暑修微積分
(
管院
, 96
第一期
)
單元
1:
基
本數學
複習
單元
1:
基
本數學
複習
(
課本第
0
章
)
目的
:
數學內容在高中時都已學過
,
旨在熟悉所對應的英
文及定義
,
俾
使日後學習時
,
能越過因語言而來的障礙
,
或
因定義不清而造成的模糊
.
一
.
實數
(Real Numbers)
所有的實數可用一坐標系統
(coordinate system)
表
示之
,
此坐標
系統亦稱作實數線
(real line),
或
x-
軸
(x-axis),
如下圖所示
.
其中有
1-1
對應
(one-to-one correspondence)
的關係
,
亦即
,
實數線上的每一點都對應到唯一的一實數
;
反之
,
每一實數都對應到實數線上的唯一點
.
註
.
實數的分類
:
實數可分成有理數及無理數兩類
,
其中
有理數乃指可表成二整數的比值
(ratio,
亦即
,
分數
)
的
數
,
如
7
8
= 0:875
1
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本數學
複習
乃一有限小數
(terminating decimal),
12
7
= 1:714285
乃一無窮循環小數
(innitely repeating decimal);
無理數乃非有理數的數
,
無法以有限小數或無窮循環小數
表示
,
但可以小數近似值
(decimal approximation)
估計之
,
如
p
2 1:41421
3:14159
e 2:71828
二
.
區間
(Intervals)
1.
開區間
(open interval):
(a; b)
乃指所有介於
a
與
b
之間的實數所成的集合
,
不含兩個
端點
a
與
b,
亦可以
a < x < b
表示
,
如下圖
.
2
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基
本數學
複習
2.
閉區間
(closed interval):
[a; b]
乃指所有介於
a
與
b
之間的實數
,
以及
a
與
b
兩個端點
所成的集合
,
亦可以
a x b
表示
,
如下圖
.
3.
非開亦非閉區間
(neither open nor closed
interval):
只包含一個端點的區間
,
如
(a; b]
或
a < x b
乃是僅包含右端點
b
的集合
,
如下圖
;
[a; b)
或
a x < b
乃是僅包含左端點
a
的集合
,
如下圖
.
4.
無
窮區間
(innite interval):
至少有一端是無界
的區間
,
如
( 1; a)
或
x < a
乃指左端無界
,
所有小於
a
的實數所成的集合
,
如下圖
;
( 1; a]
或
x a
3
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基
本數學
複習
乃指左端無界
,
所有小於或等於
a
的實數所成的集合
,
如
下圖
;
(b; 1)
或
x > b
乃指右端無界
,
所有大於
b
的實數所成的集合
,
如下圖
;
[b; 1)
或
x b
乃指右端無界
,
所有大於或等於
b
的實數所成的集合
,
如
下圖
;
( 1; 1)
或
1 < x < 1
乃指兩端均無界
,
所有實數所成的集合
.
註
.
1
與
1
不是實數
,
乃是兩個符號
,
其中
1
表示
正無
窮大
(plus innity),
所有實數均在其左邊
; 1
表示負無窮大
(minus innity),
所有實數均在其右邊
.
三
.
解不等式
(Solving Inequality)
事實
:
一多項式僅在其實
根
(real zeros)
處變號
,
由
(+)
變
( ),
或由
( )
變
(+),
亦即
,
設多項式
P (x) = (x r
1
)(x r
2
) (x r
n
)
4
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複習
其中
r
1
< r
2
< < r
n
,
則
P (x)
在所分割的
n + 1
個區間內的符號如下圖
.
故
, P (x)
在每一個區間內只可
能有一符號
,
不是
(+)
就是
( ).
例如
,
解
x
2
< x + 6
相當於解
x
2
x 6 < 0
經由因式分解
,
亦相當於解
(x 3)(x + 2) < 0
接著
根據二實根
2
與
3
所分割的三個區間決定
P (x) = (x 3)(x + 2)
在每個區間內的符號
,
如下述
:
( 1; 2):
代此區間內的任一數
,
如
3,
得
P ( 3) = ( )( ) = (+)
故
P (x)
在
( 1; 2)
內為正
,
大於
0;
( 2; 3):
代此區間內的任一數
,
如
0,
得
P (0) = ( )(+) = ( )
5
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基
本數學
複習
故
P (x)
在
( 2; 3)
內為負
,
小於
0;
(3; 1):
代此區間內的任一數
,
如
4,
得
P (4) = (+)(+) = (+)
故
P (x)
在
(3; 1)
內為正
,
大於
0,
如圖示
.
因此
, P (x)
僅
在區間
( 2; 3)
內是小於
0,
故得
2 < x < 3
例
1.
設
某工廠每日的固定經常費
(xed overhead
cost)
為
$500,
且生產某產品一單位
(unit)
的成本
(cost)
為
$2.50.
若在八月份內
,
最高及最低的生產總
成本
(total cost of production)
分別為
$1,325
及
$1,200.
試求這個月的最高及最低產量
(production level).
<
解
>
設
x
為產量
.
因為
總成本
=
固
定成本
+
生產成本
故總成本
C = 500 + 2:5x
6
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本數學
複習
又已知
1200 500 + 2:5x 1325
故原問題相當於解
x.
將上式同減
500,
得
700 2:5x 825
同除
2.5,
得
280 =
700
2:5
x
825
2:5
= 330
因此
,
最高生產量為
330
單位
,
且最低生產量為
280
單
位
.
四
.
絕對值
(Absolute Value)
對任一實數
a, a
的絕對值
jaj
def
=
(
a;
若
a 0
a;
若
a < 0
1.
性質
:
jabj = jajjbj;
a
b
=
jaj
jbj
; b 6= 0
以及
ja
n
j = jaj
n
;
q
a
2
= jaj
7
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複習
如
q
( 5)
2
= j 5j = ( 5) = 5
2.
實數線上二點
x
1
與
x
2
間的距離
(distance)
d = jx
2
x
1
j =
q
(x
2
x
1
)
2
3.
含絕對值的二不等式
:
設
a, d
為二實數
,
且
d > 0.
(i) jx aj d
乃相當於與
a
的距離小或等於
d
的點
x
所成的集合
,
故
a d x a + d
如圖示
.
(ii) jx aj d
乃相當於與
a
的距離大於或等於
d
的
點
x
所成的集合
,
故
x a d
或
x a + d
如圖示
.
例
2.
品管
.
根據統計方法得某產品的瑕疵率
(defective rate)
為
0:35% 0:17%.
若廠商針對
8
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每件有瑕疵的產品提供退錢保證
(money-back
guarantee),
試問需要多少預算以達成
100,000
件產
品的退費保證
? (
設每件產品的售價為
$8.95)
<
解
>
設
r
為瑕疵率
.
由假設知
,
0:0035 0:0017 r 0:0035 + 0:0017
亦即
,
0:0018 r 0:0052
令
x
為
100,000
件產品中的瑕疵數
.
得
0:0018(100; 000) x 0:0052(100; 000)
亦相當於
180 x 520
令
C
為退費總額
,
則
180(8:95) C 520(8:95)
也就是說
,
$1611 C $4654
故
,
最保險的預算為
$4654 (
上界
);
但由統計的觀點
,
最具代表性者為上
,
下界的平均值
$1611 + $4654
2
= $3132:5
9
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1:
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本數學
複習
五
.
次方與方
根
(Exponent, Radical)
(1)
性質
:
1. x
n
= x x x,
亦即
, x
自乘
n
次
2. x
n
=
1
x
n
; x 6= 0
3. x
0
= 1; x 6= 0
4.
n
p
x = a
相當於
x = a
n
5. x
1=n
=
n
p
x
6. x
m=n
= (x
1=n
)
m
= (
n
p
x)
m
7. x
m=n
= (x
m
)
1=n
=
n
p
x
m
8.
2
p
x =
p
x
10
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1:
基
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複習
(2)
運算
:
1. x
n
x
m
= x
n+m
2.
x
n
x
m
= x
n m
3. (xy)
n
= x
n
y
n
4.
x
y
!
n
=
x
n
y
n
5. (x
n
)
m
= x
nm
6.
慣用法
(conventions):
(a)
x
n
= (x
n
),
所以
x
n
6= ( x)
n
(b) cx
n
= c(x
n
),
所以
cx
n
6= (cx)
n
(c) x
n
m
= x
(n
m
)
,
所以
x
n
m
6= (x
n
)
m
11
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基
本數學
複習
註
.
性質與運算均可用於化簡的動作
.
六
.
多項式的分解
(Factoring Polynomial)
代數基本定理
(Fundamental Theorem of
Algebra): n
次多項式
a
n
x
n
+ a
n 1
x
n 1
+ + a
1
x + a
0
剛
好有
n
個根
(
可能包含重根與虛根
).
故求多項式的
根
乃相當於分解多項式成一次因式
(linear factor).
例
3.
試分解
2x
2
6x + 5.
<
解
>
根據一元二次方程式的公式解
,
此多項式的
根為
6
p
36 40
4
=
6
p
4
4
乃二虛根
.
故
2x
2
6x + 5
= 2
x
6
p
4
4
!
x
6 +
p
4
4
!
例
4.
試求
q
x
2
3x + 2
的定義域
(domain).
12
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單元
1:
基
本數學
複習
<
解
>
因為含有二次方根
,
故定義域相當於
x
2
3x + 2 0
經分解後
,
得
(x 1)(x 2) 0
又符號圖如下
.
因此
,
定義域為
( 1; 1] [ [2; 1)
七
.
有理式
(Rational Expression)
有理式
r(x)
def
=
p(x)
q(x)
其中
p(x)
與
q(x)
為二多項式
,
亦即
,
有理式為二多項
式的商
.
有理式可分成如下的二類
:
(1)
真分式
(proper),
若分子
(numerator)
的次方
小於分母
(denominator)
的次方
,
如
x
x
2
+ 1
13
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單元
1:
基
本數學
複習
(2)
假分式
(improper),
若分子的次方大於或等於分
母的次方
,
如
x
2
x
2
+ 1
或
x
3
2x
2
+ 1
x + 9
八
.
有理化
(Rationalization)
針對數學式中所含不同型式的根式
,
有理化的原則如下述
:
(1)
p
a:
乘
以
p
a
p
a
如
,
3
p
12
=
3
2
p
3
=
3
2
p
3
p
3
p
3
=
3
p
3
6
=
p
3
2
(2)
p
a
p
b:
乘
以
p
a +
p
b
p
a +
p
b
14
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單元
1:
基
本數學
複習
並以平方差公式
a
2
b
2
= (a b)(a + b)
化簡
.
如
,
1
p
5
p
2
=
1
p
5
p
2
p
5 +
p
2
p
5 +
p
2
=
p
5 +
p
2
3
(3)
p
a +
p
b:
乘
以
p
a
p
b
p
a
p
b
並以平方差公式
a
2
b
2
= (a b)(a + b)
化簡
.
如
,
10
p
x +
p
x + 5
=
10
p
x +
p
x + 5
p
x
p
x + 5
p
x
p
x + 5
=
10(
p
x
p
x + 5)
5
=
2(
p
x
p
x + 5)
15
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