解二元一次聯立方程式：代入消去法重點整理

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單元名稱：解二元一次聯立方程式—講義 p.13學生姓名：

※重點整理：

1.二元一次聯立方程式：兩個二元一次方程式並列在一起的式子，叫做二元一次聯立方程式或二元一次方程組。

2.代入消去法：解二元一次聯立方程式的過程中，利用代入的方法先消去一個未

知數，這種解題的方法，稱為代入消去法。

3.使用時機：(1) 當聯立方程式中x的係數(或y的係數)均為1且相同時。

(2) 當聯立方程式中x的係數(或y的係數)大於1且相同時。

題型一：聯立方程式中x的係數( 或y的係數) 均為1且相同

y ＝4 y ＝4x y ＝4x + 1

x＋y＝30x＋y＝30x＋y＝30

題型二：聯立方程式中x的係數( 或y的係數) 大於1且相同

2 y ＝5 2 y ＝5 x

x＋2y＝30x＋2y＝30

步　驟1：判別式子( ｙ就是什麼，且相同…)

步　驟2：代進去(只剩1個未知數)

步　驟3：解出另一個未知數

例題：題型一聯立方程式中x的係數( 或y的係數) 均為1且相同

y＝3

步　驟1：判別式子( ｙ就是什麼，且相同…)

x＋y＝30

y＝3

x＋3 ＝30

步　驟2：代進去(只剩1個未知數)

步　驟3：解出另一個未知數

X ＝30 – 3 ＝27

例

X＝6

3X＋Y＝15

例

X＝－5

4X＋Y＝7

例題：題型二聯立方程式中x的係數( 或y的係數) 均為1且相同

y＝2 x

步　驟1：判別式子( ｙ就是什麼，且相同…)

x＋y＝30

y＝2 x

x＋2 x＝30

步　驟2：代進去(只剩1個未知數)

3 x ＝30

x＝10

代

步　驟3：解出另一個未知數

入(1)式得

y＝2 ´10 ＝20

例

X＝3Y

2X＋Y＝35

例

X＝－2Y

2X＋Y＝15

例題：題型一聯立方程式中x的係數( 或y的係數) 均為1 且相同

y＝2 x＋3

步　驟1：判別式子( ｙ就是什麼，且相同…)

x＋y＝30

y＝2 x＋3

x＋2 x＋3＝30

步　驟2：代進去(只剩1個未知數)

3 x＋3 ＝30

3 x＝30 – 3 ＝　27

x＝9

代

步　驟3：解出另一個未知數

入(1)式得

y＝2´ 9 + 3 ＝21

例

X＝2Y－1

2X＋Y＝15

例

X＝Y＋3

7X－Y＝19

例題：題型二聯立方程式中x的係數( 或y的係數) 大於1 且相同

步　驟1：判別式子( 2ｙ就是什麼，且相同…)

2 y ＝5

x＋2y＝30

2y＝5

步　驟2：代進去(只剩1個未知數)

x＋5 ＝30

X＝30 – 5 ＝25

2

步　驟3：解出另一個未知數

y＝5

y＝

例

3X＝9

3X＋Y＝35

例

Y＝9

2X＋Y＝15

例題：題型二聯立方程式中x的係數( 或y的係數) 大於1 且相同

步　驟1：判別式子(2ｙ就是什麼，且相同…)

2 y ＝5 x

x＋2y＝30

2y＝5 x

x＋5x＝30

步　驟2：代進去(只剩1個未知數)

6X＝30

X＝5

代

步　驟3：解出另一個未知數

入(1)式得

2 y＝25

y＝

例

3X＝6Y

3X＋Y＝35

例

Y＝3X

2X＋Y＝15

※重點整理：

1.二元一次聯立方程式：兩個二元一次方程式並列在一起的式子，叫做二元一次聯立方程式或二元一次方程組。

2.加減消去法：解二元一次聯立方程式的過程中，利用兩式相加或兩式相減的方　　　　　　　法，圥消去一個未知數，這種解題的方法，稱為加減消去法。

3.使用時機：(1) 當聯立方程式中x的係數(或y的係數)均為1且相同時。

(2) 當聯立方程式中x的係數(或y的係數)大於1且相同時。

題型一：聯立方程式中x的係數( 或y的係數)相同

x＋y ＝5 x＋2y ＝5

x–y＝3x– 2y ＝3

3x＋y ＝5 3 x＋2y ＝5

x＋y ＝3x＋2y ＝3

步　驟1：判別式子( 相同的是什麼，框起來…)

步　驟2：加減消去( 框內：異號相加，同號相減，只剩1個未知數)

步　驟3：解出另一個未知數

題型二：聯立方程式中x的係數( 或y的係數不同)

2x＋3y ＝16 2x＋3y ＝16

x–y＝3x–y＝3

步　驟1：判別式子( 想消去的是什麼，匡起來…)

步　驟2：加減消去( 求匡內的最小公倍數：異號相加，同號相減，只剩1個未知數)

步　驟3：解出另一個未知數

例

……..( 1 )

題：題型一聯立方程式中x的係數( 或y的係數)相同

x

…( 2).

＋y ＝5

x–y＝3

x

步　驟1：判別式子( 相同的是y，匡起來…)

＋y＝5

x–y＝3

步　驟2：加減消去( 匡內：異號相加，只剩1個未知數)

x

＋)

＋y＝5

x–y＝3

2x＝8

x＝4

代

步　驟3：解出另一個未知數

入(1)式得

4 ＋y ＝5

y ＝5 – 4 ＝1

例

X–Y= 1

X＋Y＝35

例

X + Y=0

X - Y＝15

例

……..( 1 )

題：題型一聯立方程式中x的係數( 或y的係數)相同

x

…( 2).

＋2y ＝5

x– 2y ＝3

x

步　驟1：判別式子( 相同的是2y，匡起來…)

＋2y＝5

步　驟2：加減消去( 匡內：異號相加，只剩1個未知數)

x– 2 y＝3

x

＋)

＋2 y＝5

x– 2y＝3

2x＝8

x＝4

代

步　驟3：解出另一個未知數

入(1)式得

4 ＋2 y ＝5

2y ＝5 – 4 ＝1

y ＝

例

5X– 7Y= 13

3X＋ 7Y＝19

例

5X + 3Y =16

3X - 3Y＝0

例

……..( 1 )

題：題型一聯立方程式中x的係數( 或y的係數)相同

3

…( 2).

x＋y ＝5

x＋y＝3

3

步　驟1：判別式子( 相同的是y，匡起來…)

x＋y＝5

x＋y＝3

步　驟2：加減消去( 匡內：同號相減，只剩1個未知數)

3

–)

x＋y＝5

x＋y＝3

2x＝8

x＝4

代

步　驟3：解出另一個未知數

入(1)式得

3 ´ 4 ＋y ＝5

y ＝5 – 12 ＝-7

例

3X - 2Y= 3

3X - Y＝12

例

4X - Y =14

2X - Y＝0

例

……..( 1 )

題：題型一聯立方程式中x的係數( 或y的係數)相同

3

…( 2).

x＋2y ＝5

x＋2y＝3

3

步　驟1：判別式子( 相同的是2y，匡起來…)

x＋2y＝5

x＋2y＝3

步　驟2：加減消去( 匡內：同號相減，只剩1個未知數)

3

-)

x＋2y＝5

x＋2y＝3

2x＝8

x＝4

代

步　驟3：解出另一個未知數

入(2)式得

4 ＋2y ＝5

2y ＝5 – 4 ＝1

y =

例

5X＋ 23Y= 2

5X＋ 18Y＝7

例

5X -3Y =14

3X -3Y＝0

例題：題型二聯立方程式中x的係數( 或y的係數)不同

2

…( 2).

……..( 1 )

x＋3y ＝16

x–y ＝3

2

步　驟1：判別式子( 想消去的是x，匡起來…)

x＋3y ＝16

步　驟2：加減消去( 求匡內的最小公倍數：同號相減，只剩1個未知數)

x–y＝3

2

-)

最小公倍數[2,1]為2，

所以(2)式´2

x＋3y ＝16

2x– 2y＝6

3y - (- 2y)＝16-6

5y＝10

y = 2

代

步　驟3：解出另一個未知數

入(2)式得

x - 2＝3

x ＝5

例

8X - 5Y = 4

X＋ Y＝ 7

例

7X + 5Y = 30

2X - 10Y＝ 4

例題：題型二聯立方程式中x的係數( 或y的係數)不同

2

…( 2).

……..( 1 )

x＋3y ＝16

x–y ＝3

2

步　驟1：判別式子( 想消去的是y，匡起來…)

x＋3y＝16

步　驟2：加減消去( 求匡內的最小公倍數：異號相加，只剩1個未知數)

x–y＝3

2

+)

最小公倍數[3,1]為3，

所以(2)式´3

x＋3y ＝16

3x– 3y＝9

2x + 3x＝16+9

5x＝25

x = 5

代

步　驟3：解出另一個未知數

入(2)式得

5- y＝3

y ＝5 – 3 = 2

例

5X - 6Y= 3

2X＋ 3Y＝12

例

5X + Y = 10

2X - 3Y＝ 4

第13頁

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