-1-
一、多重選擇題 : (每題 5 分，共 20 分；每對一個選項得 1 分)
1. 設 a 為有理數，b、c 均為無理數，選出正確的選項 :
(A)
3
b 必為無理數 (B) a b
−
必為無理數
(C) b c
+
必為無理數 (D) ac 必為無理數(E)
b
c
必為無理數
2. 已知 a、b 都是實數且 a b
<
，則下列敘述哪些正確?
(A)
2
3
3
2
5
5
a
b
a
b
+
+
<
(B)
2
3
2
3
5
a b
a
b
+
+
<
(C)
2
3
2
4
5
5
a
b
a
b
+
+
<
(D) 2
3
2
4
5
a b
a
b
+
+
<
(E) 3
2
3
4
5
7
a
b
a
b
+
+
<
3. 二次函數
2
(
0)
y ax
bx c a b c R a
=
+ +
∈
≠
、 、
，
的圖形如右圖，則下列敘述哪些正確?
(A)
0
a <
且
2
4
0
b
ac
−
>
(B)
0
b >
且
0
c >
(C)
2
4
0
a
b
c
−
+
<
(D) 16
0
a b c
+ + >
(E) 19
2
0
a
b c
+
+ =
.
4. 下列敘述哪些正確?
(A)
3
y x
=
的圖形與
3
y
x
= −
的圖形對稱於 x 軸
(B)
3
y x
=
的圖形與
3
y
x
= −
的圖形對稱於原點
(C)
4
y x
=
的圖形與
4
y
x
= −
的圖形對稱於 x 軸
(D)
4
y x
=
的圖形與
4
y
x
= −
的圖形對稱於原點
(E) 若
( )
f x
為一實係數多項試，則
( )
f x
必是奇函數或偶函數
二、填充題：(每格 5 分，共 65 分)
1. 化簡
4
15
−
。
解：
2. 已知一次函數
( )
f x
通過兩點
( 2,15)
−
與
(4,6)
，則
(2014)
(2010)
f
f
−
=
。
解：
北一女中 103 學年度第一學期第一次段考一年級數學科試題
得 分
測驗日期
月 日
-2-
3. 設
a b R
∈
、
，若
|
1|
ax
b
− ≤
的解為 8
6
x
− ≤ ≤
，則數對
( , )
a b =
。
解：
4. 設 x 為實數，且
|
2 |:|
16 | 4 :5
x
x
+
−
=
，則 x = 。
解：
5. n 為正整數，且
103 103
103
103
103
103
103
103
1
n
n
<
+
+
+
+ +
+
< +
共
個
，則 n = 。
解：
6. 解
| 3
5 | | 2
3|
x
x
+ ≤
+ ，可得 x 的範圍為 。
解：
7. 解不等式
|
2 | 2 |
4 | 15
x
x
+ +
− ≤ ，可得 x 的範圍為 。
解：
8. 設一正數 a 的小數部分為 b，且滿足
2
2
2
10
a
b
+
=
，則 a = 。
解：
9. 函數
2
3
12
y
x
x a
=
+
+ 的圖形沿著直線
3
2
y
x
=
+
向右上移動 2 10 單位後，所得圖形為二
次函數
2
55
y bx
cx
=
+ +
的圖形，則 a b c
+ + =
。
解：
10. 已知 b 為實數且二次函數
2
( )
2014
f x
x
bx
=
+ +
，對於任意實數 t 都有
(4 )
(2 )
f
t
f
t
+ =
−
，則
103
(
)
2014
f x −
之最小值為 。
解：
11. 二次函數
2
3
y
x
ax b
=
+
+ 之圖形過點
(2,41)
，且頂點在上
2
3
y
x
=
− ，則數對
( , )
a b
= 。
解：
-3-
12. 設二次函數
2
2
4
y ax
x
=
+
+ 的圖形恆在直線
3
6
y
x
=
+ 的下方，則實數 a 的範圍
為 。
解：
13. 設
2
a > −
且二次函數
2
( ) 4 2
f x
x x
= +
− 當 2 x a
− ≤ ≤
時，有最小值 -
4 和最大值 2
a，則
a = 。
解：
三、計算證明題 : (每題 5 分，共 15 分)
1. 小綠說 : 「若
2
0
at
bt c
+ + = ，其中 a、b、c 都是有理數而
2
t
和 t 都是無理數，則
0
a b c
= = =
」，請問小綠說得是對的嗎?如果小綠說的是對的，請證明，如果小綠說的是錯的，
請舉一個反例。
解：
2. 設 a、b 為實數，證明三角不等式
|
| | | | |
a b
a
b
+ ≤
+
。
解：
3. 若 x 為非零實數，且
1
k x
x
= + ，試求 k 的範圍。
解：
-4-
一、多重選擇題 :
1. (A)(B)
2. (B)(E) 3. (A) (B)(D)(E)
4. (A)(C)(D)
二、填充題：
1.
10
6
2
−
2. 6
−
3.
( 1,7)
−
4. 6 或 74
−
5. 10
6.
8
2
5
x
− ≤ ≤ −
7. 3
7
x
− ≤ ≤
8. 6 2 3
3
+
或 4
22
3
+
9. 64
10. 2005 11.
(12,5)
或
( 32,93)
−
12.
1
8
a < −
13.
5
2
三、計算證明題:
1. 錯；反例 : 取
1
5
2
t
+
=
，則
2
1 0
t
t
− − =
2. 略
3.
2
k ≥
或
2
k ≤ −