遊戲中學整數的加減運算
桃園縣福豐國中 郭俊麟
新竹縣竹東國中 廖雪華
壹、設計想法
學生在小學應該熟練正數的四則混和運算，進入國中學習數的四則混和運算，數的體系由正數延伸至有理數，而且負數的引入是七年級學生學習的重點，如何引入以正負表徵生活中相對的量，由學生認知學習發展的過程，能理解並熟練操作正負數的合成與分解，是本課程設計的核心想法。設計者嘗試從兩個方向引入整數的加減運算：一、向量的概念：利用數在數線上的操作，學習整數加減運算。二、離散量的具體操作：規定黑白棋子會相消的的方式，操作黑白棋子的放入與拿走介紹整數的加減運算。這整個課程的設計流程，是由教師佈題，藉由情境活動中，學生操作形成解題活動，討論學生的解題記錄也就是算式記錄的過程，並利用算式填充題的設計，讓學生能理解並熟練整數加減的運算規則及符號法則。
一般人的想法，負數有讓人抓不到的感覺，在加法的運算中，似乎還可以利賺賠的觀念來解釋，但遇到減一個負數時，便很難用一個生活的例子來說明．對於學生的認知，具體的操作可以幫助他們理解，作為輔助的工具，並藉由遊戲方式來增強學生的觀念。教學時採小組討論，不直接告訴學生結果，讓學生透過與同學討論，自己用自己的想法說出原理，並自己建構認知模式。
教學上曾用數線來說明整數的加減法運算，
例 ＋7
＋3
例如2：（－3）－（－7）＝4
－7
－3
＋、－若為性質符號時＋往右走，－往左走。＋、－若為運算符號時，＋為正向，－為相反方向。
所以在這個教學單元中，利用數線上做整數合成分解的規則，用在黑白棋子或大富翁的操作上，讓學生更能具體去領會整數之間的加減運算關係。
貳設計內涵
一、學生能力分析
預備能力：
1.學生能做正整數的加減法運算
2.能以正負表徵生活中相對的量
3.能了解負數在數線上的位置
4.能了解正負數的大小
5.能了解相反數的意義
6.能了解正數的結合律及交換律
重點能力：
1.能做正數加負數，其和為負數。
2.能做正數加負數，其和為正數。
3.能做負數加負數。
4.能做正數減正數（小減大）。
5.能做正數減負數。
6.能做負數減正數。
7.能做負數減負數。
8.能利用正負數表徴的意義，解決生活情境的問題。
9.能利用結合律，將計算過程簡化。
二、教學目標
1.透過遊戲活動的情境引入數線，讓學生能在自然的活動情境中，了解整數的合成與分解，並能操作做整數的合成與分解
2.透過假設圍棋黑、白棋子相抵消的設計方式觀念，利用黑、白棋子的以及加入和拿走的實際操作，理解並能熟練處理整數的合成與分解，以及整數加法和減法的意義。
三、對應的能力指標
89年暫行綱要能力指標 | 92年修訂綱要能力指標 |
A－3－11能以「正、負」表徵生活中相 對的量，並能操作負整數的合 成與分解。 | N－3－08能認識負數，並將負數標記在 數線上，以理解正負數之比 較。 N－3－09能理解加、減運算在數線上的 對應操作。 |
參教學設計
一活動目標
1.在操作過程中，由進退之間的關係，了解整數加法的運算。
2.在操作過程中，由進退之間的相距關係，了解整數減法的運算。
3.由拿走和加入的操作過程中，了解整數的加減法運算
4.能將題目分類，運算時可以說出理由，並歸納出解題的要訣
二、教學年級
本教材預計於九十三學年度九年一貫課程之一年級上學期實施。
三、教學節數
本單元預計上課四節課（180分鐘）。
四實施方式
1.以合作學習、小組討論等教學策略進行教學。
2.教學活動結束之後，舉行數學園遊會活動來加深學生的觀念，將數學知識和遊戲連結在一起。
3.活動一至活動三的教學課程是在課堂上實施，以合作學習、小組討論的方式進行教學，其中將整數的加減運算規則在這些活動中陸續呈現出來。
五活動流程
活動一：黑白配（紅白對抗）
活動說明：1、將學生分成六組，一組約6人左右。
2、.每一組中的學生都必須要操作。
3、藉由拿走或加入的操作方式讓學生從中學習整數的加減法運算。
準備教具：一個可裝物品的容器，如透明的糖果罐子、紅白顏色的乒乓球數個
或圍棋黑白棋子數個
主要問題與教學活動 | 學生活動 | 評量重點或說明 |
1.各位同學我們己經學會 整數的加減法的運算 了，但今天我們要以不 同的方式來說明整數加 減法運算，利用操作方 式來同學來體驗一下， 首先，我們必須設立一 些規則：
個白棋子互相抵消 。 （2）運算符號『＋』代 表加入，運算符號『－』 代表拿走。 （3）一個黑色棋子代表「＋1」，二個代表 「＋2」 ……依此類推。 （4）一個白色棋子代表「－1」，二個代表 「－2」 ……依此類推。 （5）按照式子的指示將 有關的操作棋子全放入 準備的容器中。 2.現在我們先來試試以下 的例子： （1）6＋（－10）＝ （2）（－7）＋（＋9）＝ （3）（－8）＋（－5）＝ （4）（＋6）－（＋10）＝ （5）（－7）－（＋9）＝ （6）（＋8）－（－5）＝ 3.等學生操作完畢之後， 教師可以上例題目做示 範一次： （＋6）＋（－10）＝？ 6就是6個黑棋子，「＋」 就是加入，加入（－10） 就是加入10個白色棋 子，然後放入容器中， 在容器中將黑白棋子互 相抵消，即各拿出6個黑 棋子和白色棋子，結果 容器中只剩下4個白色的 棋子，也就是 （＋6）＋（－10）＝－4 4.教師可以再示範一題減 法，讓學生可以更明白： （－7）－（＋9）＝？ 容器中有7個白色棋子， 但要從容器中拿走9個黑 色棋子，但容器中並沒 有黑色棋子，所以必須 放入9個黑色的棋子，但 又不能不平白無故放黑 色棋子，為使容器系統 維持和式子相等的意 義，必須也放入9個白色 棋子，才會和當初相同， 此時再拿走9個黑色的棋 子，結果發現容器中剩 下16個白色棋子，所以 （－7）－（＋9）＝－16 5.接著發下學習單，讓學 生分組操作每一題。如 附表（三） 6.教師指示學生從學習單 操作的結果看出,整數加 減法的運算規則，和上 兩次活動是否有異同的 地方？ 7.等同學都明白整數的加減法運算之後，教師再發下第二張學習單，供學生操作及討論結果。（如附表四） 8.教師指示學生從學習單 操作的結果看出左右兩 邊的式子和結果是否有 異同的地方？ 9.指示有關利用結合律的 題應用題目： | 學生安靜聆聽教師的說明 學生討論之後，每一組派一位同學操作一題試試。 學生聽聽和教師的操作是否有不一樣的地方。 學生不明白的地方可以提出問題 學生彼此討論並操作練習 學生分組討論並提出結論 學生彼此討論並操作練習 學生分組討論並提出結論 學生分別練習 | 一個黑棋子和一個白棋子為什麼可以互相抵消的規則，教師可以反問學生為什麼？並可以評量學生對相反數的認識。 教師評量在未教學操作時，學生是明白操作規則。 教師示範一次，以免有些學生仍不明白。 教師操作時，每一個動作都應說明清楚，以免學生不了解每一個操作的程序。 教師操作時，同樣地每一個動作都應說明清楚，並解釋為什麼，以免學生不了解每一個操作的程序。 教師巡視全場指導，並注意是否在分組中每一位同學都有操作到。 教師檢驗學生所下的結論是否正確。並在此統整數加減法的運算規則。 教師巡視全場指導，並注意是否在分組中每一位同學都有操作到。 教師檢驗學生所下的結論是否正確。並在此引出加法結合律。 教師巡視全場，並檢驗學生是否明白結合律的意義。題目的數字可以大一些，讓學生了解使用結合律的時機。 |
活動二：大富翁一
活動說明：1、將學生分成六組，一組約6人左右。
2、.每一組中由2位學生先玩，依遊戲時間長短而定是否進行同組
下2位同學。
3、藉由遊戲的方式讓學生從中學習正負整數的加運算。
準備教具：6個大富翁玩具紙張、12顆骰子、12顆棋子。
主要問題與教學活動 | 學生活動 | 評量重點或說明 |
1. 規則說明 各位同學今天上課內容將以遊戲方式和小組討論方式進行，我們先將規則說明： 甲走紅路線，乙走 藍路線．兩人所擲的輪數相同時，誰先走到２０，誰就獲勝。 步驟： （1）每一次兩人各擲骰子二次，第一次為進，第二次為退。 （2）記錄每一次兩人所走的過程及結果：（如附表） （3）兩人各擲一次進退，稱為一輪。 2、首先請兩位學生至台前 示範一次： 範例：學生甲走紅路線 第一次擲6，在紙盤上紅 路線向前進6，並以自己 的方式記錄前進6。第二 次再擲4，即在紅路線往 後退4，也記錄退4的情 況。然後再算出該次進 或退幾格。接著學生乙 也是如法泡製。玩到這 裡稱為一輪。 3、接下來讓學生進行遊戲 活動。
有一個記錄表格完成 時，即可以請學生開始 小組討論。 5、討論問題： （1）如果進６退６，有改變棋子位置所在的數字嗎？ （2）什麼情形之下，不會改變棋子位置所在的數字？列舉幾種情形？ （3）如果甲的位置數字在１７，若甲在下一次就要獲勝，那麼投擲骰子的情形有那些？ （4）你會用什麼樣的式子來表示甲乙兩人每一次所走的過程？如進６＋退４＝進２。 6、（1）現在將每一組討論 的情形歸納出來： 教師將學生討論的結果 列出，分析學生想法的 異同，請同學說說看從 記錄表中可以看出整數 加法運算的規則嗎？ （2）如果將兩次所擲 的骰子數目改為第一次 為退，第二次為進，會 改整數加法運算的規則 嗎？ （3）如果將兩次所擲 的骰子數目皆改為退， 那麼每一次棋子的位置 會距離上一次位置多少 格？ （4）請同學再次說說 看，對於整數的加法運 算有何發現？ 7、我們出幾個題目來同學 們上來黑板上練習： （1）24＋（－18）＝ （2）（－15）＋9＝ （3）3＋（－11）＝ （4）（－4）＋0＝ （5）（－9）＋（－7） ＝ （6）（－15）＋15＝ 8、指定作業： | 請學生說說看對於遊戲的規則是否真正了解，而確實能掌握遊戲的方式，使遊戲得以順利進行。 學生先安靜看兩位學生的作法，而另一方面教師視學生活動情況說明。 確定學生們明白遊戲的記錄方式及規則後，學生各組分別進行活動。 學生每一組確實完成實際的活動，至少有一回的勝負。 學生以小組討論的方式進行。且每一位學生都要能實際參與討論，討論完之後，每一題每一組需有一位學生列舉那些情形？並說明為什麼？ 學生安靜聆聽教師的講解以及其他小組的表達方式 學生們討論 學生討論完之後回答 請同學先小組討論，每一組派一位同學上來做題目 學生試著做其他的練習題 | 學生能了解整個遊戲的規則說明。若有不懂的地方，教師可以以範例來說明。 提醒學生是紀錄每一次所擲的進退數目，再計算每一次進退的格數，而非紙盤上位置的數目。 教師分別巡視各組進行的情況並指導學生，但僅限於遊戲規刖，不介入學生記錄的方式。 教師觀察學生活動記錄到可以討論時，該活動即可停止。 讓學生先想一想。 在此教師可以引入相反數的觀念。 此階段為學生合作討論，教師不宜直接給學生答案，若學生無法討論時，教師在巡視各組時再予以提示。 教師需能評量每一位學生是否有充份加入小組的討論 在此引出整數加法的運 算規則。 教師在引出整數的加法運算時，亦循序漸進，依學生討論的結果導出，不宜直接告訴學生，最好有機會讓學生說出規則。 教師等每一組討論完之後，從每一組抽一位同學上來寫，看看同學是否都能明白了。 教師巡視全場指導學生 作業的題目可以將數字變大一些。 |
活動三：大富翁二
活動說明：1、將學生分成六組，一組約6人左右。
2、.每一組中由2位學生先玩，依遊戲時間長短而定是否進行同組
下2位同學。
3、藉由遊戲的方式讓學生從中學習整數的減法運算。
準備教具：6個大富翁玩具紙張、12顆骰子、12顆棋子。
主要問題與教學活動 | 學生活動 | 評量重點或說明 |
1. 規則說明 各位同學今天上課內容將繼續以遊戲方式和小組討論方式進行，但遊戲的規則將有所變動，我們先將規則說明： 兩人所擲輪數相同時，沿紅路線走到２０者獲勝，沿藍路線走到２０者失敗。 步驟： （1）每一次兩人各擲骰子 二次，第一次骰子數 決定進退（奇為進， 偶為退）第二次骰子 數字為所走的格子數。 （2）記錄每一次兩人所走 的過程及結果：（如附 表二） （3）兩人各擲一次進退和 數字，稱為一輪。 2.首先請兩位學生至台前 示範一次： 範例：學生甲第一次擲6， 第二次擲3即後退往藍色 方向行走3格，，並記錄 棋子在棋盤上的位置 －3。接著學生乙若是第 一次擲3，第二次擲5即 前進往紅色方向行走5 格，並記錄棋子在棋盤上 的位置為－5，計數甲生 距離乙生的位置有幾格？ 玩到這裡稱為一輪。 3.接下來讓學生進行遊戲 活動。 4.活動進行至每一組至少 有一個記錄表格完成 時，即可以請學生開始 小組討論。 5.討論問題：
擲出的結果是進4，而 學生乙擲出的結果是 退4，那麼他們在該次 誰在前誰在後？如何 表示是相差多少格子 數？
欲在學生乙的前面， 且兩者相差6格的情況 會有那幾種？
卻在學生乙的後面， 且兩者相差6格的情況 會有那幾種？ （4）如果兩人在同一輪所 走的方向相同，最多 可以相差幾格？最少 可以相差幾格？舉例 說明。 （5）如果兩人在同一次所 走的方向相反，最多 可以相差幾格？最少 可以相差幾格？舉例 說明。 （6）你會用什麼樣的式子 來表示甲乙兩人每一 次相差的距離？如進 ６－退４＝多１０。 6.（1）現在將每一組討論 的情形歸納出來： 教師將學生討論的結果 列出，分析學生想法的 異同，請同學說說看從 記錄表中可以看出整數 減法運算的規則嗎？ （2）請同學再次說說 看，對於整數的減法運 算有何發現？ 7.我們出幾個題目來同學 們上來黑板上練習： （1）8－（－3）＝ （2）（－6）－4＝ （3）（－8）－（－5）＝ （4）（－4）－0＝ （5）（－9）－9 ＝ （6）9－（－9）＝ 8.指定作業： | 請學生說說看對於遊戲的規則是否真正了解，而確實能掌握遊戲的方式，使遊戲得以順利進行。 學生先安靜看兩位學生的作法，而另一方面教師視學生活動情況說明。 確定學生們明白遊戲的記錄方式及規則後，學生各組分別進行活動。 學生每一組確實完成實際的活動，至少有一回的勝負。 學生以小組討論的方式進行。且每一位學生都要能實際參與討論，討論完之後，每一題每一組需有一位學生列舉那些情形？並說明為什麼？ 學生安靜聆聽教師的講解以及其他小組的表達方式 學生們討論 學生討論完之後回答 請同學先小組討論，每一組派一位同學上來做題目 學生試著做其他的練習題 | 學生能了解整個遊戲的規則說明。若有不懂的地方，教師可以以範例來說明。 提醒學生是紀錄每一次紙盤上位置的數目及每一次相差的格數，甲生在乙前為正。 教師分別巡視各組進行的情況並指導學生，但僅限於遊戲規刖，不介入學生記錄的方式。 教師觀察學生活動記錄到可以討論時，該活動即可停止。 讓學生先想一想。 問題（1）中因不知學生會用大減小（前減後）還是小減大（後減前），但他們在算格子數時都會應正數表示，所以在此教師可以引入簡單的距離觀念。但也要評量大減小（前減後）還是小減大（後減前）的正負數。 此階段為學生合作討論，教師不宜直接給學生答案，若學生無法討論時，教師在巡視各組時再予以提示。 教師需能評量每一位學生是否有充份加入小組的討論 在此引出整數減法的運 算規則。 教師在引出整數的減法運算時，亦循序漸進，依學生討論的結果導出，不宜直接告訴學生，最好有機會讓學生說出規則。 教師等每一組討論完之後，從每一組抽一位同學上來寫，看看同學是否都能明白了。 教師巡視全埸指導學生 作業的題目此時可以變大一些，讓學生多練習 |
六、評量方式
1.教師在課堂上觀察小組討論情形的成績
2.在課堂結束前十分鐘會有一個小組上台操作的成績
3.上完一個活動或概念時，會舉行一個隨堂的紙筆測驗的成績
4.評量的目標在於學生在此單元是否可以明白正負數的運算，而非只是記口訣，可以說出一個例子來解釋負數加負數或正數加負或正數減負數或負數減負數或負數減正數。
5.希望可以藉由小組合作的方式讓學生體會合作的重要，懂得欣賞別人或尊重別人的想法。
6.讓學生重視數學思考的歷程，不是計算的結果。
7.單元結束後會舉行一次統整的評量，以作為下次補救教學的依據。
8.最後請學生寫下這個單元的心得感想。
肆、教學省思與改進
1.國一的學生第一次碰到上數學課時分組討論，在秩序上有些失控，教師不時要提醒同學轉回正題。這是實施合作討論的缺點。
2.不過對於活動的設計同學們都覺得相當有趣，尤其是活動二大富翁的遊戲含有競賽的性質很容易引起小組的注意，該班似乎對競賽的活動都相當熱絡，這是本班的優點。
3.對於黑白配的操作，學生可以感覺負數的存在。可以更明白減一個負數相當於加上這個的數的正數（學生習慣這樣說），而操作了數題之後，便可以了解他們口中所謂負負得正的意思。
4.有一些討論的題目，由於同學尚不習慣討論的方式以及表達能力並不是那麼完整，所以討論時尚需教師一個環節指引，比較難看出學生的思考是否聯貫。所以教師在設計問題時應能設計可以引導學生的題目，避免過快的推理，讓學生最後也只能以強記的方式學習。
5.大部分的學生都能接受操作性的解題，但仍有少部分的學生認為將題目複雜化了。
6.對於一數減負數的題型，也就是學生常用的負負得正的口訣，雖然學生透過操作的方式可以感覺出，但似乎沒有很具體向學生以一個日常生活的例子舉例，只能用體會的方式感覺。
7.學生事前的補習影響到自己建構的知識。學生心裡已經有了結論，並且經過多次的練習，對於題目的討論，在心裡已有定論，認為本來就是如此，沒有什麼好推論，所以教師在問題的設計要花些心思與已學教材要有不同的地方。
8.活動的設計希望可以再更創新，更具體讓學生更能明白。
附件一：
甲 | 乙 | |||||
進 | 退 | 該次進退的格子數 | 進 | 退 | 該次進退的格子數 | |
1 | ||||||
2 | ||||||
3 | ||||||
4 | ||||||
5 | ||||||
6 | ||||||
7 | ||||||
8 | ||||||
9 | ||||||
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附件二：
數學老闆在圖上的位置 | 買單者在圖 上的位置 | 兩人在方盤上的距離 （數學老闆位置－買單者位置） | |
1 | |||
2 | |||
3 | |||
4 | |||
5 | |||
6 | |||
7 | |||
8 | |||
9 | |||
10 | |||
11 |
附件三：
1、8＋（－8）＝
2、（－15）＋7＝
3、（－13）＋（－4）＝
4、8－10＝
5、－7－9＝
6、－8－（－8）＝
7、（－12）＋15＝
8、9－（－11）＝
9、－13－5＝
10、5－（－8）＝
附件四：
1、【（－12）＋10】＋（－10）＝ 2、（－12）＋【10＋（－10）】＝
3、5＋（－10）＋（－5）＝ 4、5＋（－5）＋（－10）＝
5、（－14）＋8＋14＝ 6、（－14）＋14＋8＝
7、（－12）＋（－5）＋12＝ 8、（－12）＋12＋（－5）＝
9、【（－8）＋9】＋（－9）＝ 10、（－8）＋【9＋（－9）】＝
11、【5＋9】＋（－9）＝ 12、5＋【9＋（－9）】＝