- 65 -
一、多選題：
1. 在空間中，下列選項中的方程組，何者圖形為一直線？
(1)
1
x y
+ =
(2)
2
1
3
2
x
t
y
t
= +
= −
，
t 為任意實數
(3)
3
6
5
2
6
1
2
3
x
y
y
z
−
−
=
−
−
=
(4)
1
2
3
2
2
3
2
3
x y z
x
y
z
x
y
z
+ − =
+
+
=
+
+
=
(5)
3
2
1
6
4
2
5
x
y z
x
y
z
−
+ =
−
+
=
2.
若
A、B、C
均為
2
階方陣，
2
1 0
0 1
I
=
，
2
0 0
0 0
O
，則下列何者正確？
(1) det(3 ) 3det( )
A
A
=
(2)
1
1
1
(
)
AB
A B
−
−
−
=
(3)
若
2
AB I
= ，則
2
2
2
(
)
BA
B A
=
(4)
若
A、B、C
皆有乘法反方陣，則
A B C
+ +
亦有乘法反方陣
(5)
若
A、B、C
都是轉移矩陣，則
2
2
1
1
(
)
4
2
A
BC
I
+
+
二、填充題
1. 二階方陣
3 1
1 2
A
=
−
，且
3
AX
X
A
= +
，則矩陣
X
=
。
解：
2.
已知矩陣
x b
A
c x
−
=
−
，其中
x
、
b
、
c
為實數且行列式
det( )
5
A
= −
，求行列式
1
det(
)
A A
−
−
之值為 。
解：
3.
若
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
a
a
mb
b
a
nb
−
−
−
−
=
+
=
+
，
m n R
∈
、
可表為
1
1
n
n
n
n
a
a
A
b
b
−
−
=
，已知
1 2
1 1
B
=
，
1
3 0
0 2
BAB
−
=
，
則數對
( , )
m n
=
。
解：
台中女中 101 學年度第二學期第二次段考二年級數學科試題
得
分
測驗日期
月
日
- 66 -
4. 正四面體的四頂點落在兩歪斜線
1
3
1
:
2
2
2
x
y
L
z
−
+
=
= −
−
與
2
: 2
2
8
L
x
y
z
= = − +
上，求此四面體的
稜長
=
。
解：
5.
《九章算術》是現存最早
(東漢時期)
的中國數學著作之一，此書收錄
246
個數學問題，並分為
九大類，故稱「九章」
。其中「方程章」第八題為：
「今有賣牛二、羊五，以買十三豕，有餘
錢一千；賣牛三、豕三、以買九羊，錢適足；賣羊六、豕八，以買五牛，錢不足六百。問牛、
羊、豕價各幾何？」依此題意，一頭豕的價格為 錢。
解：
6. 設方程組
(2
)
0
(
2
)
0 (
0 )
(
2 )
0
a b c x by cz
ax
a
b c y cz
a b c R
ax by
a b
c z
+ +
+ + =
+ +
+
+ =
∈
+ + + +
=
， ，
且不全為
，除了
0
x
y z
= = =
外，尚有其他
解，則
2c
a b
+
之值
=
。
解：
7. 設
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
，
1 1 1
1 1 1
1 1 1
J
=
，若
12
1
(
)
3
I
J
aI bJ
+
=
+
，則
a b
+
之值為 。
解：
8.
設
a
、
b
、
c
、
d
皆為實數，三元一次方程組
1
: 2
2
7
5
x ay z
F
x by cz
x
y z
+
− =
+ + = −
− + =
的增廣矩陣經多次的列運算
後得到
1
2
1
0
5
2
4
0
0
0
0
d
−
−
−
，則：
(1)
方程組
F
所代表的三個平面關係為 。
(2)
序組
( , , , )
a b c d
為 。
(3)
若新方程組
1
2
3
: 2
7
x ay z k
F
x by cz k
x
y z k
+ − =
′
+ + =
− + =
的
( , , )
x y z
有兩組解
( ,1,3)
α
及
(2, , 2)
β
−
，則數對
( , )
α β
為 。
解：
- 67 -
9.
空間中，點
( 6, 4,1)
A
− −
為直線
6
4
1
:
2
3
6
x
y
z
L
+
+
−
=
=
−
上一點，平面
:19
4
8
8
E
x
y
z
−
+
=
(1)
過
A
點垂直
L
的平面
E
′
，求
E
與
E
′
的交線方程式
=
(2)
若直線
L
與
E
的交點為
B
，而平面
E
上之點
C
滿足
AC
AB
=
，求使
ABC
面積最大
時，點
C
的坐標
=
。
解：
三、計算題
1. 設有
A
、
B
兩支大瓶子，開始時，
A
瓶裝有
a
公升的果汁，
B
瓶裝有
b
公升的相同果汁，已
知
1
a b
+ = ，每一輪操作都是先將
A
瓶的果汁倒出
1
3
到
B
瓶，然後再將 B 瓶的果汁倒出
1
3
回
A
瓶。設
n
輪操作後，
A
瓶有
n
a
公升的果汁，
B
瓶有
n
b
公升的果汁。已知二階方陣
11
12
21
22
a
a
a
a
滿足
11
12
21
22
n
n
n
a
a
a
a
b
a
a
b
=
。
(1)
求二階方陣
11
12
21
22
a
a
a
a
(2)
試求穩定狀態時，
B 瓶中有多少公升果汁？
解：
- 68 -
一、多選題：
1.
(3)(4)
2.
(3)(5)
二、填充題
1.
4
1
1
5
−
2.
16
5
−
3.
( 2, 4)
−
4.
10
5.
300
6.
2
−
7.
1366
8.
(1)
三相異平面交於一線
(2) ( 2,1, 4, 1)
−
− −
(3) (11, 1)
−
9.
(1)
0
2
1
x
y
t t R
z
=
= − +
∈
=
，
(2)
2 4
(0,
, )
5 5
−
或
(0, 6, 2)
− −
三、計算題
1.
(1)
7 1
9 3
2 2
9
3
(2)
2
5