二次方根的意義與化簡
輔導單位： | 苗栗縣國中數學領域輔導團 |
作 者： | 苗栗縣大倫國中 葉庭燕教師 |
作品來源： | 深耕種子教師與輔導團員研發之作品 |
壹、設計想法
二次方根的學習對國中學生來說是一個全新的經驗，除了新的數學符號的認識之外，二次方根的操作方式與有理數大不相同。學生在七年級已經學過有理數，對有理數的概念和運算等有了較深刻的認識，而本單元是在有理數的基礎上學習實數的初步知識。所以我希望學生能比較具體的感受到二次方根如
、
、
等的意義，並能學習用十分逼近法求二次方根的的近似值，且能理解二次方根最簡根式的意義進而學會將二次方根化為最簡根式。
在教學上希望學生能從正方形的面積求邊長的學習經驗中，引入平方根的意義並介紹平方根的表示法，再設計將兩個面積為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形，求出這個大正方形的邊長，由於這個大正方形的面積為2，根據平方根的概念和表示方法，可以求出這個大正方形的邊長是
，這樣就引進了用根號形式表示的無理數（不出現無理數的概念）。對於負平方根的處理則以數值實例的觀察，讓學生知道每一個正數都有兩個平方根，而且這兩個平方根的絕對值相等而符號相反，且練習在數線上找出一個正數的兩個平方根以強化負平方根的概念。------（教學活動(一)）
由於二次方根如
、
、
等的數值與學生的生活經驗中常用到的有理數形式的數值不同，故設計教學活動(二)讓學生從圖形中察覺
、
、
等數的大小，緊接著讓學生學習估計正整數、正分數的正平方根，再引入電算器的使用方法，並進而學習十分逼進法求
、
、
等數的近似值。
二次方根的化簡是也是本單元必學的內容，如何讓學生在摺紙的過程中察覺到為何
＝
、
＝
……，再說明二次方根的化簡方法，這是教學活動(三)的設計重點，因為西洋棋的棋盤紙黑白分明，可讓學生耳目一新。
平方根的學習的目的是要為勾股定理作鋪路，同時作為代數中解一元二次方程式的根（配方法）的前置經驗，並為高中數學銜接的重要觀念之一，其重要性不容忽視。
貳、設計內涵
一、學生能力分析
1.學生已學過正方形的面積＝邊長×邊長，且具備從正方形的面積反推邊長的學習經驗。
2.學生已能用x、y、…的式子表徵生活情境中的未知量及變量；也能將正方形的面積＝邊長×邊長的關係式表示成b＝a2的形式。
3.學生已學過數線的概念，並能在數線上正確描出互為相反數的兩個點。
4.了解近似值的意義且會用四捨五入法求一個數的近似值。
5.學生能聽從老師的說明做出精準的摺紙動作，並能檢查所摺的圖形是否合於要求。
二、教學目標
1.從正方形的面積求邊長的學習經驗中，引入平方根的意義並介紹平方根的表示法，使學生了解數的平方根的概念，並能運用根號表示一個數的平方根。
2.在數線上找出一個正數的兩個平方根以強化負平方根的概念。
3.會用平方運算求某些非負整數及正分數的平方根。
4.教學生使用計算器按出
、
、
等的近似值。
5.用十分逼近法求出
、
……等數的近似值至小數點後第一位。
6.使學生了解二次方根最簡根式的意義，並學習二次方根的化簡。
三、能力指標(92正綱)
92年修訂綱要能力指標 |
8-n-01 能理解二次方根的意義。 8-n-02 能求二次方根的的近似值。 8-n-03 能理解二次方根最簡根式的意義，並做化簡。 |
C-R-01 能察覺生活中與數學相關的情境。 C-T-02 能把情境中數、量、形之關係以數學語言表出。 C-S-02 能選擇使用合適的數學表徵。 C-C-01 能了解數學語言(符號、用語、圖表、非形式化演繹等)的內涵。 C-C-02 能了解數學語言與一般語言的異同。 |
四、設計架構
参、教學設計
一、活動目標
1.設計摺紙活動讓學生從正方形的面積反求正方形的邊長，以此方式引入平方根的意義並介紹何謂二次方根。
2.介紹平方根的符號，並讓學生上台寫出
、
……等數
3.複習相反數的概念，並讓學生上台在數線上找出一個正數的兩個平方根以強化負平方根的概念。
4.讓學生以分組競賽的方式，用平方運算求出某些非負整數及正分數的平方根，以達到演算熟練的目的。
5.設計摺紙活動讓學生從圖形中推估
、
……等數的大小，再教學生使用計算器按出
、
、
等數的近似值。
6.十分逼近法求出
、
……等數的近似值至小數點後第一位。
7.使學生了解二次方根最簡根式的意義，並學習二次方根的化簡。
二、教學年級
八年級(國二)。
三、教學節數
六節。
四、實施方式
本教學示例一共有三個活動，活動(一)以分組合作的方式進行拼貼，活動(二)以傳統講述方式上課，每個學生需完成一份學習單作業，活動(三)則以分組討論的方式進行
五、活動流程
活動(一)：平方根的意義
（一）預備經驗：學生具備國小所學過的正方形的面積與邊長的關係。
（二）學習重點：
1．若b的平方是a，即若b2＝a，則稱b是a的平方根。
2．
稱為a的正平方根，－
稱為a的負平方根。
3．每一個正數有二個平方根，0的平方根是0，負數沒有平方根。
（三）活動進行開始：
第1、2節
教師活動 | 學生活動 | 學生學習過程、評量與教學提示 |
1．引起動機： 教師將西洋棋的棋盤紙影印每人三張。 (1)詢問同學是否玩過西洋棋，這三張紙除了下棋之外是否還有其他用途？ (2)請學生將西洋棋的棋盤紙上的正方形剪下一格貼在白紙上，並在旁邊註明其邊長和面積的關係。 2．課程內容 (1)從以上圖形中複習「正方形的面積＝邊長×邊長」，並讓學生從正方形的面積反推邊長。 (2)教師引導學生寫出 (3)請討論就 b是正數還是負數或者皆有可能？ (4)教師說明二次方根的定義： 若b的平方是a，即若b2＝a，則稱b是a的平方根。 (5)介紹二次方根的符號
－ (6)每一個正數有二個平方根，0的平方根是0，負數沒有平方根。 (7)教師提問
| 學生討論。 學生回答問題。 學生依據教師提示完成圖形。 各組實作。 各組學生討論學習單（一）中1~5的問題，並作答。 各組競賽完成學習單（一）中6的表格答案，並上台發表答案。 學生討論實作。 學生上台發表。
指定學生上台練習把二次方根的符號 學生討論並上台發表看法。 | 每位學生準備用具如下： 剪刀，B4白紙每人一張，膠水，原子筆。 教師發下學習單（一） 每位學生一份。 在這個活動中，先告知學生西洋棋盤的圖形構造，並說明上課當中該注意的討論重點及剪紙拼貼要注意保持圖形的完整性。 假定每一方格的邊長均1單位長。 教師要注意學生是否能從數線上的圖形操作中，看出a和b的關係 透過在數線上找出一個正數的兩個平方根的練習，以強化負平方根的概念。 要確認學生是否了解平方根的意義。 教師隨堂指導學生是否正確寫出一個數的平方根。 |
第一、二節課結束，每組學生將學習單交回一份 學生回家做學習單(二)的題目練習 | ||
＝
＝
＝
＝
的表示法：
稱為
＝－
＝
＝－
＝？
＝？
寫一次。（四）評量方式：
1．各組分數以第一、二節課上台發表次數及正確性為加分依據，並採計學習單（一）的作答正確性及美觀程度加分。
2．個人分數則以學習單（二）的作答正確性及美觀程度加分。
（五）附件：
學習單（一）
問題： | 學生作答(圖) | 學生作答(數學式及說明) | |||||||
1．將西洋棋的棋盤紙上的正方形剪下一格，貼在白紙上，並在旁邊註明其邊長和面積的關係。 |
| 【1】12＝ | |||||||
2．方法同上，但將正方形的邊長改為2格。 |
| 【2】22＝ | |||||||
3．方法同上，但將正方形的邊改為3格。 |
| 【3】32＝ | |||||||
4．方法同上，但將正方形的邊長改為4格。 |
| 【4】42＝ | |||||||
5．方法同上，但將正方形的邊長改為5格…。 |
| 【5】52＝ | |||||||
6．在右方表格的空格中填入適當的數字。 | 12＝ | 22＝ | 32＝ | 42＝ | 52＝ | ||||
62＝ | 72＝ | 82＝ | 92＝ | 102＝ | |||||
112＝ | 122＝ | 132＝ | 142＝ | 152＝ | |||||
162＝ | 172＝ | 182＝ | 192＝ | 202＝ | |||||
212＝ | 222＝ | 232＝ | 242＝ | 252＝ | |||||
02＝ | 1.52＝ | 2.42＝ |
|
| |||||
|
|
|
| ||||||
|
|
|
| ||||||
7．【1】在數線上畫出使
【2】在數線上畫出使 【3】在數線上畫出使
【4】在數線上畫出使
| |||||||||
7．請討論就 其中a是正數還是負數或者皆有可能？ b是正數還是負數或者皆有可能？ | 答： | ||||||||
8．二次方根的定義：若b的平方是a，即若b2＝a，則稱b是a的平方根。 | 【1】84有没有平方根＝ 【2】0有没有平方根＝ 【3】－324有没有平方根＝ | ||||||||
9．從1~7的討論與演算中可知每一個正數都有2 個平方根。 即若a＞0，則稱 10．∵02＝0 ∴0的平方根是0 11．∵在數線上找不到任何一個數的平方之值為負數 ∴負數没有平方根 12．結論： 【1】每一個正數都有二個平方根。 【2】0的平方根是0。 【3】負數沒有平方根。 | 【1】9的正平方根＝。 【2】9的負平方根＝。 【3】 【4】－ 【5】6.25的正平方根＝。 【6】6.25的負平方根＝。 【7】 【8】－ 【9】 【10】 【11】 【12】若x的正平方根＝⅔，則 x＝。 【13】若2a＋3的正平方根＝1， 則a＝。 | ||||||||
＝
＝
的所有可能的
＝
＝－
＝
為
為
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝學習單（二）
問題： | 學生作答(數學式及說明) |
【1】625的平方根＝ | |
【2】⅞的平方根＝ | |
【3】0.0144的平方根＝ | |
【4】設x＝32×72，則x的平方根為 | |
【5】設y＝24×32×72，則y的平方根為 | |
【6】設-5是9＋4x的一平方根，則x＝ | |
【7】小於300的正整數中，有哪些數的平方根是整數？ |
活動(二)：平方根的近似值
（一）預備經驗：學生已充份了解二次方根的意義，並認識符號『√』所代表的
含意。
（二）學習重點：
1．能從已知面積為a的正方形推算其邊長為
。
2．能使用計算器按出
、
、
等的近似值。
3．學習用十分逼近法求二次方根的的近似值。
（三）活動進行開始：
第3、4節
教師活動 | 學生活動 | 學生學習過程、評量與教學提示 |
1．課程內容： (1)複習平方根的概念。 (2)複習近似值的意義及以四捨五入法求一數的近似值。 (3)如右圖，若一個小正方形的邊長為1單位，請說出甲、乙二個正方形的面積與邊長各是多少？ (4)請找出一個邊長為 (5)教師請學生使用電算器按出 (6)教師請學生使用電算器按出 (7)老師請四位學生上台將a1、a2、a3、a4四個數在同一條數線上的位置標示出來。並請學生觀察數線上四數的位置與電算器上 (8)教師說明何謂十分逼近法。 (9)教師教學生用十分逼近法的方式找出 (10)教師引導學生將上題中的計算過程過程畫在數線上。 2．教師結論： 教師說明二次方根的近似值與十分逼近法的意義及使用時機。 |
學生討論實作。 學生實作、回答。 學生實作、回答。 學生實作。 教師指定學生上台畫圖。 學生實作。 學生實作。 教師指定學生上台畫圖。 | 每位學生準備用具如下： 電算器，彩色紙每人5張，剪刀，膠水，原子筆。 教師發下學習單（三）、學習單(四)每位學生一份。 要確認學生是否了解平方根的意義。 教師請學生上台寫出甲、乙二個正方形的面積與邊長。 指定學生回答。 指定學生回答。 教師指定學生上台畫圖。 教師以學生上台畫所圖的畫引入逼近法的概念。 學生依照學習單(四)的題目作答。 可視學生程度二人一組合作完成，最先完成且正確者給予獎勵。 |
第四節課結束，每位學生將學習單(四)交回 | ||
單位長的正方形，並將 其結果貼在學習單上。
、
、
等數，並說出其近似值。
的近似值分別到小數第一位（
之值何者最接近？
、
的近似值。
（四）評量方式：
1.個人分數以學習單(四)的作答正確性及美觀程度加分。
（五）附件：
學習單(三)
問題： | 學生作答(圖) | 學生作答(數學式及說明) |
1．請找出一個邊長為 |
| |
2．找出一個邊長為 的正方形，並將其結果貼在學習單上。 |
| |
3．找出一個邊長為 的正方形，並將其結果貼在學習單上。 |
| |
4．試說明你的答案並 上台發表。 |
的正方形，並將其結果貼在學習單上。
學習單(四)
問題： | 學生作答(圖) | 學生作答(數學式及說明) |
1．請使用電算器按出 |
(取到小數第3位) | |
2．請使用電算器按出 |
(取到小數第3位) | |
3．請使用電算器按出 |
(取到小數第3位) | |
4．以上各數的近似值應取到小數點以下第幾位較恰當？ | ||
5．二次方根的近似值的使用時機？ | ||
6．如何使用二次方根的近似值做估算？ | ||
7．如右圖的正方形的邊長約為小正方形（1格）邊長的幾倍？ |
| 答： 你如何從摺紙的過程得知？ |
8．計算下列各式： 【1】12＝；（ | 【1】結論： 1＜ | |
【2】1.12＝；1.22＝；1.32＝；1.42＝； 1.52＝；….. | 【2】結論： 1.4＜ | |
【3】1.412＝；1.422＝；1.432＝；….. | 【3】結論： ＜ | |
9．將上題中的計算過程過程畫在數線上。 | ||
的近似值。
≒
的近似值。
≒
的近似值。
≒
倍
）
＜
＜
＜活動(三)：平方根的化簡
（一）預備經驗：學生已充份了解二次方根的意義，並從按計算器中發覺如：
與
之近似值非常接近。
（二）學習重點：
1.能理解二次方根最簡根式的意義。
2.學會做二次方根的化簡，如：
＝
；
＝
。
（三）活動進行開始：
第5、6節
教師活動 | 學生活動 | 學生學習過程、評量與教學提示 |
1．引起動機： (1)教師將西洋棋的棋盤紙影印每人三張。 學生將西洋棋的棋盤紙上的正方形剪下4格，貼在白紙上，並在旁邊註明其邊長和面積的關係。 (2)教師請學生找出二個邊長為1單位的正方形，用裁切後重新拼貼的方式，拼出一個新的正方形，將其結果貼在學習單上，並說明新的正方形之邊長為何？ 2．課程內容： (1)將4格的正方形剪下，找到其對角線的交點O點，將正方形四個頂點摺到O點上，得到一個新的正方形，並在圖形旁邊註明其邊長和面積的關係。 (2)教師請學生回答找出一個邊長為 (3)教師請學生以西洋棋的棋盤紙影印出來的方格紙（一格代表1平方單位），貼出二個面積分別為2平方單位（甲）、8平方單位（乙）的正方形。請學生寫出甲、乙兩個正方形的邊長為何？ (4)承上題，貼出二個面積分別為3平方單位（丙）、12平方單位（丁）的正方形。 (5)承(3)，請學生比較甲、乙兩個正方形的邊長有何關係？ (6)承(4)，請學生比較丙、丁兩個正方形的邊長有何關係？ (7)教師請學生做出一個面積為18平方單位的正方形（戊），寫出此正方形的邊長為何？並找出戊和甲乙丙丁四個正方形中哪些圖形的邊長有整數倍的關係？ 3．教師結論： 教師說明二次方根最簡根式的意義，及二次方根的化簡方法，如：
| 學生依據教師提示完成圖形。 各組實作。 學生實作、討論。 學生上台發表。 學生依據教師提示完成圖形。 各組實作。 學生實作、討論。 學生上台發表。 學生實作、討論。 學生上台發表。 學生實作。 學生討論、學生上台發表看法。 學生討論、學生上台發表看法。 學生分組討論其答案並上台發表看法。 | 剪刀，B4白紙每人一張，膠水，原子筆。 西洋棋的棋盤紙影印每人三張。彩色紙每人6張，顏色不要相同。 學生依據教師提示完成圖形，若要讓圖形色彩變化可以彩色紙替代西洋棋的棋盤紙影印紙，可讓學生自由選擇。 各組實作 教師隨時注意學生的實作情形。 鼓勵學生上台發表。 教師隨時注意學生的實作情形。 鼓勵學生上台發表。 教師隨時注意學生的實作情形。 鼓勵學生上台發表。 下課前10分鐘，若時間足夠則可出20個題目讓每組派2~3位同學上台練習二次方根的化簡。 |
第六節課結束，每組學生將學習單交回一份 學生回家做學習單（六）的題目練習 | ||
單位的正方形的方法有哪些，並將其結果貼在學習單上。
＝
＝
（四）評量方式：
1．各組分數以第六節課上台發表次數及正確性為加分依據，並採計學習單（六）的作答正確性及美觀程度加分。
2．個人分數則以學習單（七）的作答正確性、美觀程度及上台表現來加分。
（五）附件：
學習單（五）
問題： | 學生作答(圖) | 學生作答(數學式及說明) |
1．將西洋棋的棋盤紙上的正方形剪下4格，貼在白紙上，並在旁邊註明其邊長和面積的關係。 |
| |
2．將4格的正方形剪下，找到其對角線的交（O點），將正方形四個頂 摺到O點上，得到一個新的正方形，並在旁邊註明其邊長和面積的關係。 |
| |
3．將16格的正方形剪下，其餘步驟同上。 |
| |
4．將36格的正方形剪下，其餘步驟同上。 |
| |
5．請比較以上所做三個圖形的邊長有何關係？ |
| |
學習單（六）
問題： | 學生作答(數學式及說明) |
將下列各方根化為最簡根式 【1】 | |
【2】 | |
【3】 | |
【4】 | |
【5】 | |
【6】 | |
【7】 | |
【8】 | |
【9】 | |
【10】 |
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
肆、教學省思與改進
國中數學課程一直讓大多數的學生有所畏懼，除了抽象思考的層次之外，課程的內容安排總是難以與學生的生活經驗貼近。九年一貫課程施以來，數學課程讓老師們困擾的問題之一是，不同版本的課本在詮釋同一個能力指標時，所舉的例子不盡相同，多數老師絞盡腦汁設計活動，希望學生們在活動的調味之下能愉快的學習，並能吸收到課程的內容精華。
在二次方根這一個新概念的單元教學中，我看到學生的學習過程裏遇到三個比較大的困難：一、學生對”
”這個陌生的符號的接受度，並不如想像中的順利。二、用十分逼近法求
等無理數的近似值，對國二學生來說有些許困難。三、二次方根的化簡不夠熟練將影響以後的學習，如勾股定理、解一元二次方程式的根（配方法）等重要觀念都會有困難。針對以上三點，在教學過程中，嚐試使用身邊隨手可得的紙張，讓學生在拼貼圖形的過程中，以圖象強化所學的新概念，因為邊做邊學讓學生上課中不致感到枯燥，期望學生在新概念、新符號出現之際，能順利而愉快的搭建起數與量和代數之間的橋樑。
在實際教學中，因為只在二個國二的班級中進行過，發現仍有許多需要改進之處如下：
1.國二的學生在上數學課時若採用分組討論，常使上課秩序較難掌控，老師需在上課前先對每組的組長指導討論時如何引導同組成員進行討論，才不會讓有些學生在上課聊天而忘了正題。
2.對於摺紙拼貼的上課活動學生們都覺得相當有趣，但有些學生操作太慢會影響上課進度，對於動作慢的同學可改為二人一組交一份課堂作業。
3.對於摺紙拼貼的操作，可以強化學生感覺平方根的存在，但對於”
”這個陌生的符號的接受度，則需要時間才能內化於學生的思惟中。
4.有一些討論的題目設計時語句不太順暢，使學生不了解老師的問題，需要再修正問題的表達方式。
5.學生的表達能力不夠，常常不能完整說出心中所想的答案，所以討論時需教師再加指引。
6.國中學生的補習風氣頗盛，對於分組討論上課方式參興趣不高，且對課堂上的討論結果心裡已經有了結論，有時會影響同組同學上課中的討論，所以教師在問題的設計要花些心思才能提高學生上課的興致。
7.各版本的課本編寫方式不同，對每一個能力指標的詮釋不同，無論採用何種版本的教科書，限於頁數有些概念只呈現1、2個例題，學生是無法徹底了解的，老師要能在生活中找題材，並儘量嚐試各種教學方式以激發學生的學習意願。