加減消去法解二元一次聯立方程式教學設計

主要概念

設計者

適用年級

加減消去法

台中縣立光正國中陳美伶老師

高雄縣立五甲國中鄭如萍老師

臺中市立光明國中紀雅芳老師

臺南市立和順國中鄭筱玫老師

２

質數與合數

新竹縣忠孝國中陳麗珠老師﹑

新竹市光武國中李鈴茹老師﹑

宜蘭縣冬山國中林文章老師﹑

苗栗縣大倫國中柯文智老師

設計者：台中縣立光正國中陳美伶老師﹑高雄縣立五甲國中鄭如萍老師臺中市立光明國中紀雅芳老師﹑臺南市立和順國中鄭筱玫老師

活動名稱	加減消去法	適用年級	二年級		教學節數	約二節
設計者	台中縣立光正國中陳美伶老師高雄縣立五甲國中鄭如萍老師臺中市立光明國中紀雅芳老師臺南市立和順國中鄭筱玫老師
設計構想一、數學本質概念二元一次方程式：含有二種未知數(二元)，且未知數的次數是1(一次)的等式(有『＝』號)，稱為二元一次方程式。二元一次聯立方程式：將兩個二元一次方程式並列在一起，就稱為二元一次聯立方程式或二元一次方程組。二元一次聯立方程式的解：能同時使得聯立方程式中，各方程式等號成立的 x 和 y 所代表的數，就是聯立方程式的解。加減消去法：１．加減消去法是將聯立方程式中的一個式子減去或加上另一個式子來消去一個未知數，使聯立方程式變成一元一次方程式，再求此方程式的解。２．使用加減消去法時，有時須將其中的方程式分別乘以某一個數，再相加或相減才能消去兩個未知數中的一個未知數。二﹑數學概念之認知（一）學生的先備經驗本課程設計之教學對象為國中二年級的學生，本「利用加減消去法解二元一次聯立方程式」單元為「代數」領域。學生已具備之能力有： A-3-1能用x、y的式子表徵生活情境中的未知量及變量。 A-3-2能將生活情境中的問題表徵為含有x、y的等式或不等式，透過生活經驗，檢驗判斷其解，並能解釋式子及解與原問題情境的關係。 A-4-1能利用等量公理解從生活情境問題中列出的一元一次方程式。（二）教材分析本活動設計目標為：「利用加減消去法解二元一次聯立方程式」。簡要說明如下：人們的生活情境中常常會有一些與數學相關的問題，藉由生活情境引入數學問題的解法，增加學生學習數學的興趣並增進解決問題的能力。
能力指標				具體目標
【A-3-7】察覺數量與數量間的關係。【C-T-2】能把情境中數量形之關係以數學語言表出。【A-4-2】能解從生活情境問題中列出的二元一次聯立方程式。【C-S-3】能觀察、推演式子與式子之間的關係。【C-S-5】瞭解一數學問題可有不同的解法、並能嘗試不同的解法。【C-C-8】能尊重他人解決數學問題的多元想法。【C-E-4】能評析解法的優缺點【C-E-5】能將問題與解題一般化。【C-R-1】能察覺生活中與數學相關的情境。				能利用加減消去法解二元一次聯立方程式。

教學活動流程

具體

目標

活動主題及進行方式

主要活動與問話

能利用加減消去法解二元一次聯立方程式。

一﹑察覺數量與數量間的關係。

【A-3-7】

個人思考

小組討論

分組發表

意見分享

引言：情人節到了，道明寺想要送一束美麗的花給杉菜，於是他到花店買花。花店的小姐建議他買玫瑰與百合，因為玫瑰象徵愛情，而百合代表百年好合。如果買了11朵玫瑰配上5朵百合（不含包裝費），要930元；如果買9朵玫瑰配上3朵百合（不含包裝費），要630元。但是道明寺想送杉菜99朵玫瑰和100朵百合，讓兩人更能「愛情久久，百年好合」。那道明寺要花多少錢呢？

一﹑因為道明寺的數學不太好，所以同學們，如果你是道明寺的話，你要如何利用下列的表格算出玫瑰與百合的價錢呢？

編號	玫瑰（朵）	百合（朵）	總價（元）
	11	5	930
	9	3	630
	20	8
	2	2
	1	1
	3	3
	6	0
	1	0
	0	1
	99	100

教學活動流程

具體

目標

活動主題及進行方式

主要活動與問話

能利用加減消去法解二元一次聯立方程式。

二、能把情境中數量形之關係以數學語言表出。

【C-T-2】

三、能解從生活情境問題中列出的二元一次聯立方程式。

【A-4-2】

個人思考

小組討論

分組發表

意見分享

二、同學們，現在請利用之前我們學過的以符號代表數把玫瑰、百合朵數與總價的關係列成二元一次方程式，並將方程式填入表格中。

玫瑰（朵）	百合（朵）	總價（元）	方程式
11	5	930	11x+5y=930
9	3	630	9x+3y=630
20	8	1560
2	2	300
1	1	150
3	3	450
6	0	180
1	0	30
0	1	120
99	100	14970

教學活動流程

具體

目標

活動主題及進行方式

主要活動與問話

能利用加減消去法解二元一次聯立方程式。

四、能觀察、推演式子與式子之間的關係。

【C-S-3】

個人思考

小組討論

分組發表

意見分享

三、同學們，請觀察到的方程式之間有什麼關係，與同組同學討論，並完成學習單中的步驟3。

編號	方程式
	11x+5y=930
	9x+3y=630
	20x＋8y=1560
	2x＋2y=300
	x＋y=150
	3x＋3y=450
	6x=180
	x=30
	y=120
	99x＋100y=14970

說說看三個方程式之間有什麼關係？
說說看三個方程式之間有什麼關係？
說說看二個方程式之間有什麼關係？
說說看三個方程式之間有什麼關係？

說說看二個方程式之間有什麼關係？

教學活動流程

具體

目標

活動主題及進行方式

主要活動與問話

能利用加減消去法解二元一次聯立方程式。

五、瞭解一數學問題可有不同的解法、並能嘗試不同的解法。【C-S-5】

六、能尊重他人解決數學問題的多元想法。【C-C-8】

七、能評析解法的優缺點【C-E-4】

八、能將問題與解題一般化。【C-E-5】

九、能察覺生活中與數學相關的情境。

【C-R-1】

個人思考

小組討論

分組發表

意見分享

四、同學們，想想看：為什麼道明寺可以用上表的十個方程式算出玫瑰與百合的單價與總價呢？與同組同學討論，完成學習單中的步驟4後，說給全班同學聽。

五、同學們，想想看，聰明的你，可以用比道明寺更少的式子，算出這些花的價錢嗎？與同組同學討論，說出你們的方法並完成學習單後，說給全班同學聽。

六、老師結語，並指派作業。

　　情人節到了，道明寺想要送一束美麗的花給杉菜，於是他到花店買花。花店的小姐建議他買玫瑰與百合，因為玫瑰象徵愛情，而百合代表百年好合。如果買了11朵玫瑰配上5朵百合（不含包裝費），要930元；如果買9朵玫瑰配上3朵百合（不含包裝費），要630元。但是道明寺想送杉菜99朵玫瑰和100朵百合，讓兩人更能「愛情久久，百年好合」。那道明寺要花多少錢呢？

因為道明寺的數學不太好，所以道明寺利用下列的表格先算出玫瑰與百合的單價，然後再算一算一共要付多少錢。

編號	玫瑰（朵）	百合（朵）	總價（元）	方程式
	11	5	930	11x+5y=930
	9	3	630	9x+3y=630
	20	8
	2	2
	1	1
	3	3
	6	0
	1	0
	0	1
	99	100

步驟1：觀察兩列，算出到的總價。

步驟2：如果以x代表一朵玫瑰花的價錢，y代表一朵百合的價錢，請將到的方程式列出來。

步驟3：

說說看三個方程式之間有什麼關係？

說說看三個方程式之間有什麼關係？

說說看二個方程式之間有什麼關係？

說說看三個方程式之間有什麼關係？

說說看二個方程式之間有什麼關係？

步驟4：為什麼道明寺可以用上表的十個方程式算出玫瑰與百合的單價與總價？請小組討論發表。

道明寺總共列出十個方程式才算出99朵玫瑰與100朵百合的價錢，聰明的你，可以用比道明寺更少的式子，算出這些花的價錢嗎？

兩光國中一年普班共有40人，本次段考數學科男生平均75分，女生平均80分，全班平均為78分。

全班總分是多少？
如果假設男生有x人，則男生的總分可表示為　　　　
如果假設女生有y 人，則女生的總分可表示為　　　　
想想看，全班總分、男生總分、女生總分之間有什麼關係？將方程式列出來。

想想看，全班人數、男生人數、女生人數之間有什麼關係？將方程式列出來。

利用d、e將男生及女生的人數算出來。

美環到超市買了7個芒果，6個蘋果，共花了230元。花輪買了5個芒果，3個蘋果，共花了145元。請問芒果一個多少錢？蘋果一個多少錢？

小丸子發現用遊戲的方法就可以算出芒果及蘋果的價錢，方法如下：

7
6								230
5
4
3						145
2
1
0				6 0
	0	1	2	3	4	5	6	7

1.先畫出一個表格，在表格的最下方分別由左至右寫上0.1.2…代表芒果的個數；在表格的最左方分別由下至上寫上0.1.2……代表蘋果的個數，而空格代表價錢，例如：座標（2,3）空格中的數代表2個芒果及3個蘋果的總價；座標（0,1）空格中的數代表0個芒果及1個蘋果的總價，所以根據超級任務中的第二題，我們可以將7個芒果及6個蘋果的總價230元，寫在座標（7,6）的空格中；5個芒果及3個蘋果的總價145元寫在座標（5,3）的空格中。

2.觀察230及145的位置關係，小丸子做了長方形記號。

3.利用記號可以推算出圈起來的位置應填入60。

(因為230與145相差85，所以145－85＝60)

4.因為座標（3,0）空格中的數是60，所以3個芒果、0個蘋果的價錢是60元，所以1個芒果的價錢就是20元。

5.利用7×20元＋6個蘋果的價錢是230元，所以可以算出1個蘋果的價錢等於15元。

設計者：陳麗珠老師﹑李鈴茹老師﹑林文章老師﹑柯文智老師

活動名稱	質數與合數		適用年級	一年級	教學節次	約1節
設計者	陳麗珠老師(新竹縣忠孝國中)﹑李鈴茹老師(新竹市光武國中) 林文章老師(宜蘭縣冬山國中)﹑柯文智老師(苗栗縣大倫國中)
教學準備	海報紙、白紙(切割成小正方形)、學習單、白板筆、膠水、小刀、磁鐵
設計構想數學本質概念 ◎質數：一個大於1的整教，其因數只有1和它自己本身以外，再沒有別的因數。特性：(1)大於1的正整數 (2)除2之外，都是奇數 (3)正因數只有1和本身，共2個 (4)相異兩質數必互質 ◎合數：一個大於1的整數，其因數除了1和它自己本身以外，還有別的因數。 ※0和1既不是質數，也不是合數學生的先備經驗本課程設計之教學對象為國中一年級上學期(類化具體表徵—辨識樣式間的關係)的兒童，本單元跨「圖形與空間」、「數與量」兩領域。兒童已具備之能力有： N-2-2 延伸加、減、乘、除與情境的意義，使能適用來解決更多的生活情境問題。 N-3-1 兆以內數的概念、位值、化聚及大小關係。 N-3-18 能覺察非負整數的因數、倍數、公因數、公倍數。 S-1-1 能由形體的外觀辨認出某一形體。 S-1-2 能依據二維、三維基本形體的外觀做簡單分類。 S-1-10 能透過具體操作判斷某些簡單圖形可作無空隙的平面舖設或立體堆疊(面積、體積)。 S-3-11 能操作圖形之間的轉換組合。
兒童迷思概念因為是新教到的數學名詞，兒童在生活中很難聽到這樣的名詞，不免會感到很陌生及恐懼。只是死記、硬記質數的意義及特性，學生不但學習無味，並且不清楚到底什麼是質數。不知質數與生活有何關係及如何連結。處理的特色由生活問題引入(班上排隊的問題)，讓學生感好奇及有興趣，並與生活連結。透過活動的動操作來(小正方形排成矩形)，讓學生可動手，並且讓圖形與數之間產生連結。透過小組活動及分組報告，讓學生間有互動。開放式問話，讓學生能自由回答，激盪思考及理解、組織能力。透過生活中的質數例子，如7-11便利商店中的數字，讓學生判別是否為質數，並且讓學生也舉例，藉以使學生察覺生活中質數的例子、質數與生活的關係。
能力指標		具體目標
N-3-20 辨識質數和合數		瞭解質數及合數的意義察覺質數的特性
R-1-1 能察覺生活中與數學相關的情境		能發覺生活中常用的數中，有那些是質數
C-3-8 能尊重他人解決數學問題的多元想法。		能透過小組討論的過程中學習尊重彼此意見，產生共識，一同解決問題。

教學活動流程

具體

目標

活動主題及進行方式

主要活動與問話

引起學習動機

一、藉由問題引起動機

本校十二月將舉行運動會，運動員進場的隊形打算排成導師喜歡的矩形，班上有三十六人，可以有幾種不同的排法？

１、能透過具體的操作，會將一個數拆成兩個因數的乘積

二、檢測是否能將一個數拆成兩個因數的乘積。

(小正方形紙片、壁報紙、磁條)

Error: Reference source not found

※每組發下八張正方形腊光紙，教師並指導學生將每張腊光紙對摺二次，共可得32個小正方形。再各組發下半開的壁報紙，請同學利用小正方形(每個邊長當作是1單位)，拼出題目所要的長方形面積，並黏貼在壁報紙上。(壁報紙須先畫如下之表格)

長方形面積	排法	長×寬	方法數
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

請各組再將所完成的壁報紙張貼於黑板上：

請同學檢查有沒有哪一組排的不完整，有遺漏的排法？

哪些排法有無相同或不同的方法？

只有一種排法的長方形面積有：

超過一種排法的長方形面積有：

凡是只能排出一種長方形的長與寬有啥麼特色？

特色：

具體

目標

活動主題及進行方式

主要活動與問話

１、認識質數及合數

２、能正確判斷哪些是質數

三、認識質數及合數

1.老師根據之前的活動引入質數及合數的概念

2.以問問題方式引導各組學生思考壁報紙上統計的結果，並對質數與合數加以統整。

※凡是一個大於1的正整數，只能寫成1與它本身相乘的形式者稱為質數，如果超過二種以上者稱為合數。

換言之：一個大於1的正整數中，只有1和它本身兩個正因數，再沒有別的因數，稱為質數。一個大於1的正整數中，只有1和它本身兩個正因數，還有別的因數，稱為合數。

壁報紙上的長方形面積，哪些是質數？哪些是合數？

質數：

合數：

最小的質數是

利用生活中的例子加深學生對質數與合數的認識

四、質數與生活中的結合

(發下學習單)

在日常生活中有哪些地方會出現質數呢？

便利商店7-11中，7與11是不是質數呢？

□ 是□不是原因：

有一種藥叫做「十八銅人行氣散」，18是不是質數呢？

□ 是□不是原因：

運動會當天如果班上有3人生病請假、4人是童軍服務隊，無法參加運動員進場，請問有幾種方式可以做矩形隊形變換？種

這樣的人數是質數嗎？

□ 是□不是原因：

運動會當天如果班上全部參加運動員進場，請問有幾種方式可以做矩形隊形變換？

種

全班的人數是質數嗎？

□ 是□不是原因：

※請同學分組討論，找出生活中其它跟質數有關的例子，並與其他組分享你的發現？

活動1-1 學習單

1.請同學將老師發下去的八張腊光紙對摺各裁成4個小正方形(共32張)。

2.聰明的你，請你從2個小方格紙開始將它們排成一個長方形，完成之後再增加1個小方格紙，同樣的也是將它們排成一個長方形，排完之後依照這樣的步驟每次只增加1個小方格紙並且將它們排成一個長方形，請你將所排出的結果填入下面的表格中。

方格紙數	長方形的排法 (有幾種)	方格紙數	長方形的排法 (有幾種)	方格紙數	長方形的排法 (有幾種)	方格紙數	長方形的排法 (有幾種)
2		10		18		26
3		11		19		27
4		12		20		28
5		13		21		29
6		14		22		30
7		15		23		31
8		16		24		32
9		17		25