正比與反比教學活動設計

項目

數 學 科

班級

六年級

人數

30人

主題名稱

1.成正比（2節） 2. 成反比（2節）

設計者

林森國小池佳琪 四維國小張馨之 四維國小高永嘉

教

學

資

源

1. 書籍

1.南一版 數學第十二冊（六下） 第五單元 比例＜91年＞

2.翰林版 數學第十二冊（六下） 第三單元 成正比 網路

（二）網路

1.http://mail.tku.edu.tw/jen/林宜臻老師網站

2.http://residence.educities.edu.tw/wei3128/paper/ratioreference.htm

兒童比例推理研究

3.http://residence.educities.edu.tw/wei3128/paper/ratiocont.htm

比與比值概念形成的學習情境電腦化設計

4 http://192.192.6.114/~bamboo/homepage.html國小數學教育天地

（三）教具

Powerpoint

小白板

色筆

能力指標

具體目標

6-n-07

能認識比和比值，並解決生活中的問題。

6-n-09

能理解正比的現象，並發展正比的概念，解決生活中的問題。

1.學生能從生活事物紀錄問題中兩個數量的變化，並從紀錄中經驗兩數量的對等關係。

2.透過實際操作引導學生察覺兩數量的變化關係及比較，進而認識成正比和成反比的意義。

3.讓學生瞭解成正比和成反比的真正涵義與其代表意義即表示方法。

4.學生能熟悉成正比和成反比的概念。

5.成正比和成反比的應用。

6.觀察出兩數量的變化關係。

7.能由兩數量的對等關係中，認識成正比和成反比關係圖。

8.能應用成正比和成反比概念，解決生活問題。

活動名稱

認識比與比例

適用年級

六年級

教學節數

4節

（160分鐘）

教案設計

林森國小池佳琪 四維國小張馨之 四維國小高永嘉

教材分析

先備知識

1. 第六冊

第7單元：分母為10以內的真分數。

第9單元：分母為20以內的真分數。

2. 第七冊

第8單元：分母為100以內的真分數。

第11單元：認識假分數和大小比較。

3. 第八冊

第6單元：分數與小數的連結。

4. 第九冊

第5單元：用分數表示商及分數的數線。

第8單元：分數的大小比較和等值分數。

5. 第十一冊

第5單元：擴分、約分、通分。

第11單元：認識比和比值的意義與表示法，由比值相等認識相等的比。

本單元教材

1. 經驗兩數量的變化關係，認識比和比值的意義與表示法。

2. 認識兩個數量成比例的關係圖。

3. 應用比例關係，解決日常生活比例問題。

發展教材

國中的比值和比例。

本質概念

1. 比：對等關係就是一種比的概念。對等關係是指兩數量A、B之間，由於某種原因，而產生一種配對關係，因此稱此兩數量是A與B有對等關係。

2. 紀錄A與B之間數量對等關係方法有3種.第一種,用序數表示：（A，B）;

第二種,用「比」的符號表示：「A：B」;第三種,用「比值」表示：如A/B

3. 比例：從生活經驗中的兩數量對應關係，求取對應項的比的比值，當所有對應項比的比值相等時，我們把這兩組數量的比叫做「比例」。

4. 比和比例：「比」是表示兩數量的對應關係，而「比例」是表示兩數量對應關係的變化情形。「比」是「比例」的基礎，而「比例」是「比」的延伸和發展。

5. 比值：對等關係（比）的量化.對等關係（比）的量化是數學上必須的，因為量化後可以比較、運算等等，而比的量化即為比值。例如6:36=6÷36=,也就是說比值就是比的前項除以比的後項所得的商。

6. 應用比例解決有關的問題：生活中有許多「比例」問題，如：蘋果2公斤賣50元，300元可買幾公斤？

7. 比與比例的的內容不只限於數學領域,在其他如自然,甚至社會都有所涉及,因此它的題目也就比較多元化,綜合化.建議老師們一開始可以先以比較生活化的題目,引導學生應用比例的關係求出答案，並不用強迫學生拘泥於某一種解題的策略;但是當學生已經建立基礎的概念之後,就可以嘗試以比較具變化性的題目來刺激學生的思考及運算能力。

學生學習條件分析

1. 認識假分數和大小比較。

2. 認識真分數和大小比較。

3. 能連結分數與小數。

4. 能擴分、約分、通分

5. 知道部分與全體的關係。

6. 知道兩物的相對關係。

參考資料

1. 南一版 六上數學 比例

2. 康軒版 六上數學 比與比值、比例

3. 國編版 六上數學 比值

4. 林宜臻老師 【數學認知結構】

能力指標

具體目標

6-n-07

能認識比和比值，並解決生活中的問題。

6-n-09

能理解正比的現象，並發展正比的概念，解決生活中的問題。

1. 學生能從生活事物紀錄問題中兩個數量的變化，並從紀錄中經驗兩數量的對等關係。

2. 透過實際操作,引導學生察覺兩數量的變化關係及比較，進而認識成正比和成反比的意義。

3. 讓學生瞭解成正比和成反比的真正涵義與其代表意義即表示方法。

4. 學生能熟悉成正比和成反比的概念。

5. 成正比和成反比的應用。

先備能力指標

5-n-12

能認識比率及其應用（含百分率、折）。

延伸能力指標

7-n-16

能理解比例的意義（以實例說明正比、反比關係的意義）。

7-n-17

能熟練比例式的基本運算（含a:b＝c:da/b＝c/d； a:b＝c:dad＝bc； a:b＝c:da＝bk，c＝dk； a/b＝c/dad＝bc； a/b＝c/da＝bk，c＝dk；比的化簡）。

7-n-18

能理解連比和連比例的意義。

7-n-19

能熟練連比例式的應用，如單位換算、三角形面積與邊長或圓面積與半徑間的變化關係。

教 學 活 動 流 程

第一節課

具體

目標

活動主題及進行方式

主要活動與問話

教學資源

一、學生能紀錄問題中兩個數量的變化，並從紀錄中經驗兩數量的對等關係。

複習舊經驗

(複習比的概念)

個 人思考

小 組分享

全班分享

六年十班的奬懲方式是:

每五個蘋果兌換一個奬勵章，

每三個XX，要反省一節下課。

請你把蘋果個數與奬勵張數之間關係的情形記錄下來。

把你的想法寫在白板上並與小組同學分享(教師將不同記法，貼於黑板)。

讓我們看看其他組寫的合不合理。

※ 可能的記法：

• 5:1 10:2 15:3 20:4

蘋果數	5	10	15	20
奬勵張數	1	2	3	4

Powerpoint

小白板

色筆

二、引導學生經驗兩數量的變化關係，進而認識成正比的意義。

關係洞察

個 人思考

小 組分享

全班分享

看到小宇他們拿著蘋果跟老師兌換獎勵章,小君和阿福忍不住拿起奬懲卡加入兌換的行列。小朋友,請再想一想，奬勵章與蘋果數之間可能有什麼樣子的關係呢？

把你的想法寫在白板上並與小組同學分享。

完成奬勵章和蘋果數關係的紀錄表格。

當所有對應項像蘋果數和奬勵章的比值都相同時，我們把這兩組數量的比叫做「成正比」。

請你把數據畫成圖表表示？

小組同學彼此檢查，是不是都畫對了。

三、讓學生瞭解正比的真正涵義與其代表意義。

正誤區辨

個人思考

小組討論

全班分享

噹！噹！噹！下課了，正當大家都玩得很高興的時候,小君看到校工叔叔正為了把學校圍牆刷得美美的而在調油漆呢!

小昆說：

「那如果白油漆變成8公升，這樣藍油漆就要變成6公升囉。」

小宇說：

「是嗎？白油漆增加4公升，藍油漆也要增加4公升才對吧！所以藍油漆應該要有7公升才行。」

J請問誰的說法才是正確的呢？

　□小昆 　□ 小宇

你的理由是

J把你的想法說給小組同學聽，看看說　得合不合理？

Powerpoint

小白板

色筆

四、學生能熟悉比的概念。

概念確認

個人思考

小組討論

全班分享

到了第3節下課時，阿福心想:「既然蘋果數和獎勵章數可以成正比，那麼我們的XX一定也可以和自己的反省節數成正比囉!!」於是阿福請大家把奬懲卡拿出來，一起算算XX的數目，並且把結果紀錄成下面的表格:

J你覺得阿福的想法對不對呢？

□對 □不對

理由是：

J把你的想法說給小組同學聽，看看說　得合不合理？

※它們並不成正比關係,但是學生可能會誤以為只要隨著數量增加，它的積也愈大時，老師要再次強調比值的概念。

Powerpoint

小白板

色筆

五、比的應用。

正誤區辨

個人思考

小組討論

全班分享

下午上完體育課之後，小軒和小祥立刻　衝到合作社買飲料解渴。一瓶250c.c.鋁箔包的寶健賣15元;600c.c.寶特瓶的舒跑賣25元.

J你認為誰說得對呢？

• 小軒 □小祥

理由是：

把你的想法和做法，說給小組的同學聽，看看說得合不合理？

聽聽其他小組的同學的，看看說得合不合理？

※老師可以讓小朋友比較同樣是1c.c.但是舒跑和寶礦力的價錢不一樣;或者運用[250,600]最小公倍數的方法,讓學生透過兩者容量相同但價錢有差異來比較買何者比較划算。

Powerpoint

小白板

色筆

第二節課

具體

目標

活動主題及進行方式

主要活動與問話

教學資源

六、成正比的應用。

概念應用

個人思考

小組討論

全班分享

放學後，小君陪媽媽到黃昏市場去買菜。黃昏市場正巧水果大拍賣，每3顆富士大蘋果只賣100元，媽媽想趁便宜買一些送朋友，如果媽媽要買24顆富士大蘋果，一共要花多少錢呢？

J請問小君的想法對嗎？

□ 想法一 □ 想法二　□ 想法三

你的理由是：

把你的想法和做法，說給小組的同學聽，看看說得合不合理？

聽聽其他小組的同學的，看看說得合不合理？

Powerpoint

小白板

色筆

七、學生能自由發表意見。

個人思考

全班分享

腦力大激盪：小朋友,想想看，我們在日常生活中，還有哪些是成正比的呢？

J把你的想法和做法，說給全班的同學聽，看看說得合不合理？

U如：

1. 鹽的公斤數和價錢成正比。

2. 郵票的張數和價錢。

3. 影子的長度和身高成正比。

Powerpoint

第三節課

具體

目標

活動主題及進行方式

主要活動與問話

教學資源

一、學生能紀錄問題中兩個數量的變化，並從紀錄中經驗兩數量的對等關係，瞭解成反比的關係。

關係洞察

個人思考

小組討論

全班分享

第二天班上同樂會，同學們都帶了許多好吃的東西來和大家分享,其中小祥帶了36支棒棒糖要跟同學分享。

請觀察一下這張圖表，看看數字之間有什麼變化？

J把你的想法和作法與旁邊同學分享，看看說的合不合理。

※兩個相關聯的量（A、B），

1.當A量變化時（2倍、3倍……），

B量也隨之變化（倍、倍），

這樣我們稱A和B的關係為「成反比」。

2.兩量的積一定時，這樣我們稱A和B的關係為「成反比」。

 請你把數據畫成圖表表示？

小組同學彼此檢查，是不是都畫對了。

Powerpoint

小白板

色筆

二、讓學生瞭解正比的真正涵義與其代表意義。

正誤區辨

另一組的小宇帶了48顆巧克力糖來請同學,小宇心想如果一人獨享可得48顆，若分享給3人,每人可得16顆，若分給6人,每人可得8顆，若分給9人，每人可以得到5顆，而這種情形是所謂的「成反比」‧

Powerpoint

小白板

色筆

個人思考

小組討論

全班分享

J你覺得小宇這樣想是對還是錯？

　□對□不對

為什麼：

把你的想法和做法，說給小組的同學聽，看看說得合不合理？

聽聽其他小組的同學的，看看說得合不合理？

三、學生能熟悉成反比的概念

概念確認

個人思考

小組討論

全班分享

小昆也帶了一瓶2000c.c.的飲料來請大家，那如果小昆用50c.c.的杯子喝，,可以倒40杯；用100c.c.的杯子喝，可以倒20杯；用200c.c. 的杯子喝，可以倒10杯；用5 00c.c. 的杯子喝，可以倒4杯‧

Powerpoint

小白板

色筆

J請問小昆這樣想，杯子容量是不是與所需杯數成反比呢？

□　是　　□　不是

為什麼：.

把你的想法和做法，說給小組的同學聽，看看說得合不合理？

聽聽其他小組的同學的，看看說得合不合理？

Powerpoint

小白板

色筆

第四節課

具體

目標

活動主題及進行方式

主要活動與問話

教學資源

四

、

學

生

能

熟

悉

成

反

比

的

概

念

概念應用

個人思考

小組討論

全班分享

小軒想要買一支又酷又炫的新手機，價格8000元，因為價格太昂貴，小軒不敢要求媽媽幫他買，只好自己存錢。如果小軒每天存10元，要存800天；如果每天存20元，……

請完成下表。

存多少錢	10	20	40	80	160
存錢天數	800
手機價格	8000

小組的同學彼此檢查，看看是不是都填對了。

小軒發現存多少錢和存錢天數成反比，請問小軒的發現對嗎？

□對 □不對

為什麼？

把你的想法和做法，說給小組的同學聽，看看說得合不合理。

聽聽其他小組的同學的，看看說得合不合理。

Powerpoint

小白板

色筆

五、學生能自由發表意見。

個人思考

全班分享

腦力大激盪：小朋友,想想看，我們在日常生活中，還有哪些是成反比的呢？

J把你的想法和做法，說給全班的同學聽，看看說得合不合理？

U如：

1.同樣距離下，速度和時間成反比。

2.長方形在相同面積下，長和寬成反比。

Powerpoint

投進球數

１

得分數

２

投進球數與得分數之比值

分給人數

1

2

3

4

6

9

12

18

36

分得顆數

108

54

36

27

18

12

9

6

3