活動名稱

因數和倍數

適用年級

五年級

教學節數

4節

設計者

13廖冠惠、25歐妍汝

教學學校

文化國小

教學班級

五年孝班

教學者

歐妍汝、廖冠惠

教學日期

教學節次

教學重點

2006. .

第一節

了解因數與倍數並且能夠找出某一整數的所有因數和倍數。

2006. .

第二節

認識質數及合數，並且能夠判定某數為質數或是合數。

2006. .

第三節

認識公因數、公倍數並且能夠利用最大公因數和最小公倍數進行生活情境上的解題。

2006. .

第四節

總複習。利用遊戲競賽的方式，將公因數及公倍數的所有概念之相關題目放置遊戲中，由遊戲競賽中複習並破除迷思概念。

教學準備

活動一：小白板、彩色筆、磁鐵、PPT、人偶、房屋、糖果、

因數號碼牌︰2.3.4.5.6.7.8.9.10.6.13.15.20.50.7.11.1.3

倍數號碼牌︰4.9.8.10.18.21.40.81.100.12.13.60.40.100.49.11.30.23

活動二：小白板、彩色筆

活動三：籤桶、班上號碼籤、小白板、彩色筆

活動四：16方陣海報、骰子、獎勵品、16題題目捲軸

教材地位

數學本質概念

因數：甲數能被乙數整除時，乙數就是甲數的因數。

　　　　若，則稱b、c為a的因數

倍數：甲數能被乙數整除時，甲數就是乙數的倍數。

若，則稱a為b、c的倍數

公因數：如果一個整數同時是某幾個整數的因數，則這個整數叫做這幾個整數的公因數。

公倍數：若一個整數同時為某幾個整數的倍數時，我們就稱這個整數是這幾個整數的公倍數。

數學概念發展

在數學上，常將整數分成正整數、零與負整數三個部分，在國小階段所討論的整數是正整數與零兩部分。

成人多已發展出測量運思，可以彈性地互換單位量與單位數的角色，「12÷3＝4，3是12的因數，4也會是12的因數」，也掌握了乘除法互為逆運算的關係，「12＝3×4也代表12÷3＝4」，所以3與4都是12的因數。但對學童而言，直接由數的情境進入討論因數的意義，可能並不恰當，因為數本身相當抽象，當學童測量運思尚未發展完全，無法將等分除與包含除視為相同的問題時，可能混淆除數的雙重意義，不易掌握由單位量（因數）組成總數的意義，故而本單元由情境問題進入，探討因數的意義。

倍數概念的發展是透過整除的方式引入因數的意義，因為因數與倍數間有相互的關係，在數學上都是直接透過因數引入倍數：若a是b的因數，就等同於b是a的倍數。

但本課程設計若採用此種方式引入倍數，對測量運思尚未發展完全的學童而言，不易掌握倍數的意義，因此，本單元活動布置乘數未知的乘法算式填充題例如：2×( )＝10，先要求學童解題，再引入倍數的意義：10是2的5倍，而且2、5、10都是整數，所以說10是2的倍數。

迷思概念

1.因數

直接由數的情境進入討論因數的意義，對學生而言，可能並不恰當，因為數本身相當抽象，當學生測量運思尚未發展完全，無法將等分除與包含除視為相同的問題時（無法彈性地互換單位量與單位數的角色），可能混淆除數的雙重意義，不易掌握由單位量（因數）組成總數的意義。

2.倍數

數本身相當抽象，由於學生測量運思尚未發展完全，對於因、倍數間的相對關係常無法掌握且不能理解。尤其是做應用題時，學生容易誤解題意而將因數和倍數混淆。再者，最大公因數與最小公倍數也常搞混。因為在日常生活中學生很少會去運用到公因數、公倍數。

3.因數、倍數、公因數與公倍數易混淆

這些名詞很容易混淆。所以，除了從理解著手，還得配合多練習及記憶。例如填充及選擇題中，會考到因數倍數相當於除式中的被除數或除數，可利用「同音」的方法，「倍」→「被」除數；相對的，因數→除數。在教學中要用「歸納」及「邏輯」的方式來幫助學生學習，而且，必須要有系統；其次，你應該常看到許多坊間幫助記憶的補習班，他們的策略是可行的。

4.對於應用題，題目所問與解題該使用方法不了解

公因數和公倍數的應用問題不曉得該用公因數或是公倍數來解題

處理特色

1. 運用學生已具備對於乘法及除法的的先備知識的基本概念，導入因數與倍數的觀念。

2. 教學活動中運用學生在學校中的的生活情境來引起學習動機，可增強學生學習印象。

能力指標

具體目標

N-2-04

能理解因數、倍數、公因數與公倍數。

1.以1-n-07（幾個一數），2-n-08（九九乘法），3-n-04(除法)為前置經驗，理解因數、倍數的概念。

2.用列表的方式，尋找兩數的公因數與公倍數。學童應知道兩整數的乘積一定是此兩數的公倍數。

教學活動流程

具體

目標

活動主題

及進行方式

主要活動與問話

教學資源

評量

應用除法原理，藉由兩數相除是否能整除，判別一整數(除數)是否為另一整數(被除數)的因數，並且藉由因數了解倍數的概念

一、關係洞察

個人思考

↓

小組分享

↓

全班分享

※待學生發表後，由老師利用紙的人偶及房屋在黑板上做示範講(將每個房子裡放6個人，則最後一個房子將只剩下5個人，如此無法達到每一個房子都一樣多人的前提)。

下學期就是大家最期待的畢業旅行了，老師必須要先把大家的住宿名單分配好，才能夠做後續的安排，老師希望每一組都有相同的人數，而且沒有剩餘，我們班共有35人，如果每一組6個人，這樣可以嗎？

可 以不可以

請 你說說看你的想法

學生思考後回答並說出理由。

PPT.人偶及房屋

能夠找出某數的因數

※老師與學生共同討論做法，並且帶出’因數及倍數’的概念。

聰明的小朋友，請你們幫老師想出一個好方法，使每一個房間的人數一樣多，又沒有剩餘的人，可以怎麼分呢？請你們將所有可能發生的情形都寫出來。

學生小組討論並且將答案寫在小白板上，各組將小白板放置於黑板，由全班同學觀察異同處。

小白板.

彩色筆

磁鐵

※總共的分法有4種：

1.每個房間1個人，分成35組

2.每個房間5個人，分成7組

3.每個房間7個人，分成5組

4.每個房間35個人，分成1組

則1.5.7.35因為都可以被35整除，所以為35的因數，凡是能夠被某數整除的數即為某數之因數，反之某數為其所有因數之倍數。

學生能夠知道某數的所有因數，並且知道多種組合方式。

二、正誤區辨

個人思考

↓

全班分享

 隔壁班的學生人數有32人，老師請聰明的小朋友幫隔壁班的老師一個忙，幫他想一想要怎麼分組才好呢？

曉華說：『可以2個人一組、6個人一組或者是8個人一組都可以剛好將學生分完』，

大砲說︰『4個人一組、8個人一組、還有16個人一組，都可以將學生分完』

兩個人爭論不休，都認為自己說對了，請問你曉華和大炮誰說對了呢？

□曉華□大砲

你 是怎麼知道的呢？

如果一組要分成4個人，可以分成幾組呢？

學生各自分享答案

※老師歸納出32的因數

PPT

學生能夠列出一數的所有因數

學生能夠理解因數及倍數的意義，並且應用於日常生活的情境中

三、概念再製

個人思考

↓

小組討論

↓

全班分享

今天老師準備了糖果要分給小明、小華和小花三個人，小明拿到了6顆糖果，小華拿到3顆糖果，而小花拿到的糖果是小明的3倍，請問：下列哪一項敘述是對的？

□小花拿到了3顆糖果

• 小花拿到了8顆糖果

• 小花拿到的糖果是小華的6倍

小花拿到了18顆糖果

老師若要將全部的糖果，平均分配給3個小朋友，每一個小朋友得到的糖果數目是一樣多的且沒有剩餘，則每一個小朋友可以得到幾顆好吃的糖果呢？

3顆

9顆

糖果

ppt

學生能夠知道因數及倍數的概念

用遊戲的方式檢測學生是否可以找出某數的因數及倍數。

四、概念應用

個人思考

↓

全班遊戲

↓

全班分享

<尋人啟示>

這裡有好多和小孩走失的媽媽還有和媽媽走失的小孩喔！請你發揮愛心幫他們找到自己的親人吧！遊戲方式如下︰

老師事先做好許多有意義的號碼牌，讓學生一人抽一張，並將號碼牌貼於胸前，號碼牌上會註明因數或是倍數，因數為小孩，倍數為媽媽

當老師喊活動開始時，學生離開座位找尋自己的小孩及媽媽

只要因數與倍數搭配成功，即代表小孩找到媽媽或是媽媽找到小孩了

請復符合的媽媽和小孩在原地蹲下來

全部的人都蹲下來後遊戲結束

分別請一組一組的學生到台前展示出他們的號碼牌，確定兩數互為因數和倍數無誤後，回到座位上坐好。

*第一節課結束*

因數號碼牌︰2.3.4.5.6.7.8.9.10.6.13.15.20.50.7.11.1.3

倍數號碼牌︰

4.9.8.10.18.21.40.81.100.12.13.60.40.100.49.11.30.23

學生能夠了解因數與倍數的關係

能夠知道質數和合數代表的意思

一、關係洞察

個人思考

↓

全班討論

將全班分成6組，發下小白板，並且請第一組的寫出1~3的因數，第二組寫出4~6的因數…第六組的寫出16~18的因數，寫畢之後按順序貼於黑板上。

請學生觀察只有一個因數的數是哪些數？只有二個因數的是哪些數？有三個因數以上的是哪些數？

全班討論：

一個數如果只有一個因數，其因數是什麼？

一個數如果有只有二個因數，其因數會是什麼？

一個數如果有三個以上的因數，其因數會是什麼？

由以上你發現了什麼？

※教師引入【質數】與【合數】的名詞，並且讓學生區分質數與合數的類別

小白板

彩色筆

學生能夠經由觀察說出某數的因數個數進而了解質數與合數的意義

學生能夠清楚知道1~20的數字中何者為質數何者為合數

二、正誤區辨

個人思考

↓

小組討論

↓

全班討論

有一位有名的預言家預言：這一次大樂透開出的號碼必定是質數和合數的結合，偶像團體5566依據預言家說的指示，一人買一張大樂透，他們的號碼如下，請問如果此位預言家預言成真，誰有可能將幸運獲得頭獎呢？

許孟哲：『1.2.5.7.17.20』

孫協志：『4.6.8.10.12.18』

王紹偉：『2.3.10.15.19.20』

王仁甫：『1.2.3.4.5.6』

小組討論答案，將答案寫在小白板上

各組將小白板舉起，貼在黑板上。

※比較各組答案的異同，進而釐清學童的迷思概念。

小白板

彩色筆

學生能夠分辨出1並非質數

三、概念再製

個人思考

↓

小組討論

↓

全班分享

想一想，合數都是偶數偶數都是合數都是偶數嗎？為什麼？2是不是合數？

想一想，質數都是奇數嗎？為什麼？9是不是質數？

預言家的預言並沒有成真，這一期

大樂透的開獎號碼前四個數是質數也

是奇數後兩個數既是偶數也是合數，

請問誰會是這個幸運兒呢？

維尼：17 3 19 29 36 49 2

跳跳虎：1 2 17 23 353846

小朱：3 13 17 23 26 44

學生思考後發表意見，再由全班一起討論

學生能夠主動思考並分享

透過遊戲方式使學生加深對質數的認識。

四、概念應用

個人思考

↓

全班遊戲

↓

全班分享

老師向全班說明規則，首先練習1~20的數字範圍，凡是遇到質數就拍手一下，若不是就將該號碼唸出來。例如：1 拍拍4 拍6 拍8 9 10…以此類推，待學生熟悉後，可以增加數字的範圍，由1~10增加到1~15~20。

各組派一名同學到台前比賽，增加大家對質數的判斷能力。

*第二節課結束*

學生能夠正確判斷1~20的數字中何為質數

1.能夠由列舉法及質因數分解法求出兩數的公因數

2.由公因數及公倍數的概念，了解最大公因數及最小公倍數

一、關係洞察

個人思考

↓

全班討論

教師由籤桶抽出2位同學，請他們上台將他們的號碼做質因數分解，台下的同學根據這兩組因數，觀察是否有共通處，引導出公因數’的概念。

請學生將2的倍數和5的倍數列出來，觀察兩數的倍數是否有相同的倍數，告訴學生相同的倍數稱為’公倍數’，並且讓學生練習列出其他任兩整數的公倍數，告訴學生公倍數中最小的稱為’最小公倍數’

籤桶及班上號碼籤

經由列舉了解公因數與公倍數

利用情境例題學會最大公因數及最小公倍數的應用

二、正誤區辨

個人思考

↓

小組討論

↓

全班討論

Pizza師父現在有25隻蝦子和40隻花枝，為了要讓大家吃每一塊Pizza時都可以吃到同樣多的料，他想了好久，不曉得要如果讓每一塊Pizza都有相同的蝦子和花枝，並且將所有的料都用完沒有剩餘，請問哪一家飯店主廚說的是正確的呢？為什麼？

圓山飯店：『一個pizza可以放5隻蝦子和8隻花枝，而且不會有剩餘』

凱悅飯店：『一個pizza可以放4隻蝦子和6隻花枝，而且不會有剩餘』

請學生將答案寫在白板上，寫完後將小白板貼於黑板，讓全班同學一起來看各組討論的結果，挑出和其他組寫的不一樣的，請該組說明原因

學校舉辦話劇比賽，參加人數非常踴躍。

班長：「所有參加人數每8個人一數或每10個人一數都恰好可以數完。」

你能預估最少有幾個人參加嗎？

柯南：「8×10＝80，所以最少有80人參加。」

小叮噹：「才不對！最少是40人啦！」

你認為誰說得對？

J將你的想法說給全班聽，請全班同學一起參與討論，看看說的合不合理。

J教師歸納：列出二數68和10的公倍數，公倍數是有無限多個，而3040為最小公倍數。

小白板

彩色筆

學生能夠將解題過程清楚描述

學生能夠應用最大公因數及最小公倍數解決問題

三、概念再製

個人思考

↓

小組討論

↓

全班分享

桌上有48個紅豆餅和60個雞蛋糕，花媽要柚子和橘子將它們全都裝入紙盒子裡，而且每一個盒子裡的紅豆餅個數和雞蛋糕的個數都要相同，柚子和橘子正想著要怎麼分才好：

橘子說：「因為2×2×3＝12

所以可以裝成12盒，每盒有紅豆餅4個、雞蛋糕5個。」

2）48 60

2）24 30

3）12 15

4 5

柚子說：「可以裝成16盒，因為2＋2＋2＋3＋4＋5＝16

2）48 60

2）24 30

3）12 15

4 5

請問誰得對呢？□橘子□柚子

J小組將討論結果寫於白板上，老師挑選不同想法的組別發表

小白板

彩色筆

學生能夠清楚的將思考過程寫在板上並分享

台北101內有兩台電梯實行「省電作戰」，如下：

這天，史努比 想上台北101參觀且到高一點的樓層，坐上一號電梯。之後，塔克 沒趕上一號電梯，所以坐上二號電梯上樓去找史努比。

□ 史努比心想：「塔克不是要來找我嗎？他應該坐上二號電梯了。我們應該會在99層樓相遇的！」

□ 塔克心想：「我應該可以在96層樓找到史努比吧！」

• 小朋友，到底誰才對呢？

J請學生將答案及原因寫在白板上，進行全班討論

*第三節課結束*

藉由遊戲讓學生提高對因數倍數公因數及公倍數概念之問題解決能力

四、概念應用

個人思考

↓

全班遊戲

↓

小組討論

↓

全班分享

J利用遊戲進行題目演練

1. 老師先說明遊戲規則：

以44十六方格的方陣呈現，每一數字方格中各有一個代表其方格的因數與倍數相關問題，老師抽一位同學到講台前擲骰子，決定組別，獲得答題權的組別可以自行自十六方陣中選擇一個數字方格，視其所分配到的問題作答。

最快在十六方陣中連成一線或是答對題數最多的組別獲勝，頒發小禮物以玆鼓勵。

2. 老師抽籤選出一位同學到台前擲骰子，決定組別。

3. 獲得答題權的組別可以自行自十六方陣中選擇一個數字方格，視其所分配到的問題作答。如果答對，格子會填滿代表那組的顏色；如果答錯，則進行舉手搶答。

4. 接下來，由答對的同學繼續擲骰子，決定下個進行答題的組別。

5. 最後，在十六方陣中連成一線或是答對題數最多的組別獲勝，頒發小禮物以玆鼓勵。

*第四節課結束*

~本單元結束~

16方陣海報

骰子

獎勵品

16題題目捲軸

學生能夠正確回答問題並且能夠和同學分享解題的想法

活動名稱

因數與倍數

教學

年級

五年級

教學

節次

1 節

設計者

歐妍汝.廖冠惠

試教者

歐妍汝.廖冠惠

紀錄者

歐妍汝.廖冠惠

試教地點

台北縣淡水鎮文化國小

試教日期

民國95年5 月2 日

數 學 概 念

引發學生熱烈參與之問話或活動

成功之因素

1.骰子決定下一個答題的組別

因為骰子是一個很不確定的結果，並且是由學生自主性的來操作，因此學生們會很期待丟骰子的結果，並且服從丟出的數目

2.答題正確者可以將方格子塗滿顏色，若是最快連成一線者將可獲得老師準備的禮物

因為是一個公開且可立即看見成果的活動，因此學生們都會很積極的參予活動

3.老師跟學生說當獲得答題權的組別答錯時會開放其他組搶達的機會，因此其他組也必須和組員討論題目的答案

此時學生不會輕易放棄，認為自己毫無機會，反而較答題組更加積極作答，因為跟他競賽的組別有其他4組呢

4.請小朋友將討論的結果寫在白板上，並且上台發表，要學生不要將答案告訴別人，使其盡速進入小組討論中

各組寫小白板，因為每個人都可以參與討論，學生非常融入於討論題目中

5.各組上台分享答案並說明原因

台上與台下同學有互動，大家也會知道錯的組別是錯在哪並彼此糾正

未能如預期引起反應之問話或活動

無法達成之因素

擬改善之對策

1.-2是不是也是8的因素

超過學生的能力範圍

刪去不教

教 學 技 巧

成 功 因 素

失 敗 因 素

擬改善之對策

1.上課方式活潑有趣

1.上本質概念時，部份言語過於艱難

刪去不適合的文字內容，以與學生有關之情境例題做講解，並且以其已有之先備知識為基礎建構新知識

2.利用討論分享的方式，給予學生許多’說話’的機會，讓學生能夠思考且不枯躁

2.時間控制不佳

減少教學內容及討論題目，讓學生能夠充分的分享每一題的解題過程和想法，並且徹底了解

3.利用遊戲競賽的方式吸引學生算數學題目

3.遊戲時用多媒體，需要另一位老師幫忙操作

可以利用海報方式，優勝的組別可用貼代表那組的彩色圈圈代替；題目則可以用像是捲軸方式呈現

4.使用多媒體上課，讓學生有耳目一心的感受

5.教具準備豐富，骰子的使用增進學生上課的趣味性

6.獎勵制度使學生更能夠專注

具體

目標

教學活動

時間

教材與媒體

1. 讓學生知道何為因數、倍數、公因數及公倍數

2. 了解學生的迷思概念，老師幫助釐清

3. 從遊戲中能做進行題目的練習，並且熟練

4. 使學生能愉快地學習，進而能喜歡數學主動學習

【引起動機】

1. 老師自我介紹

2. 簡單跟學生說明今天要上課的內容

【發展活動】

一、讓學生認識因數、倍數、公因數、公倍數

1. 老師先利用PPT說明何為因數、倍數、公因數及公倍數

2. 接下來，利用有趣的題目了解學生的迷思概念

1. 首先呈現題目

2. 學生們分組將算式及答案寫在小白板上

3. 老師請同學將答案分享，了解學生解題的思考過程，並請學生說明為何這樣做

4. 老師再講解一次，並且針對迷思概念做說明

二、利用遊戲進行題目演練

6. 老師先說明遊戲規則：

以44十六方格的方陣呈現，每一數字方格中各有一個代表其方格的因數與倍數相關問題，老師抽一位同學到講台前擲骰子，決定組別，獲得答題權的組別可以自行自十六方陣中選擇一個數字方格，視其所分配到的問題作答。

最快在十六方陣中連成一線或是答對題數最多的組別獲勝，頒發小禮物以玆鼓勵。

7. 老師抽籤選出一位同學到台前擲骰子，決定組別。

8. 獲得答題權的組別可以自行自十六方陣中選擇一個數字方格，視其所分配到的問題作答。如果答對，格子會填滿代表那組的顏色；如果答錯，則進行舉手搶答。

9. 接下來，由答對的同學繼續擲骰子，決定下個進行答題的組別。

10. 最後，在十六方陣中連成一線或是答對題數最多的組別獲勝，頒發小禮物以玆鼓勵。

【綜合活動】

1. 老師將今天所上的概念做一個回顧及總結。

2. 問問同學有沒有問題？

2mins

10mins

25mins

3mins

PPT、投影機、單槍、小白板、有趣的題目〈附件一〉

PPT、投影機、單槍、16題題目〈附件二〉、禮物