110 年度縣市學生學習能力檢測
數學五年級施測結果報告
國立臺中教育大學
測驗統計與適性學習研究中心
中華民國 111 年 02 月
目錄
貳、 參與縣市與檢測規模 ..............................................................................................................2
參、 檢測對象與檢測工具 ..............................................................................................................3
肆、 試題分析與教學建議 ..............................................................................................................6
伍、 整體學力表現分析 ................................................................................................................76
不同背景變項學生整體學力表現分析 ........................................................................76
國民小學五年級學生於不同能力指標之答對率 ........................................................79
1
壹、 背景與目的
一、背景
測驗與評量是教育歷程中十分重要的一環，透過學力檢測可協助師生瞭解學生之
學習成效與升學進路，及早發現待加強學生並啟動積極性教學介入，教育當局亦能評
估施行的相關政策，透過調節教育資源來強化發展教學成效。
107 年開始，桃園市等
五縣市以委託形式，由國立臺中教育大學測驗統計與適性學習研究中心協助辦理縣市
學生學習能力檢測試題研發暨資料分析工作，
108 年起，改以中心自辦學力檢測研發，
各縣市依需求參與形式運作，
110 年度有基隆市、新北市、桃園市、新竹縣、新竹市、
雲林縣、嘉義縣、嘉義市、臺南市、屏東縣、花蓮縣、澎湖縣以及金門縣等十三縣市
共同參與，檢測對象為國民中小學一年級至八年級學生，檢測科目包含國語文、數學、
英語文和自然。此份報告係根據檢測分析結果撰寫，現場教師可據以瞭解學生於各評
量向度之表現情形，進而對學生進行適性適才之教學；教育決策者亦可更精準的將相
關資源挹注於需求性相對較高的教育現場，讓教育和教學有效的朝「把每一個孩子帶
上來」的方向前進。
二、目的
(一) 測驗專責單位統一研發試題，降低各縣市命題壓力和研發成本。
(二) 國民小學及國民中學學生學習能力檢測分析結果，協助教師瞭解學生學習概況以
及科目內有待加強之內容向度。
(三) 不同背景變項國民小學及國民中學學生學習能力表現之差異分析，可做為學校輔
導或教育政策研擬之參考。
2
貳、 參與縣市與檢測規模
本年度縣市學生學習能力檢測於
110 年 9 月 14 日進行，數學五年級施測人數為
71,025。各縣市在數學五年級之詳細參與情形如下表 2-1 所示：
表
2-1 110 年度國民小學學生學習能力檢測數學五年級縣市參與情形
參與縣市
報名學生人數
到考人數
基隆市
2,411
2,355
新北市
29,150
28,386
新竹縣
5,524
5,409
新竹市
4,411
4,103
雲林縣
4,776
4,670
嘉義市
2,314
2,270
嘉義縣
2,845
2,783
臺南市
12,722
12,470
屏東縣
5,268
5,171
花蓮縣
2,348
2,307
澎湖縣
534
522
金門縣
584
579
總計
72,887
71,025
3
參、 檢測對象與檢測工具
一、檢測對象
110 年參與國立臺中教育大學所承辦「國民小學數學五年級學習能力檢測」者為
基隆市、新北市、新竹縣、新竹市、雲林縣、嘉義縣、嘉義市、臺南市、屏東縣、花
蓮縣、澎湖縣及金門縣等十二縣市之國民小學五年級學生（未排除資源班及特殊生）
，
應考名冊羅列
72,887 人、實際施測人數 71,025 人，其中男生 36,960 人、女生 33,861
人、未填寫性別
204 人，整體缺考率約為 2.6%。
根據教育部統計處資料顯示，
109 學年我國國民小學校數為 2,631 校，參與本次
學力檢測計
1,207 校，約佔全國國民小學總校數之 45.9%。參照傅仰止、蘇國賢、吳
齊殷、廖培珊、謝淑惠
(2018)對臺灣鄉鎮市區類型研究之分類，由於該計畫未包含金
門縣和連江縣，本中心參考傅仰止等人
(2018)研究的因子及縣市地區的人口結構，將
金門縣鄉鎮市區類型分類。本次參與數學五年級學力檢測學校之
1,207 校中隸屬都會
核心者（人口密度、專科以上教育、青壯年人口及服務業百分比最高）
23 校、工商市
區（僅次於都會核心之商業高度發展地區）
131 校、新興市鎮（同時具有活絡的工業
生產活動以及商業服務和相關工作能力）
160 校、傳統產業市鎮（就業人口供給較低、
老年居民較多，僅能固守既有的傳統產業）
149 校、低度發展鄉鎮（就業人口及教育
程度低，老年人口偏多，無明顯工商業活動與發展）
250 校、高齡化鄉鎮（工商服務
相關屬性最低，較低人口密度與教育程度）
374 校、偏遠鄉鎮（低度工商業發展，存
有最低層教育程度及人數稀少的居民）
120 校。
4
二、檢測工具
「國民小學數學五年級學習能力檢測」（以下簡稱學力檢測）是由國立臺南大學
教育系教授邀集臺南市現職國民小學教師組成命題團隊，一同編製、檢視而成。本次
學力檢測試題包括「評量指標
-知識向度」與「評量指標-認知向度」等兩個向度。其
中，評量指標
-知識向度包含數與計算、量與實測、幾何以及代數等四個向度；評量指
標
-認知向度包含概念理解、程序執行與解題思考等三個向度。學力檢測施測之正式題
本總題數為
25 題，試題評量架構與試題各面向之題數分布如下表 3-1 所示。
表
3-1 數學領域五年級正式題本評量指標架構與試題之題數分布
認知向度
知識向度
概念理解
程序執行
解題思考
數與計算
5
6
3
量與實測
0
2
1
幾何
3
0
2
代數
1
0
2
(一) 評量架構
命題團隊為顧及試題分布之均衡性，依概念理解、程序執行與解題思考等三
個評量指標
-認知向度；數與計算、量與實測以及幾何等三個評量指標-知識向度，
二個面向進行測驗試題之設計。
「數與計算」包括在具體情境中的整數的四則與
混合計算、因數與倍數（含公因數、公倍數、最大公因數與最小公倍數）
、分數
的擴分、約分以及四則運算、數線上的分數與小數、運用小數的加、減與乘法解
決生活中的問題；
「量與實測」包括體積單位「立方公尺」
、
「立方公分」以及「立
方公尺」的換算與解決日常生活的問題；
「幾何」包括三角形的性質（內角和、
邊長關係）
、扇形與圓心角、平面圖形的面積公式、長方體和正方體的體積公式、
長方體和正方體的表面積；
「代數」包括能在具體情境中，理解乘法對加法的分
配律與其他乘除混合計算之性質，並運用於簡化計算。詳細試題內容於各評量指
標之分布題數如下表
3-2 所示：
5
表 3-2 數學領域五年級施測正式題本於評量指標之題數分析
向度
能力指標
題數
題號
數與計算
概念理解
5-n-05、5-n-08、5-n-11、
5-n-13
5
1、2、4、12、24
程序執行
5-n-01、5-n-03、5-n-06、
5-n-07、5-n-08、5-n-13
6
3、7、10、13、
15、16
解題思考
5-n-02、5-n-09、5-n-12
3
5、11、21
量與實測
程序執行
5-n-15
2
9、23
解題思考
5-n-18
1
8
幾何
概念理解
5-s-01、5-s-03、5-s-04
3
6、19、25
解題思考
5-s-01、5-s-02
2
14、20
代數
概念理解
5-a-01
1
18
解題思考
5-a-01、5-a-03
2
17、22
(二) 預試
國民小學數學五年級學習能力檢測於
110 年 3 月 2 日至 110 年 3 月 19 日間
進行預試，預試樣本為基隆市、新北市、雲林縣、嘉義縣、屏東縣及金門縣之國
民小學六年級學生共
1,147 人。預試資料回收後先進行初步資料整理，後進行選
答率、鑑別度以及通過率分析。分析後召開試題修審會議，符合
(1)正確選項之選
答率低於錯誤選項之選答率；
(2)鑑別度低於 0.15；(3)錯誤選項之選答率過低三
標準任一項的試題，由命審題委員提出討論並視需要進行修正。
6
肆、 試題分析與教學建議
報告先分析「
110 年國民小學數學五年級學生學習能力檢測」結果，再針對各試
題提供相關建議。
整份試卷未作答、連續五題或五題以上未作答和答對率低於
0.25，且作答反應中
有疑似亂答者為無效樣本，予以刪除，最終納入分析之有效樣本數為
70,548 人，其
中各科試題分析結果呈現時所涉及的名詞分別定義如下表
4-1：
表
4-1 試題分析名詞解釋
高分組
參與測驗有效樣本總分排名前
27%之學生。
低分組
參與測驗有效樣本總分排名後
27%之學生。
選答率
參與測驗有效樣本於此試題選答各選項之比率。
通過率
參與測驗有效樣本之試題答對率。
鑑別度
高分組試題答對率與低分組試題答對率之差。
試題代碼：本次學力檢測試題分析報告中，每道數學題幹均配有一組試題代碼
「
110-Mn
1
-□n
2
-n
3
」。其中，M 表示「數學科」；n
1
表示「
n
1
年級」；□表示「知識
向度」（A ：數與計算；B：量與實測；C：幾何；D：代數）；n
2
表示「認知向度」
（
1：概念理解；2：程序執行；3：解題思考）；n
3
表示「題號」（
01 表示第 1 題）。
7
題號
試題代碼
答案
1
110-M5-A1-01
2
評量指標
5-n-05 能認識兩數的公因數、公倍數、最大公因數與最小公倍數。
知識向度
數與計算
認知向度
概念理解
題目
已知「
1、2、3、4、6、8、12、24」是 24 所有的因數。
請問下列何者是
24 和 42 的最大公因數？
①
3
②
6
③
8
④
12
選答率
選
項
1
2*
3
4
其他
通過率：
77%
全
體
0.04
0.77
0.05
0.14
0.00
高分組
0.01
0.92
0.03
0.05
0.00
鑑別度：
0.35
低分組
0.08
0.57
0.09
0.26
0.00
一、試題分析
(一) 評量目標說明
本題給定
24 的所有因數，要求學生找出 24 和 42 的最大公因數，評量學生找出
兩數最大因數的能力。
(二) 選項及學生表現說明
1.本題鑑別度為 0.35，正確答案為選項②，通過率為 77%，顯示近八成的學生已
具備找出兩數最大因數的能力。
2.有 4%的學生選擇選項①(低分組有 8%)，5%的學生選擇選項③(低分組有 9%)，
14%的學生選擇選項④(低分組有 26%)，這些學生可能不具備找出兩數最大公
因數的能力；也可能已具備找出兩數最大公因數的能力，但是在判斷該數是否
為
42 因數時計算發生錯誤；也可能先找出 42 所有的因數後，再找出兩數的公
因數，但是在找出
42 所有因數時計算發生錯誤。
二、對應能力指標（
97 課綱分年細目）
先備的知識
本題所需的知識
延伸的知識
分年細目
2-n-08
能理解九九乘法。
5-n-05
能 認 識 兩 數 的 公 因
數、公倍數、最大公因
數與最小公倍數。
6-n-02
能用短除法求兩數的
最大公因數、最小公
倍數。
三、教學建議
(一) 錯誤類型的可能原因
1.學生可能無法掌握公因數的意義，先找出 42 所有的因數後，再找出兩數的公因
數，因為找
42 所有的因數計算繁雜，可能在計算發生錯誤。
2.學生可能不知道公因數是兩數共同的因數，只要逐一判斷給定 24 的因數是否
8
也是
42 的因數，即可找出 24 和 42 的公因數及最大公因數。
(二) 核心概念與本題的教學重點
1.本學習內容限制五年級透過列出兩數所有因數的方式，尋找兩數的公因數及最
大公因數；透過列出兩數部份倍數的方式，尋找兩數的公倍數及最小公倍數。
2.國小五年級引入因數問題時，給定的數字多在九九乘法的範圍，因此部份教師
喜歡透過乘法算式幫助學生認識因數。建議教師必須提供學生利用除法判斷因
數的解題經驗，因為當數字變大時，無法直接利用乘法算式找出因數，以「
23
是否為
12581 的因數」為例，學生不易透過乘法算式「23×( )＝12581」來判
斷，必須透過除法算式「
12581÷23」來判斷。
3.以「求 18 和 24 的所有公因數」為例，有兩種解題的方法。
方法一：分別求出
18 和 24 的所有因數，再找出共同的因數 1、2、3、6，共
同的因數為
18 和 24 的公因數。
方法二：先求出
18 所有的因數 1、2、3、6、9、18，再判斷這些數是否為 24
的因數。
1、2、3、6 是 18 的因數，也是 24 的因數，所以 1、2、3、6 是 18
和
24 的公因數。
教師應引入方法二，幫助學生簡化求公因數的解題過程。
4.當學生求出 1、2、3、6 是 18 和 24 的公因數，6 是 18 和 24 的最大公因數後，
教師應幫助學生認識公因數 1、2、3、6 是最大公因數 6 的因數，為六年級利用
短除法解公因數的文字題鋪路。六年級利用短除法解題時，只能求出最大公因
數，無法求出所有的公因數。
9
題號
試題代碼
答案
2
110-M5-A1-02
2
評量指標
5-n-11 能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題。
知識向度
數與計算
認知向度
概念理解
題目
已知「
1.325 98.8 130.91
」，請問
1325 988
？
①
13091000
②
1309100
③
130910
④
13091
選答率
選
項
1
2*
3
4
其他
通過率：
69%
全
體
0.08
0.69
0.08
0.16
0.00
高分組
0.03
0.88
0.02
0.06
0.00
鑑別度：
0.41
低分組
0.12
0.48
0.14
0.26
0.01
一、試題分析
(一) 評量目標說明
本題給定三位小數乘以一位小數的算式，要求學生算出相同數字整數相乘的積，
評量學生利用小數乘法直式計算解題的能力。
(二) 選項及學生表現說明
1.本題鑑別度為 0.41，正確答案為選項②，通過率為 69%，顯示近七成的學生已
具備利用小數乘法直式計算解題的能力。
2.有 16%的學生選擇選項④(低分組有 26%)，這些學生可能尚未具備利用小數乘
法直式計算解題的能力；這些學生可能知道
m 位小數乘以 n 位小數時，算出相
同數字整數的乘積後，小數點要移
(m＋n)位，但是記錯小數點移位的方向，1.325
小數點左邊只有一個數字，看成一位小數，98.8 小數點左邊有二個數字，看成
二位小數，因此將
130.91 的小數點往左移三位，得到 13091 的答案；也可能認
為
1.325×98.8＝130.91，將它轉換成整數乘法 1325×988 時，只要把三位小數乘以
一位小數的積變成整數即可，得到
13091 的答案。
3.有 8%的學生選擇選項③(低分組有 14%)，這些學生可能尚未具備利用小數乘法
直式計算解題的能力；也可能只注意被乘數是三位小數，因此將積
130.91 的小
數點往右移三位，得到
130910 的答案。
4.有 8%的學生選擇選項①(低分組有 12%)，這些學生可能尚未具備利用小數乘法
直式計算解題的能力；也可能已具備利用小數乘法直式計算解題的能力，但在
移位時點數發生錯誤。
10
二、對應能力指標（
97 課綱分年細目）
先備的知識
本題所需的知識
延伸的知識
分年細目
4-n-12
能用直式處理二位小
數加、減與整數倍的
計算，並解決生活中
的問題。
5-n-11
能用直式處理乘數是
小數的計算，並解決
生活中的問題。
6-n-08
能在具體情境中，解
決 小 數 的 兩 步 驟 問
題，並能併式計算。
三、教學建議
(一) 錯誤類型的可能原因
1.以「1.32598.8」為例，學生算出「1325988＝1309100」後，因為整數乘積
1309100 中沒有小數點，學生可能混淆小數點移位的關係，不知道該由最右邊
的數字 0 往左移 4 位，或由最左邊的數字 1 往右移 4 位。
2.小數乘法中，積的小數位數＝被乘數的小數位數＋乘數的小數位數。
部分學生可能尚未察覺「
m 位小數乘以 n 位小數，小數點向左移(m＋n)位」的
關係。
3.學生無法應用「m 位小數乘以 n 位小數，小數點向左移(m＋n)位」的概念，解
決反向問題。
以「
1.32598.8＝130.91」為例，1.325 是三位小數，98.8 是一位小數，三位小
數乘以一位小數，是「
1325×988」乘積的小數點向左移(3＋1)位，也就是移 4 位。
反之，
「
1325×988」是「1.32598.8」乘積的小數點向右移(3＋1)位，也就是移
4 位。
4.本題也可以利用估算的方式來解題，1325988 的積很接近 13251000，
13251000＝1325000，選項的答案最接近 1325000。
(二) 核心概念與本題的教學重點
1.下面以「245×381＝93345，2.45×3.81＝( )」為例，說明如何進行小數乘法的
教學。
建議教師先幫助學生理解三位整數乘以三位整數乘法直式算則的意義以及能正
確算出「245×380＝93100」後，再依照下面步驟幫助學生解題：
步驟一：幫助學生看到整數除以 10、100、1000、10000 等數，商的小數點位置
移位的關係。
24689. ÷1 ＝24689.
24689. ÷10 ＝2468.9
24689. ÷100 ＝246.89
24689. ÷1000 ＝24.689
24689. ÷10000＝2.4689
步驟二：透過比對小數乘以小數乘法直式算式和改記成分數乘以分數逐次減項
的算式，幫助學生理解小數乘以小數乘法直式算則解題的意義。
11
2.45×3.81＝
245
100 ×
381
100
＝
245×381
100×100 (先算出 245×381＝93345)
＝
93345
10000
＝
93345÷10000
＝
9.3345
步驟三：將步驟二的解題活動改記成直式。
步驟四：幫助學生察覺「
m 位小數乘以 n 位小數，小數點向左移(m＋n)位」的
關係。小數乘法中，積的小數位數＝被乘數的小數位數＋乘數的小數
位數。以
2.45×3.81 為例，2.45 是二位小數，3.81 也是二位小數，二位
小數乘以二位小數，是
735×245 乘積的小數點向左移(2＋2)位，也就
是移
4 位。
步驟五：當學生累積相當多「
m 位小數乘以 n 位小數，小數點向左移(m＋n)位」
的解題經驗後，教師重新布題－給定三位整數乘以三位整數及積的算
式，要求學生將它們改記成相同數字的二位小數乘以二位小數的積。
例如：
「
245×381＝93345，2.45×3.81＝( )」
。此部分教學重點在於幫
助學生察覺「
2.45×3.81」和「245×381＝93345」乘積間的小數點移位
的關係。
2.當學生掌握小數乘以小數乘法直式算則解題的意義後，教師應幫助學生理解小
數乘法中，積的小數位數＝被乘數的小數位數＋乘數的小數位數。
以「
4.3×1.5＝？」為例，「4.3」是一位小數，「1.5」也是一位小數，在計算一位
小數乘以一位小數時，先算出「
43×15＝645.」
，再將乘積的小數點向左移
(1＋1)
位，也就是移
2 位，就能得到「4.3×1.5＝6.45」。
再以「
2.38×1.6＝？」為例，「2.38」是二位小數，「1.6」是一位小數，計算二位
小數乘以一位小數時，先算出「
238×16＝3808.」
，再將乘積的小數點向左移
(2＋
1)位，也就是移 3 位，就能得到「2.38×1.6＝3.808」。
列出直式
245×381 的乘積
小數點往左移
4 位
2. 4
5
2. 4
5
2. 4
5
×
3.
3
8
1 ×
3.
8 1 ×
3.
8 1
2
4
5
2
4
5
1
9
6
0
1
9
6
0
7
3
5
7
3
5
9
3
3
4
5
9. 3
3
4
5
12
題號
試題代碼
答案
3
110-M5-A2-03
4
評量指標
5-n-01 能熟練整數乘、除的直式計算。
知識向度
數與計算
認知向度
程序執行
題目
工廠生產
43000 個花片，每 400 個花片裝成一箱，最多可以裝成幾箱？
剩下幾個花片？
①
裝成 17 箱，剩下 2 個花片
②
裝成 17 箱，剩下 200 個花片
③
裝成 107 箱，剩下 2 個花片
④
裝成 107 箱，剩下 200 個花片
選答率
選
項
1
2
3
4*
其他
通過率：
68%
全
體
0.04
0.14
0.14
0.68
0.00
高分組
0.01
0.05
0.09
0.85
0.00
鑑別度：
0.40
低分組
0.10
0.25
0.20
0.45
0.01
一、試題分析
(一) 評量目標說明
本題是被除數及除數數字後面有多個
0 的包含除問題，要求學生算出商及餘數，
評量學生利用整數除法直式計算解題的能力。
(二) 選項及學生表現說明
1.本題鑑別度為 0.4，正確答案為選項④，通過率為 68%，顯示近七成的學生已具
備利用整數除法直式計算解題的能力。
2.有 4%的學生選擇選項①(低分組有 10%)，這些學生可能不具備利用整數除法直
式計算解題的能力，將
43000÷400 轉換成 430÷4 後，計算 430÷4 時商忘了補 0，
得到商是
17，且直接以 430÷4 的餘數 2 為餘數。
3.有 14%的學生選擇選項②(低分組有 25%)，這些學生可能不具備利用整數除法
直式計算解題的能力，將
43000÷400 轉換成 430÷4 後，計算 430÷4 時商忘了補
0，得到商是 17，但是他們有將 430÷4 的餘數 2 轉換成 200。
4.有 14%的學生選擇選項③(低分組有 20%)，這些學生可能不具備利用整數除法
直式計算解題的能力，將
43000÷400 轉換成 430÷4 後，正確算出 430÷4 的商 107
和餘數
2，但直接以 430÷4 的餘數 2 為餘數。
二、對應能力指標（
97 課綱分年細目）
先備的知識
本題所需的知識
延伸的知識
分年細目
4-n-03
能熟練較大位數的乘
除直式計算。
5-n-01
能熟練整數乘、除的
直式計算。
6-n-06
能用直式處理小數除
法的計算，並解決生
活中的問題。
13
三、教學建議
(一) 錯誤類型的可能原因
1.學生在做多位數除法問題時，常常會在不夠除時，商忘了補 0，而繼續往下算。
2.學生不理解被除數和除數同時換單位的解題方法，不知道將 43000÷400 轉換成
430÷4，指的是將被除數 43000 和除數 400 同時轉換成以 100 為單位，因此 430÷4
的餘數
2 指的是 2 個 100，也就是 200。
(二) 核心概念與本題的教學重點
1.此評量指標為 4-n-03 之後續學習概念，故學生應該已經熟練二位數乘以二位數
的直式計算，也熟練四位數乘以一位數、二位數乘以三位數、三位數乘以二位
數的直式計算；應該也已經熟練四位數除以一位數、三位數除以二位數的直式
計算。而指標
5-n-01 為整數乘、除直式計算的總結。評量時不宜出現太多位數
的大數，學生只要熟悉「四位數乘以三位數以內」；「四位數除以三位數以內」
的計算即可。
2.以「6000÷700＝( )…( )」為例，說明如何幫助學生解題。
(1)先布問題「60 張百元鈔票，每人分 7 張，最多可以分給多少人？還剩下幾張
百元鈔票？也就是多少元？」
。
學生可以利用「
60÷7＝8…4」，得到可以分給 8 人，還剩下 4 張百元鈔票也
就是
400 元的答案。
(2)再布問題「6000 元，每人分 700 元，最多可以分給多少人？還剩下多少元？」
，
限制學生必須將
6000 元和 700 元都換成 100 元鈔票後再計算，學生將 6000
元換成
60 張 100 元，將 700 元換成 7 張 100 元，透過「60÷7＝8…4」，算出
可以分給
8 人，還剩下 4 張百元鈔票，也就是 400 元。教師可以說明此方法
是將被除數和除數同時換成以
100 為單位的算法。
3.教師可引導學生利用被除數和除數同時換單位的算法來檢驗較大數字除法計算
的合理性。以檢驗「
63300÷422=15」答案的合理性為例，因為 63300÷422 的商
大約等於
60000÷400＝600÷4＝150，所以「63300÷422=15」答案不合理。
14
題號
試題代碼
答案
4
110-M5-A1-04
4
評量指標
5-n-13 能將分數、小數標記在數線上。
知識向度
數與計算
認知向度
概念理解
題目
數線上
A、B 兩點位置所標示的數字分別是 5.3、8.3。
數線上
C、D 兩點位置所標示的數字分別是 85.3、88.3。
數線上
E、F 兩點位置所標示的數字分別是 725.3、728.3。
請問哪兩點的距離最長？
①
A 點和 B 點
②
C 點和 D 點
③
E 點和 F 點
④
它們的距離一樣長
選答率
選
項
1
2
3
4*
其他
通過率：
67%
全
體
0.09
0.06
0.18
0.67
0.00
高分組
0.02
0.01
0.04
0.94
0.00
鑑別度：
0.58
低分組
0.19
0.13
0.32
0.36
0.01
一、試題分析
(一) 評量目標說明
本題給定
3 組在數線上標示兩點小數坐標的情境，要求學生比較哪組兩點的距
離最長，評量學生在小數數線上做加、減操作的能力。
(二) 選項及學生表現說明
1.本題鑑別度為 0.58，正確答案為選項④，通過率為 67%，顯示近七成的學生已
具備計算小數數線上給定坐標兩點距離的能力。
2.有 18%的學生選擇選項③(低分組有 32%)，這些學生可能尚未具備計算小數數
線上給定坐標兩點距離的能力，誤以為標示的數字愈大時兩點間的距離就愈大。
3.有 9%的學生選擇選項①(低分組有 19%)、有 6%的學生選擇選項②(低分組有
13%)，這些學生可能尚未具備計算小數數線上給定坐標兩點距離的能力。
二、對應能力指標（
97 課綱分年細目）
先備的知識
本題所需的知識
延伸的知識
分年細目
4-n-10
能將簡單分數標記在
數線上。
5-n-13
能將分數、小數標記
在數線上。
7-n-08
能理解數線，數線上
兩點的距離公式，及
能藉數線上數的位置
驗證數的大小關係
15
三、教學建議
(一) 錯誤類型的可能原因
1.學生無法進行數線上的刻度和長度間的轉換關係，例如看到刻度 5.67 時，無法
將刻度
5.67 轉換乘刻度 0 和刻度 5.67 的距離是 5.67 的關係。
2.學生可能利用兩點數字的大小來判斷兩點的距離，誤認為標示的數字愈大時兩
點間的距離就愈大。
3.三年級第 14 題「數線上 A、B 兩點位置標示的數字是 12、18。數線上 C、D 兩
點位置標示的數字是
312、318。數線上 E、F 兩點位置標示的數字是 7512、
7518。請問哪兩點的距離最長？」；四年級第 12 題「數線上 A、B 兩點位置標
示的數字是
1
2
5
、
4
3
5
。數線上
C、D 兩點位置標示的數字是
1
12
5
、
4
13
5
。
數線上
E、F 兩點位置標示的數字是
1
102
5
、
4
103
5
。請問哪兩點的距離最長？」
都是求兩點距離的題目，三年級給的數字是整數，四年級給的數字是同分母的
分數，五年級給的數字是小數。
由上面的數據可以發現，三年級無法解決兩點距離的學生，到五年級還是無法
解決。
(二) 核心概念與本題的教學重點
1.刻度和距離
可以利用直尺測量物長的經驗來認識數線，例如透過直尺測量物長是
5 公分，
指的是刻度
5 和刻度 0 的距離是 5 公分，幫助學生認識數線上的刻度 5 有下列
兩種意義：
(1)在數線上的位置(或坐標)是 5。
(2)和原點 0 的距離是 5。
再以「數線上
A、B 兩點位置標示的數字是 12、18」為例，教師可以先說明
12 指的是 0 和 12 的距離是 12，18 指的是 0 和 18 的距離是 18，可以利用 18
－
12＝6 算出數線上 12 和 18 兩點的距離是 6。
選擇數字大
距離長
三年級
四年級
五年級
通過率
(%)
23
19
18
高分組
(%)
06
06
04
低分組
(%)
40
35
32
三年級
四年級
五年級
通過率
(%)
66
69
67
高分組
(%)
93
92
94
低分組
(%)
33
39
36
16
相同的方式，可以算出
5.3、8.3 兩點的距離，以及 85.3、88.3 和 725.3、728.3
兩點的距離都相等。
2.整數數線
教師可以透過下列方法繪製數線，幫助學生理解整數數線的意義。
步驟一：先利用直尺上的公分刻度繪製有刻度的數線，並標示相鄰兩刻度間的
距離都是
1(單位)。
步驟二：再幫助學生將最左邊的刻度上標示
0，在和 0 距離 1 的刻度上標示
1，在和 0 距離 2 的刻度上標示 2，在和 0 距離 3 的刻度上標示 3，以
此類推。
步驟三：說明相鄰兩刻度的距離都是
1(單位)，刻度 5 和 0 的距離是 5(單位)。
3.小數數線
教師可以透過下列方法幫助學生理解小數數線：
步驟一：以
1 公分為單位，利用直尺上的公分刻度繪製整數數線，並說明刻度
1 指的是 0 和 1 的距離是 1，刻度 2 指的是 0 和 2 的距離是 2，……。
幫助學生理解整數數線的意義。
步驟二：以
10 公分為 1 單位，1 公分為 0.1 單位，利用直尺上的公分刻度，幫
助學生理解小數數線的意義。如下所示：
步驟三：將一位純小數標示在小數數線上，並理解刻度
0.1 和刻度 0 的距離是
0.1 單位，刻度 0.5 和刻度 0 的距離是 5 個 0.1 單位，也就是 0.5 單
位，
……。如下所示：
17
步驟四：將小數數線擴充至
1 以上。
18
題號
試題代碼
答案
5
110-M5-A1-05
4
評量指標
5-n-02 能在具體情境中，解決三步驟問題，並能併式計算。
知識向度
數與計算
認知向度
概念理解
題目
「媽媽把
1200 毫升的紅茶和 900 毫升的牛奶混合成奶茶後，平分裝成
6 杯。哥哥喝了 2 杯，請問他喝了多少毫升的奶茶？」
下列哪個算式可以算出正確答案？
①
1200 6 900 6
②
1200 900 6 2
③
(1200 900) 6 2
④
(1200 900) 6 2
選答率
選
項
1
2
3
4*
其他
通過率：
62%
全
體
0.03
0.07
0.28
0.62
0.00
高分組
0.00
0.02
0.07
0.90
0.00
鑑別度：
0.59
低分組
0.07
0.14
0.47
0.31
0.01
一、試題分析
(一) 評量目標說明
本題是先加後除再乘的三步驟問題，要求學生選出解題的算式，評量學生三步
驟問題列式的能力。
(二) 選項及學生表現說明
1.本題鑑別度為 0.59，正確答案為選項④，通過率為 62%，顯示超過六成的學生
已具備三步驟問題列式的能力。
2.有 3%的學生選擇選項①(低分組有 7%)，這些學生可能不具備三步驟問題列式
的能力。
3.有 7%的學生選擇選項②(低分組有 14%)，這些學生可能已具備三步驟問題列式
的能力，但是沒有注意「括號先算」運算次序的約定，沒有將先加的兩數加上
括號。
4.有 28%的學生選擇選項③(低分組有 47%)，這些學生可能誤解題意，將先加後
除再乘的三步驟問題解讀為先加後除再除的三步驟問題。
二、對應能力指標（
97 課綱分年細目）
先備的知識
本題所需的知識
延伸的知識
分年細目
4-n-04
能在具體情境中，
解決兩步驟問題，
並 學 習 併 式 的 記
法與計算。
5-n-02
能 在 具 體 情 境
中，解決三步驟
問題，並能併式
計算。
6-n-05
能在具體情境中，解決分數的
兩步驟問題，並能併式計算。
6-n-08
能在具體情境中，解決小數的
兩步驟問題，並能併式計算。
19
三、教學建議
(一) 錯誤類型的可能原因
1.學生可能可以使用多個算式紀錄解題活動，但是無法將這些算式改記成併式，
導致無法列式。
2.學生可能已具備列式的能力，但在列式時，不理會「括號先算」、「先乘除後加
減」及「由左往右算」運算次序的約定。
(二) 核心概念與本題的教學重點
1.本指標首次引入三步驟問題，三步驟問題的教學順序如下：
(1)能在具體情境中，解決三步驟問題。
(2)能用一個併式，記錄三步驟問題的解題活動，並認識「括號先算」、「先乘除
後加減」及「由左往右算」運算次序的約定。
(3)能先列式，再用逐次減項的記法記錄三步驟問題的解題過程。
2.下面以「小洋原本有 100 元，買了 2 個 25 元的麵包後，爸爸又給他 48 元，
請問小洋現在有多少元？」為例，說明三步驟問題的教學流程。
(1)用一個併式及一個算式記錄解題活動
100－25×2＝50，50＋48＝98，答：現在有 98 元。
(2)將一個併式及一個算式改記成併式的記法
將「100－25×2＝50，50＋48＝98」改記成「100－25×2＋48＝98」
(3)用併式記錄解題活動
100－25×2＋48＝98，答：現在有 98 元。
(4)用算式填充題來列式
100－25×2＋48＝( )
(5)先列式，再用逐次減項的記法記錄解題活動
100－25×2＋48＝( )
100－25×2＋48
＝100－50＋48
＝50＋48
＝98，答：現在有 98 元。
3.以逐次減項的記法「5×(12＋8)－10＝5×20－10＝100－10＝90」為例，
逐次減項是以下解題過程的摘要記法：
5×(12＋8)－10＝5×20－10，
5×20－10＝100－10，
100－10＝90
因為等號滿足遞移性
(A＝B，B＝C，C＝D，所以 A＝D)，
所以
5×(12＋8)－10＝90
逐次減項記法中除了把重複出現的算式「
5×20－10」和「100－10」只記一次之
外，還把解題過程最重要的部份「因為等號滿足遞移性，所以
5×(12＋8)－10＝
90」也省略了。教師可以透過詢問為什麼「5×(12＋8)－10」的答案是 90，檢查
20
學生是否掌握利用等號遞移性記錄的意義。
4.學生面對沒有見過的多步驟問題時，只能用多個算式來記錄解題活動，學生解
題成功後，教師應要求學生將多個算式改記成併式。以後再遇到相同的問題時，
應要求學生先用併式來列式，再利用逐次減項的記法記錄解題活動。儘量要求
學生以併式的方法思考與演算，這是代數列式的前置經驗。
21
題號
試題代碼
答案
6
110-M5-C1-06
1
評量指標
5-s-01 能透過操作，理解三角形三內角和為 180 度。
知識向度
幾何
認知向度
概念理解
題目
三角形
ABC 中角 A 的角度是 92 度，下列何者不可能是角 B 的角度？
①
88 度
②
85 度
③
45 度
④
1 度
選答率
選
項
1*
2
3
4
其他
通過率：
51%
全
體
0.51
0.04
0.05
0.40
0.00
高分組
0.79
0.01
0.01
0.19
0.00
鑑別度：
0.55
低分組
0.24
0.09
0.10
0.56
0.01
一、試題分析
(一) 評量目標說明
本題給定三角形一個鈍角的角度，要求學生選出不可能是三角形其他角的角度，
評量學生利用三角形內角和是
180 度性質解題的能力。
(二) 選項及學生表現說明
1.本題鑑別度為 0.55，正確答案為選項①，通過率為 51%，顯示超過五成的學生
已具備利用三角形內角和是
180 度性質解題的能力。
2.有 40%的學生選擇選項④(低分組有 56%)，這些學生可能尚未具備利用三角形
內角和是
180 度性質解題的能力；也可能在日常生活中或課堂活動中很少看到
角度是
1 度的角，這些學生可能認為三角形中不會存在角度是 1 度的角。
3.有 5%的學生選擇選項③(低分組有 10%)、有 4%的學生選擇選項②(低分組有
9%)，這些學生可能尚未具備利用三角形內角和是 180 度性質解題的能力。
二、對應能力指標（
97 課綱分年細目）
先備的知識
本題所需的知識
延伸的知識
分年細目
3-s-04
能認識角，並比較角
的大小。
5-s-01
能透過操作，理解三
角形三內角和為
180
度。
8-s-10
能理解三角形的基本
性質。
三、教學建議
(一) 錯誤類型的可能原因
1.在日常生活中或課堂活動中學生很少看到角度是 1 度的角，因此認為三角形中
不會存在角度是
1 度的角。
2.四年級教師不宜透過「有一個角是鈍角的三角形」來定義鈍角三角形，四年級
教師應透過「有一個角是鈍角、其它二個角是銳角的三角形」來定義鈍角三角
22
形。因為五年級才引入「三角形三內角和為
180 度」的性質，四年級學生不知
道有一個角是鈍角的三角形，其他兩個角一定是銳角。
五年級教師應先複習四年級的定義，並說明因為已經學過三角形內角和為
180
度，因此有一個角是鈍角時，另外兩個角一定是銳角，所以可以將四年級的定
義簡化為「有一個角是鈍角的三角形稱為鈍角三角形」。
3.四年級第 19 題「鈍角三角形 ABC 中角 A 的角度是 92 度，下列何者不可能是
角
B 的角度？」和本題類似，差別是四年級說明三角形是鈍角三角形，五年級
只說明是三角形。
由上面的數據可以發現，五年級學生學過三角形內角和為
180 度的性質後，對
鈍角三角形定義的掌握並沒有增加，更令人憂心的是，選擇
1 度的學生增加了
6%，其中含 2%的高分組學生及 10%的低分組學生。
建議五年級教師應先複習四年級的定義，並說明因為已經學過三角形內角和為
180 度，因此有一個角是鈍角時，另外兩個角一定是銳角，所以可以將四年級的
定義簡化為「有一個角是鈍角的三角形稱為鈍角三角形」
。
(二) 核心概念與本題的教學重點
1.下面提供三種幫助學生理解三角形的內角和是 180 度的方法：
方法一：拿出或畫出很多不同的三角形(要包含直角、銳角及鈍角三角形三類)，
要求學生測量出這些三角形的所有角，再分別算出這些三角形三個角
的和。幫助學生察覺所有三角形三個角的角度和大約都是 180 度。
方法二：拿出一些三角形(要包含直角、銳角及鈍角三角形三類)，要求學生剪下
三角形的 3 個角，再將同一個三角形的 3 個角拼湊在一起，幫助學生
察覺所有三角形的三個角都可以拼成一個平角，這些三角形 3 個角的
角度和大約都是 180 度。
方法三：教師也可以只剪下兩個角，再和沒有剪下的那個角拼湊在一起，也能
夠拼出一個平角，得到三角形 3 個角的角度和大約都是 180 度。
選擇
1 度的學生
四年級
五年級
通過率
34
40
增加 6%
高分組
17
19
增加 2%
低分組
46
56
增加 10%
四年級
五年級
通過率
53
51
減少 2%
高分組
80
79
減少 1%
低分組
27
24
減少 3%
23
2.本分年細目教學重點是所有三角形的內角和都是 180 度，教師不宜只求出某一
個三角形的內角和是
180 度，就說明所有三角形的內角和都是 180 度。教師應
幫助學生認識，直角三角形、銳角三角形及鈍角三角形的內角和都是
180 度。
24
題號
試題代碼
答案
7
110-M5-A2-07
4
評量指標
5-n-08 能理解分數乘法的意義，並熟練其計算，解決生活中的問題。
知識向度
數與計算
認知向度
程序執行
題目
一桶水有
4 公升，請問
3
5
桶水有多少公升？
①
3
5
②
12
20
③
3
20
④
12
5
選答率
選
項
1
2
3
4*
其他
通過率：
43%
全
體
0.08
0.35
0.14
0.43
0.00
高分組
0.03
0.18
0.07
0.71
0.00
鑑別度：
0.50
低分組
0.13
0.45
0.20
0.22
0.01
一、試題分析
(一) 評量目標說明
本題是整數乘以分數的文字題，要求學生算出答案，評量學生利用乘數是分數
乘法解題的能力。
(二) 選項及學生表現說明
1.本題鑑別度為 0.5，正確答案為選項④，通過率為 43%，顯示超過四成的學生已
具備利用乘數是分數乘法解題的能力。
2.有 8%的學生選擇選項①(低分組有 13%)，這些學生可能不具備利用乘數是分數
乘法解題的能力；也可能誤解或不理解題意，將兩個單位不同的數字相加算出
答案。
3.有 35%的學生選擇選項②(低分組有 45%)，這些學生可能不具備利用乘數是分
數乘法解題的能力；也可能知道要用乘法來解題，但在解題時混淆分數乘法和
擴分的意義，透過擴分算出答案。
4.有 14%的學生選擇選項③(低分組有 20%)，這些學生可能不具備利用乘數是分
數乘法解題的能力；也可能知道要用乘法來解題，但是在解題時誤將被乘數
4
乘在乘數分母的部分。
25
二、對應能力指標（
97 課綱分年細目）
先備的知識
本題所需的知識
延伸的知識
分年細目
4-n-08
能認識真分數、假分數
與帶分數，熟練假分數
與帶分數的互換，並進
行同分母分數的比較、
加、減與整數倍的計算。
5-n-08
能理解分數乘法的意
義，並熟練其計算，解
決生活中的問題。
6-n-05
能在具體情境中，解
決 分 數 的 兩 步 驟 問
題，並能併式計算。
三、教學建議
(一) 錯誤類型的可能原因
1.以「1 桶水有 4 公升，3 桶水有多少公升？」為例，學生知道可以透過連加
(4＋4＋4＝12)來解題，並將連加的算式改記成 4×3＝12。但是學生面對「1 桶水
有
4 公升，
3
5 桶水有多少公升？」時，無法透過連加
3
5 次來解題，也就是說，
學生無法類比整數乘法來解乘數是分數的問題。
2.學生四年級有分數整數倍問題的解題經驗，學生可以透過連加的想法利用乘法
來解題，五年級學習了約分與擴分後，學生可能混淆「約分、擴分」與「整數
乘以分數」解法的意義，透過將乘數的分子與分母同乘被乘數的方法來解題。
(二) 核心概念與本題的教學重點
1.本學習指標為 4-n-08 之後續學習概念，故學生應該已經能進行分數整數倍的計
算。本學習指標學習內容則是將乘數的範圍由整數擴充至分數。
2.本學習指標建議教師盡量能從適合的生活情境問題入手，首次引入乘數是分數
的乘法問題，建議教師布題時依下列順序引入：
(1)整數乘以分數，積是整數的乘法問題。
(2)整數乘以分數，積是分數的乘法問題。
(3)真分數乘以真分數的乘法問題。
(4)假分數乘以假分數的乘法問題。
(5)帶分數乘以帶分數的乘法問題。
3.下面透過三個問題，說明乘數是分數和整數問題的差異，以及如何幫助學生解
乘數為分數的乘法問題。
問題
1：一桶果汁 12 公升，3 桶有多少公升？
問題
2：一桶果汁
2
7 公升，3 桶有多少公升？
問題
3：一桶果汁 12 公升，
3
4 桶有多少公升？
【問題
1】是整數乘以整數的乘法問題，學生可以利用連加的算式
「
12＋12＋12＝36」來解題，並將連加的算式改記成乘法算式「12×3
＝36」。
26
【問題
2】是分數乘以整數的乘法問題，學生也可以利用連加的算式
「
2
7 ＋
2
7 ＋
2
7 ＝
6
7 」來解題，並將連加的算式改記成乘法算式
「
2
7 ×3＝
6
7 」。
【問題
3】是整數乘以分數的乘法問題，因為 12 無法加
3
4 次，因此無法利用連
加的算式算出答案。
建議教師利用比的想法，透過下列的關係式，先幫助學生解決問題
1，
再類比問題
1 的解題方式，幫助學生解決問題 3。
1 桶有 12 公升，3 桶是 3 個 1 桶，也就是 3 個 12 公升，可以利用加
法
12＋12＋12＝36 或乘法 12×3＝36，算出 3 桶有 36 公升。
1 桶有 12 公升，
3
4 桶是把 1 桶平分成 4 份，再取出其中的 3 份，可
以利用除法
12÷4＝3 和乘法 3×3＝9，算出
3
4 桶有 9 公升。
4.區分「20÷4」和「20×
1
4 」的意義。
問題 1：一盒蘋果有 20 個，全部平分給 4 個人，每個人分到幾個蘋果？
問題 2：一盒蘋果有 20 個，甲分到
1
4 盒，甲分到幾個蘋果？
問題 3：一盒蘋果有 20 個，乙分到
3
4 盒，乙分到幾個蘋果？
上面三個問題中，【問題 2】和【問題 3】的語意類似，解【問題 3】時，必須
先將 20 個蘋果平分成 4 份，再取出其中的 3 份，透過算式「20÷4＝5，5×3＝
15」，可以算出乙分到 15 個蘋果。
因此解【問題 2】時，也必須先將 20 個蘋果平分成 4 份，再拿出其中的 1 份給
甲，透過算式「
20÷4＝5，5×1＝5」，才能算出甲分到 5 個蘋果。
1 桶
3
4
桶
12 公升
□公升
1 桶
□公升
12 公升
3 桶
27
但是解【問題
1】時，只要將 20 個蘋果平分成 4 份即可，透過算式「20÷4＝5」
，
可以算出每人分到
5 個蘋果。
由上面的說明可以知道，「20÷4」和「20×
1
4 」的答案雖然相同，但是「20×
1
4 」
指的是「(20÷4)×1」，所以「20÷4」只是「20×
1
4 」解題活動中的一部份。
5.問題 1：將 5 公升果汁，平分成 4 份，1 份是多少公升？
問題
2：一桶果汁 5 公升，
3
4 桶有多少公升？
【問題
1】是【問題 2】的先備知識，學生必須先解決【問題 1】，才能解決
【問題
2】。
1 桶果汁有 5 公升，
3
4 桶果汁是把 1 桶果汁平分成 4 份，再取出其中的 3 份，
學生必須先解決把
5 公升平分成 4 份的問題，並用除法算式 5÷4＝
5
4 記錄解題
過程，才能利用乘法
5
4 ×3＝
15
4 ，算出 3 份，也就是
3
4 桶有
15
4 公升。
首次引入【問題
2】時，教師不宜直接要求學生利用「5×
3
4 ＝
15
4 」來解題，因
為學生不易掌握解題的意義。
當學生有一些解題成功的經驗後，教師可以要求學生用算式「
5×
3
4 ＝
15
4 」把問
題和答案記下來，並說明以後遇到這類問題時，可以直接利用整數乘以分數的
算式「
5×
3
4 ＝
15
4 」算出答案。