輕鬆學會解二元一次聯立方程式：從理解消去法意義開始

輕輕鬆鬆學會□=？ △=？(x=？y=？)

解二元一次聯立方程式

雲林縣褒忠國中陳昭龍

雲林縣褒忠國中蔡文明

壹、設計想法

在本組的教學經驗中，教學生解二元一次聯立方程式的過程，好像「機械化」般，一開始便介紹「代入消去法」、「加減消去法」，讓學生「很快」的解出x=？y=？。然而問學生「消去法」的意義時，學生們幾乎無法將意義說出。為此，本組便思考改進二元一次聯立方程式求解的教學過程，讓學生在「活動」的過程中，確實瞭解「代入消去法」、「加減消去法」的真義—「等量公理」，進而以輕鬆的態度來學習二元一次聯立方程式的求解問題。

在日常生活中常會遇到一些問題，用某數（亦即一元一次方程式）的概念比較難列式，因而比較難於解題，例如：

1.褒忠超市鮮奶一瓶可賺3元，礦泉水一瓶可賺2元，今天合計賣了100瓶的鮮奶與礦泉水，共賺了230元，請問鮮奶與礦泉水各賣幾瓶？

2.阿龍買2支鉛筆、1支原子筆，共花了35元；阿明買3支鉛筆、2支原子筆，共花了90元；且阿龍與阿明買的鉛筆與原子筆各是同廠牌且同型號，請問鉛筆與原子筆每支的售價各是多少？

為了使學生能解決上述的問題，今本組特別設計本教材，以「前導組體」教學模式，先從國小的學習概念引入，逐漸加深問題難度，進而導出「二元一次聯立方程式」中的『代入消去法』與『加減消去法』的概念，使得學習「解二元一次聯立方程式」不再是抽象的、單純的解題，而是能具體地分析解決問題的策略，進而明瞭假設兩個未知數在問題解決中的重要性。

貳、設計內涵

一、學生能力分析

1.熟知等量公理：等量加法、等量減法、等量乘法、等量除法。

2.能理解國小六年級對「未知量」、「變量」的假設及求解。

3.能「以符號代表數」及「解一元一次方程式」。

4.本班學學生程度屬中上，教學活動中師生互動頗佳，學生亦樂於發言與質疑。

二、單元教學目標

1.能知道可用兩個未知數來表示日常生活中的數量問題。

2.能根據題意列出二元一次方程式或二元一次聯立方程式。

3.能化簡含有兩個未知數的算式及求出含有兩個未知數的算式所代表的值。

4.能瞭解二元一次聯立方程式的解的意義。

5.能用等量公理處理二元一次方程式的基本運算。

6.能利用代入消去法、加減消去法解二元一次聯立方程式。

7.能利用二元一次聯立方程式求解日常生活中有關數量的問題或簡易應用問題。

8.能由實例瞭解二元一次聯立方程式的解可能不是原問題的解答。

三、對應能力指標

A-4-2　能解從生活情境問題中列出的二元一次聯立方程式。

C-R-1　能覺察生活中與數學相關的情境。

C-T-1　能把情境中與問題相關的數量形析出。

C-T-2　能把情境中數量形之關係以數學語言表出。

C-T-4　能把待解決的問題轉化成數學的問題。

C-S-5　瞭解一數學問題可有不同的解法，並能嘗試不同的解法。

C-C-3　能用一般語言與數學語言說明情境與問題。

C-C-6　用一般語言與數學語言說明解題的過程。

C-C-7 用回應情境、設想特例、估計或不同角度等方式說明或反駁解答的合理性。

C-E-1　用解題的結果闡釋原來的情境問題。

C-E-5　將問題與解題一般化。

四、設計架構

(一)教材內容分析：

(二)教材地位分析：

參、教學設計

一、活動目標

1.讓學生複習簡易的一元一次多項式之運算及一元一次方程式之解。

2.引入學生以符號表徵二元一次多項式之列式與式子的運算，並求其「值」。

3.以等量公理「具體操作」求得未知量，並「轉換」為二元一次聯立方程式且能與同學溝通及共同解題，進而評析解題過程。

4.將問題從情境剝離，純以抽象之數學符號表徵問題，解決「係數」為整數之二元一次聯立方程式。

5.解決「分數型」之二元一次聯立方程式。

6.解決問題為「無解」之類型，主要要讓學生能省視所求得之解是否能符應題意或真實情境。

7.設計係數經過特殊設計之問題，主要目的是讓學生從本單元活動中，真正瞭解「等量公理」與「適當之式子結合」對問題解決的助益，而不是單純記憶「特殊」的計算過程。

二、教學年級

本教材預計於九十二學年度九貫課程之二年級上學期實施。（但本教材已於九十學年度對八十三年版之一年級學生施教過，今再做部分修正，已符合九貫課程內涵）

三、教學節數

本單元預計上課八節課，所設計之活動融入到第第一至第六節課中進行，第七、八節作總結評量與檢討。

四、實施方式

1.以合作學習、小組討論等教學策略進行教學。

2.將「改良式」之紙筆測驗評量—「問題引導」，納入教學設計中。

3.以「活動實際操作」輔助其概念建立及問題解決。

4.將生活情境問題導入課程學習，進而建立解題「基模」。

5.本單元課程屬性乃為「自編教材」，非「補充教材」，故授課時段為原數學領域的授課時數，但若能再利用「彈性教學時數」使之連貫教學，相信學生之學習成效當更加明顯。

6.部分工作單及學習單附有「教師教學指引」，教學者可利用「教學指引」協助學生討論，進而增進師生之互動與課程學習。

五、理論背景

(一)一般化的經驗定律(Empirical Law)：

讓學生在資料的探詢中，作簡單的數學分析，使之建立「一般化的經驗定律」。

(二)建立數學模型(Mathematical Model)：

透過「一般化的經驗定律」，再加上「模擬實習」，蒐集必要的數據與實例，觀察出可能的趨向，進而建立「數學模型」。

(三)理性決策，將問題「數學化」(Mathematization)：

問題的解決必是多元因素的「交互作用」，也就是方法是「多元化」，因此，在講求「科學化」的現實社會中，當理性的做出一些基本的假設，然後據此得到一些推論，進而做出明智的決策。（摘自數學世界中的萬花筒，黃敏晃著，牛頓文庫出版）

五、活動流程

說明：上表「活動流程」中之「單元教學目標一～八」乃為「貳、設計內涵」中之「二、單元教學目標」的八個對應關係；打「ˇ」者表示教學活動中有達成該項單元教學目標。

六、評量方式

利用多元評量之理念為學生打出最「合理」的學習成績：

1.小組討論之成績

2.上台演示之成績

3.紙筆測驗成績

4.各小組輪流命題，每次隨堂測驗以十分鐘，四個問題為限，且這四個問題必須事先交由老師檢核，核可後才可以考同學，命題小組不用考試，但須負責閱卷及全班檢討之講解，如此之目的主要在培養學生「學習統整」，每位學生都認為自己都是「數學小老師」的成就觀，提昇其學習興趣，而教師便可從學生的「命題」及「講解」中，評出較客觀的學習成績。

肆、教學省思與改進

1.本教材前半部主要在引導學生利用舊經驗，並輔助教具幫助解題，後半部便要教導學生從具體轉至抽象，純粹以x、y來代替未知數的功能，培養學生列式與解題的能力，並『直觀』求出二元一次聯立方程式的解。

2.本教材注重統整學習，不強調代入消去法與加減消去法，經由老師的引導及學生自我的建構，找出合理的解題策略。

3.本教材從解決日常生活的問題出發，引起學生的學習動機，進而讓學生從解決問題過程中，激發代入消去法與加減消去法的概念。

4.本教材以「九年一貫課程」的精神編寫，強調「分組合作學習」，從「工作單」、「學習單」、「問題討論」乃至「自我評量」、「習作」、「隨堂測驗」，一應俱全。

5.本教材主要是讓學生從工作單中建立「消去」的概念，不強調「代入消去」或「加減消去」，讓學生從解決日常生活應用問題中，自行建構解二元一次聯立方程式的方法。

6.善用實例，促使學生瞭解問題的真義。例如，對為何解二元一次聯立方程式要消去一個未知數時，本組以此實例來對學生解釋：在醫學上探討身高或體重時，常會提到影響的變因，包括遺傳基因、營養、運動等三要素。若要探討哪個因子影響最大時，我們必須先控制其中的二個變因，使其不變，然後再分析其中一項變因來探討其影響力。同樣地，在解決兩個未知數的數學問題上，我們也是如此的做法，先將其中一個未知數使其固定不變，然後再考慮另一個未知數的差異，如此，我們便可以很容易地解決二元一次聯立方程式的問題了。

7.在學生的學習過程中，必須將「具體操作」與「形式表徵」作連結，勿偏廢其一，勿讓學生以為學「解二元一次聯立方程式」是「沒必要」的。在「學科理論」與「學科本位」中讓學生習得該學得的數學知識，進而具備「帶著走的能力」。

8.在教學活動設計中，老師們應會注意到若是方程式為2x—3y=5，如何應用教具（本活動設計之磁鐵）呈現於天平上？這問題就是將「—（減號）」與「等量公理」從「形式運思」內化為「具體表徵」的最佳時機：

若將x以□表示，y以△表示，則2x—3y=5可用天平概念呈現如下：

5

□□ △△△

因「—（減號）」本質上是「少」的意思，既然天平左邊比右邊少3個△，所以便將左邊補上3個△，如此一來便可「具體操作」。但若常數項為負數時，吾人建議直接以「負數」呈現，無須思索利用具體物表徵。

伍、參考資料

1.國立編譯館出版之國中數學第二冊及教師手冊。

2.標準奧林匹克數學教程初一分冊（中國數學普及工作委員彙編，九章出版社出版）。

3.大陸地區現行初級中學數學課本，代數第二冊（九章出版社出版）。

4.趣味數學問題集（張良杰、游耿能譯，凡異出版社出版）。

5.數學世界中的萬花筒（黃敏晃著，牛頓文庫出版）。

附件一：

學習單（一）

請在（ ）中填入適當的數：

例：2x＋4x＝（6）x

一、（1）3x＋2x＝（ ）x

（2）3x－2x＝（ ）x＝（ ）

（3）-3x+5x＝（ ）x

（4）-3x+4x＝（ ）x＝（ ）

例：5x＝10 則 x＝（10）÷（5）＝（2）

二、（1）若3x＝6，則x＝（ ）÷（ ）＝（ ）

（2）若x＝5，則x＝（ ）÷（ ）＝（ ）

（3）若（－3）x＝6，則x＝（ ）÷（ ）＝（ ）

（4）若（－ ）x＝5，則x＝（ ）÷（ ）＝（ ）

（5）若3x＝－6，則x＝（ ）÷（ ）＝（ ）

（6）若x＝－5，則x＝（ ）÷（ ）＝（ ）

（7）若（－3）x＝－6，則x＝（ ）÷（ ）＝（ ）

（8）若（－ ）x＝－5，則 x＝（ ）÷（ ）＝（ ）

三、請解出△與□各代表何數？並上台發表各組討論的結果。

附件二：

學習單（二）

（一）若□＝x，△＝y，則5×□＋4×△＝5（x）＋4（y）

仿照上例，請在下列（ ）中，填入適當的數：

（1）5×□－3×△＝5（ ）－3（ ）

（2）（－3）×□＋5×△＝－3（ ）＋5（ ）

（二）2×3x＝2×3×x＝6x

仿照上例，請在（ ）中，填入適當的數：

（1）3‧（－5x）＝（ ）x

（2） ‧（6y）＝（ ）y

（3）3‧（－5x）＋ ‧（6y）＝（ ）x＋（ ）y

（三）化簡：(4x+5y)-(2x+3y)=4x-2x+5y-3y=2x+2y

（1）(2x+5y)-(2x+3y)=____________

（2）3(2x+5y)-2(2x+3y)=____________

（3）(-3x+7y)-(5x+7y)=____________

（4）-4(x+y)+2(3x+2y)=____________

（

x

問題：

（1）礦泉水一瓶10元，鮮奶一瓶30元；若買了x瓶礦泉水，y瓶鮮奶，共花元。

（2）買5元郵票x張，12元郵票y張，共花元。

（3）呆呆買了x支鉛筆，y個橡皮擦；瓜瓜買了2x支鉛筆，3y個橡皮擦；則兩人總共買了__________支鉛筆，個橡皮擦。（請列式，並寫出計算過程）

解：

（4）鉛筆一支10元，原子筆一支15元，今呆呆買了x支鉛筆，y支原子筆；瓜瓜買了2x支鉛筆，y支原子筆；則兩人合計花了元。（請列式，並寫出計算過程）

解：

（5）綠茶每杯20元，梅子綠茶每杯25元；若龍龍買了x杯的綠茶，2y杯的梅子綠茶；明明買了3x杯的綠茶，y杯的梅子綠茶；則明明比龍龍多花了元。（請列式，並寫出計算過程）

解：

隨堂練習：

（1）龍龍有5元硬幣x個、10元硬幣2y個；明明有5元硬幣3x個、10元硬幣y個；則他們共有元。（請列式，並寫出計算過程）

（2）若有一長方形的長為x公分，寬為4公分；一三角形的底為y公分，高為6公分；

則它們的面積和為平方公分。（請列式，並寫出計算過程）

（3）請在下列空格中，填入各算式所代表的數。

1.若x=2，y=1，則4x+5y=_________

2.若x=-2，y=-1，則2x-3y=_________

（4）化簡下列各式：

1.(3x-2y)+(x+2y)=__________

2.3(x+y)-5(x-y)=___________

附件三：

工作單(一)

本工作單中之□及△表示不同的物體，今放在公正的天秤中測重量，其單位皆為公克（g），請依下列問題，求出□及△各重多少克，並發表小組之解答過程。

（1）

□ 10

□ △ 15

（ 2）

□ △ 15

□ △△ 21

（3）

□□△△ 26

□□△△△△ 36

動動腦：

以上三小題，你有沒有發現每小題中，兩天秤之□數量有何共通處？這共通處對您解題是否有幫助？

附件四：

工作單(二)

本工作單中之□及△表示不同的物體，今放在公正的天秤中測重量，其單位皆為公克（g），請依下列問題，求出□及△各重多少克，並發表小組之解答過程。(各組請配合剪裁好之圖片，親自操作，輔助問題的思考；並且盡可能想出不同的解題方法)

（1）

□□△△ 26

□△△△ 25

【ps：參見下頁教師教學指引】

教師教學指引

（1）對應的數學式子：

□□△△ 26

2x＋2y＝26----------（1）

x＋3y＝25----------（2）

由（1）÷2得

x＋y＝13------------（3）

（2）－（3）得2y＝12

∴ y＝6

x＝13－6＝7

□△△△ 25

解法（一）：

由第一個天秤得：

□△ 13

再由上面的天秤與第二個天秤比較得：

2△＝12，故△＝6

因此，□＝13－△＝13－6＝7

解法（二）：對應的數學式子：

□□△△ 26

2x＋2y＝26----------（1）

x＋3y＝25----------（2）

由（2）×2得

2x＋6y＝50--------------（3）

（3）－（1）得

4y＝24，y＝6

∴x＝25－3y＝25－18＝7

□△△△ 25

由第二個天秤得：

□△△△

□△△△ 50

再由上面的天秤與第一個天秤比較得：

4△＝24，故△＝6

因此，□＝25－3△＝25－18＝7

（2）

□□△ 21

□△△ 18

教師教學指引

（2）對應的數學式子：

□□△ 21

2x＋ y＝21-------------（1）

x＋2y＝18-------------（2）

由（2）×2得

2x＋4y＝36-------------------（3）

（3）－（1）得3y＝15

y＝5

∴x＝18－2y＝18－10＝8

□△△ 18

解法（一）：

由第二個天秤得：

□△△

□△△ 36

再由上面的天秤與第一個天秤比較得：

3△＝15，故△＝5

因此，□＝18－2△＝18－10＝8

解法（二）：

比較二個天秤：對應的數學式子：

□ □ △ 21

2x＋ y＝21-------------（1）

x＋2y＝18-------------（2）

（1）－（2）得

x－y＝3

∴x＝y＋3代回（2）得

（y＋3）＋2y＝18

∴3y＝15，y＝5

∴x＝5＋3

＝8

□ △ △ 18

發現□比△重3克

□－△＝3

所以，□＝△＋3

因此，再由第二個天秤得：

（△＋3）＋2△＝18

即3△＝15，△＝5

因此，□＝△＋3

＝5＋3

＝8

解法（三）：

對應的數學式子：

□□△ 21

2x＋ y＝21-------------（1）

x＋2y＝18-------------（2）

（1）＋（2）得

3x＋3y＝39

同除於3得

x＋y＝13--------------------（3）

（1）－（3）得

x＝8，y＝5

□△△ 18

將兩個天秤的□與△放到同一個天秤中，

得：

□□△

□△△ 39

故

□△ 13

再由上面的天秤與第一個天秤比較得：

• ＝8，

因此，△＝5

（3）

□□△△△ 36

□□□△ 26

動動腦：

從工作單（一）及工作單（二）中，在解決兩個未知量的問題時，你是如何求出兩個未知量的數值？請各組討論，並發表結果。

教師教學指引

（3）

對應的數學式子：

□□△△△ 36

2x＋3y＝36-----------------（1）

3x＋y＝26----------------（2）

由（2）×3得

9x＋3y＝78---------------------（3）

（3）－（1）得

7x＝42，x＝6

∴y＝26－3x＝26－18＝8

□□□△ 26

解法（一）：

第二個天秤變成

□□□△

□□□△

□□□△ 78

再由上面的天秤與第一個天秤比較得：

7□＝42，故□＝6

△＝26－3×□＝26－18＝8

解法（二）：

對應的數學式子：

2x＋3y＝36-----------------（1）

3x＋y＝26----------------（2）

1. －（2）得

2y－x＝10

∴x＝2y－10--------------------（3）

將（3）代回（2）得

3（2y－10）＋y＝26

∴7y＝56

∴ y＝8

∴x＝2y－10＝16－10＝6

□□□△ 26

比較兩個天秤發現：

2△－□＝10

故□＝2△－10

由上面的關係及第二個天秤得到：

3（2△－10）＋△＝26

因此，7△＝56

故△＝8

□＝2×△－10＝16－10＝6

附件五：

學習單（三）

問題（一）：

某日阿龍與阿明相邀一起到褒忠書局買文具。兩人發現有時下最流行的kitty cat與叭叭熊橡皮擦，因此阿龍買了1塊kitty cat及1塊叭叭熊橡皮擦，而阿明買了2塊kitty cat及1塊叭叭熊橡皮擦，但因二人沒有將單價看清楚，便一起拿到櫃檯結帳，老闆指著阿龍的東西說：「總共45元」，指著阿明的東西說：「總共60元」。聰明的你，是否能算出kitty cat與叭叭熊橡皮擦每個單價各是多少？(各組請配合剪裁好之圖片，親自操作，輔助問題的思考；並且盡可能想出不同的解題方法)

問題（二）：

若阿龍買了3塊kitty cat及3塊叭叭熊橡皮擦，共花了105元；阿明買了2塊kitty cat及1塊叭叭熊橡皮擦，共花了60元。請問kitty cat及叭叭熊橡皮擦每個單價各是多少元？(各組請配合剪裁好之圖片，親自操作，輔助問題的思考；並且盡可能想出不同的解題方法)

問題（三）：

若阿龍買3塊kitty cat及2塊叭叭熊橡皮擦共花了78元，阿明買了4塊kitty cat及3塊叭叭熊橡皮擦共花了108元，請問kitty cat與叭叭熊橡皮擦每個單價各是多少？(各組請配合剪裁好之圖片，親自操作，輔助問題的思考；並且盡可能想出不同的解題方法)

問題：

從工作單（一）、工作單（二）及學習單（三）中的三個問題的解答過程中，各位是否發現解決上述問題的規則性？就你的認知加以說明。

動動腦：

如果今天阿龍只買了1塊kitty cat及1塊叭叭熊橡皮擦共花了35元；

而阿明買了2塊kitty cat及2塊叭叭熊橡皮擦；請問：

（1）阿明須付多少錢？

（2）能不能由上面的資料，確切算出kitty cat與叭叭熊橡皮擦每個單價各是多少元？

附件六：

學習單（四）

例 ：y＝2x-------------------(1)

8x＋5y＝1800--------(2)

隨堂練習：求下列二元一次聯立方程式之解：

附件七：

學習單（五）

例 ：2x＋5y＝21---------(1)

2x＋3y＝11---------(2)

問題：請觀察x、y的係數，你是否發現x的係數相等？若要消去未知數x，我們可以將兩式（相減，相加）[請將對的圈起來，並將符號填入下圖□中]。請解出x=？y=？

2x＋5y＝21

）2x＋3y＝11

例 ： －2x＋5y＝21---------(1)

2x＋3y＝11---------(2)

問題：請觀察x、y的係數，你是否發現x的係數互為相反數？若要消去未知數x，我們可以將兩式（相減，相加）[請將對的圈起來，並將符號填入下圖□中]。請解出x=？y=？

－2x＋5y＝21

）2x＋3y＝11

隨堂練習：求下列二元一次聯立方程式之解：