-1-
一、多重選擇題 : (共 4 題 24 分，每題 6 分，錯一個選項得 4 分，錯兩
個選項得 2 分，錯三個選項以上該題 0 分)
1. 實係數三次多項式
3
2
( )
f x
ax
bx
cx d
=
+
+ + ，若方程式
( ) 0
f x =
有兩負根和一正根，則下列
敘述哪些是正確的?
(A)
0
ab <
(B)
0
ac <
(C)
0
ad <
(D)
2
( )
f x 為一實係數六次多項式 (E) 方程式
2
( ) 0
f x = 有四個負根和二個正根
2. 下列敘述哪些是正確的?
(A) 方程式
3
8
x =
有三重根 2、2、2 (B) 方程式
3
0
x =
有一實根、二虛根
(C) 3 2
2 2
i
i
+ > +
(D) 3 2 3 2
i
i
− = +
(E) 若
0
0
a
b
>
<
，
，則 a
a
b
b
= −
3. 已知
( )
f x
為實係數五次多項式，則下列敘述哪些是正確的?
(A) 方程式
( ) 0
f x =
必有奇數個實根
(B) 若 a、b 皆為實數，且
(
2 )
(3
) 0
f a
i
f
bi
+
=
+
=
，則
3
2
a
b
=
= −
，
(C) 方程式
2
( )
1
f x
x
x
=
+ +
至少有一實根
(D) 若
( )
f x
的領導係數為正，
(1 3 ) 0
(4) 0
(2) 0
(0) 0
f
i
f
f
f
−
=
>
<
>
，
，
，
，表示方程式
( ) 0
f x =
有二正根、一負根、兩共軛虛根
(E) 若
( ) (
2) ( ) 1
f x
x
q x
= −
+
，
( )
q x
為一係數皆為正的多項式，則方程式
( ) 0
f x =
沒有大於 2
的實根
4. 二次不等式
2
(3
)
3
0
x
a x
a
+ +
+
<
，下列哪些選項可以找到實數 a 使得選項內的所有數同時滿
足不等式?
(A) 1、2 (B)
1
2
−
−
、
(C) 2、4 (D)
2
4
−
−
、
(E) 1、2、3、4 (所有正整數)
二、填充題：(共 11 分，一格 6 分，共 66 分)
1. 化簡
21
20
19
1
i
i
i
i
+
+ + + + =
。
解：
高雄女中 103 學年度第一學期第二次段考一年級數學科試題
得 分
測驗日期
月 日
-2-
2. 已知 a、b 均為實數，方程式
4
3
2
20 0
x
x ax
bx
+ +
+ +
=
有一虛根 3 i
−
，兩實根
α
β
、
(1)
( , )
a b =
；(2)
2
(
)
α
β
−
=
。
解：
3. 已知 a、b 皆為正整數，方程式
4
3
2
5
3
2 0
x
ax
x
bx
+
+
+
− =
有有理根，則
( , )
a b =
。
解：
4. 已知二次函數
(
1)(
4)
(
3)(
4)
(
3)(
1)
( ) 11
11
21
(3 1)(3 4)
( 1 3)( 1 4)
(4 3)(4 1)
x
x
x
x
x
x
f x
+
−
−
−
−
+
= ×
+ ×
+ ×
+
−
− − − −
−
+
，求此函數圖形的
頂點坐標
( , )
a b =
。
解：
5. 求不等式的解 : (1)
(
3)
1
(
1)(
5)
x
x
x
−
≥
−
+
: 。 (2)
2
9
2
1
x
x
−
>
− : 。
解：
6. 方程式
4
3
2
3
15
19
30 0
x
x
x
x
−
−
+
+
=
(1)此方程式的解為 。
(2)若此方程式的兩正根與另一整數 a，可作為三角形的三邊長，則整數 a = 。
解：
7. 已知 a、b 均為實數，且對於所有實根 a，
2
(
1)
2
3
0
a
x
ax
b
+
+
+
=
必有實根，則 b 的範圍
為 。
解：
8. 實係數三次函數
( )
y f x
=
的圖形與 x 軸交於點
( 1,0)
−
、切於點
(2,0)
，且與 y 軸交於點
(0, 2)
−
，則不等式
( ) 0
f x <
的解為 。
解：
-3-
三、計算題 : (共 10 分)
1. 已知
3
2
( )
3
2
f x
x
x
x
= −
− +
，若方程式
( ) 0
f x =
有三實根
α
β γ
、 、
，且
α β γ
< <
(1)求三實根
α
β γ
、 、
各介於哪兩個連續的整數之間。(3 分)
(2)求
α
最接近的整數。(2 分)
(3)求不等式 1
1
1
0
x
x
x
α
β
γ
+
+
>
−
−
−
的解。(必要時答案可用
α
β γ
、 、
表示之)(5 分)
解：
一、多重選擇題 :
1. (D) 2. (E) 3. (A)(C)(D)(E)
4. (A)(B)(C)
二、填充題：
1. 1 i
+
2.
(1)( 30,58) (2) 7 2 2
−
− +
3.
(1,1)
或
(2,3)
4.
(1,3)
5.
3
17
3
17
1
2 2 11
1
(1)
1
5
(2)
3
2
2
2
5
2
x
x
x
x
− +
− −
+
≤ <
− < ≤
≤ <
− ≤ <
或
或
6.
(1) 1
3 2 5 (2)4 5 6
−
−
，
， ，
， ，
7.
4
0
3
b
− ≤ ≤
8.
1
2
x
x
> −
≠
，
三、計算題 :
1. (1)
1
0 0
1 3
4
(2) 1
α
β
γ
− < <
< <
< <
−
，
，
3 2 3
3 2 3
(3)
3
3
x
x
x
γ
β
α
+
−
>
< <
< <
或
或