陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
期末練習題解答(105上)
1. <
解法一> 代入法. 取 u = x − 3, 得 du = dx
且 x = u + 3 以及
∫
x(x
− 3)
5
dx =
∫
(u + 3)u
5
du
=
1
7
u
7
+
3
6
u
6
+ C
=
1
7
(x
− 3)
7
+
1
2
(x
− 3)
6
+ C
<
解法二> 分部積分. 取
u = x,
dv = (x
− 3)
5
dx
得
du = dx,
v =
1
6
(x
− 3)
6
以及
∫
x(x
− 3)
5
dx =
∫
udv
=
1
6
x(x
− 3)
6
−
1
6
∫
(x
− 3)
6
dx
=
1
6
x(x
− 3)
6
−
1
42
(x
− 3)
7
+ C
1
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
2.
根據變數變換, 取 u = x
2
+ 1,
得 du = 2xdx
且 x
2
= u
− 1 以及
x = 0, u = 1;
x =
√
3, u = 4
代入,
∫
√
3
0
x
5
√
x
2
+ 1dx
=
∫
√
3
0
1
2
(x
2
)
2
√
x
2
+ 1(2x)dx
=
1
2
∫
4
1
(u
− 1)
2
√
udu
=
1
2
∫
4
1
(u
5/2
− 2u
3/2
+ u
1/2
)du
=
1
2
(
2
7
u
7/2
−
4
5
u
5/2
+
2
3
u
3/2
)
4
1
=
[(
2
7
7
−
2
6
5
+
2
3
3
)
−
(
1
7
−
2
5
+
1
3
)]
=
(
1920
− 1344 + 280
105
)
−
(
15
− 42 + 35
105
)
=
856
105
−
8
105
=
848
105
2
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
3.
根據變數變換, 取 u = sec x, 得
du = sec x tan xdx
且
∫
sec
3
x tan xdx =
∫
sec
2
x
| {z }
u
2
sec x tan xdx
|
{z
}
du
=
1
3
sec
3
x + C
3
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
4.
因為被積函數中的 x
2
,
需使用兩次分部積分. 首
先, 取
u = x
2
,
dv = cos xdx
得
du = 2xdx,
v = sin x
以及
∫
x
2
cos xdx = x
2
sin x
−
∫
2x sin xdx
接著, 再令
u = 2x,
dv = sin xdx
得
du = 2dx,
v =
− cos x
且
∫
x
2
cos xdx
= x
2
sin x
−
(
−2x cos x +
∫
2 cos xdx
)
= x
2
sin x + 2x cos x
− 2 sin x + C
4
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
5.
根據變數變換, 令 u = x
2
,
得 du = 2xdx 且
x = 0, u = 0;
x = π, u = π
2
以及
∫
π
0
x cos x
2
dx =
1
2
∫
π
0
cos x
2
(2x)dx
=
1
2
∫
π
2
0
cos udu
=
1
2
sin u
π
2
0
=
1
2
sin π
2
5
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
6.
乍看之下, 被積函數的分母相當複雜, 不知如何下
手, 但分解公因式
√
x,
就明朗了, 即
∫
1
√
x
√
x + x
dx =
∫
1
√
x
√
1 +
√
x
dx
接著, 根據變數變換, 令 u =
√
x + 1,
得
du =
1
2
√
x
dx
以及
∫
1
√
x
√
x + x
dx = 2
∫
1
√
1 +
√
x
(
1
2
√
x
dx
)
= 2
∫
1
√
u
du = 4
√
u + C
= 4
√
1 +
√
x + C
6
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
7.
根據代入法, 取 u = tan x, 得
du = sec
2
xdx
以及
∫
(1 + tan
2
x) sec
2
xdx
=
∫
(1 + u
2
)du = u +
1
3
u
3
+ C
= tan x +
1
3
tan
3
x + C
8.
首先, 根據指數律改寫, 就明朗了, 即
∫
e
x+e
x
dx =
∫
e
e
x
e
x
dx
接著, 明顯地, 根據變數變換, 取 u = e
x
,
得
du = e
x
dx
以及
∫
e
x+e
x
dx =
∫
e
e
x
(e
x
)dx
=
∫
e
u
du = e
u
+ C
= e
e
x
+ C
7
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
9.
根據半角公式,
∫
sin
2
xdx =
∫
1
2
(1
− cos 2x)dx
=
1
2
x
−
1
4
sin 2x + C
10.
根據半角公式,
∫
cos
2
3xdx =
∫
1
2
(1 + cos 6x)dx
=
1
2
x +
1
12
sin 6x + C
11.
根據三角恆等式,
∫
tan
2
5xdx =
∫
(sec
2
5x
− 1)dx
=
1
5
tan 5x
− x + C
8
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
12.
展開並化簡被積函數, 得
∫
(t
2
− 2)(t
2
+ 1)
√
t
dt
=
∫
t
7/2
− t
3/2
− 2t
−1/2
dt
=
2
9
t
9/2
−
2
5
t
5/2
− 4t
1/2
+ C
13.
根據平方差公式,
∫
(2
−
√
x)(2 +
√
x)dx =
∫
(4
− x)dx
= 4x
−
1
2
x
2
+ C
9
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
14.
分別將分部積分作用在第一項與第二項, 得
∫
[f (x)g
′′
(x)
− g(x)f
′′
(x)]dx
=
[
f (x)g
′
(x)
−
∫
g
′
(x)f
′
(x)dx
]
−
[
g(x)f
′
(x)
−
∫
f
′
(x)g
′
(x)dx
]
= f (x)g
′
(x)
− g(x)f
′
(x) + C
10
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
15.
因為 f 連續, 根據微積分基本定理, 由連續函數所
定義的符號面積函數
∫
x
0
f (t)dt
是可微的且導函數為 f(x). 因此, 根據乘法規則,
兩邊對 x 微分, 得
f (x) = cos x
− cos x + x sin x
= x sin x
故
f
(
π
2
)
=
π
2
且
f
′
(x) = sin x + x cos x
11
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
16.
因為 e
u
2
連續, 根據微積分基本定理, 符號面積函
數
∫
t
1
e
u
2
du
是自變數為 t 的連續且可微函數. 又
t
∫
t
1
e
u
2
du
亦是連續的, 故再根據微積分基本定理, 由其所定
義的符號面積函數
F (x) =
∫
x
0
[
t
∫
t
1
e
u
2
du
]
dt
是自變數為 x 的連續且可微函數. 因此,
(a) F
′
(x) = x
∫
x
1
e
u
2
du
根據定積分的約定,
(b) F
′
(1) = 1
·
∫
1
1
e
u
2
du = 0
根據乘法規則及微積分基本定理,
(c) F
′′
(x) =
∫
x
1
e
u
2
du + xe
x
2
再根據定積分的約定,
(d) F
′′
(1) =
∫
1
1
e
u
2
du + e = e
12
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
17.
根據變數變換, 令 u = 1 + g
2
(x),
得
du = 2g(x)g
′
(x)dx
且
∫
g(x)g
′
(x)
√
1 + g
2
(x)
dx
=
1
2
∫
1
√
1 + g
2
(x)
(2g(x)g
′
(x))dx
=
1
2
∫
1
√
u
du =
√
u + C
=
√
1 + g
2
(x) + C
13
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
18. <
方法一> 同乘除 e
−2x
,
得
∫
1
e
2x
+ 1
dx =
∫
e
−2x
1 + e
−2x
dx
接著, 根據變數變換, 令 u = 1 + e
−2x
,
得
du =
−2e
−2x
dx
以及
∫
1
e
2x
+ 1
dx =
−
1
2
∫
1
1 + e
−2x
|
{z
}
1/u
(
−2e
−2x
)dx
|
{z
}
du
=
−
1
2
ln(1 + e
−2x
) + C
14
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
<
方法二> 同加減 e
2x
,
得
∫
1
e
2x
+ 1
dx =
∫ (
1
−
e
2x
e
2x
+ 1
)
dx
接著, 根據代入法, 取 u = 1 + e
2x
,
得
du = 2e
2x
dx
以及
∫
1
e
2x
+ 1
dx
=
∫
dx
−
1
2
∫
1
1 + e
2x
| {z }
1/u
(2e
2x
)dx
|
{z
}
du
= x
−
1
2
ln(1 + e
2x
) + C
形式上與方法一不同, 但是等價, 請自行驗證.
15
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
19. <
方法一> 同乘除 e
x
,
得
∫
1 + e
−x
1 + xe
−x
dx =
∫
e
x
+ 1
e
x
+ x
dx
接著, 根據變數變換, 令 u = e
x
+ x,
得
du = (e
x
+ 1)dx
以及
∫
1 + e
−x
1 + xe
−x
dx =
∫
1
e
x
+ x
| {z }
1/u
(e
x
+ 1)dx
|
{z
}
du
= ln
|e
x
+ x
| + C
16
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
<
方法二> 同加減 xe
−x
,
得
∫
1 + e
−x
1 + xe
−x
dx =
∫ (
1 +
e
−x
− xe
−x
1 + xe
−x
)
dx
接著, 根據代入法, 令 u = 1 + xe
−x
,
得
du = (e
−x
− xe
−x
)dx
以及
∫
1 + e
−x
1 + xe
−x
dx
=
∫
dx +
∫
1
1 + xe
−x
|
{z
}
1/u
(e
−x
− xe
−x
)dx
|
{z
}
du
= x + ln
|1 + xe
−x
| + C
與方法一等價, 雖然形式上不同, 請自行驗證.
17
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
20.
根據分部積分, 取
u = ln(1 + x
2
),
dv = dx
得
du =
2x
1 + x
2
dx,
v = x
以及不定積分
∫
ln(1 + x
2
)dx
= x ln(1 + x
2
)
−
∫
2x
2
1 + x
2
dx
= x ln(1 + x
2
)
− 2
∫ (
1
−
1
1 + x
2
)
dx
= x ln(1 + x
2
)
− 2x + 2 tan
−1
x + C
因此, 定積分
∫
1
0
ln(1 + x
2
)dx
= x ln(1 + x
2
)
− 2x + 2 tan
−1
x
1
0
= (ln 2
− 2 + 2 tan
−1
1)
− (2 tan
−1
0)
= ln 2 +
π
2
− 2
18
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
21.
根據分部積分, 取
u = (ln x)
2
,
dv = dx
得
du = 2 ln x
(
1
x
)
dx,
v = x
以及
∫
(ln x)
2
dx = x(ln x)
2
− 2
∫
ln xdx
再根據分部積分, 取
u = ln x,
dv = dx
得
du =
1
x
dx,
v = x
以及
∫
(ln x)
2
dx = x(ln x)
2
− 2
(
x ln x
−
∫
dx
)
= x(ln x)
2
− 2x ln x + 2x + C
19
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
22.
根據分部積分, 取
u = ln(x + 1),
dv =
1
√
x + 1
dx
得
du =
1
x + 1
dx,
v = 2
√
x + 1
以及
∫
ln(x + 1)
√
x + 1
dx
= 2
√
x + 1 ln(x + 1)
−
∫
2
√
x + 1
dx
= 2
√
x + 1 ln(x + 1)
− 4
√
x + 1 + C
20
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
23. <
方法一> 根據分部積分, 取
u = sin
−1
2x,
dv =
1
√
1
− 4x
2
dx
得
du =
2
√
1
− 4x
2
dx,
v =
1
2
sin
−1
(2x)
以及
∫
sin
−1
(2x)
√
1
− 4x
2
dx
=
1
2
[
sin
−1
(2x)
]
2
−
∫
sin
−1
(2x)
√
1
− 4x
2
dx
因為上式中的不定積分剛好就是原式, 移項整理,
得
2
∫
sin
−1
(2x)
√
1
− 4x
2
dx =
1
2
[
sin
−1
(2x)
]
2
因此,
∫
sin
−1
(2x)
√
1
− 4x
2
dx =
1
4
[
sin
−1
(2x)
]
2
+ C
21
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
<
方法二> 根據代入法, 令 u = sin
−1
(2x),
得
du =
2
√
1
− 4x
2
dx
以及
∫
sin
−1
(2x)
√
1
− 4x
2
dx
=
1
2
∫
sin
−1
(2x)
|
{z
}
u
2
√
1
− 4x
2
dx
|
{z
}
du
=
1
4
[
sin
−1
(2x)
]
2
+ C
22
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
24.
首先, 根據變數變換, 令 w = ln x, 得
dw =
1
x
dx
與
∫
1
x
sin
−1
(ln x)dx =
∫
sin
−1
wdw
接著, 根據分部積分, 取
u = sin
−1
w,
dv = dw
得
du =
1
√
1
− w
2
dw,
v = w
以及
∫
1
x
sin
−1
(ln x)dx
= w sin
−1
w
−
∫
w
√
1
− w
2
dw
= w sin
−1
w +
√
1
− w
2
+ C
= ln x sin
−1
(ln x) +
√
1
− (ln x)
2
+ C
23
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
25.
根據面積公式以及取
u = ln x,
du =
1
x
dx
的變數變換,
面積 =
∫
e
1
ln x
x
dx =
1
2
(ln x)
2
e
1
=
1
2
根據旋轉體體積公式及取
u = ln
2
x,
dv =
1
x
2
dx
的分部積分, 得
du =
2 ln x
x
dx,
v =
−
1
x
與
體積 = π
∫
e
1
ln
2
x
x
2
dx
= π
(
−
ln
2
x
x
e
1
+ 2
∫
e
1
ln x
x
2
dx
)
再使用一次分部積分, 取
u = ln x,
dv =
1
x
2
dx
得
du =
1
x
dx,
v =
−
1
x
24
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
以及旋轉體
體積
= π
[
−
ln
2
x
x
e
1
+ 2
(
−
ln x
x
e
1
+
∫
e
1
1
x
2
dx
)]
= π
(
−
ln
2
x
x
−
2 ln x
x
−
2
x
)
e
1
= π
[(
−
1
e
−
2
e
−
2
e
)
− (−2)
]
=
(
2
−
5
e
)
π
25
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
26.
首先, 根據變數變換, 令 u = tan θ, 得
du = sec
2
θdθ
以及
∫
sec
2
θ
tan
3
θ
− tan
2
θ
dθ =
∫
1
u
2
(u
− 1)
du
接著, 根據部分分式, 令被積函數
1
u
2
(u
− 1)
=
A
u
+
B
u
2
+
C
u
− 1
通分, 解 A, B, C, 得
1 = Au(u
− 1) + B(u − 1) + Cu
2
= (A + C)u
2
+ (B
− A)u − B
比較係數, 得
A =
−1, B = −1, C = 1
因此,
∫
sec
2
θ
tan
3
θ
− tan
2
θ
dθ =
∫
1
u
2
(u
− 1)
du
=
∫ (
−1
u
+
−1
u
2
+
1
u
− 1
)
du
=
− ln | tan θ| +
1
tan θ
+ ln
| tan θ − 1| + C
= ln
|1 − cot θ| + cot θ + C
26
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
27.
同乘除 sec x + tan x 並根據變數變換, 令
u = sec x + tan x
得
du = (sec x tan x + sec
2
x)dx
= sec x(sec x + tan x)dx
以及
∫
sec xdx
=
∫
1
sec x + tan x
|
{z
}
1/u
sec x(sec x + tan x)dx
|
{z
}
du
= ln
| sec x + tan x| + C
28.
因為
d
dx
tan x = sec
2
x
根據不定積分的定義,
∫
sec
2
xdx = tan x + C
27
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
29.
根據分部積分, 取
u = sec x,
dv = sec
2
xdx
得
du = sec x tan xdx,
v = tan x
以及
∫
sec
3
xdx
= sec x tan x
−
∫
sec x tan
2
xdx
= sec x tan x
−
∫
sec x(sec
2
x
− 1)dx
= sec x tan x
−
∫
sec
3
xdx +
∫
sec xdx
= sec x tan x + ln
| sec x + tan x|
−
∫
sec
3
xdx
移項整理, 得
2
∫
sec
3
xdx = sec x tan x+ln
| sec x+tan x|
故
∫
sec
3
xdx
=
1
2
(sec x tan x + ln
| sec x + tan x|) + C
28
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
30.
根據變數變換, 令 u = cos x, 得
du =
− sin xdx
∫
tan x =
∫
sin x
cos x
dx
=
−
∫
1
cos x
| {z }
1/u
(
− sin x)dx
|
{z
}
du
=
− ln | cos x| + C
= ln
| sec x| + C
31.
改寫,
∫
tan
2
xdx =
∫
(sec
2
x
− 1)dx
= tan x
− x + C
32.
改寫並根據變數變換, 令 u = tan x, 得
du = sec
2
xdx
∫
tan
3
xdx =
∫
(sec
2
x
− 1) tan xdx
=
∫
tan x
| {z }
u
sec
2
xdx
|
{z
}
du
−
∫
tan xdx
=
1
2
tan
2
x
− ln | sec x| + C
29
中大數學系于振華
陽明醫學系微積分(105學年度)
期末練習題解答(105上)
33.
展開並化簡, 得
∫
(1 + tan x)
2
dx
=
∫
(1 + 2 tan x + tan
2
x)dx
=
∫
(sec
2
x + 2 tan x)dx
= tan x + 2 ln
| sec x| + C
34.
改寫並根據變數變換, 令 u = tan x, 得
du = sec
2
xdx
以及
∫
tan
3/2
x sec
4
dx
=
∫
tan
3/2
x(1 + tan
2
x) sec
2
xdx
=
∫
u
3/2
(1 + u
2
)du
=
2
9
tan
9/2
x +
2
5
tan
5/2
x + C
30
中大數學系于振華