113 年度縣市學生學習能力檢測
數學七年級施測結果報告
國 立 臺 中 教 育 大 學
National Taichung University of Education
測驗統計與適性學習研究中心
中華民國 113 年 12 月
1
壹 、 背 景 與 目 的
一、背景
測驗與評量是教育歷程中十分重要的一環，透過學力檢測可協助師生瞭解學生之
學習成效與升學進路，及早發現待加強學生並啟動積極性教學介入，教育當局亦能評
估施行的相關政策，透過調節教育資源來強化發展教學成效。
107 年開始，桃園市等五縣市以委託形式，由國立臺中教育大學測驗統計與適性
學習研究中心協助辦理縣市學生學習能力檢測試題研發暨資料分析工作，108 年起，
改
以中心自辦學力檢測研發，各縣市依需求參與形式運作，113 年度有基隆市、新北
市、桃園市、新竹縣、新竹市、苗栗縣、臺中市、南投縣、雲林縣、嘉義縣、嘉義市、
臺南市、屏東縣、花蓮縣、澎湖縣以及金門縣等十六縣市共同參與，檢測對象為國民中
小學三年級至八年級學生，檢測科目包含國語文、數學
和英語文。
此份報告係根據檢測分析結果撰寫，現場教師可據以瞭解學生於各評量向度之表
現情形，進而對學生進行適性適才之教學；教育決策者亦可更精準的將相關資源挹注
於需求性相對較高的教育現場，讓教育和教學有效的朝「把每一個孩子帶上來」的方
向前進。
二、目的
(一) 測驗專責單位統一研發試題，降低各縣市命題壓力和研發成本。
(二) 國民小學及國民中學學生學習能力檢測分析結果，協助教師瞭解學生學習概況以
及科目內有待加強之內容向度。
(三) 不同背景變項國民小學及國民中學學生學習能力表現之差異分析，可做為學校輔
導或教育政策研擬之參考。
2
貳 、 參 與 縣 市 與 檢 測 規 模
本年度縣市學生學習能力檢測於
113 年 5 月
30 日進行，數學七年級施測人數為
54,864
人。各縣市在數學七年級之詳細參與情形如下表 2-1 所示。
表 2-1 113 年度國民中學學生學習能力檢測數學七年級縣市參與人數摘要表
參與縣市
報考學生人數
到考人數
缺考人數
基隆市
2,329
2,235
94
桃園市
19,866
19,235
631
苗栗縣
4,219
4,090
129
南投縣
3,551
3,437
114
雲林縣
4,942
4,797
145
嘉義縣
2,256
2,167
89
臺南市
11,709
11,254
455
屏東縣
4,889
4,725
164
花蓮縣
2,448
2,350
98
金門縣
584
574
10
總計
56,793
54,864
1,929
3
參 、 檢 測 對 象 與 檢 測 工 具
一、檢測對象
113 年參與國立臺中教育大學所承辦「國民中學數學七年級學生學習能力檢測」
者為基隆市、桃園市、苗栗縣、南投縣、雲林縣、嘉義縣、臺南市、屏東縣、花蓮縣及
金門縣等十縣市之國民中學七年級學生（未排除資源班及特殊生），應考名冊羅列
56,793 人、實際施測人數 54,864 人，其中男生 29,197 人、女生 27,230 人、未填寫
性別 366 人，整體缺考率約為 3.4%。
根據教育部統計處資料顯示，112 學年我國國民中學校數為 967 校，參與本次學
力檢測計 363 校，約佔全國國民中學總校數之 38%。參照傅仰止、蘇國賢、吳齊殷、
廖培珊、謝淑惠（2018）對臺灣鄉鎮市區類型研究之分類，由於該計畫未包含金門縣
和連江縣，本中心參考傅仰止等人（2018）研究的因子及縣市地區的人口結構，將金
門縣鄉鎮市區類型分類。本次參與數學七年級學力檢測學校之 363 校中隸屬：
✓ 都會核心者（人口密度、專科以上教育、青壯年人口及服務業百分比最高）6 校。
✓ 工商市區（僅次於都會核心之商業高度發展地區）55 校。
✓ 新興市鎮（同時具有活絡的工業生產活動以及商業服務和相關工作能力）86 校。
✓ 傳統產業市鎮（就業人口供給較低、老年居民較多，僅能固守既有的傳統產業）
51 校。
✓ 低度發展鄉鎮（就業人口及教育程度低，老年人口偏多，無明顯工商業活動與發
展）104 校。
✓ 高齡化鄉鎮（工商服務相關屬性最低，較低人口密度與教育程度）43 校。
✓ 偏遠鄉鎮（低度工商業發展，存有最低層教育程度及人數稀少的居民）18 校。
4
二、檢測工具
「國民中學數學七年級學生學習能力檢測」（以下簡稱學力檢測）由國立臺中教
育大學測驗統計與適性學習研究中心邀集數學領域專家教授及現職國民中學教師組成
命審題團隊。本次學力檢測試題包括「評量指標－知識向度」與「評量指標－認知向
度」等兩個向度。其中，評量指標－知識向度包含數與量、空間與形狀與坐標幾何以
及代數與函數等三個指標；評量指標－認知向度包含概念理解、程序執行與解題思考
等三個指標。學力檢測施測之正式題本總題數為 25 題，試題評量架構與試題各面向
之題數分布如表 3-1 所示。
表 3-1 數學領域七年級正式題本評量指標架構與試題之題數分布
認知向度
知識向度
概念理解
程序執行
解題思考
數與量
4
4
5
空間與形狀與坐標幾何
-
-
1
代數與函數
3
7
1
命題團隊為顧及試題分布之均衡性，依概念理解、程序執行與解題思考等三個評
量指標－認知向度；數與量、空間形狀與坐標幾何以及代數與函數等三個評量指標－
知識向度，二個面向進行測驗試題之設計。「數與量」：100 以內的質數；質因數分解
的標準分解式；數（正負整數、分數、小數)的四則混合運算；數的運算規律；數線；
指數的意義；指數律；科學記號；比與比例式；「空間與形狀與坐標幾何」：平面直角坐
標系；「代數與函數」
：代數符號；一元一次方程式的意義、解法與應用；二元一次聯立
方程式的意義、解法與應用；二元一次聯立方程式的幾何意義。詳細試題內容於各評
量指標之分布題數如表 3-2 所示。
5
表 3-2 數學領域七年級施測正式題本於評量指標之題數分析
向度
學習重點
題數
題號
數與量
概念理解
N-7-5、N-7-1、N-7-8、
N-7-3
4 09、11、19、25
程序執行
N-7-5、N-7-3、N-7-4、
N-7-7
4 03、04、10、12
解題思考
N-7-6、N-7-9、N-7-2、
N-7-9、N-7-2
5 05、06、16、22、23
空間與形狀
與坐標幾何
解題思考 G-7-1
1 17
代數與函數
概念理解 A-7-4、A-7-4、A-7-2
3 02、14、21
程序執行
A-7-1、A-7-5、A-7-3、
A-7-6、A-7-5、A-7-1、
A-7-3
7
01、07、08、13、
15、18、20
解題思考 A-7-6
1 24
6
肆 、 試 題 分 析 與 教 學 建 議
本報告先分析「113 年國民中學數學七年級學生學習能力檢測」結果，再針對各試題提
供相關建議，本試卷信度 Cronbach's alpha 值為 0.87，具一致性、穩定性及可靠性。
整份試卷未作答、連續五題以上未作答或答對率低於 0.25，且作答反應中有疑似亂答為
無效樣本者予以刪除，資料整理後納入分析之有效樣本數為 54,623 人，其中各科試題分析
結果呈現時所涉及的名詞分別定義如表 4-1：
表 4-1 試題分析名詞解釋
試題分析名詞
解釋
高分組
參與測驗有效樣本總分排名前 27%之學生。
低分組
參與測驗有效樣本總分排名後 27%之學生。
選答率
參與測驗有效樣本於此試題選答各選項之比率。
通過率
參與測驗有效樣本之試題答對率。
鑑別度
高分組試題答對率與低分組試題答對率之差。
試 題 代 碼 ： 本 次 學 力 檢 測 試 題 分 析 報 告 中 ， 每 道 數 學 題 幹 均 配 有 一 組 試 題 代 碼
「113-Mn
1
-□n
2
-n
3
」。其中，M 表示「數學科」；n
1
表示「n
1
年級」；□表示「知
識向度」（A：數與量；B：空間與形狀與坐標幾何；C：代數與函數）；n
2
表示「認
知向度」（1：概念理解；2：程序執行；3：解題思考）；n
3
表示「題號」（01 表示
第 1 題）。
7
題號
試題代碼
答案
1
113-M7-C2-01
D
學習重點
A-7-1 代數符號：以代數符號表徵交換律、分配律、結合律；一次式的化簡及
同類項；以符號記錄生活中的情境問題。
知識向度
代數與函數
認知向度
程序執行
題目
選答率
選 項
A
B
C
D*
其他
通過率：76%
全 體
0.05
0.10
0.09
0.76
0.00
高分組
0.00
0.02
0.02
0.95
0.00
鑑別度：0.53
低分組
0.15
0.22
0.20
0.42
0.00
一、試題分析
(一) 評量目標
本題給定一元一次式，要求學生化簡算式，評量學生一次式化簡的能力。
(二) 數據說明
1. 整體通過率 76%，高分組答對率 95%，低分組答對率 42%，鑑別度 0.53。
2. 76%的學生選擇正確答案 D；5%的學生選擇 A；10%的學生選擇 B；9%的學生
選擇 C。
(三) 選項及學生表現說明
1. 本題鑑別度為 0.53，正確答案為選項 D，通過率為 76%，顯示近八成的學生已
具備一次式化簡的能力。
2. 有 5%的學生選擇 A (低分組有 15%)，這些學生可能不理解同類項要可以合併，
計算錯誤如下：
2(7
4)
(3
1)
2(3 )
(2 )
6
2
4
x
x
x
x
x
x
x
−
−
− =
−
=
−
=
8
3. 有 10%的學生選擇 B (低分組有 22%)，這些學生可能忘記乘法分配律，計算錯誤
如下：
2(7
4)
(3
1)
2 7
4
3
1 14
4
3
1 11
3
x
x
x
x
x
x
x
−
−
− =
− −
+ =
− −
+ =
−
4. 有 9%的學生選擇 C (低分組有 20%)，這些學生可能忘記乘法分配律，也忘記去
括號時如遇括號前有負號(或減號)則去括號需要變號的原則，計算錯誤如下：
2(7
4)
(3
1)
2 7
4
3
1 14
4
3
1 11
5
x
x
x
x
x
x
x
−
−
− =
− −
− =
− −
− =
−
二、對應學習重點
先備的知識
本題所需的知識
延伸的知識
學習內容
R-6-1
數的計算規律：小學
最 後 應 認 識 (1) 整
數、小數、分數都是
數，享有一樣的計算
規律。(2)整數乘除
計算及規律，因分數
運算更容易理解。
(3)逐漸體會乘法和
除法的計算實為一
體。併入其他教學活
動。
備註：須理解小數和
分數乘除混合計算
時，常用的約分規
則。在生活解題上，
乘法和除法意義不
同，但在計算上兩者
實為一體，學生因此
可提高數學認識之
抽象層次。乘法和除
法視為一體的好處
是計算規律大為簡
A-7-1
代數符號：以代數符
號表徵交換律、分配
律、結合律；一次式
的化簡及同類項；以
符號記錄生活中的
情境問題。
A-8-1
二次式的乘法公式：
2
2
2
(
)
2
a b
a
ab b
+
= +
+
；
2
2
2
(
)
2
a b
a
ab b
−
= −
+
；
2
2
(
)(
)
a b a b
a
b
+
− = −
；
(
)(
)
a
b c
d
ac
ad
bc
bd
+
+
=
+
+
+
。
A-8-2
一元多項式的定義與相關名詞（多
項式、項數、係數、常數項、一次
項、二次項、最高次項、升冪、降
冪）。
9
化。本條目不須另立
獨立單元教學。
三、教學建議
(一) 先複習整數的加減乘除運算。
(二) 複習去括號運算的變號原則：
1.
a
＋(
b
−
c
)＝
a
＋
b
−
c
，例如：8＋(7−5)＝8＋7−5＝10
2.
a
−(
b
−
c
)＝
a
−
b
＋
c
，例如：8−(7−5)＝8−7＋5＝6
3. x 可以代表任意的數，所以 8−(7−x)＝8−7＋x＝x＋1
(三) 複習乘法對減法的分配律：
a
(
b
−
c
)＝
ab
−
ac
。
2(7−3)＝2× 7−2× 3，
(−2)× (8−3)＝−2× 8＋(−2)× (−3)
x 可以代表任意的數，所以
2(x−3)＝2× x − 2× 3
(四) 同類項合併的問題：
1. 5＋5＝5× 2，7＋7＝7× 2，
x 可以代表任意的數，所以 x＋x＝x
× 2＝2x。
2x＋3x＝(x＋x)＋(x＋x＋x)＝x× 5＝5x；
5x−3x＝(x＋x＋x＋x＋x)−(x＋x＋x)＝x× 2＝2x。
2. 可將 x 視為一個單位進行運算，
5 個 x 加上 3 個 x 等於 8 個 x，所以 5x＋3x＝8x；
5 個 x 拿走 3 個 x 等於 2 個 x，所以 5x−3x＝2x。
(五) 下面以「化簡−(𝑥 + 10) − 3(2𝑥 − 6)＝？」為例，說明如何幫助學生做一元一次式
的代數運算。
−(𝑥 + 10) − 3(2𝑥 − 6)
＝(−1) × (𝑥 + 10) + (−3) × [2𝑥 + (−6)]……將一次式的運算符號均改成「+」
＝(−1) × 𝑥 + (−1) × 10 + (−3) × 2𝑥 + (−3) × (−6)……乘法對加法分配律乘開
＝−𝑥 + (−10) + (−6𝑥) + 18……同類項合併
＝−7𝑥 + 8
10
題號
試題代碼
答案
2
113-M7-C1-02
C
學習重點
A-7-4 二元一次聯立方程式的意義：二元一次方程式及其解的意義；具體情
境中列出二元一次方程式；二元一次聯立方程式及其解的意義；具體
情境中列出二元一次聯立方程式。
知識向度
代數與函數
認知向度
概念理解
題目
選答率
選 項
A
B
C*
D
其他
通過率：82%
全 體
0.08
0.05
0.82
0.05
0.00
高分組
0.00
0.00
0.98
0.01
0.00
鑑別度：0.47
低分組
0.21
0.16
0.52
0.12
0.00
一、試題分析
(一) 評量目標
本題給定一個包含兩個未知數 x、y 的情境，要求學生透過未知數間的關係列出二
元一次聯立方程式，評量學生在具體情境中列出二元一次聯立方程式的能力。
(二) 數據說明
1. 整體通過率 82%，高分組答對率 98%，低分組答對率 52%，鑑別度 0.47。
11
2. 82%的學生選擇正確答案 C；8%的學生選擇 A；5%的學生選擇 B；5%的學生選
擇 D。
(三) 選項及學生表現說明
1. 本題鑑別度為 0.47，正確答案為選項 C，通過率為 82%，顯示超過八成的學生
已具備在兩個未知數的具體情境中列出二元一次聯立方程式的能力。
2. 有 8%的學生選擇 A (低分組有 21%)，這些學生可能在列式時對於金額與餐盒數
量的判斷出現錯誤認知，以至於第一式餐盒的總數量寫成等於總金額，第二式金
額的總和則寫成等於餐盒總數，這些學生可能尚未具備從具體情境中列出二元一
次聯立方程式的能力。
3. 有 5%的學生選擇 B (低分組有 16%)，這些學生可能在列式時對於金額與餐盒數
量的判斷出現錯誤認知，以至於第一式中餐盒的總數量寫成等於總金額，第二式
金額的總和不但在不同種餐盒的金額錯誤，後續的金額總和則寫成等於餐盒總
數，這些學生可能尚未具備從具體情境中列出二元一次聯立方程式的能力。
4. 有 5%的學生選擇 D (低分組有 12%)，這些學生可能在第二式金額的總和在不同
種餐盒的金額錯誤，這些學生可能尚未具備從具體情境中列出二元一次聯立方程
式的能力。
二、對應學習重點
先備的知識
本題所需的知識
延伸的知識
學習內容
A-7-2
一元一次方程式的意
義：一元一次方程式
及其解的意義；具體
情境中列出一元一次
方程式。
A-7-4
二元一次聯立方程式
的意義：二元一次方
程式及其解的意義；
具體情境中列出二元
一次方程式；二元一
次聯立方程式及其解
的意義；具體情境中
列出二元一次聯立方
程式。
無
12
三、教學建議
(一) 學生面對情境式的應用問題，容易忽略列式時的單位應一致，教師宜協助學生列式
時更清楚知道式子兩側的單位是否一致。
(二) 以本題為例，進行解題說明：
題目有餐盒數量及總金額，因此第一個方程式以餐盒數量為列式依據，第二個方程
式則以總金額為列式依據。
A 餐盒訂 x 個，B 餐盒訂 y 個，題意顯示總共訂了 24 個餐盒，因此可列出「A 餐
數量+B 餐數量=總餐盒數量」得出關係式為 x+y=24。
而在 A 餐盒定價為 120 元，共訂 x 個，金額就會是 120x 元，同樣的 B 餐盒的總金
額會是 100y 元，題意顯示全部總金額為 2560 元，因此可列出「A 餐金額+B 餐金
額=總金額」得出關係式為 120x+100y=2560。
13
題號
試題代碼
答案
3
113-M7-A2-03
B
學習重點
N-7-5 數線：擴充至含負數的數線；比較數的大小；絕對值的意義；以|a-b|
表示數線上兩點 a,b 的距離。
備註：絕對值引入的目的用於記錄數線上兩點的距離，不處理絕對值方程式和
絕對值不等式。
知識向度
數與量
認知向度
程序執行
題目
選答率
選 項
A
B*
C
D
其他
通過率：72%
全 體
0.07
0.72
0.08
0.13
0.00
高分組
0.00
0.96
0.00
0.03
0.00
鑑別度：0.59
低分組
0.18
0.37
0.21
0.24
0.00
一、試題分析
(一) 評量目標
本題給定數線上四個點座標及其相對位置，要求學生依據題意判斷出點在數線上的
正確位置，評量學生是否具備判斷數線上數的大小的能力。
(二) 數據說明
1. 整體通過率 72%，高分組答對率 96%，低分組答對率 37%，鑑別度 0.59。
2. 72%的學生選擇正確答案 B；7%的學生選擇 A；8%的學生選擇 C；13%的學生
選擇 D。
14
(三) 選項及學生表現說明
1. 本題鑑別度為 0.59，正確答案為選項 B，通過率為 72%，顯示超過七成的學生已
具備判斷數線上數的大小的能力。
2. 有 7%的學生選擇 A (低分組有 18%)，有 8%的學生選擇 C (低分組有 21%)，有
13%的學生選擇 D (低分組有 24%)，這些學生尚未具備判斷數線上數的大小的能
力。
二、對應學習重點
先備的知識
本題所需的知識
延伸的知識
學習內容
N-3-11
整數數線：認識數線，
含報讀與標示。連結
數序、長度、尺的經
驗，理解在數線上做
比較、加、減的意義。
備註：數線須從 0 開
始。運用長度加減法
（N-2-11），理解在
數線上做加、減的意
義。
N-4-8
數線與分數、小數：連
結分小數長度量的經
驗。以標記和簡單的
比較與計算，建立整
數、分數、小數一體的
認識。
備註：標記限一位小
數（相當於分母等於
10）與分母不大於 5
的分數。以等值分數
思維（N-4-6）協助學
生認識整數、分數、小
N-7-5
數線：擴充至含負數
的數線；比較數的大
小；絕對值的意義；以
|a-b|表示數線上兩點
a,b 的距離。
備註：絕對值引入的
目的用於記錄數線上
兩點的距離，不處理
絕對值方程式和絕對
值不等式。
G-8-1
直 角 坐標 系 上兩 點距離 公
式 ： 直 角 坐 標 系 上 兩 點
A(a,b) 和 B(c,d) 的 距 離 為
2
2
(
)
(
)
AB
a
c
b
d
=
−
+
−
；生活上相關問題。
15
數為一體。因初學等
值分數，本條目不處
理分數和小數的混合
計算問題。
三、教學建議
(一) 下面以「A 點的坐標為 0，B 點的坐標為−1
2
3
，C 點的坐標為 3，將 A、B、C 標示
在數線上」為例，說明如何幫助學生解題。
1. 先幫學生複習在數線上標點，例如：0，－1，2，−2
1
3
，-3，5。
－4 －3 －2 －1 0
1
2
3
4
5
6
其中 5＞2＞0＞－1＞−2
1
3
＞-3
2. 要求學生在數線上標出 A(0)，B(−1
2
3
)，C(3)
－4 －3 －2 －1 0
1
2
3
4
5 6
B
C
A
發現−1
2
3
＜0＜3，在數線上由左而右為 B、A、C。
3. 發現越右邊的點表示的數越大，越左邊的點表示的數越小。
16
題號
試題代碼
答案
4
113-M7-A2-04
A
學習重點
N-7-3 負數與數的四則混合運算(含分數、小數)：使用「正、負」表徵生活中
的量；相反數；數的四則混合運算。
知識向度
數與量
認知向度
程序執行
題目
選答率
選 項
A*
B
C
D
其他
通過率：68%
全 體
0.68
0.13
0.14
0.06
0.00
高分組
0.94
0.03
0.03
0.00
0.00
鑑別度：0.64
低分組
0.31
0.25
0.28
0.16
0.00
一、試題分析
(一) 評量目標
本題給定整數的四則運算式，要求學生計算其值，評量學生數的四則混合運算能力。
(二) 數據說明
1. 整體通過率 68%，高分組答對率 94%，低分組答對率 31%，鑑別度 0.64。
2. 68%的學生選擇正確答案 A；13%的學生選擇 B；14%的學生選擇 C；6%的學生
選擇 D。
(三) 選項及學生表現說明
1. 本題鑑別度為 0.64，正確答案為選項 A，通過率為 68%，顯示近七成的學生已
具備數的四則混合運算能力。
2. 有 13%的學生選擇 B (低分組有 25%)，這些學生可能不理解數的運算規律，誤以
為先乘除而後加減，就是要先乘再除，接下來先加再減，得到錯誤算式如下：
(−12) + 12 ÷ (−3) × 4 = (−12) + 12 ÷ (−12) = (−12) + (−1) = −13。
17
3. 有 14%的學生選擇 C (低分組有 28%)，這些學生可能忽略數的運算規律，直接
由左往右算，得到錯誤算式如下：
(−12) + 12 ÷ (−3) × 4 = 0 ÷ (−3) × 4 = 0 × 4 = 0。
4. 有 6%的學生選擇 D (低分組有 16%)，這些學生可能誤用「負負得正」的口訣，
最後計算錯誤如下：
(−12) + 12 ÷ (−3) × 4 = (−12) − 4 × 4 = (−12) + (−16) = 28
二、對應學習重點
先備的知識
本題所需的知識
延伸的知識
學習內容
N-6-3
分數的除法：整數除
以分數、分數除以分
數的意義。最後理解
除以一數等於乘以其
倒數之公式。
備註：可不處理餘數
問題。若要處理，限於
具 體 合 理 的 生 活 情
境。餘數問題不評量。
N-6-4
小數的除法：整數除
以小數、小數除以小
數的意義。直式計算。
教師用位值的概念說
明 直 式 計 算 的 合 理
性。處理商一定比被
除數小的錯誤類型。
備註：可不處理餘數
問題，若要處理，限於
具 體 合 理 的 生 活 情
境，商限定為整數，並
小心在直式計算中處
N-7-3
負數與數的四則混合
運算(含分數、小數)：
使用「正、負」表徵生
活中的量；相反數；數
的四則混合運算。
N-8-1
二次方根：二次方根
的意義；根式的化簡
及四則運算。
備註：可使用乘法公
式來化簡的根式，待
乘 法 公 式 單 元 再 提
及。
18
理餘數問題。餘數問
題不評量。
N-6-5
解題：整數、分數、小
數的四則應用問題。
二到三步驟的應用解
題。含使用概數協助
解題。
備註：含處理分數和
小數混合乘除計算之
常用技巧。
三、教學建議
(一) 下面先說明「多步驟運算次序」的意義，再說明如何幫助學生解題：
1. 多步驟運算次序的意義
「括號先算」、「先乘除後加減」、「由左往右算」都是摘要的說法，它們不是
三個獨立的口訣，它們之間有先後運算的關係，多步驟問題運算次序的約定如下：
步驟一：括號的部分要先算(簡稱為「括號先算」)。
步驟二：包含「乘、除」和「加、減」運算符號的算式，但是沒有括號，先計算
「乘、除」部分，再計算「加、減」。(簡稱為「先乘除後加減」)。
步驟三：當我們要計算乘和除的部分，而沒有括號時，我們要由最左邊開始往右
邊依序計算；當乘除都算完，只剩下加和減的部分，而沒有括號時，我
們要由最左邊開始往右邊依序計算(合併簡稱為由左往右算)。
2. 幫助學生解題
建議教師透過下面的步驟，幫助學生掌握多步驟計算題運算次序的約定。
步驟一：舉例說明兩步驟計算問題的運算次序，兩步驟計算問題只用到「括號先
算」、「先乘除後加減」、「由左往右算」其中一個約定。
(1) 括號先算：13－(2＋5)＝13－7，7×(5－2)＝7×3
(2) 先乘除後加減：5＋3×4＝5＋12，12－6÷2＝12－3
(3) 由左往右算：12＋3－5＝15－5，12÷3×2＝4×2
19
步驟二：舉例說明三步驟計算問題的運算次序
三步驟計算問題同時用到「括號先算」、「先乘除後加減」、
「由左往右算」其中兩個約定。
(1) 括號先算，再先乘除後加減：
21＋(2＋5)×2＝21＋7×2＝21＋14，
42－3×(7－2)＝42－3×5＝42－15
(2) 括號先算，再由左往右算：
21－(3＋5)－2＝21－8－2＝13－2
12－3－(2＋5)＝12－3－7＝9－7
(3) 先乘除後加減，再由左往右算：
12＋3×5－4＝12＋15－4＝27－4
12－3＋12÷2＝12－3＋6＝9＋6
步驟三：舉例說明多步驟計算問題的運算次序
多步驟計算問題可能同時用到「括號先算」、「先乘除後加減」、
「由左往右算」三個約定。
12＋6×4÷(3＋5)＋7
＝12＋6×4÷8＋7
＝12＋24÷8＋7
＝12＋3＋7＝15＋7
步驟四：舉例說明算式中有兩個小括號時，依由左往右算的順序，先算左邊的
小括號，再算右邊的小括號，沒有小括號後，再依「先乘除後加減」、
再「由左往右算」的順序解題。
(14＋16)×12÷(36－30)＋215
＝30×12÷(36－30)＋215
＝30×12÷6＋215
＝360÷6＋215
＝60＋215＝275
步驟五：多舉一些例子，幫助學生熟悉「括號先算」、「先乘除後加減」、
「由左往右算」運算次序的約定。
20
(二) 下面以「(−10) ÷ 5 + 3 × (−4) ÷ 2 =？」為例，說明如何幫助學生解題。
這個算式中，有加法、乘法和除法，要先乘除後加減，計算如下：
(−10) ÷ 5 + 3 × (−4) ÷ 2 = (−2) + (−12) ÷ 2 = (−2) + (−6) = −8
21
題號
試題代碼
答案
5
113-M7-A3-05
B
學習重點
N-7-6 指數的意義：指數為非負整數的次方；a≠0 時 a
0
=1；同底數的大小比
較；指數的運算。
知識向度
數與量
認知向度
解題思考
題目
選答率
選 項
A
B*
C
D
其他
通過率：68%
全 體
0.14
0.68
0.10
0.08
0.00
高分組
0.05
0.91
0.03
0.01
0.00
鑑別度：0.55
低分組
0.26
0.35
0.19
0.19
0.00
一、試題分析
(一) 評量目標
本題給定四個含有次方的相同指數，要求學生判斷哪個數最小，評量學生是否掌握
同指數的大小比較。
(二) 數據說明
1. 整體通過率 68%，高分組答對率 91%，低分組答對率 35%，鑑別度 0.55。
2. 68%的學生選擇正確答案 B；14%的學生選擇 A；10%的學生選擇 C；8%的學生
選擇 D。
(三) 選項及學生表現說明
1. 本題鑑別度為 0.55，正確答案為選項 B，通過率為 68%，顯示近七成的學生已掌
握同指數的大小比較。
22
2. 有 14%的學生選擇 A (低分組有 26%)，這些學生可能對負數的奇數次方運算概
念不清，這些學生可能尚未掌握同指數的大小比較。
3. 有 10%的學生選擇 C (低分組有 19%)，這些學生可能誤以為負數的奇數次方為
正或誤解題意而選擇最大的數。綜合而言，這些學生可能尚未掌握同指數的大小
比較。
4. 有 8%的學生選擇 D (低分組有 19%)，這些學生可能誤以為負數的奇數次方為正
或分數減法計算錯誤。綜合而言，這些學生可能尚未掌握同指數的大小比較。
二、對應學習重點
先備的知識
本題所需的知識
延伸的知識
學習內容
N-6-1
20 以內的質數和質因
數分解：小於 20 的質
數與合數。2、3、5 的
質因數判別法。以短
除 法 做 質 因 數 的 分
解。
備註：被分解數的因
數，在扣除 2、3、5 或
其次方的部分後、只
剩一因數，且此數除
了 49、77 或 91 之外，
只能是 11、13、17 或
19。
N-7-6
指數的意義：指數為
非負整數的次方；a≠0
時 a
0
=1；同底數的大
小比較；指數的運算。
N-8-6
等比數列：等比數列；
給定首項、公比計算
等比數列的一般項。
備註：不處理「已知等
比數列不相鄰某兩項
的值（不含首項），反
求 首 項 、 項 數 或 公
比」，例如：給定 a
5
和
a
9
的值，求首項和公
比。
三、教學建議
(一) 複習指數的意義與運算概念，進而形成運算規則(國中階段不處理「指數為負整數」
的情形)。
1. 指數的意義。設 a 為任一數，n 為正整數，則 n 個 a 相乘以 𝑎
𝑛
表示，讀做 a 的
n 次方，其中 n 為指數，a 為底數。
23
2. 運算概念
(1) 當 a>1 時，若 n 愈大，則
n
a
愈大；當 0 𝑛 愈小。 (2) 當底數為分數時， = n n n b b a a 。 (二) 以本題為例，進行解題說明： 先以底數為整數，指數為奇數 3 2 3 (−2) 3 (−3) 3 3>2>-2>-3 ‖ ‖ ‖ ‖ ↓奇數次方後的大小關係 -27 27>8>-8>-27 大小與底數一致 再以底數為分數，指數為奇數 3 1 2 3 1 3 3 1 2 − 3 1 3 − 1 2 > 1 3 > 1 3 − > 1 2 − ‖ ‖ ‖ ‖ ↓奇數次方後的大小關係 1 8 1 27 1 8 − 1 27 − 1 1 1 1 8 27 27 8 − − 大小與底數一致 可得到結論：在指數是相同的奇數下，當底數越小，其值越小。 1 1 2 3 + > 1 1 2 3 − > 1 1 2 3 − + > 1 1 2 3 − − ，所以 2023 1 1 2 3 − − 最小
3
27 8 -8
24
題號
試題代碼
答案
6
113-M7-A3-06
B
學習重點
N-7-9 比與比例式：比；比例式；正比；反比；相關之基本運算與應用問題，
教學情境應以有意義之比值為例。
備註：不涉及使用繁分數，遇到兩分數之比時，以分數相除處理之。
知識向度
數與量
認知向度
解題思考
題目
選答率
選 項
A
B*
C
D
其他
通過率：67%
全 體
0.12
0.67
0.07
0.14
0.00
高分組
0.01
0.91
0.00
0.08
0.00
鑑別度：0.57
低分組
0.27
0.34
0.20
0.19
0.00
一、試題分析
(一) 評量目標
本題給定游泳池注水時間與上升高度，要求學生算出到達特定高度所需時間，評量
學生是否理解正比與反比。
(二) 數據說明
1. 整體通過率 67%，高分組答對率 91%，低分組答對率 34%，鑑別度 0.57。
2. 67%的學生選擇正確答案 B；12%的學生選擇 A；7%的學生選擇 C；14%的學生
選擇 D。
(三) 選項及學生表現說明
1. 本題鑑別度為 0.57，正確答案為選項 B，通過率為 67%，顯示近七成的學生已具
備理解正比與反比的能力。
25
2. 有 12%的學生選擇 A (低分組有 27%)，這些學生能算出水位的倍數是
100
20
=5，
誤將 5 當成時間，顯示學生可能尚未具備理解正比與反比的能力。
3. 有 7%的學生選擇 C (低分組有 20%)，這些學生能算出水位的倍數是
100
20
=5，但
未弄清楚單位，誤將5 × 30 = 150當成時間，顯示學生可能尚未具備理解正比與
反比的能力。
4. 有 14%的學生選擇 D (低分組有 19%)，這些學生能算出每分鐘注入
100
30
公分，
但未弄清楚單位，誤將
100
30
× 20，顯示學生可能尚未具備理解正比與反比的能力。
二、對應學習重點
先備的知識
本題所需的知識
延伸的知識
學習內容
N-6-6
比與比值：異類量的
比與同類量的比之比
值的意義。理解相等
的比中牽涉到的兩種
倍數關係（比例思考
的基礎）。解決比的應
用問題。
備註：比中各數原則
上為整數，但也可包
含 簡 單 之 小 數 與 分
數。
N-7-9
比與比例式：比；比例
式；正比；反比；相關
之基本運算與應用問
題，教學情境應以有
意義之比值為例。
備註：不涉及使用繁
分數，遇到兩分數之
比時，以分數相除處
理之。
S-8-8
三角形的基本性質：
等腰三角形兩底角相
等；非等腰三角形大
角對大邊，大邊對大
角；三角形兩邊和大
於第三邊；外角等於
其內對角和。
三、教學建議
(一) 講解「正比」與「反比」的意義。
1. 正比：以到水餃店販買水餃為例，說明正比的意義：
假設買 x 顆水餃，所花的錢為 y 元
26
(1) 將每種水餃數量和買水餃的錢的比化為最簡整數比之後，每種情形都是 1：5。
(2) 將每種水餃數量和買水餃的錢化為最簡分數的比值之後，每種情形都是
1
5
。
(3) 由上表可以得到 x：y = 1：5，並推演出
1
5
x
y
= ，或 y = 5x，或
5
y
x
=
。
(4) 給定兩個變數 x、y，當 x 值改變時，y 值也隨著改變，保持 x 值與 y 值的最簡
整數比數=1：k (k≠0)，此時我們稱 x 與 y 成正比，再由比例式 x：y = 1：k
性質可以改寫成 y = kx (或
𝑥
𝑦
=
1
𝑘
)。
2. 反比：以長方形的面積為 60cm
2
為例，探討長與寬的關係為例，說明反比的意
義：設長為 x (cm)，寬為 y (cm)
長 x (cm)
60
30
20
15
12
10
寬 y (cm)
1
2
3
4
5
6
長的倒數
1
x
1
60
1
2
30
60
=
1
3
20
60
=
1
4
15
60
=
1
5
12
60
=
1
6
10
60
=
長：寬
60：1
30：2
=15：1
20：3
15：4
12：5
10：6
=5：3
長的倒數：寬
1
:1
60
1: 60
=
1
: 2
30
1: 60
=
1
: 3
20
1: 60
=
1
: 4
15
1: 60
=
1
: 5
12
1: 60
=
1
: 6
10
1: 60
=
長的倒數：寬
比值(最簡分數)
1
:1
60
1
60
=
1
: 2
30
1
60
=
1
: 3
20
1
60
=
1
: 4
15
1
60
=
1
: 5
12
1
60
=
1
: 6
10
1
60
=
水餃數量 x (顆)
1
2
3
4
5
x
水餃的錢 y (元)
5
10
15
20
25
y
水餃數量 x：買水餃的錢 y
的最簡整數比
1：5
2：10
=1：5
3：15
=1：5
4：20
=1：5
5：25
=1：5
x：y
=1：5
水餃數量 x 與買水餃的錢 y
的比值(最簡分數)
1
5
2
1
10
5
=
3
1
15
5
=
4
1
20
5
=
5
1
25
5
=
1
5
x
y
=