陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
期中練習題解答(110下)
1.
分離變數並兩邊積分, 得
∫
1
y + 1
dy =
∫
e
−x
dx
根據積分規則, 得
ln
|y + 1| = −e
−x
+ C
兩邊取 e, 去絕對值並根據常數約定, 得
y + 1 = Ce
−e
−x
(1)
代初始條件 x = 0, y = 1, 得
1 + 1 = Ce
−e
0
= Ce
−1
故 C = 2e 且由 (1) 式,
y =
−1 + 2e · e
−e
−x
=
−1 + 2e
1
−e
−ex
1
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
2.
分離變數並兩邊積分, 得
∫
1
y
dy =
∫
xe
x
2
dx
接著, 左邊根據積分規則, 右邊根據選取
u = x
2
,
du = 2xdx
的變數變換, 得
ln
|y| =
1
2
e
x
2
+ C
取 e, 去絕對值並根據常數約定, 得
y = Ce
1
2
e
x2
(2)
代初始條件 x = 0, y = 1, 得
1 = Ce
1
2
e
0
= Ce
1
2
因此, C = e
−
1
2
且由 (2) 式
y = e
−
1
2
· e
1
2
e
x2
= e
1
2
(e
x2
−1)
2
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
3.
分離變數並兩邊積分, 得
∫
1
y
dy =
∫
e
−x
dx
根據積分規則, 得
ln
|y| = −e
−x
+ C
接著, 兩邊取 e, 去絕對值並根據常數約定, 得
y = Ce
−e
−x
(3)
代初始條件 x = 0, y = 1, 得
1 = Ce
−e
0
= Ce
−1
故 C = e 且由 (3) 式
y = e
· e
−e
−x
= e
1
−e
−x
3
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
4.
根據數據 N(100) = N(200) = 30, 也就是說,
時間夠久後, 長期下, 族群數量穩定地為 30, 故可
假設承載量 K = 30 並根據羅吉斯方程式的型式,
得
dN
dt
= rN
(
1
−
N
30
)
<
解一> 兩邊同乘 30 並分離變數且兩邊積分, 得
∫
30
N (30
− N)
dN =
∫
rdt
左邊根據部份分式與積分規則, 得
∫ (
1
N
+
1
30
− N
)
dN =
∫
rdt
以及
ln
|N| − ln |30 − N| = rt + C
即
ln
N
30
− N
= rt + C
接著, 兩邊取 e, 去絕對值並根據常數約定, 得
N
30
− N
= Ce
rt
(4)
代 N(0) = 5, 得
5
25
= Ce
0
= C
4
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
故 C =
1
5
且由 (4) 式,
N
30
− N
=
1
5
e
rt
(5)
再代 N(4) = 10, 得
10
20
=
1
5
e
4r
即
4r = ln
5
2
;
r =
1
4
ln
5
2
並由 (5) 式, 得
N
30
− N
=
1
5
e
(
1
4
ln
5
2
)
t
解 N, 得
(
1 +
1
5
e
(
1
4
ln
5
2
)
t
)
N = 30
(
1
5
e
(
1
4
ln
5
2
)
t
)
並應由化簡
N
=
30
(
1
5
e
(
1
4
ln
5
2
)
t
)
1 +
1
5
e
(
1
4
ln
5
2
)
t
=
30
1 + 5e
−
(
1
4
ln
5
2
)
t
=
30
1 + 5e
(
1
4
ln
2
5
)
t
=
30
1 + 5
(
2
5
)
t/4
5
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
<
解二> 或根據已知的結果,
N =
K
1 +
(
K
N
0
− 1
)
e
−rt
代入 K = 30 以及 N
0
= N (0) = 5,
得
N =
30
1 +
(
30
5
− 1
)
e
−rt
=
30
1 + 5e
−rt
(6)
再代入 N(4) = 10, 得
10 =
30
1 + 5e
−4r
解 r, 得
e
−4r
=
1
5
(
30
10
− 1
)
=
2
5
即
−4r = ln
2
5
;
r =
1
4
ln
5
2
最後, 由 (6) 式,
N
=
30
1 + 5e
−
(
1
4
ln
5
2
)
t
=
30
1 + 5e
(
1
4
ln
2
5
)
t
=
30
1 + 5
(
2
5
)
t/4
6
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
5.
增長最快表示成長率
dN
dt
在 N = 1000 時有最大
值, 在可微下, 一個必要條件是
d
2
N
dt
2
=
d
dt
(
dN
dt
)
= 0
根據乘法規則並化簡,
d
2
N
dt
2
= 2
dN
dt
(
1
−
N
K
)
+ 2N
(
−
1
K
dN
dt
)
= 2
dN
dt
(
1
−
N
K
−
N
K
)
= 2
dN
dt
(
1
−
2
K
N
)
= 0
因為增長, N 不會處在平衡狀態, 即
dN
dt
̸= 0, 故
由上式得
1
−
2
K
N = 0;
N =
K
2
由題意, 在 N = 1000 時增長最快, 代入, 得承
載量
K = 2(1000) = 2000
根據羅吉斯方程式的解,
N (t) =
K
1 +
(
K
N
0
− 1
)
e
−rt
代入 r = 2, K = 2000 以及
N
0
= N (0) = 10
7
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
得
N (t) =
2000
1 +
(
2000
10
− 1
)
e
−2t
=
2000
1 + 199e
−2t
最後, 代入 N = 1000 並解 t, 得
1000 =
2000
1 + 199e
−2t
即
e
−2t
=
1
199
(
2000
1000
− 1
)
=
1
199
兩邊同取 ln 並化簡, 得
t =
−
1
2
ln
1
199
=
1
2
ln 199
在此時刻族群增長最快.
8
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
6.
在某時刻族群增長最快表示成長率
dN
dt
在此時刻有
最大值, 故在可微下, 一個必要條件是
d
2
N
dt
2
=
d
dt
(
dN
dt
)
= 0
根據乘法規則, 得
d
2
N
dt
2
= 1.5
dN
dt
(
1
−
N
50
)
+ 1.5N
(
−
1
50
dN
dt
)
= 1.5
dN
dt
(
1
−
1
50
N
−
1
50
N
)
= 1.5
dN
dt
(
1
−
1
25
N
)
= 0
因為增長, N 不會處在平衡狀態, 即
dN
dt
̸= 0, 故
由上式得
1
−
1
25
N = 0;
N = 25
在此大小時刻時, 族群增長最快. 根據羅吉斯方程
式的解
N (t) =
K
1 +
(
K
N
0
− 1
)
e
−rt
代入 r = 1.5, K = 50 以及
N
0
= N (0) = 10
9
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
得
N (t) =
50
1 +
(
50
10
− 1
)
e
−1.5t
=
50
1 + 4e
−1.5t
將族群增長最快時的大小 N = 25 代入並解 t, 得
25 =
50
1 + 4e
−1.5t
即
e
−1.5t
=
1
4
(
50
25
− 1
)
=
1
4
兩邊同取 ln 並化簡, 得
t =
−
1
1.5
ln
1
4
=
2
3
ln 4
在此時刻族群增長最快.
10
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
7. <
解一> 根據題意, 得平衡點 C = 256 且
g(C) = ln 2(256
− C)
為 C 的一次式, 以及特徵值
λ = g
′
(256) =
− ln 2
故干擾 z(t) 的演變為
dz
dt
= λz =
−(ln 2)z
乃一指數成長模型, 以及初始干擾
z(0) = 400
− 256 = 144
所以, 干擾
z(t) = z(0)e
λt
= 144e
−(ln 2)t
= 144
(
1
2
)
t
此量遞減至 292 的時刻 t 相當於
z(t) = 292
− 256 = 36
代入並解 t, 得
36 = 144
(
1
2
)
t
即
(
1
2
)
t
=
36
144
=
1
4
;
t = 2
11
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
<
解二> 在初始量 C(0) = 400 下, 直接解 C
並求 C = 292 的時刻. 首先, 分離變數並兩邊積
分, 得
∫
1
256
− C
dC =
∫
ln 2dt
根據積分規則, 得
− ln |256 − C| = (ln 2)t + K
兩邊同乘 −1, 取 e, 去絕對值並根據常數約定, 得
256
− C = Ke
−(ln 2)t
(7)
代初始條件 C(0) = 400, 得
256
− 400 = Ke
0
= K;
K =
−144
且由 (7) 式,
C(t) = 256+144e
−(ln 2)t
= 256+144
(
1
2
)
t
最後, 將 C = 292 代入上式並解 t, 得
292 = 256 + 144
(
1
2
)
t
即
(
1
2
)
t
=
292
− 256
144
=
36
144
=
1
4
;
t = 2
12
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
8.
令
g(N ) = 0.5N (N
− 13)
(
1
−
N
110
)
= 0
得平衡點
N = 0;
N = 13;
N = 110
接著, 可繪出 g(N) 的圖形, 乃一首項係數為負的
N
的三次多項式曲線, 因此以圖形法可判斷出平衡
點 N = 0 與 N = 110 為局部穩定且 N = 13
為不穩定. 或以解析法, 得
g
′
(N ) = 0.5(N
− 13)
(
1
−
N
110
)
+0.5N
(
1
−
N
110
)
−
1
220
N (N
− 13)
以及
g
′
(0) = 0.5(
−13)(1) < 0
得 N = 0: 局部穩定;
g
′
(13) = 0.5(13)
(
1
−
13
110
)
> 0
得 N = 13: 不穩定;
g
′
(110) =
−
1
220
(110)(110
− 13) < 0
得 N = 110: 局部穩定
13
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
9.
令
g(p) = cp(1
− p) − p
2
= cp
− (c + 1)p
2
= p[c
− (c + 1)p] = 0
得平衡點
p = 0;
p =
c
c + 1
接著, 繪出 g(p) 的圖形, 乃一開口向下的拋物線,
故以圖形法可判斷出平衡點 p = 0 為不穩定且
p =
c
c+1
為局部穩定. 或以解析法, 得
g
′
(p) = [c
− (c + 1)p] − (c + 1)p
以及
g
′
(0) = c > 0
得 p = 0: 不穩定;
g
′
(
c
c + 1
)
=
−c < 0
得 p =
c
c+1
:
局部穩定
14
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
10. (a)
令
g(N ) = 2N
(
1
−
N
1000
)
− 100
=
−100 + 2N −
1
500
N
2
=
−
1
500
(N
2
− 1000N + 50000) = 0
且根據公式解, 得平衡點
N
=
1000
±
√
1000000
− 200000
2
=
1000
±
√
800000
2
=
1000
± 400
√
5
2
= 500
± 200
√
5
因為 g(N) 的圖形為一開口向下的拋物線, 根據圖
形法, 平衡點 N = 500 − 200
√
5
為不穩定且平
衡點 N = 500 + 200
√
5
為局部穩定.
(b)
令
h(N ) = 2N
(
1
−
N
1000
)
= 2N
−
1
500
N
2
由
h
′
(N ) = 2
−
1
250
N = 0
15
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
得臨界數 N = 500 並根據 h(N) 為一開口向下
的拋物線, 得最大值
h(500) = 2(500)
(
1
−
500
1000
)
= 500
因為 g(N) = h(N) − H, 乃將 h(N) 向下平移
H
的拋物線, 故當
H = max
N
≥0
h(N ) = h(500) = 500
時, 得一正的平衡點 N = 500, 維持一正的族群
大小 N = 500; 否則若 H > 500 時, g(N) 會
在橫軸下, 故無平衡點且
dN
dt
恆為負, N 會遞減至
0
而導致族群消失. 故最大捕獲率 H = 500 時,
會維持一正的族群大小.
16
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
11. (a)
根據水槽內含鹽量 y(t) 的變化率等於流入的
變化率減去流出的變化率, 得
dy
dt
= (1.5)3
−
(
y
40
)
3 = 4.5
−
3
40
y
(b)
令
g(y) = 4.5
−
3
40
y = 0
得平衡點 y = 60 且 g(y) 是一斜率為負的直線,
根據圖形法或解析法, 為一全面穩定平衡點.
(c)
根據全面穩定平衡點的性質, 無論初始含鹽量
為何, 含鹽量 y(t) 均會趨向平衡點 60 磅, 也就
是說, 長期行為與初始值無關, 至終均會維持在
60
磅.
(d) <
解一> 令干擾為 z(t), 則在 g(y) 為直線
下,
dz
dt
= g
′
(60)z =
−
3
40
z
且 z(0) = 10, 乃一指數成長模型, 故
z(t) = 10e
−
3
40
t
代 z = 10e
−1
並解 t, 得
10e
−1
= 10e
−
3
40
t
;
t =
40
3
17
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
<
解二> 同乘 40 並分離變數且兩邊積分, 得
∫
1
180
− 3y
dy =
∫
1
40
dt
根據積分規則, 得
−
1
3
ln
|180 − 3y| =
1
40
t + C
同乘 −3, 取 e, 去絕對值並根據常數約定, 得
180
− 3y = Ce
−
3
40
t
(8)
代初始值 y(0) = 70, 得
180
− 210 = Ce
0
;
C =
−30
且由 (8) 式,
y =
1
3
(180 + 30e
−
3
40
t
) = 60 + 10e
−
3
40
t
最後, 代 y = 60 + 10e
−1
並解 t, 得
60 + 10e
−1
= 60 + 10e
−
3
40
t
;
t =
40
3
18
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
12. (a)
根據題意, 此二物種的階級競爭模型為
dp
1
dt
= 2p
1
(1
− p
1
)
− p
1
dp
2
dt
= 5p
2
(1
− p
1
− p
2
)
− p
2
− 2p
1
p
2
(b)
令
dp
1
dt
= p
1
(1
− 2p
1
) = 0
(9)
dp
2
dt
= p
2
(4
− 7p
1
− 5p
2
) = 0
(10)
由 (9) 式, 得
p
1
= 0;
p
1
=
1
2
將 p
1
= 0
代入 (10) 式, 得
p
2
= 0;
4
5
再將 p
1
=
1
2
代入 (10) 式, 得
p
2
= 0;
p
2
=
1
5
(
4
−
7
2
)
=
1
10
共得 4 個平衡點
(0, 0),
(
0,
4
5
)
,
(
1
2
, 0
)
,
(
1
2
,
1
10
)
19
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
(c)
因為 c
2
= 5 > c
2
1
= 4,
當物種一在平衡狀
態 p
1
=
1
2
時, 二物種可共存.
或當 p
1
=
1
2
且 p
2
很小時, 由 (10) 式,
dp
2
dt
≈ p
2
(
4
−
7
2
)
=
p
2
2
> 0
即物種二是遞增地, 故可共存, 即使開始時, 物種
二是小量的, 此乃物種二大的拓殖率所致.
20
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
13.
令
dp
1
dt
= p
1
(1
− 2p
1
) = 0
(11)
dp
2
dt
= p
2
(2
− 5p
1
− 3p
2
) = 0
(12)
由 (11) 式, 得
p
1
= 0;
p
1
=
1
2
將 p
1
= 0
代入 (12) 式, 得
p
2
= 0;
p
2
=
2
3
再將 p
1
=
1
2
代入 (12) 式, 得
p
2
= 0;
p
2
=
−
1
6
(
不合)
共得 3 個平衡點
(0, 0),
(
0,
2
3
)
,
(
1
2
, 0
)
因為 c
2
= 3 < c
2
1
= 4,
當物種一處在平衡狀態
p
1
=
1
2
時, 此二物種不能共存.
或當 p
1
=
1
2
且 p
2
很小時, 由 (12) 式,
dp
2
dt
≈ p
2
(
2
−
5
2
)
=
−
p
2
2
< 0
21
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
即物種二是遞減的, 故會消失, 此二物種無法共存.
22
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
14. (a)
根據題意及 Leslie 矩陣的定義, Leslie 矩陣
L =
[
1.7
2
0.09 0
]
(b)
首先, 求 L 的特徵值, 即解
det(L
− λI) = det
[
1.7
− λ 2
0.09
−λ
]
= λ
2
− 1.7λ − 0.18
= (λ
− 1.8)(λ + 0.1) = 0
得特徵值 λ
1
= 1.8
與 λ
2
=
−0.1. 因為
λ
1
= 1.8 >
|λ
2
| = 0.1
得族群成長率為大的特徵值 λ
1
= 1.8.
接著, 求 λ
1
對應的特徵向量, 即解矩陣方程式
L
[
x
1
x
2
]
= 1.8
[
x
1
x
2
]
相當於解線性方程式系統
1.7x
1
+ 2x
2
= 1.8x
1
0.09x
1
= 1.8x
2
亦相當於
−0.1x
1
+ 2x
2
= 0
0.09x
1
− 1.8x
2
= 0
23
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
將上二式分別同除 x
1
的係數, 得等價的方程式
x
1
− 20x
2
= 0
故得一特徵向量
u
1
=
[
20
1
]
可作為一穩定年齡層分布.
24
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
15. (a)
根據連鎖規則,
dI
dS
=
dI/dt
dS/dt
故當 I > 0 時, 由
(
二式)
(
一式)
,
得
dI
dS
=
bSI
− aI
−bSI
=
a
b
1
S
− 1
(b)
根據不定積分的定義, 或將上式兩邊對 S 積
分, 得
I(S(t)) =
∫ (
a
b
1
S
− 1
)
dS
=
a
b
ln S(t)
− S(t) + C (13)
代初始條件 S(0) = S
0
得
I(S
0
) =
a
b
ln S
0
− S
0
+ C
因為 I(S
0
) = I(0) = I
0
,
由上式得
I
0
=
a
b
ln S
0
− S
0
+ C
因為 R(0) = 0 且 S
0
+ I
0
+ R(0) = N ,
由上
式得
C = S
0
+ I
0
−
a
b
ln S
0
= N
−
a
b
ln S
0
25
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
代入 (13) 式, 得
I(S(t)) =
a
b
ln S(t)
− S(t) + N −
a
b
ln S
0
= N
− S(t) +
a
b
ln
S(t)
S
0
(14)
(c)
根據假設 S(0) >
a
b
, I(0) = I
0
> 0,
dI
dt
t=0
= bI(0)
(
S(0)
−
a
b
)
= bI
0
(
S(0)
−
a
b
)
> 0
故 I(t) 由 I
0
開始遞增. 又
lim
t
→∞
I(t) = 0
表示 I(t) 恆正且會遞減至 0, 故在 I(t) 可微下,
在臨界數, 即
dI
dt
= bI
(
S
−
a
b
)
= 0
也就是 S(t) =
a
b
的某時刻 t 時, 由 (14) 式, 感
染數 I(t) 會有最大值
I
max
= I
(
a
b
)
= N
−
a
b
+
a
b
ln
(
a/b
S
0
)
26
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
16. (a)
先求特徵值, 即解
det(L
− λI) = det
[
1.9
− λ 2
0.1
−λ
]
= λ
2
− 1.9λ − 0.2
= (λ
− 2)(λ + 0.1) = 0
得特徵值 λ
1
= 2
與 λ
2
=
−0.1. 因為
λ
1
= 2 >
|λ
2
| = 0.1
族群成長率為大的特徵值 λ
1
= 2.
接著, 求 λ
1
對應的特徵向量, 即解矩陣方程式
L
[
x
1
x
2
]
= 2
[
x
1
x
2
]
相當於解線性方程式系統
1.9x
1
+ 2x
2
= 2x
1
0.1x
1
= 2x
2
亦相當於解
−0.1x
1
+ 2x
2
= 0
0.1x
1
− 2x
2
= 0
將上二式分別同除 x
1
的係數, 得等價方程式
x
1
− 20x
2
= 0
27
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
以及一特徵向量
u
1
=
[
20
1
]
可作為一穩定年齡層分布.
(b)
先求 λ
2
=
−0.1 對應的特徵向量, 即解矩陣
方程式
L
[
x
1
x
2
]
=
−0.1
[
x
1
x
2
]
相當於解
1.9x
1
+ 2x
2
=
−0.1x
1
0.1x
1
=
−0.1x
2
等價於
2x
1
+ 2x
2
= 0
0.1x
1
+ 0.1x
2
= 0
即
x
1
+ x
2
= 0
故得一特徵向量
u
2
=
[
1
−1
]
28
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
明顯地,
N (0) =
[
103
2
]
= 5
[
20
1
]
+ 3
[
1
−1
]
(i)
根據迭代映射,
N (t) = L
t
[
103
2
]
= 5(2)
t
[
20
1
]
+ 3(
−0.1)
t
[
1
−1
]
(ii)
因為
lim
t
→∞
(
−0.1)
t
= 0
當 t 夠大時,
N (t)
≈ 5(2)
t
[
20
1
]
因為
p(t) =
5(2)
t
20 + 3(
−0.1)
t
5(2)
t
(20 + 1) + 3(
−0.1)
3
(1
− 1)
=
5(2)
t
20 + 3(
−0.1)
t
5(2)
t
21
=
20 +
3
5
(
−0.1
2
)
t
21
29
中大數學系于振華
陽明交大醫學系微積分(110學年度)
期中練習題解答(110下)
且
lim
t
→∞
(
−0.1
2
)
t
= 0
得
lim
t
→∞
p(t) = lim
t
→∞
20 +
3
5
(
−0.1
2
)
t
21
=
20
21
30
中大數學系于振華