分數的意義與多樣化解釋：從基本概念到教育理論

TKU95B12 李偉誠

TKU95B13 廖珮妤

壹、數學結構

一、分數的意義

　　分數是在描述一個平分後的狀況，有一個母體被平分，這個母體被平分的份數就是分母，被取出的份數是分子。

　　就像將一包糖分成5份(分母就是5)，若從中取出3份(分子就是3)，這個分數就是。

二、分數的寫法

分數表達成

(例如：) 之有理數。

在上式之中，b 稱為分母，而a 稱為分子，可視為某件事物分成b 份中佔a 分。中間的線稱為分線。

三、名詞釋義

分數	能化為的型態，且p、q皆為整數者其中p≠0，稱為分數；p稱為分母，q稱為分子；若0＜q＜p時，稱為真分數；否則，稱為假分數；形如的分數，則稱為帶分數。
單位分數	分母是大於1的正整數，而且分子是1，這樣的分數被稱作單位分數，例如:，。

連續量	要找出指定分數的部分量時，需將物件作人為切割的物件稱為連續量，例如一個蘋果的。
部分/全部	部分/全部為分數意義之一，它是指在連續量情境下的分數意義。

離散量	物件呈離散的狀態，一個一個獨立的呈現，要找出指定分數的部分量時，不需將物件作人為切割的物件稱為離散量，例如3 顆糖果的。
子集/集合	子集/集合為分數意義之一，它是指在離散量情境下的分數意義。

真分數	分子比分母小的分數叫做真分數。真分數小於1。
假分數	分子比分母大，或者分子等於分母的分數，叫做假分數。假分數大於或等於1。
帶分數	分子不是分母的倍數的假分數，可以成整數和真分數合成的數，叫做帶分數。
零分數	零分數－分母不為零，而分子為零的分數，即（），叫做零分數。零分數的分數值等於0，即。

最簡分數	一分數經化簡後（合併符號、約分），若分子與分母的絕對值互質，此分數稱為最簡分數。
等值分數	一分數分子、分母同乘一整數，所得的分數稱為原分數的擴分；一分數分子、分母同除一公因數，所得的分數稱為原分數之約分；一分數擴分或約分後所得的分數，其值和原分數相同，稱為等值分數。

約分	分子．分母同時除以同一個整數，其值不變，稱為約分。
擴分	分子．分母同時乘以同一個整數，其值不變，稱為擴分。

四、Dickson, Brown & Gibson對於分數的解釋

　　Dickson, Brown & Gibson (1984) 提出對分數的五種解釋：整個區域的子區域(或部分－整體)；子集合與全體集合間的比較；位在數線上二個整數堅等分好的一點；除法運算的結果；兩組集合或兩個度量的大小比較的方法。

　　另外，Behr & Post (1988) 解釋分數為：

「部分／全部」的概念
比率：強調兩個數量的關係
比值：用一個量值來代表兩個數量的關係
商：兩數鄉除的結果
操作：強調分數是一種轉換
線性座標：強調數線的距離長
數線上的一點：即實數系的子集合

貳、認知結構

在國小數學教學課室活動中，因受皮亞傑(Piaget,1896~1980)認知發展階段論(stage theory of cognitive development)及布魯納(Brunner,1915~)表象思維發展論(theory of development of representational thought)的影響，教師們普遍的被告知數學的教學或學習必須由具體物操作、半具體物操作到符號操作。以下，茲分述國小學童幾個分數概念的認知發展情形：

一、等分概念

等分是指將物品細分，而細分的每個部分的量皆相等。國內多項研究顯示學童對等分概念有困難，呂玉琴(1993)指出學童等分概念常見的錯誤類型如下（引自詹婉華、呂玉琴，2004）：

1.連續量分成兩份，但兩份不同大小。

2.將同樣大小的離散量分成兩份，但兩份個數不一樣多。

3.將不同大小的離散量分成相同個數的兩份，但總量不一樣多。

Bergeron ＆Herscovice(1987)的研究顯示兒童的等分概念並不完備，例如大部分國小三年級學童在處理分數板的問題時，只注意到分數板分割成幾塊，而沒有注意到分割的每一塊是否相等(如圖1)(引自陳明宏、呂玉琴，2005)。

Freudenthal(1983)認為兒童在判斷分割後的部分是否相等時，也會以視覺約估及對摺或摺成三份、四份等直觀的方式來判斷是否等分(引自詹婉華、呂玉琴，2004)。

林福來、黃敏晃及呂玉琴(1996)的研究顯示，學生處理分東西的策略，在視覺上會有：(1)約估視覺調整。例如：先用視覺約估每人分的的量，分完後，判斷其是否等分，若不等分，再調整，重新分配。(2)視覺調整。例如：分完每人分的的量後，判斷其是否等分，若不等分，再調整，重新分配。(3)視覺。例如：分給5人就分成五份，但不計較其是否等分。使用這種策略的學生，等分概念尚未建立(引自詹婉華、呂玉琴，2004)。

分割後各部分的形狀和面積也會影響兒童的等分概念。例如：20％％到25％的國小五、六年級兒童認為平面圖形的等分，就是分割的每一塊要求其面積、形狀都相等，因而認為黑色部分並不是全部的1/2(如圖2)，由此可知兒童的等分概念是不完備的(引自詹婉華、呂玉琴，2004)。

綜上所述，兒童在處理分數問題時，不論是在離散量或連續量的情境，都只是將東西分割，卻忽略掉所分的東西必須是在等分的狀況，或者在東西非等分的狀況下，確認為已經等分。在視覺上，當圖形有所差異時，也會影響學生的等分概念(引自詹婉華、呂玉琴，2004)。

二、簡單分數概念(簡單分：單位分數內容物為單一個)

Piaget、Inhelder和Szeminska(1960/1970)認為學生在瞭解部分/全部和部分/部分的關係時，必須經過一些階段的學習，Piaget稱這些階段為先期基模(anticipatory scheme)。先期基模使兒童有能力理解部分/全部和部分/部分的關係，用以處理分割問題，學童先會二等分，接下來是四等分、三等分、五等分和六等分。Piaget et al.亦發現，孩童在處理長度和面積有關的分數問題時，先會處理1/2，然後是1/4，再來是1/3、1/5而1/6(引自陳明宏、呂玉琴，2005)。

現在的國小分數教學，是由分東西的經驗帶入，由生活中「一半」語言，連結對二分之一的概念，再帶入分數符號。但經由研究顯示，兒童的生活經驗無法與分數符號產生連結。例如：Mack(1990)的研究中，三位六年級兒童的分數非正式知識，無法與分數符號及算則產生連結。這些學童在分東西時，能正確的比較東西的大小，但卻無法比較分數符號的大小。National Council of Teachers ofMathematics（NCTM, 1994）的研究顯示，如果沒有從學童的生活經驗出發及在學童本身基礎知識沒有發展完整時，學童是很難建立抽象符號的概念。Mack（1998）更發現五年級的學童雖能解決1/2塊甜餅的1/4是多少的問題，卻無法將此方法運用在分數乘法問題的操作上(引自詹婉華、呂玉琴，2004)。

由文獻我們可以了解學童單位分數概念是較先發展的分數概念，而且其發展是有順序的。學童在生活上雖有分東西的經驗，也能藉由分東西的經驗逐步發展處理生活上分數問題的能力，然而對於簡單的分數卻無法從生活經驗中累積，無法將生活中的經驗與簡單的分數符號加以連結。(引自詹婉華、呂玉琴，2004)。

三、單位量概念

單位量概念又稱整體量概念（the conceptof a whole），也叫單位-整體量（unit-whole）概念。當學生在處理「部份/全部」和「子集/集合」的分數問題時，對於單位量的概念有以下三種困難(引自詹婉華、呂玉琴，2004)：

(一)忽略給定的單位量：學生在回答諸如一袋蘋果有四個，其中的一個是幾袋的問題時，會回答一個或是四分之一個。這樣的反應顯示他們對於所給定的單位「袋」和單位分量「個」之間的關係，並不在意。

(二)受分子的控制：解題時只考慮到分子的因素。例如要學生在以十二個組成一堆的糖果中取出其中的六分之五，他們會只取其中的五個。

(三)受分母的控制：只考慮到問題中的分母解題過程深受分母的影響。例如：請學生從八朵花中圈出全部的3/4，學生受到分母4的影響而圈了四朵花。

學生不論是在連續量或離散量的情境下，都有單位量指認的困難，學生有時會忽略給定的單位量，或因分子、分母的因素而改變單位量。在未給定單位量的分數問題上，學生也會只依據題目所呈現的其他分數符號來比較，而未思考到單位量的問題(引自詹婉華、呂玉琴，2004)。

四、等值分數概念

一個數可以用無限的分數方式來表示，例如：2/5 = 4/10 = 6/15…等等，這些不同的表示，便叫作這個分數的等值分數（Vance, 1992）。等值分數的不同名稱，在符號上形成的規則是擴分或約分，例如：由任一個分數開始，分子、分母各兩倍、三倍、四倍…就可以構成一系列等值分數。等值分數的特性就是部分可以再細分，部分可以再合併，等值分數既需要部分/全部的保留概念，也需要乘、除法的倍數觀念，可是乘除法運作的結果，並不會造成「量」的改變(引自詹婉華、呂玉琴，2004)。

(一)影響兒童等值分數概念的因素

影響學童等值分數概念的因素很多，包括：單位形成能力（unitize ability）、組合能力（assembly ability）、彈性思考能力（flexiblethinking ability）、運作思考能力（operativethinking ability）。當缺乏這些能力時，學童無法正確解決等值分數問題。

1.缺乏單位形成的能力：在Saenz-Ludlow（1994, 1995）研究中，兒童如果不能在圖形中找到適當的單位，將指定的部分量分盡，再利用這個單位重組成全部或集合（這種能力即為「單位形成能力」），則兒童無法正確解決等值分數問題。

2.缺乏組合能力：在呂玉琴（民1991b）的研究中即發現兒童缺乏組合能力。在處理等值分數的過程中，兒童若能主動的呈現切割、拼湊的能力，將有助於兒童解決問題。

3.缺乏彈性思考能力：Larson（1980）利用數線上不同的等分割，來了解兒童

的等值分數概念。研究結果顯示，當單位等分割段等於分母時，兒童很輕易就可以解題；但是當單位等分割段與分母不相等時，學童如果對等值分數缺乏彈性思考的能力，學童的表現就很差。

4.缺乏運作思考能力：Kamii, & Clark（1995）依Piaget 的理論提出兒童等值分數的概念與思考的運作有關，例如：長方形的一半，因為不同的分割法，結果可能是長方形，也可能是三角形（如圖3）。兒童因長方形和三角形兩個形狀不同，看起來是不一樣大的，而認為長方形和三角形是不一樣大；但兒童如果知覺整體相同而整體的一半也相同時，就不受視覺影響，而能推論出三角形和長方形是一樣大的，因為兩者都是原長方形的1/2。因三角形和長方形的形狀不同，便認為二者的大小不一樣的兒童便是缺乏「運作思考能力」。

另外再提供兒童兩張一樣大的長方形紙，將一張摺成如圖4 的左圖、一張摺成如圖4的右圖，然後，將左邊的8小條一一剪開，右邊的4 小條剪掉一條，剩下3/4，再詢問兒童幾個1/8會等於3/4。研究結果顯示部分兒童因為他們推理的過程無法超越知覺的判斷，缺乏運作思考的能力，所以得不到肯定的答案。

(二)分數大小比較與等值分數概念的關係

在分數大小比較與等值分數概念的關係方面，如果學生未把分數視為一個數，便無法對分數產生量感。當學童欠缺等值分數概念，在做分數的大小比較時，便無法針對兩個分數的量來做比較，學生會把分數的分子、分母看成獨立的兩個自然數，而產生了下列四種情況：

1.以分母的大小來做比較。

2.以分子的大小來比較。

3.將分子分母同加一數來比較。

4.分別比較兩個分數的分子分母。

另外，楊壬孝(1989)指出，在分數比較大小的排序中，分子相同而以分母做比較題目較以分母相同而用分子做比較的題目，使學生感到困難，不易接受(引自詹婉華、呂玉琴，2004)。

綜上所述，兒童在發展等值分數概念是需要相當的能力的。如：單位形成思考能力、組合能力、彈性思考能力、運作思考能力等。當欠缺這些能力時，學童在處理等值分數的問題時，會出現許多困難。在比較分數大小時，因等值分數概念的不完備容易將分數視為分子、分母兩個數，於是學童不會將兩個分數視為兩個分數量比較，而出現以分子或分母比較的策略(引自詹婉華、呂玉琴，2004)。

參、綱要結構

一、五大主題能力指標

數與量

N-1-09	能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。
N-2-06	能理解分數之「整數相除」的意涵。
N-2-07	能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。
N-2-08	能理解等值分數、約分、擴分的意義。
N-2-09	能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問題。
N-2-11	能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。
N-2-13	能做分數與小數的互換，並標記在數線上。
N-3-02	能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數約成最簡分數。
N-3-03	能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。
N-1-09	能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。
N-2-06	能理解分數之「整數相除」的意涵。
N-2-07	能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。
N-2-08	能理解等值分數、約分、擴分的意義。
N-2-09	能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問題。
N-2-11	能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。
N-2-13	能做分數與小數的互換，並標記在數線上。
N-3-02	能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數約成最簡分數。
N-3-03	能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。

二、階段能力指標

(一)第一階段能力指標

數與量

N-1-09

能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。

(二)第二階段能力指標

數與量

N-2-06	能理解分數之「整數相除」的意涵。
N-2-07	能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。
N-2-08	能理解等值分數、約分、擴分的意義。
N-2-09	能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問題。
N-2-11	能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。
N-2-13	能做分數與小數的互換，並標記在數線上。

(三)第三階段能力指標

數與量

N-3-02	能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數約成最簡分數。
N-3-03	能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。

三、分年細目詮釋

(一)二年級

數與量

分年細目詮釋

對照

指標

2-n-10

能在平分的情境中，認識分母在12以內的單位分數，並比較不同單位分數的大小。

N-1-09

說明：

分數教學應盡量利用學童對平分與公平的直覺，在學習上應從最容易的「對分」（一半）、「對分再對分」（四分之一）開始，在這種情況，學童也比較可以操作。原則上，應不要將教學時間用在學習等分實際物品的操作上，例如不要求學童實際將一條繩子平分成6份，可透過已經先標記好平分成6份的一條繩子，學童依舊可以理解。但可加入判別等分的教學活動。

例：如下圖，將繩子分成6份，請問其中一段是否為，請解釋其理由？

分數教學有兩種常用模型：「圓形模型」（如披薩）與「線形模型」（如繩子、直尺）。前者比較沒有溝通上的干擾，適合教學；後者因為與測量有關，也很重要。兩者皆應發展。

先從、、等較容易平分的量入手，知道個披薩就是「半個披薩」，個披薩就是「半個披薩的一半」。然後再學習、、…、等一般分母的單位分數。

學童應學會「二分之一」、「三分之一」…的說法，並知道「三分之一」個披薩，就是將一個披薩平分成3片其中的1片，「三分之一」條緞帶，就是將一條緞帶平分成3段其中的1段。並知道「三分之一」個披薩3塊合起來是一個披薩。「三分之一」條緞帶3段合起來，是一條緞帶。

( 作單位分數大小比較時，在感官辨識上，並不容易區分分母較大之單位分數的大小，但從平分的情境中，以分母較小的單位分數比較為基礎，學童應能推理得知一個披薩平分給3人，每人所得到的披薩會比平分給5人的時候多，所以，個披薩＞個披薩。

也可以與1-n-08中，所謂「半點鐘」相連結。

(二)四年級

分年細目詮釋		對照指標
4-n-06	能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。	N-2-06
說明：	(理解分數的「整數相除」意涵（例如2÷3＝、＝2÷3），是分數教學的重要課題，日後一般學童也都只記得分數就是分子除以分母的概念。由於除法有兩種不同的應用情境，在四年級處理較簡單的平分情境（等分除），五年級再處理測量的情境（包含除）。在被除數附上單位的情境裡，比較能順利進行這個課題的教學。 先複習「單位分數」（參見2-n-10，3-n-09，這是在平分情境中進行的），例如：將1個披薩，平分給3個小朋友，每個小朋友分得個披薩，因此1個披薩÷3＝個披薩，簡記成1÷3＝。 討論「如何將2個披薩，平分給3個小朋友？」，歸結到先將每個披薩各平分成3片的方法，再從每個披薩中各取個披薩，但是個披薩有2片，所以應該是個披薩，也就是每個小朋友各分得個披薩，可以讓學童將個披薩總加起來，確定會得2個披薩。在這裡教師一定要迫使學童處理，這樣平分到底是還是的認知衝突（即全體與「個披薩」單位的衝突）。學童必須清楚知道，「2個披薩的三分之一是個披薩」。學童在這一點上能突破，才能較穩定理解分數記號的意義。 也可以再討論「如何將4個披薩，平分給3個小朋友？」（引導出帶分數的結果）、「如何將2個披薩，平分給4個小朋友？」（引導出等值分數）等問題。在具體情境中，讓學童認識有餘數（不准分割之離散量個別單位，如5個糖果分給3個小朋友）與無餘數（准許分割之連續量個別單位，5個披薩平分給3個小朋友）兩者間的不同，進而清楚理解這兩種情境的差別。
4-n-07	能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數倍的計算。	N-2-07
說明：	由本細目，開始發展分數的計算課題，建議分母小於20，且用較常出現的數，如2、3、4、5、8、10、12、15、16、20等。為與小數做連結，應做分母為100、1000等的分數。 由於分數本質上是一種乘除關係，一般其加減計算其實比乘除計算複雜，但是在同分母的情形，可以利用單位分數的點數，與整數的計算完全連結，這就是本細目所處理的所有情形。建議教師先在一固定情境中（如平分披薩），將課題說明清楚並做計算練習後，才開始做其他應用問題（如平分緞帶）。 本細目應處理：（1）將整數點數與分數記號連結起來（例如9個就是）。（2）說明真分數、假分數、帶分數的意義。（3）說明假分數與帶分數的轉換，並理解這與分子除以分母的商與餘數的關係。（4）說明整數的比較與計算如何與同分母的比較與計算連結。 由於同分母分數的比較與加減，與學童的整數經驗完全相同，所以較容易。因此，此細目可作假（真）分數的整數倍，但不作帶分數的整數倍。在說明分數的整數倍時，先確定學童已能接受4-n-06中「若每個小朋友有個披薩，所以3個小朋友（3倍）共有個披薩×3＝2個披薩」的說明。教師可以採用整數乘法的經驗，建立整數倍的計算，也可與「整數相除」的概念連結。簡單整數除數的情況也類似。 透過分解合成，理解加減互逆也可用於分數加減。 理解作帶分數減法時，可能要從整數借1的計算原理。並在以10為分母時，理解這與小數相減借位的原理相通。 本細目處理完後，學童應能理解或計算：＜1＜，是真分數，是假分數。＋＝＝2 ，－＝＝2 。 ×3＝2 ，×3＝。 21÷33＝。（教師指定要寫成分數時）。
4-n-08	能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。	N-2-08 N-2-13
說明：	等值分數是一般分數加減的基礎，也可當做約分、擴分的前置經驗（參見5-n-04）。本細目著重等值分數的概念理解，其計算則應透過5-n-04來完成。可先討論「如何將2個披薩，平分給4個小朋友？」，除了將每個披薩各平分成4片的方法之外，教師也要引導學童理解，這問題相當於「如何將1個披薩，平分給2個小朋友？」。於是可以得到個披薩＝個披薩，簡記成＝。 另外學童應該從具體平分情境中，理解可用再細分的方式，得到個披薩＝＝個披薩。這是擴分的前置經驗，比約分容易操作。在具體的平分情境中（參見4-n-06），知道3個披薩分給9人，相當於1個披薩分給3個人。因此＝3÷9＝1÷3＝。其中3÷9＝1÷3的情況，可以當作因數與約分的前置經驗。等值分數的學習與因數、倍數的學習，不應隔得太遠（參見5-n-03）。 由於本細目僅強調「等值分數」概念的理解，因此在處理比較問題時，只處理分母為2、4、5、8、10、100或1000的分數，這些是比較常用的情形。 先複習＝＝＝…＝1的事實，然後在具體情境中，說明分數等值的理由。可先由分母的倍數差2、4倍的分數先出發（因為切半的操作最簡單）。例如讓學童理解與即為等值分數，並運用等值分數進行簡單異分母分數（限一分母為另一分母之倍數時）的比較，如：＝＞。在這裡也引入＝，與小數相連結。

(三)五年級

分年細目詮釋		對照指標
5-n-04	能用約分、擴分處理等值分數的換算。	N-2-08
說明：	在4-n-08的前置經驗中，僅強調等值分數概念的認識。在本細目教學時，可由具體情境，解釋約分與擴分的意義，然後即應運用因數與倍數來理解約分與擴分，並做等值分數的換算。
5-n-05	能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。	N-2-09
	本細目在小學應以簡單異分母為教學重點，所謂「簡單」係指兩分母滿足以下情況之一（1）分母均為一位數；（2）一分母為另一分母的倍數；（3）乘以2、3、4、5就可以找到兩分母之公倍數（例如兩分母為12與18）。通分是利用約分或擴分，將兩異分母的分數，變成兩同分母之等值分數後，再來做兩同分母分數的比較與加減。由於本細目只作通分概念的認識，並不要求化成最簡分數（參見6-n-02）。所以此時學童在做通分時，可能只是做最簡單的分母相乘，但教師應鼓勵學童盡量將答案約分為較簡單的分數。 注意學童經常發生的錯誤類型：分母與分子各自相加減。 例：當比較，的大小時，由通分分別為及。因此，發現不需算出就可得出。
5-n-06	能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。	N-2-06
說明：	先回顧用測量來理解除法的操作方式（3-n-04中平分線段的例題）。 例：給定一條長繩長度為35公分，以一段長度為4公分的木條去測量並標記（想成要將長繩剪成4公分長的短繩）。由整數計算知35除以4得到8（段），但還剩下3公分。3公分的長度，相當於4公分的，因此可將剩下的3公分的繩子，記成段。於是可以將整個測量結果，記成 35÷4＝8＋（段）或8 （段）。用假分數與帶分數的互換，檢查這個等式的意義（注意到在測量情境中，真分數、假分數與帶分數結合的方式）
5-n-07	能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。	N-2-11
說明：	分數計算的課題，不管是從形式練習面著手，還是從情境說明著手，學童都需要經常練習，兩者俱進，才會熟練。本細目在教學上應先處理帶分數乘以整數的問題，再處理整數乘以分數的情況，最後處理被乘數為一般分數的情形。理解「分數乘以分數」的方式很多，底下只是一些方法的範例，並不表示教師必須全部教完。 在乘數為分數的教學中，最要注意的錯誤類型，是學童認為「乘積一定比被乘數大」，對於這個基於整數計算經驗的錯誤類推，教師需細心處理。最好在最容易理解的「乘數為單位分數」的情況下，就要開始處理。 乘數為分數的教學宜先從單位分數開始。3-n-09中談一數的「幾分之一」是本細目的前置經驗，但不完全相同。「分數倍」的理解比較抽象，可讓學童從已經熟練的直覺與運算上，認識其合理性。 例：1個披薩300元，2個披薩600元等，將幾個轉成幾倍來列式，再問「如果兩個人平分1個披薩（即各吃個披薩），應該各付多少錢？如果三個人各吃個披薩呢？如果五個人各吃個披薩呢？」讓學童理解×、×、×，其實就是二等分（除以2、「的二分之一」、「的一半」）、三等分（除以3、「的三分之一」）、五等分（除以5，「的五分之一」）。在此例要小心「元」這個單位不能再分，因此被乘數必須能被整除。 與上例類似的連續量例子：從測量情境的分數「整數相除」意涵入手，假設作為測量單位的木條長5公分，那麼測量結果，1段就是5公分，2段就是10公分，因此「段」也可以作為倍數來理解，這時問段應該是多長，顯然就應該是5÷2＝公分。如此也可以得到一樣的結果。例：由長方形的面積公式入手（只處理乘數是單位分數，參見4-n-15）。由於邊長是連續量，很適合用在分數與小數的教學，但要注意4-n-15的面積公式邊長都是整數。先固定面積公式中的「長」，例如10公分，看出當「寬」為1與的差別是，後者的總面積是前者總面積（10×1＝10）的三等分，因此應該是10×＝，以此類推。 以上處理單位分數倍的方式，可以建立×就是÷2，×就是÷3的概念。接著，討論乘數分子不為1的情況如倍的情況，先在上述類似具體情境中（面積中可能要用到等積異形），理解這其實就是÷2 ×3或×3 ÷2；或者用測量模型，則×相當於×1 （亦即1段加半段）。並可由此得到一般分數倍的計算方式：5× ＝5×3÷2＝＝。（★）接著，再說明 × ＝×3÷2＝÷2＝＝。（★）如果要一次完成分數乘以分數，也可以深入探討長方形面積公式。例如要處理長為公分，寬為公分的長方形，則可將長方形分割成15個長為公分，寬為公分的小長方形，再將小長方形與邊長1公分的正方形比較，知道其面積是平方公分，因此總面積為×15＝平方公分。
5-n-11	能將分數、小數標記在數線上。	N-2-06 N-2-13
	本細目可在沒有刻度的輔助下標示整數、分數、小數。小數的標示以一位為原則。分數的標示應以如2、3、4、10等簡易分母為教學重點。

(四)六年級

分年細目詮釋		對照指標
6-n-03	能理解除數為分數的意義及其計算方法，並解決生活中的問題。	N-3-03
說明：	分數計算的課題，不管是從形式練習面著手，還是從情境說明著手，學童都需要經常練習，兩者俱進，才會熟練。本細目在教學上可先處理分數除以整數的問題，再處理整數除以分數的情況，最後處理被除數為一般分數的情形。 在除數為分數的教學中，最要注意的錯誤類型，是學童會認為商一定比被除數小，對於這個基於整數計算經驗的錯誤類推，教師需細心處理。最好在最容易理解的「除數為單位分數」的情況下，就要開始處理。先從「分裝」（包含除）的觀點，來處理除以分數的課題。先從單位分數的情況開始。例如：「披薩4個，如果每位小朋友可分得個，共可分給多少人？」，先理解1個披薩，每位小朋友可分得個，則1個披薩可分給3個小朋友，因此÷，相當於3倍，亦即×3，因此可分給12位小朋友。（教師也可以在長度測量的情境中處理這個問題。）例：「披薩4個，如果每位小朋友可分得個，共可分給多少人？」，由於除數變為原來的兩倍，從包含除的經驗知道，÷的結果相當於÷的結果還要再÷2，所以÷的結果，相當於×3 ÷2。結合5-n-07，知道這相當於×。最後將算式記為4÷＝4×＝6。 以上是答案為整數的簡單情形，答案非整數的情形宜以測量問題繼續討論例：「一繩長3公尺，公尺剪成一段，可剪多少段？」，結果依照上面的計算的答案為（段），也就是7段再加上段。由於3－×7＝，的確等於×。因此這與以前處理的結果相同。 如果要將分數除以分數處理到最細緻（教師不見得要說明到這種地步），則需用到通分來說明。例：一繩長1 公尺，以一根長公尺的木條去度量。將1 化成，化成，以公尺為共同單位，問題變成15÷4的問題，答案是3段加段，其中這段是因為剩下的公尺相當於公尺（也就是公尺）的。 由此得到一般的分數計算方式：例如：÷＝×＝＝。（★） 學童一定要理解如何處理商中之真分數部分、餘數與單位量之間的關係。 另外的除法重要課題是下列問題：「半包麵粉50元，1包麵粉多少元？」、「若用一木棒測量一長100公分之物，結果為2段，請問木棒之長度？」、「若班上戴眼鏡的小朋友有9人，佔全班的30％，請問班上有少人？」，這些雖然是「平分」情境中的問題，卻不宜用平分的方式來思考，應改用比例方法解釋。 能在分數的脈絡中，理解乘除互逆，例如：知道×＝，可用×＝來檢驗（也就是知道÷，相當於×）。
6-n-05	能作分數的兩步驟四則混合計算。	N-3-11 A-3-01
說明：	本細目為小學教學關於數與量計算之總結細目。由於學童對分數尚未熟悉，在六年級，只要求學童理解與練習即可。