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※ 每題的答案均需計算出來，不可用 P、C、H 或 ! 表示
一、多重選擇題 (每題 8 分，錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個以上不給分；共 16 分)
1. 班上共有 48 位同學，某天考完段考後，老師統計出：國文及格的有 20 人，數學及格的有 21
人，英文及格的有 25 人。國、數皆及格的有 11 人，國、英皆及格的有 13 人，英、數皆及格
的有 12 人；三科都不及格的有 10 人。則
(A)只有數學及格的有 6 人
(B)數、英及格，但國文不及格的有 5 人
(C)恰好有兩科及格的人有 12 人
(D)三科都及格的有 7 人
(E)國文或英文及格，但數學不及格的有 17 人
2. 下列敘述何者正確？
(A)七個人作直線排列，其中甲必在乙左方的排列數為 7
2
C
(B)從 7 個相同物中，任選 2 個為一組的方法為 7
2
C
(C)將 5 個相同的籃球放進 3 個不同的箱子，每箱球數不限，共有 7
2
C 種放法
(D)從集合 {1,2,3,4,5,6,7,8}A= 中取出二個不連續的數，有 7
2
C 種取法
(E)袋中有 10 元紙鈔 10 張，100 元紙鈔 10 張，1000 元紙鈔 10 張，由袋中取出 5 張紙鈔，
所有可能款項有 7
2
C 種
二、填充題 (每格 6 分，共 66 分)
1. 無肉不歡的魯夫，每天三餐都要雞、牛、魚這三種肉類選兩種吃，而且他每天至少吃一次雞肉，
請問魯夫一天有 種不同吃肉的方式。
2. 456 19
222 2
CCC C++++ = 。
3. 從 wuling kiwi 等十個英文字母中，取 4 個英文字母，共有 種取法；取 4 個英文字
母排成一列則有 種排法。
4. 若某國的車站共有 6 個大站，n 個小站。若大站與大站間的車票以及小站與小站間的車票設計
成黃色，大、小站間的車票設計成紅色。若黃色車票與紅色車票的種數一樣，試求 n = 。
5. 四位數中數字成一路嚴格遞增 (如：2378) 或者一路嚴格遞減 (如：7654) 者有 個。
6. 布魯克今天想在 3 根不同的旗桿上，共掛上 4 面相異的旗子 ( 須考慮旗子掛在旗桿的上下關係)，
總共有 種掛法。
武陵高中 101 學年度第二學期第一次段考一年級數學科試題
7. 今有一棒球隊的九位先發球員於賽前拍團體照，若拍照時隊長一定站最中間，且投捕兩位球員
分別站在與隊長相鄰的兩側，其餘六人任意排列，但是這六位球員中，有兩位球員不願排在相
鄰的位置，請問有 種不同的排法。
8. 從 1、2、4、6、7 五個數字中任選三個排成數字相異的三位數，其中是 3 或 4 的倍數但不為
6 的倍數的數有 個。
9. 若計程車每輛最多可載 4 人，現有 A、B、C 三輛計程車
(1)有 5 人要分乘的方法有 種
(2)有 8 人要分乘的方法有 種。(皆不考慮車內座位順序)
三、計算證明題 (第 1 題 (1) 4 分，(2) 6 分；第 2 題 (1) 4 分，(2) 4 分；共 18 分 )
1. 如下圖所示，試求從 A 點走到 B 點的捷徑走法中，
(1)必通過 S 點的走法有幾種？
(2)至少通過 P，R 其中一點的走法有幾種？
2. 若 11mn≤≤−，
(1)請驗證 11
1
nn n
mm m
PP mP
−−
−
=+⋅
(2)試描述一種情境來說明下列等式必定成立： 11
1
nn n
mm m
PP mP
−−
−
=+⋅。
A
B
S
R
P
一、多重選擇題 (每題 8 分，錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個以上不給分；
共 16 分)
1. (A)(C)(E) 2. (C)(D)(E)
二、填充題 (每格 6 分，共 66 分)
1. 26 2. 1136 3. 72；1230 4. 3，10 5. 336
6. 360 7. 1056 8. 20 9. (1)240 (2)4830
三、計算證明題 (第 1 題 (1) 4 分，(2) 6 分；第 2 題 (1) 4 分，(2) 4 分；共 18 分 )
1. (1) 504 (2) 770
2. (1) 11
1
nn
mm
PmP
−−
−
+⋅ (2)
(1)! (1)!
(1)!()!
nn
m
nm nm
−−
=+⋅
−− −
(1)!
[( ) ]
()!
!
()!
n
m
nnm m
nm
nP
nm
−
=−+
−
==
−
包含甲共有 n 個人挑 m 人直線排列 n
m
P，
可分為成兩個情況：
a. 挑 m 個人排列沒有甲這個人 1n
m
P−；及
b. 挑 m 個人排列包含甲這個人，此時甲有
m 個位置可選擇，且在剩下的 1n− 人
中挑 1m− 人直線排列 1n
m
mP
−
⋅ 所以
11
1
nn n
mm m
PP mP
−−
−
=+⋅