授課老師：單維彰 筆 記 製 作：數 3A 張富翔 942001013
授課日期：2007 年 10 月 18 日
授課範圍：國中第一冊
第三章一元一次方程式
第三章一元一次方程式
第三章一元一次方程式
第三章一元一次方程式
3
3
3
3-
-
-
-2
2
2
2 一次式的運算
一次式的運算
一次式的運算
一次式的運算
數字的抽象化
數字的抽象化
數字的抽象化
數字的抽象化
在章節 3-1 中，我們學會了如何以符號代表數，而從 3-2 開始，我們才可以
說是真正的把”數字”抽象化成”數”。在前面的幾個章節，我們都只是單純的
把符號代表成一個任意數，而公式也只是把數字換成一個可以用任意數帶入的符
號表示而已。但是從現在開始，我們要真正的把符號用來代表一個未知的數，就
如同以前的□一樣，好讓我們用它來幫助我們解決一些必要的問題。
一元一次式
一元一次式
一元一次式
一元一次式
一元一次式，其中「一元」就是指式子當中只有一種符號，而「一次」就是
指符號的指數為 1，也就是次方為 1，像是
4
+
x
,
2
3
+
− x
，
)
4
2
(
)
1
2
(
x
x
+
+
−
−
，
2
，
y
y
3
4
−
+
，都是一元一次方程式。
注意：在這之前要先和小朋友定義說，
x
x
=
1
，此外對於
xy
1
和
x
這一類非一元一
次方程式的東西，學生若沒問可以先不提，以免造成小朋友的混淆。
一元一次式的
一元一次式的
一元一次式的
一元一次式的化簡
化簡
化簡
化簡
由於一元一次式中的符號是用來代表數，所以一元一次式的四則運算和以前
正負整數的運算方法都一樣，像是：
(1)
7
10x
7
2x
5
7
5
2
+
=
+
⋅
=
+
⋅
x
(2)
8
-36y
8
3y
(-12)
8
(-12)
3y
+
=
+
⋅
=
+
⋅
一元一次式的乘積展開
一元一次式的乘積展開
一元一次式的乘積展開
一元一次式的乘積展開
在一元一次式當中，我們運用符號代表數所以分配率也適用於符號的運算，
例如：
(1)
15
3
5
3
3
)
5
(
3
+
=
⋅
+
⋅
=
+
⋅
x
x
x
(2)
63
9
9
7
9
9
)
7
(
+
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
y
y
y
(3)
x
x
x
3
12
3
4
3
)
4
(
3
−
=
⋅
−
⋅
=
−
⋅
(4)
y
y
y
9
54
9
9
6
9
)
6
(
−
=
⋅
−
⋅
=
⋅
−
注意：
(1)這裡對於初學者來說非常重要，因為這裡會影響到之後併項的部份。
(2)由於之前使用分配率都是把式子乘開，幾乎沒有用到提出”公因數”的方
法，所以在這邊最好先讓同學做一些簡單的例子，讓同學習慣提出”公因數”，
另外再提出公因數的時候，記得要先練習提出”數字”，在練習提出”數”。像
是：
(A)
2
2
+
x
有 2 這個因數可以提出來，所以會變成
)
1
(
2
+
x
。
(B)
8
4 −
x
有 4 這個因數可以提出來，所以會變成
)
2
(
4
−
x
。
(C)
y
y
3
9
− 同時有
y
可以提出來，所以會變成
y
y
6
)
3
9
(
=
−
也很符合 9 個
y
減
去 3 個
y
等於 6 個
y
的直覺。
一元一次式的併項
一元一次式的併項
一元一次式的併項
一元一次式的併項
何謂項?用加號和減號隔開的就是項，如
1
2
3
+
+ x
x
加號減號總共隔開了 3
個數字，所以共有三項，而
1
2
5
+
−
+
y
y
則是用加號減號隔開了 4 個數字，所以
共有四項。而併項就是將相同的東西合併，像是把
x
x
2
+
合併便成
x
3
。併項是為
了讓式子看起來簡單一點，事實上，併項之後往往可以省略不少計算上的麻煩。
例如：欲將
88
=
x
代入
x
x
x
7
15
8
13
+
−
+
時，先併項成
8
5
+
x
，再將
88
=
x
代入。
而什麼時候需要併項呢？在一元一次式當中只要超過 2 項就需要併項了，基本上
併完項之後應該是會剩下一個常數向和一個帶有未知數的項，也就是說其實併到
最後最多只會剩下兩項，例如：
(1)
x
x
x
−
=
+
−
2
3
(2)
3
2
2
5
3
+
=
−
−
+
x
x
x
(3)
a
a
a
4
5
4
3
2
=
−
注意；
(1)
和之前一樣，併項的練習一樣要從簡單入手，尤其是越重要的部份越是這
樣，建議先從整係數下手，之後再開始練習分數和小數的合併。另外學生容
易把小數、分數和整數當成不同的東西，做好能多做題目讓他們了解其實小
數、分數和整數其實是一樣的。
(2)
當他們合併到最後只剩下兩項的時候，可以和學生們提一下，我們有個約
定，要把有 x 的寫在前面，常數寫在後面，例如：
(A)我們會寫
2
3
+
x
不會寫
x
3
2
+
(B)我們會寫
1
5 −
x
不會寫
x
5
)
1
(
+
−
也就是說我們習慣把高次項寫在前面(這部份可以不說，因為尚未教到二次以上
的次方)，當然有規則就有例外。像是：
(A)我們會寫
x
2
3
−
而不會寫成
3
)
2
(
+
− x
(B)
2
1
x
x
+
+
…
不過這部份其實身教重於言教，多寫幾次給學生看，久了他們自然就會了。
列出方程式
列出方程式
列出方程式
列出方程式
一元一次式最重要的就是拿來列出一元一次方程式解決一些問題，猶豫要決
定哪樣未知數應該拿來設 x 是很困難的，所以這部份的題目大部分都已經將未知
數 x 先設定好了，而學生需要做的就是將方程式列出來。
(1)
某租車店
提供雙人和三人協力車，全店有 20 輛車，且雙人協力車有 x 輛，
問該店協力車最多可以租給多少人騎。
解：
雙人協力車
有 x 輛，所以三人協力車有
x
−
20
輛
，雙人協力車可供
x
2
人騎
，三人
協力車
可供
)
20
(
3
x
− 人騎，所以共可以提供
x
x
x
x
x
−
=
−
+
=
−
+
60
3
60
2
)
20
(
3
2
(人)
(2)
假
有 x 元，且甲和乙的錢總數和是 3000 元，如果甲把他的錢的
5
1
分給乙，
請列
式乙現在有多少錢。
解：
(A)甲有 x 元，則乙原有
x
−
3000
元，甲將
5
x
元分給乙，因此乙現在的錢是
x
x
x
x
5
4
3000
)
5
1
1
(
3000
5
)
3000
(
−
=
+
−
+
=
+
−
(元)
(B)先算甲剩下
x
x
x
5
4
5
=
−
元，再利用甲和乙的錢的總數不變，仍然是 3000 元，
所以乙現在的錢是
x
5
4
3000 −
元
注意：
(1)
從第一個例題可以看出答案未必要是整數、小數或是分數，可以有未知數 x
沒有關係。此外，在列方程式之前可以先將 x 用真實的數字帶進去，算給學生
看，算幾次有感覺之後，再用 x 下去算給學生看，算完之後可以用之前舉的真
實數字帶進去答案中，讓學生們知道這樣算是正確的。
(2)
第
二題的”總和不變”是個很重要的方法，以後其實會用的到，但是相對的
那
個方法比較沒有那麼直觀可以想到，剛開始可以只用方法一即可。
本章節的重點
本章節的重點
本章節的重點
本章節的重點
(1)
代數式可以依照數的運算規則，做式子的運算及化簡。
(2)
在一次式的運算中，可以利用分配律和併項，化簡成為較簡潔的式子
(3)
如何依照題目給予的文字列出一元一次方程式
補充
補充
補充
補充學測題
學測題
學測題
學測題
(1)
a
ab
b
a
3
+
=
⊕
，則
??
2
5
=
⊕
−
x
解：把 a 用-5，
b
用
x
2
代入即可，
)
15
10
(
)
5
(
3
2
)
5
(
−
−
=
−
⋅
+
⋅
−
x
x
(2)
??
3
3
2
4
2
3
=
−
+
−
x
x
解：
12
18
17
12
)
3
2
(
4
)
2
3
(
3
3
3
2
4
2
3
−
=
−
+
−
=
−
+
−
x
x
x
x
x
(3)進口一雙鞋 x 元，成本加三成作為定價，打八折出售後，是賺還是賠？
解：
x
x
x
x
04
.
1
)
3
.
1
8
.
0
(
8
.
0
)
3
.
0
(
=
⋅
=
⋅
+
> x 所以是賺。