數學科教材教法高年級教學活動設計
活動名稱 | 分數乘以整數 | 適用 年級 | 五年級 | 教學 節數 | 約２節 |
教學準備 | 數學課本及教學指引(五下南一版)、賓果圖、題目條、學習單 | ||||
設計者 | 蔡蕙霙、劉春雨、黃惠君、馬靜雯、陳瓊雯、饒珮琪、陳成材 | ||||
設計構想
一、分數的本質概念：
分數概念起源於“分”，是用來解決不滿一個單位量的量的數值的問題。分數透過將原單位量（例如：一公尺的繩子）加以等分割活動（例如：分成四等份），得到單位分量，再重複數個單位分量（例如：三個四分之一公尺）加以合成，而得到與被測量等價的量，以等分割的份數（例如：四份）和重複的次數（例如：三次）的並置（例如：四分之三）作為被測量量的指標。此指標所帶的單位是原單位量的單位（例如：公尺）的數值關係，而被測量的量（例如：四分之三公尺的繩子），則是單位分量（例如：四分之一公尺）的倍數（例如：三倍）。
二、國小學童學習分數概念時常見的迷思概念：
根據相關文獻的分析可以歸納出，國小學童學習分數概念時常見的迷思概念有忽略單位量、依賴部分--整體模式及受到整數基模的影響等三大類，茲分述如下：
（一）忽略單位量：
處理分數問題最重要的一個概念是單位量的指認，但是學生在處理部分／全部，子集／集合或數線的分數問題時，會有指認單位量的困難。其常見的迷思概念又可以細分為：
忽略給定的單位量：學生在回答諸如一袋蘋果有四個，其中的一個是幾袋的問題時，會回答一個或是四分之一個。這樣的反應顯示他們對於所給定的單位「袋」和單位分量「個」之間的關係，並不在意。
受分子的控制，解題時只考慮到分子的因素。如果要此類學生在以十二個組成一堆的花片中取出其中的六分之五，他們的反應是只取其中的五個。
受分母的控制，只考慮到問題中的分母解題過程深受分母的影響。跟上述受分子控制解題的情形類似，其中的差別只有在於，這類的學生是根據分母的大小來取花片。而不論是受分子控制或是受分母控制解題的學生，他們都忽視所給定的單位量。
（二）部分─整體模式：
由於兒童過於依賴連續的部分--整體模式，反而抑制了他們將分數視為一個數，並抑制了其他分數解釋的發展（Pitkethly
et
al.,1996）。引用台中縣益民國小呂相儒老師在翰林文教雜誌網路版第廿四期所發表了一篇名為《國小學童學習分數概念時常見的迷思》的文章中，曾經就相似情境分別設計連續量與離散量的試題，其一為：小明的媽媽買了一個大披薩，她把披薩平分成八小塊。小明吃了三塊、媽媽吃了四塊。以分數來說，小明吃了幾「個」披薩？媽媽吃了幾「個」披薩？其二則是：小英在慶生會的時候，帶來一桶裝有86顆軟糖的乖乖桶，她分給自己和每個同學各兩顆軟糖，桶內還剩下14顆軟糖。以分數來說，班上每位同學各分得幾「桶」乖乖桶？小英還剩下幾「桶」乖乖桶？並利用上述問題對123位國小四年級學生施測，結果第一題答錯的學生數為9人，答錯率為7.3﹪，第二題答錯的學生數則高達21人，答錯率為17.1﹪，相同學生在兩題上的表現顯然不同，對於連續量的分數理解優於離散量。推論其原因跟教材及教師教學時常常舉連續量的例子，使得學生對於此類問題較為熟悉有關。此外，Kerslake(1986)也指出兒童將分數視為一個整體形狀的部分，這個整體通常是一個圓或方形，使得兒童難以發展出將三個圓分成四個相等部分的概念。
（三）整數基模：
一些研究指出，學生對分數符號表徵的迷思概念與全數有關(Behr, Lesh, Post & Silver,1983；Behr, Wachsmuth & Post,1984；Mack,1995)。分數的符號為a/b，兒童普遍的將該符號視為是由兩個整數組成的，並將之應用至分數的問題上。他們視分數是兩個不相關的整數並分開個別處理（Hart,1989）。因此在進行與分數相關問題的解題活動，如分數大小比較、合成或分解時，便出現下列的情形：
以分母的大小來做比較：如3/8＞3/5，「因為8>5」。(Behr et al.,1984; Hunting,1986)。又如筆者在進行研究訪談中的經驗顯示，學生知道一個大餅平均分成兩塊，其中的一塊就叫做二分之一（1/2）個。若把一個大餅分成相等的四塊，其中的一塊則可說成四分之一（1/4）個。因此，1/2是切兩塊比較大，1/4是切四塊比較小。但是若要他們在1/2（）1/4此類問題的括號中填入大於、等於或小於的符號時，他們卻回答小於，問其源由，則答因為2比4小。
以分子的大小來比較：例如4/13＜9/13。「因為4< 9」。(Behr etal,1984)。此一原則在同分母分數的情境下尚可適用，但是對於分母不同或是等值分數的狀態下，就會導致錯誤的結果，例如學生認為1/2＜2/4，因為2/4是塗兩塊，1/2只有塗一塊，所以 比較大（呂玉琴，民80）。
將分子、分母同加一數來比較，例如：3/4＝7/8。因為「3+4=7,4+4=8」(Behr etal.,1984)。
分別比較兩個分數的分母與分子。例如：3/5＜6/10。因為3<6，而且5<10
(Behr et al.,1984;Hunting,1986)。Mack(1995)發現學生受到全數觀念的影響而過度類推至分數的概念上。例如：學生認為3/8即是三大塊的南瓜派，每塊切成八小塊。
在分數加法的問題中，採用分子相加以及分母相加的方式來求得答案。如：1/4＋2/4＝3/8，1/4＋2/6＝3/10。
在異分母分數相減的問題中，採用分子相減以及分母相減的方式來求得答案。如：5/9－2/7＝3/2或是認為5/6－2/7無法運算，因為6比7小不能減。
三、分數之先備知識：
（一）國小數學課程標準：
在民國82年教育部所頒的國小數學課程標準（簡稱：新課程）中，分數教材的四則運算只進行到同分母分數的加和減及分數乘以或除以整數，因此如表一所示，我們可以得知國小學童學習分數的概況及其應有分數之先備知識。
表一：新課程分數教材的範圍
年級 | 教材範圍 |
二 | ．分數概念的初步認識 ．分數的讀法轉換成記法 |
三 | ．分母為20以內的真分數的認識 ．分母為10的真分數 |
四 | ．分數的種類 ．真分數的概念 ．假分數的認識 ．同分母分數的加和減 |
五 | ．等值分數 ．把分數視為整數除法的結果 ．分數的數線 ．分數乘以整數的乘法 |
六 | ．約分和擴分 ．通分 ．分數除以整數的除法 |
（二）已習教材及單元：
第四冊第5單元有幾倍：倍的初步認識，並把倍的語詞轉用×號來表示。
第六冊第7單元分數和小數（一）：分母為10以內的真分數。
第六冊第9單元分數和小數（二）：分母為20以內的真分數。
第七冊第9單元分數和分數的加減（一）：分母為100以內的真分數及同分母分數的加減。
第七冊第11單元分數和分數的加減（二）：同分母分數的加減，認識假分數和分數的加減。
本冊第5單元分數（一）：用分數表示商，並用數線表示分數。
四、處理特色：
在「單位分數的內容物為整數個」，並以「全部」為單位量的情境下，根據真分數數詞（字）所描述的量，進行比較、記錄比較結果，並察覺分數的等值遞移與次序遞移關係。
在連續量（含以「全部」為單位量）或離散個物（單位分數的內容物為非整數個）的情境下，根據真分數數詞（字）所描述的量，察覺分數的等值遞移或次序遞或次序遞移關係。
為了讓學生的等值分數概念更清楚，因此可以根據下列方式來提升與加速學生更了解等值分數的概念：
在分數的類別方面：先學真分數的整數倍，乘積大於１的問題：再學帶分數的整數倍的問題。學生可將帶分數的整數倍問題拆成整數的整數倍與真分數的整數倍，分別求解後再合併其答案。
在情境方面：先處理「單位分數的內容物為單一個物」的分數問題，再處理「單位分數的內容物為多個獨立個體物」的分數問題。
在記錄方面：先要求學生會解題，再要求學生用有分數的算式摘要記錄解題過程與結果。
教學策略（一）
領域名稱 | 數學-分數的乘法 | 適用年級 | 小學五年級下 | |||||
教學時間 | 40分鐘 | 設計者 | 劉春雨 | |||||
分段能力指標 | ||||||||
N-1-3 能理解加法、減法的意義，解決生活中有關三位數以內的加、減法問題，並運用電算器加以檢驗。 N-1-5 能用具體分的活動，理解除法意義並解決生活中有關除法的問題。 N-2-5 在等分好、整體1能明顯出現之具體情境中，能以真分數來描述單位分數內容物為多個個物的幾份，進行同分母真分數的合成、分解活動，並理解等值分數的意義。 C-C-7 用回應情境、設想特例、估計或不同角度等方式說明或反駁解答的合理性。 | ||||||||
具體目標 | ||||||||
| ||||||||
具體目標 | 活動主題及進行方式 | 主要活動與問話 | 時間 | 教學資源 | 能力指標 | |||
1. 2. 3. |
分 ↓ ↓ 分數的加法整數的加法 ↓ ↓ 分數的形成整數
→簡化運算
說明問題 ↓ 小組討論 ↓ 辨證思考
說明問題 ↓ 小組討論 ↓ 辨證思考 ↓ 釋疑
分數的形成 ↓ 分數的加法
| 今天我們要上的是「分數的乘法」。 就誠如整數的乘法一樣，在學乘法之前，就要先學會加法；在學會加法之前，就要先學會數數；所以，我們這節課就先從為什麼要有分數談起。 老師講解 １÷３ ↓ 0.3333333333…(太麻煩) ↓
↓
→1/3 > 1/3 →1/3+1/3=2/6 舉例說明，1/3盒金莎，即一盒有可放金莎三顆的底盤，取出一顆金莎；加上從另一個相同樣式盒中的一顆金莎；總共有兩顆金莎，可以擺放在可容納三顆金莎盒子中的兩格，所以1/3+1/3=2/3 回顧今天所上的，並抽幾位學生上台來說說。 | 5 5 12 13 5 | 黑板、 粉筆 學習單 學習單 | N-1-5 N-2-5 C-C-7 N-2-5 C-C-7 N-1-3 | |||
數的乘法
(
真相只有一個I
摳男今天生日。不美買了一個蛋糕，準備送給心愛的摳男當作生日禮物；到了他家，沒想到，光厭居然也買了一個蛋糕送給他；不美心想，這個死光厭，真討厭，好好的一個兩人浪漫生日會，居然被他給破壞了，待會切蛋糕的時候，絕對要分少點給他。於是，在吹玩蠟燭，切蛋糕的時候，不美就這樣分這個蛋糕：
而
光厭因為心裡偷偷愛慕不美，所以他下意識就多分點給不美，他這塊蛋糕是這樣分的：
這時候，那個死胖子圓太突然跑了進來，看了不美手上的蛋糕(光厭切給她的)，又看了光厭手上的蛋糕(不美切給他的)，大叫了一聲，說，「
>
！」此時，沉默許久的摳男終於說話了，他說，「真相只有一個」。請問聰明的你，摳男為什麼這麼說？
真相只有一個II
繼上次的蛋糕事件之後，不美和光厭，就對那個胖子圓太非常不滿，老想著有天一定要捉弄他一下，才能消弭心頭之恨。這天，總算讓他們兩個逮到了一個機會。這天上足球課的時候，老師發給每個人一顆球，要練習盤球；不美和光厭知道，比體力，他們兩個根本不是對手，於是乎，就只能比腦力了。
他們兩個走近圓太，問他說：「圓太，你知不知道
+
等於多少啊？」圓太是個口直心快，想也不想，就大聲的回答，「這麼簡單的問題也來問我，答案是
啊！」不美和光厭心想，哈哈，這個胖子上當囉。他們兩個就大聲的回了圓太一句，「不對！」
「哪裡不對？」
「我們舉例給你看！」不美和光厭齊聲回答。
「看好啊，這裡有三顆足球，那我取其中一顆，那麼就是三分之一了吧，沒錯吧？」光厭蒐集了三顆球，展示給圓太看。
「沒錯啊！」圓太傻呼呼的回答。
「諾，我這裡也有三顆球，那我取其中一顆，是不是也是三分之一啊？」不美也蒐集了三顆球，做給圓太看。
「也沒錯啊！」圓太回答著。
「哦，那麼，你看，我的三分之一加上不美的三分之一，根本不是三分之二，應該是六分之二才對！因為總共有六顆，我們拿了其中的兩顆，所以三分之一加上三分之一應該是六分之二才對啊！」光厭得意洋洋地說。
圓太看了傻眼了，怎麼會這樣呢，跟我們以前學得都不一樣。這時候，摳男盤著球，把球定住之後，說了一句話，「真相只有一個！」為什麼摳男會這麼說呢？
羅素的證明(摘自數學小精靈p.208)
教學策略（二）
領域名稱 | 數學-分數的乘法 | 適用年級 | 小學五年級下 | |||||||||
教學時間 | 40分鐘 | 設計者 | 蔡蕙霙 | |||||||||
分段能力指標 | ||||||||||||
| ||||||||||||
具體目標 | ||||||||||||
b.操作具體物,說出真分數若干倍的結果 c.解決真分數的若干倍,積為真分數的問題 d.解決真分數的若干倍,積為假分數的問題
| ||||||||||||
具體目標 | 活動主題及進行方式 | 主要活動與問話 | 時間 | 教學資源 | 能力指標 | |||||||
1 2 3 4 | 1.何謂乘法? 2.加法與乘法的關係 3.真分數之間的加法與如何以乘法輔助算數 d.真分數的乘法
|
3.進入乘法階段，此段著重於真分數的計算部分。教師先解釋例題引導學生思考並使之懂得如何列式，且能夠了解“ｘ”的意義何在 4.講解並引導學生算出答案 ©註一：可自行舉例或利用課本例題 5.開始教導學生如何針對真分數與不同形式之間的積的互動做計算與列式 ©註二：利用課本例題做再次的概念澄清 6.教師發下學習單讓學生做練習及玩遊戲做基本複習，如還有時間可由學生發問以再度確立概念： ©註三：賓果遊戲： 發給各個學生一張學習單，上頭有方格，可讓學生隨意寫上1~16共十六個數字，並由教師出題，學生計算後在自己的格子中找到答案，數字若能連成直或橫線便可劃成直線，最早連成四條線，便是贏家，教師可給予獎賞 | 5 5 10 10 10 |
ａ．學習單一張 ｂ．習作甲乙本 | N-2-8 N-2-8 | |||||||
教學活動紀錄表
活動名稱 | 分數乘以整數 | 教學 年級 | 五年級 | 教學 節次 | 2 節 | ||
設計者 | 蔡蕙霙、劉春雨、黃惠君、馬靜雯、陳瓊雯、饒珮琪、陳成材 | ||||||
試教者 | 蔡蕙霙 | 紀錄者 | 陳瓊雯 | ||||
試教地點 | 台北縣市新興國小 | 試教日期 | 民國91年3 月26 日 | ||||
引發學生熱烈參與的問話或活動 | 師生互動狀況 | ||||||
1.與學生寒喧幾句，拉近彼此的距離。 | 學生熱烈回答老師所問的每個問題（可能是因為新老師的關係，所以學生表現得特別興奮）。 | ||||||
2.進入主題：詢問學生「何謂分數？」，並請學生回答。 | 剛開始時，學生並不了解老師所問的問題，但經老師提示後，學生開始陸續發表自己知道的分數概念。例如：學生會回答6/10、5/10、12/10……等。 | ||||||
3.詢問學生「何時會用到乘法？」，並請學生回答，最後由老師解釋整數乘法的整體概念。 | 學生能回答老師的問題，但是回答方式未如老師所預期想要的那個答案，不過基本上學生還是蠻捧場的。 | ||||||
4.帶入分數的乘法，舉課本中的例子，並讓學生練習之。 | 點班上二名學生上台，以圖示的方式來解答老師所拋出的問題。（結果：學生都能正確答出正確答案） | ||||||
5.遊戲時間：賓果遊戲，並給予表現好的學生正增強。 | 因為時間有些倉促，所以對於遊戲的細節部份有些小缺失，但是學生對於這個遊戲，還是很熱烈的參與。 | ||||||
未能如預期引起反應之問話 | 師生互動狀況 | ||||||
１.當問到「何時要用乘法？」時。 | 學生回答不如預期的答案，如算數、考試的時候，以及九九乘法表。 | ||||||
本次教學活動尚待改善之處 | 擬改善之對策 | ||||||
1.最後賓果遊戲的時間有點短促，所以稍嫌混亂。 | 一些較簡單的概念無須花太多時間解釋、複習，應把時間挪到正題上。 | ||||||
評量觀點（可重複勾選） | 具體改善之意見及建議 | |
1.與生活連結 | | |
2.能形成概念 | | |
3.能促進思考 | | |
4.提供修正機會 | ||
5.過於枝節 | ||
6.過於強調熟練 | | 可以問一些較為深入或是具有變化的問題，讓學生能夠進一步思考更深層的分數概念。 |
◎參考資料：
呂玉琴：國民小學數學科新課程概說－高年級－分數的四則運算與等值分數的設計，國立台北師範學院數理教育系。（http://www.iest.edu.tw/study/math/newmath2/06-1.htm）
呂相儒：翰林文教雜誌網路版－第廿四期－國小學童學習分數概念時常見的迷思，台中縣益民國小。（http://worldone.com.tw/magazine/24/24_08.htm）。
南一版數學課本（五下）。
南一版數學教學指引（五下）。
南一版數學習作（甲）、（乙）。
數學教育的藝術與實務鄔瑞香◎著心理出版社
數學小精靈漢斯‧安森柏格◎著時報文化出版
◎後記：
此次的教學活動，大致上來說相當的順利，學生的反應也很熱烈，而且學生在程度上的表現已超過該年級學生應有的知識理解範圍。例如：以五年級的學生來說，對於分數的概念已超越課本所教的範疇，就之前所提的數學新課程標準，此年級的學生應該尚未教到分數的約分及擴分的觀念，但是在實際的教學過程中，我發現學生不僅對分數的約分及擴分的觀念不陌生外，還可以迅速回答出老師所提出的各項相關概念的問題，因此，我推估該班的導師可能早已教過相關的概念，或者是該班學生已在家教班學習過了，所以此次的教學活動並沒有遇到困難，可謂是圓滿達成。
-