一、單選題
(每題 4 分)
1. 設
(
1) (
2) (
3) (
4)
2
4
8
n
n
n
n
a
n
= + −
+ +
+ −
+ ， n N
∈ ，有關數列
n
a
<
> 下列何者敘述正確？
(A)為等差數列，公差為
5
8
(B)為等差數列，公差為
2
−
(C)等比數列，公比為
1
8
(D
)
等比數列，公比為
1
2
(
E
)
既非等差亦非等比
二、多重選擇題
(
每題
10
分，每個選項
2
分，共
20
分，整題未作答者，該題不予計分。
)
1.
若實數組成數列
n
a
<
>
是一等比數列其中
4
5
0
a
a
× < ，而實數組成的數列
n
b
< >
是首項為
10
−
的等差數列。已知
9
9
a
b
< 且
10
10
a
b
< ，請選出“一定”正確的選項。
(
A
)
9
10
0
b b
×
<
(
B
)
10
0
b
>
(
C
)
9
10
a
a
>
(
D
)
9
10
2
2
b
b
<
(
E
)
11
11
a
b
<
2.
下列對於級數敘述哪一個選項正確？
(
A
)
100
99
3
3
1
0
(
1)
k
k
k
k
=
=
=
+
(
B
)
10
5
5
2
1
2
1
1
1
k
k
k
k
k
k
a
a
a
−
=
=
=
=
+
(
C
)
5
0
2 10
k
=
=
(
D
)
5
5
5
1
1
1
k
k
k
k
k
k
k
a b
a
b
=
=
=
⋅ =
⋅
(
E
)
3
1
1
1
(
) (
)
n
n
n
k
k
k
k
k
k
=
=
=
=
⋅
三、填充題
(
每格
6
分
)
1.
一等差數列的首項為
38
，第
8
項為
17
，則此級數的前
20
項的和為 。
2. 一等差數列之首項為正數，且首
9
項之和等於首
18
項之和，則此數列之前 項之和最大。
3.
有各項皆為實數的等比數列，其首項為
3
，末項為
384
，且其總和為
765
，則此數列項數為
。
4.
有一遞迴數列其定義式如下：
1
1
5
(
2
1
3
2
n
n
a
n
n
a
a
−
= −
≥
=
−
， 為正整數
)
，試找出
10
a
= 。
5.
如圖，任兩相鄰黑點線段長都是
1
，按照這規律
，
令
n
a
為第
n 個圖上的所有長總和，例如：
第一圖線段總和為
6
，即
1
6
a
=
；第二圖線段總
和為
16
，即
2
16
a
=
；依此類推。請找出數列
n
a
< >
的遞迴定義式 。
北一女中 101 學年度第二學期第一次段考一年級數學科試題
第一圖 第二圖 第三圖
6.
試計算下列級數：
(1)
4 21 7 19 10 17 13 15
31 3
× + × + × + × + + × =
(2)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
5
7
21
2
2
4
2
4
6
2
4
6
20
+
+
+ +
=
+
+ +
+ + + +
。
7.
如右圖所示，四邊形
ABCD
為正方形，並從中依序反覆做出
1
4
圓和內接正方形，並得如圖之陰影區域依序為
1
T 、
2
T 、
3
T
，其中已知
1
T 面積為
10
，試問
1
2
3
10
T
T
T
T
+
+
+
+
=
。(請將分數化簡)
8.
宣宣和小綠綠們一同在熟練計算等比級數，以面對到來的期中考，調皮的宣宣想看看小綠綠是
否融會貫通了，所以在各項皆為實數的等比數列
n
a
<
>
中，從中挑選了幾項並記錄下總和，
分別為
13
2
1
3
3
5
k
k
a
+
=
=
以及
15
2
5
75
k
k
a
=
=
；之後列了一個算式為
17
2
3
7
k
k
a
−
=
反問小綠綠，請問小綠綠
們
17
2
3
7
k
k
a
−
=
=
。
四、計算、證明題 (
22
分
)
1. 為降低購屋者的負擔，各家銀行業者常以專案方式推出了多項優惠貸款方案。善用各人的身分
條件，讓優惠房貸幫您省錢，是每個購屋者都不可輕忽的重要課題。因此如何去細算之間的差
異是現在國人要具備的能力！以下提供一個案例，請問小綠綠們計算出此案例所需之解答：
案例：小王一家四口由台中搬到了台北定居，並打算購置房產於萬華區，看上了一間屋齡
12
年
電梯華廈，並談妥了售價
1660
萬元，而小王手上可動用存款有
80
萬元，再加上處置台中
的房產後收入
580
萬元。因此剩下的差額
1000
萬打算跟小綠屋銀行貸款，而目前的貸款
利率年利率
2%
，每年計息一次，若小王辦理貸款的還款方式是每年固定還款
x 元，並且
打算在
20
年內分
20
期還清本利，請問
x 應為多少？ (請四捨五入至萬元) (
7
分)
(已知：
19
(1.02)
1.46
=
，
20
(1.20)
1.49
=
)
2. 設數列
n
a
<
>
的遞迴數列關係式為
1
1
1
1
3
(
2
)
1
3
n
n
n
a
n
n N
a
a
a
−
−
=
≥
∈
+
=
−
，
，
(1)
寫出
2
3
4
a
a
a
， ，
( 3
分
)
(2)
猜測一般項
n
a
(
4
分
)
(3)
使用數學歸納法證明你的猜測是正確的。
( 8
分
)
B
1
B
2
B
A
C
D
1
T
2
T
3
T
2
D
1
D
一、單選題
(
每題
4
分
)
1.
(A)
二、多重選擇題
(
每題
10
分，每個選項
2
分，共
20
分，整題未作答者，該題不予計分。
)
1.
(B)(D)
2.
(A)(B)(E)
三、填充題
(
每格
6
分
)
1.
190
2.
13
或
14
3.
8
4.
511
5
512
−
5.
1
6
a
= ，
1
4
2
n
n
a
a
n
−
=
+
+ ，
2
n
≥ ， n N
∈ 6.
(1) 1605 (2)
15
11
7.
5115
256
8.
375
四、計算、證明題 (
22
分
)
1.
610000
2.
(1)
1
1
3
a
=
，
2
2
4
a
=
，
3
3
5
a
=
，
4
4
6
a
=
(2)
2
n
n
a
n
=
+
(3)
當
1
n
=
時，
1
1
3
a
=
成立
當
n k
=
時，
2
k
k
a
k
=
+
成立
則
1
n k
= + 時，
1
1
1
2
2
(
1)
2
3
2
6
(
1) 2
3
2
k
k
k
k
a
k
k
k
a
k
a
k
k
k
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
−
+
+ +
−
+
由數學歸納法原理知，原猜測成立