授課老師：單維彰 筆 記 製 作：數 3A 張自鎧 942001017
授課日期：2007 年 12 月 13 日
授課範圍：國中第三冊 2-2 平方根與近似值(從
a
的大小比較開始)
2-3 根式的運算(到前言)
第 1 頁
a 的大小比較
的大小比較
的大小比較
的大小比較:
:
:
:
能夠比較大小的代表的是一個數。而 a 是一個代數符號，指的是某個數的
根號，這樣的數在前面 58 頁的說明並不嚴謹，只是讓學生知道可以用圓規和直
尺在數線上找到一個這樣的點，但嚴格來說，要等到高等微積分中的實數的完備
性才來談的事情。而類似 2 的數，雖然在數線上找的到一個位置，但是卻沒有
辦法表示成有理數的樣子(此本書談到的有理數指的是有限小數和分數)。在國中
數學裡面，雖然有提到，但並沒有完整的說明類似 2 的數是無理數。如果 ,
a b 是
兩個不相等正數，則 a 和 b 就會在兩個不同的位置，因此是可以比大小的。
在 64 頁開頭的地方已經討論過
0
a
b
a
b
> > ⇒
>
，代表著 a 是一個正方形面
積，
b
是一個比較小的正方形面積，用直覺來看，面積 a 大於面積
b
的時候，邊
長
a
也會大於邊長
b
，反應的是
x
是一個漸增函數。
例
例
例
例 5:
5:
5:
5:
比較下列各組數的大小。其實，前面是在告訴我們如何比較
a
和
b
誰大
誰小就是要比較根號裡面的數誰大誰小。在例題五裡有變化。第一小題只要比根
號裡面的大小。第二小題假裝一個數沒有根號，因此要把沒有根號的寫成有根號
的形式。同樣第四小題 1.6 要寫成 2.56 。第三小題， 2 3 不是一個整數，也不
是單純的根數，所以老師就要教學生，不可以直接比大小，要把它都換成全部都
在根號裡面，因此 2
4
=
2 3
4
3
12
⇒
=
×
=
。
註
註
註
註:
:
:
:
數學上的慣例，習慣把能夠寫成完全平方數的因數提到根號外面來，而不是
把它方在根號裡面。
例
例
例
例 6:
6:
6:
6:
和例 5 一樣的類型。其中第二、三小題有ㄧ個技巧，因為 8 5 和
16
可以ㄧ
授課老師：單維彰 筆 記 製 作：數 3A 張自鎧 942001017
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2-3 根式的運算(到前言)
第 2 頁
起約掉
8
，直接比較
5
和
2
就可以了，而
2700
30 3
=
，分別比較
30
和
29
以及
3
和 2 。
動動腦
動動腦
動動腦
動動腦:
:
:
:
這是個好問題，我們都知道
y
x
=
這函數圖形在 (0,1) 區間是凹向下，和
y
x
=
相交於 (0, 0) 和 (1,1) 這兩點，在 (0,1) 區間
x
x
> ，在[1, )
∞ 區間
x
x
>
。這是要學
生去想的事情。這時不仿再多問ㄧ句，何時會相等。
a
的
的
的
的近似值
近似值
近似值
近似值:
:
:
:
我們已經知道 2，
3
，
5
都不是分數，並且也知道1
2
2
<
< ，
1
3
2
<
< ，
2
5
3
<
< 。那如何知道她們大約是多少，這時候就需要引進十分逼近法，其實
這時候十分逼近法應該要跟十進位的小數做一個關聯，可能在國中不做這個關
連。比如 2 1.4142
≈
意思是會落在 (1.4,1.5) 區間。也就是說
1.4
2
1.5
<
<
並且不包括兩端點。接下來再考慮百分位，再把
1.4
跟
1.5
分成十等分，所以每份
是百分之ㄧ，其端點是
1.41
、
1.42
、
1.43
…
1.50
，而 2 一定落在其中唯一的一
段，也不可能在分割點上， 2 1.41
≈
意思是說 2 落在
1.41
到
1.42
的這一段。同
理，要知道千分位就再將
1.41
跟
1.42
分成十等分，它一定會落在其中的一段。根
據那ㄧ段左端點的值，也就是
1.414
，如此下去，就可以越來越接近 2 。
其中還有ㄧ個重要的觀念，我們不能真的知道 2 落在
1.3
到
1.4
之間還是
1.4
到
1.5
之間，其實我們只能算他的相反，也就是
1.3
的平方有沒有小於
2
或著
1.4
的平
方有沒有小於
2
。這類的問題，其實也就是把十等份的點，通通平方，看哪一段
的左端點小於
2
右端點大於
2
，那 2 就落在那ㄧ個區段。
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第 3 頁
隨堂練習
隨堂練習
隨堂練習
隨堂練習:
:
:
:
要學生用同樣的方估計
3
，第一個隨堂練習要同學估計到十分位，第二個
隨堂練習要同學估計到百分位。
四捨五入
四捨五入
四捨五入
四捨五入:
:
:
:
如果千分位算出來的時候，是該捨還是該入。我們已經知道
1.41
多，做四捨
五入的時候，它是
1.41
還是
1.42
，也就是說要讓它捨還是要讓它入。也就是看千
分位的值有沒有超過該區段兩端點的中點。如果沒有超過中點就捨，否則就入。
牛頓法
牛頓法
牛頓法
牛頓法:(
:(
:(
:(不用跟學生說
不用跟學生說
不用跟學生說
不用跟學生說)
)
)
)
1
(
)
(
)
n
n
n
n
f x
x
x
f x
+
= −
′
這時候，老師心理要知道，課本 68 頁可以用牛頓法或計算機，可以把小數點以
下的數算出來。
註
註
註
註:
:
:
:
評量學生的時候可以設計其他計算以外的問題來測試學生是否了解十分逼近
法的步驟。
隨堂練習
隨堂練習
隨堂練習
隨堂練習:
:
:
:
和前面一樣，要知道
3
介於
1.73
到
1.74
之間，再經由四捨五入的判斷，來
近似
3
。
例
例
例
例 8:
8:
8:
8:
除非在特別出考題給學生做要用到計算機，要不然在中小學其實沒有必要用
到計算機。
自我評量
自我評量
自我評量
自我評量:
:
:
:
第一題的第二小題的
1
1
4
是
1
1
4
+ 而不是
1
1
4
×
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a
的大小比較開始)
2-3 根式的運算(到前言)
第 4 頁
2
2
2
2-
-
-
-3
3
3
3 根式的運算
根式的運算
根式的運算
根式的運算
前言
前言
前言
前言:
:
:
:
利用擴分來化簡，舉例來說
3
2
的化簡是
2
3 2
6
6
2 2
2
2
⋅
=
=
⋅
。理由是因為我
們不習慣看到分母有根號。