- 1 -
一、多重選擇題：
(每題 10 分，共 30 分)
(每題至少有一個選項是對的，每個選項 2 分，答錯不倒扣，
全題未作答則不計分)
1. 已知 a 、 b 均為實數，則下列哪些選項的敘述正確？
(A) a
b
ab
⋅
=
(B)
(
)(
) 0
a bi a bi
+
−
≥
(C)
方程式
2
0
x
ax b
+
+ =
的兩根一定是共軛複數
(D)
如果
a b
<
且
( )
f x
為實係數多項式，當
( )
f a
、
( )
f b
都大於
0
時，方程式
( ) 0
f x
=
在
a 、
b
之間沒有實根
(E)
如果
a b
< ，則不等式
2
3
(
) (
)
0
x a
x b
−
−
≥
的解為
x b
≥ 。
2.
若
( )
f x
與
( )
g x
都是三次多項式，且滿足
(1)
(1)
f
g
=
、
(2)
(2)
f
g
=
、
(4)
(4)
f
g
=
，則下列哪
些選項的敘述正確？
(A)
若
(0)
(0)
f
g
=
則
( )
( )
f x
g x
=
(B)
( )
f x
與
( )
g x
分別除以
(
1)(
2)(
4)
x
x
x
−
−
−
所得的餘式必定相同
(C)
令
( )
( )
( )
h x
f x
g x
=
−
，則
( )
h x
可能是二次多項式
(D)
若對於所有實數
x ，
( )
( )
f x
g x
≥
恆成立，則
( )
( )
f x
g x
=
(E)
若
(3)
(3)
f
g
>
，則
(5)
(5)
f
g
>
。
3. 已知
3
2
( ) 2
5
f x
x
ax
bx
=
+
+ −
為整係數多項式，且可將
( )
f x
以
3
2
3
2
1
0
(
3)
(
3)
(
3)
a x
a x
a x
a
−
+
−
+
− +
的形式表現，則下列哪些選項的敘述正確？
(A)
方程式
( ) 0
f x
=
的有理根只可能是
1
±
、
5
± 、
1
2
±
、
5
2
±
(B)
3
a
、
2
a
、
1
a
、
0
a
都是整數
(C)
0
0
a
=
(D)
若方程式
( ) 0
f x
=
只有一個有理根，則另外兩個根一定是共軛虛根
(E)
方程式
( ) 0
f x
=
至少有一正實根。
二、填充題：
(共 10 格，共 55 分)
答對格數
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
得分
6 12 18 24 30 35 40 45 50 55
1.
4
3
2
6 7
40 7
16 7
200 7 65
× − × + × −
× −
=
。
解：
北一女中 102 學年度第一學期第二次段考一年級數學科試題
得
分
測驗日期
月
日
- 2 -
2. 若方程式
2
5
2 0
x
x
−
+ =
的兩根也是方程式
4
3
2
3
14
2 0
x
x
mx
nx
−
+
+
− =
的根，則
m n
+ =
。
解：
3.
已知
2013
( )
2013
f x
x
ax
=
+
+
除以
2
(
1)
x
−
的餘式為
3
1
x
+ ，則
a
=
。
解：
4.
若
( )
f x
分別除以
2
3
2
x
x
− +
與
2
4
3
x
x
−
+
得餘式
3
與
3x，則
( )
f x
除以
2
5
6
x
x
−
+
得餘
式為
。
解：
5.
已知
3
2
3
2
( )
2 7
2 7
4 8
1 6
(3
2 )
(3
2 )
(3
2 )
f x
x
x
x
x
a
x
b
x
c
=
+
−
+
=
−
+
−
+
−
+ 。
(1)
三元序列
( , , )
a b c
=
。
(2) (0.666)
f
至小數點後第三位近似值為 。 (第四位再四捨五入)
(3) (34)
f
=
。
解：
6.
設
4
3
2
( )
6
12
12
4
f x
x
x
x
x
=
−
+
−
+
，已知
(1 ) 0
f
i
− =
，則四次不等式
( ) 0
f x
≤
的解為
。
解：
7.
分式不等式
2
2
1
3
2
2
x
x
x
x
−
≥
−
−
+
的解為
。
解：
8. 已知
α
、
β
為
2
6
1 0
x
x
−
+ = 的兩根，
z
、
w
為
2
5
1 0
x
x
+
+ = 的兩根，則
(
)(
)(
)(
)
z
z
w
w
α
β
α
β
−
−
+
+
= 。
解：
三、計算、證明題：
10% (
共
1 題
)
已知
( )
f x 是一個二次多項式，令 (1)
f
a
= 、 (3)
f
b
= 、 (4)
f
c
= 。
(1) 請證明：
1
1
(2)
3
3
f
a b
c
=
+ −
。
(5 分)
(2) 如果 (10)
f
ma nb kc
=
+
+ ，試求三元序對 ( , , )
m n k 。(5 分)
(3) 請證明：
3
2
0
a
b
c
− +
≠ 。(5 分)
( 提示：本題可使用拉格朗日插值法 )
- 3 -
一、多重選擇題： 32% (共 4 題，每題 8 分)
1. (B) 2. (A)(B)(D) 3. (A)(B)(E)
二、填充題： 58% (共 10 題，計分方式如後註明)
1. 5
2.
7 3. 2010
−
4. 6
9
x
−
5.
(
)
9,8, 4 、 3.984 、1090804 6. 2
2
2
2
x
−
≤ ≤ +
7.
3
x
>
8.
11
−
三、計算、證明題： 10% (共 1 題)
(
3)(
4)
(
1)(
4)
(
1)(
3)
( )
(1 3)(1 4)
(3 1)(3 4)
(4 1)(4 3)
x
x
x
x
x
x
f x
a
b
c
−
−
−
−
−
−
= ⋅
+ ⋅
+ ⋅
−
−
−
−
−
−
(
3)(
4)
(
1)(
4)
(
1)(
3)
6
2
3
a
b
c
x
x
x
x
x
x
=
−
− −
−
− +
−
−
(1)
1
1
(2)
( 1)( 2)
(1)( 2)
(1)( 1)
6
2
3
3
3
a
b
c
f
a b
c
=
− − −
− +
− =
+ −
。
(2) (10)
(7)(6)
(9)(6)
(9)(7) 7
27
21
6
2
3
a
b
c
f
a
b
c
=
−
+
=
−
+
，所以
( , , ) (7, 27, 21)
m n k
=
−
。
(3) 觀察 ( )
(
3)(
4)
(
1)(
4)
(
1)(
3)
6
2
3
a
b
c
f x
x
x
x
x
x
x
=
−
− −
−
− +
−
− ，可知其領導係數為
3
2
0
6 2 3
6
a b c
a
b
c
− +
− + =
≠ ，所以
3
2
0
a
b
c
− +
≠ 。
- 4 -
二、多重選擇題
1. 1
n
a
° <
> 的公比為負，所以
1
a
、
2
a
、
3
a
、
必為正負相間，
已知
9
9
a
b
< 且
10
10
a
b
< ，所以可以確定
9
b
、
10
b
為有一正一負，或兩正
而
n
b
< > 是首項為 10
− 的等差數列，故
10
b
必為正
2
°(
A
)
:
×
9
10
0
b b
×
< ，無法確定
(
B
)
:
10
0
b
> ，正確
(
C
)
:
×
9
10
a
a
>
，無法確定
(
D
)
:
9
10
2
2
b
b
<
，正確
(
E
)
:
×
11
11
a
b
< ，無法確定
三、填充題
3.
[
]
1
1
3
384
128
128
3 1
3 1 128
765
765
2
1
1
n
n
n
n
n
n
a
r
r
r
r
r
r
S
r
r
r
−
−
= ×
=
=
=
−
−
=
=
=
=
−
−
1
2
128
1 7
8
n
n
n
−
∴
=
− = =
4.
1
1
(
)
(
)
2
n
n
a
p
a
p
−
−
=
−
，比較常數
6
p
= −
故遞迴式
1
1
(
6)
(
6)
2
n
n
a
a
−
+ =
+
故
1
1
6
1
1
1
( ) (
6) ( )
2
2
n
n
n
a
a
−
−
+
=
+ =
，即
1
1
( )
6
2
n
n
a
−
=
−
則
9
10
1
1
511
( )
6
6
5
2
512
512
a
=
− =
− = −
5.
1
2
1
3
2
6
2 4 2
2 4 3
a
a
a
a
a
=
= + + ×
= + + ×
1
1
6
4
2
2
n
n
a
a
a
n
n
n N
−
=
=
+
+
≥
∈
，
，
- 5 -
6.
(2)
所求 =
10
10
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
4
(2 )
4(1
2
)
k
k
k
k
k
k
=
=
+
+
=
+ + +
+ + +
10
10
1
1
6
3
1
1
3 1 1
15
(
)
(
)
4 (
1)
2
1
2 1 11
11
k
k
k k
k
k
=
=
=
=
−
=
−
=
+
+
7.
1
1
1
2
2
2
2
2
ABCD
a
a
AB C D
a
AB C D
之邊長
之邊長
之邊長
所求
8.
6
2 11
13
1
2
1
7
9
11
27
2
3
9
2 11
15
1
2
10
12
14
30
2
5
1 ( )
3
1
5
1 ( )
75
1
k
k
k
k
a r
r
a
a
a
a
a
r
a r
r
a
a
a
a
a
r
+
=
=
−
= + +
+ +
=
=
−
−
=
+
+
+ +
=
=
−
÷
3
75
125
5
3
5
r
r
=
=
=
10
2 11
17
1
2
3
11
13
15
31
2
7
1 ( )
1
k
k
a r
r
a
a
a
a
a
x
r
−
=
−
=
+
+
+ +
=
=
−
÷
5
375
75
x
x
=
=
四、計算、證明題
1.
20
19
18
1000(1 2%)
(1 2%)
(1 2%)
(1 2%)
x
x
x
x
+
=
+
+
+
+ +
+
+
20
1 1.02
1.49 1
1000 1.49
24.5
1 1.02
0.02
1490
60.8 ( )
61 ( )
24.5
x
x
x
x
x
−
−
×
=
= ⋅
=
−
=
=
=
萬
取
萬
10
1
10 1 ( )
1
5115
2
20 1
1
1024
256
1
2
−
=
=
−
=
−
. .