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正負數的概念及其加減運算（續）
林保平
臺北市立師範學院 數資系
減法的運算規則
在作減法運算時，若從數線模式的溫
度來看，我們可以比較同一地點的溫度，
看其溫度的變化，因此就會有原來溫度及
最後溫度兩個位置量，溫度的變化的減法
規則：「溫度的變化＝最後溫度-原來溫
度」，可以建立在學生的舊經驗上，例如，
原來氣溫 20 度，最後氣溫 25 度，氣溫上
升 25-20。若要透過兩地氣溫高低的比
較，來看溫度相差多少，此時，就要用「甲
地氣溫-乙地氣溫」來看甲地比乙地氣溫高
多少度。但這種引入若數值不好，會有像
甲地乙地氣溫高 -5 度的描述方式，較不
自然，但邏輯上是說得通的。對初學的學
生不宜，不過學生對正負有了較深的認識
之後，這種抽象推理的學習應是必要的（參
看本文 p5)。
通常課本處理減法運算都是透過將
減法看成加法後再運算，並未獨立建立減
法的運算規則。其實減法也有類似於加法
的運算規則，我們建議教師可考量，在課
本或學生習作中，提供學生仿照加法運算
規則建立的方式，自行歸納建立減法運算
規則（但不強調減法規則的記憶），這對學
生而言，應是不錯的思考訓練。減法的運
算規則如下：
若大數減小數，結果取正號，若為小
數減大數，結果取負號。
同號數相減，將兩數的絕對值相減
（大的減小的），再將符號加入。
異號數相減，將兩數的絕對值相加，
再將符號加入。
規則的建立也可以仿照前述加法規
則建立的步驟，請看下例：
例、某冷凍庫，第一天將溫度調至 5度，
第二天進貨之後，將溫度調到零下 20
度，請問這個冷凍庫第一天到第二天
溫度的變化是多少度？
1.冷凍庫溫度的變化，列成算式為：
-
A：(-20)-(+5) 或 (-20)-5
（註：「最後溫度-原來溫度」應就兩溫度均為正數
時，先討論，此處即可類推）
2.兩刻度異號，溫度的變化是調升或調
降？
調降降幾度？列式說明如何算的？
A：調降 25 度, 20+5
（註：20 +5 是兩數絕對值相加）
3.溫度的變化是 度（用正負數表
示）
A：-25
4.將1、2及3列算式為
– ＝ - ( + )=
A：(-20)-(+5)= -(20+5)= -25
正負數的概念及其加減運算（續）
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利用如圖七所示的溫度計圖形，可幫
助學生看出「異號數相減時，兩數絕對值
相加」，「同號數相減，兩數絕對值相減」
的意義。
圖七 溫度變化的有向線段圖示
減法運算看成加法運算
大部分課本，處理正負數的減法，都
用「減法可以看成加法」來處理，但對於
為什麼會想到減法可以看成加法，並未有
引導的過程，大部分的課本均馬虎帶過，
以告知或比較的方式處理。例如，知道列
出（-2）-（-3）並透過操作或數算數線間
格得知(-2)-(-3) = +1 之後，用與 (-2)+(+3)
= +1 比較的方式，看出(-2)-(-3)=
(-2)+(+3)，最後歸納得「減去一個數，就
是加上該數的相反數。其實用電荷相消模
式，計算 (-2) - (-8)時，（參看本文 p10），
可以不管原來有幾個負電荷，先補入要拿
走的負電荷數量 8負8正，（其實此處只要
補6負6正即可，好像比較笨，但卻可以
得到不錯的結論，「要減幾個就補幾對」是
正數減負數或負數減正數時的方法），再 拿
走8個負電荷，剩下原有的 2負電荷及加
入的 8正電荷，嚴格地列式可記為
(-2) - (-8)
＝ (-2)+[(+8)+(-8)]-(-8)
= (-2)＋（＋8）
這樣的處理方式正好展現並說明了
「減一個數就是加上這個數的相反數」，指
出減法與加法的關係。其實透過撲克牌，
紅黑點計分問題也可以讓學生討論減法看
成加法，減一個數就是加上它的相反數。
下例為引導學生思考的活動。
例、撲克牌中的紅心和方塊點數代表得分
(每一點代表得 1分)，黑桃和梅花點
數代表失分(每一點代表失 1分)。計
算總分時，得失分相抵銷，若最後得
5分，總分記為＋5，若為失 5分，總
分記為－5 分。（A表示一點，J表示
11 點，Q表示 12 點，K表示 13 點）
1.世軒有兩張牌，一張是紅心 K，另一張
是黑桃 7。這 2張牌合起來，是得分或
失分？總分是多少？
A：(+13)+(-7)=+6，得分，總分＋6
2.現在輪到世軒，他可以抽牌或丟牌。在
他抽牌或丟牌後，總分紀錄是-7。說說
看，他此次可能是抽牌或丟牌？或兩者
都有可能？抽牌或丟出的牌，可能的花
色及點數是什麼？
A：丟出紅心 13，或抽得黑桃 13，或
抽得黑梅 13
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3.用分數來描述撲克牌，他要丟幾分，或
抽幾分就會使總分變成-7 分？
A：丟+13 分或 抽-13 分都可以
[註：此處可強調丟+13 分，與抽-13 分結果相同]
4.原來分數是 -6 分,，丟 13 分，用算式計
算總分時記為(-6) - (-13) = -7
抽-13 分時，用算式計算總分時記為
-6 + (+13) = -7
5.比較 4中兩個加減的式子，你有什麼結
論？
A：一個數減 -13，和加＋13 是一樣
的。
在圖八的幫助下，與學生的討論應更
容易。
總共＋6分 拿走＋13 分
總共＋6分 加入 -13 分
圖八 撲克牌對「減一餓數就是加上它的
相反數」的圖示
透過算式填充題也可以引導學生建
立減法算式，下例利用水位變化來處理。
例2.水庫兩次合起來是下降了 13 公分，
第二次水位下降 5公分，問第一次水
位是上升或下降多少公分？回答下
列問題。
1.兩次合起來的水位變化是 公分（用
正負數表示）
第二次水位變化是 公分（用正負數
表示）
2.用算式填充，可將算式列成
A：（ ）＋（-5）＝-13
仿照國小的方法，上式可以列成 （ ）
= - 。
A: （ ）= -13 – (- 5)
3.看水位圖，若將第二次的水位變化還
原，第一次水位可以用算式記為
＋
A：-13 + (+5)
4.比較 2,3 可知 - ＝ +
討論本題前，應先處理合於國小算式
填充題互逆或還原求解之問題，改變上題
的數字及方向，可以協助學生歸納「減掉
一個數就是加上它的相反數」。圖九展示利
用動態程式，透過相反數的有向線段圖
示，可協助學生理解將第二次下降的量還
原，就是將總變化量加上第二次水變化量
的相反數。
6 -（＋13 ）= -7
6 ＋（-13 ）= -7
正負數的概念及其加減運算（續）
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圖九 將第二次水位還原的圖示，此時，
總變化加上還原量就是第一次水
位變化。
兩數差的絕對值之幾何意義
由於正負數的減法已經討論（兩刻度
量的差或兩變化量的差），亦即 a-b 的數
值意義已經獲得，若透過與 b-a 之比較，
數線上兩點間的距離是兩坐標差的絕對
值，應可繼續討論，由於牽涉到｜a-b｜的
符號表示會較困難，初學之時只建立數值
之意義就夠了之探討。
分數的加減運算
在數的概念及數線的教學時，許多課
本，將正負分數的加減運算（或乘除運算）
與整數分開為兩個不同的單元，事實上正
負小數及分數，從運算規則來看，其實與
整數的運算是一樣的。運算規則的建立在
較小的整數狀況下，透過數線間格的數
算，或黑白旗子的數算，有時直觀便可知
其結果，沒有必要運算過程，規則建立的
必要性並不存在。但對於直觀無法直接處
理的分數運算，則需要列式及運算過程，
例如 54
87
−+
=35 32
56 56
−+
=35 32
56 56
−−
=3
56
−，此時，學生仍只是使用小學的通分
技能，但卻可看出異號數相加時規則的重
要性，透過運算規則，含負數的運算，都
可簡化為不含負號的運算。規則建立的過
程當然是事先討論整數，方便引出規則，
再推廣到分數及小數（在數線模式下，水
位升降之量以整數、分數或小數表示意義
上並無太大不同）。而分數的比較大小也應
在含在正負數的大小比較單元，學生對正
負分數或小數的運算較有問題，其實是由
於分數及小數本身的複雜性，而非正負概
念的問題。因此，我們建議，在加減規則
建立之後，可直接討論分數的運算，做為
規則的應用。
事實上分數的加減運算，其處理除上
述方式之外，另一處理的方法是擴充分數
的意義及內容，使其分子分母都可以是負
整數，並將正分數的運算法則，擴充為分
母分子含負號的運算法則（更基本的說法
是擴充等價分數至分母及分子可以有負整
數），例如，有理數的加減法則，定義為
bd
bcad
bd
bc
bd
ad
d
c
b
a±
=±=± ，其中 a,b,c,d 為
整數，此時，正有理數的加減法就擴充為
有理數的加減法，上例即可處理為
5 4 5 4 ( 5) 7 8 4 35 32
()
8 7 8 7 8 7 8 7 56 56
−−××−
−+= += + = +
××
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35 32 3 3
56 56 56
−+ −
===−
。這種方式的運算，學
生都能理解，才算理解有理數的運算，但
是後者的處理，相當麻煩，大部分的課本
都沒有詳細處理，是屬於代數的運算規
則，由於純代數的規則使用於純數字的的
運算，並無熟練之必要，因此我們建議教
學中不必過度強調，能套用就好，不必對
其運算規則作詳細的引導，學生有此認識
就夠了。
分子或分母為負數之分數
在前述第二種分數運算處理過程
中，牽涉到分數的分子或分母有負號的問
題（如 22 2
,,
333
−−
−−
），此時分數的意義是什
麼？這樣的分數是如何形成的呢？有些課
本企圖以數線及分割的方法討論，解釋時
將0到-2 的線段分割成 3等分，認為這就
是2
3
−，但事實上，圖形呈現的仍然是 2
3，
因為這仍然是一個長為 2的線段平分為 3
等分（雖然此線段在原點的右邊），不是
2
3
−。看不出這種處理解決了任何問題。事
實上，像 22 2
,,
333
−−
−−
的出現，無法透過分
數出現的原始意義來解釋，應由分數意義
的擴充來處理。由整數乘除的運算法則，
我們知道(8) 2 (8 2)−÷=−÷ ，非整除的運
算也可以以同樣的想法處理，例如，
8
(8) 3 (8 3) 3
−÷=−÷=−，但在國小時學生
已經知道兩數相除可以寫成分數，前式若
依照舊經驗處理寫成分數，就變成
8
(8) 3 3
−
−÷= ，但這個數是學生不知其意
義的數，為賦于意義，比較兩式就應規定
88
33
−=− 較為合理，透過這樣的處理， 8
3
−
的意義就建立出來，同時也形成了
88
33
−=− 的運算法則，同樣的， 33
,
88
−
−−
的
意義及其與負分數的關係也可以依這個方
式建立。這種建立分子分母含負號的數的
意義的處理方式，雷同於負指數意義之賦
于及擴充的方式，例如 30,3-2 對未學過 0
指數或負指數的學生來說是無意義的，因
為根據指數的原始意義（幾個相同的數相
乘的簡記）來看，「0個3或 -2 個3相乘」
並無意義，但由指數的運算，學生應能發
現類似
5
53 2
3
333
3
−
==
利用指數相減的原
理，若將此原理，運用如下，
5
55 0
5
333
3
−
==
，
3
35 2
5
333
3
−−
==
就形成正指數意義無法解釋
的0指數及負指數（嚴格地說，31＝3 也
是規定的，因 1個3相乘也是說不通的），
若要探明或建立負指數或 0指數的意義，
回頭檢視
5
5
31
3=及
3
52
31
33
=，就可確定 30＝
1，2
2
1
33
−=之規定的合理性了，因此教學
時，由無意義變成有意義，其實是一種規
正負數的概念及其加減運算（續）
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約，但規約有時是不能隨便規定的，它必
須維持原有的規則，不與原有的規則矛
盾。在數學上意義的擴充有時也行不通，
例如 3÷0不論從等分除或包含除來看都是
無意義的（ 例如，「3個糖果平分給 0個
人，每人分幾個？」或「3個糖果，每人
分0個，可分給幾個人？」），但我們無法
擴充其意義，因為不論規定 3÷0為任何一
數均會導致與「乘除互逆」規則的矛盾
（30 30 30xx÷=⇒=×⇒=），因此，0
不能當除數。
交換律與結合律
國小學生對正數的加法與乘法的交
換律及結合律已經有初步的概念，牽涉有
負數的加法的算式中，各數是否可交換或
結合其實不難理解，許多課本，以多個實
例計算比較 a+b 及 b+a ，或 (a+b)+c 及
a+(b+c)之結果後，再宣告兩律成立，是建
立兩規律於「計算結果」的「相等」上，
此法對未曾計算過的式子，並無類推的作
用，我們認為交換律可透過實例情境的類
推、比較、及討論，引導學生自行建立，
計算則可當作檢驗的例子。下例為討論交
換律的問題實例（此處採 4卡並列，因 2
卡並列似乎太過簡單,）。
例、撲克牌中，每點表示一分，紅牌表示
得分，黑牌表示失分，得分用正數表
示，失分用負數表示，計算總分時，
得失相抵銷，試比較下列三組撲克牌
的總分，然後列出並比較這三個算
式，說說看你有什麼結論？
(a)
(b)
(c)
結合律則可利用簡化如 [（-23456）
＋（＋76543）]＋（-76543）的計算方式
予以討論。
加減的混合運算
對於含正負數的加減混合運算，有許
多不同的方法，大部分的課本討論時都是
將所有的減法運算化為加法，然後依序或
運用加法的交換律或結合律對該加法式子
作簡化的運算。但卻遺漏了一個重要的算
法，那就是「省略正號」並利用「符號法
則」將所有的括號去除（因此式子中只有
運算符號），然後將要加的數及要減的數分
別加起來，兩者再相減，這是一般處理時
的方法，我們建議教學中必需有這種方法
的討論。
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五、以電腦程式呈現的教學模型
電腦及網路科技的日新夜異，使得使
用電腦協助教學成為未來的必然趨勢，底
下簡介紹幾個我們發展的程式，供讀者上
網參考使用。
一、數線簡介
本程式展示數線形成的過程，教師可
按「展示」按鈕，由電腦自動清畫面並展
示數線的形成過程，也可先按鈕「清畫
面」，再依序按「直線」、「原點」、「單位點」、
「手動」等按鈕後，以滑鼠向左及右方拖
曳，形成正向及負向的數線。也可以按鈕
「旋轉點」呈現旋轉點，以滑鼠拖曳使數
線以非水平線的方式呈現，程式也提供選
擇分割任一單位為 2-10 等分的功能，方便
討論數與點間的對應關係。選擇 A、B、C
或D可以呈現把手，移動其位置，可以就
位置與學生問答討論其坐標，也可以按
「S」及「H」以顯示或隱藏其坐標值，如
圖十所示。
圖十 數線簡介程式起始畫面
二、數線與蛙跳
本程式展示青蛙的跳躍，呈現跳躍的
軌跡，可輸入跳躍的數值（正負數，正向
前，負向後，），可以固定跳一個輸入的量
（有理數），隨機跳一個量（1-7 單位，整
數），也可以跳至規定的位置（有理數），
青蛙也可以轉變方向，可供教師討論位置
量與變化量，瞭解在數線上量呈現的方
式。變化量也可以用有向線段呈現，對相
反數的意義，也可有探討（圖十一）。
圖十一 數線與蛙跳程式呈現的畫面
正負數的概念及其加減運算（續）
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三、正負數的加減運算
1.電荷相消模模型（或紅黑球相消模型）
本程式可展示電荷相消模式的加減
運算過程，可選加、減、乘、除運算（乘
除只展示數值計算過程），可分別輸入兩個
正負數（輸入完成要按 Enter 鍵，使用的
正負電荷數（或紅黑球數），每種都不得超
過40 個，否則只呈現數值計算過程），再
按「操作」、「繼續」、「繼續」…至該鈕再
出現「操作」為止，程式會依序自動取出
或拿走正負電荷，並呈現相對應的算式。
可供教師與學生討論操作正負電荷數量之
方法及意義。
圖十二 正負電荷相消模式型呈現的畫面
2.水位變化模型
本程式呈現一個或兩個水杯（相同
的），並以水位上升下降呈現正負數的加減
法，呈現水位升降的過程，並配以相應的
算式。兩個水杯是比較不同水庫水位時使
用（減法），例如某日兩水庫原來水位一樣
高，一個月後，甲水庫水位水下降 13 公
分，乙水庫水位上升 8公分，此時，甲水
庫比乙水庫水位高（或低）幾公分？幾公
分？圖十三為原題列式為「甲水庫水位變
化-乙水庫水位變化」時的圖示。
圖十三 水位變化模呈現的減法過程
3.滑尺操作模型
本程式提供可滑動的兩條直尺，兩數
相加時，按「±」鈕使其呈現“＋”號（預
定的符號）；兩數相減時，先按「 ±」鈕使
其呈現 ”-“ 號，此時上方直尺的刻度會
自動轉向，負刻度在右方，正刻度在左方
（好像將直尺轉向一樣），找出和或差的步
驟如下：
a.確定被加（減）數下方直尺的位置
b.將上方直尺的原點，滑往該位置，
c.看加（減）數在上方直尺的位置在哪裡，
對照下方直尺刻度，就是兩數之和
（差）。
本程式除提供操作的按鈕外，直尺滑
動時，也會展示有向線段的加減表示法。
若供學生操作求和及差，對年紀較小的學
生也是不錯的活動，如圖十四。
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圖十四 直尺操作模型呈現 12-(-20) ＝ 32 的畫面
4.汽車行進模型
本程式類似滑尺加減，以汽車面向為
準，前進為正，後退為負（通常汽車開始
時均面朝正向），汽車行進時，會將對應的
有向線段畫出來。其操作步驟如下：
a.輸入兩數，並決定要作加法還是減法
b.按鈕「開始」─ 程式會清除畫面，汽車
面向正方向，並依第一數的大小及方向
行進之後，按鈕名稱會變為「繼續」。
c.再按「繼續」─ 汽車會依第二數的方向
及大小行進（若是作減法，汽車會先轉
向再行進，如圖十五所示），按鈕名稱仍
為「繼續」。
d.再按一次「繼續」，程式會呈現兩量相加
或相減的結果（也會畫出與結果相應的
有向線段），按鈕名稱回覆為「操作」。
也可以自行依序按「第一數」、「加」
（或「減」）「第二數」、「結果」等鈕，來
觀察汽車的行進。
圖十五 汽車模型呈現減法時，汽車會先轉向再依輸入的第二數行進（第二圖）
5.溫度計模型
本程式呈現溫度計（圖十六），可以
手動或輸入原來溫度及最後溫度，並按鈕
「圖示差」呈現溫度的變化，可作為討論
減法規則的模型，溫度計也可以水平或鉛
直呈現。
正負數的概念及其加減運算（續）
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圖十六 溫度計模型呈現的畫面
6.撲克牌程式
本程式提供一套撲克牌，及兩張蓋
牌，方便教師使用撲克牌教學，可鍵入相
關指令，移動撲克牌（至相應的坐標位置，
以撲克牌的左下角定位置），可供教師上課
時，作撲克牌相關活動時作呈現之用。圖
十七呈現一些撲克牌，問題「圖中第二列，
若左邊兩牌點數之和與右邊點數相等，問
蓋牌可以是哪一張牌？」就可讓學生討論
加法的算式填充題。
圖十七 撲克牌程式呈現的畫面
科學教育月刊 第 278 期 中華民國九十四年五月
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六、結語
本文首先介紹了正負數及其加減運
算，在古代中國使用的狀況，並列出我們
認為正負數及其加減運算在國中教學時，
所應完成的能力指標，並就相關概念及議
題，提出討論，最後舉例列出我們所發展
的與正負數教學有關的電腦教學模型，供
國中教師教學之參考，這些程式可上網
http://dynamath.idv.tw 或 http://動態數學
網.tw 察看使用，希望對國中教師有幫助。
參考書目
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簡史（4版）。九章出版社。
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