- 1 -
一、多重選擇題：(共 30 分，每個選項 2 分，不倒扣)
1. 有一四面體 OABC ，它的一個底面 ABC 是邊長為 6 的正三角形，且知
5
OA OB OC
=
=
=
，
M
、 N 分別為 OA 、 BC 之中點，
H
為 O 在平面 ABC 上的投影點，試問下列選項那些
為真？
(A)
3
OA OB OC
OH
+
+
=
(B) MN 為直線 OA 和直線 BC 的公垂線
(C)
7
OA ON
⋅
=
(D) OAN
Δ
為鈍角三角形
(E) OA 在平面 ABC 上的正射影長為 2 3 。
2. 空間中一直線
3
2
0
:
4
3
5
6
x y
z
L
x
y
z
+ −
=
⎧
⎨ − + =
⎩
，則下列選項哪些為真？
(A) (1,23,13) 為直線
L
的一個方向向量
(B) 過點 (1,11,7) 恰有一直線與直線
L
垂直
(C) 直線
L
與 x 軸互為歪斜線
(D) 直線
L
與平面
7
2
3
6
x
y
z
−
+
=
平行
(E) 直線
L
與直線
1
7
2
3
x
y
z
− = =
−
−
垂直。
3. 設
1
1
2
2
3 3
1
1 0
1
a b
a b
a b
= ，其中
1
a 、
2
a 、
3
a 、
1
b 、
2
b 、
3
b 均為不等於 0 且相異的實數，則下列敘述
哪些是正確的？
(A) 空間中相異三點
1
1
( , ,1)
A a b
、
2
2
( , ,1)
B a b
、
3
3
( , ,1)
C a b
必共線
(B) 平面上三相異直線：
1
1
1
2
2
2
3
3
3
:
1 0
:
1 0
:
1 0
L a x b y
L a x b y
L a x b y
+
+ =
⎧
⎪
+
+ =
⎨
⎪
+
+ =
⎩
必交於一點
(C) 空間中相異四點
(0,0,0)
O
、
1
1
( , ,1)
A a b
、
2
2
( , ,1)
B a b
、
3
3
( , ,1)
C a b
必共平面
(D) 空間中相異三點
1
1
( , )
A a b 、
2
2
( , )
B a b 、
3
3
( , )
C a b 必共線。
(E) 若
1
2
3
( , , )
a
a a a
=
、
1
2
3
( , , )
b
b b b
=
，則
(
) (1,1,1)
a b
× ⊥
。
台中女中 102 學年度第二學期第一次段考二年級數學科試題
得 分
測驗日期
月
日
- 2 -
二、填充題：(共 70 分，每題 5 分)
1. 過矩形 ABCD 的頂點
A
，作垂直於這個矩形所在平面的垂直線段
PA
，若
9
PB
=
，
13
PC
=
，
12
PD =
，求
PA
之長 。
解：
2. 如右圖所示， ABCD EFGH
−
為一正四角錐之平臺。已知正方形
ABCD 之邊長為 5，正方形 EFGH 之邊長為 11，側稜的長為 5
則側面平面 BCGF 與底平面 EFGH 之夾角的餘弦值為 。
解：
3. 設
( 1,2,3)
a = −
、
( , , )
b
x y z
=
，若
2
2
2
4
6
1 0
x
y
z
x
y
+
+ −
+
− =
，則 a b
⋅
的最大值為 。
解：
4. 右圖中， ABCD EFGH
−
是一個長方形，三頂點
(1,1,1)
A
、
( ,3,2)
B k
、
(2,3, )
D
k
， 若點
E
在第一卦線，且
6
AE
=
，則
E
的坐標為 。
解：
5. 設空間中兩向量 a
、b
滿足
2
a =
、
3
b =
且
3
2
6
a
b
+
=
，則
a b
× =
。
解：
6. 設平面 E 包含
(2,3,1)
A
、
(4,5, 3)
B
−
兩點且與平面
:
2
3 0
F x
z
−
+ =
垂直，則此平面
E
的
方程式為 。
解：
7. 過點
(4,2,1)
A
對平面
3
2
6
x
y z
−
+ =
做垂直
L
，直線
L
可以對稱比例式表示為
2
2
x
y c
z d
a
b
+
+
+
=
=
−
，則數對
( , , , )
a b c d =
。
解：
- 3 -
8. 有一束光由點
( 2,2,3)
M −
前進到鏡面
E
上的點
(1,2, 1)
A
−
，反射後通過另一點
(4,0, 7)
N
−
，
則鏡面
E
的方程式為 。
解：
9. 右圖為一正方體，求
B
點到平面 DEG 與
到平面 AEG 的距離比為 。
解：
10. 設由坐標空間中的三個向量
(3
,2,2)
AB
x
= −
，
(1,4
,1)
AC
x
=
−
，
( 2, 4, 1, )
AD
x
= − − − −
所圍成的
四面體 A BCD
−
的體積為 1，則 x = 。(有兩解，全對才給分)
解：
11. 某次三軍聯合演習時，陸軍部隊在雷達上發現敵機在
(10, 6, 5)
A
− −
出現，沿直線飛到
(8, 5, 4)
B − −
於是發出通知給位於
( 1, 2,2)
P − −
的飛彈基地射飛彈攔截，於是飛彈基地的指揮官
經過計算後指示飛彈發射的方向向量只有為
(1,1, )
a
時，才可能順利擊落敵機，則 a = 。
解：
12. 已知一正立方體中的三頂點為
(4,3,7)
A
、
(0,7,3)
B
、
(2,5, 1)
C
−
，平面
3
2
x
y z k
+
+ =
將此正
方體截為體積相等的兩塊，則 k = 。
解：
13. 右圖為兩個大小相同的長方體組合而成，若
1
DE CF BG
=
=
=
，
2
CD BE
=
=
，則 ABC
∠
的餘弦值＝ 。
解：
14. (單選題)如附圖，
A
、
B
、C 分別為正立方體三稜的中點，則過
A
、
B
、C 三點的平面與此
正方體的截痕形狀為： 。
(1) 六邊形 (2) 五邊形 (3) 四邊形 (4) 等腰三角形 (5) 正三角形。
解：
- 4 -
一、多重選擇題
1. (A)(C)(E)
2. (A)(C)
3. (C)(D)(E)
二、填充題
1. 2 14
2. 3
4
3. 6 4.
(5,3,5) 5. 3 3
6. 2
5
x z
+ =
7.
( 6,4, 6,1)
−
−
8.
3
5
12
x
y z
+
+ =
9. 2 2 : 3
10. 4 或 0 11.
2
−
12. 20 13. 5
39
14. (2)