第二單元 根式的運算與化簡
1
第二單元 根式的運算與化簡
2-1 平方根式
我們知道 3 2 2
+
是一個正數，所以 3 2 2
+
有意義，又
2
3
2 2
(1
2)
+
= +
，所以
2
3 2 2
(1
2)
1
2
+
=
+
= +
在根式 3 2 2
+
中有兩層根號，顯得複雜。因此，我們喜歡將 3 2 2
+
化簡為 1
2
+
。
但有些兩層根號的根式，如 2
2
+
，並不能化簡成一層。
前面說過，對正數 k 而言，恆有
2
k
k
= 。當
0
k
= 時，
2
k
k
= ，顯然也對。但
0
k
<
時，
2
k 是正數，
2
k 有意義，但
2
k
k
= 不成立。事實上，無論
0
k
> ，
0
k
= ，
0
k
< ，
恆有
2
| |
k
k
=
例如：
2
2
2
2
3
3
( )
7
7
3
3
(
)
7
7
3
2 2
(1
2)
1
2
3 2 2
(1
2)
|1
2 |
2 1
=
−
=
+
=
+
= +
−
=
−
= −
=
−
例題 1
化簡下列根式：
(1) 8 4 3
−
(2) 2
3
+
解
(1) 8
4 3
−
2
8
2 12
6
2
2 6 2
( 6
2)
6
2
=
−
=
+ −
⋅ =
−
=
−
(2) 2
3
+
2
4
2 3
(1
3)
1
3
2
6
2
2
2
2
+
+
+
+
=
=
=
=
2
第二單元 根式的運算與化簡
立即演練
化簡 7 2 6
10
4 6
+
−
−
。
為了不讓分母帶有根號，我們常利用乘法公式
2
2
(
)(
)
a
b a
b
a
b
−
+
=
−
去掉分母中的
根號，例如：
1
3 1
3 1
3 1
3 1
2
3 1
( 3 1)( 3 1)
+
+
+
=
=
=
−
−
−
+
例題 2
化簡下列各式：
(1)
3
5
3
5
3
5
3
5
−
+
+
+
−
(2)
1
7 3 5
−
解
(1)
2
2
3
5
3
5
( 3
5)
( 3
5)
3
5
3
5
( 3
5)( 3
5)
( 3
5) ( 3
5)
−
+
−
+
+
=
+
+
−
+
−
−
+
3 5
2 15
3 5
2 15
4
4
8
3 5
3 5
+ −
+ +
=
+
= − − = −
−
−
(2)
2
1
2
2
2
2
3
5
7 3 5
14 6 5
14
2 45
( 9
5)
=
=
=
=
−
−
−
−
−
2(3
5)
3 2
10
4
(3
5)(3
5)
+
+
=
=
−
+
立即演練
化簡
1
1
1
3
2
2 1
1
3
+
+
+
−
−
。
第二單元 根式的運算與化簡
3
習題 2-1
1. 化簡下列各根式：
(1) 2205
(2) 72600
(3)
1
1
12
8
2
3
−
+
−
(4) ( 2
3)( 6 1)
−
+
(5)
6
2
6
2
+
−
(6)
3
2
5
3
2
1
6
−
+
+
−
(7) 5 2 6
5
2 6
+
+
−
(8) 2
3
−
2. 設 0
1
x
< < ，化簡
2
2
1
2
x
x
+
− 。
4
第二單元 根式的運算與化簡
2-2 立方根式
我們知道
2
2
2
4
( 2)
= = −
，但
3
2
8
= ，
3
( 2)
8
−
= − 。一般而言，正數的立方（三次方）
是正數，負數的立方是負數，而 0 的立方是 0。當
3
x
a
= 時， x 與 a 的符號相同。此時，
3
x
a
=
。換句話說，
3
x
a
= 與
3
a
x
= 是完全一樣的意思。例如：
3
2
8
= ，
3
8
2
=
3
( 2)
8
−
= − ，
3
8
2
− = −
3
( 1)
1
−
= − ，
3
1
1
− = −
3
4
64
( )
5
125
=
，
3
64
4
125
5
=
特別的，
3
3
( )
k
k
=
，
3
3
k
k
=
設 a 是一個數，若
3
a
x
= ，則
3
3
3
(
)
a
x
= ，又此時
3
x
a
= ，故恆有
3
3
(
)
a
a
=
例如：
3
3
( 2)
2
= ，
3
3
( 5)
5
= ，
3
3
(
7 )
7
−
= −
對任意數 a ， b ，考慮
3
a 與
3
b 的乘積
3
3
a b ，由於
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
(
)
(
)(
)(
)
(
) (
)
a b
a b
a b
a b
a
b
ab
=
=
=
所以
3
3
3
ab
a b
=
例如：
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
16
8 2
8 2
2 2
189
27 7
27 7
3 7
1080
8 135
2 135
2 27 5
6 5
=
⋅ =
=
=
⋅ =
=
=
⋅
=
=
⋅ =
例題 1
化簡下列根式：
(1)
3
2000 (2)
3
56
−
解
(1)
3
3
3
3
3
2000
1000 2
1000
2
10 2
=
⋅ =
⋅
=
(2)
3
3
3
3
3
3
56
( 1) 56
1
56
( 1) 8 7
2 7
−
=
− ⋅
= − ⋅
= −
⋅ = −
第二單元 根式的運算與化簡
5
立即演練
化簡下列根式：
(1)
3
256 (2)
3
375
−
在例 1(2)中，我們注意到
3
3
56
56
−
= −
。事實上，
3
3
3
3
3
3
( 1)
1
( 1)
a
a
a
a
a
− =
−
= −
= −
= −
所以恆有
3
3
a
a
− = −
例題 2
化簡下列根式：
(1)
3
3
3
24
81
192
+ − −
(2)
3
3
3
3
( 2
5)( 4
25)
−
+
解
(1)
3
3
3
3
3
3
24
81
192
24
81
192
+ − −
=
−
−
3
3
3
3
3
3
3
8 3
27 3
64 3
2 3
3 3
4 3
5 3
=
⋅ −
⋅ −
⋅ =
−
−
= −
(2)
3
3
3
3
3
3
3
3
( 2
5)( 4
25)
8
50
20
125
−
+
=
+
−
−
3
3
3
3
2
50
20
5
3
50
20
= +
−
− = − +
−
立即演練
化簡下列根式：
(1)
3
3
3
16
128
250
−
+ −
+
(2)
3
3
3
( 4
2)
+
立方根式如同平方根式，當
0
b
≠ 時，也有
3
3
3
a
a
b
b
=
此外，在處理立方根式時，我們也儘量使根號內沒有分數，也使分式中的分母不帶根
號。
例題 3
化簡下列根式：
(1)
3
3
1
32
2
+
(2)
3
3
1
5
3
+
解
6
第二單元 根式的運算與化簡
(1)
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
1
1
4
5
32
8 4
2 4
2 4
4
2
2
2
2
2
+
=
+
⋅ =
+
=
+
=
(2)
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
25
15
9
25
15
9
5 3
5
3
( 5
3)( 25
15
9)
−
+
−
+
=
=
+
+
+
−
+
3
3
3
25
15
9
8
−
+
=
立即演練
化簡下列根式：
(1)
3
3
2
18
3
−
(2)
3
1
1
2
−
第二單元 根式的運算與化簡
7
習題 2-2
1. 化簡下列根式：
(1)
3
432
(2)
3
320
−
(3)
3
3
3
1
16
54
4
+ −
−
(4)
3
3
3
( 2 1)( 4
2
2)
−
+
+
(5)
3
3
3
1
9
6
4
+
+
(6)
3
3
3
4 1
4
2
−
+
2. 設
3
5 2
1
n
n
<
< + ，其中 n 是一個整數，求 n 。