正負數加減與式子的化簡之相關教學
高雄市前鎮國中 楊青毓
壹、設計想法
一、緣起
現在國中一年級的課本在正負數的運算的教材設計上，多是以黑白子或魔豆來進行教學，在進行加法運算時，同學利用黑白子可互銷的概念進行學習還算順暢，但在進行減法運算時，就開始出現學習障礙，課本上是利用黑白子互銷的觀念，在減一個數時就先對應產生一組相反數後，再進行減法運算。如：
2－（-3）＝2＋0－（-3）＝2＋【3+（-3）】－（-3）＝2＋3+（-3）－（-3）＝2＋3＝5
希望學生建立減一個數相當於加它的相反數的運算概念，但總有一些學生感到不適應，而產生學習障礙，也影響到後來的學習。因此，我便在想要如何利用一些輔助物或遊戲來協助學生學習。
二、發展過程
基於這樣的一個教學動機，我便開始尋找線索來加以實踐，一開始我所想到的是改良撲克牌遊戲中的「九九」這個遊戲，但在與一位老師討論及實驗中發現，這個遊戲的設計中有一些瑕疵，如學生若對於正負數的加減不熟時，整個遊戲是很難順利進行的，這和原本的構思利用此活動來輔助學習的想法相違背，因此宣告失敗，但在這過程中覺得反而利用做為這個單元的熟練活動倒還不錯。
前不久美國高爾夫名人賽開打，發現選手的成績正是用正負數來加以記錄，好像有一線曙光出現，但在深思後發現依然有問題，如只適合做正負數的加法運算，對於我原本想改進對正負數的減法教學的想法並無助益，因此也宣告放棄。直到在遠哲上課時遇到歐志昌老師，向他請教我的想法，於是他便給了我一些做法及想法，逐漸形成這個教學活動。
貳、設計內涵
一、正負數的符號
「＋」及「－」其實既是「運算」符號，也是「性質」符號。根據Cajorri（1928）之描述，「＋」號及「－」號的使用，最先出現於西元1417年的某些手寫稿上，但他們所代表的意義並非「加減」，而是表示交易行為中的「過剩」與「不足」。Henricus Grammateus可能首先在1526年將「＋」及「－」當作運算符號，使用於代數式中。它其實就是一種性質符號，表示數的性質。在一個算式中，表示性質的符號時，通常會用小括號將之與數字括在一起，已有別於運算符號。
二、正負數加減法運算的教學
正負數加減法運算的教學，通常有兩種模式，一為數線模式，另一為正負電荷相消模式。數線模式是將「被加數」、「加數」及「和」，分別用有向線段，在數線的上方予以圖示，這種加減法，其實就是一維空間的向量加減法。這種表示法的缺點是：無法有效的解釋減法運算，減法必須建立在「加法的反運算」上，民國83年國編本即採用「水位升降」之方式，建立數線加減法之模式。
電荷相消模式首先假設：同量但正負相反的電荷合在一起時，可以相抵銷而予以忽略。因此，作數的「合成」或「分解」活動時，在任意時刻均可加入或取出等量但正負相反的電荷。在此模式下，加法可看成兩組電荷的合成，而減法則看成一組電荷的分解，這種合成及分解的說明方式與學生舊有的「加減」概念相符合。
在教學時教師需事先製作正反面黑白顏色的紙板若干個，並在進行活動前說明活動規則，「－」代表翻面，如1－2，1就代表一個白色面向上的紙板，2就代表兩個白色面向上的紙板，在按照活動規則及電荷相消模式，進行操作性輔助學習，在操作幾次後，應引導學生以半具體物取代黑白紙板進行學習。
對於國一學生而言，本教學活動正是他們目前的學習範圍，因此對於國一學生的適用性上是無庸置疑的，且本活動也可作為國二、國三學生的補救教學之用。
三、學生能力分析
先備能力：
1.能做正數（整數、小數、分數）的加、減法運算。
2.能理解正數的交換律、結合律。
重點能力：
1.能做正負整數的加、減法運算。
2.透過操作，能了解整數加、減法的意義及計算法則。
後續發展：
能利用數的運算規則，會做簡易的文字式化簡。
四、教學目標
1.能做整數的正負加法運算。
2.能做整數的正負減法運算。
3.會做簡易的代數式化簡。
五、對應的能力指標
能力指標 | 與本活動的關聯 |
A-3-1 能用x、y、…的式子表徵生活情境中的未知量及變量。 | 對於生活情境中所存在的數量關係，可用含未知數的式子來表示其規律性。如兄弟倆年齡相差兩歲，因此當弟弟n歲時，哥哥為n＋2歲。 |
A-3-2 能將生活情境中的問題表徵為含有x、y、…的等式或不等式，透過生活經驗檢驗、判斷其解，並能解釋式子及解與原問題情境的關係。 | 如兄弟倆年齡相差兩歲，因此當弟弟n歲時，哥哥為n＋2歲。因此可藉由弟弟今年13歲，則可得哥哥今年應該為13＋2＝15歲，而來查証是否正確。 |
A-3-3 能利用數的合成分解或逆向思考解決由生活情境中列出的等式 | 利用數的合成分解做2x＋3－1－2x＝（2x－2x）＋（3－1）＝2的式子化簡運算。 |
A-3-11 能以「正、負」表徵生活中相對的量，並能操作負整數的合成分解。 | 在本活動中主要在提供課本利用黑白子做正負整數的加減運算時須利用0＝a＋（-a），做（-2）－3＝（-2）－3＋3＋（-3）＝（-2） |
C-T-1 能把情境中與問題相關的數量形析出。 | 如活動情境中灰姑娘想要減肥而參加了減重班，第一個月她瘦了3公斤，表示體重變化-3公斤。 |
C-T-2 能把情境中數量形之關係以數學語言表出。 | 如活動情境中灰姑娘第一個月她瘦了3公斤，第二個月胖回了5公斤，第三個月又減了4公斤，可用算式（-3）＋5＋（-4）來表示。 |
C-S-5 瞭解一數學問題可有不同的解法，並能嘗試不同的解法。 | 在正負數的加減運算中提供除了數線、黑白子的方式外的學習方法。 |
C-C-8 能尊重他人解決數學問題的多元想法。 | 解決問題的方法人人不同，無論是什麼方法，只要能解決問題的就是好方法，而且每一位學生所能接受的方式也都不盡相同，因此要能具有包容接納不同聲音的氣度，而激盪出更多多元的想法。 |
參、教學設計
一、活動目標
1.藉由操作性活動，協助學生學習正負數的加法運算。
2.藉由操作性活動，協助學生學習正負數的減法運算。
3.藉由操作性活動，協助學生學習一元一次式的化簡。
二、教學年級
國中一年級學生。
三、教學節數
六節課（270分鐘）。
四、實施方式
設計這個活動的主要目的是為了針對一些教科書利用黑白子進行正負數的加減法運算，所造成學生的學習迷失提出改進方案。在實施上作者事先會針對本活動所需用到的教具加以設計製作（需注意磁鐵的吸力問題），配合課本的例題進行黑白圓板的操作，這時以察覺正負數加減法的運算規則為目的。接下來作者會在黑板上另外命題，希望學生以之前所察覺的運算規則進行運算求出結果，再利用黑白圓板的操作來加以驗證。在這過程中因牽涉到具體物的操作，所以在命題上所採用的數字以-10~10為主，以免增加操作上的困難。以後再延伸到大的數字的正負數計算。
而並非經由如此的過程學生便能全盤了解，因此作者會不斷的以十題的隨堂測驗形式，要求學生反覆練習以求計算上的熟練，並不時的在隨堂練習中加入『你為什麼知道這麼算是對的？』的問句，或要求學生針對題目做情境擬題活動，以增加學生做答反思與驗證的機會。
本活動以國中一年級的學生為主要學習對象，當然也可以作為國中二、三年級學生補救教學之用。在設計上國一上學期在學完正負數加減法運算，也可以將活動延伸至國二上學期的一元一次式的化簡運算，活動是以上學期四節課、下學期兩節課，在數學課正常教學時數實施。
五、活動流程
活動一：正負數的加法運算
活動說明：藉由操作活動協助學生學習正負數的加法運算。
情境布置：
1.正反面分別為黑白顏色的圓形紙板30個。
2.小白板６塊。
主要問題與活動 | 說明 | 評量重點 | ||||
(1)一個白色的圓板會與一個黑色的圓板互相抵消。 (2)將計算式子中的『－』，在操作時代表將教具『翻面』。 (3)每一個正數都用和它數量相同的○代表；每一個負數都用和它數量相同的◎代表。 2.我們先來試試看如何利用教具計算（-2）＋（-3）＝？ 3.『2』就用2個○代替，『3』就用3個○代替，『－』就代表翻面，因此（-2）＋（-3）利用教具就變成（翻面○○）＋（翻面○○○）＝（◎◎）＋（◎◎◎），結果為5個◎，也就是（-2）＋（-3）＝-5。 4.接下來我們再多找一些例子，讓同學上台來練習，其餘的同學除了隨時給予上台的同學支援外，也可以自己試試看。
2＋（-3）＝？
9.我們來將同學們的解題過程分析一下
10.同學說說看，你們有何發現？ 11.我們把之前那個題目的操作解題過程也拿來分析。
12.同學說說看，你們有何發現？ 13.指定作業： P.104 隨堂練習 | ＊讓學生說說看這些規則的意思，以了解學生是否能掌握整個操作規則。 ＊學生彼此討論或回答 1.（-2）＋（-3）＝-5，因為補習班剛教過。 2.欠2元再欠3元，共欠5元，所以（-2）＋（-3）＝-5。 3.其他。 ＊學生隨時可對操作過程提出問題。 ＊學生彼此討論並上台練習。 ＊2＋（-3）＝ ○○＋（翻面○○○） ＝○○＋（◎◎◎） ＝ ＝◎
＊學生彼此討論後嘗試回答。 1.畫的。 2.撕一些小紙片來代替。 3.用銅板來代替。 4.其他。 ＊學生思考後回答。 1.我覺得用銅板不太好，因為銅板太重了，且如果題目是56＋（-35）＝？要用到太多銅板，所以不好。 2.而用紙片就太輕了，而且不好拿，剛才還有人呼吸太用力而飛走了幾張，所以不好用。 3.用畫的很方便，而且可用的符號組合很多，如「○、×」、「1、－」、…。 4.其他。 ＊各組彼此合作並把解題過程寫在小白板上。 1. ××＋○○○ ＝ ＝○ （-2）＋3＝1 2.11＋－－－ ＝ ＝－ （-2）＋3＝1 3.其他。 ＊讓學生由半具體的操作進入抽象符號學習。 ＊學生彼此討論自己的發現。 ＊學生彼此討論後回答。 1.異號數相加時，就從大數中拿出和小數一樣多的數來互相抵銷後，剩下的就是答案。 2.結果會與3－2的結果一樣。 3.其他。 ＊學生彼此討論自己的發現。 ＊學生彼此討論後回答。 1.我覺得做加法運算時，就是拿大的數減小的數，減剩下的就是答案。 2.我覺得當兩數異號時，做加法運算其實是在做減法運算；只有兩數同號時才是做加法運算。 3.其他。 ＊學生試做練習的題目。 | ＊學生能清楚了解整個操作規則。 ＊若有學生不懂可以用教具圓板舉例說明。 ＊只要能以多元的想法回答問題都可接受。 ＊有學生在學習過程中利用一元銅板來操作，是很棒的嘗試。 ＊以分組競賽的方式來進行活動，效果會更佳。 ＊沒有標準答案，只要學生覺得好用就好。 ＊目標在引導學生由具體物操作進入半具體物操作。 ＊讓學生發表自己的想法。 ＊學生能利用符號操作找出正確答案。 ＊學生可隨時針對解題過程分析提出疑問。 ＊學生能發表自己的看法及發現。 ＊學生能發表自己的看法及發現。 ＊見附錄一。 ＊錯誤人數若超出教師預估的正常範圍，需進行補救教學。 ＊也可嘗試讓學生將題目加以擬題，讓學生驗算答案的正確性。 |
活動二：正負數的減法運算
活動說明：藉由操作活動協助學生學習正負數的減法運算。
情境布置：
1.正反面分別為黑白顏色的圓形紙板30個。
2.小白板６塊。
主要問題與活動 | 說明 | 評量重點 | ||||||
1.各位同學今天將延續上次的課程進行正負整數的減法運算，操作的規則與加法運算時所設立的規則相同，我們先請同學說說看以前的規則是什麼？ 2.我們來試試看如何利用教具計算2－3＝？ 3.『2』就用2個○代替，『3』就用3個○代替，『－』就代表翻面，因此2－3利用教具就變成○○（翻面○○○）＝○○（◎◎◎）＝ 4.接下來我們再多找一些例子，讓同學上台來練習，其餘的同學也可以自己試試看。 5. ××同學來試試看做這個題目： 2－（-3）＝？ 6.××同學做的很好，底下的同學也能給上台的同學建議很好，再來請同學分別使用自己發明的符號，進行練習。 （-2）－3＝？ 7.教師重新佈題： （-2）－（-3）＝？ 8.我們來將同學們的解題過程分析一下
9.同學說說看，你們有何發現？ 10.我們再來多看一些題目的操作解題過程也拿來分析。
11.同學說說看，你們有何發現？ 12.剛才還有一種題型，我們也一併分析看看
13.同學說說看，你們有何發現？ 14.指定作業： P.115 隨堂練習 | ＊讓學生說說看，以確定學生是否還記得操作規則。 ＊學生彼此討論或回答 1.2－3＝-1，因為補習班剛教過。 2.只有2元但須花掉3元，因此不夠1元，所以2－3＝-1。 3.其他。 ＊學生隨時可對操作過程提出問題。 ＊為什麼是對後面3個○做翻面的動作？ ＊學生彼此討論並上台練習。 ＊2－（-3）＝ ○○翻面（翻面○○○） ＝○○（翻面（◎◎◎）） ＝○○（○○○）
＊各組彼此合作並把解題過程寫在小白板上。 1.××（翻面○○○） ＝××（×××） （-2）－3＝-5 2.11（翻面－－－） ＝11（111） （-2）－3＝-5 3.其他。 ＊各組彼此合作並把解題過程寫在小白板上。 1. （翻面○○）翻面（翻面○○○） ＝（××）翻面（×××） ＝××○○○ ＝ ＝○ （-2）－（-3）＝1 2. （翻面）翻面（翻面） ＝（××）翻面（×××） ＝（××） ＝ ＝ （-2）－（-3）＝1 3.其他。 ＊學生由半具體的操作進入抽象符號學習。 ＊學生彼此討論後回答。 1.減一個負數會變成加一個正數。 2.減負數等於加它的相反數。 3.其他。 ＊學生觀察符號操作所產生的變化，與數的計算上運算符號的改變。 ＊學生彼此討論後回答。 1.減一個數與加它的相反數的結果相同。 2.當減一個數時可以把這個『－』看做是『-』。 3.其他。 ＊讓學生觀察符號操作所 產生的變化，與數的計算上運算符號的改變。 ＊學生彼此討論後回答。 1.減掉負的就會變成正的。 2.把減法運算轉換成加法運算會比較好算。 3.『-』2個減掉『-』3個會少1個，所以（-2）－（-3）＝-（-1），而-（-1）＝1。 4.其他。 ＊學生試做練習的題目。 | ＊學生能說出 1.一個白色的圓板會與一個黑色的圓板互相抵消。 2.將計算式子中的『－』，在操作時代表將教具『翻面』。 3.每一個正數都用和它數量相同的○代表；每一個負數都用和它數量相同的◎代表。 ＊只要能以多元的想法 回答問題都可接受。 ＊因為2－3，是想要將原有的2減掉3，因此主角是『3』，所以做翻面時就必須將後面的3個○做翻面動作。 ＊有學生在學習過程中利用一元銅板來操作，是很棒的嘗試。 ＊以分組競賽的方式來進行活動，效果會更佳。 ＊目標在引導學生由具體物操作進入半具體物操作。 ＊讓學生發表自己的想法。 ＊讓學生發表自己的想法。 ＊學生能利用符號操作找出正確答案。 ＊學生可隨時針對解題過程分析提出疑問。 ＊學生能利用符號操作找出正確答案。 ＊學生能發表自己的看法及發現。 ＊學生能利用符號操作找出正確答案。 ＊學生能充分發表自己的看法。 ＊學生發現如（-5）－（-3），可以直接用扣的來計算，『-』5個扣掉3個還剩下2個，會等於（-2）。 ＊於-（-）需要特別提出來向學生舉例說明，可以用一個銅板做翻面活動向學生說明。 ＊附錄二。 ＊誤人數若超出教師預估的正常範圍，需進行補救教學。 ＊可嘗試讓學生將題目加以擬題，讓學生驗算答案的正確性。 |
活動三：會做簡單的文字式化簡
活動說明：藉由操作活動會做簡單的一元一次式的化簡。
情境布置：
1.正反面分別為黑白顏色的圓形紙板30個。
2.正反面分別為黑白顏色的方形紙板30個。
3.小白板６塊。
主要問題與活動 | 說明 | 評量重點 |
1.我們今天要介紹的是一元一次式的化簡，我們先來嘗試分析7x＋4＋3x＋5。 2.7x＋4＋3x＋5如何用具體物表示？ 令□為x，○為1，則7x＋4＋3x＋5可用□□□□□□□＋○○○○＋□□□＋○○○○○表示。 3.則加以整理得□□□□□□□□□□＋○○○○○○○○○。因為每一個□代表1個x，每一個○代表1，所以化簡結果為10x＋9。 4.□和○可以加在一起而得到2個□或2個○嗎？ 5.我們將剛才的操作直接用x和1代換，則7x可以寫成x＋x＋x＋x＋x＋x＋x，3x可以寫成x＋x＋x，4可以寫成1＋1＋1＋1，5可以寫成1＋1＋1＋1＋1，因此7x＋4＋3x＋5可以寫成（x＋x＋x＋x＋x＋x＋x）＋（1＋1＋1＋1）＋（x＋x＋x）＋（1＋1＋1＋1＋1）＝（x＋x＋x＋x＋x＋x＋x）＋（x＋x＋x）＋（1＋1＋1＋1）＋（1＋1＋1＋1＋1）＝10個x＋9個1＝10x＋9。 6.我們再來看另一個題目6x＋5－5x－3。一樣我們先利用具體物操作一遍。6x＋5－5x－3可用□□□□□□＋○○○○○－（□□□□□）－（○○○）表示，『－』代表翻面，因此在翻面後得到□□□□□□＋○○○○○＋＋ ◎◎◎，一個□和一個互相抵銷，一個○和一個◎互相抵銷，得到□ ＋○○，因為每一個□代表1個x，每一個○代表1，所以化簡結果為x＋2。 7.我們再用另一個方法試著解這個題目，分別將具體物用單位x、1代入可得到， （x＋x＋x＋x＋x＋x）＋（1＋1＋1＋1＋1）－（x＋x＋x＋x＋x）－（1＋1＋1） ＝（x＋x＋x＋x＋x＋x）－（x＋x＋x＋x＋x）＋（1＋1＋1＋1＋1）－（1＋1＋1） ＝x＋（1+1） ＝x＋2 8.同學們從操作中有何發現？ 9.讓我們利用下一個題目練習，觀察同學的發現是否為真？ （-5x）－6－3x＋2＝？ 10.由上一個題目的練習，我們發現什麼？ 11.根據同學的發現，我們化簡2x＋5－4x＋1時可得 2x＋5－4x＋1 ＝（2－4）x＋（5＋1） ＝-2x＋6 12.本活動做翻面活動介紹是要學生了解未知數和數在做式子化簡時，是屬於不同類量，不能一起相加減，要將所有未知數放在一起化簡。 13.指定作業： 隨堂練習 | ＊對於新的學習先由具體物引入。 ＊讓學生彼此討論如何將一元一次式用具體物或半具體物表示。 ＊讓學生練習做分類整理。 ＊學生彼此討論後回答。 1.不可以，因為兩個不是相同的東西。 2.不可以，因為他們代表不同的東西所以不能相加。 3.其他。 ＊將具體物或半具體物操作轉換成抽象符號操作，以便學生能直接由一元一次式作化簡。 ＊學生能知道化簡時必須將同類量放在一起相加減。 ＊學生彼此討論後上台操作。 ＊學生也可以利用半具體物的操作練習得到答案。 ＊正負未知數的運算規則與正負數的運算規則相同。 ＊由具體物或半具體物操作轉化為抽象符號操作，以呼應學習目標能作一元一次式的化簡。 ＊學生彼此討論後回答。 1.未知數必須和未知數作相加減，數要和數做加減。 2.可以直接將6x減5x，而將5減3，而得到答案。 3.其他。 ＊學生彼此討論並練習。 1.（-5x）－6－3x＋2可用（-□□□□□）－（○○○○○○）－（□□□）＋（○○），『-』代表翻面所以得到（）－（○○○○○○）－（□□□）＋（○○），要減3個□和減6個○，沒得減，所以『－』也代表翻面，得到（）＋（◎◎◎◎◎◎）＋（）＋（○○），歸類整理後得到（）＋（）＋（◎◎◎◎◎◎）＋（○○），再整理後得（）＋（◎◎◎◎ 2. 因為-5x＝-x-x-x-x-x，減3x沒得減，所以將『－』看成『-』，得到-3x＝-x-x-x，和-x-x-x-x-x合併得到-8x，而－6＋2，減6沒得減，所以將『－』看成『-』，得到-6＋2＝-4，因此答案為-8x-4。 3. （-5x）－6－3x＋2 ＝（-5x）－3x－6＋2 ＝（-5x）-3x-6＋2 ＝-8x-4 4.其他。 ＊學生彼此討論並嘗試回答。 1.含有未知數的項，可放在一起作加減運算；不含未知數的再放在一起運算。 2.作答時要先將含未知數的項先放在一起，並加以運算；不含未知數的放在一起做運算。 3.要把有x的放在一起，沒有x的放在一起。 4.其他。 ＊學生試做練習的題目。 | ＊給學生多元表達的機會。 ＊學生知道非同類不能相加減。 ＊以延伸得未知量與已知量不能當作數字般相加減，如2x＋3 ＊能知道3x＝x＋x＋x，而非3x＝x×x×x。 ＊學生能知道在做加減化簡時，＋3x的意思是＋x＋x＋x，－2x的意思是－x－x。 ＊能正確操作具體物而得到答案x＋2。 ＊能正確將具體物或半具體物操作轉化為抽象符號操作。 ＊進行觀察發現活動時，要多鼓勵學生說說看，他看到了什麼。 ＊能正確完成操作得到答案-8x-4。 ＊需反覆向學生提醒不夠減時，要將『－』看成『-』。 ＊學生對於何時需做「翻面」的動作不易拿捏，需多給予練習機會。 ＊要讓學生學會直接就式子做化簡，是本活動的學習目標。 ＊學生能嘗試回答。 ＊學生能根據發現做代數式的化簡運算。 ＊見附錄三。 ＊錯誤人數若超出教師 預估的正常範圍，需進行補救教學。 |
六、評量方式
因應九年一貫的實施，根據教育部公佈的評量準則以及地方版的評量細則，教學活動的評量必須考慮到：評量的型態是多元化的；評量的歷程是完整並且有意義的；評量是以生活與實用為取向的；評量是親師生之間的溝通等四個象度。因此，整個教學活動的歷程，必須作整體性的考量，才是完整而且有真正的參考價值。本活動的評量活動是根據學生在本活動的參與程度、老師在活動歷程對學生的觀察、配合學習單所做的資料收集及與同組組員的分工和合作默契加以評分。教師在「評量項目」根據「做得很好、已經做到、部分做到、繼續努力」分別打上4、3、2、1。
肆、教學省思與改進
我在課程設計之初，只是在教學過程中發現有一些學生，對於正負數的加減法及一元一次式的化簡都仍然有問題，因此我便在想除了課本所提的方法外，是否還有其他的方法可以幫助學生學習正負數的加減法，幸好再與一位老師討論過後，發現只要將教具加以改變就可以了，於是才有這個課程活動設計的誕生。在將這個課程設計於課堂中實施中，可由兩部分加以討論。
若一開始就利用這種方式進行教學，有一些學生對於利用具體物進行學習會感到不耐煩，但在強制要求進行操作後，沒有上台的同學會不斷的給予台上的同學指導，而這也是我們所樂見的。且在操作過程中會發現學生對於『減號』、『負號』需要做翻面的動作常會忘記，這時可將翻面動作與數學式子做對照，使學生察覺我們現在是以『相消』的模式在做正負數的加減運算。在反覆操作幾次後，有一些觀察理解較好的同學已經可發現一些運算規則，如負數加負數與正數加正數一樣可直接做數的相加，但差別只在於結果為負的。這時可允許學生直接利用他所發現的運算規則進行運算，當他的運算結果錯誤時再利用符號表徵的模式進行驗算。
在進行具體物的操作介紹後，可要求學生根據具體物操作的模式，建立自己的符號模式以代替具體物，並可要求學生將自己的符號操作方式在黑板上進行演示，會發現原本多元的符號表徵，變得只剩下以○、×、
表徵的幾種。因為學生覺得太複雜的符號在使用上是很不方便的。接下來就要與計算式子搭配做說明，方式就如同教學活動中所說明。這時學生在運用運算規則進行計算的答對率可獲得提升。而本活動的目的之一也在於減少學生再運用運算規則時心中所產生的迷惑。
當將本活動做為補救教學用時，可直接將學生易犯錯的題目利用具體物操作演示給學生看，但這麼做學生仍然會不知為什麼錯，這時可要求學生將具體物的操作以符號表徵代替，並搭配原來的題目來加以說明，這時學生通常會比較容易了解。在教學過程發現以考試加分、扣分的模式，做正負數的加減運算講解是很不錯的模式，如（-2）－3，可以『扣2分在減3分後會加或扣幾分』的模式提問，可讓學生更容易學習正負數的加減運算。
在教學過程中發現大概是學生會受到過去的學習經驗的關係，學生一開始蠻不願意配合的，或是一些學生覺得自己已經學會了而拒絕再學習，於是事先的學習心理溝通是需要的，在開始教學後學生的學習態度就變得很熱烈，學生都很想上台操作，但任教教師要注意活動目標與教學目標的掌握，及由具體物操作進入半具體物的操作再進入抽象符號的操作的引導技巧，當然，這並非是最好的方法，但願意為學生付出的心才是最重要的。最後要強調教學後的數學計算能力的訓練及熟練也是很重要的，教師可安排一定的時間加強，以達到教學目的。這是作者在教學過程中不斷的自我省思並與學生討論後的結果，因此很感謝那些被我教到的學生們，因為他們已經快被作者不時出現的「為什麼？」反問句，給變成「得憂鬱症的學生」了。
附錄一：
（1）8＋（-11）＝ | （2）（-12）＋12＝ |
（3）（-8）＋24＝ | （4）7＋（-18）＝ |
（5）（-17）＋（-6）＝ | （6）（-13）＋（19）＝ |
附錄二：
（1）8－3＝ | （2）（-6）－（-4）＝ |
（3）（-8）－5＝ | （4）10－（-6）＝ |
（5）6－10＝ | （6）（-5）－（-8）＝ |
（7）4－（-6）＝ | （8）（-3）－8＝ |
附錄三：
（1）-5x＋4＋2x－3＝ | （2）6y－4－13－13y＝ |
（3）-6x＋8－3＋12x＝ | （4）8x＋6－3x－8＝ |
（5）2a－7－5＋a＝ | （6）-15－3x＋12－2x＝ |