活動名稱

整數除以分數

適用年級

五年級

教學時間

三節課

教學準備

情境引導海報兩張、圓形剪紙約48個、操作紀錄單(每組一張)、名牌、膠水、尺規、學習單、D8攝錄影機、照相機、

教學方式

協同教學、操作數學、分組討論

單元目標

等分、等量的概念
整數 ÷ 整數的想法與做法

3. 整數 ÷ 分數的想法與做法

設計者

張舒惠、柯力銘、林桂楨、詹易霖、劉鈞瑋、洪巧玟

～設計構想～

一、整數除以分數的本質概念

分數

一個物體

單位”1”一個計量單位

一些物體組成的整體

分數的意義平均分成若干份（分母）

一份（幾分之一）（分數單位）

表示這樣的幾份（幾分之幾）（分子）

分數等分

將一單位平均分成若干份，每份均等

分數等值

指一個分數可以有很多不同的表達方式，而這些所代表的數的大小都是一樣的

整數除以分數

當整數以分數為單位時，所佔的總量

二、概念的發展

文獻探討

根據Piaget認知發展階段，國小高年級學童發展大多為形式運思期，故能以邏輯形式解決抽象問題，也發展出統整的思考能力，思考更科學化。所以高年級的孩童在學習以較抽象的分數乘除問題時，能以較強的邏輯性思考運算問題。

學生的先備經驗

本課程設計之教學對象為國小五年級下學期（具體表徵－察覺樣式）的兒童，並針對其已學過但較不懂的觀念加以澄清，本課程為「數與計算」領域因此兒童已具備的能力有：

N-1-4能透過累加活動連接倍的語言，理解乘法的意義並解決生活中簡單(積≦100)的整數倍問題(例如：單位數≦12，單位量≦15)。

N-1-5能用具體分的活動，理解除法意義並解決生活中有關除法的問題。

N-1-7在等分好、整體1能明顯出現之具體生活情境中(包含連續量、離散量)，能以真分數(分母在20以內)描述內容物為單一個物的幾份，並能延伸真分數的意義，進行同分母真分數的合成、分解活動(和<1)。

N-2-5在等分好、整體1能明顯出現之具體情境中，能以真分數來描述單位分數內容物為多個個物的幾份，進行同分母真分數的合成、分解活動，並理解等值分數的意義。

N-2-6在具體情境中，能以假分數或帶分數描述具體的量，並能解決分數的合成、分解以及簡單整數倍的問題。

（三）兒童迷思概念與教材分析

本活動設計的目標有三：“等分、等量的概念”、“整數除整數的想法與做法”、“整數除分數的想法與做法”。

　　等分及等量的概念是整數除以整數和整數除以分數的先備知識。在進行整數相除時，等量及等分的概念是要先被建立，學生必須要曉得被除數及除數所代表的意義，以30顆蘋果分給5個人為例，算式可這麼寫，我們可以解釋為30顆蘋果被分成5份，每一份都是6顆，而5份是等分，6顆是等量；若題目改成：小明從果籃裡拿走了4顆蘋果，剛好拿走了全部蘋果的，那麼原本有多少顆蘋果，學生遇到了分數運算，有的會很直覺的將二數相乘，或是無法了解為何，在告訴學生這個關係之前，要先向學生解釋整體1的觀念，再由此觀念來解釋為何上述式子會成立。我們的做法不直接呈現上述式子讓學生知道，而是以說明，來解釋小明拿走的蘋果在整體1中所代表的意義。

　　本課程是老師模擬出一個情境，讓學生來等分物品，從中建立等分及等量的概念，再引導學生思考如何解決整數除以分數的問題。

三、處理特色

等分是指每一份都是相等大小多寡的，等量是指每一份都有相同數量。而整數除以分數的概念是學生較不容易接受的，在學生還沒有建立等分及等量的概念之前，會不太清楚如何來處理這樣的問題，所以我們的重點是先介紹等分、等量的概念，讓學生實際操作後加深此觀念，以簡單的整數除以整數做練習，再一次澄清概念，最後進入主題。

　　在教學的進行中，老師和學生會發現到，解決問題並不一定只有一個方法而已，也許可以發現另一種方法來解答，這也是我們要教授給學生的目標

能力指標

具體目標

N-1-7

在等分好、整體1能明顯出現之具體生活情境中(包含連續量、離散量)，能以真分數(分母在20以內)描述內容物為單一個物的幾份，並能延伸真分數的意義，進行同分母真分數的合成、分解活動(和<1)。

N-2-5

在等分好、整體1能明顯出現之具體情境中，能以真分數來描述單位分數內容物為多個個物的幾份，進行同分母真分數的合成、分解活動，並理解等值分數的意義。

N-2-6

在具體情境中，能以假分數或帶分數描述具體的量，並能解決分數的合成、分解以及簡單整數倍的問題。

1. 釐清分數中等分的概念

2. 給定整體量及部分量，使用分數數詞（字）描述此部分量並察覺等值關係

3. 給定整體量和分數數詞，並操作出整數除以分數的關係

～教學活動流程～

具體目標

活動主題及進行方式

教學活動

教學內容&主要活動與問話

教學資源

能力指標

準備活動

(一)課前準備

教師方面：

1.確認確定學生的起點行為。

2.製作情境海報

3.剪裁約100個圓形。

4.依照學生人數等分八組。

學生方面：

1.上課5分鐘之內依照組別入座。

2.準備好應有的尺規剪刀等用具。

4-1就學生的座位，合併第1、2列及第1、2行四人一組。

1-1指導學生能夠找到自己的組別，安靜坐好。

1-2 請各組組員編號（1-4號）。

2-1將桌面上不必要的東西收起來。

1.釐清分數中等分的概念

一、

檢測是否有分數中等份的概念

個人
思考

意見
分享

（二）引起動機
（製作桌牌）

發給每人一張白紙。
請小朋友以自己的方式將長等分成3等分。
在其中的1等分上寫自己的姓名。
發給每人一個圓。
請折出圓的大小。
請折出圓的大小。
請折出圓的大小。

(二)引起動機

1.1 請問你手上的這張紙是什麼形狀？

【形狀認知】期能引導學生回答出長方形、平行四邊形、四邊形的答案。

2.1 運用自己的思考模式，如何精確將『長』等分3等分。

【的概念】先讓學生自己試試看，期能夠利用工具，準確表現出等分。

3.1 藉由學生自製桌牌的過程，引出等分的概念，並能方便老師班級經營，課堂進行中能夠叫喚學生的姓名。

4-7 先為稍後的發展活動作暖身。

【等分的概念】提問：什麼叫做？

強調是八等分裡的1等分，且每一等分都要一樣大。

白紙一張

尺

圓

蠟筆

N-1-7

給定整體量及部分量

，使用分數數詞（字）描述此部分量並察覺等值關係

二、

檢測是否具有等值分數的概念

個人
思考

意見
分享

（三）喚起舊記憶

記得是在一個星期天，老師邀請了一些一年級的小朋友到家裡來吃早餐，可是因為老師家裡不大，所以把時間分成三個時段，電鈴聲音響起，第一批到家中來的小朋友，我請他們每人吃了一片烤奶油土司；第二批到家中來的小朋友，老師將土司對半切成三明治的大小，於是每人吃了二小片奶油土司；第三批到家中來的小朋友，我又沿著土司兩對角線切下去，於是每人吃了四小片烤土司；隔天有一個小朋友跑來跟我抗議，說我偏心，為什麼有人吃了四片、有人吃了兩片，我卻只有吃到一片？你們覺得呢？老師到底有沒有偏心？

【引導教學】

1. 這位小朋友覺得 4＞2＞1沒有錯啊！你覺得合理嗎？為什麼？

【質與量的關係：說出都是由一片土司去切的關鍵點】

1-1單純只比較量，則4＞2＞1是一定成立的。

1-2 加上每一片的大小，應該是。

2. 誰能夠完整表達每個人所吃到的量是多少？

第一批吃的是完整的1片土司；第二批吃的是2片的土

司；第三批吃的是4片的土司。

3 .原來吃得多片不一定是吃最多，因為你的每一片都比別人小，那你要如何解釋到底誰吃得多？

【作法一】

＋＝

＝1
【作法二】

或 2 ×＝ 1

黑板

粉筆

N-2-5

【作法一】

＋＋＋＝

【作法二】

或 4 ×＝ 1

＝1

4. 所以其實老師並沒有偏心，每個人都吃到一片吐司

3.給定整體量和分數數詞，並操作出整數除以分數的關係

三、建構整數除以分數的概念

個人
思考

分組
討論

小組
討論

意見
分享

二、發展活動

請協助老師給予每組8個圓。
每組選一個小組長來支配工作。
請協助老師給予每位學生一張操作紀錄單。

活動一：操作數學

情境佈題：

桌上有8顆蘋果，想要平分給亮怡、佳歡兩個人，所以亮怡、佳歡都可以拿到________顆蘋果。

亮怡高興的拿著她的_____顆蘋果，要分給他最要好的8個朋友，結果他的朋友每個人都可以拿到_____顆蘋果。

佳歡心裡想，如果我把每個蘋果都切一半，請每個人吃1/2顆，這樣就可以請更多的好朋友吃，結果他分給了______個朋友吃。

最後，到底是佳歡還是亮怡把蘋果分給比較多的朋友吃？

【活動說明】

以捲軸的方式呈現題目。
第一節課僅以操作方式得到結果【想法1&2】。
第二節課歸納想法與算法之間的關係【做法1&2】。
由操作整數 ÷整數＝整數或分數，進而操作整數 ÷ 分數的求值。

1. 亮怡拿到了_________顆；佳歡拿到了_______顆。

【想法1】

【做法1】8(顆) ÷2(人)＝ 4 (顆)

【想法2】先把1顆切成一半，每人得顆，有8顆，每人得顆，合4顆。

【做法2】

※ ＋＋＋＋＋＋＋＝

＝4

※ 8(顆) ×＝ 4(顆)

亮怡的朋友每個人都可以拿到_______顆蘋果。

請把結果畫下來：

【想法1】8顆分給2個人，每人得4顆。

【做法1】

4 (顆) ÷8 (人)＝ (顆)….等分除

【想法2】把1顆切開分給8個人，每個人拿到顆，有4顆可以拿到顆，合起來是顆

【做法2】

※＋＋＋＝＝

※ 4 (顆) ×＝(顆)

佳歡把蘋果分給了_____個朋友。

【做法1】

4 (顆) ÷ (顆)＝ 8 (人)….包含除

【想法2】1顆可以分給2個人4顆可以分給8個人。

【做法2】

1(顆) ÷(顆)＝ 2(人)

4(顆) ×2(人)＝ 8 (人)

結果佳歡把蘋果等分給________個朋友吃；亮怡將蘋果等分給_______個小朋友吃，所以(佳歡、亮怡、兩人)分給較多的朋友吃。

4 (顆) ÷8(人)＝ (顆)

4 (顆) ÷ (顆)＝8 (人)

所以兩人分給一樣多的朋友。

操作紀錄單

圓數個

剪刀

尺

N-2-6

在具體情境中，能以假分數或帶分數描述具體的量，並能解決分數的合成、分解以及簡單整數倍的問題。

綜合活動

6 ÷的解法。
學習單

3. 綜合檢討

1-1 從操作的過程中，先看看是什麼意思？

＝，也就是每個都先2等分，就是其中的3分。

1-2 如何解釋6 ÷？

6顆蘋果，每個人要分到(＝)顆，可以分給幾個人？

1-3 算出6 ÷ ＝
6 × 2 ÷ 3 ＝ 4

每顆切成2等分，總共有12等分每人分3等分，可以分給4個人。

※ 練習學習單，以協同教學的方式，指導學生做練習，對於不熟悉的學生輔以操作來幫助答題。

學習單

教學活動紀錄表

活動名稱	整數除以分數		教學年級	五年級		教學節次	三節
設計者	張舒惠、柯力銘、林桂楨、詹易霖、洪巧玟、劉鈞瑋
試教者	張舒惠		紀錄者		洪巧玟、林桂楨
試教地點	台北縣竹圍國小		試教日期		民國91年3月21日
引發學生熱烈參與的問話或活動		師生互動狀況
1.土司的份量，誰吃的多？		請學生畫出小朋友先後吃到的土司量。
2.請學生動手分分看		完成的小組舉手，老師計分得手。
3.請學生想想看，如何精確將長方形分成三等份，並親自動手做		學生舉手發表討論，老師給予回饋，並鼓勵動手做做看。
未能如預期引起反應之問話		師生互動狀況
利用分數的想法去動手分分看		必須重複解釋：將一份給四人，每人有；將四份給四人，每人有＝1。為何不直接1分1就好了？
本次教學活動尚待改善之處		擬改善之對策
師生默契		花多一點時間做事前的約定。
班級秩序管理		利用幾次額外的時間到班觀摩老師教學。

評量觀點（可重複勾選）		具體改善之意見及建議
1.與生活連結		無
2.能形成概念		在概念的形成上，再多給予學生例子，讓學生能由反覆循環中，更加加強以及釐清概念。
3.能促進思考		無
4.提供修正機會		無
5.過於枝節
6.過於強調熟練