾角為 ；平面 E 與直圓錐的軸 AB 的夾角為 ( 0 <
<
2 , 0
< 2 )且平面 E 與錐面之截痕為 。
求證：當
= 時，截痕
為㆒拋物線；
當
< 時，截痕
為㆒橢圓；
當
> 時，截痕
為㆒雙曲線。
證明：
令球面
S 與平面 E 相切於點 F，並與圓錐面環切於㆒圓 C（在㆔種情況㆘，圓錐內均㉃少㈲㆒個球面
滿足要求）。
再令平面
E
1
包含圓
C，且與平面 E 相交於㆒直線 L，如圖 16-18。
▲
圖
17
▲
圖
18
▲
圖
16
A
36
任取截痕
㆖㆒點
P，做直線 AP 交環切圓 C 於 P
1
，令
P 在 E
1
㆖的正射影為
P
0
，且
P 在 L ㆖的正射影
為
P
2
，如圖
19-22。
因
PF , PP
1
同過
P 點與球面相切，由切線段相等知
PF = PP
1
△
PP
0
P
1
㆗，由
PP
0
⊥
E
1
知
PP
0
// AB，故∠P
1
PP
0
= ，又 ∠PP
0
P
1
= 90°，故
PP
1
= PP
0
sec
△
PP
0
P
2
㆗，由
PP
2
// BF 知∠P
2
PP
0
=∠FBA = 。又∠PP
0
P
2
= 90°，故
d (P, L) = PP
2
= PP
0
sec
▲
圖
19
▲
圖
20
▲
圖
21
▲
圖
22
A
數㈻新㆝㆞
37
由
可知，
P
恆㈲
PF = PP
1
= PP
0
sec = sec
sec
．
(PP
0
．
sec )= cos
cos d(P,L)
。
當
= 時，cos
cos = 1
，截痕
恰為以
F 為焦點，且以直線 L 為準線之拋物線。
當
< 時，cos
cos < 1
，截痕
恰為以
F 為焦點，且以直線 L 為準線之橢圓。
當
>
時，
cos
cos > 1
，截痕
恰為以
F 為焦點，且以直線 L 為準線之雙曲線。
□
圓錐截痕的變化
在定義
5 ㆗，焦點 F 與準線 L 的距離 d (F, L) 決定了錐線的大小；而離心率 e 則確定了錐線的形
狀。那麼，圓錐面㆖的「錐線」的大小、形狀被哪些因素影響？
承例
6，圓錐的軸 AB 與其母線的夾角為 ，截平面 E 與圓錐的軸 AB 的夾角為 。
1.
當
0 < = < 2 時， e = 1， 截痕 為㆒拋物線。
因為
e 的值恆為 1，故拋物線如同圓㆒樣，只㈲㆒種形狀。
當
0 <
< < 2 時， 0 < e =
cos
cos < 1
， 截痕
為㆒橢圓。
若
趨近 ，則
cos 趨近 cos ， e → 1 ，故截痕
為㆒很「扁」的橢圓。
若
趨近 2 ，則 cos 趨近 0，e → 0
＋
，故截痕
為㆒很「圓」的橢圓。
因此，對任何錐頂角 的圓錐，可藉由調整截平面
E 與軸 AB 的夾角 控制 e 的大小，進而獲得任
意形狀的橢圓。
當
0
<
< 2 時， 1 < e =
cos
cos
1
cos = sec
， 截痕
為㆒雙曲線。
若
趨近 ，則
cos 趨近 cos ，e → 1
+
，故截痕
為㆒開口「窄」的雙曲線。
若
= 0 ( E // AB )，則 cos = 1，e = sec 為離心率的最大值。此時，截痕
雙曲線的兩漸進線夾
角為
2 ，而開口也達到其最大的「寬度」。
因此，對任何錐頂角
的圓錐，可藉由調整
角來控制
e 的大小，進而獲得開口任意「窄」的雙曲
線，但開口的「最大寬度」㈲其限制。
2. 因為圓錐的頂點 A 到截平面 E 的距離 與 d (F, L) 成正比，所以，對任何錐頂角 的圓錐，可藉由調
整
的大小控制
d (F, L) 的大小，進而獲得任意大小的錐線。
以㆖
1. 2. 所描述的是：任意給定㆒個圓錐，它被空間㆗任㆒平面所截，所產生的截痕
為㆒非退
化錐線的所㈲可能。若沒㈲㊜當的教具模型或精確的圖形動畫輔助說明，對大部分㈻生而言，這真是
㆒段艱澀難懂的文字。然而，若你手㆖㈲㆒個圓錐，讓你的大腦只扮演空間㆗的任㆒平面去截圓錐。
我想，這㆒段純文字卻很容易轉化成圖像鮮明的數㈻概念。
A
38
結語
2004 年 10 ㈪我㈹表㈻校到台南㆓㆗開會，討論高級㆗㈻數㈻科教㈻設備標準。會㆗㈲老師提到：
「㆒支粉筆㆒個黑板的時㈹過去了，藉由㊜當的教具模型、電腦軟體及網際網路，㆒個具備現㈹教㈻
知能的老師可以演示更多的數㈻概念，而且更清楚、更明確；更重要的是可以將更多㆟『帶』起來。」
也㈲㆟建議：將前面提到含丹德林球面的圓錐截痕模型列為設備標準。希望不久的將來，我們都能在
課堂㆖看到這些模型。
本文所附的圖形都是先用
GSP 3.0 繪製成 3D 動畫圖形，轉存成 WMF 檔；再由 MS Word 載入編
修而成。若各位老師沒㈲
GSP，我也把轉存之後的 Word 檔案寄放在龍騰文化的教㈻網站，供大家㆘
載。繪製這些圖花了我很多的時間、心血，辦公室偶㈲幾個逗趣的同事會消遣我。但我心㆗總會對伽
利略
( Galileo Galilei , 1564-1642 ) 的㆒段話㈲㈵別深刻的感受，就用這句話來當做這篇文章的結語吧。
「
Truly I begin to understand that although logic is an excellent instrument to govern our reasoning, it does not
compare with the sharpness of geometry in awaking the mind to discovery.」
「邏輯固然是㆒個培養理性的㊝異工具；但相較之㆘，幾何的銳利更能喚醒㆟們的心智去發現。」
■
註解
[1] 空間㆗㆒直線 L 與直線 AB 相交於 A 點，夾角為 ( 0 <
< 2 )；將直線 L 繞直線 AB 旋轉㆒周所得的曲面即為
「圓錐
(cone)」，點 A 稱作圓錐的「頂點( vertex )」，直線 AB 稱作圓錐的「軸( Axis )」，構成圓錐面的任㆒直
線（必過
A 點）稱作圓錐的「母線( element )」
[2] 阿波羅尼斯（Apollonius of Perga , 約 262BC-190BC）為古希臘數㈻的㈹表性㆟物，著㈲《圓錐曲線 (Conics)》共
㈧冊，內含
487 個命題；現今第㈧冊已失傳。後㆟尊稱為「幾何大師 (The Great Geometer)」。
參考書籍
[1] Eric W Weisstein：《CRC Concise Encyclopedia of Mathematics.》Illinois : Chapman & Hall / CRC, 1999。
[2] Coxeter, H.S.M. & Greitzer, S.L.著；陳維桓譯：《幾何㈻的新探索》，Geometry Revisited , 凡異, 1995。
參考網址：
[1] Eric W. Weisstein. "Mathworld" http://mathworld.wolfram.com/topics/ConicSections.html
[2] 龍騰教㈻網站 http://www.lungteng.com.tw
[3] J J O'Connor and E F Robertson " MacTutor History of Mathematics"
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Dandelin.html
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Apollonius.html
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Parabola.html
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Ellipse.html
A
數㈻新㆝㆞
39
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Hyperbola.html
[4] Hop David "Dandelin Spheres"
http://clowder.net/hop/Dandelin/Dandelin.html
[5] Xah Lee "Conic Sections"
http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/ConicSections_dir/conicSections.html
[6] Wilson Stother "Wilson's Conics pages"
http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/conics01.html
[7] 台大數㈻系翁秉仁教授，“數㈻知識”http://episte.math.ntu.edu.tw/
[8] 師大數㈻系陳創義教授，GSP 繪圖講義 http://www.math.ntnu.edu.tw/~cyc/_private/m12.htm
[9] 清大數㈻系全任重教授，電腦幾何作圖 http://www.math.ntnu.edu.tw/~jcchuan/demo/test.html
編者按：本文的圖片皆以
GSP 軟體繪得，因受限於篇幅無法以更大的尺寸展現圖片的精細度，但願這個缺憾能藉
此圖稍加彌補。事實㆖，原始的
GSP 檔案不但圖形層次清晰，更能以動態呈現出平面旋轉時所截出的曲
線軌跡，㈲興趣的讀者不妨㆖龍騰文化網站欣賞更高階的圓錐截痕之美。
A
40
在探討這篇文章之前，我們先定義各種常用
符號，方便討論。以
R 表示 ABC 外接圓半徑，
r 表示 ABC 內切圓半徑，a = BC, b = AC, c = AB,
s = a + b + c
2
， ㈹表
ABC 的面積。在探討㆔角
形內切圓半徑與外接圓半徑的比值之前，首先證
明兩個與後面不等式㈲關的公式。公式㆒的證明
用到和差化積、半角定律、海龍公式等，不等式
㆒的證明主要為餘弦定理及公式㆓。不等式㆓為
著㈴的尤拉不等式，其證明的方法很多，於此運
用變量㈹換法、算幾不等式證明。不等式㆔係為
證明㆔角函數不等式時所發現的，覺得甚為㈲
趣，提供各位參考。不等式㆕乃課餘㆖網所見，
僅㈲不等式未見證明，其證明也是在運算㆔角函
數不等式時的靈感，過程用到公式㆓及正弦定
理。此不等式比尤拉不等式更強，令㆟景仰。
【公式㆒】
r
R = cosA + cosB + cosC 1
證明：
cosA + cosB + cosC
= 1 2sin
2
A
2 + 2cos
B + C
2
cos B C
2
= 1 2sin
2
A
2 + 2sin
A
2 cos
B C
2
= 2sin A
2
(
cosB C
2
sin A
2 + 1
= 2sin A
2
(
cos B C
2
cos B + C
2
+ 1
= 4sin A
2 sin
B
2 sin
C
2 + 1
= 4
s b s c
bc
s c s a
ca
s a s b
ab
+ 1
= 4 s a s b s c
abc
+ 1
=
s a s b s c
abc
4
+ 1
=
2
s
R
+ 1
= r
R + 1
，
故
r
R = cosA + cosB + cosC 1
，得證。
□
【公式㆓】
r
R = 4sin
A
2 sin
B
2 sin
C
2
證明：
在公式㆒的證明過程㆗可以發現：
4sin A
2 sin
B
2 sin
C
2 + 1 =
r
R + 1
，
因此，
r
R = 4sin
A
2 sin
B
2 sin
C
2 .
【不等式㆒】
銳角㆔角形
ABC ㆗，
r
R
2abc
2 a
2
+b
2
b
2
+c
2
c
2
+a
2
。
證明：
因為
a
2
(b
2
+ c
2
)(1 cosA)
= b
2
+ c
2
2bc cosA (b
2
+ c
2
) + (b
2
+ c
2
) cosA
= (b c)
2
cosA
0 ,
所以
a
2
(b
2
+ c
2
)(1 cosA) = 2(b
2
+ c
2
) sin
2
A
2 ,
同理
b
2
2(a
2
+ c
2
) sin
2
B
2
，
◎劉紹正／內湖高㆗
㆔角形內切圓半徑與外接圓半徑比值之探討
A
數㈻新㆝㆞
41
(
(
(
c
2
2(a
2
+ b
2
) sin
2
C
2 ,
所以
a
2
b
2
c
2
8 (a
2
+ b
2
)(b
2
+ c
2
)(c
2
+ a
2
)sin
2
A
2 sin
2
B
2 sin
2
C
2
a
2
b
2
c
2
2 a
2
+b
2
b
2
+c
2
c
2
+a
2
4sin
2
A
2 sin
2
B
2 sin
2
C
2
= r
2
4R
2
（公式㆓）
abc
2 a
2
+ b
2
b
2
+ c
2
c
2
+ a
2
r
2R
，得證。
□
【不等式㆓】
r
R
1
2
（尤拉不等式）
證明：
令
x = s a , y = s b , z = s c
a = y + z , b = z + x , c = x + y，
∴
s = 1
2 (a + b + c) = x + y + z
，㈹入海龍公式，得
=
s s a s b s c
=
xyz x + y + z ，
因此
r = s =
xyz x + y + z
x + y + z
=
xyz
x + y + z
，
於是
R = abc
4
= x + y y + z z + x
4 xyz x + y + z
，
又由算幾不等式，得
x + y
2 xy
y + z
2 yz
z + x
2 zx
(x + y)(y + z)(z + x)
8xyz，
所以
R
8xyz
4 xyz x + y + z
= 2
xyz
x + y + z = 2r
，
故
r
R
1
2
，得證。
【不等式㆔】
r
R
a + b+ c
3
4 a
3
+ b
3
+ c
3
30abc
證明：
因為
(a + b + c)
3
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3(a
2
b + a
2
c + b
2
a + b
2
c
+ c
2
a + c
2
b) + 6abc，
又
R(cosA + cosB + cosC)
= R(1 + r
R ) = R + r
（公式㆒）
所以
R + r
= R
(
b
2
+ c
2
a
2
2bc
+ a
2
+ c
2
b
2
2ac
+ a
2
+ b
2
c
2
2ab
= R
(
a
2
b + a
2
c + b
2
a + b
2
c + c
2
a + c
2
b a
3
b
3
c
3
2abc
= R
(
1
3 a + b + c
3
a
3
+ b
3
+ c
3
6abc
a
3
+ b
3
+ c
3
2abc
= R
(
a + b + c
3
4 a
3
+ b
3
+ c
3
6abc
1 ,
於是
R
(
a + b + c
3
4 a
3
+ b
3
+ c
3
6abc
= 2R + r
5r
（不等式㆓）
故
r
R
a + b + c
3
4 a
3
+ b
3
+ c
3
30abc
，得證。
□
【不等式㆕】
r
R
1
2 cos
2
(
B C
2
1
證明：
1. r
R
1
2 cos
2
(
B C
2
4sin A
2 sin
B
2 sin
C
2
1
2 cos
2
(
B C
2
（公式㆓）
8sin A
2 sin
B
2 sin
C
2
cos
2
B C
2
1
8．
sin A
2
cos B C
2
．
sin B
2 sin
C
2
cos B C
2
1.
1.
Crux Mathematicorum 2382.Proposed by Mohammed Aassila,Universite' Louis Pasteur, Strasbourg, France。
A
42
(
(
(
2. 由正弦定理，
a
sinA =
b
sinB =
c
sinC
a
sinA =
b + c
sinB + sinC
a
2sin A
2 cos
A
2
=
b + c
2sinB+C
2 cos
B C
2
=
b + c
2cos A
2 cos
B C
2
a
sin A
2
=
b + c
cosB C
2
a
b + c =
sin A
2
cosB C
2
。
因此
sin B
2 sin
C
2
cosB C
2
=
1
2 cos
B C
2
cosB + C
2
cosB C
2
= 1
2
．
1
cosB + C
2
cosB C
2
= 1
2
．
1
sin A
2
cosB C
2
= 1
2
．
(
1
a
b + c
。
3. 令 k = a
b + c
0 < k < 1，則
8．
sin A
2
cos B C
2
．
sin B
2 sin
C
2
cos B C
2
= 8． a
b + c
．
1
2
．
(
1
a
b + c
= 4k (1 k)
=
4
(
k
1
2
2
+ 1
1。
故由
1. 推得 r
R
1
2 cos
2
(
B C
2
，得證。
□
R 與 r 的問題經常出現在各種數㈻競賽㆗，
IMO 亦曾見過。㉃於㆕邊形的內切圓半徑與外接
圓半徑之比值不大於
1
2
，也曾出現在國際數㈻
競賽㆗，㈲興趣的師生們不妨動手證明。
■
徵稿啟事
梭羅（
Henry David Thoreau）說過：
「㆒旦我相信這是種子，我就等著看奇蹟來臨。（
Con-
vince me that you have a seed there. And I am prepared to
expect wonders.
）」
《數㈻新㆝㆞》誠摯㆞邀請您，與我們㆒起播㆘數㈻教
育的種子，讓這片園㆞更加蒼翠、芬芳。
徵稿㊠目：
【妙錦囊】：教材教法的經驗傳承或心得分享。
【耕讀園】：㊝良圖書的簡介、導讀或評論。
【夫子
e 教㈻】：㈾訊科技融入教㈻的嘗試與反省。
【迴響】：本刊各文章所引起的觸發或聯想。
投稿文章請儘量能與教㈻現場相結合，並請避免進階
的專題研究報告。
來稿提醒：
1. 引用圖文請註明來源出處，以避免著作權糾紛。
2. 本刊會在不損及作者原意㆘，對稿件進行潤飾；若
作者堅持保留原貌，請在稿件㆖註明。
3. 徵稿字數：來稿請用 A4 格式。因數㈻文章內容涉
及圖片編排，故若為
word 格式的電子檔，請勿超
過
6 頁；若為手㊢稿，請勿超過 10 頁。
4. 請註明真實姓㈴、㆞址、電話、服務機關與職稱
（㈻生請註明就讀班級）。
5. 本刊恕不退稿，請作者預留底稿。
6. 來稿方式：
郵寄：
[248] 臺北縣㈤股鄉㈤權㈦路 1 號《數㈻新
㆝㆞》收。
e-mail：[email protected]
Fax：02-2299-0197《數㈻新㆝㆞》收。
7. 聯絡電話：02-2299-9063 分機 371 蔡孟秀。
A
數㈻新㆝㆞
43
教㈻私房菜
老師們在教㈻過程㆗，時常會產生「這樣
做，是否會侵犯到著作權」或是「到底要怎麼
做，才能符合著作權要求」的疑問？大致㆖來
說，教師最常遇到的兩類問題：㆒為因應教㈻需
要而複製、播放著作，是否可行？另外㆒類則是
在㉂編㆖課教材時，該如何引用他㆟的㈾料，才
不㉃於影響到著作㆟之權益？本期我們將針對前
㊠問題，提供您依循的方向！
根據著作權法第
46 條第 1 ㊠、第 47 條第 3
㊠、第
52、55 條的規定㆗可以得知，老師們若
是因教㈻需要而需複製、播映或引用他㆟之著作
物時，在合理的範圍內，是可以使用已公開發表
之作品。㆖述法條裡所提及的「合理範圍」，根
據著作權法第
65 條第 2 ㊠之規定，老師們必須
㊟意以㆘幾點：
(㆒) 複製、播映或引用的內容，須與老師的教㈻
直接相關：舉例來說，㆒位國文老師如果在
課堂㆖為了解說新詩之㊝美，而將余光㆗的
㆒首短詩，以影㊞的方式，發送給㈻生，這
便符合了非營利教育的目的，但如果該位國
文 老 師 在 課 堂 ㆖ 放 映 周 星 馳 的 電 影「功
夫」，則就無法㉂圓其說了！
(㆓) 所利用之質量及其在整個著作所占之比例必
須合理：這也就是著作權法第
52 條「合理引
用」的部分了，老師們在引用他㆟著作內容
時，當然不可以毫無顧忌的複製，對方的著
作物若只㈲
100 頁的內容，但您前後卻複製
了
20 幾頁，幾乎占去了對方著作的 1/4 量
時，在比例㆖使用過高，可能遠遠超過「合理」
之規範，即使您的最終目的是為了教育㆘㆒
㈹，還是不免㈲侵權之虞。當然了！這裡所
說的
1/4 量，只是㆒個比方，並非㆒㊠絕對
的量化標準，複製、播映或引用的份量是否
超過「合理範圍」，還是要依個案來決定！
㆒般而言，偏重事實的作品（例如：新聞、
歷史、㈶經科技），容許使用的幅度會比虛
構性的作品（例如：小說、散文、戲劇、表
演、電影）為大，也就是使用事實性的作品
會㈲比較大的空間，比較容易成立合理使
用，反之，使用虛構性的作品則必須更為㊟
意！
(㆔) 利用結果不能對著作潛在市場與現在價值㈲
所影響：即使您使用的份量不多，但卻將該
書內容之精華「全多錄」，讀者可能會因為
已經擁㈲了您所複製之㈾料，而無須購買對
方之著作物，也就是發生「取㈹作用」，導
致對方現㈲的銷售或潛在的市場受到影響
時，就很可能已侵犯到該位作者的權益了！
其實使用他㆟著作㆒個很簡便的要領就是
「設身處㆞，將心比心」，如果我們不希望別㆟
使用我們㉂己的著作超過某個程度，那麼我們使
用別㆟同性質的著作也應如此，應該就是「雖不
㆗亦不遠矣」，以㆖說明希望能夠給予老師們在
複製、播放著作時，㆒些概括性的指引！
註：著作權法請參考經濟部智慧㈶產局網站：
http://www.tipo.gov.tw/default.asp
著作權法礙到您了嗎？
方
恕／龍騰文化著作權專責編輯
PART I：因應教㈻需要時的複製與播放著作，要如何做才能符合著作權法呢？
A
A
A
A
A
48
x
(1, 0)
( 1, 0)
11-1.
證明：每個格子點㉃點
(
2, 1
3
的距離都不㆒
樣。
設
n 是㆒個正整數。證明：可以在坐標平面㆖
找到㆒個圓，使其內部（不含圓周）剛好㈲
n
個格子點。
11-2.
數列〈
a
n
〉滿足
a
1
= 1 及
a
n + 1
=
3
5
2a
n
+ 2
（
n
1）.
求
a
2004
的值。
11-3.
求所㈲讓
n
3
n 987
為質數的正整數
n。
11-4.
如㆘圖所示
P 點與 (1, 0), ( 1, 0) 的夾角為 , 。
若
+ = 90°，則 P 點的軌跡為何種曲線？
11-5.
在以原點
O = (0, 0, 0) 為球心，半徑為
1 的單位球㆖取㆒點 A = (a
1
, a
2
, a
3
)。點 A 所對應
的另㆒個點
B = (a
3
, a
1
, a
2
) 也在這單位球㆖。求
∠
AOB 的最大值與最小值。
（徵答截稿時間：
94 年 4 ㈪ 10 ㈰）
問題集
y
P
徵答啟事
由於問題集受到全國師生的熱烈迴響，我們㈵別將稿件的刊登標準及酬謝方式說明如㆘：
㆒、 刊登標準：
1. 基本原則：真、善、美。
真：問題必須真的被解決。
善：所採取的方法或觀點最好具㈲㆒針見血的洞察力。
美：數㈻作為㆒種語言，必須達到溝通的目的。事實㆖，放在心裏面是㆒件事，表達出來是另㆒件
事，而藝術家和㆒般㆟的差別就在於表達能力。
2. 參酌㊠目：
進稿順序：先進稿者㊝於後進稿者。
歷史記錄：未發表過者㊝於已發表過者。
其他：例如，受限於本雜誌整體的篇幅限制，可能無法㆒㆒刊載。
㆓、 酬謝方式：來稿㆒經刊登，即可獲得精美禮品㆒份（基本㆖，以市面㆖最新出版的數㈻類圖書為主）。