分數計算TKU94B 陳秀如、楊欣怡

數學本質概念【分數計算】

組員：陳秀如、楊欣怡

目錄：

一至九年級【分數計算】綱要結構 2

壹、分數的比較 4

貳、分數的加減 6

參、分數的乘法 8

肆、分數的除法 12

一至九年級【分數計算】綱要結構

	一年級	二年級	三年級	四年級	五年級	六年級	七年級	八年級	九年級
分數		2-n-10 能在平分的情境中，認識分母在12以內的單位分數，並比較不同單位分數的大小。	3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。	4-n-06 能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。	5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。	6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將分數約成最簡分數。	7-n-11 能以最大公因數、最小公倍數熟練運用至約分、擴分、最簡分數的計算。
				4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數倍的計算。	5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。	6-n-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。	7-n-14 能理解底數為分數且指數為非負整數的計算。
				4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。	5-n-06 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。	6-n-05 能作分數的兩步驟四則混合計算。
					5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。

壹、分數的比較

一、數學結構

分數的計算，包括了一開始利用操作或圖例方式，讓學生做分數大小的比較，而後進入同分母大小比較及異分母大小比較。其中，異分母大小比較一開始可以由簡單的某分母為另一分母整數倍數開始，而後結合因倍數概念進行較複雜之異分母大小比較。

二、認知結構與教學策略

在學生尚未有很多分數計算經驗時，可以利用畫圖或是實際操作方法理解分母相同而分子不同的大小比較及同分子（分子為1），不同分母的分數大小比較。待學生對於分數的意義觀念較完整（約三年級），則開始進入解決同分母分數的比較。而在學生累積相當多處理等值分數的經驗後，在分數相關課程有察覺等值分數的遞移關係，則開始讓學生學習如何將兩個不同分母的分數，透過約、擴分的方法，變成同分母的分數，則以此基礎加入異分母分數的比較。至於分數大小的比較，學生學習的流程如下：

1.在二年級時，學會利用非計算方式理解分數大小的比較，如：

2.三年級時，學會同分母的比較。而同分母的比較包含了兩個部分，一為同單位（分數對分數）大小的比較，如；另一為不同單位量（分數對整數）大小的比較，如；將一盒蛋糕分成4塊盒>2塊。

3.四年級時，學會等值分數進行簡單異分母分數的比較（此時的簡單異分母限制為兩分母中，一分母為另一分母的倍數）。如：與分數的比較大小。分母8恰為分母4的2倍，學生可以利用思維模式了解與大小的比較。

4.五年級時，開始利用所學之公、倍數做約擴分計算，而後利用通分做簡單異分母的比較。而此處所謂的「簡單」指的是分母為以下條件之一：

（1）分母均為一位數。

（2）一分母為另一分母的倍數。

（3）乘以2、3、4、5就可以找到兩分母的公倍數。如：兩分母為12與18。

5.六年級及七年級，開始進入需經過較複雜的通分計算後才可比較大小的計算。

貳、分數的加減

一、數學結構

分數加（減）法與整數加法概念的觀點相同，分數加（減）法概念是指，對於一個一個各種類型的分數加（減）法問題，如同分母的加減、異分母的加減等不同題型，所引發一個一個的解題活動，而由這些解題活動所抽出的共同性質即是分數加（減）法概念。

二、認知結構與教學策略

1.三年級時，開始接觸到分數加減的計算，但此時的加減計算不以形式記號為主，主要以操作為目標（大多利用畫圖或是實際操作練習得之結果）。

2.在四年級，學生開始認識真分數、假分數及帶分數，也學會了帶分數與假分數的互換。因此，開始透過分解合成的過程，讓學生了解加減互逆也可以運用在分數加減上。而到了四年級，也開始教導在計算帶分數減法時，可能要從整數借1的計算原理（一開始是以10為分母，以結合學生先備知識→小數相減借位的原理）。

註：此階段原則上主要在於帶分數借位計算及假分數語帶分數互換練習，所以基本上以同分母加減為主。

3.在五年級後，因為學生已學過最大公因數及最小公倍數的概念，所以開始進入簡單異分母的加減計算。而此處所謂的「簡單」意義與「分數比較」所述相同，指的是分母為以下條件之一：

（1）分母均為一位數。

（2）一分母為另一分母的倍數。

（3）乘以2、3、4、5就可以找到兩分母的公倍數。如：兩分母為12與18。

4.進入六年級後，學生對於最大公因數及最小公倍數運用及意義較了解後，再介紹短除法，以求得兩數的最大公因數及最小公倍數，將此運用於異分母分數加減計算中。

5.進入七年級後，在最大公因數及最小公倍數熟練下，利用其於分數四則運算中，以達到熟練運用於分數計算中。

＊解題策略

要幫助學童了解分數合成分解的意義，可以透過下列方式：1. 親自參與具體活動；2. 旁觀具體活動；3. 透過錄影帶等動態媒體觀察具體活動；4. 觀察具體物；5. 觀看圖片或幻燈片等靜態平面媒體；6. 用語言文字來描述具體活動；7. 用語言文字描述其特性（或特徵）。其中1～6的方式是用實例來架構該表徵的意義，而7是由把大人（專家）的看法和觀點加諸於學童身上。其中1的方式：讓學童親自參考具體活動是最有效建立表徵意義的學習活動，而且學童能長久的記憶。但由於上課時間的壓力，大部份的學習內容教師們無法使用1的方式。另外，所有教師都同意提供實例是幫助學童建立表徵意義最好的手段。
目標導向的發展式數學教學觀認為：學童親自參與具體活動是建立表徵意義最有效的方式，雖然有些表徵不方便讓學童親自進行具體活動，但對於數學教材並非難事。因此主張：教材及教師應布置各種類型的「分數加法問題」，並由學童自行解題才能確實地形成及提昇「分數加法概念」，並認為「教師示範解題----學童模仿」的方式，學童可能是「不了解的死背」的假學習，造成學童日後無法使用這個概念來做為學習其他數學教材的工具。