認識柱體與錐體：從實物到空間概念的探索

認識柱體和錐體

方文彬、李應葦、

柯志忠、黃新民

6

平行四邊形面積

陳俋秀﹑楊秋香﹑

潘婷莉﹑張鈺梅

5

活動名稱

認識柱體和錐體

實施年級

六年級

教學時間

約2節

設計者

基隆市武崙國民小學方文彬 雲林縣久安國民小學李應葦

南投縣新街國民小學柯志忠 宜蘭縣成功國民小學黃新民

設計構想

一、柱體和錐體的本質概念

柱體 由空間中兩個全等且平行的封閉平面區域及在全等對應關係下,連接這兩個區域的對應點之所有直線段所成的集合稱之。

錐體 給定空間中的一個封閉的平面區域及不在此平面區域上的一點,則連接此給定點與平面區域上的任意點的所有線段的聯集稱之。

底側面可展曲面

1.其中的兩全等且平行的封閉平面區域,稱為柱體的底。底以外的其餘表面稱為柱體的側面。

2.決定此錐體的平面區域稱為錐體的底。不在底上而決定此錐體的給定點,一般稱為錐體的頂點,底以外的錐體表面稱為側面。

3.若一曲面在不改變曲面上的區域面積及曲面上撕裂的條件下，可以變形為平面區域，則稱此曲面為可展曲面。柱面及錐面均為可展曲面。

二、概念的發展

1. 在課程標準的教材綱要中，屬於高年級立體圖形的教材只有兩項(原文照抄如下：

五年級：觀察長方體、正方體中，邊與面的平等與垂直關係。

六年級：透過實物與圖片，辨認柱體與錐體。

2.依Piaget之認知發展論而言,此時期的學童大多在具體運思期階段過渡到形式運思期階段,故仍需以實物輔助教學。

3.依Ausubel之意義學習的概念,前導組體的目的在於指出新教材與舊經驗之間的關連性,故在教學以前應先複習之前平行與垂直的概念。並從生活之經驗導入。

4.依Vygotsky之鷹架理論,教師應提供足夠的線索,及在小組討論時能提供適時的協助,幫助學生建構並澄清概念。

5.依Bloom之認知情境：知識、理解、分析、綜合、評鑑之階層而言,學生對角柱及角錐之組成要素概念要能遷移至辨別角柱及角錐的展開圖。

6.要能培養Flavell所提之後設認知的能力,形成對知識及經驗的自我覺察及監控以達成自動化。

三、兒童的可能迷思:

兒童所經驗到的世界，充滿邊與面的平行垂直的例子。如何脫離平面鉛直線的刻板印象，以直線、平面的抽象語言，描述直線與平面間的垂直、平行關係，並且反過來，以此種認識來製作必須有垂直或平行關係的實體，同時也把此類觀念提升到長方體之外，是課程設計者面對的問題。

1.表徵平面的實物不是只有長方形的紙面、桌面、地面，也可以有其他形狀的平面區域，例如橢圓形的鏡面、呈圓形的柱面的底。

2.應建立平面區域可以向四面八方延伸的概念。

3.平面區域可以做怎樣的空間運動，怎麼樣可以使它固定下來。

4.垂直必有不垂直，平行必有不平行，應提供充分的反例。

5.對角柱及角錐較不具立體感。

6.雖了解平面上的平行和垂直的概念但難遷移至空間上的平行和垂直。

7.展開圖中對底面及側面容易混淆。

能力指標

具體目標

S-2-1透過由一堆立體中找出像柱子的立體的活動,認識柱體。

S-2-2透過由一堆立體中找出像尖頂的立體的活動,認識錐體。

透過觀察實物與圖片,辨認柱體與錐體。

S-2-3 透過觀察角柱的立體模型,知道角柱頂點、邊和面的個數、底面全等、側面為長方形、側邊一樣長且垂直於底面、底面互相平行、側邊互相平行和柱體的高。

S-2-4 透過觀察角錐的立體模型,知道角錐頂點、邊和面的個數、側面的形狀為三角形和側面共同的頂點為尖頂的性質。

認識柱體與錐體的構成要素,及要素間的關係。

S-2-5 認識柱體和錐體的透視圖。

S-2-6 認識柱體和錐體的展開圖

認識柱體和錐體的透視圖和展開圖。

教學活動流程

具體目標

主要活動與問話

說明

評量重點

教學資源

能力指標

透過觀察實物與圖片,辨認柱體與錐體。

活動1-1

1.柱體都一樣嗎？

(教師請學生討論如何將一堆的柱體做分類)

2.請學生討論角柱和角錐最大的不同處。

3.各組發表

藉由圖形的分類，察覺角柱和角錐的異同。

藉由分類活動讓學生產生認知失衡。並發現兩者相異處。

如以下附之形成性評量

黏合成之角柱及角錐之立體模型。

S-2-2透過由一堆立體中找出像尖頂的立體的活動,認識錐體。

S-2-1透過由一堆立體中找出像柱子的立體的活動,認識柱體。

及要素間的關係。

認識柱體與錐體的構成要素,

活動1-2

小組利用各組之柱體討論及歸納出角柱及角錐之組成要素,並小組發表。

最後老師加以總結

小組討論及歸納,以透過溝通而達成共識,最後並能修正。

學習單(整理表格的形式)

S-2-3

S-2-4

認識柱體和錐體的透視圖和展開圖。

活動1-3

利用放大之展開圖讓學生分辨其為柱體或錐體之展開圖

將思考精緻化。

黏合之柱體和錐體的展開圖。

S-2-3

S-2-4

活動名稱

角柱與角錐

適用年級

六年級

活動主題及進行方式

主要活動與問話

小小建築師—建立空間感

個 人思考

小組合作

建構立體概念

能分辨柱體及錐體

各組發有竹籤、黏土、色紙、圓形色紙,並利用這材料做出像金字塔、奶粉罐、五角柱的積木、四角錐的積木、、、等柱體及錐體的骨架模型。

 操作及發表



乙

甲

丁

戊

※甲為四角錐,因為它只有一個底面

□正確 □不正確,

因為

※乙和戊都是四角柱,因為它們底面都是四邊形

□正確 □不正確,

因為

※甲戊為柱體,乙丙丁為錐體

□正確 □不正確,

因為

平行和垂直

認識柱體和錐體的展開圖



將上面之四角柱與組上之四角柱積木做一對照

1.平面ABCD「只」和平面ABEF垂直而已

□正確 □不正確,

因為

2.和線段CG平行的線段為線段DH

□正確 □不正確,

因為

3.平面ABCD「只」和平面ABEF垂直而已

□正確 □不正確,

因為

4 .在下列的展開圖上,『底面』的地方塗上顏色

平面區域的空間運動：

展開圖與立體圖的空間

概念轉換

上圖黏合後會是下列那一個圖﹖(甲)圖(乙)圖

(甲)圖

(乙)圖

 (甲)圖(乙)圖

因為：

評量

名稱活動

瞎子摸象

年級

高年級

活動目標

1.訓練憑空架構的能力

2.能獲得測驗各種基本立體形體概念

3.能瞭解各種基本立體形體構成要素及相關

4. 建立體積概念

活動方式

個人或（分組）遊戲

配合教具

黑布袋一只﹑家用小器具﹑

基本立體教具模型等

活動說明

活動評量（注意事項）

一﹑摸一摸

1.將各類基本立體教具模型（選一種）放入黑布袋內，令學生伸手至袋內觸摸，感受；並完成下列探討

二﹑動動腦動動口

1.想一想；說一說，摸到什麼？

2.幾個角？幾個邊？幾個面？面是什麼形狀？

3.猜一猜？是什麼形體？

三﹑畫一畫

1.將觸摸的立體形體畫出來

2.將立體形體展開圖畫出

四﹑算一算

1.以手指為個別單位進行估測（算）體積

2.轉換測量單位（個別單位→刻度單位），估算體積

五﹑說一說

1.什麼是體積？

2.體積是如何而來？

備註：家用小立體器具可置袋內，依本法測驗學生

※切勿讓學生看到袋內物品，只可用手感覺。

※本項評量可用口述及填評量表（評量表另設計）行之。

※先行指導學生立體圖形之繪製技巧。

※本項評量可用繪圖行之。

※本項評量可用口述行之。

※本項評量可用口述行之。

※資優生可運用此法評量。

活動名稱

平行四邊形面積

適用

年級

五年級

教學

節數

約二節

設計者

新竹市民富國小 陳俋秀 中壢市林森國小 潘婷莉

南投縣虎山國小 楊秋香 中壢市林森國小 張鈺梅

設計構想

一、面積的本質概念

1.面積是指某一封閉二維區域的大小，也可以表示對此一特定區域被數個單位量所覆蓋的程度。

(1) 面積代表二維空間的量：代表平面上封閉區域的大小。

(2) 面積是覆蓋活動的抽象：是透過覆蓋活動以描述被覆蓋面的大小。

2.但描述區域仍屬於圖形的範疇，故一般人常將重點放在圖形的辨認或分解、合成形狀確認後，即選用最抽象的形式-面積公式以求解，忽略測量教材的本質是「量感的培養」與「測量概念」的建立。

3.面積概念的發展，應從「保留概念的形成」到「測量概念的建立」逐步發展，而「估測概念」更是不可或缺的。

二、兒童可能的錯誤直覺：

1.易認為「1平方公分」即是每邊長1公分的「正方形」。

2.對於「面積」的定義易與「周長」相混淆。

3

C

A

當＝ ， ＝ 時，誤以為兩個圖形的面積並不相同。

4 .誤以為和底邊垂直就是「高」。例：

5 .不同組的底和高所算出的面積並不相等。

三、兒童的舊經驗：

1.間接比較面積的大小。

2.透過個別單位的覆蓋，描述面積。

3.以個別單位描述面積的大小。

4.以乘法求算矩陣的個數。

5.透過覆蓋點數方格，求長方形與正方形的面積。

6.透過長方形面積公式求算長方形面積。

四﹑處理的特色

教師發問以啟發學童思考為主，經由兒童實際操作建構數學概念的形成，並透過兒童發表評估教學目標的達成度。

具 體 目 標

能 力 指 標

1-1會依平行四邊形指定的邊畫高。

1-2會畫出各種平行四邊形的高

1-3能量出高的長度。

2-1能利用高將平行四邊形切成兩部份，拼成長方形。

2-2能利用平行四邊形與長方形的圖形轉換瞭解平行四邊形的面積算法。

3 透過求算平行四邊形的面積認識面積公式。

N-2-9 能在保留概念形成後，進行兩個同類量的間接比較（利用完整複製）及個別單位的比較（利用等量合成的複製）（量：長度、容量、重量、角度、面積、體積。）

N-2-10能認識各種量的普遍單位，應用在生活中的實測、估測活動，並培養出量感。（普通單位：千米、毫米、公升、毫公升、時、分、秒）

N-3-11能以切割後，重新拼湊組合的方式（幾何部分要配合）將平行四邊形、三角形和梯形，變成長方形而計算其面積，形成面積之計算公式。

N-3-19能察覺梯形、三角形、長方形、平行四邊形等面積公式之間的關係。

１－１

１－２

１－３

活動一

我會畫高

教師發給每組各式各樣的平行四邊形圖卡，請小朋友摺摺看，找出高。

小朋友能依教師指定的邊畫高。

小朋友能依教師給予的各種平行四邊形畫出高。

請問你們的高是怎麼找出來的？

請各組發表

你贊成他們的做法嗎？還有沒有其他的方式呢？

想一想，他們的方法是不是都相同呢？

學生分組討論

（教師對於學生合理的想法皆予以肯定）

像這樣在邊上選一點，畫出其平行邊的垂直線段到對邊的線段叫「高」。

量一量

請你量一量剛剛所找出的高的長度。

＊學習單１

~第一節結束~

‘40

教師藉由「圖卡摺摺看」的活動牽引舊經驗，引起動機。

操作時請小朋友注意底邊和高的垂直關係。

請小朋友共同討論，並依各組的作法找出共通性。

教師引導學生作出結論，知道高的定義和長度。

學生能說出自己的想法摺出高

學生能依教師指定的邊畫高

小朋友能依教師給予的各種平行四邊形畫出高

學生參與小組討論，並發表看法

學生能推論出高的定義

學生能量出高的長度

各式平行四邊形的圖卡

筆、尺

學習單1

學習單1

N-2-9

N-2-10

N-2-10

N-2-10

2-1

活動二

剪剪看，拼拼看

請小朋友利用教師發給的2份平行四邊形圖卡，將其中一份剪開拼湊成長方形？

請小朋友上台發表做法。

還有沒有其他的方法？

你知道長方形和平形四邊形的關係是什麼嗎？請說說看。為什麼呢？

（教師對於學生合理的想法皆予以肯定，不合理者請小朋友共同討論）

引出結論：

能發現平形四邊形的底和長方形的長，長度等長；平形四邊形的高和長方形的寬，長度等長。

請小朋友說出平形四邊形的面積求法。

學習單２

~本活動結束~

‘40

等積異形概念的建立。

拼成長方形後

寬＝高

長＝底

長方形面積＝平行四邊形面積

平行四邊形底×高＝長方形長×寬

能正確剪出和拼出長方形並說明理由

能說出自己的做法

能說出長方形和平行四邊形面積相等關係

能說出

寬＝高

長＝底

能推論出底×高＝長×寬

平行四邊形圖卡２份

學習單2

N-3-11

N-2-9

N-3-19

N-2-13

N-2-15

平行四邊形1

平行四邊形2(請剪貼拼成長方形)