一、是非題 (共 18 分)
※ 王老師將高一甲、乙兩班第一次期中考英文及數學兩科依成績高低整理如下表：
甲班
乙班
英文
數學
英文
數學
分數
人數
分數
人數
分數
人數
分數
人數
72
1
55
1
72
3
55
2
75
2
60
2
75
3
60
4
78
3
65
3
78
5
65
6
81
4
70
4
81
6
70
8
84
5
75
5
84
6
75
10
87
4
80
4
87
10
80
8
90
3
85
3
90
7
85
6
93
2
90
2
93
6
90
4
96
1
95
1
96
4
95
2
人數統計
25
人數統計
25
人數統計
50
人數統計
50
請根據上述資料判斷下列各敘述是否正確
1. 「甲班英文成績的算數平均數」等於「甲班英文成績的中位數」。
2. 「乙班英文成績的算數平均數」大於「乙班英文成績的中位數」。
3. 「甲班數學成績的算數平均數」等於「乙班數學成績的算數平均數」。
4. 「甲班數學成績的標準差」小於「乙班數學成績的標準差」。
5. 「甲班英文成績的標準差」等於「甲班數學成績的標準差」。
6. 「甲班的英文成績與數學成績之相關程度」比「乙班的英文成績與數學成績之相關程度」高。
7. 將甲、乙兩班每位學生的英文成績都標準化(轉換成 Z 分數)後，兩班新成績的標準差相等。
8. 王老師在研究甲班學生數學與英文成績關連性時，發現甲班學生「數學對於英文的迴歸直線」
過點 (96 , 90)，則甲班學生的英文成績與數學成績之相關係數為
3
4
。
9. 若將甲班每位學生的數學成績加 5 分，則加分後新的「數學對於英文的迴歸直線」與原來相同。
北一女中 100 學年度第二學期期末考一年級數學科試題
二、多重選擇題：( 每題至少有一個選項是正確的，共 40 分 )
1. 下列敘述哪些正確？
(A)
1
n
k
n
為一完全平方數 (B)
1
1
1
(
1)
(
)(
(
1))
n
n
n
k
k
k
k k
k
k
(C)若
1
1
n
k
k
n
a
n
，則
7
7
8
a
(D)若 n 為一自然數，則
(
1)(2
1)
6
n n
n
也必為一自然數
(E)設
(
1) (
2) (
3) (
4)
2
4
8
n
n
n
n
a
n
n
N
，
，則
n
a
為一等差數列。
2. 已知一等差數列
n
a
共有 59 項，其每一項皆為實數，若
7
13
a
a
且其和 S > 0。設
n
S 表
此數列之前 n 項和，則下列敘述哪些正確？
(A)
10
0
a (B)
1
59
0
a
a
(C)
15
5
0
k
k
a
(D)
10
9
S
S
(E)當 n＝9 時，
n
S 有最小值。
3. 某企業有甲、乙、丙、丁四家子公司最近五年營業額成長率分別如下表：
甲
－20% －10%
0%
10%
20%
乙
－50% －10%
0%
10%
50%
丙
－10%
20%
60%
－20%
80%
丁
20%
20%
20%
20%
20%
，則有關這四家公司此五年營業額平均成長率之敘述，下列哪些正確？
(A)甲公司的平均成長率為 0% (B)丙公司的平均成長率為 26%
(C)丁公司的平均成長率為 20% (D)甲、乙兩公司的平均成長率相同
(E)丙公司的平均成長率大於丁公司的平均成長率。
4. 設變量 X 與 Y 有 10 筆 ( ,
)
i
i
x y 的數據資料，若
1
2
3
10
x
x
x
x
， ， ， ，
的算數平均數
50
x
及
標準差
2
x
S ，
1
2
3
10
y
y
y
y
， ， ， ，
的算數平均數
32
y
及標準差
4.5
y
S
。而另一組數據資
料 ( , )
i
i
u v 滿足
4
7
i
i
u
x
，
2
5
i
i
v
y
，若變量 X 與 Y 的相關係數為
( , )
x y
r
，變量 U 與 V
的相關係數
( , )
u v
r
，則下列敘述哪些正確？
(A)
1
2
3
10
u
u
u
u
， ， ， ，
的標準差是 －8
(B)
1
2
3
10
v
v
v
v
， ， ， ，
的算數平均數是 69
(C)
( , )
( , )
x y
u v
r
r
(D)Y 對於 X 的迴歸直線一定會通過點 (50 , 32)
(E)Y 對於 X 的迴歸直線與 V 對於 U 的迴歸直線相同。
三、填充題( 共 30 分)
1. k 為一常數且等差數列
n
a
前 n 項之和
2
3
n
S
n
n
k
，則 k＝__________。
2. 觀察下列數列的規則：1，
3
1
，
1
3
，
5
1
，
3
3
，
1
5
，
7
1
，
5
3
，
3
5
，
1
7
，…，依此規則球第 101 項為
__________。
3. 已知
n
a
、
n
b
皆為等差數列，
1
1
a ，公差為 3；
1
8
b ，公差為 5，則
20
1
k
k
k
a b
_________。
4. 某班 10 名學生的數學科答對題數分別為
1
2
3
10
x x x
x
， ， ， ， ，其算數平均數為 12、中位數為 11、
標準差為 7，若令
10
2
2
2
2
1
2
10
1
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
i
i
f x
x
x
x
x
x
x
x
x
，則
( )
f x
的最小值發
生在 x＝__________，且此最小值為__________。
5.
設有 4 筆 ( , )
i
i
x y 的數據資料如下：
i
1
2
3
4
X
1
3
1
3
Y
2
2
4
0
小綠以最小平方法求 Y 對 X 的迴歸直線方程式
y
a bx
，由小綠的計算過程，已知
2
2
2
2
2
2
[2 (
)]
[2 (
3 )]
[4 (
)]
[0 (
3 )]
[2
4
4]
(2
2)
4
a b
a
b
a b
a
b
a
b
b
，則此回歸直
線方程式為 y＝__________。
四、計算與證明：( 共 12 分 )
1. 設數列
n
a
的遞迴定義式是
1
1
1
3
1
(
2)
4
1
n
n
n
a
a
a
n
a
，
(1)試求
2
a ，
3
a ，
4
a (3 分)
(2)根據 (1)，試推測數列
n
a
的一般項(以 n 表示) (2 分)
(3)利用數學歸納法驗證：對所有自然數 n，你的推測皆成立。(7 分)
一、是非題：
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
二、填充題：
1.(A)(D)(E)
2.(B)(C)(E)
3.(C)
4.(B)(D)
三、填充題：
1. 0
2.
9
19
3. 42720
4. 12；490
5.
4
x
四、計算與證明
1. 略