平面圖形

黃雅慧、歐維玲、陳建成、陳勇全

數學科教材教法

平面圖形本質概念報告

第十組 黃雅慧、歐維玲、陳建成、陳勇全

壹､國小相關教材分析表

（如上兩表）

貳､平面圖形概念

（一）圖形的初步概念：

圖形並非實際存在的東西，只是能從實際的物體聯想到它，例如：我們在日常生活中所看到的一切器物、建築……等乃是圖形的化身，亦即圖形具體化的東西，圖形是從實物中摒棄其無可避免的夾雜物如顏色、氣味、大小、材質、輕重、硬度、厚度、用途等性質，進而抽象後得到的概念。

兒童的生活空間中最常接觸的是立體圖形，而平面圖形宜從像立方體、錐體、柱體、球體、長方體的面來辨識。一般在日常生活中常見的具體食物如盒子、箱子、罐頭……等，兒童通常都用三角的、四角的、圓的或像盒子的形狀，像球的形狀，像罐頭的形狀等詞彙來描述它，因為【一年級】這個階段的兒童辨識物體的形狀通常是以物體整體的外觀來辨認，所用的詞彙通常是【像……的形狀】。本單元是運用兒童的詞彙來辨識球、圓錐、圓柱和長方體等立體形體。

（二）面積的概念：

1.數學結構

不同單位量的認識是兩個不同的層次，故【第七冊】面積教材分別安排在不同的單元，「1平分公分」的認識與應用在第三單元，「1平方公尺」的認識、應用與轉換則在本單元；有關面積的教學意義見第三單元之學習研究篇。

2.認知結構

「1平方公尺的命名活動」：

1平方公尺的認識於【四年級】【第七冊】第三單元學習到「從刻度單位到成為測量單位」，故知道邊長均為1公分的正方形面積為1平方公分；本單元仿前例嘗試進行「邊長均為1公尺的正方形面積為「1平方公尺」的命名活動，進而認識1平方公尺的意義。

「面積的合成活動」：

透過覆蓋活動，描述面積的大小已分別於第五冊及第六冊進行之，從個別單位到普遍單位的「1平方公分的合成活動」則於本冊第三單元進行，本單元則從高階的普遍單位即1平方公尺的認識著手，透過1平方公尺的逐步累積，知道3平方公尺是由3個1平方公尺合起來的。

「面積的保留性」：

面積的保留概念指的是面積的大小不因位置、方向的改變而改變，此概念是無法透過指導活動即予建立，而必須經由多次經驗的累積，如：知道──移動一部份形成────後，面積不會改變，本單元則透過「1平方公尺的逐步累積」經驗到【等積異形的概念】。

「單位量的認識與轉換」：

透過覆蓋、拼湊、複製等的反覆性活動是建立面積概念不可或缺的過程，而不同單位量的關係亦透過操作活動，經驗到一個方瓦是邊長為1公分的正方形，其面積是1平方公分；【百格板】用了100個方瓦才能蓋滿，故一個百格板的面積為100平方公分；1平方公尺用了100個百格板才能蓋滿，故1平方公尺的面積為100個100平方公分合起來的，即10000平方公分。

「單位量的選擇與應用」：

透過操作活動，單位量間的轉換不再是「公式的記憶」而是「量感的轉換」，理解1平方公分等於10000平方公分的意義，並會選擇適當的單位量進行面積的測量活動，如：測量地板面機會用平方公尺為基本單位，測量課本封面的面積會以平方公分為基本單位。

（三）認知結構：

兒童的幾何思考具有五個不同的發展階段，每個階段均各具有其發展特徵。

第一個階段是「視覺辨識階段」：

最初是視覺辨認階段，此階段的兒童是透過視覺觀察具體實物，由實物的輪廓來辨識圖形，例如：兒童所知道的長方形，是因為以前所看到長方形就是這個樣子或它是像門的樣子，兒童所知道的「正方形」、「圓形」是因為它長得「方方正正的」，或它像以前所吃過的餅乾的樣子。，此階段的兒童可以學習數學非標準語言或數學術語。例如：兒童知道「正方形」、「圓形」這些術語但還不能了解「正方形」、「長方形」、「圓形」真正的定義。故在低年級教學時，宜多安排具體物操作的活動，諸如：滾動、堆疊、造型、塗色、描繪……等活動，透過這些活動讓兒童實際經驗並獲得概念。

兒童用足夠的、完整的視覺辨識來區辨圖形。如只知道正三角形與直角三角形很相似所以應該放在一起，而不會將正方形與三角形放在一起。 但這階段的小朋友還不太清楚各種圖形的特性，例如分不清楚等腰三角形與等腰三角形有何不同，只是用視覺辨識來區辨圖形，「他們比較像所以」所以將他們放在一起。

第二個階段是「分析階段」：

當兒童具有階段的特徵後即進展到次一階段的分析階段，此階段的兒童能開始分析幾何的觀念，即透過觀察及實際驗證的方法，分析圖形的組成要素及圖形的性質。
例如：兒童所知道的「長方形」是因為它有四個直角，有兩個長邊，有兩個短邊，有兩對邊平行，所知道的「正方形」是因為它有一樣長的四個邊，有四個直角。
第三個階段是「非正式演繹階段」

此階段的兒童能建立的性質之間的關係及圖形之間的關係。
例如：兒童能了解到長方形是一個直角的平行四邊形，正方形是長方形的一種。

第四階段「演繹階段」

此階段的兒童能了解到推論的重要性，了解到定理的不同證明方法。例如：如果這個圖形是一個平行四邊形而且有一個直角，則可證明此圖形是一個矩形。

第五階段最後階段是「幾何的嚴密性階段」

此階段的兒童可以學習不同的幾何系統，並在不同系統之間作相互比較。

以上的發展階段，第3、4階段屬於較高深的幾何思考，不屬於國小階段兒童，因此低年級對幾何的理解須藉由實物，不斷的具體經驗的學習，以豐富他們的視覺經驗，使其在0階段的學習經驗豐富了之後，則可循序漸進到較高的階段。

叁､三角形

一、三角形數學結構

(一)三角形定義

1、角的意義：

在本單元中，角是多邊形頂點的局部。在此意義下，僅限於180°以內的角，我們用描出多邊形的各個角的活動來配合此意義，如右圖斜線所示，僅指圖形內部的角

2、三角形的要素：

（1）頂點：三頂點的位置確定後，三角形隨之確定。

連結任意兩頂點得一邊。兩邊夾得一角。

（2）邊：三邊對應相等的兩個三角形，可以經過旋轉，翻轉和平移後完全疊合，亦即全等。

（3）角：三角對應相等的兩個三角形相似。

3、由圖形分離出要素：

（1）三角形三邊的抽離：

（2）三角形三角的抽離：

c＜d＜e＜f，f的脫離程度最高

要讓兒童透過要素抽離的實際活動來認識要素。同時也要提供抽離的反向活動，即從要素建構圖形。

（二）三角形的態樣

國小四年級開始教導學生區辨各是三角形，以等腰三角形與正三角形為主，教導學生三角形邊角的關係，但對於邊角比例問題待國中後教導，小學階段只要知道「大邊對大角，小邊對小角」。

正三角形：三邊一樣大，三角都是60度，

等腰三角形：兩邊一樣長，兩等邊所對應的角一樣大

直角三角形：三角形中有角為直角（90度）

（三）三角形的面積

三角形面積的求法是由公式【（底×高）÷2】，因為有別於透明格板直觀而得之算法，在學生的認知上需要有推理能力，因此放在五年級平行四邊形的面積求法之後，並且與梯形面積求法同放在一起。

肆、四邊形

一､四邊形的數學結構：

（一）定義：

1、邊形的要素：

（1）頂點的情形和三角形的完全相同。

（2）四邊對應相等的兩個四邊形不一定全等。這可由以活動關結相連的四根木條的操弄得知。但是如果再加上有一個夾角對應相等，或有一條對角線對應相等，則為全等。

（3）因四邊形的內角和為360，故若三角對應相等，則第四角亦相等。

（二）四邊形的態樣：

【第七冊】平面圖形是將具體物的面拓印出來的結果，它不受視覺位置、方向或翻轉的影響，故可透過分類、操作、比較、歸納推理等形成概念及命名。本單元續第五冊第六單元認識四邊形的構成要素之後，進一步分析構成要素中邊長的相等、垂直和平行，並以此觀點加以分類及命名，由此認識長方形、正方形、平行四邊形、菱形、梯形和箏形。各圖形特徵如下：

菱 形：四邊等長。

正 方 形：四邊等長，四個角為直角。

長 方 形：四個角為直角。

平行四邊形：兩組對邊分別平行（且等長）。

箏 形：有兩組等長的相鄰邊，但對邊不平行（不等長）。

梯 形：一組對邊平行，另一組對邊不平行。

（三）四邊形的面積：

二､四邊形的認知結構：

第五冊第六單元中，兒童已注意到多邊形的構成要素：邊和角的特徵；第六冊第九單元進一步以正方形和長方形上的角形，引出直角概念；按照van Hiele的兒童幾何認知發展理論，此時期的兒童正處於視覺（Visualization）過渡到分析期（Analysis）的階段，學童經由觀察與實驗開始辨認圖形的特徵，可從完整的圖形來辨認部份的要素。因此，【四上】【第七冊】先以特定長度的四支竹籤排圖的方式，排出各種特徵的四邊形，並依其特性和生活中常見的物件圖象連結，在加以分類命名。由於此階段學童大都尚未達到從部份要素辨認整體的層次，故在本單元活動1 中，不進一步分析各類圖形構成要素間的相關特徵（如：正方形、長方形、菱形、平行四邊形的對邊都平行），以及圖形間的包含關係（如：正方形是長方形的一種）。本單元採用邊的長短關係做為圖形分類的出發點，再就其對邊的平行特徵加以區別。由於一般梯形的邊長間並無特定關係，及學童不易於短暫時間內領會各種圖形的特徵，故將梯形概念及命名在習作中引出，以供學童初步經驗其特徵。

三、教學策略：

【第七冊】

(一)學童以竹籤排四邊形時，若學生排出的圖形全為同一種特徵的圖形時，教師宜補充，做出另一種特徵的圖形，以供學童討論，再進行命名活動。

(二)指定學生上臺演示時，為節省教學時間，教師宜指定排相同特徵形狀的學童分別集中在黑板的一邊，如：排長方形者在黑板的右邊，排平行四邊形者在黑板的中間，非平行四邊形者在黑板的左邊，可節省討論分類時，需將圖形重新歸類的時間。

伍、圓形

一、圓形的數學結構

（一）圓形的定義

1、圓及其構成要素

圓是平面上的封閉曲線，這曲線上的所有點與一個定點成等距離。

古代墨家對圓也給了定義「圓，一中同長也。」此指圓內半徑同長的意義。

圓心是圓的中心;（即指固定點）。

圓周是圓的周邊;（即指封閉曲線）。

半徑是圓心到圓周的線段（即指一端在圓周上，另一端在圓心的線段）。

直徑是通過圓心且兩端在圓周上的直線段。

2、同圓內半徑與直徑的個數及關係
同圓內有無數條半徑與直徑。

同圓內直徑是半徑的2倍。

3、圓與圓心及半徑的關係

圓的位置由圓心決定。

圓的大小由半徑大小決定。

二、圓形的認知結構

依據van Hiele 的幾何學習發展階段，本單元圓的教學位於分析階段，在這階段的學童注意到圖形的組成要素，所以圓的教學活動要透過製作圓的過程，逐漸發展圓的構成要素，使學生了解圓心、半徑、直徑及圓周。

研究學童到7～8歲才能產生等距離概念，也能找出無限多點滿足等距離條件。根據他們的研究，

三、教學策略

（一）圓的教學活動

1、先辨認圓

活動的要點在於複習，所以只要學生能指出或說出那些圖形是圓或非圓的合理理由即可，不必拘限某一理由或深入追究。

2、討論怎樣畫圓

（1）用繩子畫圓

活動進行時，如果沒有學童用繩子畫圓，教師應示範表演，用一段一端繫著一重物的繩子，手握著繩子的另一端轉動繩子，使重物以手為圓心繞圈，讓學童觀察，引起學童想用繩子畫圓的動機。學生每兩人一組，一人進行畫圓，另一人標示固定點，待圓畫好時，沿著定長繩子邊緣畫線段。將作品放在黑板上展示，先讓學生就定點與定長的線段嘗試命名，然後教師再宣告圓心、半徑的用語；至於圓周，教師用手比劃圓的周邊一圈，再宣告為圓周。接著要求學童從圓心到圓周畫數條半徑，討論這些半徑一樣長的理由。

（2）使用圓形紙卡找圓心、半徑和直徑

先用有點出圓心的紙卡（習作附件一）依下列步驟進行摺疊。

先對摺，使二半圓形紙卡密合，打開紙卡，用筆沿著摺痕畫線。

取不同方向，仿 再對摺，並畫線。

又取不同方向，仿再對摺，並畫線。

經由上面活動後，學童會發現圓形紙卡上有三條摺線相交於圓心；再進行像這樣的直線的命名，一般人稱它是這個圓的「直徑」，接著讓學童找出一條直徑上有兩條半徑。

（3）使用沒有點出圓心的圓形紙卡找出圓心

仿上面2.的到的摺疊及打開沿著摺痕畫線的方法，找出圓心，並檢驗交點到圓周的線段是否等長，確定交點是圓心。

（4）用圓規畫圓

圓規的結構與使用

圓規是繪圖的儀器，可以用來畫圓，取線段長度。圓規又稱圓腳規，它有兩隻腳，可隨意分開或合併；一般構造上，一腳為針尖，另一腳可裝入繪圖的筆或筆心。畫圖時，可依下列步驟進行：

先分開圓規的兩腳，使兩腳的距離等於圓的半徑。

然後，將針尖腳固定於一點（圓心的位置）。

繞著針尖腳，旋轉套有筆的腳一周。

注意事項：

針尖腳不可移動。

旋轉圓規時，兩腳的距離要保持一定，不可變化。

用圓規畫圓的活動

學童除了會畫圓外，且要加深了解圓的組成要素。活動開始，先討論怎麼使用圓規畫圓，重點要能說出並演示使用圓規的過程；然後，在自己所畫的圓上點出圓心及畫出半徑和直徑，並用尺量直徑及半徑，能知道直徑是半徑的2倍；最後能畫出一個指定半徑長的圓。

(二)圓的教材地位

教學應注意事項

1、圓的辨認活動，只要學童有合理的理由即可。

2、用圓形紙卡摺直徑，往往會有偏差，務必注意二半圓要疊合好，才會產生所有摺線交於一點。

3、無論用繩子或圓規畫圓，讓學童多嘗試幾次，理解畫圓時要有定點及定長。

4、引入兩點間的距離，目的要使學童知道兩點間的直線段的長就是兩點間的距離；

兩點間距離不可用尺量，目的在評量學童是否知道同圓內的半徑都一樣長。

陸、正多邊形

一、數學結構

（一）多邊形的定義：【第五冊、三年級上學期】

由折線段圍成的簡單封閉圖形。按此定義可包括凸的和有凹的多邊形。但是在中、小學所談的多邊形一般僅限於凸多邊形，且省去凸字。

小學課本僅談(d)。

小學前的先備經驗：

1.公私立幼稚園結業的兒童已經有正方形、三角形、長方形、圓形等初步概念。

2.一般的兒童有顏色、大小等日常用語來描述日常生活中常見的東西的形狀，也能說出週遭具體實物名稱，如：盒子、罐頭、餅乾盒、箱子、牙膏盒、輪子等。

用筆和直尺畫線由頂點相連得出多邊形的活動。

二、認知結構

【五上 第十冊】

我國五年級學童（10～11歲）幾何的學習進入到第二個階段「分析階段」開始分析幾何的觀念，即透過觀察及實際驗證的方法，分析圖形的組成要素及圖形的性質。

在本單元可以分析

1. 邊角關係

2. 正多邊形的圓心角與邊的關係

3. 正多邊形可以畫一外接圓

三、教學策略

1. 以圓規畫圓，標示出圓心。

2. 以圓心為中心連接正多邊形的頂點

3. 探討圓心角與邊的關係。

柒、縮圖與比例尺【第十二冊】

一、數學結構：

（一）擴大圖和縮圖的意義及關係

1、意義：圖形的擴大圖或縮圖（縮小圖），通常以邊長的比值來描述其擴大或縮小的倍率。具體一點來說：設n表示一個正整數，一個直線圖形甲在保持各個角度大小不變下，各邊的長皆增為其原來的n倍時，稱它為乙圖，則乙圖為甲圖的n倍擴大圖。反之，可稱甲圖為乙圖的n分之一倍縮小圖（縮圖）。

通常一個圖形的擴大圖或縮圖，其擴大或縮小的倍率不一定限在整數或分數之分子為1的情況，如它也可以擴大為原圖的1.7倍或縮小為原圖的 倍等等。

2、關係：擴大圖或縮圖和原圖之間有下列關係：

（1）擴大圖和縮圖是相對的概念，即若乙圖為甲圖的擴大圖，則甲圖為乙圖的縮圖。

（2）擴大圖或縮圖和原圖實際上是相似的圖形，其對應角相等，對應邊成比例。

（3）平面直線段圖形邊長擴大或縮小為原圖的n倍（當n>1時為擴大，n<1時為縮小），則其面積擴大或縮小為原圖的n的二次方倍。【面積比等於線段的平方比】

（4）立體多面體圖形邊長擴大（縮小）為原圖的n倍，則其體積擴大為原圖的n的三次
方倍【體積比等於線段的立方比】

（二）平面擴大圖或縮圖的畫法

要畫一個直線段圖形擴大（縮小）為其n倍的圖形，一般有下列幾種方式：

1.利用方格畫圖

（1）固定方格大小：其步驟如下

1.將原圖分割成若干個等大方格。

2.找出原圖中各線段垂直及水平方向所佔的方格數。

3.在與步驟1.相同大小方格的方格紙上算出原圖各邊的垂直及水平方向所佔的方格數之n倍方格，畫出擴大圖上各個對應的邊，即得所求之n倍擴大圖或縮圖。

（2）固定方格數，放大（或縮小）方格邊長，其步驟如下：

1.將原圖分成若干個大小相同的方格。

2.以步驟1.所分成的一方格邊長之n倍為新方格一邊的長，畫出一張方格紙，使其水平與鉛直的方格數等於或多於原圖所被分割的水平或鉛直方格數。

3.在步驟2.中所畫的方格紙上，依原圖各邊的垂直及水平方向所佔的方格數，畫出原圖的各對應邊，即得原圖的擴大圖或縮圖。

2.利用對應角相等，對應邊長為原圖的n倍性質直接作圖，步驟如下：

（1）量出原圖各角之角度及各邊的長度。

（2）依角和邊的對應位置，依序畫出全等的對應角及n倍長度的對應邊，即得原圖的擴大（縮小）圖。

為了某種特殊的需求，我們常會將所要觀察的對象放大或縮小，照片即為我們最常見的實際情境縮小圖。因此，本單元活動1先以取景角度相同與不同的照片，在不同大小比例的情況，讓兒童初步經驗並觀察輪廓相似但大小不同之情況，及其上對應部份的邊長倍率關係，初步的描述為「甲照片中的某物件是乙照片中該物件的幾倍擴大圖」。進一步從製作的觀點出發，讓兒童於方格紙上利用等大小方格策略，在方格紙上嘗試作圖。根據方格紙上所給的圖形，試畫其3倍的擴大圖，再由畫出的結果檢驗其各邊長（接擴大為原圖的三倍）是否正確，討論其合理的畫圖方法。

本教材在第十冊第七單元中，已探討多邊形的全等對應，在兩個圖形全等對應之下，互相對應的角全等，互相對應的邊等長。本單元活動2從這種全等對應舊經驗的反省出發，引導至一個圖形和它的投影圖像的對應，先溝通這種不一樣大小的兩個圖形互相對應的頂點、互相對應的邊，以及互相對應的角，再由方格紙上所畫的擴大（縮小）圖探討其頂點、邊和角與原圖的對應關係、對應角全等、對應邊的倍率關係。最後利用這些對應部份的關係特徵，引出數學上較嚴密的擴大圖及縮小圖之定義，但在此描述時，仍較具體的以兩個已確定擴大（縮小）倍率的圖形，配合其擴大（縮小）倍率說出（例如：甲圖為乙圖的3倍擴大圖）。

（三）擴大或縮小圖的判別

對應角相等且對應邊長成比例的兩個不全等圖形。是相似形，也可以說是其中一圖為另一圖的擴大或縮小圖。所以要判別甲圖形是否為乙圖形的擴大（縮小）圖，只要檢驗其各對應角是否全等，及對應邊長是否成比例即可。呈現在等大小方格紙上的圖形，可利用各對應邊所經過的方格數的比值來判斷。對於非呈現於方格紙上的圖形，便要使用量長度與量角度的工具（如直尺、三角板、量角器…等）分別量出對應的邊長，再計算各個對應邊長的比值，量出對應角的角度，再加以比對

（四）比例尺的意義及表示法

比例尺是表示縮圖（或擴大圖）上的長度和實際長度的比或比值。縮圖或擴大圖和比例尺，可說完全是比和比值的應用。比例尺的求法，一般採計算縮圖（擴大圖）和原圖的對應邊長之比，常以1和其擴大（縮小）倍率的比、比值或線段圖表示。例如一張比例尺為「1:1000」的地圖，以比的觀點來看，表示地圖上的1個單位長線段，就是代表實際上的1000個單位長。若單位為公分，則地圖上的1公分，表示實際上的1000公分；以比值的觀點來看，它表示地圖上的1是實際上的1/1000。有些地圖上，比例尺的說明，除了比值或比的形式外，常配以線段圖，例如：

比例尺：參萬分之一

比例尺：1:30000

（五）空照圖與一般地圖的差異

空照圖是自空中拍攝出地面的情境圖，如自空中飛行的飛機上往地面看，可看到陸地上的各種景象，像房子、街道、河流，田野、山林等，十分複雜。圖上除了這些實際景象的平面圖像外，並沒有特殊標記，我們不易從這種實際景象圖上估測出兩地的距離，或看出某個特定區域的界限。

一般的地圖是一種地面某個範圍摒除地面上的真實物件後，簡化抽象之縮小表徵，僅以線條描述重要的不同地區的界限，河流、道路等分布範圍；以點表示一些重要的地點，如城市、特殊場所等的相關位置，同時標示其名稱或代號，使人可以容易了解這些情況的分布及相對位置關係。

本單元之縮圖比例尺部分之教材，承接第十二冊第五單元之縮圖的部份，以第五單元的概念為基礎，讓學童嘗試在沒有方格的白紙上，經驗利用對應角全等及對應邊擴大（縮小）某倍率的關係，畫擴大（縮小）某倍率的擴大（縮小）圖，使了解一般擴大（縮）圖的做法要領。最後再於方格紙上畫出簡單圖形（如長方形、正方形）的擴大（縮）圖，引導兒童直觀的察覺圖形擴大（縮小）n倍的結果，其面積擴大（縮小）為原圖形面積的n的二次方倍關係。

由學校部份的平面圖情境，嘗試抽象思考某場地的實際範圍為動機，引起學童產生「比例尺」的需要感，再提供標出比例尺的情境，探討比例尺的意義及功能。接著引出各種不同表示比例尺的記錄格式。最後由空照圖和地圖之對照，察覺其呈現概念的差異性及體認地圖的功能，並嘗試應用所提供的比例尺，進行地圖上兩地實際距離的估測。

二、認知結構

在日常生活中，學童已經常看到一些實物或景觀的圖片，這些圖片是原物某種方位的縮圖或擴大圖，例如人、風景、建築物，……等的圖片，都是原物的縮圖，細胞、微生物、小動物的圖片、電影畫面、…等，大都是原物的擴大圖。
在vanHiele幾何概念發展階段0的學童，觀察圖形時，是以它的整體外觀來辨認，他們在描述兩個圖形的大小關係時，也是以其整體的輪廓來判斷，還不能從邊、角等構成要素去分析。本教材在低年級階段，透過外觀相似的分類、描繪、比較的經驗，引導兒童逐漸進入結構特徵的分析。第三冊第八單元中先透過圖形的疊合或摺合的操作活動，從外觀經驗圖形的全等和對稱特徵。
高年級階段的兒童，幾何概念思考能力，大都已進入vanHiele的分析發展層次，能分析兩圖形結構間的關係。因此，在第十冊第七單元中，引導其認識圖形構成要素間頂點和頂點、角和角以及邊和邊的全等對應概念。本單元再由此經驗出發，引出擴大圖（縮圖）和原圖構成要素間的對應，並探討對應角全等及對應邊成比例的性質。

由觀察不同遠近照出的同一景像圖片，討論不同大小但同形狀的圖形外觀的大小，並漸進至邊長的倍率關係，從實際擴大（縮小）的情境察覺「甲圖放大為2倍的擴大圖」之粗淺概念。為使學童能較深入的了解圖形構成要素在圖形擴大（縮小）時的改變情形，讓學童先嘗試畫擴大圖，再由畫出的圖形檢驗過程中，體會出圖形擴大為原來的幾倍時，各個邊確確實擴大幾倍的正確狀況。活動2再從構成要素的對應概念進入，先引起全等對應關係的舊經驗，接著利用透明片上的圖形投影放大，從易描述觀察的點開始，引出原圖與擴大圖上的點之對應關係，再探討邊的對應，讓學童了解同形狀不同大小的圖形間的構成要素也可以形成一種一對一的對應關係。建立了擴大（縮小）圖和原圖構要素的對應概念之後，才進行角的全等及邊的等倍率關係之討論分析，以形成利用「對應角全等，對應邊都擴大（縮小）為原圖的n倍」定義擴大（縮小）圖的共識，建立數學上較嚴密的定義方式。

（一）圖形擴大及縮小概念應用能力的發展
自學童能拿筆塗鴨時起，便已開始在學習畫實物的縮小（擴大）圖，當時的畫圖是沒有規則的，粗糙的，大都以所畫對象的實際情境之外觀為依據，並且沒有密切的結構比率之考慮。當他們逐漸體會物體的結構關係時，其畫圖的步驟也會隨著修改，慢慢轉向自結構的關鍵部份著手，同時也注意到各部分的比率關係。直到確實了解圖形擴大或縮小和原圖結構的關聯性之後，便能靈活的運用其性質於各種圖形的繪製上。

配合學童幾何概念的發展程序，安排相關概念的應用情境，使其形成的概念能逐漸進入內蘊化的程度。在第十二冊中，關於圖形擴大（縮小）的概念，已引導兒童形成擴大（縮小）圖和原圖間「對應角全等，對應邊長成比例」的數學上嚴密定義。本單元活動1中，以這種經驗為基礎，首先採取開放性的方式，讓學童應用其先前的各種畫圖經驗畫出擴大（縮小）圖，接著要求其不用方格之協助，直接運用擴大（縮小）圖和原圖間構成要素的關係畫出指定放大（縮小）倍率的圖形。接著提出不在方格紙上的一些圖形，讓學童利用構成要素的關係判別擴大（縮小）圖，使其概念逐漸內蘊化。

（二）圖形擴大（縮小）n倍與其面積擴大程度的聯結
圖形邊長的改變是一維的性質，面積的改變則是二維的，學童對於後者的了解較為困難，必須透過直觀的圖形分割才能理解。本單元活動1中，透過將擴大圖畫在方格紙上的活動，引導學童先利用方格的協助，觀察原圖和擴大圖的面積變化關係，再將面積擴大的倍率和邊的擴大倍率關係結合，使兒童發展出由邊的擴大（縮小）倍率，推知面積的擴大（縮小）倍率之能力，【面積比等於線段的平方比】。

（三）比例尺概念的建立與應用
比例尺是一種抽象的內涵量概念，它並不是像量長度的直尺，可以拿來直接測量實物的長短，學童必須先了解擴大（縮小）圖與原圖邊長的倍率關係後才能理解的一種「表示原物與擴大（縮小）圖擴大（縮小）倍率關係」表徵。因此本單元教材，先於活動1中，讓學童熟悉並能應用擴大（縮小）倍率概念之後，再於活動2中介紹比例尺概念及應用。活動2中，先以未標示比例尺的簡單情境平面圖為動機，引起學童推斷實際情境大小的困難，再提出一般常見的比例尺表示形式，溝通其所表示的概念，接著以標有比例尺及某些辦公或活動場所的學校地圖或兒童較熟悉的地區之地圖，讓兒童利用比例尺探討一些地點間的大致距離與比例尺的關係，以增進其對比例尺功能的認識與分析推理能力。

三、教學應注意事項

（一）在活動1中，取景相同但遠近不同拍攝出的照片上，圖案大小關係的討論或檢驗時，學生若實際量出邊長比較，出現邊長數值不同時，可能係測量誤差的關係，可以和學童適當溝通後，加以淡化處理。若出現圖的大小倍率關係「二倍」與「四倍」的爭論時，宜引導其以「邊長」來探討圖形擴大之倍率關係。

（二）活動1中，檢驗學童在方格紙上試畫3倍的擴大圖時，應注意提醒學童每一邊都要檢查。特別是當圖形的邊不和方格紙上的方格邊平行或垂直時（即傾斜線），較不易檢查，可能要利用到水平或鉛直的方格數，應讓學童較詳細的溝通討論。

（三）活動2中，利用透明片的投影和原圖討論對應關係時，應同時於黑板上展示出原圖，以利對照討論。起初可就較易描述的一些特定點觀察，然後再舉任意位置的點進行溝通，以使學童察覺原圖上的每一點，在影像圖上都有一個對應的像點。

（四）關於「放大幾倍」與「放大為幾倍」之語詞，一般常有不同之解釋。「放大幾倍」是指增加的部分，並不包括原來的一倍，例如「放大2倍」，是指比原圖增加2倍，若包括原圖應為原來的3倍；「放大為幾倍」，通常指「放大為原圖的幾倍」，其中包括原圖的一倍在內，例如「放大為2倍」，是指包含原圖的一倍與增加的一倍共兩倍的意思。在本單元教學時，最好皆以「放大為原來的幾倍」來說明較好，以免造成溝通上的混淆。

捌、參考資料：

資料來源：重新整理林宜臻的數學園地之數學本質概念數學結構與數學認知(全)

http://mail.tku.edu.tw/jen/