概念構圖在平面圖形教學中的應用研究

概念構圖在平面圖形之應用

高雄市鼓山國小 王淵智

壹、前言

九年一貫課程重視學生學習的統整，所謂的統整並非領域之間做隨機的拚湊。數學領域的學習，由於本身科目屬性較為獨立，所以較難與其他領域進行有意義的連結。筆者曾參考過去許多統整課程，發現「統計與機率」是被納入統整課程最多的主題，其他主題如「數與量」、「幾何」等則相對較少。此現象亦可說明，與其勉強做數學與其他學科知識的統整，倒不如就數學本身的知識內部連結做起，以求學生真正的統整學習。

Novak 與 Gowin(1984)認為「概念構圖」(concept maps)可以從命題裡呈現概念和概念有意義的聯結。所以，教導學生對所學的數學概念進行構圖，非但深具有效教學的重要意義，也可以藉由概念構圖進行學生習得概念的評量。真正對所學概念能夠統整的學生，再沒有其他因素的干擾下，應該可以在概念構圖上呈現豐富的連結網絡，且描述出有意義的命題。余民寧(1997)亦認為概念構圖不只是教學和學習的工具，亦可視為一種學習策略，即後設認知策略。所以，當吾人重視自主學習、自我調整學習之時，教導學生概念構圖是「一種教導捕魚的方法，而不只是給魚吃。」

本示例即以概念構圖的方式，探究國小學童對於「角」、「垂直」、「平行」、「邊」、「長方形」、「平行四邊形」及「梯形」等七個幾何概念的統整情形。特別須要提出說明的是，在計分規則上因顧及受試學生表達能力且為第一次接受此種評量，故僅採用「關係」做為評分依據，其他如「階層」、「交叉連結」及「舉例」則不在本評量的探討範圍。

貳、評量目標

本評量的主要目標是希望透過概念構圖，以瞭解學生在長方形、梯形及平行四邊形組成要素及其關係的學習情形，並且檢視平行、垂直、角、邊等幾何基本概念。作業要求上，學生就給定的幾何形體及要素說明之間的關係。因此，從學生所繪製概念構圖的連結及敘寫的關係說明，教學者可以瞭解學生對所學概念是否充分。具體的評量目標如下：

1.能說明給定幾何形體及組成要素間的關係。

2.能說明給定幾何形體的重要性質。

3.能將幾何形體、組成要素、性質三者間做充分連結。

除上述的具體評量目標之外，與本評量有關之能力指標如下：

1.九十年暫行綱要階段能力指標

S-2-1 就給定的幾何形體，能確認並說出組成要素的名稱，並在檢驗後適當地描述其要素間的關係。

2.九十二年綱要及分年細目

S-2-02能理解垂直與平行的意義。

4-s-01能運用「角」與「邊」等構成要素，辨認簡單平面圖形。

4-s-07 能由直角、垂直與平行的概念，認識簡單平面圖形。

參、適用年級及對象

本評量適合對象主要以第二階段學生為主：

1.適合實施九十年頒布九年一貫課程暫行綱要之五年級學童。

2.適合實施九十二頒布九年一貫課程綱要之四年級學童。

肆、實施方式

一、準備活動

教學者先就學習者之先備經驗及教學單元內涵分析出主要概念，繼而由教學者就欲評量之數學概念先自行繪製適合目前學生程度的「參照概念構圖」及敘寫關係說明。俟「參照概念構圖」完成後，請具相關教學經驗之同儕給予修改意見。

由於考量學生之前並沒有繪製概念構圖的經驗，所以在實施概念構圖評量之前筆者事先擬製一份說明示例進行教學，以便和學生溝通概念構圖的內容及作法。其次，由於「概念構圖」之名詞對四五年級的學生而言過於艱澀，因此筆者將之易名為「蜘蛛結網圖」以求較有親和力。舉例說明重點如所加註之說明。

二、正式實施

(一)第一階段小組構圖

本階段以五升六之學生為受測樣本，共有23位，四至五人分為一組。由筆者提供概念構圖評量單如下：

請小組先討論，哪一個圈圈(概念)適合放在比較核心的位置，再以鉛筆將它繪下，隨後在圈圈與圈圈之間做出連線並依序給予編號。最後，在「關係說明」部分做兩個概念間關係的敘述。

(二)第二階段學生獨立增刪補充構圖

在蒐集前階段五個小組合作的概念構圖之後，筆者選擇關係陳述最少、部分陳述不正確的，再加上筆者添加的敘述，影印每個學生一份。

第二階段施測前，筆者再舉「正三角形」和「角」兩個概念之間的連結敘述為例。

筆者先舉例：「有一位小朋友把這兩個圈圈的敘述為『正三角形有3個角。』，大家對這個敘述覺得夠不夠清楚，如果不夠清楚，你會怎麼改？」

A學生回答：「正三角形的3個角都一樣大。」

筆者再問：「覺得這樣夠不夠清楚？還可不可以說得更清楚一些？」

B學生回答：「正三角形的3個角都是60度。」

筆者問：「各位小朋友，你們覺得三個不同的關係說明，哪一個

說得最清楚？」

學生們答：第三個。

透過上述的舉例說明，和學生溝通如何把關係敘述說得更具體、更清楚。另外，筆者也提醒全班小朋假使原來的敘述有誤，也可以直接在原敘述旁邊做修改。當有圈圈與圈圈之間還有關係存在而原敘述未說明者，可以再加上連接線及编號，並加列關係敘述說明。

（三）第三階段評量及後續活動

將小組的概念構圖及學生個別修改之概念構圖予以和「參照概念圖」比較以做為概念構圖評分。然而更重要的是從學生的概念構圖內容做質性分析，找出學生已做好連結的概念及未連結的概念，以做為澄清概念教學的依據。

綜上各階段活動，本示例之實施流程如下圖：

註：實線部分為本評量所實行者；虛線則是完成評量後教師應該就評量結果進一步執行者。

伍、評量內容

評量名稱：誰是蜘蛛超人

主要評量重點：平行、垂直、角、邊、長方形、梯形、平行四邊形之間的關係

評量方式：概念構圖

1.第一階段：由老師提供七個概念詞。以四～五個學生為一組，完成一個概念圖。

2.第二階段：蒐集學生作品，選出一個部分答對的概念圖。請學生增加連結、補充說明及訂正說明。

陸、評量標準

　　本示例的評量計分方式係根據小組概念構圖、個別概念構圖及參照概念構圖等三者相互對照，以得出量化（得分）及質性評量結果的資料。參照概念構圖由筆者依據目前五年級學生的學習經驗繪製，並經由二位任教國小五六年級數學多年的老師檢查確認，經修改後做為與學生所繪之圖之對照藍本。

一、提示邏輯：

關係說明

1.梯形只有一雙對邊平行。

2.長方形有4個直角。

3.平行四邊形的4個內角和為360度。

4.長方形有兩雙對邊平行。

5.一個角由兩個邊構成。

6.平行四邊形有兩雙對邊平行。

7.四個角都是直角的平行四邊形也是長方形。

8.平行四邊形有兩雙等長的對邊。

9.長方形有兩雙等長的邊。

10.長方形的每個鄰邊都是垂直。

11.兩個邊成90度角就是互相垂直。

12.梯形底邊的高會同時垂直於上底和下底。

13.兩個梯形可以組成一個平行四邊形。

14.梯形的四個角中最多只有兩個直角。

15.梯形最多只有一雙等長的對邊。

16.垂直是90度角。

17.兩條直線同時垂直於一條直線，則這兩條直線是互相平行。

18.兩個有直角的梯形可以組成一個長方形。

19.兩個對邊如果在不同的地方量出來的距離都相等就是平行。

二、計分規則

依據上述參照概念構圖及其關係敘述，學生作品之評分分成兩個階段：小組評分及個人評分。而每位學生之「個人總分」為「小組得到的分數」及「個人分數」之總分。特別提到的是，做錯不扣分，乃為避免學生「多做多錯，少做少錯」之消極心態而設計。兩個階段之詳細計分規準如下所述。

1.第一階段評分：

每一個有意義的且相關的概念連結的敘述給1分，更精確的敘述則給2分。

連結敘述錯誤不扣分。

本階段的得分做為小組中每個人的基本分數。

2.第二階段評分：

將錯誤連結關係敘述做更正的給3分。

增加連結且敘述精確給2分。

增加連結但敘述不夠精確者給1分。

能修改原敘述使之更精確者給1分。

增加連結，但敘述不正確不扣分。

將原有對的敘述改錯的不扣分。

柒、評量表現結果

本部分分別就兩個階段的評量表現來探討，在第一階段小組方面就五組中挑選「表現最豐富組」及「最具發展潛力組」加以呈現；第二階段個人方面則就前述兩組中挑選兩位學生作品做為討論依據。

所謂「表現最豐富組」係指從五組作品裡其中概念與概念的連結最多且關係敘述合理。而所謂「最具發展潛力組」則是選擇概念連結最少，且只有部分關係敘述合理，足以提供個人修改階段有最多表現機會的作品。

一、小組成績表現

(一)表現最豐富組

此組作品共寫出10個關係敘述，依據第一階段評分規準，各個敘述給分如下：

1.長方形有四個角。(1分)

2.平行四邊形有兩雙對邊平行。(2分)

3.平行四邊形有兩雙對角相等。(2分)

4.平行四邊形有兩雙對邊等長。(2分)

5.長方形有四個垂直的角。(2分)

6.長方形有兩雙平行的邊。(2分)

7.梯形只有一個平行的邊。(2分)

8.梯形沒有相等的邊。(0分，等腰梯形具等長的邊。)

9.垂直的角是90度。(2分)

10.長方形有兩雙對邊平行。(0分，與6相同。)

11.前述10項敘述，合計15分。

(二) 最具發展潛力組

此組作品共寫出6個關係敘述，依據第一階段評分規準，各個敘述給分如下：

1.平形和垂直就合成一個直角。(0分)

2.角有二條邊組成的。(2分)

3.梯形只有一組互相平形。(1分)

4.長方形有二雙對邊組成的。(1分)

5.平形四邊形二組對邊組成的。(1分)

6.平形有二條邊組成的。(1分)

前述6項敘述，合計6分。

二、個人成績表現

本部分從上述兩組中各挑選兩位學生，「表現最豐富組」(學生編號1-1及1-2)，「最具發展潛力組」(學生编號2-1及2-2)。

學生1-1評量表現

該生作品對於既有之7個敘述未做修改，但增列7條關係敘述，依據第二階段評分規準，各個敘述給分如下：

8.長方形有兩雙對邊互相平行。(1分，屬於對4做間接修改)

9.長方形四個角都是垂直的角。(2分)

10.平行四邊形兩雙對邊互相平行。(1分，屬於對5做間接修改)

11.平行四邊形兩雙對角相等。(2分)

12.長方形的四個角都是90度。(2分)

13.梯形的四條邊不等長。(1分)

14.梯形的對角沒有相等。(1分)

如前述，該生所增列之7條敘述合計得到10分。

學生1-2評量表現

該生作品對於既有之7個敘述做直接修改的有5條，增列6條關係敘述，依據第二階段評分規準，各個敘述給分如下：

1.當兩條線同時垂直於另一條直線就是平行。(3分)

3.梯形只有一組邊互相平行。(1分)

4.長方形有二雙等長對邊。(1分)

6.平行的兩條邊永遠都不會有交叉點。(1分)

7.兩條垂直的線會形成90度角。(3分)

8.平行四邊形有兩雙平行的邊。(2分)

9.長方形的四個角都是90度。(2分)

10.長方形有兩雙平行的邊。(2分)

11.梯形沒有等長的邊。(0分)

12.長方形有四個垂直的角。(2分)

13.一個垂直的角要有兩邊組成。(1分)

如前述，該生所修改及增列之敘述合計得到18分。

學生2-1評量表現

該生作品對於既有之7個敘述做直接修改的有3條，但未增列關係敘述，依據第二階段評分規準，3個敘述分別給分如下：

5.平行四邊形由二組互相平行的邊組成的。(1分)

6.互相平行有二條邊組成的。(1分)

7.兩條垂直的和兩條平行的線就能形成兩個直角。(1分)

如前述，該生所修改之敘述合計得到3分。

學生2-2評量表現

該生作品對於既有之7個敘述做直接修改的有1條，增列1條關係敘述，依據第二階段評分規準，2個敘述分別給分如下：

7.兩條垂直的線就能形成兩個直角。(1分)

8.角和兩條邊合成一個正方形。(0分)

如前述，該生所修改之敘述合計得到1分。

三、整體評量表現之討論

(一)第一階段評量表現結果討論

就第一階段的表現結果而論，「表現最豐富組」大約在20分鐘就可以完成概念圖，且能列出之10條有意義的關係連結。「最具發展潛力組」花費30分鐘才完成構圖，且只能寫出6條關係敘述，其中不乏敘述不完整或不正確者。就此階段的評量表現來看，各組之間有若干差異存在。

(二)第二階段評量表現結果討論

平均而言，第二階段學生個別修改老師所提供的概念圖所花費的時間大約是20分鐘左右。就本示例所挑選的四位學生樣本的表現而論，對於七個概念擁有良好連結的學生除了可以修改原有的敘述外，也能夠增列關係並做適當說明。對於概念間連結較弱的學生，只能做極少部分的修改或增列。

從所獲得分數來看，四位學生的得分分別如下表：

由上表可以得知，概念連結良好的學生和連結較差的學生之間的差距達到26分。由此也可窺知學生之間能力落差的情形。

(三)各組表現與參照敘述之比較

茲將筆者所擬參照敘述與各組所述部分做對照如下表：

註：◎表示完全符合參照敘述。

○表示部分符合參照敘述。

▲表示與參照敘述不同之迷思概念。

上表參照關係敘述除左列之外，第1及第2組也同時寫到「平行四邊形的兩雙對角相等。」此敘述可以做為修改「3」之參考。又筆者將3組以上均答對者稱為「顯著概念」(explicit concept)，不足3組答對者稱為「隱晦概念」(implicit concept)，各組均未列出者稱為「未連結概念」(unconnected concept)，則從上表可以發現顯著概念有三個，即「梯形只有一雙對邊平行」、「長方形有兩雙對邊平行」、「平行四邊形有兩雙對邊平行」等；隱晦概念有11個；未連結概念則有5個。就教學的立場而言，除了3個顯著概念普遍獲得學習之外，另外的16個敘述值得教學者進一步引導。其中，對於「梯形沒有等長的對邊」屬於迷思概念的部分應該進一步澄清，讓學生察覺「等腰梯形」的存在。

此外，從表中也可以看出，雖然大部分的教科書都是以兩個梯形拚湊成平行四邊形，然後再引出計算梯形面積公式，但顯然學生在進行概念構圖時普遍忽略這兩種圖形的關係。

捌、建議

本評量示例經事前規畫及實作之後，有以下幾點建議提供未來有興趣利用概念構圖實施評量的教育伙伴參考。

一、執行方面

在學生從未有概念構圖經驗的情況下，教師可以多準備幾個概念構圖的例子提供其練習，而所提供的例子不必侷限於數學。透過討論和學生溝通如何將較核心概念找出及敘寫具精確的關係。而不管是例子或是正式的評量，所提供的概念數不宜太多，可以依年級視情況增加，但不宜超過10個。

剛開始啟用概念構圖評量時，宜以小組的方式透過討論為之，俟學生熟稔後再考慮以個別的方式繪製概念構圖。

在繪製「參照概念圖」及其關係敘述時，可以採用合作的方式，尋求同校同年級老師們的協助，以確認所寫的敘述無誤，且適合受測對象。然而，參照概念圖的製作旨在更具體指出適合學生目前階段所能持有的概念連結情形，以做為和學生作品比較的依據，不宜當作標準答案逕行教學。概念與概念之間關係的建立仍須建立在操弄、觀察、比較、歸類及抽象化，不宜直接以命題方式教導學生。

二、計分方面

利用概念構圖評量學生的概念比起其他方式的評量較具優勢，但是在評分方面則較為繁瑣。依據Novak 與 Gowin(1984)及余民寧(1997)的計分結構成份分為：關係、階層、交叉連結及舉例。筆者以為在國小階段在考量學生的表達能力及老師的教學負擔，可以只採局部的方式計分，從學生比較容易進行的部分著手，例如「關係」(如同本評量示例)及「舉例」，待學生比較成熟或經驗較豐富之後可以再加入其他的評分標準。此外，為了區別學生對概念理解程度之差別，可以有不同水準的計分規準，但站在鼓勵學生積極學習的立場，甚至學生做錯連結或敘述錯誤也不予扣分。而不扣分的部分，在未來補救教學仍有其意義。

三、對教學與評量結合方面

評量的根本意義在檢核教學目標達成與否，概念構圖評量強調學習者要有統整的學習和充分的理解。胡適之先生謂：「要怎麼收獲，先那麼栽。」教學者在平常的教學中就要重視學生概念統整的能力，如此實施概念構圖才有意義。

玖、參考書目

余民寧(1997)。教育測驗與評量：成就測驗與教學評量。台北：心理出版社。

Novak, J. D., & Gowin, D. B.(1984). Learning How to Learn. NY: Cambridge University Press.