數學科教材教法TKU 92B 蔡易儒設計
[因數與倍數]形成性評量教學活動設計
單元名稱 | 因數與倍數 | 適用年級 | 五年級 | 教學節數 | 約 3 節 | |||||||
設計者 | 蔡易儒 | 指導老師 | 林宜臻老師 | |||||||||
教學節次 | 教學重點 | 教學準備 | ||||||||||
第一節 | 認識因數，能找出某一整數的所有因數，認識質數與合數。 | 學生座號與名字表 籤桶、座號卡、膠帶 | ||||||||||
第二節 | 利用列表的方式，找出兩整數的公因數與最大公因數。 能正確應用因數和最大公因數解決問題 | 學生座號與名字表 籤桶、座號卡、膠帶 | ||||||||||
第三節 | 認識倍數，利用幾個一數的方式找出一整數的倍數。 可以從限定的範圍中找出兩整數的公倍數，且找出最小公倍數以及應用倍數和最小公倍數解決問題 | 小白板、白板筆、數字轉盤 | ||||||||||
能力指標 | 具體目標 | |||||||||||
N-2-04 能理解因數、倍數、公因數與公倍數 N-3-20能察覺整數的最大公因數、最小公倍數、質數和合數，並能將一個數做質因數分解。 |
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設計構想 | ||||||||||||
壹、 數學的本質概念： 一、因數與倍數的概念 在數學上，整數範圍以外的因數或倍數討論，是高等數論內探討的問題，在國小數學中，因數與倍數的討論，以正整數為範圍。因數與倍數及其關係，在數學結構上，是由「除法原理」去判斷兩整數相除，其餘數是否為零而定。而所謂的歐幾里得的除法原理是指：若有a、b兩個正整數，則必可找到q、r兩個非負整數，滿足a＝b×q＋r的關係，且b＞r≧0，此時，a為被除數、b為除數、q為商數，而r稱為餘數；並且可記為：a÷b=q…r當r＝0，我們可以說「b整除a」或「a被b整除」；由此定義「b是a的因數」，或稱「a是b的倍數」。 因此，相對而言，因數問題是向內探討組成一個正整數的單位量；而倍數問題是向外探討以一個正整數為單位量，可以生成哪些正整數，這是兩個相反方向的問題探討。換句話說，即是在給定總數並尋找可能的單位量數值問題中，討論因數的意義；在乘數未知算式填充題情境下，討論積數是否為被乘數的倍數，介紹倍數的意義。 二、質數與合數的概念 一個正整數如果只有1和自己兩個因數，我們叫它「質數」，一個正整數如果除了1 和自己兩個因數以外，還有其它的因數，我們叫它「合數」。在數學上，定義1 不是質數，因為如果 1 是質數，則違反算術基本定理：每一個正整數，都可以表示為質數的連乘積，且若不計質因數的次序，其表示法為唯一。 三、公因數與最大公因數以探討一個指定正整數有哪些因數為基礎，可以探討兩個正整數有哪些共同因數的問題，這些共同的因數稱為公因數。在列出所有的公因數情況下，討論何者為最大公因數；並且討論：當兩個正整數，除了1以外，沒有其他的公因數時，稱這兩個數「互質」。 四、公倍數與最小公倍數以探討一個指定正整數有哪些倍數為基礎，可以探討兩個正整數有哪些共同的倍數的問題，這些共同的倍數稱為公倍數。在列出某個範圍內所有的公倍數的情境下，討論何者為最小公倍數；並且討論下列兩個現象：1.一個正整數是其所有因數的公倍數；2.兩個正整數相乘的積數為這兩個正整數的公倍數。 | ||||||||||||
貳、數學概念的發展：
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二、學生的迷思： （一）因數 直接由數的情境進入討論因數的意義，對學生而言，可能並不恰當，因為數本身相當抽象，當學生測量運思尚未發展完全，無法將等分除與包含除視為相同的問題時（無法彈性地互換單位量與單位數的角色），可能混淆除數的雙重意義，不易掌握由單位量（因數）組成總數的意義。 （二）公因數 學童面對「兩數有哪些公因數？」問題時，大多會採用下列兩種解題方式：1.先分別求出兩數的所有因數，再由其中找出共同的因數；2.先找出某一數的所有因數，再判斷這些因數是否為另一數的因數。若部份學童先將兩數記成質因數連乘積後，再找出公因數，建議教師請學童說明為什麼使用這種方式可以解題成功的理由，並淡化處理。 （三）倍數 數本身相當抽象，由於學生測量運思尚未發展完全，對於因、倍數間的相對關係常無法掌握且不能理解。尤其是做應用題時，學生容易誤解題意而將因數和倍數混淆。再者，最大公因數與最小公倍數也常搞混。因為在日常生活中學生很少會去運用到公因數、公倍數。 （四）公倍數 學童在遇到公倍數的問題時，會有以下2種迷思出現： 1.學童面對「兩數在某一數量範圍內有哪些公倍數？」問題時，大多會採用下列兩種解題方式：（1）先分別求出兩數在某一數量範圍內所有的倍數，再由其中找出共同的倍數；（2）先找出某一數在某一數量範圍內所有的倍數，再判斷這些倍數是否為另一數的倍數。若部份學童先將兩數記成質因數連乘積後，再找出公倍數，可以請學童說明為什麼使用這種方式可以解題成功的理由，並淡化處理。 2.利用找出兩正整數的公倍數（最小公倍數）的方法，解決如韓信點兵的問題時，例如：「甲班的學生不超過40人，平分成3組可以剛好分完，沒有剩下；平分成4組也可以剛好分完，沒有剩下。甲班可能有多少學生？」。由於學童在本冊第六單元的活動中，已有尋找兩整數的公倍數（最小公倍數）的經驗，雖然上述問題中的組數是單位數的概念，測量運思的學童可以掌握乘法交換律，彈性地互換單位量與單位數的角 | ||||||||||||
色，而直接尋找3與4的公倍數來解決問題，即使尚未發展測量運思的學童，亦可在理解題意後，用嘗試錯誤的方式進行解題，例如：一組有1個人，3組有3個人；一組有2個人，3組有6個人；…；一組有1個人，4組有4個人；一組有2個人，4組有8個人；…。 | ||||||||||||
參、 處理的特色： 運用形成性評量題目和遊戲的方式，讓學生透過關係洞察及親身體驗，了解抽象的因數倍數、質數合數與公因數公倍數的概念。其中以利用尋找自己因數座號夥伴的遊戲，讓學生練習找因數與，學生除了自己練習之外，再由全班一起檢討站在台上的人正確與否，學生的觀念可以再一次獲得釐清。並且也從兩兩同學座號的因倍數夥伴中，引導出公因數的概念，並可找到最大公因數的座號夥伴。另外也藉此活動，讓只有找到1號是自己的因數座號夥伴中，帶入質數於合數的概念，將抽象的質數概念具體化！在倍數問題中，先以幾個一數的方式，複習之前舊經驗，進而帶入倍數概念，並藉由小組遊戲的方式，讓學生可以練習找出兩整數的最小公倍數，並嘗試運用於解決問題上。 | ||||||||||||
教學活動流程 | ||||||||||||
具體目標 | 活動主題及進行方式 | 主要活動與問話 | 教學資源 | 評量 | ||||||||
第一節 | ||||||||||||
應用除法原理，藉由兩數相除是否能整除，判別一整數(除數)是否為另一整數(被除數)的因數 | 一、關係洞察 情境問題設計 ↓ 個人思考 ↓ 全班分享 ↓ 小組討論 ↓ 全班分享 | U快樂國小5年ㄅ班的人數有32人。 「本週末我們班要去班遊，準備到阿里山去看日出，因為要過一夜，所以必須訂房間，我們班學生共32人，每間房間都必須住一樣多的人，而且每個人都要有房間住，老師讓你們6人一間，可以嗎？ 」 □可以 □不可以 理由是：_______________________ 學生思考後回答並說出理由。 | 黑板、粉筆 | 學生能覺察一整數的因數。 2.學生能正確表達 | ||||||||
「既然不能6人一間房，請大家幫老師想想，老師可以讓大家幾個人一個房間，而且是大家都有房間住，每間房間都必須住一樣多的人？老師有哪些選擇呢！」 學生分組討論可能的方案 學生分組上台發表該組所想到的方式有哪些。 老師把小組的答案統整在黑板上，假如學生們有遺漏的話，老師再次提問學生可不可行。 老師歸納出32的因數。 | ||||||||||||
能找出某一整數的所有因數 | 二、正誤區辯 情境問題 ↓ 個人思考 ↓ 全班分享 | U快樂國小5年ㄅ班報名參加班遊的人數有30人。 「我們班報名參加班遊的人數只有30人，一樣也是要大家都有房間住，每間房間都必須住一樣多的人。當老師打電話去旅社時，3位服務人員告訴老師可以訂房的種類，請問哪一位服務員說的才對？」 陳小姐：您總共可以選擇2、3、5、10人一間房的方式。 林先生說：您總共可以選擇1、2、3、5、10人、12、15、30人一間的方式。 吳小姐說：您總共可以選擇1、2、3、5、6、10、15、30人一間的方式。 誰說的對：□陳小姐 □林先生 □吳小姐 理由是：________________________ 讓學生思考後回答並說出理由。 歸納出30的因數。 | .學生能覺察一整數的因數。 2.學生能正確表達 | |||||||||
能找出某一整數的所有因數 | 三、概念確認 活動進行 ↓ 個人思考 ↓ 全班分享 | U參加班遊的學生中，有6位學生早餐吃素自行準備外，其餘24位同學訂肉包當早餐。 肉包店老闆要將24個肉包分別放到袋子裡送到旅社給快樂國小五ㄅ班參加班遊的學生，每一袋的包子數要一樣多。請問老闆可以有幾種裝袋的方式？ 5種 □6種 □7種 理由是：_________________________ 讓學生思考後回答並說出理由。 | 學生能覺察一整數的因數。 2.學生能正確表達 | |||||||||
能找出某一整數的所有因數 | 四、概念應用 活動進行 ↓ 個人思考 ↓ 全班分享 | U老師發給每位學生一份全班學生座號與名字表以及一張自己的座號卡，將座號卡貼在胸前。 「現在我們要進行一個小遊戲，遊戲名稱是『尋找自己的因數座號夥伴』，每個人都有自己的座號，所以老師給大家一張全班學生座號與名字表，請每個人找出自己的因數座號夥伴，等一下老師用抽籤的方式，抽到的同學要到前面邀請自己的因數座號夥伴上台，全班幫他看看是否正確，有沒有他漏掉的夥伴喔！」 學生依據自己的座號，找出自己的因數座號夥伴 老師抽籤，請抽到的同學到前面邀請自己的因數座號夥伴上台，全班一起幫他檢視看看是否正確。 為避免只有部分學生上台分享，請小組內相互撿視看是否每個人都能正確找出自己的因數座號夥伴。 | 學生座號與名字表 座號卡 雙面膠 籤桶 | 能找到因數座號夥伴 | ||||||||
能找出某一整數的所有因數，進而瞭解質數與合數的概念。 | 五、概念延伸 活動進行 ↓ 個人思考 ↓ 全班分享 | U延續『尋找因數座號夥伴』遊戲，老師分別請5號、19號、23號、31號同學上台在黑板右側分別寫出自己的因數座號夥伴是哪幾號。另外黑板左側請8號、12號、21號、30號同學上來寫出自己的因數座號夥伴是哪幾號。 老師請學生在組內討論，黑板上右側同學的因數夥伴有什麼特色，請學生發表。 老師說明何謂質數與合數。 讓學生找出本班座號是質數的同學有哪些？以及座號是合數的同學有哪些？ 學生思考 老師分別請座號是質數和座號是合數的同學起立，全班一起來撿視是否正確還有沒有漏掉的。
-----------第一節課結束--------------- | 黑板、粉筆 學生座號與名字表 座號卡 雙面膠 |
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第二節 | ||||||||||||
利用利表的方式，找出兩整數的公因數，並找到最大公因數。 | 一、關係洞察 情境問題設計 ↓ 個人思考 ↓ 全班分享 | U延續『尋找因數座號夥伴』遊戲，老師請24號和30號的同學分別說出自己的因數座號夥伴並把它紀錄在黑板上。 讓學生比較，這兩位同學的因數座號夥伴有什麼共同的地方由學生發表 老師說明公因數與最大公因數。 | 黑板、粉筆 學生座號與名字表 座號卡 雙面膠 | 找出兩數的公因數與最大公因數 | ||||||||
利用利表的方式，找出兩整數的公因數，並找到最大公因數。 | 二、正誤區辯 情境問題 ↓ 小組討論 ↓ 全班分享 | U老師抽籤讓學生兩兩一組。 學生兩兩一組，先找出自己的因數座號夥伴後，從中找出兩人共同的因數座號夥伴。 學生上台分享，全班一檢視 | 黑板、粉筆 學生座號與名字表 座號卡 雙面膠 | 找出兩數的公因數與最大公因數 | ||||||||
能正確應用最大公因數解決問題 | 三、概念確認 活動進行 ↓ 個人思考 ↓ 全班分享 | U快樂國小5年ㄅ班報名參加班遊的人數有30人，男同學18名、女同學12名，因為訂不到旅館，所以改成露營的方式，需要租帳棚。 男生和女生跟開來住，每個帳棚睡同樣多的人，請問以最省班費的方式下，應該幾人住一個帳棚？ □3人 □6人 □10人 理由是：___________________________ ____________________________________ 學生思考和發表 | 能求出最大公因數解決問題 | |||||||||
能正確應用最大公因數解決問題 | 四、概念應用 活動進行 ↓ 個人思考 ↓ 全班分享 | 老師現在有28支鉛筆和42支原子筆，打算分別平分給班上表現優良的小朋友，請問，老師最多可分給幾人？ 寶寶說：最多只能分給7個人 貝貝說：最多只能分給14個人 誰說的對：□寶寶 □貝貝 理由是：______________________ _____________________________________ 學生思考和發表 -----------第-二節課結束--------------- | 能求出最大公因數解決問題 | |||||||||
第三節 | ||||||||||||
利用幾個一數的方式找出一整數的倍數 | 一、複習舊經驗 活動進行 ↓ 個人思考 ↓ 全班分享 | U老師讓學生以「2個2個一數」的方式，從頭數起，數到30。並且把數過的數字紀錄下來。 全班一起數。 老師說明利用幾個一數的方式可以得知某一整數的倍數 | 1.學生能覺察一整數的倍數。 2.學生能正確表達 | |||||||||
可以從限定的範圍中找出兩整數的公倍數 | 二、關係洞察 活動進行 ↓ 個人思考 ↓ 全班分享 | U老師讓學生分組討論還能幾個一數「幾個一數」，也可以數到30呢？ 學生學生分組討論和發表，老師紀錄在黑板上。 這些可以數到30的數，除了30是它們的倍數外，還有什麼關係？ 學生學生分組討論發表 老師協助學生歸納出，如果甲數是乙數的倍數時，乙數會是甲數的因數。 |
3.學生能正確表達 | |||||||||
利用幾個一數的方式找出一整數的倍數 可以從限定的範圍中找出兩整數的公倍數 | 三、正誤區辯 情境問題 ↓ 個人思考 ↓ 全班分享 | 小丸子、丸尾、花輪、美環在討論功課， 小丸子說：「我知道3個一數可以數到27，所以27是3的倍數」 丸尾說：「我更厲害，我知道21可以被3整除，所以21是3的倍數」 花輪說：「3是18的因數，所以18是3的倍數」 美環說：「33是3和11的公倍數」 誰說的對：□小丸子 □丸尾 □花輪 □美環 理由是：____________________________ 學生思考和發表 | ||||||||||
可以從限定的範圍中找出兩整數的公倍數，且找出最小公倍數。 | 四、概念確認 活動進行 ↓ 小組競賽 ↓ 全班分享 | U全班分成6組，，各組有一個小白板可以寫答案。老師準備一個數字轉盤，進行活動。各組在小白板寫下該2數的最小公倍數，寫好後出示答案，最快且正確組得一分。 小組進行競賽 | 數字轉盤 小白板 白板筆 | 小組競賽 | ||||||||
應用倍數和最小公倍數解決問題 | 五、概念應用 情境問題 ↓ 個人思考 ↓ 全班分享 | 小丸子和姊姊想在數數看撲滿到底存了多少錢了，於是把撲滿倒出來，有一堆10元硬幣，姊姊12個一數剛好數完，小丸子8個一數也剛好數完，請問撲滿最少有多少錢呢？ 小玉說：應該有120元喔！ 姊姊說：應該是80元啦！ 小丸子說：好像是240元耶！ 誰說的對：□小玉 □姊姊 □小丸子 理由是：_______________________ _________________________________ 學生思考和發表 | ||||||||||
本單元結束 | ||||||||||||
因數與倍數
育英國小四年忠班_____號姓名：_____________________
小丸子的爸爸買了一張彩券，號碼分別是7、9、13、17、21、23，小丸子說：「爸爸選的號碼都是質數喔！」你認為對嗎? (請勾選)
對不對
理由是：
快樂國小五年ㄆ班共有28位學生，老師要排升旗隊伍，每一排人數一樣多，請問有幾種排列方式,可以剛好把人排的整齊一致?
大勇說:「5種」
仲平說:「6種」
小忠說:「7種」
請問誰說的對？
大勇仲平小忠
理由是：
小丸子生日想請好朋友吃點心，媽媽幫她準備了巧克力球36顆和乖乖軟糖24顆，每個好朋友分到的巧克力球和乖乖軟糖一樣多，小丸子最多可以分給幾位好朋友？
6位12位24位
理由是：
小丸子、小玉和花輪一同報名補習數學，但是媽媽們怕他們湊在一起不專心上課，特別安排小丸子每2天上一次課，小玉每3天一次，花輪則每4天去一次；他們每隔幾天會碰面一次？
小丸子說：「12天見一次面」
小玉說：「6天見一次面」
花輪說：「9天見一次面」
請問誰說的對：
小丸子小玉花輪
理由是：