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一、多選題 (每題 10 分)
1. 已知 2012
aQ∈，則再搭配下列哪些條件之後，我們可以確定 a 也是有理數？
(A)2
aQ∈ (B)3
aQ∈ (C)4
aQ∈ (D)5
aQ∈ (E)6
aQ∈
2. 下列哪些分數可化成有限小數：(A)5
12 (B)4
20 (
C)7
35 (
D) 2
47 (
E)1
55
3. 二次函數 2(,, , 0)yax bxcabcRa=++ ∈ ≠
的圖形如右圖，則下列
哪些選項是正確的？
(A)0a> (B)0b> (C)0c> (D)240bac−> (E)0abc−+>
二、填充題 (每格 5分)
1. 若 724− 的整數部分為 a，小數部份為 b，則 11
5ab ab
+
−+
= 。
2. 設 51
2
x−
=，試求下列各式的值：(1) 1
x
x
+= (2) 3
3
1
x
x
+ = 。
3. 已知 x，y 均為正實數，若 18xy =，則 2
x
y+ 的最小值為 。
4. 已知 12x−<，213y+<，試求下列各式的範圍：(1) 2 3
x
y−: (2) x y： 。
5. 已知 x 是實數，且滿足 410x−≤ ≤ ，則：(1)將 x 表為
x
hk−≤ 時，數對 (,)hk為
(2)將 x 表為 1ax b+≤ 時，則數對 (,)ab 為 。
6. 設 x 為實數，且 1: 5 3:7xx−+=，則 x = 。
7. 設二次函數 225yx x=+ + 的圖形為 Γ，若將 Γ 沿著直線 3
y
x= 向右上方平移 10 單位，
所得的圖形為二次函數 ()
f
x= 的圖形。
8. 設二次函數 224yax x=++ 的圖形恆在直線 5y= 的下方，則實數 a 的範圍為 。
三、計算證明題 (15 分)
1. 已知 2 是無理數，試證明 12+ 也是無理數。
2. 設 x 為實數，試作圖並討論方程式 2536
x
xx a+− += 的相異實根個數與 a 值範圍的關係。
北一女 100 學年度第一學期第一次段考一年級數學科試題
y
x
(
1
,
0
)
−
(
1
,
0
)
一、多選題 (每題 10 分) ※每個選項 2分，個別計分※
1. (B)(D) 2. (B)(C) 3. (C)(D)(E)
二、填充題 (每格 5分) ※答案需化簡、有理化※
1. 2 2. (1) 5 (2)25 3. 12 4. (1) 52 3 12xy−< − < (2) 63xy−< <
5. (1) (3, 7) (2) 17
(,)
33
− 6. 411
,
52
− 7. 27x+
8. 1a<−
三、計算證明題 (15 分)
1. 設 12 2 1
p
Qp+=∈=−
p
與1皆為有理數 21
p
Q=−∈ 與 2 是無理數
矛盾，∴原假設錯誤，故 12+ 為無理數
2. (1)方程式 2536
x
xx a+− +=有實根，即
{
2536yx x x
ya
=+− +
= 圖形有交點 (1 分)
(2)
作圖 (4 分)
(3)無實根： 10a<− (5 分)
1實根： 10a=−
2實根： 10 7a−<<−，6a>−
3實根： 6a=− ，7−
4實根： 76a−< <−
(
1, 7
)
−−
(
4, 10
)
−−
x
y
(
2, 6
)
−−