從 108 課綱的觀點看 107 學測試題—數學
單維彰．民國 107 年 1 月 31 日
前言
為了參加今 (107) 年的數學科學測試題答案討論會議，我在試題公佈之後就立
即將整份試卷仔細做了一遍，頗有心得，而後在討論會議裡又聽到一些高見。就
解題而言，這份試卷無甚爭議，但是很值得利用這份試卷的題目，作為闡述 108
課綱（特別是所謂的素養評量）的具體範例
1
：正例和反例皆有。因此寫成本文，
就教於數學教育同仁。請讀者留意，以下僅為個人意見，很希望電子報也會呈現
其他觀點，供大家比較與思考。
作者 (2017) 曾在本報分享過〈素養評量芻議〉
（以下簡稱〈芻議〉
）
，本文
討論試題的立場並無改變。在〈芻議〉提出的最主要理念，是認為
素養評量是素養導向之課程的學習成效評量
所以，在素養導向之課程（教材與教法）實踐之前，固然可以探索素養評量，但
實不宜太早定論。承此理念，本文亦非定論，僅以 107 年學測的試題作為〈芻議〉
之各項議題的實例。為此目的，簡略回顧〈芻議〉在技術上的議題包括
題組式命題：雖不符合現行學測的體例，但有些複選題可以考慮改成題
組形式；
允許使用計算機之後，對評量與命題的影響。
而在觀念上則主張數學素養亦可分為
內容向度：即張鎮華 (2017) 所謂「紮實的數學知識，也是素養」，根據
學習者的需求而分成支持終身學習所需的內容，以及預備下一階段學習
所需的內容，後者又簡稱為「學科內容」
；
表現向度：根據李國偉等人 (2013)「國民數學素養」的簡要描述，特別
列出六個關鍵詞的進一步闡述。
本文所列的題號，都來自民國 107 年的學測數學試卷。為節省篇幅，不複製
於文內。請讀者從以下網址取得試題檔案：http://www.ceec.edu.tw/AbilityExam
/AbilityExamPaper/107SAT_Paper/03‐107 學測數學試卷定稿.pdf。
第 1 題：素養內容與表現
作者認為此題所需的數學知識屬素養內容，學生表現出模擬或預測的能力。此題
的評量目標是 108 課綱最在意的主題之一：空間概念。有些同仁認為此題不利於
社會組同學，作者不能苟同。此題的概念，應屬一般人都能在生活經驗中有所體
會也經常有機會遇到實例的基本概念，如果社會組（或文組）學生感到困難，可
1
本文所謂的「課綱」或「108 課綱」
，都是指十二年國民基本教育的數學領域課程綱要（草案）
。
2
能是課程與教學的偏誤所致。這是「素養課程」所要調整的情況之一。
在課程綱要《說明手冊》
（國家教育研究院，2017）的高中階段，有提出使
用直角板作為教法線性質、三垂線定理的教學斟酌或釋例。如果教師按此精神而
使學生有機會親手操作實體教具而體驗空間概念，並在教學過程中隨時連結生活
中的空間經驗，此題應是所有學生應該具備的空間概念，而此題也就可以視為素
養導向課程的學習成效評量。
作者本來建議在 10 年級或 11B 課程裡安排「旋轉體」主題，後來考量教學
時數而未被採納。教師仍可在教學中善用旋轉體。製陶工藝的傳統「轆轤」是旋
轉體的具體例證，經由旋轉而製造的器物，也在生活中隨處可見。如果學生能以
數學的「思維方式」
（素養的表現向度之一）來「辨識」旋轉體，則想必能夠輕
鬆面對此題了。
第 2 題：素養內容與表現
此題的機率知識應屬素養內容，而獲得概數的能力表現則可以是數學溝通，也可
以認作使用工具估算，只是此題不允許使用計算機，而需要運用一個「常識」
：
10
2
1024
1000
，再運用指數律做簡單的心算。此題的數學答案是
10
(1 / 5) ，但
這不是一般人溝通方式，而且不容易產生數感（全部答對的機率大約是多少）
。
有人表示此題要用 log 做估計值，這樣做固然可以，但是顯得缺乏素養。作者認
為，理想的素養教學成效，是學生從高中畢業多年之後，還能做以下估算：
10
10
7
10
10
1
2
1024
1000
10
5
10
10
10
如前述，此題或許可以禁用計算機。如果能改成題組，把機率部分和估算部
分拆開，更能分辨學生的素養層次。甚至將概數改成手寫，交由學生判斷該用怎
樣的概數來呈現結果？則更能評量學生的溝通能力；但是如此則可能引起「沒有
標準答案」的激辯，所以不宜用在全國性的大型考試。
第 3 題：素養內容與表現
此題的評量目標，可視為數學思維方式的表現。至於其知識內容，作者不希望將
其標示為排列組合，而是基本的乘法原理。理想的數學素養，是學生從高中畢業
多年之後，仍具備以數學方式思考此型問題的能力。具體地說，學生不一定要立
刻套公式而設定機率的分母（樣本空間元素個數）為
7 2
2
(
)
C
，而希望她/他能沉吟
片刻之後「辨識」出來：員工甲的休假日可以任意設定，所以不妨假設是週日和
週一。然後，不論採用正面或反面的思考策略，只要考慮員工乙即可。而且，能
使用組合數
n
k
C
固然可喜，即便忘了，也能經由系統性地列舉而解決問題。
有人認為此題的文字敘述欠精確，因為沒有寫「至少」或「恰有」之類的限
定詞。作者卻支持原本的提問方式：
「發生兩人在同一天休假」
，因為這是一般人
的口語，而且這個句子也足夠清晰，並無混淆之處。數學的素養命題，在邏輯精
確之餘，也應該適度地靠近自然語言，而不必總是用術語來包裝。這也是作者經
3
常呼籲的「講人話」
。所以，此題還兼具閱讀素養的評量效果。
如果允許使用計算機，此題不妨要學生以準到百分位的百分比作答：52%，
這樣更明白地溝通機率的值。
第 4 題：108 課綱的基本練習
對 108 課綱而言，此題或可視為素養內容，但是它已經變成高一上學期的基本操
作練習，可能就不值得作為大考題目了。學習內容 N-10-4 的目標之一就是搭配
計算機而理解任一正數 a 都是 10 的次方，所以此題等價於
10
9
log 2
log 9
10
10
10
x
用計算機（和指數律）轉換成 9 0.301
9.54
x
，剩下的步驟就很簡單了。
作者不太願意推薦此題，原因除了它是基本程序練習以外，主要是此題缺乏
可以想像的脈絡。
〈芻議〉主張素養評量不一定非有情境不可，但是即便沒有情
境也最好能有合理的實用需求性，就像第 1 題，雖然它沒有「生活」情境（是一
道純數學情境的命題）
，卻有合理的、可想像的需求性，所以作者滿心地支持第
1 題而不太支持這一題。
第 5 題：學科內容的「解題」典範
此題的評量目標屬於理工學科的預備知識，而且它是「數學即解題」之教學法
(Mathematics as Problem Solving) 的典範。
「數學即解題」是美國數學教師協會
NCTM 在 1980 年代提出的標語，大意是用精心設計的問題來引導數學的學習。
雖然數學素養也說 Problem Solving，但是同樣兩個字意欲表達的觀念卻不甚相同：
前者關注的是可以帶領學生深入探索數學之幽雅連結的問題，而後者關注的是可
以帶領學生體會數學之妙用威力的問題。因此，臺灣的數教學者很有智慧地將前
者譯作「解題」而後者譯作「解決問題」
。
此題巧妙地連結等差中項、餘弦的和差角公式、廣義同界角三個觀念，讓熟
悉數學這門藝術的人讚賞其美妙，所以說是「解題」的典範。而前述三項觀念的
前兩項，恐怕難以界定為素養內容，僅能確定為理工類組的學科內容。作為一份
提供給全體高中生的數學試卷，作者認為此題的用途是為了鑑別理工類科的考
生。
第 6 題：素養的表現
十二年國教總綱將素養劃分成三個向度：知識，技能與態度。此題在知識和技能
方面，都不屬於高中數學的範疇。所以，這一題倒是可以當作「態度」評量的示
範了；即使面臨陌生的情境，也能根據定義做理性的思維。在此意義之下，作者
推薦此題為素養評量的試題。
此題巧妙地布置了一個「陷阱」
：第一週和第三週的成本都是 50（單位略），
單純的學生可能以為售價就應該相同，而誤以為 x 是 120。其實根據定義算出來
的 x 卻超過 120。此題具備教學價值，理由有二：
(1) 直覺固然可貴，但理性的思考有時候可以突破直覺的盲點，這是我們受教育
4
以及學習數學的真諦。這是此題提供的「態度」學習機會。
(2) 在答案研討會議上，新北高中的蔡老師指出此題的意義是：物價一旦漲上去
就跌不回來了的道理。這是很有素養的洞察，可以作為跨領域（公民、經濟）
的溝通或寫作題材。
第 7 題：學科內容，題幹需閱讀素養
此題所需的基本知識，其實屬於國中階段：等腰三角形的中垂線性質、三角形的
外角性質等等，只是被包裝成平面向量了。由此可見，此題僅是將向量作為溝通
的形式，並未觸及向量的特殊性質（威力）
。根據前述觀點，作者雖然可將此題
列為學科內容的試題，卻不推薦它。
此題若能改編為題組，先測驗學生可否「辨識」OA、OB、OC 線段在一圓
內的可能相對位置，或者 ABC
的可能形狀，則這一個小題可以成為素養評量，
就連 11B 的學生都該習得此種素養。
有些學生說他/她讀不懂「內接於」這樣的「倒裝句」
。但是作者支持原本的
題幹措辭，認為「 ABC
內接於圓心為 O 之單位圓」是精確而優美的數學語句，
而讀懂它是學生該具備的素養。
第 8 題：素養的表現
這一題所需的數學知識與技能，比第 6 題還要少，肯定屬於評量數學態度的題目。
但是這一題的文字實在太多了，作者也懷疑它作為一道數學試題的實用性。讓作
者還是推薦它作為素養試題的原因是：它應該是學生最熟悉的情境之一。
我們說不上來解決此題所需的數學工具是什麼？其實就是邏輯而已。邏輯固
然「瀰漫」在整個數學的學習歷程中，但是如果將邏輯作為獨立的學習單元，則
有時候難以拿捏其分寸，而且難以維持學習動機。就好像英語文的教育，已經不
再將「文法」當作獨立的教學單元（在中小學階段）
。108 課綱將邏輯設定為一
項學習內容 (N-10-7)，以便明訂高中數學所需涵蓋的邏輯課題，但是也指明此學
習內容不應設置獨立章節，而應該搭配數學的具體內容作為實例，在適當的時機
帶出邏輯的教學。此一設計，還需教科書作者及全體教師同仁的理解與支持。
第 9 題：108 課綱之不當試題
108 課綱在 10 年級的多項式教學，比 99 課綱更專注於多項式函數的學習，最終
目標在於徹底了解三次多項式函數圖形的特徵。在此教學目標之下，雖然還是有
多項式的除法原理，以及從它推論的因式定理和餘式定理，但是學習目標是用來
推導綜合除法和關於多項式函數圖形（大域、局部）的辨識與理解，作為接下來
學習微積分的準備。換個角度說，108 課綱的 10 年級多項式課程，不希望延續
過去以多項式為主題的課程，更沒有虛根和根與係數關係；這些課題移到了高三
選修數學甲。
作者明白此題算是「簡單」的，學生的答對率可能列在這份試卷的前矛，但
是並不能因為它在評量上的便利性，而將這一項既不是素養內容（是支持終身學
習的基本數學語言嗎？）
，也很難被列為學科內容的課題（是大學生普遍需要的
5
數學基礎嗎？）
，放在 10 年級讓所有高中生都非得學習不可。
108 課綱的國中階段刪除了多項式除法的「分離係數法」
，而高中階段也沒
有將它補回。這樣做的目的在於宣示一般次數的多項式除法，不再列於所有高中
生都必須學習的項目。
最後，此題的題幹值得商榷。雖然「多項式
( )
f x
」的確是教科書、教師的
慣用語言，但是這個說法是過於簡化的，在口語上講還情有可原，作為正式文件
的書面語則有待商榷。108 課綱的第一條理念就說數學是一種語言，先把語言釐
清，數學觀念才不至於混淆。題幹的修改方式之一，如「已知 x 的多項式 P 除以
2
1
x
…。令多項式函數
( )
f x
P
，試選出…。」
第 10 題：學科內容，接近題組與素養評量，題幹之句構不良
此題的評量目標應該是理工學科的預備知識，故列為學科內容的題目。就「解題」
的挑戰程度而言，比第 5 題單純一些，需要連結的數學知識並不太多。此外，就
像第 7 題，雖然以向量入題，但是並未觸及向量的本質，只是以向量符號表達平
面幾何的關係而已；即使不用向量內積，還是可以從畢氏定理而得知 ABC
為直
角三角形，其中 C
為直角。
此複選題的選項設計，已經接近題組的想法，具有逐步引導的效果。另一方
面，只要學生精密製圖，已經可以決定選項 (1)、(4)、(5)，而當他/她懷疑 (2) 的
時候，希望能想到運用畢氏定理（的逆敘述）
。當然，為了運用畢氏定理，學生
需能發揮數學思維，將點 A 設為原點，並能計算兩點之間的距離；其實僅需距
離的平方即可，不必真的算距離。如果用上述方法解決了選項 (2)，則 (3) 是更
基礎的素養。如果題目能評量學生是否可以不用向量，也不用行列式，而用上述
基本概念解決此題（題組）
，則此題可作為素養評量的題目。
提到「精密製圖」
，這是 108 課綱大加鼓勵的學習方法與思考方法，也是「運
用工具」的數學素養表現。所以學生用上述方法幫助解題，不僅不應禁止，反而
是素養導向教學的正途。考試時，應該准許學生使用圓規、有刻度的直尺、直角
板、量角器和計算器，甚至允許攜帶方格紙當作計算紙。一名學生從高中畢業多
年之後，還能記得向量內積的機率不高（除非成為理工專業人才）
，但是還記得
如何運用精密製圖與基本的畢氏定理來解決問題的機率較高。
最後贅言一項忠告：雖然我們是數學老師，還是應該盡量寫出正確而文雅的
書面語，就像第 7 題那樣。此題的「已知… ABC
，其中…」是不正確的句構，
還沒有說出已知什麼，就要連接下一句了。
「 ABC
」是為三角形名字，沒有揭
露任何關於它的資訊，所以它不能算是「已知」的受詞。就好像一句話「已知單
維彰，他…」並沒有把話說完，得說例如「已知單維彰超過 50 歲，他…」才算完
成了「已知…」的句構。修改此題題幹的方式之一，如「已知坐標平面上 ABC
之
( 4, 3)
AB
且…。」
臺灣學生的閱讀能力偏低，造成各種學習、表達、乃至於創造力的障礙，已
經是教育同仁共體的問題；許多數學教師同仁也關心這個議題，而各地皆開始舉
辦數學閱讀（與寫作）的課程或活動。然而，學生最常閱讀的數學文本，無非就
6
是教材與試題。如果不在這些日常性的數學閱讀材料上，潛移默化學生的數學閱
讀素養，反而另外增加課程、另外設計活動，並且另外指定課外讀物，豈不是捨
本而逐末了？
第 11 題：學科內容，空間課題學習成效的探針
此題還是屬於為大學理工學科做準備的學科內容。此題有空間中兩平面和一直線，
乍看之下頗為嚇人，但是只要能「鼓起勇氣」讀完選項，應該發現此題幾乎是送
分題，其牽涉的知識與技能皆非常基本，若不是因為需要正式的數學語言（方程
式）來解題，作者會將此題視為素養評量。
正因為此題出乎意料地簡單，作者主張此題的答「錯」率可以當作「有多少
學生放棄空間坐標幾何」的指標。如果相當高，則不僅是高中數學教師的警訊，
更應該作為高中數學教育的警訊：或許這個問題已經不是教材教法的層級能夠解
決的，而必須在課程綱要的層次來處理。作者寫到這裡的時候，還沒有資訊可供
討論，請讀者們一起等待大考中心公佈此題的統計數據吧。
第 12 題：超出 108 課綱
二次曲線的標準式及基本性質，被 108 課綱移到了高三選修數學甲。雖然 11B
的學習內容包含圓錐曲線 (S-11B-2)，但重點在於「由平面與圓錐截痕，視覺性
地認識圓錐曲線，及其在自然中的呈現」
。雖然《說明手冊》為了溝通的需要而
列出其標準式，但那僅止於素養導向的認識而不含焦點坐標的決定。所以此題超
出 108 課綱的 11 年級範圍。
即使針對 99 課綱，此題太過於倚重記憶和計算，可能也不算是一道大型考
試的好題目。
適當地改造第 1 選項，使得學生可以僅用拋物線的旋轉與平移來辨識焦點位
置，則可能將此題改編為適合 11B 課程的素養試題。
第 A 題：接近素養內容
此題連結直線斜率和常用對數，而作者更希望教師引導學生從更基本的比例關係
來辨識此題的數學內涵。亦即，從以下比例式求解 b，然後
log 3
y
b
即為所求
3 : (log 6 log 3)
9 :
b
運用直線斜率或比例式的部分，屬於素養內容。如果考生能夠使用計算機求得近
似解，則計算 y 的部分也是素養內容。如果使用對數律來計算 y，則是理工類組
的學科內容。
第 B 題：違背素養精神的情境試題範例
〈芻議〉認為素養試題未必需要情境的包裝，反之，用情境包裝也未必就是素養
試題。此題就是用情境包裝，但是違背素養精神的試題。國教院測驗及評量研究
中心的任宗浩主任，恰好就在演說中以類似此題的情境，當作素養評量的「反例」
(任宗浩，2017)。此題的情境違反常識，在數學概念上沒有價值，也不具備實用
性。
根據
量梯
牆上
境，
例試
教院
用計
是雲
為
AB
(1)
(2)
(3)
點，
都是
有吸
照以
態合
以就
第 C
此題
越過
認為
然很
也屬
在 A
。基於同樣
據常識想一
梯子長度的
上嗎？
任宗浩主
，就會合理
試題》定稿
院示範試題
計算機，所
右圖是消
雲梯的基座
公尺，5
OA
。一
為測量 OA
25
時
若求救者位
尺。試求雲
能使點 P 恰
若雲梯最多
立面的最低
算，單位為
有人說數
，重點是有
是寫實的，許
吸引力的荒
以下第 C、
合情合理，甚
就算沒有情
C 題：素養
題對於「溝通
過這道門檻
為這一部分
很好，但是
屬於素養內
AB 的中垂線
樣的理由，呂
一想，如果已
的道理？更務
主任在演講中
得多。不久
稿文件（國教
題的啟發，我
所有數據皆為
消防雲梯車與
座，線段 OP
30
。直線
一些問題如下
的距離，消
，點 P 觸碰
位於點 B，根
雲梯該伸長為
恰為點 B？
多僅能旋轉
低和最高高
為公尺。
數學試題的情
有沒有「意義
許多情節荒
荒唐嗎？學生
第 D 題，雖
甚至有點趣
情境也可以被
養內容與表現
通」的需求
檻之後，要知
分屬於素養內
是不能也無妨
容。接下來
線上。最後
呂溪木 (200
已經能夠測
務實地想想
中指出，同
久之後，國教
教院，2018
我想到一些合
為舉例，規
與火災樓房
P 代表雲梯
線 AB 表示火
下。
消防員發現
碰
AB
。試求
根據其樓層
為幾公尺，
轉 75
，試求
度；所謂「
情境不一定
義」(meanin
荒唐的小說也
生只是行禮
雖然都沒有
趣味，一般人
被考慮為素
現
求頗高，學生
知道
PAB
是
內容。如果
妨，只要知
來，運用數
後算出等腰直
7
07) 也反對
測量 ABC
想，當梯子的
樣是「梯子
教院公告了
8）
，裡面示
合理的情境
規定答案一律
房的數學模型
，其長度可
火災樓房的營
現當
15
OP
求 OA 。
層位置得知
向火場旋轉
求此雲梯能夠
「高度」從點
定要「真實」
ngful 或者
也能吸引大
禮如儀地不得
有（生活）情
人根據常識
素養試題。
生必須能根
是直角三角
能夠辨識 P
知道 P 越「高
數學的思維方
直角三角形
對「雞兔同籠
，又能獲得
的斜率僅有
子」問題，如
了《素養導
示範了一道消
境問題。以下
律準到
1
或
型圖，點 O
可任意伸縮
營救立面，
5 公尺且
19
AB
公
轉多少度，
夠到達營救
點 A 向上計
」
。作者也認
make sense
大批讀者。可
得不讀題，也
情境，但是
識可以接受該
根據文字而想
角形，其中弦
P 點落在以
高」則三角
方式，將可
形面積的步驟
籠」這一類
得 sin EFC
有 3/4 時，它
如果用消防
向「紙筆測
消防雲梯的
下問題都假
或 0.1 公尺。
O
公
救
計
認為「真實
e)？就好像暢
可是這一題
也不得不解
是題幹描述的
該狀態有實
想像一組變
弦長固定為
以 AB 為直徑
角形面積越大
可斷言 P 的最
驟，則可能
類問題。請讀
，豈有不能
它真的能夠搭
防雲梯救火的
測驗」要素與
的試題。受到
假設學生可以
。
實」與否並非
暢銷小說未
題的情境，屬
解題而已吧
的（數學）
實用的可能
變動中的關係
為
5
AB
；作
徑的半圓上
大即可，而
最高位置發
能比較遠離素
讀者
能測
搭在
的情
與範
到國
以使
非重
未必
屬於
？對
狀
，所
係。
作者
，當
而這
發生
素養
8
內容，而比較接近學科內容。但是整體而言，作者推薦此題為素養評量試題。
第 D 題：接近素養內容
如果此題從一個四邊形出發，要求考生辨識其為長方形，然後問圓
的最大可能
面積，則肯定屬於素養評量。再複雜一點，如果把題幹裡的四條不等式換成四條
直線方程式，並說明
落在這四條直線所圍成的封閉區域內，作者還是會將此題
列為素養試題。可是，目前寫成四條聯立不等式之解區間的命題方式，則稍微超
過了素養一點點，而略微跨進學科內容的範圍了；而且此題可以視為理工商管的
共同學科內容。如果此題的區域改成平行四邊形或梯形，就肯定是自然組的學科
內容了。
第 E 題：提供公式則可列為素養，若使用計算機則必為素養試題
此題決定 ABC
之頂點位置的部分，可以勉強算是素養內容。運用數學公式計算
cos ACB
的部分，則本來應該屬於理工類組的學科內容，可是因為試題本的第
7 頁提供公式表，讓學生有機會辨識適用的公式並應用之，所以此題可列為素養
試題。
如果允許使用計算機，則即使不提供公式表，此題也可以視為素養的範疇。
方法之一是：令 D 為 AB 中點，則 CDA
為直角三角形，其中
1
tan (1 / 2)
ACD
，
而
2
ACB
ACD
，算出 ACB
之後再算其 cos，可得 0.6。以上解題思維，僅
需要基本的幾何知識，基本的三角比定義，以及運用工具的能力。這是 108 課綱
的素養導向課程，最希望達成的教育成效。
第 F 題：用方程包裝單純的程序執行，不宜多取
我們數學老師有一種本事，就是將所有數學課題，指對數也好，三角也好，向量
也好，甚至機率統計，全都可以設計成二元一次聯立方程組的問題。這雖然也是
一種數學內部連結，但是就作者的經驗而言，此種連結鮮少表現出各主題的內容
本質，而是換個形式做基本的程序執行而已。如此的命題設計，可謂「為考試而
考試」
，偶爾為之在所難免，但是不宜多取。例如此題就屬不宜，放在學測這種
等級的考試，更屬不宜。
有人說這種題目是社會組學生可以拿分的題目，所以有它的價值。作者實難
苟同。社會組並不是只要背誦數學來應付考試就達到學習目標的，而社會組的數
學教育也不僅是讓他/她們能夠在考試得分而已，社會組的學生（特別指商管金
融，也可以包含部分的生醫農牧）確實需要數學，他/她們的需求也該在中學階
段受到重視，否則台灣的經濟發展與人才培育，就總是失衡的。108 課綱的高三
選修數學乙，迥異於以前的數乙，就是在上述理念之下重新設計的。
此題所需的知識與技能，是自然組與社會組共同需要的學科內容。在答案討
論會議上，有教授認為既然只是考矩陣相乘的程序執行，不妨就大方地問 z 的值
即可。作者贊成此議。
9
第 G 題：可製圖而得，使用計算機更佳
此題如果僅問
:
BD DC ，則屬素養試題。求的前述比例之後，要轉化為向量的線
性組合形式，就是理工類組的學科內容了。此題的數據設計恰好形成相似三角形，
但是此題的數學思維應該還是正弦定律比較適當。如果試卷提供了公式，而且可
以使用計算機，則此題換掉數據也是素養試題（僅求線段比）
。
如同第 10 題，此題也可以經由精確製圖而測量出線段比。雖然製圖無法精
確到無理數的等級，但是此題僅為簡單整數比，製圖之後應該看得出來。
108 課綱希望將分點公式放在線性組合的脈絡之中教學，可以先理解
OC
OA
OB
是從 A、B 兩點決定 C 點的方法，再理解在
1
的特殊情
況，C 點落在 AB 直線上，如果更特殊而
0
,
1
，則 C 點落在 AB 線段上；
也可以反過來，從最具體的 C 點落在 AB 線段的狀況出發，推廣到 C 點落在 AB
直線上，再推廣到一般的線性組合意涵。
作者本來希望將上述觀念推廣到空間向量，讓學生明白，當
0
, ,
1
且
1
，則線性組合
OA
OB
OC
的結果是空間中的 ABC
。但是經
討論之後，此項目沒有納入課綱。此觀念非常合適用來處理像 105 年學測第 G
題那樣的問題。
第 H 題：若使用計算機則為「素養」好題
雖然命題同仁將此題放在最後，暗示此題最難，但是作者認為此題所需的知識，
屬於素養內容。如同〈芻議〉也寫過的：素養試題無關難易。這份試卷的第一題
和最後一題相映成趣，彷彿替 108 課綱提早宣告「空間概念」的重要性，作者很
喜歡。作者對此題的意見與第 1 題相同：此題的情境應是在生活中經常遭遇的，
譬如摺紙就會遇到，如果學生感到困難，可能是課程與教學的偏誤所致。
但是，稍微美中不足的是，因為不能使用計算機，此題刻意安排 3:4:5 的直
角三角形，一則強烈地暗示幾何解法，二則限制了數據，使得此題與部分學校的
段考試題或習題完全相同；前者提高了解題的難度，而後者降低了測驗學生理解
能力的效度。
如果准許使用計算機，則此題的數據（長方形的邊長）就能任意調整，而除
了使用子母相似的幾何方法解題以外，也不阻攔學生設坐標而用直線方程式的交
點協助解題。
結語
首先，這份試卷相當著重空間概念，首尾兩題恰好都在空間中佈題，似乎是個呼
應。雖然空間思維的試題對考生顯得嚴峻了些，但這個主題也是 108 課綱認為我
國數學教育的弱項之一，有待所有中學數學教育同仁，共同努力來補強它。
其次，這份試卷似乎出現頗多次的對數，但是皆為常用對數，且其技術需求
皆屬基本，這與 108 課綱對待「對數」的看法，完全一致。
第三，試卷內的學科內容，大多屬於理工類組所需的預備知識，相對缺乏商
管財經類組的學科內容。未來的 A 類課程學測，必須更注意理工、商管兩大類
10
型的平衡。
第四，在〈芻議〉列舉的關鍵「素養表現」中，此試卷的素養試題僅觸及其
中幾項，還有幾項始終未被觸及。這或許是因為目前的學測試題並未完全地素養
導向，而且我們大家都還沒有開發那些試題的經驗。這是一塊新的園地，有待數
學教育同仁一起開墾。
最後，作者認為此份試卷的整體品質很好，而且多處呼應 108 課綱的設計理
念，在此向匿名的命題同仁致敬與致謝。
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